Séries numériques. Chap. 02 : cours complet.

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1 Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm : critèr d dirgc grossièr Théorèm 3 : séri géométri comlx Défiitio 3 : séri télscoi Théorèm 4 : corgc d séri télscoi Théorèm 5 : combiaiso liéair d séris corgts Théorèm 6 : éialc d corgc cas d rodit ar scalair o l Théorèm 7 : cas d trois séris liés ar somm Théorèm 8 : li tr corgc d séri comlx t cll d ss artis réll t imagiair Séris d réls ositifs Théorèm : rmir critèr d corgc or ls séris à trms réls ositifs Théorèm : règl ds majorats 3 Séris rélls d sig lco séris comlxs Défiitio 3 : séri réll o comlx absolmt corgt Théorèm 3 : li tr corgc t absol corgc Défiitio 3 : séri smi-corgt Théorèm 3 : règl ds éialts Théorèm 33 : séris d Rima Théorèm 34 : règl ds «grads O» ds «tits o» Théorèm 35 : règl ds Théorèm 36 : règl d d Almbrt Théorèm 37 : xotill comlx 4 Séris rélls altrés Défiitio 4 : séri altré Théorèm 4 : critèr sécial ds séris altrés 5 Comlémts Théorèm 5 : Défiitio 5 : Théorèm 5 : Théorèm 53 : Théorèm 54 : (hors rogramm séris d Brtrad rodit d Cachy d dx séris corgc d rodit d Cachy d dx séris absolmt corgts costat d Elr forml d Stirlig Chaitr : Séris méris Cors comlt - -

2 Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Soit ( sit d réls o d comlxs O all séri d trm gééral la sit (S défii ar : La sit (S st assi alé sit ds somms artills d la séri O la ot cor S Défiitio : séri corgt o dirgt Soit ( sit d réls o d comlxs O dit la séri d trm gééral corg si t slmt si la sit (S st corgt Sa limit s ot alors : S lim S t st alé «somm d la séri» Si séri st as corgt o dit ll dirg E cas d corgc o all rst d ordr d la séri la atité : R S S sit (S td rs Chaitr : Séris méris Cors comlt - - t la Rmar : Ls rmirs trms itrit as or la corgc d séri Tos ls critèrs d corgc rstt doc alabls si ls coditios dmadés sot rmlis «à artir d crtai rag» E cas d corgc la alr ds rmirs trms rach ifl sr la somm d la séri Théorèm : coditio écssair d corgc Si la séri réll o comlx corg alors la sit ( td rs à l ifii Démostratio : Si la séri corg alors la sit (S d ss somms artills ar défiitio corg doc la sit (S S - td rs Or : S S - t la sit ( td rs Théorèm : critèr d dirgc grossièr Si la sit réll o comlx ( td as rs alors la séri dirg Démostratio : C st la cotraosé d l imlicatio récédt Théorèm 3 : séri géométri comlx Soit : z Alors z corg si t slmt si : z < t das c cas o a : z Démostratio : Por : z la séri géométri dirg is so trm gééral td as rs z Por : z z o a : z t ctt sit corg si t slmt si : z < z D ls das c cas la somm d la séri at : z z lim z z z

3 Défiitio 3 : séri télscoi U séri réll o comlx st dit télscoi lors so trm gééral t s mttr sos la form : a a où (a st sit d réls o d comlxs Théorèm 4 : corgc d séri télscoi U séri télscoi réll o comlx ac : a a corg si t slmt si (a st sit corgt Das c cas o a : ( lim a a Démostratio : Soit (S la sit ds somms artills d la séri Alors : S a a t l éialc aisi la alr d la limit décol Théorèm 5 : combiaiso liéair d séris corgts Soit t ds séris rélls o comlxs corgts t : ( o O os : w Alors w st séri corgt t o a : w Démostratio : E otat (U (V (W ls sits d somms artills ds séris t w o a : W U V t l résltat s dédit d résltat idti sr ls sits Théorèm 6 : éialc d corgc cas d rodit ar scalair o l Soit séri réll o comlx scalair rél o comlx o l Alors corg si t slmt si t das c cas : Démostratio : Si corg alors assi comm cas articlir d théorèm récédt Si corg alors assi la mltiliat ar Théorèm 7 : cas d trois séris liés ar somm Soit t ds séris rélls o comlxs t : w Alors si dx ds trois séris w corgt la troisièm corg assi Si l dirg a mois l ds dx atrs dirg Démostratio : Si t corgt alors w assi comm somm d dx séris corgts Si (ar xml t w corgt alors assi comm différc La drièr affirmatio st la cotraosé d la récédt Théorèm 8 : li tr corgc d séri comlx t cll d ss artis réll t imagiair Soit z séri comlx ac : z a ib où : (a b Alors z corg si t slmt si a t b corgt t alors : a i Démostratio : E alat (A (B t (Z ls sits d somms artills associés o a : Chaitr : Séris méris Cors comlt z b

4 Z A ib t l résltat décol d mêm résltat sr ls sits comlxs Séris d réls ositifs Défiitio 3 : séri réll o comlx absolmt corgt O dit la séri st absolmt corgt si t slmt si la séri corg Théorèm : rmir critèr d corgc or ls séris à trms réls ositifs Soit séri à trms réls ositifs Ell corg si t slmt si la sit (S d ss somms artills st majoré Démostratio : La sit (S st croissat is : S S Doc la sit (S corg si t slmt si ll st majoré Défiitio 3 : séri smi-corgt O dit séri réll o comlx st smi-corgt lors ll st corgt sas êtr absolmt corgt Théorèm : règl ds majorats Soit t dx séris à trms réls ositifs tlls : corg Alors corg t : Démostratio : otos : U t : V O a alors : V U Or la séri (à trms ositifs corg doc la sit d ss somms artills (mêm commçat à st majoré ar rél M t : V M La sit (V st alors croissat t majoré ar M doc corgt E assat à la limit das l iégalité sr ls somms artills o dédit la drièr iégalité 3 Séris rélls d sig lco séris comlxs Théorèm 3 : li tr corgc t absol corgc U séri réll o comlx absolmt corgt st corgt Pas d réciro Das c cas o a : Démostratio : Cas d séri réll O t osr : ( t o a alors : ( Doc la séri ( st corgt t comm différc d séris corgts assi D ls : t assat à la limit o a bi : Chaitr : Séris méris Cors comlt Cas d séri comlx O os : a ib ac : (a b O costat alors : a t : b Doc ls séris rélls a t b sot absolmt corgts doc corgts (c o it jst d démotrr t fialmt corg assi

5 E tilisat à oa l iégalité triaglair o trmi ac : à la limit o a tojors : t assat Théorèm 3 : règl ds éialts Soit t dx séris rélls dot ls trms d l gardt sig costat à artir d crtai rag t tlls : ~ Alors : ( corg ( corg Démostratio : O sait doc ( t ( ot ds trms d mêm sig à artir d crtai rag t doc itt à ls chagr lr oosé o t sosr lls rstt ositis à artir d crtai rag O t cor écrir : ( ε( ac : lim ε ( 3 3 Doc or : ε ε( t : ( ε( is : Par comaraiso d séris à trms ositifs o dédit doc l éialc d corgc ds dx séris Théorèm 33 : séris d Rima Soit : Chaitr : Séris méris Cors comlt La séri ac corg si t slmt si : > Démostratio : Soit : ac rél ( La séri st télscoi d somm artill : S ( slmt si : D ls : ~ or : Soit maitat : Alors : ~ où o os : t ll corg si t Comm ls séris cosidérés gardt sig costat o dédit corg si t slmt si corg soit : > o cor : > Efi or : o a or ls somms artills : S S Doc la sit (S t corgr is (S S td as rs t (S td rs Théorèm 34 : règl ds «grads O» ds «tits o» Soit t ds séris comlxs tlls soit absolmt corgt Si : O( alors st assi absolmt corg Si d mêm : o( alors st assi absolmt corg Démostratio : Das l rmir cas o sait : M M Doc ar comaraiso d séris à trms ositifs si corg corg assi

6 Das l scod cas o sait : ε où ε st sit i td rs Doc : ε t : c i os ramè a rmir cas Théorèm 35 : règl ds Soit séri réll o comlx Si ( td rs ac : > alors st absolmt corgt Démostratio : Il sffit d rmarr ls hyothèss s réécrit : absolmt corgt o t st Théorèm 36 : règl d d Almbrt Soit séri réll o comlx o ll à artir d crtai rag tll : lim k Si : k < alors corg absolmt k > alors dirg grossièrmt (mêm si : k k o t a riori ri dir Démostratio : Cas : k < Soit : k < k < t osos : ε k k > Alors : Das c cas : k ε t : k k ε doc : k ( k C( k ar séri géométri corgt st absolmt corgt Cas : < k (étllmt ifii Comm récédmmt soit : < k < k Alors adatat la démostratio récédt : gééral d la séri td alors rs doc la séri dirg grossièrmt t la séri état majoré à artir d crtai rag ( k Théorèm 37 : xotill comlx Soit : z z La séri st absolmt corgt! O ot alors : x(z z t ctt foctio coïcid ac l xotill réll sr! t l trm Démostratio : Por z l la séri st éidmmt corgt Por : z * la séri st absolmt corgt tilisat la règl d d Almbrt Soit maitat x rél o l (car das l cas où : x l égalité : x x st immédiat! Alors la forml d Taylor sr [x] (o [x] si : x < garatit : x x c x ]x[ (o ]x[ x c x! (! Or comm c x rst das l itrall ]x[ (o ]x[ la atité idédat d (ar xml : M max( x c x st majoré ar rél M Chaitr : Séris méris Cors comlt - 6 -

7 Doc : x x x M t :! (! x t d (! soit bi l résltat ol x lim x d fait ds croissacs comarés d! 4 Séris rélls altrés Défiitio 4 : séri altré O dit la séri d réls st altré si t slmt si ((- gard sig costat D maièr éialt si t slmt si l sig d chag à cha Théorèm 4 : critèr sécial ds séris altrés Soit séri altré tll : ( st sit décroissat lim Alors corg t sa somm st d sig D ls : R Démostratio : Qitt à rmlacr tot la sit ( ar (- o t sosr : Das c cas tos ls trms sot ositifs t égatifs Alos (S la sit ds somms artills associé à la séri Ls sits (S t (S sot adjacts E fft : S ( S t : S ( S 3 3 Pis : S S sit i td bi rs car xtrait d sit i td rs Doc (S t (S corgt rs la mêm limit L t fialmt (S assi D ls : S S L S S S Doc das c cas L st ositif soit d sig d t arait été égatif si o aait sosé égatif Efi : R L S S S t : R S L S S 5 Comlémts Théorèm 5 : (hors rogramm séris d Brtrad Soit : ( La séri corg si t slmt si : > o : ( > (l( Démostratio : Cas : > Soit : < < Alors : (l( t (l( td rs car : > Chaitr : Séris méris Cors comlt (l( Doc : o c i garatit la corgc d la séri d Brtrad das c (l( cas Cas : > La séri st à trms ositifs doc ll corg si t slmt si la sit d ss somms artills st majoré

8 Or : 3 t [ ] (l( t(l( t dt (l( t(l( t t : dt Pis : 3 3 (l( t(l( t (l( t (l( La sit ds somms artills état majoré la séri d Brtrad st doc corgt Cas : dt D la mêm faço : t [ ] t : t(l( t (l( t(l( t (l( dt Pis : l(l( l(l( t la sit ds somms artills t(l( t (l( td rs doc la séri d Brtrad dirg Cas : < O mior alors écriat : t l trm gééral d la séri st mioré (l( (l( ar l trm gééral d séri ositi dirgt doc la séri d Brtrad dirg Cas : < Pis : t : lim l trm gééral st là cor (l( (l( (l( mioré à artir d crtai rag ar l trm gééral d séri ositi dirgt t la séri d Brtrad dirg Défiitio 5 : rodit d Cachy d dx séris Soit t dx séris rélls o comlxs O all rodit d Cachy d cs dx séris la séri w défii ar : w k k k Théorèm 5 : corgc d rodit d Cachy d dx séris absolmt corgts L rodit d Cachy d dx séris rélls o comlxs t absolmt corgts st séri w absolmt corgt t o a : Démostratio : Por : w w Chaitr : Séris méris Cors comlt La drièr somm ort fait sr tos ls cols : ( ac : Or l smbl d cs cols st icls das {( } Comm d ls ls trms l o ajot rmlaçat l rmir smbl d idics ar l scod sot tos ositifs o a doc : w La sit ds somms artills d la séri à trms ositifs w état majoré la séri w corg t w st absolmt corgt Pis : w t l smbl ds cols cocrés ar ctt drièr somm cotit : E {( } doc st la réio d E t d smbl E

9 Chaitr : Séris méris Cors comlt Doc : ( ( E E w Efi : ( E t : Doc : ( ( E E cs majoratios état jstifiés ar l fait ls séris majorats sot tots corgts Or l rodit i aaraît à la fi st l rodit d dx rsts d ordr d séris corgts t doc c rodit td rs ad td rs t la alr absol d la somm majoré assi Fialmt : ( lim lim E w d où : w Théorèm 53 : costat d Elr La somm artill H d la séri harmoi admt délomt asymtoti i s écrit : ( l( o γ où γ at iro : γ 577 t st alé costat d Elr Démostratio : O os : l( t : Alors la séri st télscoi D ls : l o o La séri st alors absolmt corgt t ar cosét la sit ( corg Si o ot ctt limit γ o t alors écrir : γ ε( où ε st sit i td rs O dédit bi l délomt asymtoti d H aocé Théorèm 54 : forml d Stirlig E o a : ~! π Démostratio : Soit or : *! t : l( l( La séri st télscoi t corg si t slmt la sit (l( corg Or : * l l( l l O tilis alors délomt limité à l ordr t : * o La séri st doc à trms égatifs à artir d crtai rag t so trm gééral st éialt à cli d séri d Rima corgt (o t assi la oir comm la somm d dx séris corgts o absolmt corgts Doc corg rs limit L Par cosét (l( corg rs [L l( ] t ( corg rs rél strictmt ositif K égal à l xotill d la limit récédt d fait d la cotiité d l xotill sr O dédit : ~ K is : K! ~ La alr d K fi t êtr obt assat ar ls itégrals d Wallis

10 O t osr or cla : O motr : I O dédit fialmt : K π ~ is : I π π si ( t dt (! π I! Chaitr : Séris méris Cors comlt - -

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