Solutions particulières d une équation différentielle...

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1 Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod membre. Pour cela o peut devier ue solutio particulière évidete, utiliser le pricipe de superpositio, ou la méthode la variatio de la costate. Ue autre méthode cosiste à étudier la forme de la foctio f. Si f est de la forme f (x) = k = costate O cherche ue solutio particulière y P y P (x) = A = costate. Si f est de la forme f (x) = P(x), où P est u polyôme de degré Si a = 0, alors o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = Q(x), Si a = 0, alors o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = xq(x), Si f est de la forme f (x) = αe kx, où α et k sot des costates Si k = a, alors o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = Ae kx, 1

2 où A est ue costate à détermier. Si k = a, alors o cherche ue solutio particulière y P où A est ue costate à détermier. y P (x) = Axe kx, Si f est de la forme f (x) = α cos(ωx) + β si(ωx), où α, β et ω sot des costates O cherche ue solutio particulière y P y P (x) = Acos(ωx) + Bsi(ωx), Si f est de la forme f (x) = P(x)e kx, où P est u polyôme de degré Si k = a, alors o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = Q(x)e kx, Si k = a, alors o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = xq(x)e kx, Si f est de la forme f (x) = (α cos(ωx) + β si(ωx))e kx, où α, β, ω et k sot des costates O cherche ue solutio particulière y P y P (x) = (Acos(ωx) + Bsi(ωx))e kx, 2

3 ...du secod ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de ay + by + cy = f, où a,b et c sot des costates réelles et f ue foctio, le secod membre. Pour résoudre l équatio homogèe associée ( f = 0), o passe par l équatio caractéristique (EC) : ar 2 + br + c = 0. C est u polyôme e r dot o ote r 1 et r 2 les racies. Si le discrimiat de (EC) est strictemet positif alors r 1 et r 2 sot réelles distictes ; si est ul, alors r 1 et r 2 sot réelles et égales ; et si est strictemet égatif, alors r 1 et r 2 sot complexes et cojuguées (c est-à-dire, r 1 = r 2 ). Pour trouver ue solutio particulière à (E), o peut de ouveau devier ue solutio particulière évidete ou utiliser le pricipe de superpositio. Ue autre méthode cosiste à étudier la forme de la foctio f. Si f est de la forme f (x) = k = costate O cherche ue solutio particulière y P y P (x) = A = costate. Si f est de la forme f (x) = P(x), où P est u polyôme de degré Si c = 0, alors o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = Q(x), Si c = 0 et b = 0, alors o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = xq(x), Si c = 0 et b = 0, alors o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = x 2 Q(x), 3

4 Si f est de la forme f (x) = αe kx, où α et k sot des costates Si k est pas racie de (EC) (c est-à-dire, k r 1 et k r 2 ), alors o cherche ue solutio particulière y P où A est ue costate à détermier. y P (x) = Ae kx, Si k est racie simple de (EC) (c est-à-dire, r 1 r 2 et k = r 1 ou k = r 2 ), alors o cherche ue solutio particulière y P où A est ue costate à détermier. y P (x) = Axe kx, Si k est racie double de (EC) (c est-à-dire, k = r 1 = r 2 ), alors o cherche ue solutio particulière y P où A est ue costate à détermier. y P (x) = Ax 2 e kx, Si f est de la forme f (x) = α cos(ωx) + β si(ωx), où α, β et ω sot des costates Si iω est pas racie de l équatio caractéristique, o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = Acos(ωx) + Bsi(ωx), Si iω est racie de l équatio caractéristique, o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = x(acos(ωx) + Bsi(ωx)), 4

5 Si f est de la forme f (x) = P(x)e kx, où P est u polyôme de degré Si k est pas racie de (EC), alors o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = Q(x)e kx, Si k est racie simple de (EC), alors o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = xq(x)e kx, Si k est racie double de (EC), alors o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = x 2 Q(x)e kx, où Q est u polyôme de même degré que P. Si f est de la forme f (x) = (α cos(ωx) + β si(ωx))e kx, où α, β, ω et k sot des costates Si k + iω est pas racie de l équatio caractéristique, o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = (Acos(ωx) + Bsi(ωx))e kx, Si k + iω est racie de l équatio caractéristique, o cherche ue solutio particulière y P y P (x) = x(acos(ωx) + Bsi(ωx))e kx, Remarque : Pour détermier les costates A et B, et le polyôme Q, o ijecte la solutio particulière de la forme choisie das (E) 5

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