Cours de Statistiques inférentielles

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1 Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART

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3 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios (sous forme d échatillos) sot ecadrées avec des probabilités de réalisatio. Par exemple, lorsque l o a ue éorme ure avec ue proportio p de boules blaches alors le ombre de boules blaches tirées sur u échatillo de taille est parfaitemet défii. E pratique, la fréquece observée varie autour de p avec des probabilités fortes autour de p et plus faibles lorsqu o s éloige de p. Nous allos chercher à faire l iverse : l iférece statistique cosiste à iduire les caractéristiques icoues d ue populatio à partir d u échatillo issu de cette populatio. Les caractéristiques de l échatillo, ue fois coues, reflètet avec ue certaie marge d erreur possible celles de la populatio Foctio de répartitio La desité de probabilité p(x) ou la foctio de répartitio F (x) défiisset la loi de probabilité d ue variable aléatoire cotiue X. Elles doet lieu aux représetatios graphiques suivates : Figure 1.1 foctio répartitio La foctio de distributio cumulée F (x) exprime la probabilité que X excède pas la valeur x : F (x) = P (X x). De même, la probabilité que X soit etre a et b (b > a) vaut P (a < X < b) = F (b) F (a).

4 4 CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUES Gradeurs observées sur les échatillos L espérace E(X) d ue variable aléatoire discrète X est doée par la formule E(X) = i x i P (x i ). L espérace est égalemet appelée moyee et otée das ce cas µ X. Sa variace σx 2 est l espérace des carrés des écarts avec la moyee : σ 2 X = E[(X µ X ) 2 ] = i (x i µ X ) 2 P (x i ) = i x 2 i P (x i ) µ 2 X. So écart-type σ X est la racie positive de la variace. 1.2 Lois usuelles Loi ormale ou loi de Gauss Ue variable aléatoire réelle X suit ue loi ormale (ou loi gaussiee, loi de Laplace-Gauss) d espérace µ et d écart type σ (ombre strictemet positif, car il s agit de la racie carrée de la variace σ 2 ) si cette variable aléatoire réelle X admet pour desité de probabilité la foctio p(x) défiie, pour tout ombre réel x, par : p(x) = 1 σ 1 2π e 2( x µ σ ) 2. Ue telle variable aléatoire est alors dite variable gaussiee. Ue loi ormale sera otée de la maière suivate N (µ, σ) car elle déped de deux paramètres µ (la moyee) et σ(l écart-type). Aisi si ue variable aléatoire X suit N (µ, σ) alors E(X) = µ et V (X) = σ 2. Lorsque la moyee µ vaut 0, et l écart-type vaut 1, la loi sera otée N (0, 1) et sera appelée loi ormale stadard. Seule cette loi est tabulée car les autres lois (c est-à-dire avec d autres paramètres) se déduise de celle-ci à l aide du théorème suivat : Si Y suit N (µ, σ) alors Z = Y µ σ suit N (0, 1). O ote Φ la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite : avec Z ue variable aléatoire suivat N (0, 1). Propriétés et Exemples : Φ( x) = 1 Φ(x), Φ(x) = P (Z < x) Φ(0) = 0.5, Φ(1.645) 0.95, Φ(1.960) Pour x < 2, ue approximatio de Φ peut être utilisée ; il s agit de so développemet de Taylor à l ordre 5 au voisiage de 0 : Φ(x) ( ) x x3 2π 6 + x5. 40 Iversemet, à partir d ue probabilité, o peut chercher la bore pour laquelle cette probabilité est effective.

5 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 5 Notatio : o otera z α/2 le ombre pour lequel P (Z > z α/2 ) = α/2 lorsque la variable aléatoire suit la loi ormale stadard. risque α valeur critique z α/ coefficiet de sécurité c 99% 98% 95% 90% A l aide des propriétés de la loi ormale stadard, o remarque que le ombre z α/2 vérifie égalemet P (Z < z α/2 ) = P (Z < z α/2 ) = P ( z α/2 < Z < z α/2 ) = P ( Z > z α/2 ) = La somme de deux variables gaussiees idépedates est elle-même ue variable gaussiee (stabilité) : Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates suivat respectivemet les lois N (µ 1, σ 1 ) et N (µ 2, σ 2 ). Alors, la variable aléatoire X + Y suit la loi ormale N (µ 1 + µ 2, σ σ2 2 ) Loi du χ 2 (khi-deux) Défiitio 1 Soit Z 1, Z 2,..., Z ν ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi N (0, 1). Alors la variable aléatoire ν Z2 i suit ue loi appelée loi du Khi-deux à ν degrés de liberté, otée χ 2 (ν). Propositio Sa foctio caractéristique est (1 2it) ν/2. 2. La desité de la loi du χ 2 (ν) est f ν (x) = { 1 2 ν/2 Γ(ν/2) xν/2 1 e x/2 pour x > 0 0 sio. où Γ est la foctio Gamma d Euler défiie par Γ(r) = 0 x r 1 e x dx. 3. L espérace de la loi du χ 2 (ν) est égale au ombre ν de degrés de liberté et sa variace est 2ν. 4. La somme de deux variables aléatoires idépedates suivat respectivemet χ 2 (ν 1 ) et χ 2 (ν 2 ) suit aussi ue loi du χ 2 avec ν 1 + ν 2 degrés de liberté. Preuve Calculos la foctio caractéristique de Z 2 lorsque Z suit N (0, 1). ϕ(t) = E(e itz2 ) = = = 1 2π 1 2π ϕ(t) = (1 2it) 1/2 e itz2 1 2π e z2 /2 dz e 1 2 (1 2it)z2 dz e 1 2 u2 /2 (1 2it) 1/2 dz e posat u = (1 2it)1/2 z Maiteat pour la somme de ν variables Z 2 i idépedates, o a ϕ(t) = (1 2it) ν/2.

6 6 CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUES Motros maiteat que la foctio de desité est correcte. Pour cela, calculos la foctio caractéristique à partir de la desité : ϕ(t) = E(e itx ) = = = = ϕ(t) = 1 2 ν/2 Γ(ν/2) e itx 1 2 ν/2 Γ(ν/2) xν/2 1 e x/2 dx x ( 1/2 it)x dx ν/2 Γ(ν/2) (1/2 it)(1/2 it) ν/ ν/2 Γ(ν/2) (1/2 it) ν/2 1 (1 2it) ν/2 + + u ν/2 1 e u du 0 } {{ } =Γ(ν/2) 0 u ν/2 1 e u du e posat u = (1/2 it)x Calculos maiteat l espérace et la variace. Selo la défiitio de la loi du χ 2, chaque variable Z i suit la loi ormale cetrée réduite. Aisi E(Zi 2) = V ar(z i) = 1 et E( ν Z2 i ) = ν. De même, V (Z i r) = E(Zi 4) (E(Z2 i ))2 = µ 4 1. O sait que pour ue loi ormale cetrée réduite µ 4 = 3 doc V ar(zi 2) = 2 et V ar( ν Z2 i ) = 2ν. La derière propositio est évidete de par la défiitio de la loi du χ 2. Foctio iverse : o peut trouver ue tabulatio de la foctio réciproque de la foctio de répartitio de cette loi das ue table (e aexe) ou sur u logiciel tableur : α χ 2 α;ν (Foctio KHIDEUX.iverse(α; ν)), c est-à-dire la valeur de χ 2 α;ν telle que P (χ 2 (ν) > χ 2 α;ν) = α. Exemple : Pour α = et ν = 5, χ 2 α = = χ ;5. Figure 1.2 foctio χ 2 iverse Loi de Studet Défiitio 2 Soiet Z et Q deux variables aléatoires idépedates telles que Z suit N (0, 1) et Q suit χ 2 (ν). Alors la variable aléatoire T = Z Q/ν suit ue loi appelée loi de Studet à ν degrés de liberté, otée St(ν).

7 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 7 Propositio La desité de la loi de la loi de Studet à ν degrés de liberté est f(x) = 1 Γ( ν+1 2 ) πν Γ(ν/2) 1 (1 + x 2 /ν) ν L espérace est pas défiie pour ν = 1 et vaut 0 si ν 2. Sa variace existe pas pour ν 2 et vaut ν/(ν 2) pour ν La loi de Studet coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite. Remarque : pour ν = 1, la loi de Studet s appelle loi de Cauchy, ou loi de Loretz Loi de Fisher-Sedecor Défiitio 3 Soiet Q 1 et Q 2 deux variables aléatoires idépedates telles que Q 1 suit χ 2 (ν 1 ) et Q 2 suit χ 2 (ν 2 ) alors la variable aléatoire F = Q 1/ν 1 Q 2 /ν 2 suit ue loi de Fisher-Sedecor à (ν 1, ν 2 ) degrés de liberté, otée F (ν 1, ν 2 ). Propositio La desité de la loi F (ν 1, ν 2 ) est f(x) = Γ( ν1+ν2 2 ) Γ(ν 1 /2)Γ(ν 2 /2) ( ) ν1/2 ν1 ν 2 x ν1/2 1 (1 + ν1 ν 2 x) ν1+ν 2 2 si x > 0 (0 sio). So espérace existe que si ν 2 3 et vaut ν 2 ν 2 2. Sa variace existe que si ν 2 5 et vaut 2ν 2 2 (ν1+ν2 2) ν 1(ν 2 2) 2 (ν 2 4). Propositio Si F suit ue loi de Fisher F (ν 1, ν 2 ) alors 1 F suit ue loi de Fisher F (ν 2, ν 1 ). 2. Si T suit ue loi de Studet à ν degrés de liberté alors T 2 suit ue loi de Fisher F (1, ν) Foctios iverses et Tableur Loi Notatio Variable Fct Répartitio V. critique Foctio iverse Gauss N (0, 1) Z loi.ormale.stadard(z) z α loi.ormale.stadard.iverse(1 α) Khi-Deux χ 2 (ν) K 2 khideux(k; ν; 1) χ 2 α;ν khideux.iverse(α; ν; 1) Studet St(ν) T Loi.studet(t; ν; 1) t α;ν Loi.studet.iverse(α; ν) Fisher F (ν 1, ν 2 ) F Loi.f(f; ν 1 ; ν 2 )) f α;ν1,ν 2 iverse.loi.f(α; ν 1 ; ν 2 ))

8 8 CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUES

9 Chapitre 2 Covergeces 2.1 Covergece e probabilité Iégalités utiles Iégalité de Markov simplifiée Soit Y ue v.a.r., g ue foctio croissate et positive ou ulle sur l esemble des réels, vérifiat g(a) > 0, alors E(g(Y )) a > 0, P ( Y a). g(a) Preuve E(g(Y )) = Ω g(y)f(y)dy = Y a g(a) g(y)f(y)dy Y a f(y)dy = g(a)p ( Y a) Y <a g(y)f(y)dy + g(y)f(y)dy Y a car g est positive ou ulle car g est croissate Aisi E(g(Y )) g(a)p ( Y a). Rappel : Iégalité de Bieaymé-Chebyshev Soit X ue variable aléatoire admettat ue espérace E(X) et de variace fiie σ 2 (l hypothèse de variace fiie garatit l existece de l espérace). L iégalité de Bieaymé-Chebychev s éoce de la faço suivate : pour tout réel ε strictemet positif, P ( X E(X) ε) σ2 ε 2. Preuve Voir Cours S3 ou predre Y = X E(X), a = ε et g(t) = t 2 das l iégalité de Markov.

10 10 CHAPITRE 2. CONVERGENCES Covergece e probabilité Défiitio 4 (Covergece e probabilité) O cosidère ue suite (X ) d ue v.a. défiie sur Ω, X ue autre v.a. défiie sur Ω. O dit que la suite (X ) coverge e probabilité vers ue costate réelle l si ε > 0, lim P ( X l > ε) = 0. O dit que la suite (X ) coverge e probabilité vers X si ε > 0, lim P ( X X > ε) = 0. Exemple de la loi biomiale : O réalise expérieces idépedates et o suppose que lors de chacue de ces expérieces, la probabilité d u évéemet appelé succès est p. Soit S le ombre de succès obteus lors de ces expérieces. La variace aléatoire S, somme de variables de Beroulli idépedates, de même paramètre p, suit ue loi biomiale : S B(, p). O s itéresse alors à la variable aléatoire S, proportio de succès sur expérieces, a doc pour espérace E( S S ) = p et pour variace V ( ) = 1 V (S 2 ) = p(1 p). Comme p(1 p) atteit so maximum lorsque p = 1/2, o a aisi p(1 p) 1/4. E appliquat l iégalité de Bieaymé-Chebyshev, il viet P ( S / p ε) p(1 p) ε 2 1 4ε 2. Aisi pour tout ε > 0, il existe η > 0 (plus précisémet η > 1 4ε ) tel que P ( S 2 / p ε) < η ou ecore lim P ( S / p ε) = 0. La variable aléatoire S coverge e probabilité vers p. Théorème Soit (X ) ue suite de variables aléatoires sur le même espace probabilisé (Ω, P ) admettat des espéraces et des variaces vérifiat alors les (X ) coverget e probabilité vers l. lim E(X ) = l et lim V (X ) = 0, Preuve Soit ε > 0. Posos E(X ) = l + u avec lim u = 0. Alors il existe N N tel que : et doc à partir du rag N, N u < ε/2 X E(X ) < ε/2 X l < ε, (2.1) car X l = X E(X ) + E(X ) l X E(X ) + E(X ) l. L implicatio (2.1) peut être ecore écrite sous la forme X l ε X E(X ) ε/2. Par coséquet, e utilisat l iégalité de Bieaymé-Chebyshev, qui ted vers 0 quad ted vers l ifii. P ( X l ε) P ( X E(X ) ε/2) V (X ) (ε/2) 2, Coséquece : Pour que (X ) coverge e probabilité vers X, il suffit que E(X X) 0 et V (X X) 0 lorsque (la démostratio passe par l iégalité de Bieaymé-Chebychev).

11 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART Covergece e moyee quadratique Défiitio 5 Ue suite de v.a.r. (X ) 2 N coverge e moyee quadratique vers ue v.a.r. X si Propriétés : lim E((X X) 2 ) = La covergece e moyee quadratique etraîe la covergece e probabilité. 2. Pour les (X ) sot des variables aléatoires d espérace et de variace fiies, si E(X ) µ et V ar(x ) 0 alors X coverge e moyee quadratique vers µ. Preuve 1. O applique l iégalité de Markov avec Y = X X, a = ε 2 et g(t) = t 2. Il suffit esuite de remarquer que P ( X X 2 > ε 2 ) = P ( X X > ε) et utiliser l hypothèse que lim E((X X) 2 ) = lim E((X µ) 2 ) = lim E(X 2 ) 2µE(X) + µ 2 = lim E(X 2 ) E(X ) 2 = lim V (X ) = Loi faible des grads ombres Théorème Soit (X ) ue suite de variables aléatoires idépedates sur le même espace probabilisé (Ω, P ) ayat ue même espérace mathématique l et des variaces vérifiat lim 2 σ2 i = 0. 1 O pose S = X X alors S coverge e probabilité vers l. Si o cosidère ue suite de variables aléatoires (X ) idépedates défiies sur u même espace probabilisé, ayat même espérace et même variace fiie otées respectivemet E(X) et V (X). La loi faible des grads ombres stipule que, pour tout réel ε strictemet positif, la probabilité que la moyee empirique S s éloige de l espérace d au mois ε, ted vers 0 quad ted vers l ifii. La moyee S coverge e probabilité vers l espérace commue E(X). Preuve O a E(S /) = l et lim V (S /) = lim 1 σ 2 2 i 2.1.1, S / coverge e probabilité vers l. = 0 par hypothèse. Aisi par le théorème 2.2 Covergece e loi Défiitio 6 Soiet (X ) et X des variables aléatoires sur u même espace probabilisé (Ω, P ), de foctios de répartitio respectives F et F ; o dit que les (X ) coverget vers X e loi (et o ote X L X) si e tout poit x où F est cotiue, les F (x) coverget vers F (x). Propriétés : (admises) 1. La covergece e probabilité etraîe la covergece e loi. (X P X) (X L X) 2. Si les (X ) et X sot des variables aléatoires discrètes, alors X coverge e loi vers X si et seulemet si x R, lim P (X = x) = P (X = x). Preuve Il s agit de motrer que si (X ) coverge e probabilité vers X, la suite (F X ) coverge vers F X (respectivemet préalablemet otées F et F ). O utilise le lemme suivat : soiet A, B des variables aléatoires réelles, c u réel et ε > 0. Alors o a l iégalité P (A c) B( c + ε) + P ( A B > ε),

12 12 CHAPITRE 2. CONVERGENCES car P (A C) = P (A c B c + ε) + P (A c B > c + ε) = P (A c B c + ε) P (B c + ε) + P (A c B ε > c) P (B c + ε) + P (A B > ε) car P ( ) 1 P (B c + ε) + P ( A B > ε) car P ( A B > ε) = P (A B > ε) + P (A B < ε) P (A B < ε) De ce lemme, il viet respectivemet pour (A = X, c = x, B = X) puis (A = X, c = x ε, B = X ) P (X x) P (X x + ε) + P ( X X > ε) (2.2) P (X x) P (X x ε) + P ( X X > ε) (2.3) Passos à la démotratio propremet dite. Soit x u poit où F est cotiue. Soit η > 0. Par cotiuité de F X e x, il existe ε > 0 tel que F X (x + ε) F X (x) < η/2 et F X (x ε) F X (x) < η/2. Pour cet ε, de part la covergece de (X ) vers X, il existe 0 tel que, pour tout 0, Aisi par (2.2), et par (2.3), P ( X X > ε) < η/2. F X (x) F X (x) F X (x + ε) + P ( X X > ε) F X (x) F X (x + ε) F X (x) + P ( X X > ε) < η/2 + η/2 = η F X (x) F X (x) F X (x ε) F X (x) P ( X X > ε) η/2 η/2 = η Doc η > 0, 0 tel que 0, F X (x) F X (x) < η. Propositio (Covergece de la loi hypergéométrique vers la loi biomiale) Soit (X N ) ue suite de variables aléatoires sur u même espace probabilisé, de loi hypergéométrique : X N H(N,, p) où et p sot supposés costats. Alors (X N ) coverget e loi, quad N ted vers l ifii, vers X de loi biomiale B(, p) (mêmes valeurs de paramètres). Preuve La probabilité poctuelle de X N est Lorsque N ted vers l ifii avec costat, C N = N(N 1) (N + 1)! P (X N = k) = Ck Np C k Nq CN. = N (1 1 N ) (1 1 N ) 1! N! car (1 m N ) 1 lorsque N ted vers l ifii. De même, lorsque N ted vers l ifii avec p et k fixes, alors Fialemet, C k Np (Np)k k! et C k N(1 p) P (X N = k) pk (1 p) k! k!( k)! (N(1 p)) k. ( k)! = C k p k (1 p) k, ce qui correspod à la probabilité poctuelle d ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B(, p).

13 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 13 C est pour cela que lorsque la populatio (de taille N) est très grade, o peut assimiler la loi d ue variable aléatoire comptat le ombre de réussite sur u tirage sas remise (loi hypergéométrique) à ue loi biomiale (tirage avec remise). Propositio (Covergece de la loi biomiale vers ue loi de Poisso) Soit (X ) ue suite de variables aléatoires biomiales sur u même espace probabilisé : pour tout, X suit B(, p ). O suppose que lim + p = 0 et lim + p = λ. Alors (X ) coverget e loi, quad ted vers l ifii, vers ue loi de Poisso de paramètre λ. Preuve Pour k fixé, ( 1) ( k + 1) P (X = k) = p k k! (1 p ) k = (p ) k (1 p ) (1 1 k! ) (1 k 1 )(1 p ) k O cherche la limite de (1 p ) = exp( l(1 p )) = exp( l(1 p /)). Comme lim + p = λ, o pose p = λ + ε avec lim + ε = 0 et aisi l(1 p /) λ/ doc lim + (1 p ) = e λ. Comme k est fixé, lim + (1 1 k 1 ) (1 )(1 p ) k = 1 Aisi lim P (X λ λk = k) = e + k!, ce qui correspod à la probabilité poctuelle d ue variable aléatoire qui suit ue loi de Poisso P(λ). Il s agit doc d ue covergece e loi e appliquat le poit 2 des propriétés. Corollaire (Applicatio pratique) O peut remplacer B(, p) par P(λ) avec λ = p pour très grad ( > 50) et p très petit (p < 0, 1). 2.3 Covergece des foctios caractéristiques Cotiuité Théorème (théorème de cotiuité de Levy) Soit (X ) ue suite de variables aléatoires de foctios caractéristiques ϕ X et X ue variable aléatoire de foctio caractéristique ϕ X, toutes sur u même espace probabilisé. Si les (X ) coverget e loi vers X alors la suite de foctios (ϕ X ) coverge uiformémet vers ϕ X sur tout itervalle [ a, a]. Iversemet si les (ϕ X ) coverget vers ue foctio ϕ dot la partie réelle est cotiue e 0, alors ϕ est la foctio caractéristique d ue variable aléatoire X vers laquelle les X coverget e loi. O peut le résumer aisi : { t R; ϕ X (t) ϕ X (t)} {X L X} Théorème cetral limite Corollaire (Théorème cetral limite) Soit ue suite (X ) de variables aléatoires défiies sur le même espace de probabilité, suivat la même loi D et dot l espérace µ et l écart-type σ commues existet et soiet fiis (σ 0). O suppose que les (X ) sot idépedates. Cosidéros la somme S = X X. Alors l espérace de S est µ et so écart-type vaut σ et S µ σ coverge e loi vers ue variable aléatoire ormale cetrée réduite.

14 14 CHAPITRE 2. CONVERGENCES Preuve Posos Y i = Xi µ σ. Alors ϕ Yi (t) = ϕ X i µ σ t σ t (t) = ϕ Xi µ( σ ) Pour t fixé, lorsque ted vers l ifii, est ifiimet petit. Ecrivos le développemet limité, au voisiage de 0, de la foctio caractéristique d ue variable aléatoire W : ϕ W (u) = ϕ W (0) + u ϕ W (0) + u2 2 ϕ W (0) + u 2 ε(u) = 1 + i u E(W ) u2 2 E(W 2 ) + u 2 ε(u) E posat W = X i µ, u = t/(σ ), o a E(W ) = E(X i µ) = 0 et E(W 2 ) = E((X i µ) 2 ) = V (X i ) = σ 2 d où t ϕ Xi µ( σ ) = 1 t2 2σ 2 σ2 + 1 ε(t3 /σ 3 ) = 1 t ε i() avec lim + ε i () = 0. Maiteat, posos Z = S µ σ = Y i. L idépedace des X etraîe celle des Y i et aisi ϕ Z (t) = ϕ Yi (t) = exp ( ) l (1 t ε i()) et lim + ϕ Z (t) = e t2 /2 qui est la foctio caractéristique de N (0, 1). Ce théorème établit ue propriété géérale, qui va justifier l importace cosidérable de la loi ormale, à la fois comme modèle pour décrire des situatios pratiques, mais aussi comme outil théorique. Il s éoce aisi : «Soit X 1,..., X i,..., X, ue suite de variables aléatoires idépedates, de moyees µ 1,..., µ i,..., µ, et de variaces s 2 1,..., s 2 i,..., s 2, et de lois de probabilité quelcoques, leur somme suit ue loi qui, lorsque augmete, ted vers ue loi ormale de moyee µ = µ i et de variace s 2 = s i 2. Il y a ue seule coditio restrictive, c est que les variaces soiet fiies et qu aucue e soit prépodérate devat les autres.» La loi ormale comme modèle : preos l exemple du foctioemet d u tour d usiage du bois. Le réglage du tour a pour but d obteir des pièces présetat ue cote bie défiie ; mais o sait que de multiples causes perturbatrices agisset au cours de l usiage d ue pièce : vibratios, usures, variatios de courat... Or si les causes perturbatrices sot ombreuses, si leurs effets itervieet de faço additive, efi si la dispersio provoquée par chacue d elles reste faible par rapport à la dispersio totale, alors le théorème cetral limite sigifie qu o doit observer ue fluctuatio globale très voisie de la loi ormale. Et, comme ce mécaisme d itervetio de causes perturbatrices est très répadu das la ature, il e résulte que la loi ormale occupe e statistique ue place privilégiée covergece de P vers N Corollaire Soit (X ) ue suite de variables aléatoires suivats des lois de Poisso de paramètres λ. Si lim + λ =, alors X λ λ coverge e loi vers N (0, 1).

15 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 15 Preuve O utilise la foctio caractéristique de la loi de Poisso de paramètre λ : ϕ X (t) = e λ(cos t+i si t 1). E utilisat les propriétés de la foctio caractéristique (ϕ ax (t) = ϕ(at) et ϕ X+b (t) = e itb ϕ X (t)), il viet ϕ X λ (t) = e itλ e λ(cos t+i si t 1) puis ϕ X λ (t) = e λ(cos t +i si t 1) λ λ e i t ( λ) λ. Or, lorsque λ ted vers λ l ifii, 1/λ est au voisiage de 0 et cos(t/ λ) 1 (t/ λ) λ ε(λ) si(t/ λ) (t/ λ) + 1 λ ε(λ) avec lim λ ε(λ) = 0. Ou ecore le développemet de l exposat avec 1/λ au voisiage de 0 est e it/ λ 1 = it + (it)2 λ 2λ + 1 λ ε(λ). Aisi λ(cos(t/ λ) + i si(t/ λ) 1) i λt t 2 /2 et ϕ X λ λ (t) e t2 /2, foctio caractéristique de N (0, 1). Applicatio pratique : Pour λ suffisammet grad (disos λ > 1000), la distributio ormale de moyee λ et de variace λ est ue excellete approximatio de la distributio de Poisso de paramètre λ. Si λ est plus grad que 10, alors la distributio ormale est ue boe approximatio si ue correctio de cotiuité est appliquée, c est-à-dire P (X x) lorsque x est u etier positif ou ul est remplacé par P (X x + 0, 5) covergece de B vers N Corollaire (Théorème de Moivre-Laplace) Soit (X ) ue suite de variables aléatoires telles que (X ) B(, p). Alors X p pq coverge e loi vers la variable cetrée réduite Z N (0, 1) ou ecore X coverge e loi vers N (p, pq). Preuve O rappelle que l o a défii ue variable de Beroulli comme ue variable qui pred la valeur 1 avec la probabilité p, et la valeur 0 avec la probabilité (1 p), et motré que sa moyee est égale à p et sa variace à p(1 p). Or o peut cosidérer ue variable biomiale comme la somme de variables de Beroulli. Il résulte du théorème cetral limite que, si est suffisammet grad (e pratique à partir de = 50), la loi biomiale peut être approximée par ue loi ormale de moyee p et de variace p(1 p). C est pourquoi les tables de la loi biomiale s arrêtet gééralemet à = 50. Applicatio pratique : o peut assimiler ue loi biomiale à ue loi ormale dès que p > 15 et q > 15 ou > 30, p > 5, q > Correctio de cotiuité Pour u meilleur résultat, ue correctio de cotiuité peut être appliquée, c est-à-dire P (X x) lorsque x est u etier positif ou ul est remplacé par P (X x + 0, 5). Cela permet égalemet de différecier P (X x) de P (X < x) lorsque l o approche ue loi discrète par ue loi cotiue.

16 16 CHAPITRE 2. CONVERGENCES

17 Chapitre 3 Echatilloage, Estimatios 3.1 Echatilloage Nous allos étudier commet se comporte u échatillo (élémets pris au hasard) das ue populatio dot o coaît les caractéristiques statistiques (lois,...) d ue variable cosidérée X. Das ce cas, predre u échatillo aléatoire de taille cosiste à cosidérer réalisatios de X ou ecore cosidérer variables aléatoires X 1,..., X idépedates, de même loi que X. Défiitio 7 Soit X ue variable aléatoire sur u référetiel Ω. U échatillo de X de taille est u -uplet (X 1,..., X ) de variables aléatoires idépedates de même loi que X. La loi de X sera appelée loi mère. Ue réalisatio de cet échatillo est u -uplet de réels (x 1,..., x ) où X i (ω) = x i Moyee et variace empiriques Défiitio 8 O appelle statistique sur u -échatillo ue foctio de (X 1,..., X ). Défiitio 9 O appelle moyee de l échatillo ou moyee empirique, la statistique otée X défiie par X = 1 X i. Propositio Soit X ue variable aléatoire de moyee µ et d écart-type σ. O a : E(X) = µ, V (X) = σ2. De plus, par le théorème cetral limite, X coverge e loi vers N (µ, σ ) lorsque ted vers l ifii. Preuve E ( 1 ) X i = 1 E(X i ) = 1 Et, e raiso de l idépedace des X i, ( ) 1 V X i = 1 2 V (X i ) = 1 2 µ = µ. σ 2 = σ2 2 = σ2.

18 18 CHAPITRE 3. ECHANTILLONNAGE, ESTIMATIONS Théorème Toute somme de variables aléatoires ormales idépedates est ue variable aléatoire ormale. Aisi, si X N (µ, σ) alors pour toute valeur de, X N (µ, σ/ ). Preuve Il suffit de démotrer le résultat avec deux variables aléatoires, l extesio se faisat de proche e proche. O suppose X 1 et X 2 idépedates de lois respectives N (µ 1, σ 1 ) et N (µ 2, σ 2 ). O obtiet le résultat sur la somme e utilisat les foctios caractéristiques (voir cours S3). Défiitio 10 O appelle Variace empirique, la statistique otée S 2 (X) défiie par S 2 := 1 (X i X) 2. Propositio Soit X ue variable aléatoire d écart-type σ et de momet cetré d ordre 4, µ 4. O a : E( S 2 ) = 1 σ2, V ( S 2 ) = 1 ( ( 1)µ4 3 ( 3)σ 4). De plus, lorsque ted vers l ifii, V ( S 2 ) µ4 σ3. Preuve 1 (X i X) 2 = 1 = 1 = 1 = 1 [(X i µ) (X µ)] 2 (X i µ) 2 2 (X µ) (X i µ) + (X µ) 2 (X i µ) 2 2(X µ) 2 + (X µ) 2 (X i µ) 2 (X µ) 2 D où E( S 2 ) = 1 V (X i ) V (X) = σ 2 σ2 = 1 σ2. Preuve Démotros l autre égalité. O rappelle les otatios : les X i suivet la loi ormale N (µ, σ) et les momets cetrés d ordre k sot défiis par µ k = E((X µ) k ). Aisi µ 1 = 0 et µ 2 = σ 2. O peut écrire S 2 sous la forme S 2 = 1 Xi 2 X 2. (3.1)

19 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 19 D autre part, (X i X j ) 2 = (Xi 2 2X i X j + Xj 2 ) i,j i,j = Xi 2 2 X i X j + i,j i j i = 2 X i Xi 2 2 i j = 2 Xi 2 2(X)(X) (X i X j ) 2 = 2 2 S2 i,j par (3.1). X j j X 2 j O peut doc calculer la variace de S 2 e utilisat la relatio suivate : V ar( S 2 ) = cov( S 2, S 2 ) = 1 (2 2 ) 2 i,j,k,l cov((x i X j ) 2, (X k X l ) 2 ). O calcule alors les différetes covariaces selo la forme des facteurs : de la forme cov((x i X j ) 2, (X k X l ) 2 ) avec i, j, k, l tous différets, de la forme cov((x i X j ) 2, (X k X j ) 2 ) avec i, j, k différets, de la forme cov((x i X j ) 2, (X i X j ) 2 ) avec i, j différets. O remarque que si i = j ou k = l, alors o obtiet ue covariace avec zéro (de la forme cov(0, (X k X l ) 2 )) ou cov((x i X j ) 2, 0) qui est ulle. Commeços par le calcul de cov((x i X j ) 2, (X i X j ) 2 ) avec i j. cov((x i X j ) 2, (X i X j ) 2 ) = E((X i X j ) 4 ) [E((X i X j ) 2 )] 2. O itroduit la moyee µ das le calcul de l espérace : (X i X j ) 4 = [(X i µ) (X j µ)] 4 = (X i µ) 4 4(X i µ)(x j µ) 3 + 6(X i µ) 2 (X j µ) 2 4(X i µ) 3 (X j µ) +(X j µ) 4 E ( (X i X j ) 4) = 2µ 4 8µ 3 µ 1 + 6µ 2 2 = 2µ 4 + 6σ 4 car µ 1 = 0 et µ 2 = σ 2. (X i X j ) 2 = [(X i µ) (X j µ)] 2 E ( (X i X j ) 2) = 2µ 2 = 2σ 2. = (X i µ) 2 2(X i µ)(x j µ) + (X j µ) 2 Aisi, pour i j, cov((x i X j ) 2, (X i X j ) 2 ) = 2µ 4 + 2σ 4. Cotiuos par le calcul de cov((x i X j ) 2, (X k X j ) 2 ) avec i, j, k différets. cov((x i X j ) 2, (X k X j ) 2 ) = E((X i X j ) 2 (X k X j ) 2 ) [E((X i X j ) 2 )E((X k X j ) 2 ] = E((X i X j ) 2 (X k X j ) 2 ) (2σ 2 ) 2.

20 20 CHAPITRE 3. ECHANTILLONNAGE, ESTIMATIONS (X i X j ) 2 (X k X j ) 2 = [ (X i µ) 2 2(X i µ)(x j µ) + (X j µ) 2] [ (X k µ) 2 2(X k µ)(x j µ) + (X j µ) 2] = (X i µ) 2 (X k µ) 2 2(X i µ)(x j µ)(x k µ) 2 + (X j µ)(x k µ) 2 2(X i µ) 2 (X k µ)(x j µ) + 4(X i µ)(x k µ)(x j µ) 2 2(X k µ)(x j µ) 3 +(X i µ) 2 (X j µ) 2 2(X i µ)(x j µ) 3 + (X j µ) 4 = 3(µ 2 ) 2 + µ 4 Aisi, pour i, j, k différets, cov((x i X j ) 2, (X k X j ) 2 ) = µ 4 σ 4. Le derier cas est rapidemet calculé : si i, j, k, l sot différets, alors, par idépedace des X i, cov((x i X j ) 2, (X k X l ) 2 ) = 0. Il reste à compter le ombre de termes das chaque cas préseté. cov((x i X j ) 2, (X k X l ) 2 ) est u terme de la forme cov(x i X j ) 2, (X i X j ) 2 ) lorsque (k = i, l = j) ou (k = j, l = i) avec i j, soit 2( 1) termes. cov((x i X j ) 2, (X k X l ) 2 ) est u terme de la forme cov(x i X j ) 2, (X k X j ) 2 ) lorsque (l = j ou l = i) et k, i, j différets ou (k = i ou k = j) et l, i, j différets, soit (2 + 2)( 1)( 2) termes. i,j,k,l cov = 2( 1)(2µ 4 + 2σ 4 ) + 4( 1)( 2)(µ 4 σ 4 ) [ = 4( 1) 2 µ 4 3 ] 1 σ4 Corollaire S 2 σ 2 µ4 σ 4 coverge e loi vers N (0, 1) lorsque ted vers l ifii Fréquece Soit (X i ).. u échatillo aléatoire de taille ayat ue loi de Beroulli de paramètre p comme loi mère. Alors F = X X est la fréquece de la valeur 1 das l échatillo et F suit ue loi biomiale de paramètres et p. Aisi E(F ) = p et V ar(f ) = pq. Doc, quad ted vers l ifii, F coverge e loi vers N (p, pq ). E effet, ( 1 ) E(F ) = E Xi = 1 E(X i ) = p. ( 1 ) (id) V ar(f ) = V ar Xi = 1 V ar(xi 2 ) = pq 2 = pq.

21 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 21 O peut aussi recalculer la variace par le théorème de Köig : V ar(f ) = E(F 2 ) E(F ) 2 ( [ 1 ] ) 2 = E Xi p 2 1 = 2 E Xi 2 + X i X j p 2 i i j i 1 = 2 E(Xi 2 ) + E(X i X j ) p 2 i i j i (id) 1 = 2 E(Xi 2 ) + E(X i ) E(X j ) p 2 i i = V ar(f ) = j i Exercice : Motrer que E( F (1 F ) ) = pq(1 1/). 1 [ p + ( 1)p 2 ] 2 p 2 car E(Xi 2 ) = 0 2 (1 p) p = p, p(1 p) 3.2 Estimatio paramétrique poctuelle Cette fois il s agit d estimer certaies caractéristiques statistiques de la loi (moyee, variace, foctio de répartitio) au travers d ue série d observatios x 1, x 2,..., x. C est la problématique iverse de l échatilloage. À partir des caractéristiques d u échatillo, que peut-o déduire des caractéristiques de la populatio dot il est issu? L estimatio cosiste à doer des valeurs approximatives aux paramètres d ue populatio à l aide d u échatillo de observatios issues de cette populatio. O peut se tromper sur la valeur exacte, mais o doe la meilleure valeur possible que l o peut supposer Estimateur poctuel O souhaite estimer u paramètre θ d ue populatio (cela peut être sa moyee µ, so écart-type σ, ue proportio p. U estimateur de θ est ue statistique T (doc ue foctio de (X 1,..., X )) dot la réalisatio est evisagée comme ue boe valeur du paramètre θ. O parle d estimatio de θ associée à cet estimateur la valeur observée lors de l expériece, c est-à-dire la valeur prise par la foctio au poit observé (x 1,..., x ). Exemple : pour estimer l espérace E(X) de la loi de X, u estimateur aturel est la moyee empirique X qui produit ue estimatio x, moyee descriptive de la série des valeurs observées.

22 22 CHAPITRE 3. ECHANTILLONNAGE, ESTIMATIONS Qualité d u estimateur Défiitio 11 O appelle biais de T pour θ la valeur U estimateur T est dit sas biais si E(T ) = θ. b θ (T ) = E(T ) θ. Défiitio 12 U estimateur T est dit coverget si E(T ) ted vers θ lorsque ted vers l ifii. Il sera dit cosistat si T coverge e probabilité vers θ lorsque ted vers l ifii. Théorème Si T est coverget et de variace tedat vers 0 lorsque ted vers l ifii alors T est cosistat. Preuve O a, pour tous réels θ et α > 0, T θ > α T E(T ) > α θ E(T ). Si lim E(T ) = θ, alors à partir d u certai rag N, o a θ E(T ) < α 2. Aisi P ( T θ ) > α) P ( T E(T ) > α θ E(T ) ) P ( T E(T ) > α/2) bore supérieure qui ted vers 0 lorsque ted vers l ifii. De faço géérale, o peut écrire 4 Var(T ) (par Bieaymé-Chebishev) α2 T θ = (T E(T )) + (E(T ) θ) aisi la gradeur T E(T ) représete les fluctuatios de T autour de sa moyee et E(T ) θ représete l erreur systématique (biais). Défiitio 13 La qualité d u estimateur se mesure égalemet par l erreur quadratique moyee (ou risque quadratique) défiie par E((T θ) 2 ). Théorème Soit T u estimateur du paramètre θ à étudier. O a : Preuve E((T θ) 2 ) = Var(T ) + [E(T ) θ] 2. E([T θ] 2 ) = E([T E(T ) + E(T ) θ] 2 ) = E([T E(T )] 2 ) + E([E(T ) θ] 2 ) + 2E([T E(T )][E(T ) θ]) = V ar(t ) + (E(T ) θ) 2 car E(T E(T )) = 0. Remarque : Etre deux estimateurs sas biais, le meilleur sera celui dot la variace est miimale (o parle d efficacité). Remarque : Le critère d erreur quadratique moyee est pas parfait mais il est préféré à d autres critères qui semblet plus aturels comme l erreur absolue moyee E( T θ ) car il s exprime e foctio de otios simples comme le biais et la variace et est relativemet facile à maipuler aalytiquemet.

23 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART Quelques estimateurs classiques 1. X est u estimateur sas biais de la moyee µ. So estimatio x est la moyee observée das ue réalisatio de l échatillo. 2. S2 est u estimateur cosistat de σ 2 (mais biaisé). 3. S 2 = S 2 1 est u estimateur sas biais et cosistat de σ 2. So estimatio est s 2 = 1 σ2 e où σ e est l écart-type observé das ue réalisatio de l échatillo. 4. Si p est la fréquece d u caractère, F costitue u estimateur sas biais et cosistat de p. So estimatio est otée f. Remarque : Si la moyee µ de X est coue, T = 1 (X i µ) 2 est u meilleur estimateur de σ 2 que S 2. (Preuve e TD) Estimatio par la méthode du maximum de vraisemblace Soit X ue variable aléatoire réelle de loi paramétrique (discrète ou cotiue), dot o veut estimer le paramètre θ. Alors o défiit ue foctio f telle que : { fθ (x) si X est ue v.a. cotiue de desité f f(x; θ) = P θ (X = x) si X est ue v.a. discrète de probabilité poctuelle P Défiitio 14 O appelle foctio de vraisemblace de θ pour ue réalisatio (x 1,..., x ) d u échatillo, la foctio de θ : L(x 1,..., x ; θ) = f(x 1,..., x ; θ) = f(x i ; θ). Défiitio 15 La méthode cosistat à estimer θ par la valeur qui maximise L (vraisemblace) s appelle méthode du maximum de vraisemblace. ˆθ = {θ / L(ˆθ) = sup L(θ)}. θ Ceci est u problème d optimisatio. O utilise gééralemet le fait que si L est dérivable et si L admet u maximum global e ue valeur, alors la dérivée première s aule e et que la dérivée secode est égative. Réciproquemet, si la dérivée première s aule e θ = ˆθ et que la dérivée secode est égative e θ = ˆθ, alors ˆθ est u maximum local (et o global) de L(x 1,..., x i,..., x ; θ). Il est alors écessaire de vérifier qu il s agit bie d u maximum global. La vraisemblace état positive et le logarithme épérie ue foctio croissate, il est équivalet et souvet plus simple de maximiser le logarithme épérie de la vraisemblace (le produit se trasforme e somme, ce qui est plus simple à dériver). Aisi e pratique : 1. La coditio écessaire permet de trouver la valeur ˆθ. L(x 1,, x ; θ) θ = 0 ou l L(x 1,, x ; θ) θ 2. θ = ˆθ est u maximum local si la coditio suffisate est remplie au poit critique : = 0 2 L(x 1,, x ; θ) θ 2 (ˆθ) 0 ou 2 l L(x 1,, x ; θ) θ 2 (ˆθ) 0.

24 24 CHAPITRE 3. ECHANTILLONNAGE, ESTIMATIONS Exemple 1 : Avec ue loi discrète O souhaite estimer le paramètre λ d ue loi de Poisso à partir d u -échatillo. O a f(x; λ) = λ λx P λ (X = x) = e. La foctio de vraisemblace s écrit x! L(x 1,..., x ; λ) = λxi λ e x i! = e λ Il est plus simple d utiliser le logarithme, la vraisemblace état positive : l L(x 1,..., x ; λ) = l e λ + l La dérivée première s aule pour ˆλ = xi λ xi x i! = λ + l L(x 1,, x ; θ) θ. La dérivée secode 2 l L(x 1,, x ; θ) θ 2 l λxi λ xi x i!. x i! = λ + l λ x i = + x i λ = x i λ 2 Xi l (x i!). est toujours égative ou ulle. Aisi l estimatio doée par Λ = = X coduit à u estimateur du maximum de vraisemblace égal à ˆλ = x. Il est ormal de retrouver la moyee empirique qui est le meilleur estimateur possible pour le paramètre λ (qui représete aussi l espérace d ue loi de Poisso). Exemple 2 : Avec ue loi cotiue O souhaite estimer les paramètres µ et σ d ue loi ormale à partir d u -échatillo. La loi ormale N (µ, σ) a pour foctio desité f(x; µ, σ) = f (µ,σ) (x) = 1 ) ( σ 2π exp (x µ)2 2σ 2. Ecrivos la foctio de vraisemblace pour ue réalisatio d u échatillo de variables idépedates : f(x 1,..., x ; µ, σ) = f(x i ; µ, σ) = ( ) /2 ( 1 2πσ 2 exp (x i µ) 2 Or (théorème de Köig) (x i µ) 2 = (x i x + x µ) 2 = (x i x) 2 + (x µ) 2, où x représete la moyee de l échatillo. Aisi la foctio de vraisemblace peut être écrite sous la forme f(x 1,..., x ; µ, σ) = ( ) /2 ( 1 2πσ 2 exp 2σ 2 (x i x) 2 + (x µ) 2 ( µ l L = ( ) /2 ( 1 l µ 2πσ 2 (x i x) 2 + (x µ) 2 ) ) 2σ 2 = 0 O obtiet doc l estimateur par le maximum de vraisemblace de l espérace : ˆµ = x = x i /. 2σ 2 ). ). 2(x µ) 2σ 2

25 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 25 Pour le secod paramètre, o calcule σ l L = ( ( ) 1 σ 2 l 2πσ 2 (x i x) 2 + (x µ) 2 ) 2σ 2 = σ + (x i x) 2 + (x µ) 2 σ 3 Doc que l o peut traduire par ˆσ 2 = (x i ˆµ) 2 / ˆσ 2 = 1 (x i x) 2. O vérifie que c est bie des maxima locaux : 2 l L µ 2 = /σ 2 0 Au poit ˆσ, 2 l L σ 2 = /σ 2 3 σ 4 ( (x i x) 2 + (x µ) 2 ). 2 l L σ 2 (ˆσ) = /ˆσ2 3 σ 4 (ˆσ2 + (x µ) 2 ) 0. La méthode fourit u estimateur o biaisé de la moyee (E(ˆµ) = µ) mais par cotre, l estimateur de la variace est biaisé (E(ˆσ 2 ) = 1 σ2 ). Néamois l estimateur est asymptotiquemet sas biais.

26 26 CHAPITRE 3. ECHANTILLONNAGE, ESTIMATIONS

27 Chapitre 4 Itervalles de cofiace Au lieu de se doer ue foctio (estimateur) qui doe ue estimatio poctuelle d u paramètre, o cherche u itervalle das lequel se trouve le paramètre étudié avec ue probabilité cotrôlée (et gééralemet grade). 4.1 Estimatio d ue proportio par itervalle de cofiace O cosidère ue populatio telle que pour le caractère observé la proportio p d ue certaie catégorie est icoue. O souhaite estimer cette proportio p de cette populatio à partir d u échatillo de taille dot la fréquece de la catégorie étudiée est f. Soit F la variable aléatoire qui à chaque échatillo de taille associe la fréquece du ombre d élémets qui appartieet à la catégorie choisie. O sait que F suit approximativemet la loi N (p; σ) avec σ = pq/, pour suffisammet grad ( > 30). O dispose de f(1 f) σ = l écart type associé à la fréquece f de l échatillo de taille. O se sert de l estimatio poctuelle de σ puisque p est icoue : f(1 f) σ = σ 1 = 1 = f(1 f) 1. Doc la variable aléatoire Z défiie par : Z = F p σ suit approximativemet ue loi ormale cetrée réduite N (0; 1). O cherche u itervalle de cofiace de la proportio p, c est-à-dire u itervalle tel que la probabilité que la proportio p appartiee pas à cet itervalle soit égale à α où α [0; 1]. O appelle cet itervalle de cofiace avec le risque α ou avec le coefficiet de cofiace c = 1 α. Le risque que l o pred à dire que p appartiet à cet itervalle est doc de α ou ecore la probabilité que p appartiee pas à cet itervalle est le risque α. Détermios cet itervalle de cofiace : O rappelle que l o a défii z α/2 comme état la valeur telle que P (Z > z α/2 ) = α/2 où Z suit N (0; 1). A l aide des propriétés de la loi ormale cetrée réduite, o a P (Z < z α/2 ) = α/2 et P ( z α/2 < Z < z α/2 ) = 1 α 2 α 2 = 1 α.

28 28 CHAPITRE 4. INTERVALLES DE CONFIANCE P ( z α/2 < Z < z α/2 ) = 1 α ( P z α/2 < F p ) < z α/2 = 1 α σ P ( z α/2 σ < F p < z α/2 σ) = 1 α P (F z α/2 σ < p < F + z α/2 σ) = 1 α ( ) f(1 f) f(1 f) P F z α/2 < p < F + z α/2 = 1 α 1 1 L itervalle de cofiace de la proportio p avec u coefficiet de cofiace de 1 α est : ] [ f(1 f) f(1 f) f z α/2 1 ; f + z α/2. 1 Remarque : lorsque est grad, la différece etre et 1 deviet égligeable, aussi la formule deviet ] [ f(1 f) f(1 f) f z α/2 ; f + z α/2. C est la formule la plus courammet utilisée. O peut ecore simplifier : Avec u risque α = 5%, et f 0.5, la formule peut être approchée par ] f 1 ; f + 1 [. 4.2 Moyee O cosidère ue variable aléatoire X suivat N (µ, σ) et X 1,..., X, variables idépedates et de même loi que X. O rappelle que les défiitios de la moyee empirique et la variace empirique corrigée (ou modifiée) sot respectivemet doées par : X = 1 X i et S 2 = 1 1 (X i X) 2. Soit z α/2 le ombre réel positif tel que P ( z α/2 < Z < z α/2 ) = 1 α. D après la propositio 3.1.1, o sait que la variable aléatoire X suit la loi ormale N (µ; σ/ ) d où 1 α = P ( z α/2 < Z < z α/2 ) = P ( z α/2 < X µ σ/ < z α/2) = P ( X z α/2 σ/ < µ < X + z α/2 σ/ ) L itervalle de cofiace pour la moyee d ue populatio de variace σ 2 coue est doé par x z α/2 σ < µ < x + z α/2 σ soit I = ]x z α/2 σ ; x + z α/2 σ [. Cet itervalle reste valable lorsque la variace est icoue et l échatillo très grad.

29 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 29 Propositio La variable ( 1)S2 σ 2 suit ue loi du χ 2 à ν = 1 degrés de liberté. Preuve (partielle) Das la preuve de la propositio 3.1.3, o obtiet E divisat par σ 2, o obtiet (X i µ) 2 = ( Xi µ σ (X i X) 2 + (X µ) 2. ) 2 = (X i X) 2 σ 2 + ( ) 2 X µ σ/. Le premier terme est ue somme de carrés de variables idépedates suivat N (0, 1), le deuxième vaut ( 1)S 2 σ 2 et le derier est u carré d ue variable suivat N (0, 1) d après la propositio sur la moyee empirique. E supposat l idépedace (admise) des variables X et S 2, o peut écrire cette égalité e terme de foctios caractéristiques, où ϕ est la foctio caractéristique de ( 1)S2 σ et où la foctio 2 caractéristique de la loi du χ 2 est utilisée (Propositio 1.2.1) : ou ecore ( ) /2 ( ) 1/2 1 1 = ϕ(t), 1 2it 1 2it ( ) ( 1)/2 1 ϕ(t). 1 2it Aisi, d après la propositio 1.2.1, ( 1)S2 σ 2 suit ue loi du χ 2 à ν = 1 degrés de liberté. Lorsqu o e dispose que de observatios d ue populatio de distributio ormale d écart-type icou, cet itervalle est modifié. E effet, o se base sur la moyee de l échatillo et l écart-type estimé de la populatio pour doer u itervalle de cofiace sur la moyee µ de la populatio. O a X µ S/ St( 1) (loi de Studet à 1 degrés de liberté) car cette variable peut s écrire sous la forme d u produit, e posat Q = ( 1)S2 σ 2, X µ S/ = X µ Q σ/ / 1, variable suivat ue loi de Studet d après la défiitio 2 du Chapitre 1. Aisi cet itervalle est doé par : s s x t α/2 < µ < x + t α/2 où t α/2 = t α/2;( 1) c est-à-dire que ce ombre sera lu das la distributio de Studet au risque α/2 avec ν = 1 degrés de liberté. 4.3 Variace O cosidère la variace empirique modifiée S 2. D après la propositio 4.2.1, o sait que ( 1)S 2 σ 2 χ 2 ( 1). (Loi du χ 2 à ν = 1 ddl)

30 30 CHAPITRE 4. INTERVALLES DE CONFIANCE De plus, P (χ 2 1 α/2 < χ2 < χ 2 α/2 ) = 1 α, D où 21 α/2 1 α = P (χ < ( 1)S2 = P ( ( 1)s 2 χ 2 α/2 < σ 2 < ) σ 2 < χ2 α/2 ) ( 1)s2 χ 2 1 α/2 où χ 2 α/2 = χ2 α/2;( 1) sera lu das la table de χ2 avec ν = 1 degrés de liberté. O cherchera doc les ( ) ( ) valeurs telles que P K 2 > χ 2 α/2;( 1) = α/2, et P K 2 < χ 2 1 α/2;( 1) = α/2.

31 Chapitre 5 Notio de test d hypothèse La descriptio de la réalité e statistiques se fait à l aide de variables qui sot des coloes de valeurs umériques. O se pose souvet la questio de comparer ces variables, de tester si elles sot égales ou différetes, de savoir si o peut cosidérer qu elles correspodet ou o à ue même populatio [sousjacete], si elles correspodet à ue distributio doée, si elles sot coformes à u modèle précis etc. sachat que ces variables et leurs doées e correspodet qu à u échatillo de valeurs. Etat doé qu o e peut jamais être sûr que le résultat des calculs correspod à la réalité, les statisticies et statisticiees ot développé u cadre d aalyse qui permet de predre de telles décisios tout e disposat d ue estimatio du risque de ces décisios. Les tests d hypothèses ot pour buts de clarifier et défiir le cadre rigoureux de ces études, fourir u formalisme précis pour toutes les situatios, savoir si les différeces mises e jeu sot importates ( sigificatives pour u seuil doé) ou o. 5.1 Hypothèse ulle, risques de première et deuxième espèce Le cadre mathématique est celui des évéemets probabilisés où l hypothèse, la comparaiso de départ est covertie e u évéemet itégré à u modèle probabiliste réfutable. O distigue e gééral deux hypothèses seulemet : la première, égalemet ommée hypothèse ulle, otée H 0 est celle où justemet la différece est cosidérée comme ulle (o dira e fait o sigificative, par rapport à u seuil défii plus loi comme risque de première espèce ) ; la secode, complémetaire de la première, regroupat tous les autres cas, est ommée hypothèse alterative et parfois otée H 1. Ue hypothèse doit spécifier ue valeur, disos θ 0 pour u paramètre θ de la populatio. O testera doc H 0 : θ = θ 0. Ue possibilité classique pour l hypothèse alterative est H 1 : θ θ 0, qui teste chaque côté de l égalité (o parlera de test bilatéral). Mais o peut écrire égalemet u autre choix d hypothèse : H 0 : θ θ 0, parfois oté ecore H 0 : θ = θ 0

32 32 CHAPITRE 5. NOTION DE TEST D HYPOTHÈSE et l hypothèse alterative correspodate sera H 1 : θ < θ 0, qui teste u seul côté de l égalité (o parlera de test uilatéral). Le derier cas est facile à trouver : H 0 : θ θ 0 et H 1 : θ > θ 0 (uilatéral égalemet). O peut soit rejeter l hypothèse ulle, soit e pas la rejeter alors qu e fait, soit cette hypothèse est vraie soit elle e l est pas ce qui oblige à utiliser u tableau à 4 cases qui résume l esemble des couples (décisios/réalité) : Décisio / Réalité H 0 est vraie H 0 est fausse e pas rejeter H 0 Vrai Positif Faux Positif rejeter H 0 Faux Négatif Vrai Négatif Ex (Test de grossesse) : Das le cadre d u test de grossesse par autodiagostic, u résultat est qualifié de «faux égatif» lorsqu il idique que la persoe êtes pas eceite, bie que la fécodatio ait eu lieu. A l iverse u test positif erroé -beaucoup plus rare- idique u début de grossesse, alors qu il e est rie. Les cas VN (Rejeter H 0 quad elle est Fausse) et VP (Ne pas rejeter H 0 quad elle est Vraie) sot des boes décisios. Par cotre, FN (Rejeter H 0 quad elle est Vraie) est ommée erreur de première espèce et FP (Ne pas rejeter H 0 quad elle est Fausse) est ommée erreur de deuxième espèce. A chacue de ces erreurs, o associe u risque lié à la probabilité de la décisio : o le omme α pour FP, β pour FN. Il y a aucue raiso de supposer ces risques équivalets et souvet o pred α = 5% (ou 1% quad o veut être plus strict) alors qu il est "habituel" de predre 0.20 pour β. La probabilité de rejeter H 0 alors qu elle est vraie vaut α et est appelé iveau du test (ou seuil). La probabilité de rejeter ue fausse hypothèse ulle est (1 β) qui est appelée la puissace du test. Il faut bie compredre que les tests d hypothèse e permettet pas d accepter H 0 mais seulemet de rejeter H 0. Ne pas rejeter H 0 e sigifie pas que H 0 est vraie mais seulemet que la probabilité qu elle soit fausse est très petite. O est doc e fait jamais vraimet totalemet sûr de rie. Ce qui ous doe e tableau : H 0 est vraie H 0 est fausse o rejet de H 0 cohéret Erreur type II (o rejet à tort) : risque β rejet de H 0 Erreur type I (rejet à tort) : risque α cohéret Das le cadre de tests statistiques, o doit décider si o peut cosidérer par exemple que 0.21 et 0.22 sot proches, si 15% et 20% peuvet être cosidérés comme peu éloigés etc., la loi statistique de la différece etre ces lois état supposée coue, tabulée et cosultable. 5.2 Mécaique des tests d hypothèse Pour réaliser u test d hypothèse, il y a u echaîemet strict d actios à effectuer. Cela commece par la formulatio de l hypothèse das le domaie cosidéré (médical, écoomique, social...) et sa traductio e évéemets probabilistes liés à H 0. O doit esuite cosidérer la statistique d écart (la loi théorique de la différece) et choisir u seuil (alpha) de décisio. O doit esuite calculer la valeur de la statistique d écart pour les valeurs observées puis comparer à la valeur théorique de la statistique d écart pour le seuil choisi et e déduire si o refuse H 0 ou o. Efi, le calcul (ou la lecture) de la p-value associé au dépassemet de la valeur de la statistique d écart permet de coclure de faço fie sur le fait que la différece est sigificative ou o. Le fait de Ne pas rejeter H 0 au risque α sera parfois cofodu par la suite avec O accepte H 0 par abus de lagage, le risque β état pas cosidéré pour ce cours.

33 Chapitre 6 Test d idépedace 6.1 Test d idépedace de deux variables qualitatives Das la plupart des tests que ous veos de préseter, o suppose toujours les valeurs de l échatillo idépedates. C est ue coditio écessaire. Il est doc souvet utile de vérifier cette hypothèse par u test. Ce test met e place ue variable aléatoire qui suit ue loi du χ 2, aussi ce test est appelé Test d idépedace du χ 2. Ce test permet de cotrôler l idépedace de deux caractères das ue populatio doée. O dispose de deux variables aléatoires X et Y, les valeurs possibles de X sot réparties e l modalités (ou classes) X 1,..., X l, celles de Y e k modalités Y 1,..., Y k. Pour chaque itersectio de modalités X i et Y j, u effectif i,j est observé. Aisi l k = i,j. j=1 Hypothèse testée H 0 : «Les variables X et Y sot idépedates». Déroulemet du test : O crée le tableau des effectifs qui est u tableau à double-etrée. A l itersectio de la i-ème lige et de la j-ième coloe, o écrit l effectif i,j. O calcule les effectifs margiaux : S i = j i,j est la somme des termes sur la i-ème lige, T j = i i,j est la somme des termes sur la j-ième coloe. Y j O calcule les effectifs théoriques :. X i i,j S i C i,j = S it j. Remarque : Sous l hypothèse H 0, o a C i,j = i,j. O calcule la valeur de la variable de test : χ 2 c = i,j. T j ( i,j C i,j ) 2 C i,j.

34 34 CHAPITRE 6. TEST D INDÉPENDANCE O cherche la valeur critique χ 2 α das la table de la loi du χ 2 à ν = (l 1) (k 1) degrés de liberté. Décisio : si χ 2 c < χ 2 α, o accepte l hypothèse H 0, sio o la rejette. Vérificatio a posteriori des coditios d applicatio : il faut C i,j 5 pour tous i, j. Exemple : Pour comparer l efficacité de deux médicamets agissat sur la même maladie, mais aux prix très différets, la Sécurité Sociale a effectué ue equête sur les guérisos obteues e suivat chacu des traitemets. Les résultats sot cosigés das le tableau suivat : Les effectifs margiaux sot les suivats : Les effectifs théoriques sot : Médicamet Géérique Guérisos No Guérisos 6 44 Médicamet Géérique Guérisos Aucu Effet Médicamet Guérisos No Guérisos 256 Géérique O calcule χ 2 c = (48 43,45)2 43,45 + ( ,55)2 162,55 + (6 10,55)2 10,55 + (44 39,45)2 39,45 3, 1. La variable de test χ 2 c vaut approximativemet 3,1, alors que la valeur critique, pour u iveau de risque de 5%, est 3,84 (o explore la table du χ 2 à u degré de liberté). O peut doc raisoablemet estimer ici que le taux de guériso e déped pas du prix du médicamet et se poser des questios sur l opportuité de cotiuer à vedre le médicamet cher. 6.2 Test d idépedace de deux variables quatitatives : test de corrélatio ulle Soit r le coefficiet de corrélatio de l échatillo composé de paires d observatios extrait de populatios gaussiees. Il s agit de tester l hypothèse ulle : H 0 : ρ = 0 (corrélatio ulle etre les populatios) au risque α. O peut motrer sous H 0 que la variable aléatoire T = R 2 1 R 2 ν = 2 degrés de liberté. O calculera doc t = r 2 1 r 2, suit ue loi de Studet à puis o cherchera la valeur t α ou t α/2 das la table de loi t de Studet à ν = 2 degrés de liberté tel que P (T 2 > t α/2 ) = α/2 et o adoptera la règle de décisio suivate :

35 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 35 Si l hypothèse alterative est H 1 : ρ 0 (cas bilatéral) : rejet de H 0 au risque α si t ] t α/2 ; t α/2 [ avec ν = 2 degrés de liberté. Si l hypothèse alterative est H 1 : ρ > 0 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si t > t α avec ν = 2 degrés de liberté. Si l hypothèse alterative est H 1 : ρ < 0 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si t < t α avec ν = 2 degrés de liberté.

36 36 CHAPITRE 6. TEST D INDÉPENDANCE

37 Chapitre 7 Tests de coformité e loi 7.1 Cas gééral Test d adéquatio du χ 2 Soit X ue variable aléatoire de loi L (le plus souvet icoue). O souhaite tester l ajustemet de cette loi à ue loi coue L 0 (Poisso, Expoetielle, ormale, etc) reteue comme état u modèle coveable. O teste doc l hypothèse H 0 : L = L 0 cotre l hypothèse H 1 : L L 0. Les observatios de X sot partagées e k classes. O désige par O i l effectif observé de la classe i. Aisi i O i =. Pour chaque classe, l effectif théorique est défii : C i = p(x Classe i /X L 0 ). O calcule la valeur χ 2 c = k Classe 1 2 i k Effectif observé O 1 O 2 O i O k Effectif théorique C 1 C 2 C i C k (O i C i) 2 C i. O compare cette valeur à la valeur théorique χ 2 α lue das la table du χ 2 à ν = k 1 r degrés de liberté où r est le ombre de paramètres de la loi L 0 qu il a fallu estimer. (Exemples : r = 0 si la loi est coue ou imposée, r = 1 pour ue loi de Poisso, r = 2 pour ue loi ormale sas autre précisio) O rejette H 0 lorsque χ 2 c > χ 2 α. Exemple : U pisciculteur possède u bassi qui cotiet trois variétés de truites : commues, saumoées et arc-e-ciel. Il voudrait savoir s il peut cosidérer que so bassi cotiet autat de truites de chaque variété. Pour cela, il effectue, au hasard 399 prélèvemets avec remise et obtiet les résultats suivats : Variétés commue saumoée arc-e-ciel Effectifs O cherche à savoir s il y a équirépartitio des truites etre chaque espèce c est-à-dire o suppose de L 0 est la loi uiforme, ue probabilité de 1/3 pour chaque classe (soit C i = = 133).

38 38 CHAPITRE 7. TESTS DE CONFORMITÉ EN LOI O obtiet χ 2 c = Variétés commue saumoée arc-e-ciel Effectifs O i Effectifs C i ( ) ( ) ( ) La valeur théorique lue das la table du χ 2 au risque de 5% avec ν = = 2 degrés de liberté vaut O e peut rejeter l hypothèse que so bassi cotiet autat de truites de chaque variété car χ 2 c < χ 2 α Test de Kolmogorov-Smirov Comme précédemmet, l objectif est d établir la plausibilité de l hypothèse selo laquelle l échatillo a été prélevé das ue populatio ayat ue distributio doée. Le test de Kolmogorov est "oparamétrique" : il e place aucue cotraite sur la distributio de référece, et e demade pas qu elle soit coue sous forme aalytique (bie que ce soit pourtat le cas le plus courat). Etat doés : 1. U échatillo de taille d observatios d ue variable, 2. Et ue foctio de répartitio de référece F (x), le test de Kolmogorov teste l hypothèse H 0 selo laquelle l échatillo a été prélevé das ue populatio de foctio de répartitio F (x). Pour cela, il calcule sur l échatillo ue quatité D, appelée "statistique de Kolmogorov", dot la distributio est coue lorsque H 0 est vraie. La statistique de Kolmogorov-Smirov D est défiie par D = sup F (x) F (x), x R où F (x) est la proportio des observatios dot la valeur est iférieure ou égale à x (foctio de répartitio empirique). Figure 7.1 Test de Kolmogorov-Smirov Ue valeur élevée de D est ue idicatio que la distributio de l échatillo s éloige sesiblemet de la distributio de référece F (x), et qu il est doc peu probable que H 0 soit correcte. Plus précisémet, ( P sup F (x) F (x) > c x ) + α(c) = 2 r=1 ( 1) r 1 exp( 2r 2 c 2 )

39 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 39 pour toute costate c > 0. Le terme α(c) vaut 0.05 pour c = Pour > 100, la valeur critique du test est approximativemet de la forme c. Les valeurs usuelles de c e foctio de α sot : Si D > c, o rejette H 0. α c Exemple : Ue ouvelle clietèle étragère est attedue das ue statio baléaire. Afi de mieux coaître leurs goûts, des brasseurs ot commadé ue étude de marché. E début de saiso, o demade à vigt de ces ouveaux touristes de doer leur préférece parmi ciq types de bières, de la mois amère (bière 1) à la plus amère (bière 5). A l aide d u test de K-S, le chargé d études décide de comparer les résultats avec ue loi uiforme, c est-à-dire ue situatio où chaque bière aurait eu la préférece de quatre répodats. Les résultats de l equête sot les suivats : O se fixe u risque d erreur de 5%. L hypothèse H 0 à tester est celle de l égalité avec ue loi uiforme. Résumos les écarts etre observatios et répartitio uiforme : Classe Effectif Uiforme Cumul réel Cumul théorique D ,30 0,20 0, ,65 0,40 0, ,80 0,60 0, ,90 0,80 0, ,00 1,00 0,00 La distace la plus élevée s établit à d = 0, 25. O calcule pour = 20 et α = 5% la valeur de c/ 20 = 0, 303. Bie que ces touristes semblet préférer la bière amère, o e peut pas rejeter l hypothèse selo laquelle ils ot pas de préférece particulière. 7.2 Test de ormalité Les tests précédets sot des tests gééraux s appliquat sur importe quelle loi. Lorsque la loi à tester est la loi ormale, o parle de test de ormalité. O cherche à se détermier etre : H 0 : les doées suivet ue loi ormale. H 1 : les doées e suivet pas ue loi ormale Méthodes graphiques : Droite de Hery La droite de Hery est ue méthode pour visualiser les chaces qu a ue distributio d être gaussiee. Elle permet de lire rapidemet la moyee et l écart type d ue telle distributio. Pricipe : O représete les quatiles théoriques e foctio des quatiles observés (Diagramme Q-Q). Si X est ue variable gaussiee de moyee x et de variace σ 2 et si Z est ue variable de loi ormale cetrée réduite, o a les égalités suivates : ( X x P (X < x i ) = P < x ) i x = P (Z < y i ) = Φ(y i ) σ σ

40 40 CHAPITRE 7. TESTS DE CONFORMITÉ EN LOI où y i = xi x σ. (o ote Φ la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite). Pour chaque valeur x i de la variable X, o peut calculer P (X < x i ) puis e déduire, à l aide d ue table de la foctio Φ, y i tel que Φ(y i ) = P (X < x i ). Si la variable est gaussiee, les poits de coordoées (x i ; y i ) sot aligés sur la droite d équatio y = x x σ. Exemple umérique Lors d u exame oté sur 20, o obtiet les résultats suivats : 10% des cadidats ot obteu mois de 4 30% des cadidats ot obteu mois de 8 60% des cadidats ot obteu mois de 12 80% des cadidats ot obteu mois de 16 O cherche à détermier si la distributio des otes est gaussiee, et, si oui, ce que valet so espérace et so écart type. O coaît doc 4 valeurs x i, et, pour ces 4 valeurs, o coaît P (X < x i ). E utilisat la table Table de la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite, o détermie les y i correspodats : x i P (X < x i ) = Φ(y i ) y i 4 0, 10 1, , 30 0, , 60 0, , 80 0, 842 Figure 7.2 Droite de Hery Les poits paraisset aligés. La droite coupe l axe des abscisses au poit d abscisse 11 et le coefficiet directeur est 0.18 eviro, ce qui doerait u écart type de 1/0.18 = 5, 6. Cela laisse peser que la distributio est gaussiee de paramètres µ = 11 et σ = 5.6. Remarque : O peut faire de même e comparat sur u graphique les probabilités cumulées théoriques et les probabilités cumulées empiriques (comparaiso des foctios de répartitio : Diagramme P-P). O est alors das ue sorte de validatio type Kolmogorov-Smirov mais graphique.

41 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART Test Jarque-Bera (ou test de Bowma-Shelto) Le test de Jarque-Bera est u test de ormalité. O pose ( ( ) ) 3 S = E X µ σ Coefficiet d asymétrie : Momet d ordre 3 d ue variable cetrée-réduite ( ( ) ) 4 K = E X µ σ Kurtosis : Momet d ordre 4 d ue variable cetrée-réduite O rappelle qu ue loi ormale a u coefficiet d asymétrie = 0 et ue kurtosis = 3. O peut traduire les hypothèses sous la forme : H 0 : S = 0 et K = 3 H 1 : S 0 ou K 3. O remarque aisi que s il y a rejet, le test e permet pas d e coaître la raiso pricipale (asymétrie ou applatissemet). O calcule JB = 6 (S 2 + ) (K 3)2, 4 où est le ombre d observatios. Il faut que soit suffisammet grad ( > 50). La statistique JB suit asymptotiquemet ue loi du χ 2 à 2 degrés de liberté. Si les doées suivet ue loi ormale, le test s approche alors de 0 et o accepte (e rejette pas) H 0 au seuil α.

42 42 CHAPITRE 7. TESTS DE CONFORMITÉ EN LOI

43 Chapitre 8 Test sur les pourcetages 8.1 Relatio test et itervalles de cofiace U test correspod à costruire u itervalle de cofiace autour d ue valeur à partir d u échatillo et de regarder si sa valeur supposée sous H 0 est fialemet das cet itervalle, costruit à partir d u certai risque. La valeur itéressate pour u test est le risque pris pour rejeter H 0. Cela permet de s assurer de la pertiece (vraisemblabilité) de H 0 ou de H 1. Les lois qui itervieet das les calculs sot les mêmes mais au lieu de costruire u itervalle de cofiace pour chaque risque pris, o compare ue partie fixe (calculée à partir des observatios) avec ue partie e dépedat que du risque pris. 8.2 Test de coformité Soit p r la proportio (valeur coue) possédat le caractère cosidéré das ue populatio de référece. Il s agit de tester si la proportio p d ue autre populatio, dot o a extrait u échatillo de taille et observé ue fréquece f pour ce caractère, correspod à celle d ue populatio de référece, soit H 0 : p = p r H 1 : p p r O cosidère F la variable aléatoire( qui suit les fréqueces observées das les échatillos. Sous H 0, la ) loi de F peut être approchée par N p r,. p r(1 p r) O se fixe α le risque que p p r, ce qui reviet à rechercher u itervalle I cetré sur p r P (p I) = 1 α c est-à-dire P z α/2 < F p r < z α/2 = 1 α. p r(1 p r) tel que O teste doc si la valeur calculée appartiet à l itervalle ] z α/2 ; z α/2 [. z = f p r p r(1 p r)

44 44 CHAPITRE 8. TEST SUR LES POURCENTAGES Figure 8.1 test bilatéral pour α = 5% Décisio : o accepte H 0 si z ] z α/2 ; z α/2 [ au risque α et o rejette H 0 sio. Lorsque ue partie de l hypothèse H 1 est a priori à écarter (o ses, impossibilité), alors le risque e répartit plus de chaque côté de l iégalité mais est réparti sur ue seule partie (o parle alors de test uilatéral). O teste doc uiquemet H 0 : p = p r cotre H 1 : p > p r, ou H 0 : p = p r cotre H 1 : p < p r. o rejettera H 0 lorsque p sera bie plus grad que p r ou respectivemet p sera bie plus petit que p r. Les hypothèses cosidérées sot doc das u cas : ce qui reviet à rechercher u itervalle I tel que P F p r O compare doc la valeur calculée H 0 : p = p r H 1 : p > p r p r(1 p r) z = < z α = 1 α. f p r p r(1 p r) avec ue valeur z α lue das la table de l écart-réduit (lire au risque 2α). Décisio : o accepte H 0 si z ]0; z α [ au risque α et o rejette H 0 sio (z > z α ). Figure 8.2 test uilatéral pour α = 5% Les hypothèses cosidérées sot doc das u secod cas : ce qui reviet à rechercher u itervalle I tel que P z α < H 0 : p = p r H 1 : p < p r F p r p r(1 p r) = 1 α.

45 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 45 O compare doc la valeur calculée z = (lire au risque 2α, et mettre u sige mois) f pr pr (1 pr ) avec ue valeur z α lue das la table de l écart-réduit Décisio : o accepte H 0 si z ] z α ; 0[ au risque α et o rejette H 0 sio (z < z α ). Exemples : Figure 8.3 test uilatéral pour α = 5% 1. test bilatéral (U test bilatéral rejette les valeurs trop écartées) O désire tester le chiffre aocé de 20% des persoes qui écoutet ue certaie émissio radiophoique correspod à la réalité. Ue sodage de 1000 auditeurs doe ue proportio de H 0 : p = 0.2 H 1 : p 0.2 O choisit u test bilatéral car o a aucue idée du pourcetage réel. (z 0.99) 2. test uilatéral à droite (U test uilatéral à droite rejette les valeurs trop grades de la statistique de test) U magicie préted qu il peut souvet devier à distace la couleur d ue carte tirée au hasard d u jeu de cartes bie battu et comportat des cartes de deux couleurs différetes e ombre égal. Sur u échatillo de taille 100, la magicie a obteu 64 succès. Quel iveau de risque pred-t-o pour déclarer que le magicie est pas u imposteur? (z 2.8) H 0 : p = 0.5 H 1 : p > test uilatéral à gauche (U test uilatéral à gauche rejette les valeurs trop petites) O sait que la grippe touche 30% d ue populatio lors d ue épidémie. Pour tester l efficacité d u vacci atigrippal, o vaccie préalablemet 300 persoes. A la fi de la saiso grippale, o déombre ciquate persoes qui ot été atteites par la grippe parmi les vacciés. Ce résultat permet-il d apprécier l efficacité du vacci? (z 5.04) H 0 : p = 0.3 H 1 : p < Test d homogééité Soit X ue variable qualitative preat deux modalités (succès X = 1, échec X = 0) observée sur deux populatios et deux échatillos idépedats extraits de ces deux populatios. O observe ue fréquece f 1 das la populatio 1 de taille 1 et f 2 das la populatio 2 de taille 2.

46 46 CHAPITRE 8. TEST SUR LES POURCENTAGES O fait l hypothèse que les deux échatillos provieet de deux populatios das lesquelles les probabilités de succès sot idetiques. H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 La distributio d échatilloage de la fréquece de succès das la populatio 1, F 1 coverge e loi vers N (p 1 ; p 1 q 1 / 1 ) et de même F 2 coverge e loi vers N (p 2 ; p 2 q 2 / 2 ) (O rappelle que F suit la loi biomiale de paramètres (, p)). Comme F 1 et F 2 sot deux variables aléatoires idépedates, o a E(F 1 F 2 ) = E(F 1 ) E(F 2 ) = p 1 p 2 V (F 1 F 2 ) = V (F 1 ) + V (F 2 ) = p 1q p 2q 2 2 Das les coditios d approximatio de ( B par N ( 1 p 1, 1 q 1 ), 2 p 2, 2 q 2 > 5 et 1, 2 > 30), la variable aléatoire F 1 F 2 suit la loi ormale N p 1 p 2 ; p1q p2q2 2 et aisi la variable ormale cetrée réduite deviet sous H 0, p1q 1 Z = (F 1 F 2 ) (p 1 p 2 ) 1 + p2q2 2 F 1 F 2 Z = ( ). 1 pq La valeur p, probabilité du succès commue aux deux populatios est e réalité pas coue. O l estime à partir des résultats observés sur les deux échatillos : ˆp = 1f f où f 1 et f 2 représetet les fréqueces observées respectivemet pour l échatillo 1 et pour l échatillo 2. Ue valeur observée z de la variable aléatoire Z est calculée de la faço suivate : avec ˆq = 1 ˆp. f 1 f 2 z = ( ) 1 ˆpˆq Cette valeur sera comparée avec la valeur seuil z α lue sur la table de la loi ormale cetrée réduite N (0; 1) pour u risque d erreur α fixé. Décisio : si z ] z α/2 ; z α/2 [, l hypothèse H 0 est acceptée : les deux échatillos sot extraits de deux populatios ayat même probabilité de succès p. si z > z α/2 ou z < z α/2 (ou ecore z ] z α/2 ; z α/2 [) l hypothèse H 0 est rejetée au risque d erreur α : les deux échatillos sot extraits de deux populatios ayat des probabilités de succès différetes respectivemet p 1 et p 2. Remarque : o peut aussi tester u seul côté de l iégalité (H 0 restat p 1 = p 2 ) : o calcule de la même faço f 1 f 2 z = ( ) 1 ˆpˆq puis o décide et coclut selo le cas

47 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 47 Si l hypothèse alterative est H 1 : p 1 > p 2 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si z > z α. Si l hypothèse alterative est H 1 : p 1 < p 2 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si z < z α. Exemple : o veut tester l impact de l assiduité aux travaux dirigés das la réussite à l exame de statistique. groupe 1 groupe 2 Nbre d heures e TD 18 h 30 h Nbre d étudiats Nbre d étudiats ayat réussi à l exame Qu e cocluez-vous? O choisit u test uilatéral car o suppose que la réussite est meilleure avec plus d heures de TD. Aisi o teste l hypothèse : H 0 : p 1 = p 2 cotre H 1 : p 1 < p 2. Calculs : f 1 f 2 z = ( ) = 3, 45 avec ˆp = 0, ˆpˆq Décisio : avec α = 0, 05, la valeur théorique, lue das la table de l écart cetré réduit, vaut z α = 1, 64 (il s agit d u test uilatéral). Comme z < z α, H 0 est rejetée au risque d erreur 0,05. O peut regarder le risque critique, c est-à-dire le risque miimal qu il faut predre pour rejeter H 0. La valeur z = 3, 45 correspod à ue probabilité critique α 0, 001 (p-value). Comme α < 0, 001, le risque d erreur de type I, c est-à-dire de rejeter H 0 alors qu elle est vraie, est très faible. O peut doc rejeter l hypothèse H 0 avec u risque pratiquemet ul de se tromper. Comme espéré, le taux de réussite est sigificativemet plus grad lorsque l assiduité aux TD est plus élevé.

48 48 CHAPITRE 8. TEST SUR LES POURCENTAGES

49 Chapitre 9 Tests sur Moyees et Variaces 9.1 Test sur les moyees Test de coformité O se doe u échatillo de observatios extrait d ue populatio gaussiee de moyee µ. O souhaite tester cette moyee vis-à-vis de la valeur µ 0. Le test de coformité d ue moyee relatif à l hypothèse ulle H 0 : µ = µ 0 sera réalisé e utilisat la moyee X et l écart-type estimé s. O a T = X µ 0 S/ O calcule doc la valeur suit ue loi de Studet à ν = 1 degrés de liberté. t = x µ 0 s/. Décisio : Si l hypothèse alterative est H 1 : µ µ 0 (cas bilatéral) : rejet de H 0 au risque α si t ] t α/2 ; t α/2 [ avec ν = 1 degrés de liberté. Si l hypothèse alterative est H 1 : µ > µ 0 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si t > t α avec ν = 1 degrés de liberté. Si l hypothèse alterative est H 1 : µ < µ 0 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si t < t α avec ν = 1 degrés de liberté. Pour la décisio, il y a deux faços de procéder : Soit o défiit u risque a priori : o utilise assez systématiquemet u risque α = 5% das beaucoup de domaies (biologie, médecie). O l abaisse si écessaire après (das le cas où ue erreur de type I pourrait avoir des coséqueces jugées graves) Soit o se décide sur le risque a posteriori : la plupart des logiciels de statistique doe le risque miimal qu il faut predre pour rejeter H 0. O ote par valeur p (e aglais : p-value), le plus petit iveau de risque auquel o rejette l hypothèse ulle. E d autres termes, la valeur p est la probabilité de commettre ue erreur de première espèce, c est-à-dire de rejeter à tort l hypothèse ulle et doc d obteir u faux égatif. Par exemple das le cas d u test bilatéral, ( ) x µ 0 p-value = 2P s/ > t p/2 H 0 : µ = µ 0.

50 50 CHAPITRE 9. TESTS SUR MOYENNES ET VARIANCES La règle de décisio e sera simplifiée : H 0 sera rejetée lorsque p-value < α. Si la variace de la populatio est coue, l écart-type estimé est remplacé par sa vraie valeur et la valeur théorique est lue das la table de l écart réduit au lieu de la table de Studet (cela correspod à u degré de liberté ifii). Das ce cas, Z = X µ 0 σ/ suit la loi ormale cetrée réduite. O comparera z = x µ0 σ/ à ue valeur lue das la table de l écart réduit. Décisio : Si l hypothèse alterative est H 1 : µ µ 0 (cas bilatéral) : rejet de H 0 au risque α si z ] z α/2 ; z α/2 [. Si l hypothèse alterative est H 1 : µ > µ 0 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si. Si l hypothèse alterative est H 1 : µ < µ 0 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si. Das le derier cas, la valeur p sera ( ) x µ0 p-value = P σ/ < t p H 0 : µ = µ 0 Exemple : Ue compagie de vete de liceces de ouveaux logiciels e-commerce fait la publicité que les etreprises utilisat ce logiciel peuvet obteir, e moyee pedat la première aée, u redemet de 10% sur leurs ivestissemets iitiaux. Les redemets affichés pour u échatillo aléatoire de 10 de ces frachises pour la première aée de foctioemet sot les suivats : 6, 1 9, 2 11, 5 8, 6 12, 1 3, 9 8, 4 10, 1 9, 4 8, 9 E supposat que les redemets de la populatio sot ormalemet distribués, tester l affirmatio de la compagie. ( = 10, x = 8.82, s = 2.4, t = 1.55, p-value = LOI.STUDENT(1.55 ; 9 ;2)=0.1546). O accepte H 0 au risque α = 5% car p-value α. O a cosidéré qu il s agit d u test bilatéral (ce qui peut être cotestable ici). Avec le test uilatéral (H 1 : r < 10%), o rejette à 10% (p-valeur 8%) Test d homogééité : populatios idépedates O s itéresse à la différece etre les moyees µ 1 et µ 2 au sei de deux populatios au travers de deux échatillos idépedats. O suppose que les deux échatillos, respectivemet de 1 et 2 observatios, sot extraits de populatios gaussiees qui ot ue variace (icoue) commue σ 2 c est-à-dire σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2. O testera cette égalité de variace si elle e peut être supposée. O cosidère la variable qui suit les différeces etre X 1 et X 2. Elle suit ue loi ormale de moyee (µ 1 µ 2 ) et de variace Aisi V (X 1 X 2 ) = V (X 1 ) + V (X 2 ) = σ σ2 2 2 = σ2 1 + σ2 2. Z = (X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) suit la loi ormale cetrée réduite. σ σ2 2 Lorsque la variace commue est icoue, o l estime par ŝ 2 = ( 1 1)s ( 2 1)s

51 Cours Proba-Stat / Pierre DUSART 51 Le test d hypothèse utilisera alors ue loi t de Studet : T = (X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) suit ue loi de Studet à ν = degrés de liberté. 1 ŝ L hypothèse ulle (l hypothèse à tester) et l alterative sot les suivates : H 0 : µ 1 = µ 2 ou µ 1 µ 2 = 0 La statistique t est la suivate : t = (x 1 x 2 ), 1 ŝ Décisio : Si l hypothèse alterative est H 1 : µ 1 µ 2 (cas bilatéral) : rejet de H 0 au risque α si t ] t α/2 ; t α/2 [ où t α/2 sera lu avec ν = degrés de liberté. Si l hypothèse alterative est H 1 : µ 1 > µ 2 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si. Si l hypothèse alterative est H 1 : µ 1 < µ 2 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si. Das le cas où les variaces sot icoues mais supposées différetes, le test reste le t de Studet avec u degré de liberté égal à [ ] s 2 ν = 1 / 1 + s 2 2 2/ 2 ( ) s 2 2 ( ) 1 s 2 2. /(1 1 1) + 2 /(2 2 1) O comparera t = (x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s s2 2 2 au risque α avec ue valeur t α ou t α/2 selo le cas (test uilatéral ou bilatéral) lue avec ν degrés de liberté Test d homogééité : populatios appariées O observe u échatillo de paires d observatios que l o otera (x 1, y 1 ),, (x, y ), extraites de populatios de moyees µ X et µ Y. Soit D = X Y et S D les variables aléatoires respectivemet de la moyee observée et de l écart-type estimé des différeces etre les paires des échatillos. O suppose que la distributio des différeces est gaussiee. O se ramèe à tester ue moyee observée et ue moyee théorique : l hypothèse ulle sera et la variable H 0 : µ X µ Y = D 0 O calculera Décisio : D D 0 S D / suit ue distributio t de Studet à ν = 1 degrés de liberté. t = d D 0 s D /.

52 52 CHAPITRE 9. TESTS SUR MOYENNES ET VARIANCES Si l hypothèse alterative est H 1 : µ X µ Y D 0 (cas bilatéral) : rejet de H 0 au risque α si t ] t α/2 ; t α/2 [ avec ν = 1 degrés de liberté. Si l hypothèse alterative est H 1 : µ X µ Y > D 0 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si t > t α avec ν = 1 degrés de liberté. Si l hypothèse alterative est H 1 : µ X µ Y < D 0 (cas uilatéral) : rejet de H 0 au risque α si t < t α avec ν = 1 degrés de liberté. 9.2 Test sur les variaces Test de coformité Il s agit d ue comparaiso d ue variace expérimetale et d ue variace théorique, ou ecore de l étude de l ifluece d u facteur A sur ue populatio P et sur u échatillo. Das la populatio, o coaît la variace σ 2 0 des valeurs. Soit u échatillo E de taille. O calcule das cet échatillo, la moyee x et la variace s 2 expérimetales. Hypothèse ulle : H 0 : σ 2 = σ 2 0 (la variace expérimetale de l échatillo est coforme à celle de la populatio) Hypothèse alterative H 1 : σ 2 σ 2 0 (test bilatéral) H 1 : σ 2 > σ 2 0 (test uilatéral) H 1 : σ 2 < σ 2 0 (test uilatéral) Sous l hypothèse que la distributio des doées das la populatio est ormale, la variable aléatoire suit ue loi du χ 2 à ν = 1 degrés de liberté. Y 2 = 1 σ0 2 S 2 O calcule y 2 = 1 σ s 2 et o compare cette valeur à ue valeur lue das la table du χ 2 à ν = 1 degrés 2 de liberté. Décisio Das le cas d u test bilatéral, Si 30 (la table e cotiet pas des degrés de liberté supérieurs à 30), o cherche a tel que P (χ 2 < a) = α/2 (ou P (χ 2 a) = 1 α/2 et b tel que P (χ 2 b) = α/2. Aisi Figure 9.1 Loi χ 2 : Zoes de rejet de l hypothèse ulle Si y 2 ]a; b[, o rejette H 0 (la variace expérimetale est pas coforme à la variace théorique : la variace expérimetale est différete de celle de la populatio). Sio H 0 est pas rejetée. Rie e permet de dire que la variace expérimetale est pas coforme à la variace de la populatio.