Étudier si une famille est une base

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1 Base raisonnée d exercices de mathématiqes (Braise) Méthodes et techniqes des exercices Étdier si ne famille est ne base Soit E n K-espace vectoriel. Comment décider si ne famille donnée de vecters de E est ne base de E? La première qestion q il fat se poser c est : Est-ce qe la dimension de E est conne et finie? Si non, on doit revenir à la définition Si oi, on commence par regarder le nombre d éléments de la famille : Si ce nombre est différent de la dimension, cette famille ne pet être ne base ; Si ce nombre est égal à la dimension, il sffit de vérifier qe cette famille est libre o génératrice. Atre possibilité : tiliser ne application linéaire bijective Nombre de vecters égal à la dimension : famille libre o génératrice? Por cela, si les vecters sont donnés par lers composantes dans ne base conne on pet Se ramener à étdier n système linéaire o Echelonner la famille de vecters o si on sait le faire, calcler le déterminant de cette famille de vecters. Etdier n système linéaire Por démontrer qe la famille est libre dans le cas où E est de dimension finie n, on se ramène à n système linéaire, En effet, soit (e,..., e n ) ne base de E et ne famille finie (,..., n ) de vecters de E donnés par lers coordonnées dans la base (e,..., e n ) de E. Soientλ,..., λ n des scalaires tels qe λ j j = j n Il s agit de démontrer qe les λ i sont tos nls. Cette éqation vectorielle est éqivalente à n système linéaire d inconnes λ,..., λ n.

2 Base raisonnée d exercices de mathématiqes (Braise) Dire qe (,..., p ) est ne famille libre de E, c est dire qe la sele soltion d système est por tot i, λ i =. Exemple. La famille (, v, w) où = (,, ), v = (,, ) et w = (,, ) est-elle ne base de R 3? Le nombre déléments de la famille est bien égal à la dimension. Démontrons qe cette famille est libre. Soient λ, λ, λ 3 tels qe λ + λ + λ 3 3 =. On abotit à la résoltion d système linéaire : λ + λ + λ 3 = λ + λ λ 3 = λ + λ + λ 3 = La méthode d pivot de Gass condit a système éqivalent sivant : λ + λ + λ 3 = 3λ 3λ 3 = λ 3 = Ce système trianglaire a por niqe soltion λ = λ = λ 3 =. Donc (, v, w) est ne famille libre donc ne base de R 3. Retor a débt Une atre méthode : échelonner la famille de vecters On pet échelonner la famille de vecters, dans le cas où E est de dimension finie égale à n et la famille (,..., n ) est donnée par les coordonnées de chacn de ses vecters dans ne base de E. En échelonnant la famille (,..., n ), on obtient ne famille de vecters pls simple à manipler, engendrant assi Vect(,..., n ). Si cette novelle famille est échelonnée sans apparition de vecters nls a cors de l échelonnement, on pet conclre qe la famille initiale est ne base. (Exemple ) Si cette novelle famille ne comporte pas assez de vecters, on pet conclre qe la famille initiale n est pas génératrice et ainsi ne pet être ne base de E. (Exemple )

3 Base raisonnée d exercices de mathématiqes (Braise) Exemple La famille (, v, w) où = (,, ), v = (,, ) et w = (,, ) est-elle ne base de R 3? On a v w La méthode d échelonnement condit à considérer les dex vecters : v = v et w = w. v w 3 3 A l étape sivante, on termine l échelonnement en calclant w = w v. v w 3 Comme Vect(, v, w) = Vect(, v, w ) et la famille (, v, w ) est échelonnée sans vecters nls. C est donc ne famille libre de 3 vecters et de là ne base de R 3. Ainsi (, v, w) est ne famille génératrice et, de là, ne base de R 3. Retor a débt Exemple La famille (, v, w) où = (,, ), v = (,, ) et w = (,, ) est-elle ne base de R 3? On a v w La méthode d échelonnement condit à considérer les dex vecters : v = v et w = w. v w 3 3 3

4 Base raisonnée d exercices de mathématiqes (Braise) Comme on constate qe w = v, on a Vect(, v, w) = Vect(, v, w ) = Vect(, v ). Pisqe la famille (, v ) ne comporte qe dex vecters, elle ne pet pas engendrer R 3 qi est de dimension 3. Donc (, v, w) n est pas ne base de R 3. Retor a débt Revenir à la définition qand la dimension et la famille sont infinis. On doit alors vérifier qe la famille est libre : il fat s assrer qe por tote combinaison linéaire (finie, bien sûr!) nlle d éléments de la famille, tos les coefficients sont nls. génératrice : tot élément de E est combinaison linéaire (finie, bien sûr!) d éléments de la famille. Retor a débt 4

5 Base raisonnée d exercices de mathématiqes (Braise) Utiliser ne application linéaire bijective Si on connaît ne application linéaire f : V E bijective, c est-à-dire n isomorphisme, et si, por i I, i = f(v i ), où (v i ) i I est ne base de V (finie o non), on en dédit qe ( i ) i I est ne base de E. Retor a débt 5