[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

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1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel. Exercice 6 [ 475 ] [correctio] Si est u etier, le ratioel H = 1 k peut-il être etier? Exercice 7 [ 647 ] [correctio] a) Motrer l existece et l uicité des suites d etiers a ) N et b ) N vérifiat 1 + ) = a + b Exercice [ 93 ] [correctio] Motrer que est pas u ombre ratioel b) Calculer a b. c) Motrer que pour tout N, il existe u uique p N tel que 1 + ) = p + p 1 Exercice 3 [ 94 ] [correctio] ) Calculer. E déduire l existece d irratioels a, b > tels que a b soit ratioel. Exercice 4 [ 95 ] [correctio] Soit f : Q Q telle que x, y Q, fx + y) = fx) + fy) a) O suppose f costate égale C quelle est la valeur de C? O reviet au cas gééral. b) Calculer f). c) Motrer que x Q, f x) = fx). d) Etablir que N, x Q, fx) = fx) et gééraliser cette propriété à Z. e) O pose a = f1). Motrer que x Q, fx) = ax. Exercice 5 [ 47 ] [correctio] Motrer que ) 1/ ) 1/3 5 3 est u ratioel. O coseille d effectuer les calculs par ordiateur. Exercice 8 [ 1975 ] [correctio] [Irratioalité de π] a) Pour a, b N, motrer que la foctio polyomiale P x) = 1! x bx a) et ses dérivées successives preet e x = des valeurs etières. b) Etablir la même propriété e x = a/b c) Pour N, o pose I = π P t) si t dt Motrer que I. d) E supposat π = a/b, motrer que I Z. Coclure. Exercice 9 [ 3668 ] [correctio] [Irratioalité de e r pour r Q ] a) Pour a, b N, motrer que la foctio polyomiale P x) = 1! x bx a) et ses dérivées successives preet e x = des valeurs etières. b) Etablir la même propriété e x = a/b c) O pose r = a/b et pour N I = r P t)e t dt Motrer que I. d) E supposat e r = p/q avec p, q N, motrer que qi Z. Coclure. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés Nombres réels Exercice 1 [ 98 ] [correctio] Soit a [1, + [. Simplifier a + a 1 + a a 1 Exercice 11 [ 99 ] [correctio] Soit f : R R ue applicatio telle que : 1) x, y) R, fx + y) = fx) + fy) ) x, y) R, fxy) = fx)fy) 3) x R, fx) a) Calculer f), f1) et f 1). b) Détermier fx) pour x Z puis pour x Q. c) Démotrer que x, fx). E déduire que f est croissate. d) Coclure que f = Id R. Exercice 1 [ 344 ] [correctio] Soiet N et x 1,..., x R. O suppose x k = x k = Motrer que pour tout k 1,..., }, x k = 1. Iégalités Exercice 13 [ 3643 ] [correctio] Soiet x, y [, 1]. Motrer x + y xy 1 Exercice 14 [ 96 ] [correctio] Motrer a, b R, ab 1 a + b ) Exercice 15 [ 97 ] [correctio] Motrer a, b, c R, ab + bc + ca a + b + c Exercice 16 [ 34 ] [correctio] Motrer u, v, 1 + uv 1 + u 1 + v Exercice 17 [ 345 ] [correctio] Soiet N, a 1... a et b 1... b des réels. Etablir 1 Partie etière a k ) 1 ) b k 1 Exercice 18 [ 1 ] [correctio] Motrer que la foctio partie etière est croissate. a k b k Exercice 19 [ 11 ] [correctio] Motrer x, y R, x + y x + y x + y + 1 Exercice [ 1 ] [correctio] Motrer x, y R, x + x + y + y x + y Exercice 1 [ 13 ] [correctio] Soiet N et x R. Motrer x = x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 3 Exercice [ 14 ] [correctio] Motrer que x R, N, Exercice 3 [ 15 ] [correctio] Soit a b R. Etablir 1 x + k = x k= Card[a, b] Z) = b + 1 a Exercice 4 [ 16 ] [correctio] Soit N. a) Motrer qu il existe a, b ) N tel que + 3) = a + b 3 et 3b = a 1 b) Motrer que la partie etière de + 3) est u etier impair. Exercice 5 [ 3416 ] [correctio] Démotrer N, [ ] = [ 4 + ] e otat [x] la partie etière d u réel x. Bore supérieure, bore iférieure Exercice 6 [ 17 ] [correctio] Soit A = 1) + 1 } + 1 / N Motrer que A est borée, détermier if A et sup A. Exercice 7 [ 19 ] [correctio] Soiet A et B deux parties o vides de R telles que a, b) A B, a b Motrer que sup A et if B existet et que sup A if B. Exercice 8 [ 18 ] [correctio] Soiet A et B deux parties o vides et borées de R telles que A B. Comparer if A, sup A, if B et sup B. Exercice 9 [ 11 ] [correctio] Soiet A et B deux parties de R o vides et majorées. Motrer que sup A, sup B et supa B) existet et supa B) = maxsup A, sup B) Exercice 3 [ 111 ] [correctio] Soiet A et B deux parties o vides et majorées de R. O forme A + B = a + b/a, b) A B} Motrer que A + B est majorée et supa + B) = sup A + sup B Exercice 31 [ 113 ] [correctio] Pour N, o pose f x) = x 1 x). Détermier lim sup + x [,1] f x) Exercice 3 [ 5 ] [correctio] Soit A ue partie o vide et miorée de R. O pose Détermier la bore iférieure de B. Exercice 33 [ 347 ] [correctio] Soit f : R R. Etablir m = if A et B = A ], m + 1] sup if fx, y) if x R y R sup y R x R fx, y) Exercice 34 [ 114 ] [correctio] Détermier 1 if x x ) ) } /x 1,..., x > x 1 x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 4 Equatios et systèmes Exercice 35 [ 115 ] [correctio] Résoudre les équatios suivates d icoue x R : a) x = x 1 [1] b) 3x = x [π] c) x = [π] avec N ) Exercice 36 [ 116 ] [correctio] Observer que x = est solutio d ue équatio de la forme x 3 = αx + β avec α, β R. Résoudre cette derière et détermier x. Exercice 37 [ 117 ] [correctio] Résoudre les systèmes d icoue x, y) R : a) x + y = 1 x + xy = b) x + y = 1 xy = 1 c) x = y y = x Exercice 38 [ 118 ] [correctio] Résoudre les systèmes suivats d icoue x, y, z) R 3 : x + y z = 1 x + y z = 1 x + y + z = 1 a) x y + z = b) x y + z = c) x y + 3z = xyz = 3x y + z = 3 x y + z = 3 Exercice 39 [ 119 ] [correctio] Résoudre le système x ay + z = x + a + 1)z = 3 x + ay + 3z = 4 d icoue x, y, z) R 3, a désigat u paramètre réel. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Correctios 5 Correctios e) O peut écrire x = p/q avec p Z et q N. Exercice 1 : [éocé] Soit x u ratioel et y u irratioel. Par l absurde : Si z = x + y est ratioel alors y = z x est ratioel par différece de deux ombres ratioels. Or y est irratioel. Absurde. or doc fx) = fp 1 q ) = pf1 q ) a = f1) = fq 1 q ) = qf1 q ) Exercice : [éocé] Par l absurde supposos Q. O peut alors écrire = p/q avec p, q N et, quitte à simplifier, p et q o tous les deux pairs. O a alors q = p. p est alors écessairemet pair car p est pair. Cela permet d écrire p = k avec k N puis q = k. Mais alors q est pair. Par suite p et q sot tous les deux pairs. Absurde. Exercice 3 : [éocé] ) = = Si est ratioel, c est gagé avec a = b =. Sio, o pred a = et b =. Exercice 4 : [éocé] a) La relatio fx + y) = fx) + fy) avec f costate égale à C doe C = C + C d où C =. b) Pour x = y =, la relatio fx + y) = fx) + fy) implique f) =. c) Pour y = x, la relatio fx + y) = fx) + fy) doe = f x) + fx) d où f x) = fx). d) Par récurrece : N, x Q, fx) = fx) Pour Z, = p avec p N et fx) = f px) = fpx) = pfx) = fx) puis f 1 q ) = a q fx) = ap q = ax Exercice 5 : [éocé] O défiit le ombre x étudié x:=/3+41/81*sqrt5/3))ˆ1/3)+/3-41/81*sqrt5/3))ˆ1/3); Attetio à défiir les racies cubiques par des exposats 1/3 avec parethèses. O peut commecer par estimer la valeur cherchée evalfx); Nous allos chercher à élimier les racies cubiques. Pour cela o calcule x 3 expadxˆ3); Das l expressio obteue, o peut faire apparaître x par factorisatio du terme ) 1/ ) 1/ Simplifios ce terme simplify/3+41/43*sqrt15))ˆ1/3)* /3-41/43*sqrt15))ˆ1/3), assume=positive); O obtiet ) 1/ ) 1/ Développos selo a b)a + b) = a b 486ˆ-13ˆ*15)ˆ1/3); doe 961. Efi ifactor961); permet de coclure que ) 1/ /3 15) = 7 7 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Correctios 6 Aisi x est solutio de l équatio x 3 = x E séparat les termes d idices pairs de ceux d idices impaires 1 + ) = a + b E factorisat le polyôme sous-jacet factorxˆ3-7/9*x-4/3); o obtiet 3x 4)3x + 4x + 3) = Puisque 3x + 4x + 3 >, o peut coclure x = 4/3 avec les etiers a = p ) p p et b = p+1 p + 1 O peut aussi raisoer par récurrece e mettat à jour ue expressio de a +1 et b +1 e foctio de a et b ) p a +1 = a + b Exercice 6 : [éocé] Le calcul des premiers termes de la suite H ) permet de cojecturer que H est le rapport d u etier impair par u etier pair. Ceci assurera H / Z. Démotros la propriété cojecturée par récurrece forte. Pour =, c est immédiat. Supposos la propriété établie jusqu au rag 1. Cas impair. O peut écrire = k + 1 et puisque par hypothèse de récurrece H 1 s écrit p + 1)/q, o obtiet H = H 1 + 1/ égale au rapport d u etier impair par u etier pair. Cas est pair. O peut écrire = k avec k puis H = 1 H k k 1 Par hypothèse de récurrece, H k est le rapport d u etier impair par u etier pair, doc 1 H k aussi. De plus, comme etrevu das l étude du cas précédet, l ajout de l iverse d u etier impair coserve la propriété. Aisi H est le rapport d u etier impair par u etier pair. Récurrece établie. Exercice 7 : [éocé] a) Par la formule du biôme de Newto 1 + ) ) k = k k= b +1 = a + b L uicité proviet de l irratioalité de. E effet si 1 + ) = a + b = a + b avec a, b, a, b etiers, o obtiet b b) = a a Si b b alors o peut exprimer comme égal à u ombre ratioel. C est absurde et il reste b = b et doc a = a. b) Par la formule du biôme de Newto, o obtiet de même 1 ) = a b et alors a b = 1 + ) 1 ) = 1) O peut aussi raisoer par récurrece e exploitat l expressio de a +1, b +1 ) e foctio de a, b ). c) L uicité est évidete compte teu de la stricte croissace de la foctio p p + p 1. Si est pair alors a = 1 + b. Pour p = a, + 1) = a + b = p + p 1 Si est impair alors b = a + 1. Pour p = b, + 1) = b + a = p + p 1 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Correctios 7 Exercice 8 : [éocé] a) est racie de multiplicité de P doc m <, P m) ) = Le polyôme P est de degré doc P m) m >, P m) ) = = pour tout m > et aisi Reste à traiter le cas m. E développat par la formule du biôme ) 1 P x) = a) k b k x +k! k Puisque P m) b) O remarque doc c) O a I = 1! k= ) est doé par la dérivatio du terme x m, o obtiet ) P m) ) = 1 a) m b m + m)! Z! m x R, P a/b x) = P x) m N, P m) π d) Par l absurde, supposos π = a/b. Par itégratio par parties successives [ m I = 1) k 1 sit + kπ/)p k 1) t) Doc I = [ + a/b) = 1) m P m) ) Z t bt a) si tdt 1! π+1 b π + a ) 1) k 1 sit + kπ/)p k 1) t) ] π ] π + 1) m π = + + sit + mπ/)p m) t) dt 1) k sikπ/)p k 1) Comme I Z et I, la suite I ) est statioaire égale à. Or sur [, π] la foctio t P t) sit) est cotiue, positive sas être ulle et < π doc I >. Absurde. π)+p k 1) )) Z Exercice 9 : [éocé] a) est racie de multiplicité de P doc m <, P m) ) = Le polyôme P est de degré doc P m) m >, P m) ) = = pour tout m > et aisi Reste à traiter le cas m. E développat par la formule du biôme ) 1 P x) = a) k b k x +k! k Puisque P m) b) O remarque doc c) O a k= ) est doé par la dérivatio du terme x m, o obtiet ) P m) ) = 1 a) m b m + m)! Z! m I = 1! x R, P a/b x) = P x) m N, P m) r d) Par itégratio par parties et e répétat l opératio O e déduit qi = a/b) = 1) m P m) ) Z t bt a) e t dt 1! r+1 br + a) I = [ P t)e t] r r P t)e t dt I = m= [ m= 1) m P m) t)e t ] r ) 1) m P m) r)p P m )q Z + Or sur [, r] la foctio t P t)e t est cotiue, positive sas être ulle et < r doc I >. Aisi qi, qi > et qi Z : c est absurde. Notos qu o e déduit immédiatemet l irratioalité de l r pour r Q + \ 1}. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Correctios 8 Exercice 1 : [éocé] Posos O a x = a + a 1 + a a 1 x = a + a 4a 1) = a + a ) Si a [1, ] alors x = a + a) = 4 doc x =. Si a [, + [ alors x = 4a 1) puis x = a 1. Exercice 11 : [éocé] a) f) = f + ) = f) + f) doc f) =. x R, fx) = f1.x) = f1)fx) Comme f est o ulle, o a f1) = 1. f1) + f 1) = f) = doc f 1) = 1. b) Par récurrece sur N : f) =. De plus f ) = f 1) ) = f 1) f) = f) = doc Pour x Q, x = p q avec p Z, q N, Or fp) = p et x Z, fx) = x fx) = fp 1 q ) = fp) f1 q ) 1 = f1) = fq 1 q ) = fq) f1 q ) = q f1 q ) doc f 1 q ) = 1 q. Par suite fx) = x. c) x, fx) = f x x) = f x) ) Pour x, y R, si x y alors Aisi f est croissate. d) Pour x R et N : fy) = fx + y x) = fx) + fy x) fx) Ex) x < Ex) + 1 Comme f est croissate : puis f Ex) Ex) + 1 ) fx) < fex) ) fx) < Ex) + 1 A la limite, quad +, o obtiet x fx) x i.e. fx) = x. Fialemet f = Id R. Exercice 1 : [éocé] O a x k 1) = x k x k + 1 = et puisqu ue somme de quatités positives est ulle que si chaque quatité est ulle, o obtiet 1 k, x k = 1 Exercice 13 : [éocé] Sachat x x et y y, o a x + y xy 1 x + y xy 1 = x 1)1 y) Exercice 14 : [éocé] a b) doe ab a + b Exercice 15 : [éocé] Sachat o obtiet xy x + y ab + bc + ca 1 a + b ) + 1 b + c ) + 1 c + a ) = a + b + c Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Correctios 9 Exercice 16 : [éocé] Compte teu de la positivité des membres, le problème reviet à établir soit ecore ce qui découle de la propriété 1 + uv ) 1 + u)1 + v) uv u + v u v ) D autre part x < x + 1 et y < y + 1 doc puis x + y < x + y + x + y < x + y + Puisque cette iégalité cocere des etiers, o peut trasformer cette iégalité stricte e l iégalité large suivate x + y x + y + 1 Exercice 17 : [éocé] Par somme de quatités positives, o a a k a l )b k b l ) = 1 k,l 1 k,l E séparat la somme e quatre, o obtiet et o e déduit a k b k a k a k b k ce qui doe l iégalité demadée. l=1 a k b k a l b k a k b l + a l b l ) b l + a k a l b l l=1 b k Exercice : [éocé] Si x x < x + 1/ et y y < y + 1/ alors x + y = x + y, x = x et y = y puis relatio voulue. Si x + 1/ x < x + 1 et y y < y + 1/ alors x + y = x + y + 1, x = x + 1 et y = y puis la relatio voulue Si x x < x + 1/ et y + 1/ y < y + 1 : aalogue Si x + 1/ x < x + 1 et y + 1/ y < y + 1 alors x + y = x + y +, x = x + 1 et y = y + 1 puis la relatio voulue. Das tous les cas la relatio proposée est vérifiée. Exercice 18 : [éocé] Soit x y R. x x doc x y or x Z doc x y car y est le plus grad etier iférieur à y. Exercice 19 : [éocé] Puisque x x et y y, o a x + y x + y Par défiitio, x + y est le plus grad etier iférieur à x + y, o a doc déjà x + y x + y Exercice 1 : [éocé] O a x x puis x x, or x x est croissate doc x x x x doc x x puis x x car x Z. Par suite x x puis x x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Correctios 1 et fialemet x x = avec a +1 = a + 3b et b +1 = a + b de sorte que 3b +1 a +1 = a + 3b = 1 Exercice : [éocé] Posos m = x et réalisos la divisio euclidiee de m par : m = q + r avec r 1. O a q + r x < q + r + 1 doc pour tout k,..., 1} : q + k + r x + k < q + k + r + 1 Si k + r < alors x + k = q et si k + r alors x + k = q + 1. Par suite 1 k= x + k = r 1 k= x + k + 1 k= r Exercice 3 : [éocé] Si a / Z alors [a, b] Z = a + 1, a +,..., b } doc Or car a / Z doc Card[a, b] Z) = b a 1 a = 1 + a = a Card[a, b] Z) = b + 1 a Si a Z alors [a, b] Z = a, a + 1,..., b } doc car 1 a Z. x + k = q + r = m = x Card[a, b] Z) = b a + 1 = b + 1 a Exercice 4 : [éocé] a) Par récurrece sur N. Pour = 1, a 1 = et b 1 = 1 covieet. Supposos la propriété établie au rag 1. Récurrece établie. b) a 1 b 3 < a doc a 1 + 3) < a doc C est u etier impair. + 3) = a 1 Exercice 5 : [éocé] Soit p u etier strictemet supérieur à O a doc < p 4 + ) < p + 1) ) Puisque les ombres comparés sot des etiers, o a aussi c est-à-dire et o e déduit 4 + ) + 1 p + 1) ) + 1) p + 1) ) 4 + p Or le carré d u etier e peut qu être cogru à ou 1 modulo 4. O e déduit et doc 4 + < p 4 + < p Aisi, il existe pas d etiers compris etre et 4 + doc [ ] = [ 4 + ] + 3) +1 = + 3)a + b 3) = a+1 + b +1 3 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

11 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Correctios 11 Exercice 6 : [éocé] N, 1 1) doc A est borée. A est ue partie de R o vide et borée doc if A et sup A existet ) est plus grad élémet de A et doc sup A = max A =. A est clairemet miorée par 1 et 1) p p+ 1 doc il existe ue suite d élémets de A qui coverge vers 1 doc if A = 1. Exercice 7 : [éocé] Soit b B. Puisque a A, a b la partie A est majorée par b. A est ue partie de R o vide et majorée par b doc sup A existe et sup A b. B est ue partie de R o vide et miorée par sup A doc if B existe et sup A if B. Exercice 8 : [éocé] A et B sot des parties o vides et borées de R doc les bores sup et if cosidérées existet. Pour tout a A, o a a B doc a sup B. sup B majore A doc sup A sup B. Pour tout a A, o a a B doc if B a. if B miore A doc if B if A. Efi, puisque A, if A sup A. Exercice 9 : [éocé] A, B, A B sot des parties de R o vides et majorées doc sup A, sup B, supa B) existet das R. Pour tout x A B o a x maxsup A, sup B) doc supa B) maxsup A, sup B) Puisque A, B A B o a sup A, sup B supa B) doc puis l égalité. maxsup A, sup B) supa B) Exercice 3 : [éocé] A et B sot deux parties o vides et majorées de R doc sup A et sup B existet. Pour tout x A + B, o peut écrire x = a + b avec a A et b B. O a x = a + b sup A + sup B, doc A + B est majorée par sup A + sup B A + B est ue partie de R o vide et majorée doc sup A + B existe et sup A + B sup A + sup B Pour tout a A et tout b B, a = a + b) b supa + B) b doc A est majorée par supa + B) b d où Par suite sup A supa + B) b b supa + B) sup A et B est doc majoré par supa + B) sup A et par suite Fialemet puis l égalité. Exercice 31 : [éocé] La foctio f est dérivable avec O e déduit les variatios avec x = sup B supa + B) sup A sup A + sup B sup A + B f x) = x 1 1 x) x = x 1 + 1)x +1 [, 1] et M = x x 1 f x) M sup f x) = 1 1 ) 1 x [,1] Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

12 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Correctios 1 Exercice 3 : [éocé] Puisque m + 1 e miore pas A, la partie B est o vide. De plus B A doc la bore iférieure de B existe et if A if B Soit x A, si x m + 1 alors x B et doc x if B. Si x > m + 1 alors à ouveau x if B. Aisi if B miore A et doc if A if B Fialemet Exercice 33 : [éocé] Soit y R. O a pour tout x R doc puis Exercice 34 : [éocé] O exploite pour obteir sup if if A = if B if fx, y) fx, y ) y R x R y R fx, y) sup fx, y ) x R sup if fx, y) if x R y R sup y R x R x i x j + x j x i = x i + x j x i x j 1 x x ) ) = x 1 x fx, y ) i,j=1 Puisque que pour x 1 =... = x = 1 o obtiet 1 x x ) ) = x 1 x x i x j o peut coclure 1 if x x ) ) } /x 1,..., x > = x 1 x Exercice 35 : [éocé] a) x = x 1 [1] x = 1 [1] x = 1 [ [1], S = Z. b) 3x = x [π] 4x = [π] x = 1 π ] 4, S = kπ+ 4 /k Z }. ] c) x = [π] x =, S = kπ /k Z}. Exercice 36 : [éocé] O remarque [ π x 3 = 6x est solutio apparete de cette équatio. x 3 6x 4 = x 4)x + 4x + 1) Les solutios de l équatio sot 4, + i 6, i 6. Le ombre x correspod à la seule solutio réelle doc x = 4. Exercice 37 : [éocé] a) Si x, y) est solutio alors ) xx + y) = doc x = ou y = x. Si x = alors 1) doe y = ±1/. Si y = x alors 1) doe x = ±1/ 3. Iversemet : ok Fialemet : S =, 1/ ),, 1/ ), 1/ 3, 1/ 3), 1/ 3, 1/ 3) }. b) Si x, y) est solutio alors 1) ) doe x y) = d où x = y puis 1) doe x = y = ± 1. Iversemet : ok. Fialemet S = 1/, 1/ ), 1/, 1/ ) }. c) Si x, y) est solutio alors 1) et ) doet x 4 = x d où x = ou x = 1. Si x = alors y =. Si x = 1 alors y = 1. Iversemet : ok. Fialemet S =, ), 1, 1)}. Exercice 38 : [éocé] a) Si x, y, z) est solutio alors 3) doe x =, y = ou z =. Si x = alors y = 3, z = 5. Si y = alors x = 3, z = 1. Si z = alors x = 5 3, y = 1 3. Iversemet : ok. Fialemet S =, 3, 5), 3,, 1 ), 5 3, 1 3, )}. b) S = 8 9, 4 9, 9)} 7. c) S = 5 4, 3 8, 8)} 1. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

13 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Correctios 13 Exercice 39 : [éocé] O a x ay + z = x ay + z = x ay + z = x + a + 1)z = 3 ay + az = 1 ay + az = 1 x + ay + 3z = 4 ay + z = 1 1 a)z = Si a = 1 alors le système a pour solutio les triplets 3 z, 1 z, z) avec z R Si a 1 alors le système équivaut à x ay = ay = 1 z = Si a =, il y a pas de solutios. Si a, 1 alors le système possède pour solutio l uique le triplet 3, 1/a, ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

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