Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre Quelques dénitions

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions"

Transcription

1 Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter sur ses doigts, mais bie de déir des objets et otatios mathématiques permettat de compter le ombre d'élémets d'esemble bie trop gros et compliqués pour être déombrés à la mai. Le déombremet 'a pas e soi éormémet d'itérêt, mais trouvera toute so utilité esuite e probabilités : das le cadre des probabilités ies, la probabilité d'u évèemet se calcule e divisat le ombre de cas favorables par le ombre total de cas possibles, ce qui suppose qu'o sache calculer les ombres de cas e questio. Quelques exemples de problèmes faisat iterveir les objets que ous allos étudier das ce cours : U joueur de poer tire (simultaémet ciq cartes das u jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité qu'il obtiee u brela (trois cartes de même rag? Il y a 45 élèves das la classe. Quelle est la probabilité qu'il y e ait (au mois deux parmi eux qui soiet és le même jour de l'aée? Six élèves de la classe s'assoiet autour d'ue table rode à la catie. De combie de faço peuvet-ils le faire? Si deux d'etre eux e se supportet pas, quelle est la probabilité qu'ils se retrouvet l'u e face de l'autre? Si deux autres s'appréciet particulièremet, quelle est la probabilité qu'ils se retrouvet côte à côte? Quelle est la probabilité que les deux coditios soiet remplies simultaémet? 1 Cardiaux d'esembles is 1.1 Quelques déitios Déitio 1. U esemble E est i s'il est e bijectio avec l'esemble {1; 2;... ; }, pour u etier aturel. Cet etier est alors uique. Il est appelé cardial de l'esemble E, et o le ote card(e, ou E, ou ecore E. Remarque 1. Cela correspod bie à la otio ituitive d'esemble dot o peut compter les élémets. E eet, ue bijectio de E vers {1;... ; } est simplemet ue faço d'étiquetter les élémets de E avec les uméros 1, 2,...,. Propositio 1. Soit E u esemble i et F u sous-esmble de E, alors F est u esemble i, et F E, avec égalité si et seulemet si E = F. Démostratio. Cette propriété, comme souvet e ce qui cocere les esembles is, est assez évidete d'u poit de vue ituitif, mais pas si simple à démotrer correctemet. Nous ous e tiedros au poit de vue ituitif. Propositio 2. Soiet E et F deux esembles is. Si E et F sot e bijectio l'u avec l'autre, ils ot même cardial. 1

2 Démostratio. Il existe par hypothèse ue bijectio f de E vers F. De plus, F état i, otos so cardial, il existe alors ue bijectio g de F das {1;... ; }. L'applicatio g f : E {1;... ; } est ue composée d'applicatios bijectives, doc est bijective, ce qui prouve que E est de cardial. 1.2 Cardiaux élémetaires Propositio 3. Soiet A et B deux sous-esembles d'u même esemble i E. Alors A B = A + B A B. Démostratio. Commeços par costater que das le cas où les deux esembles A et B sot disjoits, o a A B = A + B. Vous voulez ue démostratio? Soit f ue bijectio de A das {1;... ; } et g ue bijectio de B das {1;... ; p}, et p état les cardiaux respectifs de A et de B. O peut alors costruire ue bijectio h de A B vers {1;... ; +p} e posat x A, h(x = f(x et x B, h(x = g(x+p (ituitivemet, cela reviet à garder pour les élémets de A la umérotatio doée par l'applicatio f, et à décaler pour les élémets de B la umérotatio doée par g, de faço à e pas utiliser deux fois les mêmes uméros. Ue fois ce fait admis, costatos que A B est l'uio disjoite des trois esembles A\B, B\A et A B. O a doc, e utilisat le résultat que ous veos de démotrer, A B = A\B + B\A + A B. Or, A état uio disjoite de A\B et de A B, o a égalemet A = A\B + A B, ou ecore A\B = A A B. De même, B\A = B A B, doc o obtiet A B = A A B + B A B + A B, ce qui doe bie la formule aocée. Théorème 1. Formule du crible de Poicaré. Soiet A 1, A 2,..., A des sous-esembles is d'u même esemble E, alors i=1 A i = =1 1 i 1 < <i ( 1 +1 A i1 A i Propositio 4. La formule de Poicaré état assez peu lisible, voici ce que ça doe pour = 3 et = 4 : A B C = A + B + C A B A C B C + A B C A B C D = A + B + C + D A B A C A D B C B D C D + A B C + A B D + A C D + B C D A B C D Démostratio. La preuve de la formule géérale, assez techique, se fait par récurrece. O se cotetera de prouver la formule pour = 3 e partat de la propositio précédete : A B C = (A B C = A B + C (A B C = A + B A B + C (A C (B C = A + B A B + C A C A B + A C B C, ce qui doe bie la formule aocée. Exemple : Das u lycée de 300 élèves, 152 savet jouer au poer, 83 au tarot et 51 au bridge. De plus, 24 savet jouer à la fois au poer et au tarot, 14 au poer et au bridge, et 8 au tarot et au bridge. E, 3 élèves maitriset les trois jeux de cartes. Le ombre d'élèves jouat aux cartes est alors de = 237. Propositio 5. Soit A u sous-esemble i d'u esemble i E, alors Ā = E A. Démostratio. C'est ue coséquece de la formule pour ue uio : E est uio disjoite de A et de Ā, doc E = A + Ā. Propositio 6. Soiet E et F deux esembles is, alors E F est i, et E F = E F. 2

3 Démostratio. Pas de preuve rigoureuse pour celui-ci, simplemet ue idée de la faço dot ça marche. Soit le cardial de E, et e 1, e 2,..., e ses élémets, p le cardial de F et f 1,..., f p ses élémets. o peut placer les élémets de E F das u tableau de la faço suivate : e 1 e 2... e f 1 (e 1, f 1 (e 2, f 1... (e, f f p (e 1, f p (e 2, f p... (e, f p Il y bie p élémets das le tableau, doc das E F. 2 Listes, arragemets et combiaisos Déitio 2. Soit E u esemble i de cardial, et p N. Ue p-liste d'élémets de E, ou p-uplet d'élémets de E, est simplemet u élémet de E p. Remarque 2. O peut très bie avoir plusieurs fois le même élémet das ue p-liste. Par ailleurs, l'ordre des élémets de la p-liste est importat. Propositio 7. Le ombre de p-listes das u esemble de cardial vaut p. Démostratio. C'est ue coséquece de la formule de cardial du produit vue u peu plus haut : comme E F = E F, o a E p = E p, ce qui prouve bie la propriété. Exemple : O lace 10 fois de suite u dé équilibré à six faces. Le ombre total de tirages possibles est 6 10 (l'ordre est importat, et o peut très bie tirer plusieurs fois le même chire ; il s'agit doc de listes. Remarque 3. Le ombre de p-listes d'u esemble à élémets est aussi le ombre d'applicatios de l'esemble {1;... ; p} vers cet esemble. E eet, se doer ue telle applicatio f reviet à se doer les valeurs des images f(1, f(2,..., f(p, c'est-à-dire à se doer ue liste de p élémets de E. Déitio 3. Soit E u esemble à élémets et p N, o appelle arragemet de p élémets de E ue p-liste d'élémets disticts de E. Remarque 4. L'ordre des élémets est toujours importat, par cotre o e peut plus avoir de répétitio d'élémet das u arragemet. Déitio 4. Soiet et p deux etiers tels que p, o ote A,p = 2... ( p + 1.! ( p! = ( 1( Propositio 8. Le ombre d'arragemets de p élémets das u esemble à élémets vaut A,p. Démostratio. Cotetos-ous de l'idée ituitive : lorsqu'o costruit u arragemet, o a choix pour le premier élémet, 1 pour le deuxième,..., p + 1 pour le pème, soit au total ( 1... ( p + 1( p ! ( 1 ( p + 1 = = ( ( p!. Exemple : Les arragemets iterviedrot quad o travaillera avec des tirages successifs sas remise (ce qui iterdit les répétitios. Par exemple, si 10 athlètes participet à ue course, le ombre de podiums possibles est A 10,3 = = 720. E eet, l'ordre des athlètes sur le podium est importat, mais o e peut pas avoir le même athlète sur deux marches du podium à la fois! Remarque 5. Le ombre d'arragemets de p élémets das u esemble à élémets est égalemet le ombre d'applicatios ijectives de {1;... ; p} das E. 3

4 Déitio 5. U arragemet de élémets das u esemble à élémets est aussi appelé permutatio. Il y a doc! permutatios das u esemble à élémets. Exemple : Le ombre de faços d'asseoir 6 persoes autour d'ue table rode est 6! = 720. Si l'o veut que deux persoes spéciées à l'avace e soiet pas e face l'ue de l'autre, il reste = 576 placemets (o place d'abord les deux eemis : o a 6 possibilités pour le premier, mais 4 au lieu de 5 pour le deuxième puisqu'o doit éviter les deux places voisies du premier ; esuite, tout se déroule comme précédemmet. Si l'o veut maiteat que deux persoes parmi les 6 soiet côte à côte, il y a = 288 placemets (o place d'abord les deux copais : 6 possibilités pour le premier et, la table état rode, 2 places pour le deuxième à côté du premier. E, si o impose les deux coditios simultaémet, il y a toujours 12 faços de placer les deux amis pour commecer ; puis 4! 4 faços de placer les quatre autres sur les quatre places restates (je vous laisse vérier que parmi les 4! permutatios, il y e 4 pour lesquelles les deux eemis serot e face l'u de l'autre, soit = 240 placemets corrects. La probabilité correspodate est de = 1 3. Exemple : Le ombre d'aagrammes d'u mot peut se calculer à l'aide de permutatios. Il faut simplemet diviser le ombre total du permutatios du mot par! chaque fois qu'ue même lettre apparait fois das le mot (aisi, s'il y a trois E das le mot, o divise par 3! car les permutatios qui se cotetet d'échager les E etre eux e modiet pas l'aagramme. Par exemple, le ombre 12! d'aagrammes du mot DENOMBREMENT est 3! 2! 2!. Remarque 6. Le ombre de permutatios d'u esemble à élémets est le ombre d'applicatios bijectives de cet esemble das lui-même. Propositio 9. Quelques propriétés des factorielles, plus ou mois utiles : Par covetio, 0! = 1 N, ( + 1! =! ( + 1 a > 1, a = o(!, mais! = o(. (Pour les plus curieux, je sigale le joli résultat suivat, cou sous le om de formule de Stirlig :! ( 2π e Déitio 6. Ue combiaiso de p élémets das u esemble i E à élémets est u sousesemble à p élémets de E. Déitio 7. Soiet et p deux etiers tels que p, o appelle coeciet biomial d'idices! et p le ombre = p p!( p!. Ce ombre est égalemet oté Cp, et o le lit p parmi (comme u raccourci sigiat que le ombre de faço de choisir p objets parmi objets au total. Remarque 7. O pose souvet = 0 si p >. p Propositio 10. Le ombre de sous-esembles à p élémets d'u esemble à élémets est. p Démostratio. E eet, ue combiaiso 'est rie d'autre qu'u arragemet das lequel o a elevé l'importace de l'ordre. Autremet dit, chaque combiaiso apparait p! fois quad o déombre les arragemets (puisqu'il y a p! faços d'ordoer u esemble à p élémets, doc le ombre de combiaisos à p élémets vaut A,p p! = ( p. Exemple : Les combiaisos apparaitrot das les calculs dès qu'o travaillera avec des tirages simultaés, c'estdire quad l'ordre 'est pas importat. Aisi, ( le ombre de triomes de colle diérets qu'o peut costituer das ue classe de 45 élèves vaut = =

5 Remarque 8. O peut ecore ue fois iterpréter ceci à l'aide d'applicatios : le ombre de combiaisos à p élémets das u esemble à élémets est le ombre d'applicatios strictemet croissates de {1;... ; p} das E. E eet, se doer ue applicatio strictemet croissate f est équivalet à se doer le sous-esemble {f(1; f(2,... ; f(p} (l'ordre état imposé par la croissace de l'applicatio. U petit tableau pour résumer les cas d'utilisatios de ces trois outils de déombremet : L'ordre 'est pas importat L'ordre est importat Répétitios Listes possibles puissaces Répétitio Combiaisos Arragemets iterdites coeciets biômiaux quotiet de factorielles 3 Propriétés des coeciets biomiaux Propositio ( 11. Quelques ( propriétés ( des coeciets biomiaux, utiles pour les calculs : ( 1 2, = 1 ; = ; =. ( 0 ( 1 2 2, = (propriété de symétrie. ( 1 1, =. ( ( 1 ( 1 1 1, + = (relatio de Pascal. 1 ( Démostratio. Pour le premier poit, il sut de repredre la déitio des coeciets biomiaux : =! ( ( 0 0!! = 1 ;! = 1 ( 1! = et! ( 1 = =. 2 2!( 2! 2 ( (! La propriété de symétrie est facile aussi : = (!( (! =! (!! =. Il y a égalemet ue iterprétatio combiatoire de ce résultat : choisir u sous-esemble de élémets das u esemble à élémets est équivalet à choisir so complémetaire, qui est costitué de élémets, doc il y a autat de sous-esembles à élémets et à élémets das u esemble à élémets. Pour la troisième, =! (!(! =! 1 ( 1!(!, et ( 1! = 1 ( 1!( 1 + 1! =!, les deux quatités sot bie égales. ( 1!(! ( ( 1 1 ( 1! E, la formule de Pascal : + = 1!( 1! + ( 1! ( ( 1!(! ( ( 1! + ( 1! ( 1! = = =. La ecore, il y a ue iterprétatio!(!!(! combiatoire. Soit E u esemble à élémets et x u élémet xé de E. Les sous-esembles de E à élémets, au ombre de, se répartisset e deux catégories : ceux qui cotieet x, qui ( 1 sot au ombre de puisqu'il reste 1 élémets à choisir parmi les 1 restats das E 1 1 ue fois x choisi ; et ceux qui e cotieet pas x, qui sot au ombre de puisqu'il reste cette fois-ci élémets à choisir parmi les 1 restats (o 'e a ecore choisi aucu. D'où la formule. 5

6 Triagle de Pascal : La relatio de Pascal permet de calculer les valeurs des coeciets biomiaux par récurrece, e les répartissat sous forme d'u tableau triagulaire : = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 0 1 = = = = = = = = Pour obteir u coeciet du tableau, o fait la somme de celui qui est au-dessus de lui, et de celui qui est à gauche de celui-ci. Théorème 2. Formule du biôme de Newto. Soiet a et b deux réels, et N, alors (a + b = =0 =0 a b. Remarque 9. O peut obteir à partir de cette formule le développemet d'ue diérece : (b a = ( 1 a b. E pratique, il sut d'alterer les siges. Exemple : (a + b 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b a 3 b a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6. L'ordre est iversé par rapport à celui de la formule, mais c'est la faço habituelle d'écrire le développemet. Autre exemple : (1 2x 5 = 1 5 2x+10 (2x 2 10 (2x 3 +5 (2x 4 (2x 5 = 1 10x+40x 2 80x 3 +80x 5 32x 5. Démostratio. O va procéder ( par récurrece sur l'etier. Pour = 0, la formule du biome dit 0 simplemet que (a + b 0 = a 0 b 0, ce qui est vrai (o a 1 de chaque côté. Supposos la formule 0 vraie au rag, o a alors (a + b +1 = (a + b(a + b = (a + b =0 =0 ( a b par hypothèse de récurrece, doc e développat le a+b et e le faisat retrer das la somme, o obtiet (a+b +1 = a +1 b + a b +1. Eectuos u chagemet d'idice e remplaçat par + 1 =0 +1 das la première somme (o e touche à rie das la deuxième : (a+b +1 = =0 a b +1 = a +1 b 0 + =1 ( + 1 ( a b +1 + ( 0 =1 a b a 0 b +1 (o a isolé u terme das chaque somme pour pouvoir regrouper les sommes. Maiteat, o recoait la formule de + 1 Pascal das la somme, doc (a + b +1 = a +1 + a b +1 + b +1. Il e reste plus qu'à =1 remettre les deux termes isolés das la somme pour obteir la formule au rag + 1, ce qu'o peut faire puisqu'ils sot justemet égaux aux termes maquats pour = 0 et = + 1. Propositio 12. Soit E u esemble i de cardial. Alors P(E est i, de cardial 2. Démostratio. Le cardial de P(E est le ombre de sous-esembles de E. Or, o sait que, pour tout etier, il y a sous-esembles de E à élémets, ce qui fait au total sous-esembles. 6 =0

7 Cette somme 'est rie d'autre qu'u cas particulier de formule du biôme, pour a = b = 1, doc elle vaut (1 + 1 = 2. Ue faço plus combiatoire de voir les choses : choisir u sous-esemble A de l'esemble E reviet à choisir, pour chaque élémet de E, si celui-ci appartiet à A ou o. O a aisi deux possibilités pour chaque élémet de E, ce qui fait au total 2 possibilités pour costruire le sous-esemble A. Autre faço de décrire les choses pour les plus formalistes d'etre vous : pour chaque sous-esemble A de E, o déit ue applicatio χ A : E {0; 1}, telle que χ A (x = 1 si x A, et χ A (x = 0 si x / A (cette applicatio χ A est appelée applicatio caractéristique de l'esemble A, car elle décrit les élémets apparteat à l'esemble A. O peut prouver que toutes applicatios de E vers {0; 1} sot des applicatios caractéristiques d'u sous-esemble de E, et que deux sous-esembles disticts de E ot des applicatios caractéristiques diéretes. Autremet dit, il y a ue bijectio etre P(E et l'esemble des applicatios de E das {0; 1}. Or, comme o l'a vu plus haut (après la déitio des p-listes, il y a 2 applicatios de E das {0; 1}. Propositio 13. Formule de Vadermode. ( a + b Soiet a, b et trois etiers aturels tels que a + b, alors = =0 ( (. Démostratio. O va passer par ue iterprétatio combiatoire. Cosidéros u groupe costitué ( a + b de a hommes et b femmes, parmi lesquels o veut choisir persoes. O sait déjà qu'il y a possibilités de faire ce choix (ce qui correspod au membre de gauche de otre iégalité. Mais o peut égalemet classer les groupes de persoes ( ( e catégories selo le ombre d'hommes qu'ils cotieet : soit 0 homme et femmes (il y a tels groupes, soit 1 homme et 1 femmes ( ( 0 (il y a tels groupes, etc, jusqu'à la possibilité d'avoir hommes et 0 femme (il y a 1 1 ( ( ( ( tels groupes. Le ombre total de groupes possibles vaut doc aussi. 0 =0 7

Dénombrement. ECE3 Lycée Carnot. 30 novembre 2011

Dénombrement. ECE3 Lycée Carnot. 30 novembre 2011 Déombremet ECE Lycée Carot 0 ovembre 2011 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l idique à comter Il e s agit bie etedu as de reveir au stade du CP et d aredre à comter sur

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle février 2012 ORRIGE II. Permutatios sas répétitios et otatio factorielle Aalyse combiatoire 4 ème - 1 I. Itroductio Les différets modèles mathématiques costruits pour étudier les phéomèes où iterviet le

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4 1 Déombremet Table des matières 1 Déombrer des listes 2 1.1 Permutatio................................ 2 1.2 Arragemet............................... 3 1.3 -liste.................................... 4

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ 01529 ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F?

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités.

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. PROBABILITÉS I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) a. Expérieces aléatoires et modèles Le lacer d ue pièce de moaie, le lacer d u dé sot des expérieces aléatoires, car avat de les effectuer, o e peut pas prévoir

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

Probabilités et Statistiques: Eléments de cours et exercices

Probabilités et Statistiques: Eléments de cours et exercices Uiversité Paris Villetaeuse Aée 2013/2014 Clémet Foucart 1 Probabilités Probabilités et Statistiques: Elémets de cours et exercices Prépa Capes Les programmes de mathématiques das l'eseigemet secodaire

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x /RJLTXHERROpHQQH I. Défiitios I.. Variable biaire O appelle variable biaire (ou logique), ue variable preat ses valeurs das l esemble {0, }. Eemple : état d u iterrupteur, d u bouto poussoir, la présece

Plus en détail

Analyse de structures de données et d algorithmes

Analyse de structures de données et d algorithmes Uiversité Paris 3 Istitut Galilée Master Math-Ifo Aalyse de structures de doées et d algorithmes Polycopié 2006-2007 Christia Lavault Table des matières Combiatoire et déombremet. Permutatios, arragemets

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire Séquece 8 Suites arithmétiques et géométriques Sommaire Pré-requis Suites arithmétiques Suites géométriques Sythèse du cours Exercices d approfodissemet Séquece 8 MA Ced - Académie e lige Pré-requis A

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau.

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau. AVANT PROPOS Cet ouvrage propose aux élèves de classes termiales (fraçais) S (spécialité math) des rappels et des complémets de cours assez complet, aisi que des problèmes et des exercices corrigés. Les

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

DENOMBRER INTRODUCTION II L'UNIVERS III LE PRODUIT CARTESIEN 1 3 6 10 LES NOMBRES TRIANGULAIRES CONNUS DES BABYLONIENS 2000 ANS AVANT J.C.

DENOMBRER INTRODUCTION II L'UNIVERS III LE PRODUIT CARTESIEN 1 3 6 10 LES NOMBRES TRIANGULAIRES CONNUS DES BABYLONIENS 2000 ANS AVANT J.C. 1 3 6 10 LES NOMBRES TRIANGULAIRES CONNUS DES BABYLONIENS 2000 ANS AVANT J.C. I INTRODUCTION Les problèmes de déombremet semblet avoir été abordés vers les deriers siècles de l'atiquité. Dès le début de

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

Petit manuel de bonne rédaction

Petit manuel de bonne rédaction Petit mauel de boe rédactio «Bie rédiger» peut sigifier deux choses : 1) exposer sa pesée clairemet, c est-à-dire avec ordre et rigueur et si possible avec style ; U raisoemet faux peut être bie rédigé,

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

XV. Probabilités. Pour le second exemple, le dénombrement de toutes les issues possibles (un schéma en arbre peut nous y aider),

XV. Probabilités. Pour le second exemple, le dénombrement de toutes les issues possibles (un schéma en arbre peut nous y aider), . Itroductio XV. robabilités. L'étude des probabilités couvre toutes les situatios de phéomèes ayat plusieurs issues possibles, la réalisatio de chaque résultat état due au hasard. Des exemples de calcul

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Probabilités et statistique pour le CAPES

Probabilités et statistique pour le CAPES Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

MATHÉMATIQUES Corrigé

MATHÉMATIQUES Corrigé Exame de ovembre 009 Exame du premier trimestre Le 30 ovembre 009 Classes de ère STG Durée 3 heures MATHÉMATIQUES Corrigé Note aux cadidats L emploi des calculatrices est autorisé (circulaire 99 86 du

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

La classification de données quantitatives avec SPAD

La classification de données quantitatives avec SPAD La classificatio de doées quatitatives avec SPAD SPAD effectue toujours ue ACP de la matrice des doées quatitatives X " p avat de faire la classificatio des idividus. Les méthodes de classificatio s appliquet

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

N hésitez pas à demander l aide pédagogique par voie d Internet.

N hésitez pas à demander l aide pédagogique par voie d Internet. Uité de mise à iveau UMN0 Cette première uité de mise à iveau a pour ut de vous remettre das le ai du calcul littéral e faisat appel à des coaissaces idispesales pour aorder le cycle complet des UMN. Nous

Plus en détail

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 Table des matières 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 2 11 Notatios 2 12 Équatio de Black-Scholes

Plus en détail

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f.

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f. Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

Terminale S. 1. Divers

Terminale S. 1. Divers Termiale S 1 Divers Bézout 3 Quadratique 4 Divisibilité 5 Equatio diophatiee 6 Equatio diophatiee (, Caracas 01_04) 7 Base de umératio 8 Base de umératio 3 9 Somme des cubes 10 PGCD 11 Somme des diviseurs

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3... Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini P : Déombremets / Probabilités e uivers fii Déombremet & Combiatoire P.1 O tire les cartes! O tire 5 cartes das u jeu de 32 cartes usuel. Combie y a-t-il de tirages possibles vérifiat les coditios suivates

Plus en détail

Probabilités & Statistiques L1: Cours. December 20, 2008

Probabilités & Statistiques L1: Cours. December 20, 2008 Probabilités & Statistiques L1: Cours December 20, 2008 Chapter 1 Déombremets I 1.1 Pricipes gééraux Règle du produit O fait deux expérieces, successives ou simultaées. Si la première doe 1 résultats possibles

Plus en détail

Chapitre 1: Calcul des intérêts

Chapitre 1: Calcul des intérêts Chapitre 1: Calcul des itérêts Ce chapitre vise à familiariser le lecteur avec les otios suivates : Itérêt Taux d itérêt omial Taux d itérêt périodique Valeur acquise Valeur actuelle Capitalisatio Le lecteur

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008 Prépa HEC Sait-Jea de Douai Probabilités Poly des exercices ECS1 2007-2008 Christia Skiada 4 septembre 2008 Spriger-Verlag Berli Heidelberg NewYork Lodo Paris Tokyo Hog Kog Barceloa Budapest Préface Voici

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

Divisibilité, division euclidienne, congruences

Divisibilité, division euclidienne, congruences Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces Résolutio de problèmes Des multiples et des diviseurs. Le code sigifie «allumée» et le code «éteite». lampe étape étape étape étape étape 5 étape 6 suivates 5

Plus en détail

FLUCTUATION ET ESTIMATION

FLUCTUATION ET ESTIMATION 1 FLUCTUATION ET ESTIMATION Le mathématicie d'origie russe Jerzy Neyma (1894 ; 1981), ci-cotre, pose les fodemets d'ue approche ouvelle des statistiques. Avec l'aglais Ego Pearso, il développe la théorie

Plus en détail

Suites et séries numériques

Suites et séries numériques Maths MP Cours Table des matières Suites et séries umériques Quelques prélimiaires. Les yeux fermés........................................... De quoi parle-t-o?........................................3

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( )

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( ) Aée 01-013 Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les

Plus en détail

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015) Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les

Plus en détail

Table des matières. Aller à la page suivante

Table des matières. Aller à la page suivante CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Chapitre 3 Séries umériques 3. Préparatio Défiitio 3..2 O appelle série de terme gééral u et o ote u (qui se lit «série de terme gééral u»), où (u ) N R N, la suite de terme

Plus en détail

École de technologie supérieure

École de technologie supérieure École de techologie supérieure Mat 165-04 Algèbre liéaire et aalyse vectorielle A-015 Michel Beaudi michel.beaudi@etsmtl.ca Liste d exercices à faire e T.P./Caledrier des évaluatios Itroductio au cours

Plus en détail

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours Aée 2013/2014 TS Itervalle de fluctuatio et estimatio Cours est u etier aturel o ul et p est u réel de l itervalle 0 ; 1. I Itervalle de fluctuatio Cotexte : Das ue populatio, la proportio d idividus présetat

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

4 Approximation des fonctions

4 Approximation des fonctions 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour

Plus en détail

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

Cours (Terminale S) Limite d une fonction

Cours (Terminale S) Limite d une fonction Cours (Termile S) Limite d ue octio Limite d ue octio e + ou Foctio déiie u voisige de + (resp ) Soit ue octio d esemble de déiitio D O dir que «l octio est déiie u voisige de + (resp )» s il eiste u réel

Plus en détail

Cryptographie et algorithmique

Cryptographie et algorithmique F.Gaudo 1 er ovembre 2010 Table des matières 1 Avat de commecer 2 2 Préformattage d'u texte pour aalyse 3 2.1 Élimiatio de la poctuatio et des espaces das u texte................. 3 2.2 Formatage du texte

Plus en détail

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P.

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. Uiversité Mohammed V - Agdal Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques et Iformatique Aveue Ib Batouta, B.P. 04 Rabat, Maroc Filière DEUG : Scieces Mathématiques et Iformatique (SMI) et Scieces Mathématiques

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

Éléments de cours de Probabilités

Éléments de cours de Probabilités Élémets de cours de Probabilités Licece de mathématiques Uiversité de Versailles Sait-Queti Jea-Fraçois Marckert Table des matières I. Itroductio 1 1. U peu d histoire......................................

Plus en détail

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé www.almohadiss.com Exercice - Avio - L2/Prépa Hec - O ote X la variable aléatoire du ombre de moteurs de A qui tombet e pae, et Y la variable aléatoire du ombre de moteurs de B qui tombet e pae. X suit

Plus en détail