Fonction dont la variable est borne d intégration

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1 [hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Enoncés 1 Foncion don la variable es borne d inégraion Eercice 1 [ 1987 ] [correcion] Soi f : R R ne foncion conine. Jsifier qe les foncions g : R R sivanes son de classe C 1 e eprimer ler dérivée : a) g() = f() b) g() = Eercice [ 1988 ] [correcion] Soi ϕ : R R la foncion définie par : Soi f : R R définie par : ϕ() = sh f() = f() c) g() = por e ϕ() = 1 ϕ() a) Monrer qe f es bien définie e édier la parié de f. b) Jsifier qe f es dérivable e calcler f (). c) Dresser le ablea de variaion de f. Eercice 3 [ 1989 ] [correcion] Soi f : [, 1] R conine. On défini F : [, 1] R par F () = min(, )f() a) Monrer qe F es de classe C e calcler F (). b) En dédire F () = Eercice 4 [ 199 ] [correcion] Soi g : R R ne foncion conine. On pose, por o R, f() = f()d sin( )g() f( + ) a) Monrer qe f es dérivable e qe f () = cos( )g() b) Monrer qe f es solion de l éqaion différenielle y + y = g(). c) Achever la résolion de cee éqaion différenielle. Eercice 5 [ 1991 ] [correcion] Soien f : R R de classe C 1 e F : R R définie par, F () = 1 f() a) Monrer qe F pe êre prolongée par coninié en. On effece ce prolongemen. b) Monrer qe F es dérivable sr R e eprimer F () à l aide d ne inégrale c) Monrer qe F es dérivable en e observer F () =. Eercice 6 [ 76 ] [correcion] Por ], 1[, on pose ϕ() = a) Monrer qe ϕ es bien définie e qe cee foncion se prolonge par coninié en e en 1. b) En dédire la valer de 1 ln d Eercice 7 [ 88 ] [correcion] Soi f conine de R dans R elle qe ln (, y) R, f() f(y) = Monrer qe f es de classe C 1 e déerminer f. y+ +y f()

2 [hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Enoncés Eercice 8 [ 57 ] [correcion] Soi f C 1 ([, 1], R) avec f() =. a) Monrer qe f() 1 b) Si f(1) =, améliorer l inégalié obene en a). f () Eercice 9 [ 3183 ] [correcion] a) Déerminer le domaine définiion = D f de la foncion f qi à réel associe : f() = b) Déerminer la limie pis n éqivalen simple de f() lorsqe end vers +. c) Avec le logiciel de calcl formel, déerminer les développemens asympoiqes en + jsq a erme o ( 1 7/ ) de la foncion +1 pis de f. Démonrer l eisence de ce développemen asympoiqe de f() en s aidan d logiciel por les calcls d inégrales nécessaires. d) Edier les variaions de f sr. e) Avec le logiciel de calcl formel, donner ne valer approchée d maimm de f sr e de son abscisse. Visaliser le racé d graphe de f. Eercice 1 [ 338 ] [correcion] Soi f : [, 1] R conine vérifian Monrer q il eise ], 1[ vérifian f() = f() =

3 [hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Correcions 3 Correcions Eercice 1 : [énoncé] On inrodi F primiive de f sr R. a) g() = F ( ) F () es C 1 par opéraions e g () = f( ) f(). b) g() = (F () F ()) es C 1 par opéraions e g () = f() + f(). c) g() = =+ g () = f() f(). f() d = F () F () es C1 par opéraions e Eercice : [énoncé] a) ϕ es conine sr R f() eise. R, R e f( ) = sh = = sh d = f() Ainsi f es impaire. b) ϕ es conine possède ne primiive F. Comme f() = F () F () f es dérivable e f sh sh () = por R e f () = 1. c) Por o, on a sh sh f (). Ainsi f es croissane sr R +. Pisqe f() sh = sh ln on a f() + qand +. On complèe le ablea de variaion par parié. Eercice 3 : [énoncé] a) En décopan l inégrale en de F () = On en dédi qe F es dérivable e f() + f() b) F (1) = Pisqe F () =, on a Eercice 4 : [énoncé] a) En développan f() = F () = F () = 1 f() = F ()d = (sin cos cos sin )g() = sin f es dérivable e f () = cos b) f es dérivable e f () = sin cos g() + sin cos g()+cos f() f()d sin g() = cos g() cos sin g()+g() = cos( )g() sin g() sin( )g() +g() f () + f() = g(). c) C es ne éqaion différenielle linéaire d ordre à coefficiens consans. Solion homogène y() = λ cos + µ sin. Solion pariclière y() = f(). Solion générale Eercice 5 : [énoncé] a) Soi f ne primiive de f. y() = λ cos + µ sin + sin( )g() F () = f() + f() f() = Finalemen F es de classe C e F () = f() f() F () = f() f( ) = f() f() + f() f( ) On prolonge F par coninié en en posan F () = f(). f () = f()

4 [hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Correcions 4 b) F es dérivable par opéraions e F () = Par inégraion par paries e on pe simplifier c) Sachan on pe écrire En posan on a alors f() + f( ) 1 f() f() = [f()] f () F () = 1 f () f () = F () = 1 (f () f ()) M = Or f es conine en, M sp f () f () [,] F () 1 M = 1 M pis F () En ver d héorème d prolongemen C 1, on pe affirmer qe F es dérivable en e F () =. Eercice 6 : [énoncé] a) Soi ], 1[, [, ] ], 1[ e 1 ϕ() = ln eise. Por [, ], ln 1 ln 1 ln 1 ln es définie e conine sr ], 1[ Qand +, ϕ(). On a assi or ln ϕ() = ϕ() ln ln ln ϕ() ln ln = [ln(ln )] = ln Qand 1, ϕ() ln. Finalemen ϕ pe êre prolongée par coninié en e en 1. b) Soi F ne primiive de 1 ln sr ], 1[. On a ϕ() = F ( ) F () ce qi perme de dériver ϕ e d obenir ϕ () = 1 ln L inégrale 1 ln d es définie car on vérifie aisémen qe la foncion inégrée pe êre prolongée par coninié en e en 1 e on a 1 ln d = [ϕ()]1 = ln Eercice 7 : [énoncé] Pisqe conine, la foncion f adme ne primiive F sr R e Por y R fié, on obien (, y) R, f() f(y) = F (y + ) F ( + y) f : f(y) + F (y + ) F ( + y) Pisqe la foncion F es de classe C 1, on obien qe f es de classe C 1 e f () = f(y + ) f( + y) En dérivan cee relaion en la variable y, on obien = f (y + ) f ( + y)

5 [hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Correcions 5 e f (y + ) = f ( + y) Pisqe por o (s, ) R, il eise (, y) R vérifian { + y = s + y = on pe affirmer qe la foncion f es consane. On en dédi qe la foncion f es affine. Par le calcl, on vérifie qe, parmi les foncions affines, sele la foncion nlle vérifie la relaion proposée. Eercice 8 : [énoncé] a) Pisqe f() =, on a f() = Par l inégalié de Cachy-Schwarz ( f() e f() f () ) 1/ ( ) 1/ f () f () f () pis ( ) f() d f () d = 1 b) En reprenan ce qi précède / ( 1/ ) 1/ f() d f () d = 1 8 Sachan f(1) =, on a assi de façon symériqe 1/ f() d 1 8 1/ e en somman ces de majoraions, on obien f() d 1 8 f () f () f () / f () Eercice 9 : [énoncé] a) L eisence de la foncion inégrée eige > 1. Par convergence de l inégrale por = 1, on obien = [ 1, + [. b) On a +1 ( + 1) f() = On a +1 f() + +1 ( + 1)3 + 1 f() ( + 1)3 + 1 f() ( + 1) On en dédi f() 1 1/ c) La commande series(in(1/sqr(), =..+1), =infiniy); donne n développemen asympoiqe à n ordre spérier à celi demandé. series(/sqr(ˆ3+1), =infiniy); donne = 1 1 ( ) o qand + 7/ 7/ f() = / +1 ( ) 1 o qand + 7/ Or on obien facilemen (en en revenan a ε) qe +1 ( ) ( +1 ) o = o qand + 7/ 7/ Comme précédemmen, on a / 7/ f() = / ( ) / 8 5/ 64 + o 7/ 7/

6 [hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Correcions 6 Noons q n calcl direc par Maple n es gère avenan. series(in(/sqr(ˆ3+1), =..+1), =infiniy); d) Soi F ne primiive sr ] 1, + [ de la foncion conine f:=->in(/sqr(ˆ3+1), =..+1); pis procédons a racé plo(f(), =-1.., y=-1..); On a f() = F ( + 1) F (). On en dédi qe f es dérivable sr ] 1, + [ e f () = + 1 ( + 1) d signe de g() = ( + 1) ( + 1) Si [ 1, ] es négaif, cee qanié es assrémen posiive. Si [, + [, g() es d signe de h() = ( + 1) ( 3 + 1) (( + 1) 3 + 1) epand((+1)ˆ*(ˆ3+1)-ˆ*((+1)ˆ3+1)); donne h() = don la dérivée es h () = Sr [, + [ cee dérivée es sricemen décroissane e s annle ne niqe fois en n α [, + [. On en dédi les variaions pis le signe de h() sr [, + [ α β + h () + h() 1 h(α) Avec Maple, on pe déerminer ne valer approchée de β fsolve((+1)ˆ*(ˆ3+1)-ˆ*((+1)ˆ3+1)); En eclan la solion négaive, on obien β =, 88 à 1 près. Finalemen f es croissane sr [ 1, β] e décroissane sr [β, + [. e) Le maimm de f es β. Sa valer es f:=->in(/sqr(ˆ3+1), =..+1); f( ); ce qi forni, Por obenir n racé saisfaisan de la foncion f, commençons par redéfinir celle-ci à l aide d ne forme inere La foncion f édiée Eercice 1 : [énoncé] Inrodisons F : Par inégraion par paries G() = F () Cas F n es pas de signe consan Il eise alors a, b ], 1[ el qe f() e G : F () = f() [F () F ()] F (a) = min F < e F (b) = ma F > [,1] [,1] Par inégraion d ne foncion conine, non nlle e de signe consan sr n inervalle non singlier, on a G(a) < e G(b) >

7 [hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Correcions 7 e le héorème des valers inermédiaires assre qe G s annle. Cas F es de signe consan Qie à considérer f, spposons F posiive. Si F es nlle, il en es de même de f e la propriéé es immédiae, sinon, on pe inrodire b ], 1[ el qe On a alors F (b) = ma [,1] F > G(b) > e G(1) = F () < car F (1) es nl. A novea, le héorème des valers inermédiaires perme de conclre.

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