FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES. lim e x = 0 et. x y

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1 FONCTIONS EPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES. D la foncion ponnill (d bas ) à la foncion logarihm népérin.. Théorèm La foncion ponnill (d bas ) s conin, sricmn croissan sr : = = + + Coninié La foncion ponnill s solion, sr, d l'éqaion différnill y' = y. Ell s donc nécssairmn dérivabl sr par conséqn conin sr. Sric monooni La foncion ponnill s sricmn posiiv sr égal à sa dérivé donc ll s sricmn croissan sr. Rmarq : la croissanc d l'ponnill s radi par : y y (Voir illsraion, figr ) C drnièr propriéé sra rès il por éablir ds inégaliés o por résodr ds inéqaions. Limis Monrons, o d'abord, q por o : Por cla, on édi ls variaions d la foncion g défini sr par : g() = La foncion g s dérivabl sr por o : Tchniq à connaîr : por comparr d qaniés, on édi l sign d lr différnc. g'() = = Comm la foncion ponnill s croissan sr, on n dédi : g'() D'où l sns d variaion d la foncion g : + Sign d la dérivé g' + Variaions d la foncion g La foncion g adm n minimm m sricmn posiif n : m = g() = = Par conséqn la foncion g s sricmn posiiv por o rél, d'où : por o, Foncions ponnills logarihms Pag G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

2 Or, nos savons q = +. + D héorèm d comparaison ds is, on n dédi q l'ponnill adm n i n + : = + + Posons =. Si nd vrs alors nd vrs +. Comp n d la rlaion = = nos avons : = + = (pisq + = + ) La corb d la foncion ponnill adm donc, n, n asympo horizonal d'éqaion y =. C qi achèv la démonsraion d héorèm.. Ercics : Démonrr q, por o : + Démonrr q, por o +, on a : + + Dérminr l'approimaion affin d la foncion ponnill a voisinag d... Corollair La foncion ponnill s n bijcion d sr + On rappll q'n applicaion ƒ : E F s n bijcion lorsq o élémn λ d F adm n n sl anécédn c dans E (o d manièr éqivaln, l'éqaion ƒ() = λ adm n niq solion c dans E). Soi λ +. Comm la foncion ponnill s conin sricmn croissan à valrs dans +, l héorèm d bijcion assr l'isnc d'n niq c l q c = λ. y C p 3 λ Figr c 3 Conséqnc : l'ponnill éan bijciv, on a : A = B A = B Foncions ponnills logarihms Pag G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

3 .3 Définiion On appll foncion logarihm népérin la bijcion réciproq d la foncion ponnill. On la no ln. La foncion ln s donc défini sr + à valrs dans : ln() n'a d sns q por > Soi M(, y) n poin d la corb d la foncion logarihm (voir figr ) dans n rpèr orhonormé ( Oi ;, j) On a donc + y = ln(). Comm la foncion ln s la bijcion réciproq d la foncion ponnill, on a alors = y. Donc l poin M'(y, ) s sié sr la corb d la foncion ponnill. Or, l poin M'(y, ) s l symériq () d poin M(, y) par rappor à la droi d'éqaion y =. En conséqnc : Ls corbs C p C ln son symériqs par rappor à la prmièr bisscric (droi d'éqaion y = ). y M' C p 3 : y = M C ln Figr 3 Pisq ls foncions p ln son réciproqs l'n d l'ar, on a : ln ( ) = por o ln() = por o + (B = ln(a) A > ) (A = B ) E égalmn : ln() = ; ln() = Ercics : Démonrr q, por o, on a : A--on : 3 por o? Soi a. En édian la foncion ƒ a défini sr par ƒ a () = a, dérminr l pls grand rél a l q : a por o. Inrprér graphiqmn n rm d angns (à ds corbs q l'on précisra) Comparr sr,. Pis 3. () En ff, l mili d sgmn [MM'] s bin sr d'ar par ls vcrs MM (y ; y) ( ; ) son bin orhogona. Foncions ponnills logarihms Pag 3 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

4 .4. Théorèm Ars is avc ds ponnills Por o n * : + n = + n = En pariclir : + = + = Tangn à l'origin : = Empl : + = + = + car + = + + = +. Monrons : + n = + On sai q por o : En pariclir por = n+ n + : n + Par croissanc d l'applicaion n+ sr +, on a por o + : n + ( n + ) n + D'où, por + : n ( n ) n + + Comm + ( n + ) n + = +, on n dédi facilmn par comparaison q : + n = + En posan =, on n dédi : D'où : n = + n = n = En pariclir por n =, on a : + = + = Por la roisièm i, nos rconnaissons l'accroissmn moyn d la foncion ponnill n, sa i s donc égal a nombr dérivé n à savoir = : = = p' = = Foncions ponnills logarihms Pag 4 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

5 Conséqnc ds d drnièrs is : Soi P n polynôm différn d polynôm nl (P ). On a alors : + P ( ) Prv : noons n l dgré d P. On sai q'alors : = + P() = + n+ = + P ( ) Par aillrs, d'après.4. : D'où, par prodi : + n + = + = + + P ( ) Por la dièm i, il sffi d dévloppr d'ilisr l résla n = Ercic : Édir la i sivan : (On écri simplmn = on n dédi, par prodi : = = ). Éd d la foncion logarihm népérin.. Théorèm La foncion ln ransform ls prodis n somm : por os réls A B sricmn posiifs : ln(ab) = ln(a) + ln(b) Comm l'ponnill ransform ls somms n prodis, on a : ln(a) + ln(b) = ln(a) ln(b) = AB D'où : ln(a) + ln(b) = ln(ab).. Corollair Por os A B sricmn posiifs : ln B = ln(b) ln A = ln(a) ln(b) B ln(a p ) = p ln(a) (p ) ln ( A ) = ln(a) D'après.. : ln + ln(b) = ln() = B Foncions ponnills logarihms Pag 5 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

6 D'où : ln B = ln(b) D mêm : ln A + ln(b) = ln(a) B D'où : ln A = ln(a) ln(b) B Si p, n récrrnc élémnair donn : ln(a p ) = p ln(a) Si p, alors : ln(a p ) = ln p A = ln(a p ) Mais comm p : ln(a p ) = p ln(a) D'où : ln(a p ) = p ln(a) Comm A > : ln(a) = ln ( A A ) = ln ( A ) + ln ( A ) = ln ( A) D'où : ln ( A ) = ln(a).3. Théorèm Coninié d logarihm La foncion ln s conin sr +. On porrai ilisr l héorèm d la coninié d l'applicaion réciproq (voir héorèm 5.4. d la lçon sr la coninié) por conclr immédiamn (pisq l logarihm s l'applicaion réciproq d l'ponnill qi s conin sr ). Mais cli-ci s hors programm. Nos allons donc procédr armn. Avan o, nos arons bsoin d lmm sivan, bin praiq : Lmm Por o rél + : ln() Démonsraion d lmm : S'il isai n rél + l q : ln() > Alors, par sric croissanc d l'ponnill, on arai : > C's-à-dir, n posan = : + > C q conrdirai l'inégalié +, valabl por o (voir rcic n..) D'où, por o + : ln() Démonsraion d héorèm.3. : Prmir pas : on monr q la foncion logarihm s conin n. Il sffi por cla, d monrr q'll adm n i fini (égal à ln = ). Disingons d cas. Limi à droi Por o ], + [, l lmm prm d'écrir : < ln() Foncions ponnills logarihms Pag 6 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

7 E d'après l héorèm ds gndarms : + ln() = Limi à gach Por o ], [, on a : ln() < Mais d'après ls propriéés d logarihm, on obin : ln > E d'après l lmm, on p écrir : < ln E d'après l héorèm ds gndarms : ln() = Ls is à droi à gach son égals à ln(), c qi prov la coninié d logarihm n. Dièm pas : on monr q la foncion logarihm s conin sr +. Soi a +. Por o h > a : ln(a + h) = ln a h + a = ln(a) + ln h + a Comm la foncion ln s conin n : D'où : h h ln h + a = ln() = ln(a + h) = ln(a) C qi prov la coninié d la foncion ln n a. Donc la foncion ln s conin sr Théorèm Dérivabilié d logarihm La foncion ln s dérivabl sr + por o + : ln'() = On porrai ilisr l héorèm d dérivaion d l'applicaion réciproq (voir héorèm 5.3. dans la lçon sr la dérivabilié) mais cli-ci s hors programm. Procédons par changmn d variabl. Soi + fié. Édions la i, lorsq h nd vrs, d l'accroissmn moyn : ln( + h) ln( ) h (On considèr ds valrs d h sffisammn prochs d (h > ) por q ln( + h) ai n sns) D'après.. : ln( + h) ln() = ln + h = ln h + Posons = ln h +, ainsi : = + h Comm la foncion ln s conin n, nos avons : h h = ( ) ln h + = ln() = Donc, lorsq h nd vrs, nd assi vrs. Nos povons donc écrir : Foncions ponnills logarihms Pag 7 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

8 Or, nos savons q : D'où : h ln( + h) ln( ) h = h = h ln h + = h ( ) = p'() = ln( + h) ln( ) = h Ercic : dérminr l'approimaion affin d la foncion ln( + ) a voisinag d..5. Théorèm La foncion ln s sricmn croissan sr + C's n conséqnc immédia d.4. Rmarq : la croissanc d logarihm s radi par : ln() ln(y) y por os y d + C drnièr propriéé sra rès il por éablir ds inégaliés o por résodr ds inéqaions..6. Théorèm Limis a borns d l'nsmbl d définiion ] ; + [ ln() = + + ln() = > La rprésnaion graphiq d ln adm donc n asympo vrical d'éqaion = mais n'adm pas d'asympo horizonal. Soi M +. Posons A = M. Ainsi, par croissanc d la foncion ln d'après.. : A ln() ln(a) ln() M Qlq soi l rél M, il is n rang A a dlà dql ln() M. Cci prov bin : ln() = + + L scond résla n décol simplmn par changmn d variabl : > ln() = + ln = + ln() =.7. Théorèm Ars is faisan inrvnir l logarihm népérin + ln( ) = + ln( ) n = ( n * ) ln() = > n ln() = ( n * ) > ln( ) = Foncions ponnills logarihms Pag 8 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

9 On commnc par éablir l résla + méhods. ln( ) Prmièr méhod n ilisan n i conn sr l'ponnill : On a v q : D'où, n invrsan : Posons = + + =, on n dédira ls sivans. On propos plsirs = + =. Lorsq nd vrs +, assi. La i ci-dsss s'écri alors : Ar méhod : + ln( ) = On a v q por o + : ln() < On p écrir, por o > : ln ( ) < ln() < E por >, on a : < ln() < Comm + < ln( ) =, on a, d'après l héorèm ds gndarms, + On n dédi, comm simpl conséqnc, q por n : + ln( ) n = + ln( ) n < = car + n ln( ) =. = + ln( ) Éablissons mainnan la i sivan à l'aid d'n changmn d variabl d yp = : Ar méhod (por ls connaissrs) On compar avc n inégral : ln() = d d D'où, por > : ln( ) = < > ln() = + ln = + ln( ) = d'après c qi précèd. On n dédi, comm simpl conséqnc q por n : > n ln() = > n ln() = car > n = > ln() = Enfin, por la drnièr i, on p procédr comm dans la démonsraion d héorèm.4. o ilisr l'accroissmn moyn d la foncion ln n =. La i s donc égal a nombr dérivé d la foncion ln n soi : ln( ) Noons q c i p s'écrir sos d'ars forms : h ln( ) ln() = = ln'() = = ln( + h) h = o + ln + = Foncions ponnills logarihms Pag 9 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

10 .8. Corollair Por o foncion polynôm P d dgré spérir o égal à, on a : + ln( ) P ( ) =. Soi n * l dgré d P. Noons P() = n p= p ap (avc a n ) Comm la i n + d'n foncion polynôm P s égal à la i d son rm d pls ha dgré, nos avons : + ln( ) P ( ) = + ln( ) n a n = pisq + ln( ) =. n Empls : Édir la i n + d : ln( + ) Acn i d héorèm.7. smbl convnir por n ll i. Cpndan, on sn bin n air d famill avc la i d changmn d variabl : Or, + + = + D'où, par prodi, + Édir la i n + d : ln( ) n +. L'idé consis à s'y ramnr via l'arific sivan pis n ln( + ) + = + ln( + ) = ln( + ) ln( + ) = + + ln( ) ln( ) En rmarqan q = ( ), nos avons : ln( ) ( ) = ln =... (On a js posé = + ainsi + ) En posan = ( + ), nos obnons : + ln( ) = + ln ( ) = + ln( ) = Par n raisonnmn analog, monrr q : + ln() = Édir la i n, à droi, d : ln() ln( ) Nos somms n présnc d'n form indérminé d yp " ". L'idé s d'écrir : Nos savons, d'n par q : ln() ln( ) = ln() ln( ) > ln() = D'ar par, n posan h = : ln( ) = > ln( + h) = hh h < D'où, par prodi : ln() ln( ) = > Foncions ponnills logarihms Pag G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

11 3. Foncions ponnills d bas a (a > ) 3.. Définiion Soi a n rél sricmn posiif. On appll foncion ponnill d bas a, la foncion ƒ a (noé parfois p a ) défini sr par : ƒ a () = ln( a) On rmarq q, por, on a : ƒ a () = a En ff, cla décol d corollair.. dans lql on a v q por o A + o p : ln(a p ) = p ln(a) Lorsq, on a donc bin : ƒ a () = ln( a) = ln( a ) = a On nora donc, par convnion : a = ln( a) por o C n's pas n convnion ridicl, on vrra ci-dssos q c novll écrir s compaibl avc ls règls slls sr ls posans. On rmarqra la nécssié d la condiion a > por définir ls foncions ƒ a l rôl d la condiion a > por l sns d variaion d cs foncions. Empls : on considèr ls foncions ponnills ƒ g d bass rspcivmn : ƒ() = = ln() g() = = y ln() On a : ln() ƒ'() = ln() > por o rél, donc ƒ s sricmn croissan sr. C ƒ Figr 3 ln() g'() = ln() < por o rél, donc g s sricmn décroissan sr. 3 3 C g p Applicaion : Nos avons v lors d l'éd d logarihm néprin la rlaion : ln ( a ) = p ln(a) (p ) Nos povons mainnan éndr c rlaion à o posan rél : 3.. Règls d calcls ln ( a ) = ln ( ln( a) ) = ln(a) Por os a b d + os y d : a + y = a a y a y = a a y a = ( ) a a y = a y a b = ( ab) a b = a b Foncions ponnills logarihms Pag G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

12 Démonsraions : y a + = ( + y)ln( a) = ln( a) + yln( a) ln( ) ln( ) = a y a = a a y a y = a = ( y)ln( a) ln( a) yln( a) = = ln( a) = = ln( a) a Posons b = a = ln( a). On a : ( ) ln( a) yln( a) = a a a y = b y = = y yln( b) y ln( a) ln( ) = yln( a) = a y a b = ln( a) ln( b) = ln( a) + ln( b) (ln( ) ln( )) = a + b = ln( ab) = ( ab) a b ln( a) = ln( b) = ln( a) ln( b) (ln( ) ln( )) = a b = ln a b = a b Conséqnc : démonsraion d la propriéé : ( ) y = y por os réls y : on appliq simplmn la rlaion ( a ) y = a y avc a = >. Énigm : où s l'rrr dans l calcl sivan : = ( ) = ( ) = (( ) ) Répons : la rlaion ( a ) y = a y n's pas valabl por a =... = ( ) = = 3.3. Théorèm Si a > alors : a = + + a = Si < a < alors : a = + a = + Si a = alors : a = + a = Si a > alors ln(a) = + (pisq ln(a) > ) d'où a = ln( a) = + D mêm ln(a) = donc a = ln( a) =. Si < a < alors ln(a) = (pisq ln(a) < ) d'où a = ln( a) = D mêm ln(a) = + donc a = ln( a) = +. Si a =, l résla s évidn pisq ƒ = sr Théorèm Si a > alors : Si < a < alors : + a = + a = Foncions ponnills logarihms Pag G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

13 Si a > alors : + a = + ln( a) = + ln( a) ln(a) = + ln( a) (pisq ln(a) > + = + ) Si < a < alors : a = ln( a) = ln( a) ln( a) ln(a) = (pisq ln(a) < + = + ) Ercic : Soi a. Rrovr simplmn l résla sivan : + a Nos avons : + = a + ln + a = a ( ) ln + = a = a C i a déjà éé éabli lors d la démonsraion d l'isnc d la foncion ponnill. Or, lorsq nd vrs +, nd vrs nos savons q Donc + a + = ( ) a ln + = a. E n pariclir : + ln( + ) + = ln'() = =. Ercic : édir. 4. Dérivés ds foncions composés d yp ln 4.. Théorèm Soi n foncion dérivabl sr n inrvall I. La foncion défini par s dérivabl sr I : ( ) = ' Si, d pls, s sricmn posiiv sr I, alors la foncion défini par ln s dérivabl sr I : ln'() = conséqnc d héorèm d dérivaion d'n foncion composé. Empls immédias : Dérivr la foncion ƒ sivan sr : ƒ() =. On obin : ƒ'() =. Dérivr sr ] ; + [ : ƒ() = ln + = ln( + ) ln(). On obin : ƒ'() = +. D yps d foncions rès ilisés : ƒ k () = k g k () = k (k + ) Cs foncions s'édin sans pin. On ls rnconrra dans d nombr rcics. Foncions ponnills logarihms Pag 3 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

14 Qlqs hèms : Édir la foncion G défini sr ] ; + [ par G() = ln(ln ()) la foncion F défini sr ] ; [ ] ; + [ par F() = ln( ln() ). Édir la i qand nd vrs + d ln() ln(ln()). Édir ls foncions ln( ± ± ). Empl d'éqaion ranscndan adman n racin évidn : on considèr l'éqaion (E) : ln() =. Monrr q la foncion ƒ : ln() s sricmn croissan précisr ss is n n +. En dédir q l'éqaion (E) adm n niq solion q l'on précisra. Ercic : Soin,. Édir la i lorsq nd vrs d : On écri : = Considérons la foncion ƒ défini sr par ƒ() = λ. La foncion ƒ s dérivabl ƒ'() = λ λ. L'accroissmn moyn d ƒ n s'écri : ƒ() ƒ( ) λ =. Nos avons donc λ = ƒ'() = λ. Ainsi, adm n i n = = ( ) =. 5. Foncions pissancs () 5.. Définiion Soi n rél. On appll foncion pissanc la foncion ƒ défini sr ] ; + [ par : ƒ () = Dans la praiq, cs foncions s'édin sans problèms n écrivan : = ln( ) (On nora la nécssié d définir ƒ sr ] ; + [) Empl : ƒ π () = π = π ln(). 5.. Théorèm Ls foncions pissancs ƒ son dérivabls sr ] ; + [ : ƒ () = () Cs foncions son a programm d TS () mais pas lr éd sysémaiq. Foncions ponnills logarihms Pag 4 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

15 Empl : ƒ π () = ππ. ƒ () = ln, d'où ƒ () = ln = = L sign d dérmin donc l sns d variaion ds foncions ƒ : si > alors ƒ s sricmn croissan sr ] ; + [ si < alors ƒ s sricmn décroissan sr ] ; + [ Lorsq >, nos avons > ln( ) > = = (pisq > ln() = ). > Ls foncions pissancs ƒ son donc (por > ) prolongabls par coninié n. Nos povons donc posr : ƒ () = C's-à-dir, por o rél > : = Cas pariclir : lorsq =, nos avons : ƒ () = = = ƒ () =. La foncion ƒ s donc prolongabl par coninié n. Nos povons donc posr : ƒ () = C's-à-dir : = > Ercic : édir l'applicaion ƒ défini + par ƒ() =. Démonrr q la angn à sa corb a poin d'absciss coïncid avc cll d l'ponnill à la mêm absciss. Applicaion ds foncions pissancs : racin n ièm (n ) : on appll racin n ièm l'applicaion : R n : ] ; + [ ] ; + [ n Por >, on no sovn n n = on a l'éqivalnc : Lorsq n s impair (n = p + ), on p définir la racin n èm sr comm bijcion réciproq (d dans ) d l'applicaion p+. Rmarqons q > n = > y = ln( ) n = (pisq n n ( = y n y > ) > ln() = ). > n La foncion R n s donc prolongabl par coninié n nos povons posr R n () =, c's-à-dir =. Foncions ponnills logarihms Pag 5 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

16 Rprésnaion graphiq ds foncions pissancs : y > Typ = y = 3 < < Typ Figr 4 = y = < 3 Typ Propriéé : lorsq >, ls foncions pissancs son "rangés" dans l mêm ordr q ls posans :... < < < < < < < 3 < π < 4 <... lorsq < <, ls foncions pissancs son "rangés" dans l'ordr invrs ds posans :... < 4 < π < 3 < < < < < < <... C propriéé s démonr aisémn : soin d posans réls ls q <. Comparons : On a Si >, alors ln() >, d'où : < ln() < ln() E comm l'ponnill s n foncion sricmn croissan sr : ln( ) < C's-à-dir : < ln( ) Par conr, si < <, alors ln <, d'où : ln() > ln() ln( ) > ln( ) > Voyons mainnan commn dérivr n prssion d yp : 5.3. Théorèm Soi n rél n foncion sricmn posiiv dérivabl sr n inrvall I. La foncion défini par s dérivabl sr I : ( ) = ' Foncions ponnills logarihms Pag 6 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

17 = ln, d'où ( ) = ln( ) = = ' 6. Croissancs comparés 6.. Théorèm Por os réls sricmn posiifs por o rél a > :. + (ln( )) = n pariclir + ln( ) =. + ( a ) = + n pariclir + = + 3. > (ln( )) = n pariclir > ln( ) = 4. + ( a ) = n pariclir + = C héorèm éan chniqmn difficil à rnir, on li préfèr parfois la règl sivan (à formlr avc mini) : Por ls prodis o qoins indérminés n faisan inrvnir q ds ponnills (d bas a > ), ds pissancs ds logarihms (o ds pissancs d'posans posiifs d c-ci) l'ponnill "l'mpor" sr ls pissancs qi lls-mêms "l'mporn" sr l logarihm... Cs réslas prolongn c déjà éablis dans ls paragraphs "is d référncs" (.4..7.). On écri : Or, + (ln( )) = ln(ln( )) ln( ) = ln( ) = (< ) donc : ln(ln( )) ln( ) + = ln( ) = ln( ) ln( ) = = ln( ) D'où : On n dédi : + (ln( )) + ln( ) = = n pariclir + ln( ) = ( = ). On écri : Or, + ( a ) = ln( a) ln( ) ln( a) ln( ) = = ln( ) ln( a) = ln(a) > (car a > > ) donc : + ln( ) ln( a) = + ln( ) ln( a) C's-à-dir : + ( a ) = + n pariclir + = + (a = = ) Foncions ponnills logarihms Pag 7 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

18 3. Par changmn d variabl : (ln( )) = = ( ln( )) Or, si nd vrs par valrs spérirs, nd vrs +. On a donc : > (ln( )) = + ( ln( )) = + ( ) (ln( )) = d'après. 4. On écri : ( a ) = ln( ) ln( a) = ln( ) ln( a) Or, + ln( ) ln(a) = ln(a) < (car a > > ) donc : + ln( ) ln( a) = C's-à-dir : + ( a ) = pis + = (a = = ) Empls : + (ln( )) π = (cas avc = π = ) +, = (cas 4 avc =, a =, = ) (imprévisibl avc n calclaric!) 7. D'ars logarihms 7.. Définiion Soi a n rél sricmn posiif différn d. On appll logarihm d bas a la foncion, noé log a, défini sr + par : log a () = ln( ) ln( a) La foncion logarihm d bas s la foncion logarihm népérin. La foncion logarihm d bas applé "logarihm décimal", qi s sovn ilisé, s noé pls simplmn log a li d log. Cs foncions porn à js ir l nom d "logarihms" car lls vérifin l'éqaion foncionnll : ƒ(y) = ƒ() + ƒ(y) En ff, por os y dans +, on a : log a (y) = ln( y ) ln( a ) = ln( ) ln( a ) + ln( y ) ln( a ) = log a() + log a (y) On n dédi ls mêm règls d calcls q por l logarihm népérin. Cs foncions son assi dérivabls sr + (pisq la foncion ln l's) por o +, on a : log a( ) = ln( a ) Foncions ponnills logarihms Pag 8 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

19 7.. Un applicaion d logarihm décimal To nir narl n s consié d E(log(n)) + chiffrs Soi p l nombrs d chiffrs d n. Alors : p n < p Comm la foncion log s croissan sr + : E comm log( p ) = plog = p : log( p ) log(n) < log( p ) p log(n) < p D'où : E(log(n)) = p Empl : p = E(log(n)) + L pls grand nombr don on ai prové la primalié s à c jor () : Dérminons d combin d chiffrs il s consié : log(rcord + ) = ( log ( )) Rcord = E + = E( log ) + = L pls grand nombr prmir conn possèd pas loin d millions d chiffrs! 8. Complémn : foncions ch sh 8.. Définiion On défini ls foncions ch (cosins hyprboliq) sh (sins hyprboliq) par : ch() = + sh() = por o Cs foncions s'édin sans pin l'on a noammn : ch'() = sh() sh'() = ch(). () 44èm nombr d Mrsnn (M44) décovr n spmbr 6 par l GIMPS (voir hp://www.mrsnn.org/prim.hm por connaîr l drnir rcord) Foncions ponnills logarihms Pag 9 G. COSTANTINI hp://bacamahs.n/

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