Probabilités et statistique pour le CAPES

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1 Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie

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3 Table des matières Modélisatio de phéomèes aléatoires 7. Itroductio L espace probabilisé (Ω, A, P) Espace des états Évéemets Tribu Probabilité Costructio d espaces probabilisés 5 2. Espace des états fii Espace probabilisé Déombremet, modèle d ure Espace des états ifii déombrable Espace des états ifii o-déombrable Coditioemet et idépedace Probabilité coditioelle Défiitio Formule des probabilités totales et formule de Bayes Arbre de probabilité Idépedace des évéemets Nombre ifii de jets de dés Variables aléatoires Défiitio et loi d ue variable aléatoire Foctio de répartitio Variables aléatoires discrètes Défiitios et exemples à coaître Foctio de répartitio Espérace

4 4.3.4 Variace, momets d ordres supérieurs Iégalité de Markov et de Bieaymé Tchebychev Vecteurs aléatoires discrets Défiitio et lois des vecteurs aléatoires Espérace, covariace, matrice de covariace Variables aléatoires idépedates Variables aléatoires réelles à desité Défiitios Espérace et momets d ordres supérieurs Exemples de variables aléatoires à desité Couples de variables aléatoires à desité Défiitios Variables aléatoires à desité idépedates Suites de variables aléatoires réelles Loi faible des grads ombres Théorème cetral limite Ecore des défiitios Statistique descriptive Préambule à la Statistique U peu de vocabulaire Collecte de doées Deux directios e statistique Statistique uivariée / multivariée Paramètres de positio, dispersio, relatio Iterprétatio des doées Iterprétatio probabiliste Iterprétatio vectorielle Méthode des moidres carrés Statistique iféretielle 5 6. U exemple itroductif Modèle statistique paramétrique Estimateur Rappels sur quelques lois utiles e statistique Itervalles de cofiace Itervalle de cofiace à partir de l iégalité de Bieaymé-Tchebychev Costructio d u itervalle de cofiace pour la moyee

5 6.6 Tests Exemple itroductif Défiitios Cas de deux hypothèses simples Θ = {θ 0, θ } Test pour la moyee Comparaiso de deux moyees Test d adéquatio à ue loi À propos de la droite de Hery Table de lois du χ

6 6

7 Chapitre Modélisatio de phéomèes aléatoires. Itroductio Ue expériece (ou phéomèe) aléatoire cosiste e ue expériece pour laquelle toutes les issues possibles sot coues, mais où itervieet de ombreux facteurs, dot ous e coaissos ou maîtrisos qu ue petite partie. Das ce cas, l issue est pas prévisible avec certitude. La théorie des probabilités cosiste e l étude de ces expérieces aléatoires. Citos quelques exemples : le résultat d u jeu de hasard (pile ou face, jet de dé, roulette etc.) ; durée de vie d u atome radioactif, d u idividu, d ue ampoule ; les istats de passage d u bus à u arrêt doé ; la promeade d u ivroge das la rue ; la trajectoire d ue poussière à la surface de l eau etc. Les applicatios de la théorie des probabilités sot ombreuses : base de la statistique, outil puissat e fiace, das les assuraces, théorie des jeux. Elle permet égalemet de modéliser de ombreux phéomèes complexes e biologie, médecie, scieces humaies, climatologie. Elle s est aussi révélée utile das de ombreux domaies des mathématiques pures. Mais surtout, elle a acquis ue place importate au sei des mathématiques e tat que disciplie à part etière, de part so itérêt itrisèque. Historiquemet, les jeux des hasards sot présets e Égypte, e Grèce et à Rome dès l Atiquité. Il est cepedat itéressat de costater qu u traitemet systématique est apparu qu au XVI e siècle das le livre Liber de Ludo Alea de Gerolamo Cardao (50-576). La véritable éticelle se trouve das la correspodace etre Blaise Pascal ( ) et Pierre de Fermat ( ), au sujet de problèmes posés par le chevalier de Méré. Ecouragé par Pascal, Christia Huyges ( ) publie De ratiociis i ludo aleae (raisoemets sur les jeux de dés) e 657. Ce livre est le premier ouvrage importat sur les probabilités. Il y défiit la otio d espérace et y développe plusieurs problèmes de partages de gais lors de jeux ou de tirages das des ures. Deux ouvrages fodateurs sot égalemet à oter : Ars Cojectadi de Jacques Beroulli ( ) qui défiit la otio de variable aléatoire et doe la première versio de la loi des grads ombres, et The Doctrie of Chace d Abraham de Moivre ( ) qui gééralise l usage de la combiatoire. O metioera égalemet Pierre-Simo de Laplace ( ), Leohard Euler ( ) et Joha Carl Friedrich Gauss ( ). La théorie des probabilités classique e pred réellemet so essor qu avec les otios de mesure et d esembles mesurables qu Émile Borel (87-956) itroduit e 897. Cette otio de mesure 7

8 est complétée par Heri Léo Lebesgue (875-94) et sa théorie de l itégratio. La première versio modere du théorème cetral limite est doée par Alexadre Liapouov e 90 et la première preuve du théorème modere est due à Paul Lévy e 90. Il faudra attedre 933 pour que la théorie des probabilités sorte d u esemble de méthodes et d exemples divers et deviee ue véritable théorie, axiomatisée par Adreï Nikolaïevitch Kolmogorov ( )..2 L espace probabilisé (Ω, A, P) Le but de la théorie des probabilités est de fourir u modèle mathématique pour décrire les expérieces aléatoires. Sous sa forme modere, la formulatio de cette théorie cotiet trois igrédiets : l espace des états, les évéemets, et la loi de probabilité ou simplemet la probabilité. Das toute la suite, ous cosidéros ue expériece aléatoire que ous cherchos à modéliser..2. Espace des états Défiitio. L espace des états appelé aussi uivers, oté Ω, est l esemble des résultats possibles de l expériece. Exercice.. Détermier u espace des états possible das les expérieces suivates.. Lacer d ue pièce de moaie. 2. Deux lacers successifs d ue même pièce de moaie. 3. Lacer d u dé. 4. Deux lacers successifs d u même dé, et o s itéresse à la somme des ombres obteus. 5. Lacer d u même dé idéfiimet. 6. Durée de vie d u idividu. 7. Promeade d u ivroge das ue rue (u pas e avat, u pas e arrière). 8. Trajectoire d ue poussière à la surface de l eau pedat u itervalle de temps [0, T ]. Solutio... Ω = {P, F }. 2. Ω = {P P, P F, F P, F F }. 3. Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}. 4. Das ce cas, il y a trois choix raisoables : Ω = {(i, j) : i {,, 6}, j {,, 6}} = {,, 6} 2, Ω 2 = {2, 3, 4,, 2}, Ω 3 = {{i, j} : i {,, 6}, j {,, 6}, i j}. 5. Ω = {(u ) : N, u {,, 6}} = {,, 6} N. 6. Ω = {x R + : 0 x 20}. 7. Ω = {(u ) : N, u {, }} = {, } N. 8. Ω = C([0, T ]; R 2 ). 8

9 .2.2 Évéemets Défiitio heuristique. U évéemet est ue propriété dot o peut dire si elle est réalisée ou o, ue fois l issue de l expériece coue. À chaque évéemet correspod u sous-esemble de l espace des états Ω. U sigleto, c est-à-dire u évéemet réduit à u seul élémet de Ω, est appelé u évéemet élémetaire, sio o parle d évéemet composite. O ote u évéemet par ue lettre majuscule A, B, C... et l esemble de tous les évéemets de Ω par A. Remarque. Nous verros au paragraphe suivat la défiitio (mathématique) d u évéemet. Pour l istat, essayos de voir à quelles propriétés doivet satisfaire les évéemets. Exercice.2. Cet exercice est la suite de l Exercice.. O repred la umérotatio déjà utilisée. Décrire les évéemets suivats comme des sous-esembles de l espace des états Ω. 2. Le premier jet doe pile. 4. La somme des résultats obteus est égale à Le premier est obteu au N-ième lacer. 6. L idividu atteit au mois 50 as. 7. L ivroge avace au N-ième pas. Solutio L évéemet le premier jet doe pile correspod au sous-esemble {P P, P F }. 4. L évéemet la somme des résultats obteus est égale à 4 correspod au sous-esemble : {(, 3), (2, 2), (3, )} de Ω, au sous-esemble {4} de Ω 2, et au sous-esemble {{, 3}, {2, 2}} de Ω L évéemet le premier est obteu au N-ième lacer correspod au sous-esemble : {(u ) Ω : u 2,, u N 2, u N = }. 6. L évéemet l idividu atteit au mois 50 as correspod au sous-esemble : {x R + : 50 x 20}. 7. L évéemet l ivroge avace au N-ième pas correspod au sous-esemble : {(u ) Ω : u N = }. Remarque. Les évéemets, qui sot par défiitio des sous-esembles de l uivers, sot e gééral décrits à l aide de phrases das u premier temps. E effet, o commece par se poser ue questio liée à ue expériece aléatoire, puis o itroduit u modèle probabiliste pour y répodre. Par exemple, o cherche la probabilité que la somme de deux dés lacés au hasard soit égale à 4 ; l évéemet cosidéré est alors la somme des dés est égale à 4. Ue fois fixé le choix de l uivers, u évéemet correspod à u uique sous-esemble de ce derier. Comme il y a pas forcémet uicité du modèle et qu alors les évéemets peuvet s écrire e termes de sous-esembles sous des formes différetes, la phrase qui décrit u évéemet permet de se compredre, quel que soit le modèle choisi, voir par exemple les Exercices. et.2 uméro 4. Remarquos aussi que, état doé u sous-esemble d u uivers, il est souvet possible de le décrire par différetes phrases, qui représetet toutes le même évéemet. Par exemple l évéemet {P F, F F } de l Exercice.2 uméro 2 peut se traduire par le premier jet doe pile ou le premier jet e doe pas face. A oter que le passage de la phrase au sous-esemble et réciproquemet est raremet expliqué das les mauels scolaires et les élèves se voiet devoir travailler sur des évéemets e termes de phrases alors qu o viet de leur expliquer qu u évéemet est ue partie de l uivers, pas facile de s y retrouver pour eux... 9

10 Puisque les évéemets sot des esembles, o peut effectuer les opératios habituelles, avec la correspodace suivate etre les termiologies esembliste et probabiliste. Notatio Termiologie esembliste Termiologie probabiliste Ω esemble etier espace des états, évéemet certai ω élémet de Ω évéemet élémetaire A sous-esemble de Ω évéemet ω A ω appartiet à A A est réalisé si ω est le résultat de l expériece A B A est iclu das B si A est réalisé alors B aussi A B réuio de A et B l évéemet A ou B (ou o exclusif!) A B itersectio de A et B l évéemet A et B A c complémetaire de A l évéemet cotraire de A esemble vide évéemet impossible A B = A et B sot disjoits A et B sot icompatibles Exemple. Deux lacers successifs d ue même pièce de moaie. Soiet A = {P P }, B = {P F }, C = {F P, F F }. Alors, A B = {P P, P F } = C c, est l évéemet le premier jet doe pile ; A B =, est l évéemet impossible, A et B sot icompatibles. Propriété. Les opératios sur les évéemets satisfot aux règles suivates. Pour tous évéemets A, B, C, o a commutativité : A B = B A ; associativité : (A B) C = A (B C) ; distributivité : (A B) C = (A C) (B C) ; lois de De Morga : (A B) c = A c B c, et (A B) c = (A c B c ). Exercice.3. Soiet A, B, C trois évéemets liés à ue même expériece aléatoire. Doer e foctio de A, B, C, A c, B c, C c, de leurs réuios, itersectios, l expressio des évéemets suivats : A seulemet est réalisé ; A et B seulemet sot réalisés ; au mois u des trois évéemets est réalisé ; au mois deux des trois évéemets sot réalisés ; u et u seul des trois évéemets est réalisé ; au plus deux des trois évéemets sot réalisés ; aucu des trois évéemets est réalisé. Solutio.3. A B c C c. A B C c. A B C. (A B) (A C) (B C). (A B c C c ) (B A c C c ) (C A c B c ). (A B C) c = A c B c C c. A c B c C c = (A B C) c..2.3 Tribu L esemble des évéemets A associés à ue expériece aléatoire est doc u sous-esemble des parties de Ω, A P(Ω). Il semblerait aturel de predre A = P(Ω), mais il y a alors des 0

11 exemples où il est impossible d associer à chaque évéemet ue probabilité de faço cohérete. Das ces cas-là, il est doc écessaire de se restreidre à u sous-esemble strict de P(Ω) coteat les évéemets itéressats. L esemble des évéemets que l o cosidère e probabilité doivet satisfaire à quelques propriétés aturelles, ils doivet former ue tribu, dot voici la défiitio. Défiitio. U esemble A de parties de Ω est ue tribu, ou σ-algèbre, s il satisfait aux coditios suivates :. Ω A ; 2. A P(Ω), A A A c A ; 3. A est stable par réuio fiie ou déombrable. Exemple.. {, Ω} est ue tribu et c est la plus petite (au ses de l iclusio). P(Ω) est ue tribu et c est la plus grade. Soit C u esemble arbitraire de parties de Ω, alors la plus petite tribu coteat C, otée σ(c) est appelée la tribu egedrée par C. O admet l existece de cette tribu. Soit A P(Ω), A, A Ω, alors la tribu egedrée par A est σ(a) = {, A, A c, Ω}. Sur R, o utilise la tribu egedrée par les ouverts de R, appelée tribu boréliee de R. O admet le fait qu elle soit différete de P(R). Das le cas où l espace des états est fii ou déombrable, o pred toujours A = P(Ω). Exercice.4. Soit Ω = {, 2, 3}. Quelle est la tribu egedrée par A = {, 2}? Quelle est la tribu egedrée par C = {{}, {2}}? Solutio.4. D après l Exemple., la tribu egedrée par A = {, 2} est {, {, 2}, {3}, {, 2, 3}}. La tribu egedrée par C est stable par réuio et complémetatio, elle doit doc coteir {, 2} et {3} ; e particulier elle cotiet {}, {2}, {3}. Il est alors facile de voir que σ(c) = P(Ω). Défiitio. L esemble des évéemets associé à ue expériece est la tribu A choisie sur Ω. Remarque. Das le cas où l espace des états est fii ou déombrable, puisque A = P(Ω), u évéemet est doc simplemet importe quel sous-esemble de Ω. O retrouve bie la défiitio doée das l eseigemet secodaire..2.4 Probabilité Nous souhaitos maiteat associer à chacu des évéemets ue probabilité, qui mesure la vraisemblace que l o accorde a priori à l évéemet avat la réalisatio de l expériece. C est ue des doées du modèle, que l o peut compredre ituitivemet de différetes maières, e voici deux. Approche utilisat les symétries. O cosidère u dé o-pipé. Il est alors aturel de supposer que chacue des issues possibles ait la même probabilité égale à /6. Il faut cepedat être prudet avec cette approche. E effet, supposos que ous souhaitios détermier la probabilité

12 du sexe d u ouveau é. Il y a aucue raiso de peser qu il y a plus de chaces d avoir u garço ou ue fille, de sorte qu il est aturel d associer ue probabilité /2 à chacu des évéemets élémetaires. Cepedat, les statistiques motret que la proportio de garços ouvellemet é est de 5, 2% (INED, Frace métropolitaie). Approche fréquetiste. O suppose qu ue expériece d uivers Ω est exécutée plusieurs fois sous les mêmes coditios. Pour chaque évéemet A de Ω, o défiit N (A) comme le ombre de fois où l évéemet A surviet lors des N premières répétitios de l expériece. Alors la probabilité de l évéemet A, otée P(A), est défiie comme la limite, das u ses à préciser, du quotiet N (A)/N. Cela veut dire que P(A) est défiie comme la limite du pourcetage du ombre de fois où A surviet par rapport au ombre total des répétitios. C est doc la fréquece limite de A. Bie que cette défiitio soit ituitivemet commode, elle présete u sérieux icovéiet. E effet, il faut justifier de l existece de la limite, ce qui est difficile a priori. Il est plus raisoable d admettre que les probabilités satisfot à u esemble d axiomes simples et ituitivemet acceptables, pour esuite démotrer qu ue telle fréquece limite existe das u certai ses (voir plus loi la loi des grads ombres). Défiitio. État doés u espace d états Ω et ue tribu d évéemets A, ue probabilité P sur (Ω, A), est ue applicatio de A das [0, ], possédat les propriétés suivates.. L évéemet certai est de probabilité : P(Ω) =. 2. Axiome de σ-additivité : pour toute famille déombrable (A ) 0 d évéemets de A, deux-à-deux disjoits, o a ( ) + P A = P(A ). 0 =0 Le triplet (Ω, A, P) est alors appelé u espace probabilisé. O a les coséqueces immédiates suivates. Propositio.. Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé et soiet deux évéemets A A, B A.. Additivité. Si A et B sot disjoits, alors P(A B) = P(A) + P(B). E particulier, P(A c ) = P(A), et P( ) = Si A B, alors : P(A) P(B). 3. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Plus gééralemet, o a la formule de Poicaré : Soit (A ) N = ue famille d évéemets de A, alors : ( N P = A ) = N ( ) = Exercice.5. Démotrer la Propositio.. J {,, N} Card(J) = ( P k J A k ). Voici ue coséquece plus abstraite, qui est fréquemmet utilisée. Propositio.2. Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé. 2

13 Soit (A ) ue suite croissate d évéemets de A, c est-à-dire, pour tout, A A +. Soit A = + A, alors : = P(A) = lim P(A ). + Soit (B ) ue suite décroissate d évéemets de A, c est-à-dire, pour tout, B B +. Soit B = + B, alors : = P(B) = lim P(B ). + Remarque.. Les suites réelles (P(A )) et (P(B )) sot respectivemet croissate et décroissate, borées, doc covergetes, justifiat aisi l existece de la limite. Par ailleurs, la ( N suite A )N, égale à (A N) N, est ue suite croissate au ses de l iclusio, et l esemble + = = A est habituellemet oté peut ecore s écrire : = lim A, de sorte que le résultat de la propositio précédete + ( ) P lim A + = lim + P(A ). ( N De même, la suite B )N, égale à (B N) N, est ue suite décroissate au ses de l iclusio, et l esemble + = propositio précédete s écrit : B est habituellemet oté ( ) P lim B + lim B, de sorte que le résultat de la + = lim + P(B ). Démostratio. Démotros la propositio das le cas d ue suite croissate d évéemets. Posos C = A et pour tout 2, C = A A c. Aisi, pour tout 2, A = C A, où la réuio est disjoite, de sorte que : P(A ) = P(C ) + P(A ). c2 c3... A3 A2 A c Figure. Ue visio schématique d ue suite croissate d évéemets (A ). Les évéemets (C ) sot les aeaux successifs. La famille (C ) est ue famille déombrable d évéemets disjoits deux à deux. Aisi, d après la propriété de σ-additivité, o a : ( P C ) = 3 + = P(C ).

14 Puisque de plus, P(A) = C = A, o déduit que, lim N + = = lim N + N P(C ) = ( P(A ) + lim N + ( P(C ) + ) N [P(A ) P(A )] =2 ) N [P(A ) P(A )] =2 = lim N + P(A N). Remarque.2. O rappelle : ω A N, ω A, et ω A N, ω A. Exemple.2. U exemple d applicatio de la Propositio.2 est doé das l Exercice

15 Chapitre 2 Costructio d espaces probabilisés 2. Espace des états fii 2.. Espace probabilisé O suppose das la suite que l espace des états Ω est de cardial fii. Das ce cas, la tribu cosidérée est simplemet A = P(Ω) et la défiitio d ue probabilité pred la forme suivate, qui est celle utilisée au lycée. Défiitio. Ue probabilité P sur (Ω, P(Ω)), est ue applicatio de P(Ω) das [0, ], possédat les propriétés suivates.. L évéemet certai est de probabilité : P(Ω) =. 2. Axiome d additivité : pour tous A P(Ω), B P(Ω), tels que A et B sot disjoits, o a P(A B) = P(A) + P(B). Exercice 2.. Motrer que cette défiitio est équivalete à celle doée à la Sectio.2.4 das le cas gééral. O remarquera que, lorsque l espace des états est de cardial fii, toute famille déombrable d évéemets disjoits deux-à-deux cotiet u ombre fii d évéemets o vides. Remarque. Repreos l approche fréquetiste vue à la Sectio.2.4. Les fréqueces A(N) N de réalisatio d u évéemet A sur les N premières répétitios d ue expériece vérifiet les propriétés suivates : i) pour tout évéemet A, 0 A(N) N ; ii) Ω(N) N = ; iii) si A et B sot des évéemets icompatibles, A B(N) N = A(N) N + B(N) N. La défiitio d ue probabilité doée ci-dessus découle aturellemet de ces trois propriétés. Propositio 2.. Ue probabilité sur (Ω, P(Ω)) est caractérisée par sa valeur sur les sigletos {ω}, pour tout ω Ω. Réciproquemet, à toute famille (p ω ) ω Ω telle que :. pour tout ω Ω, 0 p ω, 2. p ω =, ω Ω 5

16 o peut associer ue uique probabilité P sur (Ω, P(Ω)) défiie par : P({ω}) = p ω. O éted esuite P à P(Ω) par additivité : pour tout A P(Ω), P(A) = ω A p ω. Exercice 2.2. Démotrer la Propositio 2.. Défiitio. Ue probabilité P sur (A, Ω) est dite uiforme, si P({ω}) e déped pas de ω Ω. O dit alors que l o est e situatio d équiprobabilité. Corollaire 2.. Das ce cas, pour tout ω Ω, P({ω}) = Card(Ω), et, pour tout évéemet A P(Ω), o a : P(A) = Card(A) Card(Ω). Remarque. Pour sigaler que l o est e situatio d équiprobabilité, les mauels scolaires ot coutume d écrire que le phéomèe se produit au hasard pour permettre à l élève de compredre qu il doit choisir la probabilité uiforme. Cela a pourtat aucu ses, puisque importe quel modèle probabiliste modélise u phéomèe aléatoire... Lorsque l o veut préciser que l o est e situatio d équiprobabilité, o mettra doc l expressio au hasard etre guillemets, motrat aisi que l o est cosciet que cette expressio e veut rie dire. Cette remarque sera approfodie e Didactique, otammet avec le paradoxe de Bertrad. Exemple. Repreos la questio 4 des Exercices. et.2 du Chapitre et calculos la probabilité de l évéemet A la somme des dés est égale à 4. Supposos que l o ait choisi l espace Ω. Alors, o est e situatio d équiprobabilité et la probabilité P sur Ω est uiforme, de sorte que pour tout (i, j) {,, 6} 2 : P [{(i, j)}] = 36. Aisi, P (A) = P [{(, 3), (2, 2), (3, )}] = Card(A) Card(Ω ) = Supposos maiteat que l o ait choisi l espace Ω 2. Alors, o est plus e situatio d équiprobabilité. Au vu des coditios de l expériece, o défiit P 2 aisi : P 2 ({2}) = P 2 ({2}) = 36, P 2({3}) = P 2 ({}) = 8, P 2({4}) = P 2 ({0}) = 2, P 2 ({5}) = P 2 ({9}) = 9, P 2({6}) = P 2 ({8}) = 5 36, P 2({7}) = 6. Aisi, P 2 (A) = P 2 ({4}) = 2 mais Card(A) Card(Ω 2 ) =, d où P 2(A) Card(A) Card(Ω 2 ). Remarquer que s il o avait choisi l uivers Ω 3, o e serait pas o plus e situatio d équiprobabilité. Cet exemple motre qu il est très importat de spécifier le choix d uivers et de probabilité. Bie que les résultats fiaux e chaget pas, les raisoemets pour y arriver sot différets et doivet être explicités. Lorsque l espace des états est fii, les calculs de probabilités se ramèet essetiellemet à des problèmes de déombremet, sujet de la sectio suivate. 6

17 2..2 Déombremet, modèle d ure Défiitio. Ue populatio de taille N est u esemble S = {s,, s N } de N élémets. Les élémets de S sot les idividus de la populatio S. La taille N est le ombre d élémets de S. Tirages ordoés U échatillo de taille r est u r-uplet (s i,, s ir ) d élémets de S. Deux procédures sot possibles. Le tirage avec remise. Das ce cas, chaque élémet de l esemble peut être choisi à plusieurs reprises. O parle alors d échatillo de taille r avec répétitios. Soit Ω l esemble de ces échatillos, alors Ω = {s,, s N } r, et : Card(Ω ) = N r. Exemple. Soit S = {, 2, 3, 4} et r = 2. Alors Ω peut être représeté par la matrice M ci-dessous, et Card(Ω ) = 6. M = (, ) (, 2) (, 3) (, 4).. (4, ) (4, 2) (4, 3) (4, 4) Le tirage sas remise. Das ce cas, chaque élémet de l esemble peut être choisi au plus ue fois. O parle alors d échatillo de taille r sas répétitio, ou d arragemet des élémets de S pris r à r. Naturellemet, o impose les coditios supplémetaires r N, et j k, i j i k. Soit Ω 2 l esemble de ces échatillos, o a alors : Card(Ω 2 ) = N(N ) (N r + ) = N! (N r)! Ce ombre a deux otatios usuelles : A r N ou (N) r (symbole de Pochhammer, qui est pas au programme du CAPES). Exemple. Soit S = {, 2, 3, 4} et r = 2. Alors Ω 2 peut être représeté par la matrice M privée de sa diagoale et Card(Ω 2 ) = 2. Exemple. O cosidère ue populatio de taille N et u échatillo aléatoire de taille r avec répétitio. O choisit alors comme uivers Ω que l o muit de la probabilité uiforme, otée P. O s itéresse à l évéemet A aucu idividu a été choisi plus d ue fois qui est la même chose que tous les idividus sot disticts. Alors o a, A = Ω 2 et : Doos quelques applicatios de ce résultat. P(A) = Card(Ω 2) Card(Ω ) = Ar N N r.. O jette u dé six fois de suite. Alors la probabilité d obteir six ombres disticts est 6! 6 6 0, Supposos que das ue ville, il y ait sept accidets par semaie. Alors la probabilité d avoir exactemet u accidet chaque jour de la semaie est 7! 7 7 0,

18 Tirages o ordoés Ue sous-populatio de taille r est u sous-esemble {s i,, s ir } d élémets de S. De maière similaire aux tirages ordoés, deux procédures sot possibles. Le tirage sas remise. O parle alors de sous-populatio de taille r sas répétitio, ou de combiaiso de r élémets. O impose à ouveau les coditios supplémetaires, r N, et j k, i j i k. Soit Ω 3 l esemble de ces populatios, o a alors : Card(Ω 3 ) = N! (N r)!r!. Ce ombre, appelé coefficiet biomial, a deux otatios usuelles : CN r (otatio qui est plus e vigueur das les lycées) ou ( ) N r (otatio aglo-saxoe). Exemple. Soit S = {, 2, 3, 4} et r = 2. Alors Ω 3 peut être représeté par le triagle supérieur de la matrice M, privé de la diagoale et Card(Ω 3 ) = 6. Démostratio. Chacu des sous-esembles à r élémets fourit r! échatillos de taille r sas répétitio, de sorte que Card(Ω 2 ) = r! Card(Ω 3 ). Exemple 2... O appelle mai de poker l esemble des 5 cartes que chacu des quatre joueurs reçoit lors de la distributio d u jeu qui e cotiet 32. Alors il existe ( ) 32 5 mais différetes. Soit A l évéemet les hauteurs des 5 cartes sot différetes, calculos Card(A). O peut choisir ces hauteurs de ( 8 5) maières différetes. Il faut esuite choisir la couleur (trèfle, carreau, cœur, pique) de chacue des hauteurs. Aisi : ( ) 8 Card(A) = État doé que toutes les mais sot supposées équiprobables, la probabilité d obteir ue mai dot les 5 cartes ot ue hauteur différete est : ( 8 ) P(A) = ( 32 ) Ue ure cotiet N b boules blaches et N boules oires. Posos N = N b + N. O tire r boules avec remise das l ure, il y a alors N r tirages possibles. Soit A k l évéemet o a tiré exactemet k boules blaches, calculos Card(A k ). L évéemet A k est réalisé lorsque l issue est costituée de k boules blaches et r k boules oires. Il y a ( r k) faços de choisir la positio des boules blaches, la positio des boules oires est esuite fixée. Pour chacue des positios de boule blache, il y a esuite N b choix de boules blaches possibles, et pour chacue des positios de boule oire, il y a N choix possibles, aisi : ( ) r Card(A k ) = Nb k k N r k. État doé que tous les tirages sot supposés équiprobables, la probabilité d obteir exactemet k boules blaches lors d u tirage de r boules avec remise est : ( r ) k N k P(A k ) = b N r k ( ) ( ) r k ( ) r k Nb N N r =. k N N Ceci est u exemple de la loi biomiale, que ous reverros plus tard. 8

19 3. Soit S ue populatio de taille N (ex. des étudiats), que l o rage e deux catégories a et b icompatibles (ex. filles et garços), de tailles respectives N a et N b = N N a. O choisit au hasard ue sous-populatio de taille r sas répétitio, il y a alors ( ) N r choix possibles. Soit A k l évéemet o a choisi exactemet k idividus de la catégorie a, calculos Card(A k ). L évéemet est réalisé lorsque l issue est costituée de k idividus de la catégorie a et r k de la catégorie b. Il y a ( N a ) k faços de choisir les k idividus de la catégorie a et pour chacue il y a ( N N a ) r k faços de choisir les idividus restats das la catégorie b, aisi : ( )( ) Na N Na Card(A k ) =. k r k Remarquer que pour que ceci ait u ses, il faut que 0 k mi{r, N a }. État doé que tous les tirages sot supposés équiprobables, la probabilité d obteir k idividus de la catégorie a lors de ce tirage est : P(A k ) = )( Nb ) k r k ( N ). r ( Na Ceci est u exemple de la loi hypergéométrique. Remarque. Supposos que N a = N a (N) soit ue foctio de N et que le ombre total de boules tede vers l ifii, de sorte que la proportio Na N tede vers p (et doc que N b N tede vers p), avec 0 < p <. Aisi, N a et N b tedet vers + avec N. Fixos r 0 et k compris etre 0 et r. Alors, pour N assez grad, o a N a k, N b r k et P(A k ) peut s écrire : P(A k ) = N a(n a )... (N a k + ) k! = N b (N b )... (N b r + k + ) (r k)! r! N a (N a )... (N a k + ) N b (N b )... (N b r + k + ) k!(r k)! N(N )... (N r + ) r! = k!(r k)! ( r = k N + N k Na N ( Na N N )... ( Na N ) Na N ( Na N N )... ( Na N ( r ) k p k ( p) r k r! N(N )... (N r + ) k N ) N r k N b N ( N b N N )... ( N b N r k r )... ( N r ( N k N ) N b N ( N b N ( N. )... ( r N ) N )... ( N b N N ) r k N ) N ) Aisi, P(A k ) ted vers ( r k) p k ( p) r k. O a doc obteu la loi biomiale comme limite de lois hypergéométriques. Ce résultat est ituitif, car lorsque le ombre de boules est très grad, que le tirage s effectue avec ou sas remise e chage pas grad chose : o a peu de chace de tirer deux fois la même boule. Partitioemet Soiet r,, r k des etiers positifs (évetuellemet uls) tels que, r + + r k = N. Le ombre de faços de répartir N objets das k familles de sorte que la i-ième famille cotiee r i élémets est égal à : N! r! r k!. Ce ombre se ote ( ) N r r k et s appelle coefficiet multiomial. 9

20 Démostratio. Pour remplir la première famille, il faut choisir r objets parmi N, ce qui peut se faire de ( ) N r faços. Pour remplir la secode famille, il faut choisir r2 objets parmi N r, soit ( N r ) r 2. E cotiuat aisi, o obtiet que le ombre de telles répartitios est de : ( )( N N r r r 2 ) ( ) N r r k = r k N! r! r k!. Exemple. Le ombre d aagrammes du mot CHERCHER est 8! 2!2!2!2!. Le tirage avec remise. O parle alors de sous-populatio de taille r avec répétitios. Soit Ω 4 l esemble de ces populatios, o a alors : ( ) ( ) N + r N + r Card(Ω 4 ) = =. N r Exemple. Soit S = {, 2, 3, 4} et r = 2. Alors Ω 4 peut être représeté par le triagle supérieur de la matrice M et Card(Ω 4 ) = 0. Démostratio. Ce problème reviet à placer r boules idistiguables das N ures. E effet, le ombre de boules das la i-ième ure compte le ombre de répétitios de l idividu i lors du tirage. Représetos les r boules par r étoiles aligées, avec ue cloiso à chacue des extrémités. Par exemple, lorsque r = 7, Répartir les r boules das N ures reviet à rajouter N cloisos format les N ures. Par exemple, lorsque r = 7, N = 3,, représete le tirage : s, s, s 3, s 3, s 3, s 3, s 3. Aisi, ce problème reviet à placer N cloisos sur N + r positios, les positios restates état occupées par des. Exemple. Soiet r N et N. O cherche à compter le ombre de suites d etiers aturels r,, r, telles que : r + + r = r. Ce problème reviet à placer r boules idistiguables das ures, où le ombre de boules das la i-ième ure représete r i. Aisi, le ombre de ces suites est ( ) +r. Par exemple, si r = 0, = 3, représete la partitio (2, 5, 3) de 0. Remarquer que ces suites sot aturellemet ordoées de sorte que l o distigue (2, 5, 3) de (5, 3, 2). Exercices Exercice 2.3. Supposos que 23 persoes sot das ue même salle. Quelle est la probabilité qu au mois deux d etre elles aiet l aiversaire le même jour? (O e cosidérera pas les aées bissextiles.) Exercice 2.4. Das ue course, chevaux sot au départ. O suppose qu ils ot tous la même chace de gager. Calculer la probabilité de gager le tiercé avec u ticket : 20

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