Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre Quelques dénitions

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1 Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter sur ses doigts, mais bie de déir des objets et otatios mathématiques permettat de compter le ombre d'élémets d'esemble bie trop gros et compliqués pour être déombrés à la mai. Le déombremet 'a pas e soi éormémet d'itérêt, mais trouvera toute so utilité esuite e probabilités : das le cadre des probabilités ies, la probabilité d'u évèemet se calcule e divisat le ombre de cas favorables par le ombre total de cas possibles, ce qui suppose qu'o sache calculer les ombres de cas e questio. Quelques exemples de problèmes faisat iterveir les objets que ous allos étudier das ce cours : U joueur de poer tire (simultaémet ciq cartes das u jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité qu'il obtiee u brela (trois cartes de même rag? Il y a 45 élèves das la classe. Quelle est la probabilité qu'il y e ait (au mois deux parmi eux qui soiet és le même jour de l'aée? Six élèves de la classe s'assoiet autour d'ue table rode à la catie. De combie de faço peuvet-ils le faire? Si deux d'etre eux e se supportet pas, quelle est la probabilité qu'ils se retrouvet l'u e face de l'autre? Si deux autres s'appréciet particulièremet, quelle est la probabilité qu'ils se retrouvet côte à côte? Quelle est la probabilité que les deux coditios soiet remplies simultaémet? 1 Cardiaux d'esembles is 1.1 Quelques déitios Déitio 1. U esemble E est i s'il est e bijectio avec l'esemble {1; 2;... ; }, pour u etier aturel. Cet etier est alors uique. Il est appelé cardial de l'esemble E, et o le ote card(e, ou E, ou ecore E. Remarque 1. Cela correspod bie à la otio ituitive d'esemble dot o peut compter les élémets. E eet, ue bijectio de E vers {1;... ; } est simplemet ue faço d'étiquetter les élémets de E avec les uméros 1, 2,...,. Propositio 1. Soit E u esemble i et F u sous-esmble de E, alors F est u esemble i, et F E, avec égalité si et seulemet si E = F. Démostratio. Cette propriété, comme souvet e ce qui cocere les esembles is, est assez évidete d'u poit de vue ituitif, mais pas si simple à démotrer correctemet. Nous ous e tiedros au poit de vue ituitif. Propositio 2. Soiet E et F deux esembles is. Si E et F sot e bijectio l'u avec l'autre, ils ot même cardial. 1

2 Démostratio. Il existe par hypothèse ue bijectio f de E vers F. De plus, F état i, otos so cardial, il existe alors ue bijectio g de F das {1;... ; }. L'applicatio g f : E {1;... ; } est ue composée d'applicatios bijectives, doc est bijective, ce qui prouve que E est de cardial. 1.2 Cardiaux élémetaires Propositio 3. Soiet A et B deux sous-esembles d'u même esemble i E. Alors A B = A + B A B. Démostratio. Commeços par costater que das le cas où les deux esembles A et B sot disjoits, o a A B = A + B. Vous voulez ue démostratio? Soit f ue bijectio de A das {1;... ; } et g ue bijectio de B das {1;... ; p}, et p état les cardiaux respectifs de A et de B. O peut alors costruire ue bijectio h de A B vers {1;... ; +p} e posat x A, h(x = f(x et x B, h(x = g(x+p (ituitivemet, cela reviet à garder pour les élémets de A la umérotatio doée par l'applicatio f, et à décaler pour les élémets de B la umérotatio doée par g, de faço à e pas utiliser deux fois les mêmes uméros. Ue fois ce fait admis, costatos que A B est l'uio disjoite des trois esembles A\B, B\A et A B. O a doc, e utilisat le résultat que ous veos de démotrer, A B = A\B + B\A + A B. Or, A état uio disjoite de A\B et de A B, o a égalemet A = A\B + A B, ou ecore A\B = A A B. De même, B\A = B A B, doc o obtiet A B = A A B + B A B + A B, ce qui doe bie la formule aocée. Théorème 1. Formule du crible de Poicaré. Soiet A 1, A 2,..., A des sous-esembles is d'u même esemble E, alors i=1 A i = =1 1 i 1 < <i ( 1 +1 A i1 A i Propositio 4. La formule de Poicaré état assez peu lisible, voici ce que ça doe pour = 3 et = 4 : A B C = A + B + C A B A C B C + A B C A B C D = A + B + C + D A B A C A D B C B D C D + A B C + A B D + A C D + B C D A B C D Démostratio. La preuve de la formule géérale, assez techique, se fait par récurrece. O se cotetera de prouver la formule pour = 3 e partat de la propositio précédete : A B C = (A B C = A B + C (A B C = A + B A B + C (A C (B C = A + B A B + C A C A B + A C B C, ce qui doe bie la formule aocée. Exemple : Das u lycée de 300 élèves, 152 savet jouer au poer, 83 au tarot et 51 au bridge. De plus, 24 savet jouer à la fois au poer et au tarot, 14 au poer et au bridge, et 8 au tarot et au bridge. E, 3 élèves maitriset les trois jeux de cartes. Le ombre d'élèves jouat aux cartes est alors de = 237. Propositio 5. Soit A u sous-esemble i d'u esemble i E, alors Ā = E A. Démostratio. C'est ue coséquece de la formule pour ue uio : E est uio disjoite de A et de Ā, doc E = A + Ā. Propositio 6. Soiet E et F deux esembles is, alors E F est i, et E F = E F. 2

3 Démostratio. Pas de preuve rigoureuse pour celui-ci, simplemet ue idée de la faço dot ça marche. Soit le cardial de E, et e 1, e 2,..., e ses élémets, p le cardial de F et f 1,..., f p ses élémets. o peut placer les élémets de E F das u tableau de la faço suivate : e 1 e 2... e f 1 (e 1, f 1 (e 2, f 1... (e, f f p (e 1, f p (e 2, f p... (e, f p Il y bie p élémets das le tableau, doc das E F. 2 Listes, arragemets et combiaisos Déitio 2. Soit E u esemble i de cardial, et p N. Ue p-liste d'élémets de E, ou p-uplet d'élémets de E, est simplemet u élémet de E p. Remarque 2. O peut très bie avoir plusieurs fois le même élémet das ue p-liste. Par ailleurs, l'ordre des élémets de la p-liste est importat. Propositio 7. Le ombre de p-listes das u esemble de cardial vaut p. Démostratio. C'est ue coséquece de la formule de cardial du produit vue u peu plus haut : comme E F = E F, o a E p = E p, ce qui prouve bie la propriété. Exemple : O lace 10 fois de suite u dé équilibré à six faces. Le ombre total de tirages possibles est 6 10 (l'ordre est importat, et o peut très bie tirer plusieurs fois le même chire ; il s'agit doc de listes. Remarque 3. Le ombre de p-listes d'u esemble à élémets est aussi le ombre d'applicatios de l'esemble {1;... ; p} vers cet esemble. E eet, se doer ue telle applicatio f reviet à se doer les valeurs des images f(1, f(2,..., f(p, c'est-à-dire à se doer ue liste de p élémets de E. Déitio 3. Soit E u esemble à élémets et p N, o appelle arragemet de p élémets de E ue p-liste d'élémets disticts de E. Remarque 4. L'ordre des élémets est toujours importat, par cotre o e peut plus avoir de répétitio d'élémet das u arragemet. Déitio 4. Soiet et p deux etiers tels que p, o ote A,p = 2... ( p + 1.! ( p! = ( 1( Propositio 8. Le ombre d'arragemets de p élémets das u esemble à élémets vaut A,p. Démostratio. Cotetos-ous de l'idée ituitive : lorsqu'o costruit u arragemet, o a choix pour le premier élémet, 1 pour le deuxième,..., p + 1 pour le pème, soit au total ( 1... ( p + 1( p ! ( 1 ( p + 1 = = ( ( p!. Exemple : Les arragemets iterviedrot quad o travaillera avec des tirages successifs sas remise (ce qui iterdit les répétitios. Par exemple, si 10 athlètes participet à ue course, le ombre de podiums possibles est A 10,3 = = 720. E eet, l'ordre des athlètes sur le podium est importat, mais o e peut pas avoir le même athlète sur deux marches du podium à la fois! Remarque 5. Le ombre d'arragemets de p élémets das u esemble à élémets est égalemet le ombre d'applicatios ijectives de {1;... ; p} das E. 3

4 Déitio 5. U arragemet de élémets das u esemble à élémets est aussi appelé permutatio. Il y a doc! permutatios das u esemble à élémets. Exemple : Le ombre de faços d'asseoir 6 persoes autour d'ue table rode est 6! = 720. Si l'o veut que deux persoes spéciées à l'avace e soiet pas e face l'ue de l'autre, il reste = 576 placemets (o place d'abord les deux eemis : o a 6 possibilités pour le premier, mais 4 au lieu de 5 pour le deuxième puisqu'o doit éviter les deux places voisies du premier ; esuite, tout se déroule comme précédemmet. Si l'o veut maiteat que deux persoes parmi les 6 soiet côte à côte, il y a = 288 placemets (o place d'abord les deux copais : 6 possibilités pour le premier et, la table état rode, 2 places pour le deuxième à côté du premier. E, si o impose les deux coditios simultaémet, il y a toujours 12 faços de placer les deux amis pour commecer ; puis 4! 4 faços de placer les quatre autres sur les quatre places restates (je vous laisse vérier que parmi les 4! permutatios, il y e 4 pour lesquelles les deux eemis serot e face l'u de l'autre, soit = 240 placemets corrects. La probabilité correspodate est de = 1 3. Exemple : Le ombre d'aagrammes d'u mot peut se calculer à l'aide de permutatios. Il faut simplemet diviser le ombre total du permutatios du mot par! chaque fois qu'ue même lettre apparait fois das le mot (aisi, s'il y a trois E das le mot, o divise par 3! car les permutatios qui se cotetet d'échager les E etre eux e modiet pas l'aagramme. Par exemple, le ombre 12! d'aagrammes du mot DENOMBREMENT est 3! 2! 2!. Remarque 6. Le ombre de permutatios d'u esemble à élémets est le ombre d'applicatios bijectives de cet esemble das lui-même. Propositio 9. Quelques propriétés des factorielles, plus ou mois utiles : Par covetio, 0! = 1 N, ( + 1! =! ( + 1 a > 1, a = o(!, mais! = o(. (Pour les plus curieux, je sigale le joli résultat suivat, cou sous le om de formule de Stirlig :! ( 2π e Déitio 6. Ue combiaiso de p élémets das u esemble i E à élémets est u sousesemble à p élémets de E. Déitio 7. Soiet et p deux etiers tels que p, o appelle coeciet biomial d'idices! et p le ombre = p p!( p!. Ce ombre est égalemet oté Cp, et o le lit p parmi (comme u raccourci sigiat que le ombre de faço de choisir p objets parmi objets au total. Remarque 7. O pose souvet = 0 si p >. p Propositio 10. Le ombre de sous-esembles à p élémets d'u esemble à élémets est. p Démostratio. E eet, ue combiaiso 'est rie d'autre qu'u arragemet das lequel o a elevé l'importace de l'ordre. Autremet dit, chaque combiaiso apparait p! fois quad o déombre les arragemets (puisqu'il y a p! faços d'ordoer u esemble à p élémets, doc le ombre de combiaisos à p élémets vaut A,p p! = ( p. Exemple : Les combiaisos apparaitrot das les calculs dès qu'o travaillera avec des tirages simultaés, c'estdire quad l'ordre 'est pas importat. Aisi, ( le ombre de triomes de colle diérets qu'o peut costituer das ue classe de 45 élèves vaut = =

5 Remarque 8. O peut ecore ue fois iterpréter ceci à l'aide d'applicatios : le ombre de combiaisos à p élémets das u esemble à élémets est le ombre d'applicatios strictemet croissates de {1;... ; p} das E. E eet, se doer ue applicatio strictemet croissate f est équivalet à se doer le sous-esemble {f(1; f(2,... ; f(p} (l'ordre état imposé par la croissace de l'applicatio. U petit tableau pour résumer les cas d'utilisatios de ces trois outils de déombremet : L'ordre 'est pas importat L'ordre est importat Répétitios Listes possibles puissaces Répétitio Combiaisos Arragemets iterdites coeciets biômiaux quotiet de factorielles 3 Propriétés des coeciets biomiaux Propositio ( 11. Quelques ( propriétés ( des coeciets biomiaux, utiles pour les calculs : ( 1 2, = 1 ; = ; =. ( 0 ( 1 2 2, = (propriété de symétrie. ( 1 1, =. ( ( 1 ( 1 1 1, + = (relatio de Pascal. 1 ( Démostratio. Pour le premier poit, il sut de repredre la déitio des coeciets biomiaux : =! ( ( 0 0!! = 1 ;! = 1 ( 1! = et! ( 1 = =. 2 2!( 2! 2 ( (! La propriété de symétrie est facile aussi : = (!( (! =! (!! =. Il y a égalemet ue iterprétatio combiatoire de ce résultat : choisir u sous-esemble de élémets das u esemble à élémets est équivalet à choisir so complémetaire, qui est costitué de élémets, doc il y a autat de sous-esembles à élémets et à élémets das u esemble à élémets. Pour la troisième, =! (!(! =! 1 ( 1!(!, et ( 1! = 1 ( 1!( 1 + 1! =!, les deux quatités sot bie égales. ( 1!(! ( ( 1 1 ( 1! E, la formule de Pascal : + = 1!( 1! + ( 1! ( ( 1!(! ( ( 1! + ( 1! ( 1! = = =. La ecore, il y a ue iterprétatio!(!!(! combiatoire. Soit E u esemble à élémets et x u élémet xé de E. Les sous-esembles de E à élémets, au ombre de, se répartisset e deux catégories : ceux qui cotieet x, qui ( 1 sot au ombre de puisqu'il reste 1 élémets à choisir parmi les 1 restats das E 1 1 ue fois x choisi ; et ceux qui e cotieet pas x, qui sot au ombre de puisqu'il reste cette fois-ci élémets à choisir parmi les 1 restats (o 'e a ecore choisi aucu. D'où la formule. 5

6 Triagle de Pascal : La relatio de Pascal permet de calculer les valeurs des coeciets biomiaux par récurrece, e les répartissat sous forme d'u tableau triagulaire : = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 0 1 = = = = = = = = Pour obteir u coeciet du tableau, o fait la somme de celui qui est au-dessus de lui, et de celui qui est à gauche de celui-ci. Théorème 2. Formule du biôme de Newto. Soiet a et b deux réels, et N, alors (a + b = =0 =0 a b. Remarque 9. O peut obteir à partir de cette formule le développemet d'ue diérece : (b a = ( 1 a b. E pratique, il sut d'alterer les siges. Exemple : (a + b 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b a 3 b a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6. L'ordre est iversé par rapport à celui de la formule, mais c'est la faço habituelle d'écrire le développemet. Autre exemple : (1 2x 5 = 1 5 2x+10 (2x 2 10 (2x 3 +5 (2x 4 (2x 5 = 1 10x+40x 2 80x 3 +80x 5 32x 5. Démostratio. O va procéder ( par récurrece sur l'etier. Pour = 0, la formule du biome dit 0 simplemet que (a + b 0 = a 0 b 0, ce qui est vrai (o a 1 de chaque côté. Supposos la formule 0 vraie au rag, o a alors (a + b +1 = (a + b(a + b = (a + b =0 =0 ( a b par hypothèse de récurrece, doc e développat le a+b et e le faisat retrer das la somme, o obtiet (a+b +1 = a +1 b + a b +1. Eectuos u chagemet d'idice e remplaçat par + 1 =0 +1 das la première somme (o e touche à rie das la deuxième : (a+b +1 = =0 a b +1 = a +1 b 0 + =1 ( + 1 ( a b +1 + ( 0 =1 a b a 0 b +1 (o a isolé u terme das chaque somme pour pouvoir regrouper les sommes. Maiteat, o recoait la formule de + 1 Pascal das la somme, doc (a + b +1 = a +1 + a b +1 + b +1. Il e reste plus qu'à =1 remettre les deux termes isolés das la somme pour obteir la formule au rag + 1, ce qu'o peut faire puisqu'ils sot justemet égaux aux termes maquats pour = 0 et = + 1. Propositio 12. Soit E u esemble i de cardial. Alors P(E est i, de cardial 2. Démostratio. Le cardial de P(E est le ombre de sous-esembles de E. Or, o sait que, pour tout etier, il y a sous-esembles de E à élémets, ce qui fait au total sous-esembles. 6 =0

7 Cette somme 'est rie d'autre qu'u cas particulier de formule du biôme, pour a = b = 1, doc elle vaut (1 + 1 = 2. Ue faço plus combiatoire de voir les choses : choisir u sous-esemble A de l'esemble E reviet à choisir, pour chaque élémet de E, si celui-ci appartiet à A ou o. O a aisi deux possibilités pour chaque élémet de E, ce qui fait au total 2 possibilités pour costruire le sous-esemble A. Autre faço de décrire les choses pour les plus formalistes d'etre vous : pour chaque sous-esemble A de E, o déit ue applicatio χ A : E {0; 1}, telle que χ A (x = 1 si x A, et χ A (x = 0 si x / A (cette applicatio χ A est appelée applicatio caractéristique de l'esemble A, car elle décrit les élémets apparteat à l'esemble A. O peut prouver que toutes applicatios de E vers {0; 1} sot des applicatios caractéristiques d'u sous-esemble de E, et que deux sous-esembles disticts de E ot des applicatios caractéristiques diéretes. Autremet dit, il y a ue bijectio etre P(E et l'esemble des applicatios de E das {0; 1}. Or, comme o l'a vu plus haut (après la déitio des p-listes, il y a 2 applicatios de E das {0; 1}. Propositio 13. Formule de Vadermode. ( a + b Soiet a, b et trois etiers aturels tels que a + b, alors = =0 ( (. Démostratio. O va passer par ue iterprétatio combiatoire. Cosidéros u groupe costitué ( a + b de a hommes et b femmes, parmi lesquels o veut choisir persoes. O sait déjà qu'il y a possibilités de faire ce choix (ce qui correspod au membre de gauche de otre iégalité. Mais o peut égalemet classer les groupes de persoes ( ( e catégories selo le ombre d'hommes qu'ils cotieet : soit 0 homme et femmes (il y a tels groupes, soit 1 homme et 1 femmes ( ( 0 (il y a tels groupes, etc, jusqu'à la possibilité d'avoir hommes et 0 femme (il y a 1 1 ( ( ( ( tels groupes. Le ombre total de groupes possibles vaut doc aussi. 0 =0 7