Résolution numérique des équations aux dérivées partielles (PDE)

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1 Résolutio umérique des équatios au dérivées partielles (PDE Sébastie Charoz & Adria Daerr iversité Paris 7 Deis Diderot CEA Saclay Référeces : Numerical Recipes i Fortra, Press. Et al. Cambridge iversity press

2 De ombreu problèmes e physiques sot décrits par des équatios d évolutio qui implique plusieurs paramètres (t et souvet Equatio d ode Equatio de diffusio (chaleur Equatio de Shrodiger Etc

3 Comme elles impliquet plusieurs paramètres, l équatio différetielle fait iterveir des dérivées partielles par rapport à chacu des paramètres Equatio d ode Equatio de diffusio (chaleur Equatio de Shrodiger D où le terme «PDE» pour «Partial Differetial Equatio»

4 Leur résolutio est souvet plus complee que les équatios à seul paramètre (ODE, et fait iterveir des grilles car il faudra discrétiser tous les paramètres Par eemple : e grille à 3D pour l espace et ue grille à D pour le temps Les techiques de résolutio chaget u peu e foctio de la dimesio du problème Nous traiteros ici les plus souvet des systèmes à D : dimesio d espace et dimesio de temps. Mais les méthodes se gééraliset à N dimesios. Comme pour les ODE, ous recotreros des problèmes de: - PRECISION - RAPIDITE - STABILITE

5 Il y a deu grades méthodes de résolutios Soit o travail das l espace «physique» (espace réel et les méthodes serot appelées Différeces fiies («Fiite Differece». O travaille sur ue grille d espace et de temps. Soit o travail das l espace de Fourrier (décompositio des foctios sur ue base de fourrier, et les méthodes serot appelées Spectrales. O travaille sur ue base fiie (doc icomplète sur laquelle les solutios se décomposet. O aura doc ue grille qui cotiedra les termes de la décompositio. Nous étudieros avat tout les méthodes de différece fiies

6 Pour commecer, u eemple : L équatio d'advectio L équatio d'advectio décrit commet ue quatité est trasportée das u courat (par eemple u poluat das de l eau., (, (, ( t r f u v t u t r f t z z u t y y u t u t u t r f Dt Du r r Dérivée totale Productio de polluat à l istat t à la positio r «v scalaire gradiet de u»

7 Si o étudie uiquemet le cas à D Et si la vitesse de l eau est costate C Alors l équatio d'advectio deviet : u(, t c u(, t f (, t t dérivée partielle par rapport au temps dérivée partielle par rapport à l espace Nous allos d abord étudier quelques propriétés de cette équatio Esuite ous verros commet la résoudre umériquemet

8 Les caractéristiques. e propriété remarquable de l équatio d'advectio (que l o retrouve das les équatios d odes est que la solutio se propage liéairemet à la vitesse C. O appelle cela ue courbe caractéristique. Cette propriété va ous être très utile. u(, t c u(, t f (, t t Faisos le chagemet de variables suivat : X αβt et Tγμt et u(,t (X,T. O predra f(,t Commet s écrivet les dérivées?

9 T X t u T X u t T T t X X t u T T X X u dt T dx X du T X t u μ β γ α, (, ( Commet se réécrit alors l équatio d'advectio?

10 L équatio se réécrit après chagemet de variables ( β cα ( μ cγ X T si o pred β -cα alors l' équatio deviet T (tout simplemet!! Alors (X,T (X seulemet Doc u(,t(xu(α-cαtu(-ct Doc u reste costat le log des droites -ctcste t/c cste

11 t t/ca t/ca t/ca3 t/ca X mi X ma Ces droites ( de pete /C sot les courbes caractéristiques de l équatio d'advectio. La solutio u(, se propage le log de ces droites Que vaut u(,t? Si -cta alors u(,tu(a-ct, Si a-ct tombe e dehors de domaie de X iitial [X mi,x ma ], alors il faut imposer ue coditio limite si (a-ct [Xmi,Xma] alors u(,tϕ(a-ct

12 Eemple : Supposos que (, Alors (, se propage à la vitesse c t caractéristique X mi X ma O retrouve le même comportemet das l équatio d odes Notez que la doée iitiale (, est évacuée après u temps (X ma -X mi /c Qui est le temps de traversée du domaie de résolutio

13 Cette propriété de propagatio de la doée iitiale le log des courbes de caractéristiques va imposer de sérieuses cotraites pour la résolutio umérique. Elle pourra être aussi utiliser comme u critère de validité de l itégrateur. Résolutio umérique de l équatio d'advectio

14 La méthode le plus simple est celle des différeces fiies O résoud l équatio d'advectio sur ue grille, doc chaque boîte a pour coté : dt T a et (b-a/j t dt et dtt/n Jb de boites e X N b de boites e T u Soit l approimatio umérique de u(, t dt a b L état iitial du système est doé par pour tout u(,

15 Soyos d accord sur les otatios temps espace varie de à N varie de à J : coditio iitiale ou J : coditio limites au bord du domaie

16 L évolutio du système sera évalue e évaluat succéssivemet Les valeurs de pour tout J e foctio des valeurs précédetes de. L équatio à résoudre est (, t c u(, t t u Appliquos des méthodes d ordre Commet calculer d /dt d u(,t/dt? Commet calculer d / d u(,t/?

17 Au premier ordre, o peut dire : t et dt Opérateur différece avat eplicite: D (f k f k -f k Opérateur différece arrière eplicite: D - (f k f k -f k- Le choi de D - est motivé par le fait que l iformatio se déplace e avat. L ifo pour X viet de X Doc l équatio deviet :????

18 , (, ( t u c t t u dt t ( cdt c dt

19 Le schéma d itégratio sera doc: cdt ( Avec J et doé par les coditios limites du problème O otera : cdt Coditio de validité du schéma sur??

20 t -cdt p t - cdt t - caractéristique - X Normalemet p avec X p situé etre - et Le schéma ous dit doc p -cdt/ ( - - > O a bie fait de predre D - pour la dérivée spatiale car l ifo viet bie de la gauche!!!

21 Comme p -cdt/ ( - - (- - c est e fait ue iterpolatio liéaire de p!!! - -cdt cdt Pour que l iterpolatio soit efficace il faut que cdt << > << : CONDITION DE CORANT / CFL (CFL : courat-friedrichs-levy

22 La coditio de courat est.. très courate quad o itègre des PDE. O la recotre touours sous ue forme ou sous ue autre O peut la compredre comme suit Si c est la vitesse de trasmissio de l ifo. Si est le pas d espace Si dt est le de temps Il faut que le pas de temps dt soit beaucoup plus court que le temps de trasmissio de l ifo la logueur : dt <</c cdt/ << CONDITION CFL

23 Implémetatio umérique : Ecriture matricielle <<J... J <<J J... O sait de plus que : (- - Calculer A das la relatio A

24 J J CL Simple relatio matricielle etre et A est ue matrice bi-diagoale CL?? coditio limite Si La coditio limite est fie alors : CL, et o impose cst Stockage mémoire importat

25 Algorithme d itégratio. Coditios limites e dehors du domaie: Coditios au bords : Sius(wt Foctio creeau. Iitialiser,, dt, c. Calculer A 3. Mettre cste pour la coditio au bord 4. retourer e

26 Eemple d itégratio umérique Coditio au bord : si(temps Si sigma, solutio eacte -, e pratique IMPOSSIBLE..

27 Preos dt. > sigma. Que se passe-t-il?

28 dt. sigma. O observe de la «dispersio umérique» > Diffusio artificielle egedrée par le schéma

29 Autre eemple : creau Dt.5 sigma Dt. Sigma.

30 Dissipatio umérique d où vies tu?? ( ( O O doc Nos dérivées sot estimées de maière trop simples. E fait u résoud l équatio : ( c c t Terme dissipatif

31 Aalyse de stabilité : Méthode de Vo Neuma O doit cosidérer la trasformée de Fourrier > Approche spectrale O décompose la foctio ( sur ue base de sius et cosius. Sachat que ( avec fk e k ik k f k e ik La logueur d ode du mode k est λl/k Kb de fois qu u mode etre das la boite de logueur L

32 K Décompositio d ue solutio Sur les modes K Domaie : < < K K3 k f k e ik K4 etc approche spectrale : travailler sur les f plutôt que sur les

33 k f k e ik O cosidère alors l évolutio des f k qui sot les coefficiets de chaque mode. Au cours du temps : f k g(k f k Stabilités g(k < pour tout k O regarde si les modes sot amplifiés ou o

34 Commet le schémas upwid se traduit das ue base de fourrier? ( Schéma d itégratio O remplace par sa TF k f k e ik ( k f k e ik k f k e ik ( ( k f k e ik e ik k f k e ik Trouver le facteur d amplificatio du mode k : u k g(k u k

35 ( cos( ( ( ( ( ( ( ( k k g e e k g f e f f e f f ik ik k ik k k ik k k Stabilité : si g(k < pour tout k SIGMA iférieur ou égal à O retrouve ecore la coditio de courat Notre schéma est stable mais dispersif O voit aussi qu il y a u couplage des modes > origie de la dispersio

36 Sigma. Evolutio d ue impulsio gaussiee Evolutio d u créeau

37 Coclusio sur le shémas PWIND («Cotre le vet» schémas PWIND sert à résoudre les équatios de trasport (équatio d advectio. O l obtiet aisémet e écrivat temps Espace t dt si C > si C < Il est stable si la coditio CFL est remplie Mais il est dispersif Il est pricipalemet utilisé pour propager des foctios avec des bords ets (odes de choc

38 Eploratio d autres schémas d itégratio - Ordre plus élevés - Schémas implicites

39 O peu s ispirer du développemet de Taylor pour établir d autres schémas d itégratio ( ( ( (! ( (! ( O O O doe J- J Le Même raisoemet sur t doe : ( dt O dt t Méthode d ordre «Différece cetrale» D.L. e X J D.L. e X -

40 Cette ouvelle epressio est e fait la moyee des dérivées Droites et Gauches.

41 O peut cotiuer l eercice pour des ordres plus élevés ( 3 6 ( 3!! (3 ( 3!! ( ( 3! 8! 4 ( O O O O Méthode a 4 poits «avat» Etc

42 Mais ces méthodes impliquet d aller chercher l iformatio plus «loi» das le temps ou l espace. Il Faut stocker e mémoire l étape N- Costruisos ouveau schémas pour l équatio d advectio, d ordre e temps et e espace tu(, t c u(, t t dt NOVEA SCHEMA D INTEGRATION?

43 , (, ( t u c t t u ( ( c dt Nouvel Algorithme d itégratio Remarquez la simplicité.. Ordre e plus!! Mais écessite plus de mémoire Cette méthode s appelle «leap-frog» ou «saute mouto» e fraçais (. et pas saute greouille

44 Mise e œuvre du Leap-Frog A A Problème : Commet Calculer le ER pas de temps (N car o e coaît pas le système à N-. Solutio : Faire le premier pas avec u PWIND, et esuite cotiuer e LEAPFROG er pas de temps upwid. Iitialiser le système, dt,, Pas de temps suivats par leap-frog. Calculer A upwid 3. Calculer A leapfrog 4. et 5. Retourer e 3 O garde e mémoire -

45 Comparaiso upwid Vs leap frog, sigma. Evolutio d ue impulsio gaussiee pwid Leap Frog Le leap-frog semble bie meilleur!! Est-ce touours le cas?

46 E fait pas touours Quad la foctio est très raide le Leap-Frog peu deveir istable Evolutio d ue impulsio créeau upwid Leap frog

47 Notez la maière d avacer du leap-frog ( temps N3 N N N Il y a touours u décalage de. E fait o découple les temps pairs et impairs Cela pourra egedrer des istabilités pour les foctios très raides N- J- - J J espace Des méthodes eistet pour résoudre partiellemet ce problème

48 e méthodes implicite : le Crack-Nicholso Elles sot icoditioellemet stables. Ordre e espace et Ordre e temps N- N N N temps J- - J J espace ( ( ( ( [ ] t t cdt u c t u u u u dt t u 4 Schéma implicite Idée : Faire des moyees (plutôt que spatiales

49 ( ( [ ] ( ( B A B A cdt/ cdt E regroupat les termes e et e

50 Doc le schémas implicite de Crack Nicholso écessite ue iversio de matrice: 4 / / 4 / 4 / 4 / 4 / 4 / ; 4 / / 4 / 4 / 4 / 4 / 4 / B A ( ( B A B A 4 4 O predra comme coditio limite : (, et (J ma

51 Stabilité du Crack Nicholso : g( k / / i si( i si( Doc la orme de g(k est pour tout k,doc c est ue méthode icoditioellemet covergete. Elle est adaptée pour les problèmes très dou, mais produit des oscillatios dés qu il y a des discotiuités.

52 Evolutio de la solutio La solutio est bie stable Ici o a boites e Remarquer les petites oscillatios à la base du pic

53 Mais pour ue foctio discotiue, o obtiet des Oscillatios (ici ue foctio porte.

54 Repreos la foctio gaussiee, mais, dimiuos le ombre de boîtes e X Evolutio de la foctio Vue globale O voit que quad o dimiue le b de boites e X, la foctio est plus discotiue et geere des oscillatios itempestives

55 Crack Nicholso est souvet ue boe méthode Mais plutôt pour des foctios douces Pour ue foctio très discotiue, o utilisera plutôt la méthode upwid

56 La classificatio des équatios au dérivées partielles d ordre : très courates e physique Forme géérale d ue équa.diff du secod ordre : u est u vecteur : (,,, Si G, l équatio est dite «homogèe». O calcule Δ le «Discrimiat» : Le sige de Δ ous doe le type d équatio

57 Si Δ> alors l équatio est Hyperbolique : e: propagatio d ode : eq. d advectio (dérive par dt f c t f f c t f Si Δ l équatio est dite Parabolique : e: Diffusio de la chaleur : Equatio de Shrodiger : T k t T Si Δ< l équatio est dite Elliptique :,, (,, ( z y V z y z y ρ ρ desité de charge, V, potetiel à détermier i t e: Equatio de Poisso : y u u Equatio de Laplace

58 Beaucoup d équatios e physique fot iterveir ue dérivée secode. O peut l approimer avec le même type de raisoemet que pour la dérivée première ( ( (! ( (! (! O O O O DERIVEES SECONDES e fois de plus o s ispire du développemet de Taylor

59 O trouve doc : ( ( ( o o o «Différece AVANT» E Décalat la positio, o peut trouver d autres approimatio «Différece ARRIERE» «Différece CENTREE» Les même formules s appliquet pour les dérivées temporelles (remplacer par t Noter que la différece CENTREE est touours meilleure (ordre

60 O peut aussi calculer de la même maière les dérivées croisées : Eemple ( ( 4 ( ( ( ( dt o o dt t dt o o dt t dt o o dt t «Différece AVANT» «Différece ARRIERE» «Différece CENTREE» e fois de plus les méthodes cetrées sot d ordre

61 Les équatios HYPERBOLIQES O a déà étudié l équatio d advectio Autre eemple : propagatio des odes Ces équatios ot des «caractéristiques», elles propaget ue coditio iitiales. Les méthodes d ordre marchet bie pour les foctios douces Pour des foctios raides o préférera ue méthode d ordre «PWIND» Cf. cours pécédet

62 Les équatios PARABOLIQES t λ Eemple : équatio de la chaleur (Fourrier Méthode la plus simple : Eplicite Temps : différece avat Espace : différece cetrée dt t ( o O remplace et o trouve le schémas : / ( ( dt où λ Notez la ouvelle epressio de λdiffusivité thermique

63 Stabilité? METHODE DE VON NEMAN à ouveau u k g(k u k k ik k ik ik k ik k k ik k k ik k k ik k k ik k k ik k e u e e e u e u e u e u e u e u ( ( ( ( ( ( ( E regroupat terme à terme o trouve si 4 ( k k g

64 g ( k dt λ < O retrouve à ouveau ue coditio proche de la coditio de courat (CFL E pratique : cette méthode eplicite est doc STABLE si CFL est respecté, cepedat Comme elle est que d ordre e temps elle est très diffusive et pas très boe Que représete /λ? λ est le cœfficiet de diffusio. O motre e théorie ciétique des gaz (cf. le cours sur les gaz parfaits que le temps écessaire pour diffuser sur ue distace est : /λ Doc c est bie ue quatité physique.. C est la ouvelle coditio de courat (CFL pour la chaleur. Cours sur la diffusivité : dowload/cours-thermo-ch3.doc

65 E: Diffusio de la chaleur das ue barre Ici SIGMA.4 Marche pas mal Mais i o augmete le pas de temps?

66 Ici SIGMA.8. Le résultat est fau Les méthodes implicites doet de meilleurs résultats

67 Temps : idem Espace : idem précédet mais estimée au temps dt t ( o Méthode Implicite d ordre (e temps / ( dt où λ O aboutit au schéma implicite suivat

68 Pour résoudre, o adopte à ouveau ue démarche matricielle - A A Avec A : A Matrice à ouveau tri-diagoale facilemet iversible O fera attetio au coditios limites lors de l itégratio

69 Stabilité? Méthode de Vo Neuma ecore O trouve g( k k 4 si Doc g(k < e toutes circostaces > icoditioellemet stable Petit pas de temps, sigma.4 Grad pas de temps : sigma. O voit bie ici la supériotité de la méthode implicite

70 Crack Nicholso (Itégrateur très populaire Temps : idem Espace : O fait la moyee au temps - et dt t ( o E fait c est u schémas d ordre e temps / (astuce!! O obtiet ( ( Qu o écrit matriciellemet : A B

71 Il faudra doc calculer A -. Si o pose CA - B o a alors La relatio simple C Ici a Stabilité : g(k TESTS : ça marche bie, est c est plus précis que les méthodes précédetes

72 Les équatios ELLIPTIQES (ou Problèmes à Coditios Limites Les équatios elliptiques e dépedet pas du temps. Par eemple : Equatio de Poisso pour le potetiel electrique «laplacie» ρ(, y y, z z ρ(, y, z ε est le champ de potetiel, ρ est la distributio de charges électriques das l espace O recotre le même type d équatio e mécaique des fluides : Pour u écoulemet permaet, visqueu, o turbulet, o a : grad( P Écoulemet de Poiseuille v ρη

73 O voit das tous les cas que le temps iterviet pas. Cela sigifie que l o calcule N CHAMP : il faut calculer la valeur de e tout poit de l espace. Par eemple le champ de potetiel, le champ de vitesse, le champ gravitatioel etc Ce champ déped uiquemet de ses coditios limites : La distributio de charges, de masses, l écoulemet au bords du domaie etc O appelle doc ces problèmes «PROBLEMES A CONDITIONS LIMITES» Ils sot e gééral assez complees a résoudre. Nous les survoleros rapidemet Il eiste quelques méthodes matricielles, mais les meilleures sot les méthodes spectrale, i.e où le système est résolu das l espace de fourrier et esuite coverti das l espace réel.

74 Eemple : Résolvos le champ egedré par ue charge electrique à D y ρ ε E preat pour epressio de la dérivée secode, la différece cetrés, o Aboutit à ue équatio du gere - Y i Charge électrique au œud i, (i, est la valeur de à la positio : Xi dl et Y dl X

75 - Grille de Charges ρ i Grille du champ de potetiel i Poids : -4 :

76 Origie de la compleité des équatios elliptiques - Commet écrire l itégrateur sous forme matricielle? Est-ce possible? L C Opérateur LAPLACIEN Champ Distributio de charges

77 - Décalage d ue lige E bas Décalage d ue lige e haut Décalage d ue coloe à droite Décalage d ue Coloe à gauche Pour décaler les liges o peut multiplier par : ou S - S

78 Mais pour décaler les coloes? Le seul moye est d utiliser la trasposée Décaler d ue coloe : décaler les liges de la trasposée et predre la trasposé du résultat (S A T T Réfléchissos u peu. PROBLEME!!!! > La traspositio de matrice EST PAS ue opératio liéaire Il est pas possible d eprimer u «décalage de coloe» par ue simple multiplicatio matricielle

79 e équatio du type : A X B X T C est pas ue opératio liéaire. Doc o e PET PAS ecrire simplemet ce probleme sous la forme d ue Simple multiplicatio de matrices O peut s e sortir e écrivat u système de N équatios à N icoues (doc ue matrice coteat N 4 termes ce qui est log est TRES iéfficace O voit doc que les équatios elliptiques sot très coûteuses e mémoire et e calcul Eemple : tous les problèmes à N corps

80 Survivre à ue équatio elliptique Itroductio au méthodes spectrales - Astuce : remarquer que cette opératio mathématiques est e réalité ue CONVOLTION : Rappel sur la covolutio à D : Covolutio discrète : «valeur de f * g au poit m»

81 Eemple : Soit f ue suite de valeurs ( u vecteurs, ici valeurs F(m[, 98,95,89,8,7, 58,45,3,5,, -5, -3,-45,-58,-7,-8,-89,-95,-98] f Si o pose : XM* Où.57 E fait F*cos( m

82 Faisos la covolutio par G[,,] /3 (G est appelé «Noyau de Covolutio» Comme Soit Cf*g, alors chaque poit de C est remplacé par la moyee des trois poits voisis de f F(m[, 98,95,89,8,7, 58,45,3,5,, -5, -3,-45,-58,-7,-8,-89,-95,-98 [/3,/3,/3] [.,97.6,94.,88., 79.6, 69.3, 57.6, 44.3, 3.,5.,., 5., -3., -44.3, -57.6, -69.3, -79.6, ] O peut voir la covolutio comme ue sorte de feêtre «glissate» agissat sur la foctio elle-même. G s appelle le «oyau de covolutio»

83 Autre eemple : G/ ([-,,]/ [,-,]/ [-.78,,.78] moyee de la dérivée droite plus dérivée gauche Alors f*g sera ue approimatio à l ordre de la dérivée Lige : f Tirets : f*g La covolutio peut doc servir à BEACOP de choses

84 Covolutio à D : O fait parcourir ue boite glissate, le ouyeau de covolutio sur ue grille - Laplacie i -4 * g Laplacie de O fait «glisser» g sur la grille pour obteir le laplacie de

85 E : F(i, /i/ Laplacie de F (covoluée

86 Doc le problème du champ peut se réécrire f ( * lap(, y ρ(, y Opérateur Laplacie Pourquoi cela ous aide??? Eh bie grâce à ce fameu théorème: «la trasformée de Fourrier du produit de covolutio est égale au produite des trasformées de fourrier» (a u costate multiplicative prés..

87 Doc otre problème se réécrit : Soiett * TF(, Lap*TF(lap, ρ*tf (ρ où TF sigifie «trasformée de fourrier» *Lap*ρ* > * ρ*/lap* > TF - (ρ*/lap* (Eh voila.. AVANTAGE : l algorithme FFT est très rapide (e Nlog(N INCONVENIENT : coditios limites périodiques!! Ce gere de méthode est la base des méthodes dites spectrales Mais elles sot e réalités très sesibles au bruit umériques et écessitet D être utilisées avec sois

88 Eemple : «méthode PARTICLE MESH», s ispire des résultats précédets L équatio de poisso s écrit : ρ(, y Mais o se souviet que le potetiel egedré par NE charge qi à la positio ri est : V ( r i q r r Alors peut se réécrire plus simplemet i q ( r ρ r r i i ( p i * Covolutio Où ρ(r charge à la positio r Où P(r/R O a doc * ρ* P * > TF - (ρ* P*

89 EXEMPLE : Calculer le champ de potetiel egedré par charges et charges -, placés Das ue grille (4, poits de maillage «blac» «oir» - ρ(r

90 Noyau de covolutio : /R P(r Affichage code de couleurs Affichage P(,y

91 ρ P TF TF ρ* P*

92 ρ* P* X *

93 * : Trasformée de Fourrier du Champ Pour trouver, o pred la trasformée de fourrier iverse de *, et o trouve

94 Champ de potetiel Remarquez les coditios périodiques

95 La même chose avec 4 charges (ce est pas plus log ρ

96 CONCLSION sur les équatios elliptiques Les foctios elliptiques (qui écessitet de calculer u champ sur ue grille écessitet ue résolutio assez complee car l équatio qui permet e les calculer est pas liéaire et e s écrit pas simplemet avec des matrices. O les appelle «équatios au coditios limites» Les approches spectrales, qui passet par ue TF, sot souvet les plus rapides (grâce à l algorithme FFT. Les coditios limites peuvet être parfois difficiles à maipuler. Naturellemet la TF suppose des coditios limites périodiques Pour des systèmes isolés o périodiques cela écessite ecore u peu de travail.