PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS

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1 PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie de I=appro- diophatiee. INTRODUCTION Ls fopme g~~rale dlu probl~me de progpammatio math~matique (ou optimisatio) est la suivate, O cherche & maximiser ou miimisep ue foctlo de k vapiables : z = f(x 1,...~ ) Lor'sque ces variables sot soumises ~ des cotr'aites : 90.( 1 ~..., ) _ A0. pour" 0. E I Das les pr'obl~mes de programmatio (ou optimisatio) e ombr'es etier's~ ous imposeros e plus aux var'iables dw~tr'e eti~r'es. Nous allos voir" que cer'tais pr'obl~mes d=apppo diophatiees peuvet se mettre sous la for`me de probl~mes dloptimisatio e ombres etier`s et que~ dlautre par't~ des pr-obl~mes dloptimisatio e ombr.es etiers requi~r`et des dsultats et des mdthodes dl aalyse diophatiee : I - FRACTIONS CONTINUES. O d~sige pap [x] plus pr'oche de x~ o pose la partie eti~re de x, et si m est Iletier 9 le { = x-m et I1 = valeur absolue de {x}.

2 114 Apropos des fractios cotiues~ le r~sultat suivat est souvet cit& (cf. par exemple [2], th~or~me 181 ) : Les covergets p/q de x costituet la meilleure approximatio ratioelle de x. Plus pr~cis~met : pour q < q' oa : I P - x I < I ~- q - x I et liqxll < Itq xll. q Autremet dit le d~omiateur des covergets de x sot solutio pour certaie vajeu de Q des probl~mes dtoptimisatio : (1) 1 (2) i ~ llqxll i Ilqxll R6cipr-oquemet~ le probl~me 2 est 6solu par exemple das [3]~ p, 10. La solutio est le d6omiateur q v6rifiat q<_q. Toute solutio du probl~me 9. est aussi ue solutio du probl~me 1 : I 1 q<q et Ilqxll< ttqxll = ~ Ilqxll< ~ Ilqxll mais le probl~me 1 a davatage de solutios. P Si ~ P+ 1 et - - sot deux covergets cos~cutifs, o d~fiit q+l ([3], p. 16) les covepgets iter'm~diaires pour <_ r < a+2, par : P+l 1 r r P+ + P q+l, r r q+l + q Lorsque r = a +2' o trouve P+2. Les seules fractios P-- de d~omiaq+2 q P P+l teur q< q+l et situ~es etre q et q+t sot les cover'gets iterm~diaires P+11 r qui formet ue famille mootoe e r, croissate q+l, r si est pair et d~croissate sio. Les solutios du probl~me 1 sot doc & predre parmi les d~omiateurs des covergets iter'm~diaires mais il e faut pas les pedre tous.

3 115 Par exemple, pour x = II, o a Po 3 Pl = 22 P2 333 qo = T~ ql '7 ~ q2 106 J P._.3 :. 355 q3 113 Les covergets iterm@diaires sot : "7 1._ i,7 : 2' 3 ~ 4' 5' e: 2,5 4' i 3 8 ' 15 ' 22 ' 29' 36 ' 1 9 6i' ` ' 50 ' "'" ' 99? 10 Les fractios ~ et m approchet mois bie 1"c que 3 et e serot pas solutio du probl~me 1. De m@me 25 15,7 "8- ~ " " " ' 50 serot de mois boes 22 approximatios que -~-. Les covergets iterm~diaires sot solutio des probl~mes 1 bis (Iorsque est pair)et I ter (Iorsque est impair) 0_<o F0_<o (I bis) a} > 0 (I ter) ~{q o.} < 0 L rai Itq CLII I 1 rai IIq c~l'? Par exemple ~ est la meilleure approximatio par exc~s de l"r avec u d6omiateur _< 2. (Of [7] et [6], p. 163). II - T. L. Saaty a pos(~ le probl~me suivat : "Etat do6 u etier C >0 trouver u etier et des etiers xt~...~ x satisfaisat la co- traite ~ x. = C et maximisat la quatit6 II (xi)i. i=l = i=1 La solutio de ce probl~me dloptimisatio est la suivate : [5] Soit a = l~ 2 b = 3 a(1-a) O a : log 3 ~ 9 a(1-a)- 1 " = [(O-1)b] ou [(C-1)b] + 1

4 116 Lorsque est fix~, o a : Xl = "'" =x r =1 avec r = [(3 - C + I)(I - a)] Xr+t =... = xp s =2 avec r+s= [(3 - C + 1)a] Xr+s+ 1 =... = x =3 Le choix de est l i~ au comportemet de I" = { (C - 1 )b} et ~ = { (C - 1 )d} ave(:: d : a 9 a(l -- a)- I sulvat le graphique : I" 0 et To 9 a(1-a) -1 = f6 ~ ~1 o 9 a(1-a) - I o ~o f -C III - NOMBRES HAUTEMENT COMPOSES. Rappelos la di~fiitio de Ramauja (cf. [8] et [4]). U ombr'e est hautemet compos(~ sill a plus de diviseurs que les ombr.es qui le precedet : Si d() est le ombpe de diviseurs de ~ o a : est h.c. ~ m< r d(m) < d() est u r~el ;>0~ o sait que d() =0( e) (cf. [2], (::hap. 18). La foctio d~)._ a doc u maximum absolu~ qulelle atteit e -- N e. Ce ombr-e est hautemet compos~ car- o a pour- tout m : d(nr d(m) e _ < ~ et do(:: m<n e ~ d(m)< _ ( ~ m )e d(nr < d(n e) m (N) r 18 d~compositio e facteups premier's de N e est simple : Soit x = 21/e et x k = (x I~ (1 + 1/k))/log 2 pour > -- 2.

5 117 Alors N e = [[p p avec a P P a =ko Xk+ <p <x k Ramauja appelle cette famille de ombres N e hautemet compos~s sup~rieurs. Das Ilarticle [4], I=id&e est de costruire des ombres s voisis de Nr A partir de I&~ o peut majorer le ombre Q(x) de ombre hautemet compos~s < X. O obtiet : Q(X) <_ (Io9 X) C. Lorsque N e est grad, posos pour simplifier It~crlture log 3/2 y = x 2 = x e avec e = log 2 tifs etoupat x : D~sigos de la fa~o suivate, les ombres premiers cos~cu- "'" P2 < Pl <- x < PI < P2 <''" Faisos de m~me pour y : "'" q2 < q l <- y < Q1 < O'2 "'" Das la d~compositio e facteurs premiers de NO, les ombres premiers Pi ~ Pi ~ Qi' qi' ot comme exposat 0~ 1~, 2. O cosid~re les ombres s, pour diff&retes valeurs de s : Q1 Qg +'" Qs s = Nr avec r = [se] Pl P2 "'" PP Oa: d( s) = d(ns (3/2)s 2 r et log d(s) -log d(n C) = {s e} Io92 O sait par le th~or~me de Feldma, prologeat les travaux de Baker que 8 = log 3/2 log 2 e peut pas avoir de trop boes approximatios ratioelles : il existe C et k tels que :

6 > ~ k q pour. tous etier.s pet q. Les ombres {s G} sot doc assez bie r~par.tis das IWiter.- valle [O, 1 3 et o peut major.er, le ombre de ombr.es hautemet compos~s situ~s etr.e deux ombr.es cos~outifs. S NOMBRES SUPERABONDANTS. Si lio r.emplace la foctio d() par. (~() o~j O() = Z; d, di darts la d&fiitio des hombres hautemet compos~s~ o obtiet les hombres super.abodats. /es hombres N6 I~sup~r.ieur.sJ~ devieet les ombr.es colossalemet abodats (voir. Eli), La d~compositio e facteurs ppemier.s de Ne est a N 6 = ["[ p P avec = ap k = Xk+ 1 < p < x k P et les x k sot d~fiis pap : x -- x 1 et pour k> 1 9 k-1 log (1 + 1/(x~ + x k Xk) ) log x k g La relatio qui lie y = x 2 & x = x 1 est plus compliqu~e -" log (1 + 1/(y 2' + y) = Ioq(1 + l/x) log y log O peut ~crire y = x0(x)~ mais 6 ue foctio de x. Das II@tude des ombr.es s~ la quatit~ {ss(x).} iter.viedr.a comme pr@c~demmet. Pour les valeur.s de x~ oq 8(x) la pas de boes appr.oximatios ratioelles~ la m@me th~orie marche ; pour" les autres valeurs de x~ o e salt pas coclur.e.

7 119 REFERENCES [1] ERDOS P, NICOLAS J. L. [ 2] HARDY G. H, WRIGHT E. M. [ 3] LANG S. [ 4] NICOLAS J.L. [5] NICOLAS J.L. [6] NIVEN I, ZUCKERMANN S. [ 7] PERRON O. [8] RAMANU JAN S. R~partitio des ombres superabodats, Bull. Soc. Math. Frace, parartre, (191zl.). A itroductio to the theory of umbers, Oxford at the Claredo Press~ 4~me editiop (lg60). Itroductio to Diophatie appro- New-York, Addiso Wesley, series i Mathematics, ( 966). R@partitio des ombres hautemet compos@s de Ramau.ia, Ca. J. Maths, vol. XXlll,p. 116~130,(1971). Sur u probl~me dtoptimisatio e hombres etier-s de T.L. Saaty, R.A.I.R.O., ~ parartre. A itroductio to the theory of umbers, New-York, 3~me ~ditio, Joh Wiley ad sos, (1972). Die Lehre yo de Kettebr'(Jche, New-York, Chelsea. Highly composite umbers, Pr'oc. Lodo Math. Soc., Set. 14, p , Collected papers p , (1915). Uiversit~ ae Limoges D~partemet de Math&matiques LI. E.R. des Scieces LIMOGES