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1 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios du théorème du poit fixe8 Pour accéder À u poit de ce meu, il suffit de cliquer dessus Covergeces / - le théorème du poit fixe - Page sur 9 La tavere t de l'irladais vous présete L'ejeu O l'effleure e Termiale Scietifique avat d'y reveir l'aée suivat le Bac Le théorème du poit fixe est u ÉocÉ qui permet sous certaies coditios de détermier la limite d'ue suite défiie par récurrece Il est assez rare que ce théorème soit clairemet ÉocÉ e Termiale Scietifique Cepedat il est tout aussi rare qu'il e soit pas employé Ce cours a ÉtÉ coçu das ue double optique : s'adresser À la fois aux persoes qui veulet tout savoir et À celles que seul l'emploi pour les suites itéresse Les premières parcourrot tout le documet Les secodes irot directemet au derier paragraphe Ce cours a ÉtÉ coçu comme ue aveture ameat le lecteur au théorème du poit fixe e passat par celui de Bolzao-Weierstrass Il s'achève sur l'étude d'exemples d'utilisatios de ce premier Ue icroyable aveture racomptée par JÉrÔme ONILLON - Secod volet de la série "Covergeces" - Ce secod volet de la série "Covergeces" s'adresse doc À des persoes ayat le iveau Termiale Scietifique A l'istar des autres chapitres de la tavere de l'irladais, il va au-delà des programmes Seul le paragraphe Utilisatios est susceptible d'être du programme de Termiale S Note : Ce documet est exclusivemet mis e lige par le site web "la tavere de l'irladais" Il e peut faire l'objet d'aucue distributio commerciale Seule ue diffusio restreite est autorisée Il est fouri tel que sas aucue garatie E aucu cas, il e peut Être cosidéré comme u documet de référece ou officiel Si vous découvriez ue possible erreur, merci de me la sigaler par de l'auteur : Editio du samedi 6 juillet 003 Ce documet a ÉtÉ coçu et rédigé par JÉrÔme ONILLON e août 00 et est exclusivemet distribué par la tavere de l'irladais (http://wwwtaopahcom)

2 Suites extraites Ue suite ( u ) est ue famille ifiie de ombres idexée sur l'esemble des etiers aturels Le premier de ces ombres est le terme de rag 0, le secod celui de rag, le troisième DÉfiitio d'ue suite extraire v est ue sous-suite ou ue suite extraite de Dire que la suite ( ) ( ) u sigifie qu'il existe ue applicatio croissate telle que pour tout etier, v = u () L'applicatio porte le om d'extractrice Covergeces / - le théorème du poit fixe - Page sur 9 : N ջ N strictemet De maière pratique, ue sous-suite de ( u ) est ue ouvelle suite costituée À partir des termes de cette derière Par exemple, la suite ( u ) est ue suite extraite de ( ) u Elle est costituée À partir des termes de rag pair de cette derière Ici l'extractrice est l'applicatio strictemet croissate ( ) = De même, ( u + ) est ue sous-suite de ( ) u formée À partir de ses termes de rag impair L'extractrice est ici ( ) = + ( u 3) ou ( 3 ) u + sot d'autres suites extraites de ( ) u Cepedat rie e dit qu'ue suite extraite doive Être aussi régulière au iveau de ses idices La seule chose qu'impose la défiitio est que l'applicatio soit strictemet croissate Ue autre otatio de suite extraite que sera utilisée, est ( p ) N Ici ( ) N u p est ue suite d'etiers aturels strictemet croissate O extrait ici tous les termes de la suite d'idice p Aisi si l'o utilisait cette otatio pour la suite ( u + ), la suite ( p ) N serait défiie pour tout etier par, p = + Le théorème de BolzaoWeierstrass Ce théorème Éoce u résultat qui peut paraître surpreat : quad ue suite est borée, o peut toujours e extraire ue suite covergete Comme ous le verros, cela est dû au fait qu'ue suite est ifiie ThÉorÈme de Bolzao-Weierstrass u est borée alors o peut e extraire ue Si ue suite réelle ( ) suite qui elle sera covergete Doos u exemple d'applicatio de ce théorème La suite ( u ) défiie pour tout etier par u = ( ) est borée par les ombres - et Elle est aussi clairemet divergete Par cotre, les suites extraites ( u ) et ( u + ) sot clairemet toutes les deux covergetes : la première vers et la secode vers - Pour les Étourdis, précisos que pour tout etier : u = et u+ = Les deux suites extraites sot statioaires De même, les suites (si()) et (cos()) État borées, o peut e extraire deux suites covergetes Ue chose que e dit pas le théorème est commet les obteir Remarque : le théorème précise que l'o peut extraire au mois ue suite Cela dit, rie e dit qu'il y e ait plusieurs comme das l'exemple ci-dessus Ce documet a ÉtÉ coçu et rédigé par JÉrÔme ONILLON e août 00 et est exclusivemet distribué par la tavere de l'irladais (http://wwwtaopahcom)

3 La preuve du théorème de BolzaoWeierstrass Covergeces / - le théorème du poit fixe - Page 3 sur 9 Das les deux cas, la différece etre a et b est la moitié de celle existat etre a 0 et b 0 Notre actio reposera sur le fait que lorsque l'o partage ue ifiité e deux, il e résulte toujours ue autre ifiité Nous savos que la suite ( u ) est borée Appelos m l'u de ses miorat et M l'u de ses majorats Clairemet, chaque u se trouve das l'itervalle [m ; M] O pose : a 0 = m et b 0 = M Partageos cet itervalle e deux e so milieu Il e résulte deux itervalles : m M m + m+ M ; et ;M I Les deux compères réalisat ue partitio de [m ; M], ils se u partaget les ÉlÉmets de la suite ( ) L'u des deux e possède Écessairemet ue ifiité de termes u Si c'est I, o pose alors : a = m et J m+ M b = telque u I u dot les De plus, o appelle p le miimum de { } p désige doc le plus petit idice de la suite ( ) termes figuret das l'itervalle I Si c'est J, o Écrit que : m+ M a = et b = M Et das ce cas, p désige le plus petit idice de la suite ( u ) dot les termes figuret das l'itervalle J Puis o recommece le processus avec l'itervalle [ ; ] a b Nous savos qu'il cotiet ue certaie ifiité de termes u Comme précédemmet, partageos otre itervalle e deux Il e résulte deux sous-parties : a b a + a + b ; et ;b I Chaque a ; b, se trouve soit das l'u, soit das l'autre Quoiqu'il e soit, l'u des deux À Écessairemet ue ifiité de termes u Disos que c'est I O costruit alors les ombres a, b et p u figurat das l'itervalle [ ] e Écrivat que : a = a a + b b = p est le plus petit idice > p tels que u I LÀ ecore remarquos que la différece etre a et b est la moitié de celle existat etre a et b Aisi : b a b0 a0 b a = = 4 Puis o recommece le cirque avec l'itervalle [ ; ] Et aisi de suite, jusqu'à la fi des temps J a b Avec ce processus sas cesse répété, o costruit plusieurs suites Deux suites ( a ) et ( ) L'itervalle [ ; ] b qui ot les propriétés suivates a b cotiet ue ifiité de termes u Ce documet a ÉtÉ coçu et rédigé par JÉrÔme ONILLON e août 00 et est exclusivemet distribué par la tavere de l'irladais (http://wwwtaopahcom)

4 La suite ( a ) est croissate et majorée par le réel M Doc elle est covergete Appelos L sa limite b est décroissate et miorée par le réel m La suite ( ) Doc elle est covergete Appelos L' sa limite La différece etre a et b est Égale À la moitié de celle etre a et b Aisi : b a b a b0 a0 b a = = = = 4 Il est clair que lorsque ted vers l'ifii, la différece b ted vers 0 a Doc les deux suites covergetes ( ) limites Égales : c'est L pour les deux Covergeces / - le théorème du poit fixe - Page 4 sur 9 a et ( ) b ot des O costruit Égalemet ue suite strictemet croissate d'etiers p qui a pour particularité : aturels ( ) Pour tout etier aturel, [ a ; b ] p u Aisi doc, pour tout etier aturel, ous avos que : a u b La suite ( p ) N p u qui est extraite de la suite ( u ) N a et ( b ) qui ot la même limite coicée etre ( ), est doc E applicatio du théorème des gedarmes, ous pouvos doc affirmer que la suite ( u p ) est covergete et que sa limite est N L Ce qui démotre le théorème! Foctio Kcotractate Avat de ous attaquer au théorème du poit fixe, ous allos défiir ce qu'est ue foctio (ou ue applicatio) K-cotractate DÉfiitio de la cotractace I est u itervalle et K u réel strictemet positif Dire que la foctio f : I ջ est K-cotractate sigifie que pour tous les réels x et y de l'itervalle I, o a l'iégalité : f(x) f(y) Kx y Est par exemple cotractate, la foctio affie f (x) = x + 5 E effet, pour tout réels x et y, o a l'iégalité : f(x) f(y) x y La foctio f est -cotractate sur x + U autre exemple d'applicatio cotractate est f(x) = x + Pour le prouver, il faut majorer la différece f(x) f(y) par x y fois ue costate DÉmotros-le sur l'itervalle [ 0 ;+ [! Pour tout réels positifs x et y, o peut Écrire que : f(x) (x + )( y + ) (y + )( x + (x + )( y + ) Ce documet a ÉtÉ coçu et rédigé par JÉrÔme ONILLON e août 00 et est exclusivemet distribué par la tavere de l'irladais (http://wwwtaopahcom) f(y) = = (x x y + )( y + ) = x x + y + / / La foctio f est doc -cotractate sur [ 0 ;+ [ 4 Pour démotrer qu'ue foctio est cotractate, o peut se servir de l'iégalité des accroissemets fiis Celle-ci stipule que si f est ue foctio dérivable défiie sur u itervalle : y 4 x y )

5 Si x I, f'(x) M alors a et b I, f(a) f(b) Mb a Aisi, si l'o démotre que sur u itervalle, la dérivée d'ue foctio est borée e valeur absolue alors o prouve qu'elle est K- cotractate Par exemple, itéressos-ous À la foctio sius qui est dérivable sur Sa dérivée est cosius Or pour tout réel x, cos( x) E applicatio de l'iégalité des accroissemets fiis, o peut Écrire que : Pour tous réels a et b, si( a) si(b) ab Coclusio : la foctio sius est -cotractate sur Covergeces / - le théorème du poit fixe - Page 5 sur 9 Le théorème du poit fixe Il existe plusieurs variates de ce théorème Les plus importates portet les oms de mathématicies célèbres Celle que ous allos Éocer est celle de Picard-Baach D'abord précisos ce qu'est u poit fixe U poit fixe pour ue foctio f est u ombre x qui est sa propre image par celle-ci C'est u ombre tel que f (x) = x ThÉorÈme du poit fixe - Versio Picard-Baach I est u itervalle de f:i ջ I est ue foctio de cet itervalle das lui-même Si la foctio f:i ջ I est K-cotractate avec K [ 0;[ alors La foctio f admet u uique poit fixe x 0 sur l'itervalle I Si ( u ) est ue suite de poits de I telle que pour tout etier, u + = f(u) alors ( ) et sa limite est x 0 u est covergete Quelques remarques sur ce théorème : La foctio f Elle est défiie sur u itervalle I et elle y pred impérativemet ses valeurs Mais cela e sigifie pas que tout ÉlÉmet de I aura u atécédet par f La seule chose sûre est que tout image d'u poit de I par f sera aussi das I Aisi doc : f(i) I La suite ( u ) de poits de I Cela sigifie que pour tout etier, u I Ce documet a ÉtÉ coçu et rédigé par JÉrÔme ONILLON e août 00 et est exclusivemet distribué par la tavere de l'irladais (http://wwwtaopahcom)

6 La preuve du théorème du poit fixe Pour démotrer ce théorème, ous allos ous servir de Bolzao- Weierstrass Nous avos deux choses À Établir Mais ce e sot pas les deux poits de l'éocé No, ce que ous devos prouver est l'existece puis l'uicité de ce poit fixe x 0 L'existece Soit ( u ) ue suite de I telle que pour tout etier, u + = f(u) PremiÈre objectio : Est-ce qu'ue telle suite existe? Bie sûr, tout cela À cause de otre foctio f défiie de I das I Le problème ici 'est pas le vide mais l'évetuel trop plei! Phase première : cette suite ( u ) est Écessairemet borée E effet, pour tout etier o peut Écrire que : u + u = f(u ) f(u ) Ku K u K u u u 0 u Les puristes pourrot s'acharer À prouver ce résultat par récurrece A partir de là, o peut Écrire que pour tout etier aturel : u = u u + u u + u u u K u u u + u [ K + K + + K + ] K K u + K u + + Covergeces / - le théorème du poit fixe - Page 6 sur 9 u + + u Somme des premières car f est K- cotractate puissaces de K Or ous savos que K est u getil réel positif de l'itervalle [ ;[ Il e va alors de même pour K et K Il viet doc que pour tout etier, K u u u K Autremet Écrit : u u u K K K Tous les termes de la suite ( u ) se trouve doc das l'itervalle 0 u u u0 ;u0 + K K Les réels u 0, u et K État cous et fixés, ous pouvos dire que la suite ( u ) est bel et bie borée Phase secode : applicatio de Bolzao-Weierstrass u État borée, o peut doc e extraire ue suite La suite ( ) ( ) () u qui elle est covergete O appelle L la limite de cette sous-suite Pour ote, : N ջ N est ici l'extractrice correspodat À cette suite extraite Phase troisième : prouver que x 0 est u poit fixe par f Pour y parveir, ous devos démotrer que f (x0) = x0 La seule chose que ous sachios sur x 0 est qu'il est la limite de la suite extraite ( u ()) N D'autres dirot que lorsque ted vers l'ifii, la différece u ) ( ted vers 0 ItÉressos-ous maiteat À la différece Pour tout etier, o peut Écrire que : f(l) Ce documet a ÉtÉ coçu et rédigé par JÉrÔme ONILLON e août 00 et est exclusivemet distribué par la tavere de l'irladais (http://wwwtaopahcom)

7 f(l) = f(l) f f(l) f KL u ( u () ) + f( u () ) ( u ) + f( u ) () (K + )u () + () u () + + K () u () u u () u Covergeces / - le théorème du poit fixe - Page 7 sur 9 () () + u + u u 0 + () u () () D'oÙ la propriété Comme K est strictemet plus petit que, la suite ( u ) K 0 ted doc vers 0 Par suite, grâce À la propriété, ous pouvos affirmer que lorsque ted vers 0, la différece L s'e va vers L u ted vers 0 doc la suite ( u) N Or lorsque ted vers l'ifii : u () ted vers L doc la différece u ) ( ted vers 0 K () a aussi pour limite 0 car K est strictemet iférieur À Doc le secod membre ted vers 0 Aisi : La différece positive f(l) est doc toujours coicée etre 0 et u truc qui y va Cette différece est doc elle-même Égale À 0 Aisi f (L) = 0 doc f(l) = L Doc L est u poit fixe pour f Phase quatrième : prouver que x 0 est aussi la limite de ( u) N Pour y parveir, ous allos démotrer par récurrece que : Pour tout etier aturel, u K u0 O etame le boulot! Pour = : La chose est À peu près Évidete E effet : u = f( u0) f(l) Ku0 L'uicitÉ VoilÀ certaiemet la partie la plus facile de toute cette démostratio Nous allos procéder par l'absurde Supposos que la foctio f:i ջ I admette deux poits fixes distictes L et L O peut alors Écrire que : L = f L f L KL < L ( ) ( ) Nous arrivos doc À u ombre strictemet plus petit que luimême! Ce qui est très fort! Et surtout très absurde Doc la foctio Poits fixes! Cotractace 0 K< f:i ջ I 'a qu'u et u seul poit fixe! Ce qui achève la démostratio! Supposos que la propriété soit vraie au rag C'est-Àdire que : u K u0 Nous allos prouver qu'alors elle se propage au rag + u = f(u ) f(l) + Ku = K K u0 HypothÈse de récurrece + = K u0 Ce documet a ÉtÉ coçu et rédigé par JÉrÔme ONILLON e août 00 et est exclusivemet distribué par la tavere de l'irladais (http://wwwtaopahcom)

8 Utilisatios du théorème du poit fixe Ce sublime ÉocÉ du poit immobile peut servir À plusieurs choses Voyos-les e détails : DÉtermier la limite d'ue suite défiie par récurrece u défiie Par exemple, détermios la limite de la suite ( ) par u0 = 475 u + Pour tout etier, u = + u + Le défi peut sembler irelevable! Pourtat, l'affaire va se régler À la vitesse du clavier! Ceux qui Étaiet avec ous lorsque ous savos parler de la x + cotractace, se souvieet que la foctio f(x) = x + est 4 -cotractate sur l'itervalle des réels positifs qu'est [ 0 ;+ [ Chose importate : ous savos que :[ 0; + [ ջ [ 0; + [ Covergeces / - le théorème du poit fixe - Page 8 sur 9 f! E applicatio du théorème du poit fixe, cette foctio f admet u et u seul poit fixe x 0 0 ;+ De plus, ce réel est la limite de toute suite ( ) défiie par a f(a ) Or ( ) + = a de [ [ u est clairemet ue suite de réels positifs das ce cas Doc elle coverge et sa limite est le poit fixe x 0 Si ous détermios ce poit fixe alors ous coaîtros la limite de otre suite Pour cela, ous devos résoudre l'équatio f (x) = x Alors au boulot! x + x x + f(x) = x x = 0 = 0 x + x + Ue fractio État ulle lorsque et seulemet lorsque so umérateur l'est, les deux solutios de cette Équatio sot Ce documet a ÉtÉ coçu et rédigé par JÉrÔme ONILLON e août 00 et est exclusivemet distribué par la tavere de l'irladais (http://wwwtaopahcom) doc 5 et 5 Nous avos deux solutios pour u seul poit fixe Sauf que le poit fixe est u réel positif Seule la secode solutio remplit cette coditio Coclusio : la limite de la suite ( u ) est Égale À 5 DÉtermier la solutio d'ue Équatio À l'aide d'ue suite Le théorème du poit fixe peut aussi servir À résoudre des Équatios La coaissace de la limite de la suite récurrete doe la solutio de l'équatio Et puis, quat o e coaît exactemet la limite de la suite, il est toujours possible d'e coaître ue valeur approchée Tout cela, toujours grâce au théorème du poit fixe Par exemple, itéressos-ous À l'équatio : cos( x) = x Par l'étude des positios des courbes et surtout grâce À celle de la foctio f(x) = cos(x) x, ous savos que cette Équatio admet ue seule solutio x 0 comprise etre 0,5 et Cela dit, aucue méthode e permet de résoudre cette Équatio Cepedat, il est possible d'e coaître ue valeur approchée grâce au théorème du poit fixe La partie légale : la première chose À vérifier est que les coditios du théorème sot remplies Pour cela, o s'itéresse À la foctio cosius sur l'itervalle [ 0 ;] O choisit cet itervalle car cos( [ 0;] ) [ 0; ] Il faut motrer que sur cet itervalle cosius est cotractate Pour cela, o s'itéresse À la dérivée qui est si(x)

9 Sur l'itervalle [ ;] 0, ous savos que : si( x) si() E applicatio de l'iégalité des accroissemets fiis, il viet 0 ; que pour tous réels x et y de [ ] cos( x) cos(y) si() x y La foctio cosius est doc si()-cotractate sur [ 0 ;] Comme si() est strictemet plus petit que, le théorème du poit fixe est doc applicable À cosius sur l'itervalle 0 ; [ ] Cela ous dit ce que l'équatio Covergeces / - le théorème du poit fixe - Page 9 sur 9 cos( x) = x a ue seule solutio qui est das [ 0 ;], ue chose que ous savios déjà Elle ous appred surtout que cette solutio poit fixe est la limite de 'importe quelle suite récurrete u = cosu ( ) + La partie légale est termiée Ici commece le travail de la machie Il faut tout d'abord choisir ue boe suite de [ 0 ;] u défiie par : O cosidère la suite récurrete ( ) u0 = 0,5 Pour tout etier, u+ = cosu ( ) La valeur de départ peut avoir so importace Das l'icou, autat predre le milieu de l'itervalle [ 0 ;] Le travail de la machie cosistera À calculer tous les termes l'u après l'autre Se pose alors la questio : "Jusqu'oÙ?" Tout déped de la précisio recherchée Das la quatrième phase de la démostratio du théorème du poit fixe, ous avos démotré que : Pour tout etier, u x0 K u0 x0 Cette iégalité peut fourir ue idicatio de la distace existat etre le terme de rag et sa limite/poit fixe x 0 E effet, comme tout ce petit mode est das [ 0 ;] et que u 0 vaut 0,5, la différece 0 x0 u est Écessairemet plus petite que 0,5 Aisi pour tout etier aturel, u x0 ( si() ) Et o peut même aller plus loi, e disat que si() est plus petit que si = 3 Ce documet a ÉtÉ coçu et rédigé par JÉrÔme ONILLON e août 00 et est exclusivemet distribué par la tavere de l'irladais (http://wwwtaopahcom) 3 Ue majoratio plus pratique Émerge ( 3 Pour tout etier aturel, u x0 + ) Voici ce que doe le travail de la machie : u PrÉcisio iférieure À u 0, ,433 u 0,6390 0,375 u 3 0, ,34 u 5 0, ,43 u 7 0, ,8 u 0 0, ,8 u 6 0, ,050 u 7 0, ,008 u 44 0, ,0008 Ue valeur approchée au millième-près de x 0 est 0,739 Ue recherche par dichotomie avec la foctio cos( x) x 'aurait demadé qu'ue douzaie d'itératios pour arriver au même résultat Cela e sigifie que otre méthode est mauvaise Elle 'est simplemet pas assez rapide avec cette foctio Pour que la méthode du poit fixe soit efficace, il faut que la foctio soit assez calme Comme u logarithme La méthode que ous veos de voir, permet de résoudre 'importe quelle Équatio MÊme celles du type f(x) = b Sauf que le travail s'effectuera sur u Évetuel poit fixe de la foctio g(x) = f(x) - x + b

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