PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS"

Transcription

1 PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie de I=appro- diophatiee. INTRODUCTION Ls fopme g~~rale dlu probl~me de progpammatio math~matique (ou optimisatio) est la suivate, O cherche & maximiser ou miimisep ue foctlo de k vapiables : z = f(x 1,...~ ) Lor'sque ces variables sot soumises ~ des cotr'aites : 90.( 1 ~..., ) _ A0. pour" 0. E I Das les pr'obl~mes de programmatio (ou optimisatio) e ombr'es etier's~ ous imposeros e plus aux var'iables dw~tr'e eti~r'es. Nous allos voir" que cer'tais pr'obl~mes d=apppo diophatiees peuvet se mettre sous la for`me de probl~mes dloptimisatio e ombres etier`s et que~ dlautre par't~ des pr-obl~mes dloptimisatio e ombr.es etiers requi~r`et des dsultats et des mdthodes dl aalyse diophatiee : I - FRACTIONS CONTINUES. O d~sige pap [x] plus pr'oche de x~ o pose la partie eti~re de x, et si m est Iletier 9 le { = x-m et I1 = valeur absolue de {x}.

2 114 Apropos des fractios cotiues~ le r~sultat suivat est souvet cit& (cf. par exemple [2], th~or~me 181 ) : Les covergets p/q de x costituet la meilleure approximatio ratioelle de x. Plus pr~cis~met : pour q < q' oa : I P - x I < I ~- q - x I et liqxll < Itq xll. q Autremet dit le d~omiateur des covergets de x sot solutio pour certaie vajeu de Q des probl~mes dtoptimisatio : (1) 1 (2) i ~ llqxll i Ilqxll R6cipr-oquemet~ le probl~me 2 est 6solu par exemple das [3]~ p, 10. La solutio est le d6omiateur q v6rifiat q<_q. Toute solutio du probl~me 9. est aussi ue solutio du probl~me 1 : I 1 q<q et Ilqxll< ttqxll = ~ Ilqxll< ~ Ilqxll mais le probl~me 1 a davatage de solutios. P Si ~ P+ 1 et - - sot deux covergets cos~cutifs, o d~fiit q+l ([3], p. 16) les covepgets iter'm~diaires pour <_ r < a+2, par : P+l 1 r r P+ + P q+l, r r q+l + q Lorsque r = a +2' o trouve P+2. Les seules fractios P-- de d~omiaq+2 q P P+l teur q< q+l et situ~es etre q et q+t sot les cover'gets iterm~diaires P+11 r qui formet ue famille mootoe e r, croissate q+l, r si est pair et d~croissate sio. Les solutios du probl~me 1 sot doc & predre parmi les d~omiateurs des covergets iter'm~diaires mais il e faut pas les pedre tous.

3 115 Par exemple, pour x = II, o a Po 3 Pl = 22 P2 333 qo = T~ ql '7 ~ q2 106 J P._.3 :. 355 q3 113 Les covergets sot : "7 1._ i,7 : 2' 3 ~ 4' 5' e: 2,5 4' i 3 8 ' 15 ' 22 ' 29' 36 ' 1 9 6i' ` ' 50 ' "'" ' 99? 10 Les fractios ~ et m approchet mois bie 1"c que 3 et e serot pas solutio du probl~me 1. De 25 15,7 "8- ~ " " " ' 50 serot de mois boes 22 approximatios que -~-. Les covergets iterm~diaires sot solutio des probl~mes 1 bis (Iorsque est pair)et I ter (Iorsque est impair) 0_<o F0_<o (I bis) a} > 0 (I ter) ~{q o.} < 0 L rai Itq CLII I 1 rai IIq c~l'? Par exemple ~ est la meilleure approximatio par exc~s de l"r avec u d6omiateur _< 2. (Of [7] et [6], p. 163). II - T. L. Saaty a pos(~ le probl~me suivat : "Etat do6 u etier C >0 trouver u etier et des etiers xt~...~ x satisfaisat la co- traite ~ x. = C et maximisat la quatit6 II (xi)i. i=l = i=1 La solutio de ce probl~me dloptimisatio est la suivate : [5] Soit a = l~ 2 b = 3 a(1-a) O a : log 3 ~ 9 a(1-a)- 1 " = [(O-1)b] ou [(C-1)b] + 1

4 116 Lorsque est fix~, o a : Xl = "'" =x r =1 avec r = [(3 - C + I)(I - a)] Xr+t =... = xp s =2 avec r+s= [(3 - C + 1)a] Xr+s+ 1 =... = x =3 Le choix de est l i~ au comportemet de I" = { (C - 1 )b} et ~ = { (C - 1 )d} ave(:: d : a 9 a(l -- a)- I sulvat le graphique : I" 0 et To 9 a(1-a) -1 = f6 ~ ~1 o 9 a(1-a) - I o ~o f -C III - NOMBRES HAUTEMENT COMPOSES. Rappelos la di~fiitio de Ramauja (cf. [8] et [4]). U ombr'e est hautemet compos(~ sill a plus de diviseurs que les ombr.es qui le precedet : Si d() est le ombpe de diviseurs de ~ o a : est h.c. ~ m< r d(m) < d() est u r~el ;>0~ o sait que d() =0( e) (cf. [2], (::hap. 18). La foctio d~)._ a doc u maximum absolu~ qulelle atteit e -- N e. Ce ombr-e est hautemet compos~ car- o a pour- tout m : d(nr d(m) e _ < ~ et do(:: m<n e ~ d(m)< _ ( ~ m )e d(nr < d(n e) m (N) r 18 d~compositio e facteups premier's de N e est simple : Soit x = 21/e et x k = (x I~ (1 + 1/k))/log 2 pour > -- 2.

5 117 Alors N e = [[p p avec a P P a =ko Xk+ <p <x k Ramauja appelle cette famille de ombres N e hautemet compos~s sup~rieurs. Das Ilarticle [4], I=id&e est de costruire des ombres s voisis de Nr A partir de I&~ o peut majorer le ombre Q(x) de ombre hautemet compos~s < X. O obtiet : Q(X) <_ (Io9 X) C. Lorsque N e est grad, posos pour simplifier It~crlture log 3/2 y = x 2 = x e avec e = log 2 tifs etoupat x : D~sigos de la fa~o suivate, les ombres premiers cos~cu- "'" P2 < Pl <- x < PI < P2 <''" Faisos de m~me pour y : "'" q2 < q l <- y < Q1 < O'2 "'" Das la d~compositio e facteurs premiers de NO, les ombres premiers Pi ~ Pi ~ Qi' qi' ot comme exposat 0~ 1~, 2. O cosid~re les ombres s, pour diff&retes valeurs de s : Q1 Qg +'" Qs s = Nr avec r = [se] Pl P2 "'" PP Oa: d( s) = d(ns (3/2)s 2 r et log d(s) -log d(n C) = {s e} Io92 O sait par le th~or~me de Feldma, prologeat les travaux de Baker que 8 = log 3/2 log 2 e peut pas avoir de trop boes approximatios ratioelles : il existe C et k tels que :

6 > ~ k q pour. tous etier.s pet q. Les ombres {s G} sot doc assez bie r~par.tis das IWiter.- valle [O, 1 3 et o peut major.er, le ombre de ombr.es hautemet compos~s situ~s etr.e deux ombr.es cos~outifs. S NOMBRES SUPERABONDANTS. Si lio r.emplace la foctio d() par. (~() o~j O() = Z; d, di darts la d&fiitio des hombres hautemet compos~s~ o obtiet les hombres super.abodats. /es hombres N6 I~sup~r.ieur.sJ~ devieet les ombr.es colossalemet abodats (voir. Eli), La d~compositio e facteurs ppemier.s de Ne est a N 6 = ["[ p P avec = ap k = Xk+ 1 < p < x k P et les x k sot d~fiis pap : x -- x 1 et pour k> 1 9 k-1 log (1 + 1/(x~ + x k Xk) ) log x k g La relatio qui lie y = x 2 & x = x 1 est plus compliqu~e -" log (1 + 1/(y 2' + y) = Ioq(1 + l/x) log y log O peut ~crire y = x0(x)~ mais 6 ue foctio de x. Das des ombr.es s~ la quatit~ {ss(x).} iter.viedr.a comme Pour les valeur.s de x~ oq 8(x) la pas de boes appr.oximatios ratioelles~ la th~orie marche ; pour" les autres valeurs de x~ o e salt pas coclur.e.

7 119 REFERENCES [1] ERDOS P, NICOLAS J. L. [ 2] HARDY G. H, WRIGHT E. M. [ 3] LANG S. [ 4] NICOLAS J.L. [5] NICOLAS J.L. [6] NIVEN I, ZUCKERMANN S. [ 7] PERRON O. [8] RAMANU JAN S. R~partitio des ombres superabodats, Bull. Soc. Math. Frace, parartre, (191zl.). A itroductio to the theory of umbers, Oxford at the Claredo Press~ 4~me editiop (lg60). Itroductio to Diophatie appro- New-York, Addiso Wesley, series i Mathematics, ( 966). des ombres hautemet de Ramau.ia, Ca. J. Maths, vol. XXlll,p. 116~130,(1971). Sur u probl~me dtoptimisatio e hombres etier-s de T.L. Saaty, R.A.I.R.O., ~ parartre. A itroductio to the theory of umbers, New-York, 3~me ~ditio, Joh Wiley ad sos, (1972). Die Lehre yo de Kettebr'(Jche, New-York, Chelsea. Highly composite umbers, Pr'oc. Lodo Math. Soc., Set. 14, p , Collected papers p , (1915). Uiversit~ ae Limoges D~partemet de Math&matiques LI. E.R. des Scieces LIMOGES

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Terminale S (2014-2015) Suites numériques

Terminale S (2014-2015) Suites numériques Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique Équatios différetielles - Cours o 6 Approximatio umérique 1 Itroductio De très ombreux problèmes scietifiques sot mis e équatio à l aide d u système d équatios différetielles ẋt) = ft, xt)) voir par exemple

Plus en détail

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A Iformatique TP : Calcul umérique d ue itégrale CPP 1A Romai Casati, Wafa Johal, Frederic Deveray, Matthieu Moy Avril - jui 014 1 Zéro de foctio O doe le code suivat (vu e cours), qui permet de calculer

Plus en détail

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites umériques Eocés Exercice Les assertios suivates sot-elles vraies ou fausses? Doer ue démostratio de chaque assertio vraie, et doer u cotre-exemple de chaque

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède).

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède). #4 Itégrale de Riema Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Soit f ue foctio cotiue sur [, ] telle que Motrer que f ab f(t)dt = O pose a = mi f et b = max f Exercice x ) Motrer

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

Feuille d exercices 5

Feuille d exercices 5 Mathématiques Physique S3, 205/206 Uiversité Blaise Pascal Feuille d exercices 5 Ex.. Tracer le graphe des foctios périodiques suivates, doer leur développemet e série de Fourier et discuter la covergece

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Suites géométriques suite géométrique suite géométrique de raison q

Suites géométriques suite géométrique suite géométrique de raison q Sites géométriqes Itrodctio : M. Fiace dispose d e somme de 5 FF et désire faire frctifier so pactole ; por cela il va voir so baqier qi li propose de optios : e agmetatios forfaitaire, aelle, de 5 F =

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Temps moyen de lecture par page (exercice compris) : 10 minutes

Temps moyen de lecture par page (exercice compris) : 10 minutes MOTS BINAIRES Mots biaires de logueur 2 Rappel : le logarithme e base b 3 Le choix de la logueur des mots biaires 4 Calculs avec les mots de logueur 5 Le poids d u mot biaire de logueur 6 La distace de

Plus en détail

Concours commun Mines-Ponts 2000 Corrigé de la seconde épreuve de mathématiques

Concours commun Mines-Ponts 2000 Corrigé de la seconde épreuve de mathématiques Cocours commu Mies-Pots Corrigé de la secode épreuve de mathématiques a Nous pouvos appliquer le critère de d Alembert : doc le rayo R est égal à /4 C+ + + + C = + 4, + b O sait que h est de classe C avec

Plus en détail

arxiv:1402.5510v1 [math.co] 22 Feb 2014

arxiv:1402.5510v1 [math.co] 22 Feb 2014 SUR UNE PROPRIÉTÉ DES POLYNÔMES DE STIRLING par arxiv:1402.5510v1 [math.co] 22 Feb 2014 Farid BENCHERIF & Tarek GARICI Résumé. Das cet article, ous répodos positivemet à ue questio posée e 1960 par D.S.

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre Exercices de Khôlles de Mathématiques, secod trimestre Lycée Louis-Le-Grad, Paris, Frace Igor Kortchemski HX 2-2005/2006 Exercices particulièremet itéressats : - Exercices 2., 2.2 - Exercice 3. - Exercice

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Décomposition d'un nombre en fractions égyptiennes, conjecture de Sierspinski

Décomposition d'un nombre en fractions égyptiennes, conjecture de Sierspinski Décompositio d'u ombre e fractios égyptiees, cojecture de Sierspiski Stage "Mathématiques et iformatique" - Ouagadougou février 999 Sommaire. Historique : l œil oudjat. Décompositio d u ombre e fractios

Plus en détail

Article PanaMaths Les intégrales et la formule de Wallis

Article PanaMaths Les intégrales et la formule de Wallis Article PaaMaths Les itégrales et la formule de allis Itroductio Joh allis (Ashford 66 Oxford 73) est u mathématicie aglais. So éducatio fut d abord religieuse (il sera ordoé prêtre e 64) mais à partir

Plus en détail

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan.

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan. Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable FNCTIN RECIPRQUE D'UNE FNCTIN CNTINUE, D'UNE FNCTIN DERIVABLE EXEMPLES N SE LIMITERA AUX FNCTINS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R Notatios

Plus en détail

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points)

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points) INSA Toulouse, STPI, IMACS 2 mercredi 18 décembre 212 Correctio exame d'aalyse I (coquilles probables) Exercice 1 (Séries etières - 5 poits) Calculer le rayo de covergece et le domaie de covergece simple

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Comportement asymptotique

Comportement asymptotique Comportemet asymptotique NB: Les phrases écrites etre guillemets e italique sot écessaires à la compréhesio de la otio de ite, mais sot peu utilisées das la pratique où l o fait plutôt appel au propriétés

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

Suites et limites. Chapitre Exercices. 1. Calcul des limites I. (r) Calculer. sin 1 2 n. (l) Calculer lim n( n 4 + 4n + 5 n 2 ).

Suites et limites. Chapitre Exercices. 1. Calcul des limites I. (r) Calculer. sin 1 2 n. (l) Calculer lim n( n 4 + 4n + 5 n 2 ). Chapitre Suites et ites Exercices Calcul des ites I (a) Calculer (b) Calculer (c) Calculer (d) Calculer (e) Calculer (f) Calculer (g) Calculer (h) Calculer (i) Calculer (j) Calculer (k) Calculer + + 4

Plus en détail

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES 74 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M lère compositio 1/6 PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (Sujet commu ENS : ULM et LYON) DURÉE : 6 heures Lc cadidat peut traiter l ue quelcoque des parties

Plus en détail

Exercices corrigés sur les séries entières

Exercices corrigés sur les séries entières Exercices corrigés sur les séries etières Eocés Exercice Détermier le rayo de covergece des séries etières a z suivates : a l, a l, a, a e /3, a +!, a arcsi + π 4. Exercice Détermier le rayo de covergece

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart Uiversité Joseph Fourier, Greoble Maths e Lige Séries umériques Luc Rozoy, Berard Ycart Disos-le tout et, ce chapitre est pas idispesable : d ailleurs, vous e verrez pas vraimet la différece avec les suites.

Plus en détail

Lucyna FIRLEJ IUT Mesures Physiques Statistiques C1

Lucyna FIRLEJ IUT Mesures Physiques Statistiques C1 1 Statistique iferetielle. Relatios Iteratioales Lucya Firlej Pl. E.Bataillo, Bat.11, cc.06 34095 Motpellier cedex 5 Frace lucya.firlej@umotpellier.fr S3. Statistics. 30 h d eseigemet: 10 cours, 10 TD,

Plus en détail

Application «Calculs» Application «Graphiques» Application «Tableur et listes» FR

Application «Calculs» Application «Graphiques» Application «Tableur et listes» FR TI Nspire Documet de Formatio T3 Walloie TI-Nspire Le tout e u des mathématiques Suites umériques La loi de Verhulst Applicatio «Calculs» Applicatio «Graphiques» Applicatio «Tableur et listes» FR Formatios

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 2005 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES PREMIER EXERCICE a. T (x + y dxdy = = ( y= (x + y dy y= x dx = ((x + 2 ( x2 + x2 2 dx = T (x + y dxdy = 4 3. [xy +

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u =

Plus en détail

Automates 1 Présentation

Automates 1 Présentation Automates Présetatio Présetatio d u automate 2 Ue maière de désiger l automate de l exemple 3 Défiitio géérale 4 U exemple d automate 5 Mot costruit sur l alphabet C 6 L esemble de tous les mots das u

Plus en détail

Annexes mathématiques

Annexes mathématiques Chapitre 8 Aexes mathématiques 8.1 Quelques otatios et foctios de base 8.1.1 Parties etières Pour tout réel x, dxe (resp. bxc) désige la partie etière supérieure (resp. la partie etière iférieure) de x,

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés Calcul de limites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la limite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = +

Plus en détail

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener INF58 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wieer Nicolas DOUZIECH - Thomas JANNAUD - X005 9 mars 008 Table des matières Quelques rappels sur le cryptosystème RSA Pricipe de l attaque de

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS APPLICATIONS LINEAIRES

ESPACES VECTORIELS APPLICATIONS LINEAIRES SPACS VCTORILS APPLICATIONS LINAIRS xercices Les exercices précédés de ce symbole e serot pas traités e classe (U corrigé sera mis sur le site) XRCIC : O ote M3 l espace vectoriel des matrices carrées

Plus en détail

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 206 Eocés Etude asymptotique de suites de solutios d ue équatio Exercice [ 02289 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + l x = d icoue x R +.

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6 Corrigés TD Chapitre : Variables aléatoires sur u uivers fii Exercice : Soit X la VAR défiie par le tableau suivat : x i - - 0 p 6 4 6 4 6 i O ote Y = X ) Détermier la loi cooite de X et Y ) Détermier

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques Agrégatio extere de mathématiques, sessio 2008 Épreuve de modélisatio, optio (public 2008) Mots clefs : Loi des grads ombres, espace des polyômes, estimatio o-paramétrique Il est rappelé que le jury exige

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques......................................

Plus en détail

Application du logiciel Excel

Application du logiciel Excel Applicatio du logiciel Ecel Utilisatio du Solver du logiciel Ecel Table de matiers Lacemet du logiciel... Optimisatios... Programmatio liéaire... Problème du trasport... 8 Problème de programmatio quadratique...

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. Exercice. Ue suite de réels positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag. C est faux. Pour costruire u cotre-exemple, o pourrait cosidérer

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : La figure ci cotre est la représetatio graphique d ue foctio f défiie et cotiue sur IR O ote que (ζf) admet au voisiage de

Plus en détail

Séquence 1. Suites numériques

Séquence 1. Suites numériques Séquece Suites umériques Objectifs de la séquece Recoaître des situatios faisat iterveir des suites géométriques ou des suites arithmético-géométriques. Modéliser ces situatios par des suites géométriques

Plus en détail

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004 3 octobre 2004 Exemple 2. O se doe a I et q C(I, K). L équatio différetielle liéaire : y (x) q(x) y(x) = 0 avec les coditios y(a) = α, y (a) = β SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS PC*2 3 octobre 2004 Admet

Plus en détail

Correction du TD 3 : Séries numériques

Correction du TD 3 : Séries numériques Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques Correctio du TD : Séries umériques Exercice A chaque fois, puisqu'o demade la covergece et la valeur, o reviet à la somme partielle : esuite, soit o recoaît

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

Note sur le comportement en l infini d une fonction intégrable

Note sur le comportement en l infini d une fonction intégrable Note sur le comportemet e l ifii d ue foctio itégrable Emmauel Lesige To cite this versio: Emmauel Lesige. Note sur le comportemet e l ifii d ue foctio itégrable. 2008. HAL Id: hal-00276738

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice 1 - Loi d u dé truqué - Deuxième aée - 1. X pred ses valeurs das {1,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque

Plus en détail

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des

Plus en détail

pour tout n de N, u n u n+1 ( resp. u n > u n+1 ). On dit d une suite ( u n ) qu elle est décroissante ( resp. strictement décroissante ) si :

pour tout n de N, u n u n+1 ( resp. u n > u n+1 ). On dit d une suite ( u n ) qu elle est décroissante ( resp. strictement décroissante ) si : Sites mootoes Sites adjacetes Approximatios d réel Développemet décimal Pré reqis Axiome de la bore spériere Limite d e site Partie etière d réel Divisio eclidiee Sites mootoes Défiitios : O dit d e site

Plus en détail

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de "Processus Stochastiques"

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de Processus Stochastiques Master ère aée spécialité IMIS et Mathématiques Cotrôle cotiu de "Processus Stochastiques" 8 octobre 00 - Durée h Calculatrices et documets autorisés Exercice Jacques va tous les jours à so travail e emprutat

Plus en détail

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C :

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C : Corrigé baccalauréat S Polyésie 200 (raiateabac.blogspot.com) EXERCICE (5 poits) Pré-requis : z a + bi et _ z a bi Partie A : a ) E posat z a + bi et z a + b i o obtiet : z x z (a + bi) ( a + b i) aa bb

Plus en détail

Exercices - Les nombres réels : corrigé. Valeur absolue - Partie entière

Exercices - Les nombres réels : corrigé. Valeur absolue - Partie entière Exercices - Les ombres réels : corrigé Exercice 1 - Ordre et R - L1/Math Sup - 1. Supposos que a 0 et posos ε = a /2 > 0. Alors o a a < ε = a /2, soit e simplifiat par a qui est positif, 1 < 1/2. Ceci

Plus en détail

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites 12 Cours - Suites.b 1/11 Suites I) Gééralités 1) Défiitio 2) Notatio 3) Commet peut être défiie ue suite 4) Suites et ordre 5) Propriété vraie à partir d u certai rag 6) Exercice 7) Suites arithmétiques,

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

Détermination des champs électriques et magnétiques. statiques par la méthode de séparation de variables

Détermination des champs électriques et magnétiques. statiques par la méthode de séparation de variables Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables Chapitre III Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables

Plus en détail

Introduction aux tests statistiques

Introduction aux tests statistiques Itroductio aux tests statistiques Philippe Boeau 27 septembre 2006 Chapitre 1 Élémets de probabilités Exercice 1 O ote E l esemble des etiers aturels iférieurs ou égaux à 12 et A (respectivemet B et C)

Plus en détail

Correction concours général maths 2015

Correction concours général maths 2015 Correctio cocours gééral maths 2015 Problème I Petits poids 1) a) 3 = 3, 3 + 5 = 8, 3 + 5 6 = 2, 3 + 5 6 8 = 6, 3 + 5 6 8 + 2 = 4 doc poids(3,5, 6, 8,2) = 8 b) poids(1,2,3,,2015, 2015, 2014,.., 1) = 1

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P.

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. Uiversité Mohammed V - Agdal Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques et Iformatique Aveue Ib Batouta, B.P. 04 Rabat, Maroc Filière DEUG : Scieces Mathématiques et Iformatique (SMI) et Scieces Mathématiques

Plus en détail