Probabilités et statistique pour le CAPES

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1 Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie

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3 Table des matières Modélisatio de phéomèes aléatoires 7. Itroductio L espace probabilisé (Ω, A, P) Espace des états Évéemets Tribu Probabilité Costructio d espaces probabilisés 5 2. Espace des états fii Espace probabilisé Déombremet, modèle d ure Espace des états ifii déombrable Espace des états ifii o-déombrable Coditioemet et idépedace Probabilité coditioelle Défiitio Formule des probabilités totales et formule de Bayes Arbre de probabilité Idépedace des évéemets Nombre ifii de jets de dés Variables aléatoires Défiitio et loi d ue variable aléatoire Foctio de répartitio Variables aléatoires discrètes Défiitios et exemples à coaître Foctio de répartitio Espérace

4 4.3.4 Variace, momets d ordres supérieurs Iégalité de Markov et de Bieaymé Tchebychev Vecteurs aléatoires discrets Défiitio et lois des vecteurs aléatoires Espérace, covariace, matrice de covariace Variables aléatoires idépedates Variables aléatoires réelles à desité Défiitios Espérace et momets d ordres supérieurs Exemples de variables aléatoires à desité Couples de variables aléatoires à desité Défiitios Variables aléatoires à desité idépedates Suites de variables aléatoires réelles Loi faible des grads ombres Théorème cetral limite Ecore des défiitios Statistique descriptive Préambule à la Statistique U peu de vocabulaire Collecte de doées Deux directios e statistique Statistique uivariée / multivariée Paramètres de positio, dispersio, relatio Iterprétatio des doées Iterprétatio probabiliste Iterprétatio vectorielle Méthode des moidres carrés Statistique iféretielle 5 6. U exemple itroductif Modèle statistique paramétrique Estimateur Rappels sur quelques lois utiles e statistique Itervalles de cofiace Itervalle de cofiace à partir de l iégalité de Bieaymé-Tchebychev Costructio d u itervalle de cofiace pour la moyee

5 6.6 Tests Exemple itroductif Défiitios Cas de deux hypothèses simples Θ = {θ 0, θ } Test pour la moyee Comparaiso de deux moyees Test d adéquatio à ue loi À propos de la droite de Hery Table de lois du χ

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7 Chapitre Modélisatio de phéomèes aléatoires. Itroductio Ue expériece (ou phéomèe) aléatoire cosiste e ue expériece pour laquelle toutes les issues possibles sot coues, mais où itervieet de ombreux facteurs, dot ous e coaissos ou maîtrisos qu ue petite partie. Das ce cas, l issue est pas prévisible avec certitude. La théorie des probabilités cosiste e l étude de ces expérieces aléatoires. Citos quelques exemples : le résultat d u jeu de hasard (pile ou face, jet de dé, roulette etc.) ; durée de vie d u atome radioactif, d u idividu, d ue ampoule ; les istats de passage d u bus à u arrêt doé ; la promeade d u ivroge das la rue ; la trajectoire d ue poussière à la surface de l eau etc. Les applicatios de la théorie des probabilités sot ombreuses : base de la statistique, outil puissat e fiace, das les assuraces, théorie des jeux. Elle permet égalemet de modéliser de ombreux phéomèes complexes e biologie, médecie, scieces humaies, climatologie. Elle s est aussi révélée utile das de ombreux domaies des mathématiques pures. Mais surtout, elle a acquis ue place importate au sei des mathématiques e tat que disciplie à part etière, de part so itérêt itrisèque. Historiquemet, les jeux des hasards sot présets e Égypte, e Grèce et à Rome dès l Atiquité. Il est cepedat itéressat de costater qu u traitemet systématique est apparu qu au XVI e siècle das le livre Liber de Ludo Alea de Gerolamo Cardao (50-576). La véritable éticelle se trouve das la correspodace etre Blaise Pascal ( ) et Pierre de Fermat ( ), au sujet de problèmes posés par le chevalier de Méré. Ecouragé par Pascal, Christia Huyges ( ) publie De ratiociis i ludo aleae (raisoemets sur les jeux de dés) e 657. Ce livre est le premier ouvrage importat sur les probabilités. Il y défiit la otio d espérace et y développe plusieurs problèmes de partages de gais lors de jeux ou de tirages das des ures. Deux ouvrages fodateurs sot égalemet à oter : Ars Cojectadi de Jacques Beroulli ( ) qui défiit la otio de variable aléatoire et doe la première versio de la loi des grads ombres, et The Doctrie of Chace d Abraham de Moivre ( ) qui gééralise l usage de la combiatoire. O metioera égalemet Pierre-Simo de Laplace ( ), Leohard Euler ( ) et Joha Carl Friedrich Gauss ( ). La théorie des probabilités classique e pred réellemet so essor qu avec les otios de mesure et d esembles mesurables qu Émile Borel (87-956) itroduit e 897. Cette otio de mesure 7

8 est complétée par Heri Léo Lebesgue (875-94) et sa théorie de l itégratio. La première versio modere du théorème cetral limite est doée par Alexadre Liapouov e 90 et la première preuve du théorème modere est due à Paul Lévy e 90. Il faudra attedre 933 pour que la théorie des probabilités sorte d u esemble de méthodes et d exemples divers et deviee ue véritable théorie, axiomatisée par Adreï Nikolaïevitch Kolmogorov ( )..2 L espace probabilisé (Ω, A, P) Le but de la théorie des probabilités est de fourir u modèle mathématique pour décrire les expérieces aléatoires. Sous sa forme modere, la formulatio de cette théorie cotiet trois igrédiets : l espace des états, les évéemets, et la loi de probabilité ou simplemet la probabilité. Das toute la suite, ous cosidéros ue expériece aléatoire que ous cherchos à modéliser..2. Espace des états Défiitio. L espace des états appelé aussi uivers, oté Ω, est l esemble des résultats possibles de l expériece. Exercice.. Détermier u espace des états possible das les expérieces suivates.. Lacer d ue pièce de moaie. 2. Deux lacers successifs d ue même pièce de moaie. 3. Lacer d u dé. 4. Deux lacers successifs d u même dé, et o s itéresse à la somme des ombres obteus. 5. Lacer d u même dé idéfiimet. 6. Durée de vie d u idividu. 7. Promeade d u ivroge das ue rue (u pas e avat, u pas e arrière). 8. Trajectoire d ue poussière à la surface de l eau pedat u itervalle de temps [0, T ]. Solutio... Ω = {P, F }. 2. Ω = {P P, P F, F P, F F }. 3. Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}. 4. Das ce cas, il y a trois choix raisoables : Ω = {(i, j) : i {,, 6}, j {,, 6}} = {,, 6} 2, Ω 2 = {2, 3, 4,, 2}, Ω 3 = {{i, j} : i {,, 6}, j {,, 6}, i j}. 5. Ω = {(u ) : N, u {,, 6}} = {,, 6} N. 6. Ω = {x R + : 0 x 20}. 7. Ω = {(u ) : N, u {, }} = {, } N. 8. Ω = C([0, T ]; R 2 ). 8

9 .2.2 Évéemets Défiitio heuristique. U évéemet est ue propriété dot o peut dire si elle est réalisée ou o, ue fois l issue de l expériece coue. À chaque évéemet correspod u sous-esemble de l espace des états Ω. U sigleto, c est-à-dire u évéemet réduit à u seul élémet de Ω, est appelé u évéemet élémetaire, sio o parle d évéemet composite. O ote u évéemet par ue lettre majuscule A, B, C... et l esemble de tous les évéemets de Ω par A. Remarque. Nous verros au paragraphe suivat la défiitio (mathématique) d u évéemet. Pour l istat, essayos de voir à quelles propriétés doivet satisfaire les évéemets. Exercice.2. Cet exercice est la suite de l Exercice.. O repred la umérotatio déjà utilisée. Décrire les évéemets suivats comme des sous-esembles de l espace des états Ω. 2. Le premier jet doe pile. 4. La somme des résultats obteus est égale à Le premier est obteu au N-ième lacer. 6. L idividu atteit au mois 50 as. 7. L ivroge avace au N-ième pas. Solutio L évéemet le premier jet doe pile correspod au sous-esemble {P P, P F }. 4. L évéemet la somme des résultats obteus est égale à 4 correspod au sous-esemble : {(, 3), (2, 2), (3, )} de Ω, au sous-esemble {4} de Ω 2, et au sous-esemble {{, 3}, {2, 2}} de Ω L évéemet le premier est obteu au N-ième lacer correspod au sous-esemble : {(u ) Ω : u 2,, u N 2, u N = }. 6. L évéemet l idividu atteit au mois 50 as correspod au sous-esemble : {x R + : 50 x 20}. 7. L évéemet l ivroge avace au N-ième pas correspod au sous-esemble : {(u ) Ω : u N = }. Remarque. Les évéemets, qui sot par défiitio des sous-esembles de l uivers, sot e gééral décrits à l aide de phrases das u premier temps. E effet, o commece par se poser ue questio liée à ue expériece aléatoire, puis o itroduit u modèle probabiliste pour y répodre. Par exemple, o cherche la probabilité que la somme de deux dés lacés au hasard soit égale à 4 ; l évéemet cosidéré est alors la somme des dés est égale à 4. Ue fois fixé le choix de l uivers, u évéemet correspod à u uique sous-esemble de ce derier. Comme il y a pas forcémet uicité du modèle et qu alors les évéemets peuvet s écrire e termes de sous-esembles sous des formes différetes, la phrase qui décrit u évéemet permet de se compredre, quel que soit le modèle choisi, voir par exemple les Exercices. et.2 uméro 4. Remarquos aussi que, état doé u sous-esemble d u uivers, il est souvet possible de le décrire par différetes phrases, qui représetet toutes le même évéemet. Par exemple l évéemet {P F, F F } de l Exercice.2 uméro 2 peut se traduire par le premier jet doe pile ou le premier jet e doe pas face. A oter que le passage de la phrase au sous-esemble et réciproquemet est raremet expliqué das les mauels scolaires et les élèves se voiet devoir travailler sur des évéemets e termes de phrases alors qu o viet de leur expliquer qu u évéemet est ue partie de l uivers, pas facile de s y retrouver pour eux... 9

10 Puisque les évéemets sot des esembles, o peut effectuer les opératios habituelles, avec la correspodace suivate etre les termiologies esembliste et probabiliste. Notatio Termiologie esembliste Termiologie probabiliste Ω esemble etier espace des états, évéemet certai ω élémet de Ω évéemet élémetaire A sous-esemble de Ω évéemet ω A ω appartiet à A A est réalisé si ω est le résultat de l expériece A B A est iclu das B si A est réalisé alors B aussi A B réuio de A et B l évéemet A ou B (ou o exclusif!) A B itersectio de A et B l évéemet A et B A c complémetaire de A l évéemet cotraire de A esemble vide évéemet impossible A B = A et B sot disjoits A et B sot icompatibles Exemple. Deux lacers successifs d ue même pièce de moaie. Soiet A = {P P }, B = {P F }, C = {F P, F F }. Alors, A B = {P P, P F } = C c, est l évéemet le premier jet doe pile ; A B =, est l évéemet impossible, A et B sot icompatibles. Propriété. Les opératios sur les évéemets satisfot aux règles suivates. Pour tous évéemets A, B, C, o a commutativité : A B = B A ; associativité : (A B) C = A (B C) ; distributivité : (A B) C = (A C) (B C) ; lois de De Morga : (A B) c = A c B c, et (A B) c = (A c B c ). Exercice.3. Soiet A, B, C trois évéemets liés à ue même expériece aléatoire. Doer e foctio de A, B, C, A c, B c, C c, de leurs réuios, itersectios, l expressio des évéemets suivats : A seulemet est réalisé ; A et B seulemet sot réalisés ; au mois u des trois évéemets est réalisé ; au mois deux des trois évéemets sot réalisés ; u et u seul des trois évéemets est réalisé ; au plus deux des trois évéemets sot réalisés ; aucu des trois évéemets est réalisé. Solutio.3. A B c C c. A B C c. A B C. (A B) (A C) (B C). (A B c C c ) (B A c C c ) (C A c B c ). (A B C) c = A c B c C c. A c B c C c = (A B C) c..2.3 Tribu L esemble des évéemets A associés à ue expériece aléatoire est doc u sous-esemble des parties de Ω, A P(Ω). Il semblerait aturel de predre A = P(Ω), mais il y a alors des 0

11 exemples où il est impossible d associer à chaque évéemet ue probabilité de faço cohérete. Das ces cas-là, il est doc écessaire de se restreidre à u sous-esemble strict de P(Ω) coteat les évéemets itéressats. L esemble des évéemets que l o cosidère e probabilité doivet satisfaire à quelques propriétés aturelles, ils doivet former ue tribu, dot voici la défiitio. Défiitio. U esemble A de parties de Ω est ue tribu, ou σ-algèbre, s il satisfait aux coditios suivates :. Ω A ; 2. A P(Ω), A A A c A ; 3. A est stable par réuio fiie ou déombrable. Exemple.. {, Ω} est ue tribu et c est la plus petite (au ses de l iclusio). P(Ω) est ue tribu et c est la plus grade. Soit C u esemble arbitraire de parties de Ω, alors la plus petite tribu coteat C, otée σ(c) est appelée la tribu egedrée par C. O admet l existece de cette tribu. Soit A P(Ω), A, A Ω, alors la tribu egedrée par A est σ(a) = {, A, A c, Ω}. Sur R, o utilise la tribu egedrée par les ouverts de R, appelée tribu boréliee de R. O admet le fait qu elle soit différete de P(R). Das le cas où l espace des états est fii ou déombrable, o pred toujours A = P(Ω). Exercice.4. Soit Ω = {, 2, 3}. Quelle est la tribu egedrée par A = {, 2}? Quelle est la tribu egedrée par C = {{}, {2}}? Solutio.4. D après l Exemple., la tribu egedrée par A = {, 2} est {, {, 2}, {3}, {, 2, 3}}. La tribu egedrée par C est stable par réuio et complémetatio, elle doit doc coteir {, 2} et {3} ; e particulier elle cotiet {}, {2}, {3}. Il est alors facile de voir que σ(c) = P(Ω). Défiitio. L esemble des évéemets associé à ue expériece est la tribu A choisie sur Ω. Remarque. Das le cas où l espace des états est fii ou déombrable, puisque A = P(Ω), u évéemet est doc simplemet importe quel sous-esemble de Ω. O retrouve bie la défiitio doée das l eseigemet secodaire..2.4 Probabilité Nous souhaitos maiteat associer à chacu des évéemets ue probabilité, qui mesure la vraisemblace que l o accorde a priori à l évéemet avat la réalisatio de l expériece. C est ue des doées du modèle, que l o peut compredre ituitivemet de différetes maières, e voici deux. Approche utilisat les symétries. O cosidère u dé o-pipé. Il est alors aturel de supposer que chacue des issues possibles ait la même probabilité égale à /6. Il faut cepedat être prudet avec cette approche. E effet, supposos que ous souhaitios détermier la probabilité

12 du sexe d u ouveau é. Il y a aucue raiso de peser qu il y a plus de chaces d avoir u garço ou ue fille, de sorte qu il est aturel d associer ue probabilité /2 à chacu des évéemets élémetaires. Cepedat, les statistiques motret que la proportio de garços ouvellemet é est de 5, 2% (INED, Frace métropolitaie). Approche fréquetiste. O suppose qu ue expériece d uivers Ω est exécutée plusieurs fois sous les mêmes coditios. Pour chaque évéemet A de Ω, o défiit N (A) comme le ombre de fois où l évéemet A surviet lors des N premières répétitios de l expériece. Alors la probabilité de l évéemet A, otée P(A), est défiie comme la limite, das u ses à préciser, du quotiet N (A)/N. Cela veut dire que P(A) est défiie comme la limite du pourcetage du ombre de fois où A surviet par rapport au ombre total des répétitios. C est doc la fréquece limite de A. Bie que cette défiitio soit ituitivemet commode, elle présete u sérieux icovéiet. E effet, il faut justifier de l existece de la limite, ce qui est difficile a priori. Il est plus raisoable d admettre que les probabilités satisfot à u esemble d axiomes simples et ituitivemet acceptables, pour esuite démotrer qu ue telle fréquece limite existe das u certai ses (voir plus loi la loi des grads ombres). Défiitio. État doés u espace d états Ω et ue tribu d évéemets A, ue probabilité P sur (Ω, A), est ue applicatio de A das [0, ], possédat les propriétés suivates.. L évéemet certai est de probabilité : P(Ω) =. 2. Axiome de σ-additivité : pour toute famille déombrable (A ) 0 d évéemets de A, deux-à-deux disjoits, o a ( ) + P A = P(A ). 0 =0 Le triplet (Ω, A, P) est alors appelé u espace probabilisé. O a les coséqueces immédiates suivates. Propositio.. Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé et soiet deux évéemets A A, B A.. Additivité. Si A et B sot disjoits, alors P(A B) = P(A) + P(B). E particulier, P(A c ) = P(A), et P( ) = Si A B, alors : P(A) P(B). 3. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Plus gééralemet, o a la formule de Poicaré : Soit (A ) N = ue famille d évéemets de A, alors : ( N P = A ) = N ( ) = Exercice.5. Démotrer la Propositio.. J {,, N} Card(J) = ( P k J A k ). Voici ue coséquece plus abstraite, qui est fréquemmet utilisée. Propositio.2. Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé. 2

13 Soit (A ) ue suite croissate d évéemets de A, c est-à-dire, pour tout, A A +. Soit A = + A, alors : = P(A) = lim P(A ). + Soit (B ) ue suite décroissate d évéemets de A, c est-à-dire, pour tout, B B +. Soit B = + B, alors : = P(B) = lim P(B ). + Remarque.. Les suites réelles (P(A )) et (P(B )) sot respectivemet croissate et décroissate, borées, doc covergetes, justifiat aisi l existece de la limite. Par ailleurs, la ( N suite A )N, égale à (A N) N, est ue suite croissate au ses de l iclusio, et l esemble + = = A est habituellemet oté peut ecore s écrire : = lim A, de sorte que le résultat de la propositio précédete + ( ) P lim A + = lim + P(A ). ( N De même, la suite B )N, égale à (B N) N, est ue suite décroissate au ses de l iclusio, et l esemble + = propositio précédete s écrit : B est habituellemet oté ( ) P lim B + lim B, de sorte que le résultat de la + = lim + P(B ). Démostratio. Démotros la propositio das le cas d ue suite croissate d évéemets. Posos C = A et pour tout 2, C = A A c. Aisi, pour tout 2, A = C A, où la réuio est disjoite, de sorte que : P(A ) = P(C ) + P(A ). c2 c3... A3 A2 A c Figure. Ue visio schématique d ue suite croissate d évéemets (A ). Les évéemets (C ) sot les aeaux successifs. La famille (C ) est ue famille déombrable d évéemets disjoits deux à deux. Aisi, d après la propriété de σ-additivité, o a : ( P C ) = 3 + = P(C ).

14 Puisque de plus, P(A) = C = A, o déduit que, lim N + = = lim N + N P(C ) = ( P(A ) + lim N + ( P(C ) + ) N [P(A ) P(A )] =2 ) N [P(A ) P(A )] =2 = lim N + P(A N). Remarque.2. O rappelle : ω A N, ω A, et ω A N, ω A. Exemple.2. U exemple d applicatio de la Propositio.2 est doé das l Exercice

15 Chapitre 2 Costructio d espaces probabilisés 2. Espace des états fii 2.. Espace probabilisé O suppose das la suite que l espace des états Ω est de cardial fii. Das ce cas, la tribu cosidérée est simplemet A = P(Ω) et la défiitio d ue probabilité pred la forme suivate, qui est celle utilisée au lycée. Défiitio. Ue probabilité P sur (Ω, P(Ω)), est ue applicatio de P(Ω) das [0, ], possédat les propriétés suivates.. L évéemet certai est de probabilité : P(Ω) =. 2. Axiome d additivité : pour tous A P(Ω), B P(Ω), tels que A et B sot disjoits, o a P(A B) = P(A) + P(B). Exercice 2.. Motrer que cette défiitio est équivalete à celle doée à la Sectio.2.4 das le cas gééral. O remarquera que, lorsque l espace des états est de cardial fii, toute famille déombrable d évéemets disjoits deux-à-deux cotiet u ombre fii d évéemets o vides. Remarque. Repreos l approche fréquetiste vue à la Sectio.2.4. Les fréqueces A(N) N de réalisatio d u évéemet A sur les N premières répétitios d ue expériece vérifiet les propriétés suivates : i) pour tout évéemet A, 0 A(N) N ; ii) Ω(N) N = ; iii) si A et B sot des évéemets icompatibles, A B(N) N = A(N) N + B(N) N. La défiitio d ue probabilité doée ci-dessus découle aturellemet de ces trois propriétés. Propositio 2.. Ue probabilité sur (Ω, P(Ω)) est caractérisée par sa valeur sur les sigletos {ω}, pour tout ω Ω. Réciproquemet, à toute famille (p ω ) ω Ω telle que :. pour tout ω Ω, 0 p ω, 2. p ω =, ω Ω 5

16 o peut associer ue uique probabilité P sur (Ω, P(Ω)) défiie par : P({ω}) = p ω. O éted esuite P à P(Ω) par additivité : pour tout A P(Ω), P(A) = ω A p ω. Exercice 2.2. Démotrer la Propositio 2.. Défiitio. Ue probabilité P sur (A, Ω) est dite uiforme, si P({ω}) e déped pas de ω Ω. O dit alors que l o est e situatio d équiprobabilité. Corollaire 2.. Das ce cas, pour tout ω Ω, P({ω}) = Card(Ω), et, pour tout évéemet A P(Ω), o a : P(A) = Card(A) Card(Ω). Remarque. Pour sigaler que l o est e situatio d équiprobabilité, les mauels scolaires ot coutume d écrire que le phéomèe se produit au hasard pour permettre à l élève de compredre qu il doit choisir la probabilité uiforme. Cela a pourtat aucu ses, puisque importe quel modèle probabiliste modélise u phéomèe aléatoire... Lorsque l o veut préciser que l o est e situatio d équiprobabilité, o mettra doc l expressio au hasard etre guillemets, motrat aisi que l o est cosciet que cette expressio e veut rie dire. Cette remarque sera approfodie e Didactique, otammet avec le paradoxe de Bertrad. Exemple. Repreos la questio 4 des Exercices. et.2 du Chapitre et calculos la probabilité de l évéemet A la somme des dés est égale à 4. Supposos que l o ait choisi l espace Ω. Alors, o est e situatio d équiprobabilité et la probabilité P sur Ω est uiforme, de sorte que pour tout (i, j) {,, 6} 2 : P [{(i, j)}] = 36. Aisi, P (A) = P [{(, 3), (2, 2), (3, )}] = Card(A) Card(Ω ) = Supposos maiteat que l o ait choisi l espace Ω 2. Alors, o est plus e situatio d équiprobabilité. Au vu des coditios de l expériece, o défiit P 2 aisi : P 2 ({2}) = P 2 ({2}) = 36, P 2({3}) = P 2 ({}) = 8, P 2({4}) = P 2 ({0}) = 2, P 2 ({5}) = P 2 ({9}) = 9, P 2({6}) = P 2 ({8}) = 5 36, P 2({7}) = 6. Aisi, P 2 (A) = P 2 ({4}) = 2 mais Card(A) Card(Ω 2 ) =, d où P 2(A) Card(A) Card(Ω 2 ). Remarquer que s il o avait choisi l uivers Ω 3, o e serait pas o plus e situatio d équiprobabilité. Cet exemple motre qu il est très importat de spécifier le choix d uivers et de probabilité. Bie que les résultats fiaux e chaget pas, les raisoemets pour y arriver sot différets et doivet être explicités. Lorsque l espace des états est fii, les calculs de probabilités se ramèet essetiellemet à des problèmes de déombremet, sujet de la sectio suivate. 6

17 2..2 Déombremet, modèle d ure Défiitio. Ue populatio de taille N est u esemble S = {s,, s N } de N élémets. Les élémets de S sot les idividus de la populatio S. La taille N est le ombre d élémets de S. Tirages ordoés U échatillo de taille r est u r-uplet (s i,, s ir ) d élémets de S. Deux procédures sot possibles. Le tirage avec remise. Das ce cas, chaque élémet de l esemble peut être choisi à plusieurs reprises. O parle alors d échatillo de taille r avec répétitios. Soit Ω l esemble de ces échatillos, alors Ω = {s,, s N } r, et : Card(Ω ) = N r. Exemple. Soit S = {, 2, 3, 4} et r = 2. Alors Ω peut être représeté par la matrice M ci-dessous, et Card(Ω ) = 6. M = (, ) (, 2) (, 3) (, 4).. (4, ) (4, 2) (4, 3) (4, 4) Le tirage sas remise. Das ce cas, chaque élémet de l esemble peut être choisi au plus ue fois. O parle alors d échatillo de taille r sas répétitio, ou d arragemet des élémets de S pris r à r. Naturellemet, o impose les coditios supplémetaires r N, et j k, i j i k. Soit Ω 2 l esemble de ces échatillos, o a alors : Card(Ω 2 ) = N(N ) (N r + ) = N! (N r)! Ce ombre a deux otatios usuelles : A r N ou (N) r (symbole de Pochhammer, qui est pas au programme du CAPES). Exemple. Soit S = {, 2, 3, 4} et r = 2. Alors Ω 2 peut être représeté par la matrice M privée de sa diagoale et Card(Ω 2 ) = 2. Exemple. O cosidère ue populatio de taille N et u échatillo aléatoire de taille r avec répétitio. O choisit alors comme uivers Ω que l o muit de la probabilité uiforme, otée P. O s itéresse à l évéemet A aucu idividu a été choisi plus d ue fois qui est la même chose que tous les idividus sot disticts. Alors o a, A = Ω 2 et : Doos quelques applicatios de ce résultat. P(A) = Card(Ω 2) Card(Ω ) = Ar N N r.. O jette u dé six fois de suite. Alors la probabilité d obteir six ombres disticts est 6! 6 6 0, Supposos que das ue ville, il y ait sept accidets par semaie. Alors la probabilité d avoir exactemet u accidet chaque jour de la semaie est 7! 7 7 0,

18 Tirages o ordoés Ue sous-populatio de taille r est u sous-esemble {s i,, s ir } d élémets de S. De maière similaire aux tirages ordoés, deux procédures sot possibles. Le tirage sas remise. O parle alors de sous-populatio de taille r sas répétitio, ou de combiaiso de r élémets. O impose à ouveau les coditios supplémetaires, r N, et j k, i j i k. Soit Ω 3 l esemble de ces populatios, o a alors : Card(Ω 3 ) = N! (N r)!r!. Ce ombre, appelé coefficiet biomial, a deux otatios usuelles : CN r (otatio qui est plus e vigueur das les lycées) ou ( ) N r (otatio aglo-saxoe). Exemple. Soit S = {, 2, 3, 4} et r = 2. Alors Ω 3 peut être représeté par le triagle supérieur de la matrice M, privé de la diagoale et Card(Ω 3 ) = 6. Démostratio. Chacu des sous-esembles à r élémets fourit r! échatillos de taille r sas répétitio, de sorte que Card(Ω 2 ) = r! Card(Ω 3 ). Exemple 2... O appelle mai de poker l esemble des 5 cartes que chacu des quatre joueurs reçoit lors de la distributio d u jeu qui e cotiet 32. Alors il existe ( ) 32 5 mais différetes. Soit A l évéemet les hauteurs des 5 cartes sot différetes, calculos Card(A). O peut choisir ces hauteurs de ( 8 5) maières différetes. Il faut esuite choisir la couleur (trèfle, carreau, cœur, pique) de chacue des hauteurs. Aisi : ( ) 8 Card(A) = État doé que toutes les mais sot supposées équiprobables, la probabilité d obteir ue mai dot les 5 cartes ot ue hauteur différete est : ( 8 ) P(A) = ( 32 ) Ue ure cotiet N b boules blaches et N boules oires. Posos N = N b + N. O tire r boules avec remise das l ure, il y a alors N r tirages possibles. Soit A k l évéemet o a tiré exactemet k boules blaches, calculos Card(A k ). L évéemet A k est réalisé lorsque l issue est costituée de k boules blaches et r k boules oires. Il y a ( r k) faços de choisir la positio des boules blaches, la positio des boules oires est esuite fixée. Pour chacue des positios de boule blache, il y a esuite N b choix de boules blaches possibles, et pour chacue des positios de boule oire, il y a N choix possibles, aisi : ( ) r Card(A k ) = Nb k k N r k. État doé que tous les tirages sot supposés équiprobables, la probabilité d obteir exactemet k boules blaches lors d u tirage de r boules avec remise est : ( r ) k N k P(A k ) = b N r k ( ) ( ) r k ( ) r k Nb N N r =. k N N Ceci est u exemple de la loi biomiale, que ous reverros plus tard. 8

19 3. Soit S ue populatio de taille N (ex. des étudiats), que l o rage e deux catégories a et b icompatibles (ex. filles et garços), de tailles respectives N a et N b = N N a. O choisit au hasard ue sous-populatio de taille r sas répétitio, il y a alors ( ) N r choix possibles. Soit A k l évéemet o a choisi exactemet k idividus de la catégorie a, calculos Card(A k ). L évéemet est réalisé lorsque l issue est costituée de k idividus de la catégorie a et r k de la catégorie b. Il y a ( N a ) k faços de choisir les k idividus de la catégorie a et pour chacue il y a ( N N a ) r k faços de choisir les idividus restats das la catégorie b, aisi : ( )( ) Na N Na Card(A k ) =. k r k Remarquer que pour que ceci ait u ses, il faut que 0 k mi{r, N a }. État doé que tous les tirages sot supposés équiprobables, la probabilité d obteir k idividus de la catégorie a lors de ce tirage est : P(A k ) = )( Nb ) k r k ( N ). r ( Na Ceci est u exemple de la loi hypergéométrique. Remarque. Supposos que N a = N a (N) soit ue foctio de N et que le ombre total de boules tede vers l ifii, de sorte que la proportio Na N tede vers p (et doc que N b N tede vers p), avec 0 < p <. Aisi, N a et N b tedet vers + avec N. Fixos r 0 et k compris etre 0 et r. Alors, pour N assez grad, o a N a k, N b r k et P(A k ) peut s écrire : P(A k ) = N a(n a )... (N a k + ) k! = N b (N b )... (N b r + k + ) (r k)! r! N a (N a )... (N a k + ) N b (N b )... (N b r + k + ) k!(r k)! N(N )... (N r + ) r! = k!(r k)! ( r = k N + N k Na N ( Na N N )... ( Na N ) Na N ( Na N N )... ( Na N ( r ) k p k ( p) r k r! N(N )... (N r + ) k N ) N r k N b N ( N b N N )... ( N b N r k r )... ( N r ( N k N ) N b N ( N b N ( N. )... ( r N ) N )... ( N b N N ) r k N ) N ) Aisi, P(A k ) ted vers ( r k) p k ( p) r k. O a doc obteu la loi biomiale comme limite de lois hypergéométriques. Ce résultat est ituitif, car lorsque le ombre de boules est très grad, que le tirage s effectue avec ou sas remise e chage pas grad chose : o a peu de chace de tirer deux fois la même boule. Partitioemet Soiet r,, r k des etiers positifs (évetuellemet uls) tels que, r + + r k = N. Le ombre de faços de répartir N objets das k familles de sorte que la i-ième famille cotiee r i élémets est égal à : N! r! r k!. Ce ombre se ote ( ) N r r k et s appelle coefficiet multiomial. 9

20 Démostratio. Pour remplir la première famille, il faut choisir r objets parmi N, ce qui peut se faire de ( ) N r faços. Pour remplir la secode famille, il faut choisir r2 objets parmi N r, soit ( N r ) r 2. E cotiuat aisi, o obtiet que le ombre de telles répartitios est de : ( )( N N r r r 2 ) ( ) N r r k = r k N! r! r k!. Exemple. Le ombre d aagrammes du mot CHERCHER est 8! 2!2!2!2!. Le tirage avec remise. O parle alors de sous-populatio de taille r avec répétitios. Soit Ω 4 l esemble de ces populatios, o a alors : ( ) ( ) N + r N + r Card(Ω 4 ) = =. N r Exemple. Soit S = {, 2, 3, 4} et r = 2. Alors Ω 4 peut être représeté par le triagle supérieur de la matrice M et Card(Ω 4 ) = 0. Démostratio. Ce problème reviet à placer r boules idistiguables das N ures. E effet, le ombre de boules das la i-ième ure compte le ombre de répétitios de l idividu i lors du tirage. Représetos les r boules par r étoiles aligées, avec ue cloiso à chacue des extrémités. Par exemple, lorsque r = 7, Répartir les r boules das N ures reviet à rajouter N cloisos format les N ures. Par exemple, lorsque r = 7, N = 3,, représete le tirage : s, s, s 3, s 3, s 3, s 3, s 3. Aisi, ce problème reviet à placer N cloisos sur N + r positios, les positios restates état occupées par des. Exemple. Soiet r N et N. O cherche à compter le ombre de suites d etiers aturels r,, r, telles que : r + + r = r. Ce problème reviet à placer r boules idistiguables das ures, où le ombre de boules das la i-ième ure représete r i. Aisi, le ombre de ces suites est ( ) +r. Par exemple, si r = 0, = 3, représete la partitio (2, 5, 3) de 0. Remarquer que ces suites sot aturellemet ordoées de sorte que l o distigue (2, 5, 3) de (5, 3, 2). Exercices Exercice 2.3. Supposos que 23 persoes sot das ue même salle. Quelle est la probabilité qu au mois deux d etre elles aiet l aiversaire le même jour? (O e cosidérera pas les aées bissextiles.) Exercice 2.4. Das ue course, chevaux sot au départ. O suppose qu ils ot tous la même chace de gager. Calculer la probabilité de gager le tiercé avec u ticket : 20

21 . das l ordre, 2. das l ordre ou das u ordre différet, 3. das u ordre différet? Exercice 2.5. U joueur de poker reçoit ue mai de 5 cartes d u jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité qu il reçoive :. ue seule paire (deux cartes de même hauteur) ; 2. deux paires ; 3. u brela (trois cartes de même hauteur et pas de paire i de carré) ; 4. u carré (quatre cartes de même hauteur) ; 5. u full (ue paire et u brela)? Exercice 2.6. (D après C. Bouzitat et G. Pagès, E passat par hasard... Chapitre XI. Ed. Vuibert (999)). Au loto, le joueur doit cocher 6 uméros das ue grille e comportat 49. U tirage cosiste à extraire, sas remise, 6 boules umérotées d ue ure, dot les uméros sot dits gagats, et ue 7-ième boule fourissat le uméro dit complémetaire. Est gagat du premier rag, toute grille sur laquelle sot cochés les 6 uméros gagats. Est gagate du 2-ième rag, toute grille sur laquelle sot cochés 5 des 6 uméros gagats et dot le 6-ième uméro est le uméro complémetaire. Est gagat du 3-ième rag, toute grille sur laquelle sot exactemet cochés 5 des 6 uméros gagats. Cosidéros ue grille validée et otos Calculer p k pour k {, 2, 3}. p k = P(la grille est gagate au k-ième rag). Exercice 2.7. O cosidère la distributio aléatoire de r boules das ures. Quelle est la probabilité qu ue ure doée cotiee exactemet k boules? (k r) Exercice 2.8. Soit f : R R ue foctio de variables, que l o suppose de classe C. Quel est le ombre de dérivées partielles distictes d ordre r? Exercice 2.9. Combie l équatio x + x 2 + x 3 égatives? = 5 a-t-elle de solutios etières et o Exercice 2.0. (CAPES extere, dossier du 2 juillet 2009). U homme travaille à Mahatta, das u quartier où les aveues sot orietées ord-sud et les rues est-ouest. Il travaille à 7 pâtés de maiso à l est et 8 pâtés de maisos au ord de so domicile. Pour aller à so travail chaque jour il parcourt doc la logueur de 5 pâtés de maiso (il e se dirige i vers le sud, i vers l ouest). O suppose qu il existe ue voie le log de chaque pâté de maisos et qu il peut predre importe lesquelles de ce schéma rectagulaire. La figure ci-dessous illustre la situatio ; u exemple de trajet est représeté e lige grasse.. Proposer u codage permettat de décrire le trajet représeté. 2. Combie de trajets différets l homme peut-il empruter? 2

22 bureau maiso 3. L homme préted que le ombre de trajets est aussi le ombre de suites de 8 etiers aturels dot la somme est 8. A-t-il raiso? Pedat sa préparatio, le cadidat traitera la questio suivate :. Aquel iveau pesez-vous pouvoir proposer cet exercice? Quelles idicatios souhaiteriezvous ajouter? 2. La questio 3 de l exercice. Solutios Solutio L uivers Ω est formé de tous les 23-uplets de jours d aiversaire. O a doc Ω = {,, 365} 23 et Card(Ω) = O suppose que les dates d aiversaire sot distribuées au hasard sur l aée, de sorte que l o muit Ω de la probabilité uiforme, otée P. Aisi, si A P(Ω) est u évéemet, P(A) = Card(A) Card(Ω). O cosidère l évéemet A les persoes ot toutes leur aiversaire u jour différet. L évéemet A est formé de tous les échatillos de taille 23 sas répétitio, doc Card(A) = A , et P(A) = A (365) 23. La probabilité qu au mois deux persoes aiet leur aiversaire le même jour est la probabilité de l évéemet complémetaire, et est doc égale à A = 0, Cette probabilité (365) 23 est d eviro 0,97 s il y a 50 persoes, et d eviro 0,999 s il y e a 00. Solutio L uivers est l esemble des tiercés possibles, soit Ω = {(i, j, k) : i, j, k {,, }, i j, j k, k i}. Alors, Card(Ω) = A 3 = ( )( 2). O suppose que tous les tiercés ot la même chace de se réaliser, de sorte que l o muit Ω de la probabilité uiforme, otée P. Aisi, pour tout A P(Ω), P(A) = Card(A) Card(Ω).. Soit A l évéemet obteir le tiercé gagat das l ordre. Comme il existe u uique tiercé gagat, Card(A) =, d où la probabilité cherchée est : P(A) = ( )( 2). 22

23 2. Soit B l évéemet obteir le tiercé gagat das l ordre ou das u ordre différet. Comme il y a 3! maières d ordoer le tiercé gagat,card(b) = 6, d où la probabilité cherchée est : 6 P(B) = ( )( 2). 3. Soit C l évéemet obteir le tiercé gagat das u ordre différet. Comme il y a 3! = 5 maières d ordoer le tiercé gagat das u ordre différet, Card(C) = 5, d où la probabilité cherchée est : 5 P(C) = ( )( 2). Solutio L uivers Ω est l esemble des mais de 5 cartes possibles, c est-à-dire l esemble des combiaisos de 5 élémets pris parmi 32, de sorte que, Card(Ω) = ( ) O suppose que toutes les mais sot équiprobables et o muit Ω de la probabilité uiforme, otée P. Aisi, si A P(Ω) est u évéemet, P(A) = Card(A) Card(Ω).. Soit A l évéemet le joueur possède ue seule paire, calculos Card(A). - Choix de la hauteur de la paire : ( 8 ). - Choix ) de la couleur (trèfle, carreau, cœur, pique) de chacue des cartes de la paire :. ( Choix des hauteurs des trois autres cartes : ( 7 3). - Choix de la couleur de chacue des trois autres cartes : 4 3. Aisi, Card(A) = ( )( 2)( 3) 4 3, et ( 8 )( 4 )( 7 ) P(A) = ( 32 ) Soit B l évéemet le joueur possède deux paires, calculos Card(B). - Choix des hauteurs des deux paires : ( 8 2). - Choix de la couleur de chacue des cartes de chacue des paires : ( 4 2) 2. - Choix de la hauteur de la derière carte : ( 6 ). - Choix de la couleur de la derière carte : 4. Aisi, P(B) = ( 8 )( 4 ) 2 ( 6 ) ( 32 ) Soit C l évéemet le joueur possède u brela. - Choix de la hauteur du brela : ( 8 ). - Choix de la couleur de chacue des cartes du brela : ( 4 3). - Choix de la hauteur des deux cartes restates : ( 7 2). - Choix de la couleur de chacue des deux cartes restates : 4 2. ( 8 )( 4 )( 7 ) Aisi, P(C) = ( 32 ) Soit D l évéemet le joueur possède u carré. - Choix de la hauteur du carré : ( 8 ). - Choix de la couleur de chacue des cartes du carré : ( 4 4) =. - Choix de la hauteur de la carte restate : 7. - Choix de la couleur de la carte restate : 4. Aisi, P(D) = ( 32 ). 5 23

24 5. Soit E l évéemet le joueur possède u full. - Choix de la hauteur de la paire : 8. - Choix de la couleur de la paire : ( 4 2). - Choix de la hauteur du brela : 7. - Choix de la couleur du brela : ( 4 3). Aisi, P(E) = ( 32 5 ). Solutio L uivers Ω est l esemble des combiaisos de 6 uméros choisis parmi 49, de sorte que, Card(Ω) = ( ) O suppose que toutes ces combiaisos sot équiprobables et o muit Ω de la probabilité uiforme, otée P. Aisi, si A P(Ω) est u évéemet, P(A) = Card(A) Card(Ω). Pour k {, 2, 3}, soit A k l évéemet la grille du joueur est ue grille gagate du k-ième rag.. A est formé des grilles qui correspodet exactemet au tirage, doc Card(A ) = et : p = ( 49 6 ) 7, A 2 est formé des grilles qui cotieet 5 des 6 uméros du tirage et exactemet le uméro complémetaire, doc : p 2 = (6 5) ( 49 6 ) 4, A 3 est formé des grilles qui cotieet 5 des 6 uméros du tirage et u uméro autre (que les 7 tirés), doc : ( ) p 3 = 5)( ( 49 ) = 6 ( 6 ) 5 42 ( 49 ), Solutio L espace des états Ω est l esemble de toutes les maières de distribuer r boules das ures. Pour la première boule, il y a choix d ures, pour la deuxième égalemet, etc., doc : Card(Ω) = r. Comme la distributio des boules est aléatoire, o muit Ω de la probabilité uiforme, de sorte que si A est u évéemet de Ω, o a P(A) = Card(A) Card(Ω). Pour tout k {0,, r}, o itroduit A k l évéemet ue ure doée cotiet k boules. Alors il y a ( r k) choix possibles pour ces k boules, et comme aucue autre boule e peut être das l ure doée, chacue a le choix etre ( ) ures. Aisi, ( ) r Card(A k ) = ( ) r k, k et P(A k ) = ( ) r ( ) r k k r = O retrouve u exemple de loi biomiale. ( ) ( r k ) r k ( ) k. Remarque. E gééral das des exercices où l o tire ou o place des boules, il est aturel, afi de coller à l expériece, de les supposer discerables. Ceci est à mettre e perspective avec la démostratio du tirage o ordoé avec remise, qui se traspose e u problème où l o place des boules idiscerables das des ures. 24

25 Solutio Comme l applicatio f est de classe C, les dérivées partielles e dépedet par de l ordre das lequel elles sot prises, mais seulemet du ombre de répétitios de chacue des variables. Aisi ce problème reviet à chercher les suites d etiers aturels r,, r, tels que r + + r = r, où r i représete la puissace de f x i. O cherche doc le ombre de tirages o-ordoés avec remise de r idividus parmi, soit : ( ) + r. Solutio. ( 2.9. O cherche l esemble des suites de 3 etiers aturels de somme 5. Il y a doc 7 ) 2 solutios. Solutio À tout chemi possible o peut associer la successio de choix que l o fait à chaque itersectio recotrée. Ces choix peuvet être codés par E (est) et N (ord), ces deux directios état les seules répodat aux coditios proposées. Le chemi dessié deviet par exemple, EENNEENNEENNENN. Il est évidet que, vice-versa, la doée de cette suite permet de coaître sas ambiguïté le chemi correspodat puisqu à chaque itersectio, o saura où se diriger. 2. Les chemis ayat le poit de départ et d arrivée doés ot tous e commu qu il faut aller 8 fois vers le ord et 7 fois vers l est. Das ce codage, o trouvera écessairemet 7 fois le E et 8 fois le N. Doc tout codage est ue suite de 5 symboles composée de 7 E et 8 N et réciproquemet. Il apparaît doc ue bijectio etre l esemble des chemis et l esemble des suites de 5 caractères décrites ci-dessus. Le ombre de solutios est alors : ( 5 7 ) = 3. À chaque chemi o peut associer la logueur des parcours que l o fait vers le ord das chacue des aveues que l o recotre. Il y a 8 aveues possibles, ce qui doera, quel que soit le chemi, ue suite de 8 etiers aturels dot la somme est 8. Par exemple, pour le chemi dessié, o a : 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2. ( 5 8 À partir de ce ouveau codage, o retrouve l acie e remplaçat k par : N } {{ N} E, k fois Le derier ombre est uiquemet remplacé par la suite de k fois N. Das l exemple cidessus, o remplace 0 par E et 2 par NNE (sauf, pour le derier 2 qui est remplacé par NN ) et o retrouve le chemi codé e N et E. Nous avos doc explicité ue bijectio etre l esemble des suites de 8 etiers aturels de somme 8 et celui des chemis. Remarque. Les questios et 3 sot deux iterprétatios de l expériece qui cosiste à placer 8 boules idistiguables das 8 ures. Das le premier codage les parois des ures (sauf la première et la derière) sot remplacées par des E et les boules par des N. Das le deuxième codage, pour i {,, 8}, r i représete le ombre de boules das la i-ième ure. La distributio de boules qui correspod à la séquece EENNEENNEENNENN ou 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2 est : ). 25

26 2.2 Espace des états ifii déombrable Lorsque Ω est ifii déombrable, o procède de la même maière que das le cas fii : o pred A = P(Ω), et o associe à chaque évéemet élémetaire ω Ω, sa probabilité, P({ω}) = p ω [0, ], avec : p ω =. ω Ω Remarque 2.. La somme ci-dessus est défiie de la maière suivate. L uivers Ω état déombrable, il est possible de uméroter les évéemets élémetaires, disos Ω = {ω, ω 2, }. O pose alors, p ω = ω Ω Cette défiitio e déped pas de l ordre choisi pour les élémets de Ω car les termes iterveat das la série sot tous positifs. O pose esuite, pour tout A A, P(A) = ω A p ω = + = + = p ω. p ω I A (ω ). O vérifie alors de la même faço que das le cas fii que P est bie ue probabilité et que toute probabilité sur u uivers déombrable est écessairemet de cette forme. Exemple. O jette ue pièce de moaie jusqu à l obtetio du premier pile. O peut choisir Ω = N { } où, pour tout k N, {k} représete l évéemet le premier pile est obteu au k-ième jet, et { } représete l évéemet pile e sort jamais. Si la pièce est équilibrée, o aura, pour tout k N : P({k}) = 2 k. Comme N et { } sot disjoits, = P[Ω] = P[{ }] + P[ pile e sorte jamais est doée par : P({ }) = P[ k N {k}] = = + + k N P[{k}], car les évéemets sot disjoits 2 k = 0. La probabilité que le premier pile sorte après u ombre pair de lacers est : P({2, 4, 6, }) = + P({2k}) = + = 2 2k Espace des états ifii o-déombrable {k}]. Aisi, la probabilité que Cette situatio est beaucoup plus subtile que das les cas précédets. O e peut plus défiir ue probabilité e défiissat celle des sigletos (évéemets élémetaires) car celle-ci est ulle. La procédure est alors la suivate : 26

27 o détermie ue algèbre d évéemets itéressats sur laquelle o défiit ue probabilité ; o utilise u théorème fodametal de la théorie de la mesure, le théorème d extesio de Carathéodory, qui affirme qu ue probabilité sur ue algèbre s éted de faço uique e ue probabilité sur la tribu egedrée par l algèbre. Exemple. Souveez-vous que lorsque l espace des états est R, o pred comme tribu celle des borélies (la plus petite tribu egedrée par les ouverts de R). O admettra que cette tribu est egedrée par les itervalles de la forme ], x], x R, et qu ue mesure de probabilité P sur R est etièremet caractérisée par la valeur qu elle attribue aux itervalles de cette forme.. U esemble A de parties de Ω est ue algèbre, si Ω A, A est stable par complémetatio et par réuios fiies. À la différece d ue tribu o e demade pas la stabilité par réuios déombrables. 27

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29 Chapitre 3 Coditioemet et idépedace 3. Probabilité coditioelle 3.. Défiitio Motivos la défiitio de probabilité coditioelle sur u exemple. Soit Ω ue populatio partitioée e Ω = S S c, où S représete l esemble des idividus fumeurs. Soit F l esemble des femmes, de sorte que F F c représete ue autre partitio de Ω. O suppose que l o choisit u idividu au hasard, de sorte que l o muit Ω de la probabilité uiforme, otée P. Aisi, la probabilité que l idividu choisi soit fumeur est : P(S) = Card(S) Card(Ω). Si maiteat o choisit u idividu avec l iformatio supplémetaire qu il s agit d ue femme, tout se passe comme si l uivers cosidéré est F, et que l o a partitioé F (et o plus Ω) e S F et S c F. Aisi la probabilité que l idividu choisi soit fumeur, état doé l iformatio que c est ue femme, est égale à : Card(S F ) Card(F ) = Card(S F )/ Card(Ω), Card(F )/ Card(Ω) quatité ecore égale, avec les otatios précédetes, à P(S F ). P(F ) Défiitio. Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé, et B u évéemet tel que P(B) > 0. Pour tout A A, o défiit la probabilité coditioelle de A sachat B, otée P B (A), par : P B (A) = P(A B). (3.) P(B) Lemme 3.. Sous les hypothèses de la défiitio ci-dessus, l applicatio P B est ue probabilité sur (Ω, A), aisi (Ω, A, P B ) est u espace probabilisé. Démostratio. Il faut motrer que P B satisfait aux trois axiomes caractérisat ue probabilité. 29

30 Par hypothèse, P(B) > 0. De plus, pour tout A A, o a A B B, d où 0 P(A B) P(B), et doc : P(A B) 0. P(B) Comme Ω B = B, o a P B (Ω) =. Soit (A ) ue famille déombrable d évéemets deux à deux disjoits. Alors o a l égalité ( A ) B = (A B). Comme les évéemets (A ) sot deux à deux disjoits, il ( e est de même ) pour les évéemets (A B). Aisi la σ-additivité de P implique P (A B) = P(A B), et o coclut : ( P B A ) = ( ) P ( A ) B P(B) = P(A B) P(B) = P B (A ). Exercice. Refaire la démostratio das le cas où Ω est fii. Remarque. O utilise aussi la otatio P(A B). Mais attetio, cette derière est pas e vigueur das les lycées. Elle favorise par ailleurs de ombreuses erreurs. La otatio P B (A) met e valeur le fait que P B soit ue probabilité sur (Ω, A). Comme (Ω, A, P B ) est u espace probabilisé, P B satisfait à toutes les propriétés des Propositios. et.2. Si P(A) > 0 et P(B) > 0, o peut réécrire l équatio (3.) sous la forme : P(A B) = P A (B) P(A) = P B (A) P(B). ( ) De maière plus géérale, si (A k ) k + sot des évéemets qui satisfot à P A k > 0, alors : ( + ) P A k = P(A ) P A (A 2 ) P A A 2 (A 3 ) P A A (A + ). Exemple 3.. O cosidère deux lacers successifs d u même dé. Sachat que le premier jet doe 3, o souhaite calculer la probabilité que la somme soit strictemet supérieure à 6. Supposos que l o ait choisi l uivers Ω = {(i, j) : i {,, 6}, j {,, 6}}, que l o muit de la tribu A = P(Ω). O est alors e situatio d équiprobabilité, et o muit Ω de la probabilité uiforme, otée P. Aisi, pour tout évéemet A de A, P(A) = Card(A) Card(Ω) = Card(A) 36. Soit B l évéemet le premier jet doe 3 ; B est le sous-esemble {(3, j) : j {,, 6}} de A, so cardial est égal à 6, d où P(B) = 6 36 = 6 > 0. La probabilité P(B) état strictemet positive, o peut coditioer par l évéemet B. Soit A l évéemet la somme des dés est strictemet supérieure à 6 ; A est le sous-esemble {(i, j) Ω : i + j > 6} de A, et A B = {(3, 4), (3, 5), (3, 6)}, d où : P(A B) = 3 36 = 2. O coclut que : P(A B) P B (A) = = P(B) 2. 30

31 3..2 Formule des probabilités totales et formule de Bayes Défiitio. Soit I ue partie fiie ou déombrable de N. Ue famille (B i ) i I d évéemets de Ω forme u système complet d évéemets de Ω, si i j, B i B j =, et i I B i = Ω. Autremet dit, la famille (B i ) i I est ue partitio de Ω. Théorème 3.. Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé. Formule des probabilités totales. Soit (B i ) i I u système complet d évéemets de Ω, telle que pour tout i I, P(B i ) > 0, et soit A A. Alors : P(A) = i I P(A B i ) = i I P Bi (A) P(B i ). Das le cas particulier où I = {,, }, o a : P(A) = P(A B i ) = i= P Bi (A) P(B i ). i= Formule de Bayes. Soiet A A et B A, tels que 0 < P(A) < et P(B) > 0, alors : P B (A) = P A (B)P(A) P A (B)P(A) + P A c(b)p(a c ). Démostratio. Comme (B i ) i I est ue partitio de Ω, o a : A = A Ω = A ( i I B i ) = i I (A B i ), où les évéemets (A B i ) i I sot deux-à-deux disjoits. Aisi, e utilisat la σ-additivité de P : P(A) = i I P(A B i ) = i I P Bi (A) P(B i ). Par défiitio de la probabilité coditioelle, o a : P B (A) = P(A B) P(B) = P A(B) P(A). P(B) La formule de Bayes est obteue e appliquat la formule des probabilités totales au déomiateur avec la partitio {A, A c } puisque P(A) 0 et P(A c ) 0. Exemple 3.2. U sodage est effectué das ue société compreat 40% de cadres et 60% d ouvriers. O sait que 20% des cadres et 0% des ouvriers de cette société savet parler aglais. O iterroge ue persoe au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit : u cadre sachat parler aglais? u ouvrier sachat parler aglais? ue persoe sachat parler aglais? 3

32 L idividu iterrogé sait parler aglais. Quelle est la probabilité que ce soit u ouvrier? O pred pour uivers Ω l esemble des employés de la société, que l o muit de la tribu A = P(Ω). État doé que l o iterroge ue persoe au hasard, o muit Ω de la probabilité uiforme, otée P. Soit C l évéemet l employé est u cadre, O l employé est u ouvrier, A l employé parle aglais. Alors, la doée du problème ous dit que : P(C) = 4 0, P(O) = 6 0. Comme ces deux probabilités sot strictemet positives, o peut coditioer par rapport aux évéemets C et O. D après la doée ous savos que : P C (A) = 2 0, P O(A) = 0. À la première questio, o cherche P(C A). D après la défiitio des probabilités coditioelles, o a : P(C A) = P C (A)P(C) = 2 4 = 0, De maière similaire pour la deuxième questio : P(O A) = P O (A)P(O) = = 0, 06. État doé que {C, O} forme ue partitio de Ω, d après la formule des probabilités totales, o a : P(A) = P(A C) + P(A O) = 0, , 06 = 0, 4. Pour répodre à la derière questio, o utilise la formule de Bayes : P A (O) = P O(A)P(O) P(A) = = 3 7. Exemple 3.3. (Paradoxe de Simpso). Cet exemple réel motre u paradoxe surpreat qui s explique grâce aux probabilités coditioelles et à la formule des probabilités totales. Il vous covaicra de l importace de bie compredre ce cocept pour iterpréter correctemet les résultats d études statistiques. Il proviet d ue étude médicale sur le succès de deux traitemets cotre les calculs réaux. Le traitemet A a été effectué das les aées , et le traitemet B das les aées La première table motre le succès global et le ombre de traitemets pour chaque méthode. Succès (taux de succès) Traitemet A Traitemet B 273/350 (78%) 289/350 (83%) Cela semble révéler que traitemet B, qui est ouveau, est plus efficace. Maiteat, e ajoutat des doées cocerat la taille des calculs, la comparaiso pred ue autre tourure :. Charig CR, ; Webb DR, ; Paye SR, ; Wickham OE. Compariso of treatmet of real calculi by operative surgery, percutaeous ephrolithotomy, ad extracorporeal shock wave lithotripsy. BMJ 986 ;292 :

33 Résultats e foctio de la taille des calculs petits calculs grads calculs Traitemet A Traitemet B Traitemet A Traitemet B (8/87) 93% (234/270) 87% (92/263) 73% (55/80) 69% L iformatio au sujet de la taille des calculs a iversé les coclusios cocerat l efficacité de chaque traitemet. Le traitemet A est maiteat cosidéré comme plus efficace das les deux cas. Le rebroussemet de cette iégalité, qui coduit au paradoxe, se produit à cause de deux effets cocurrets :. la variable supplémetaire (ici la taille) a u impact sigificatif sur les rapports ; 2. les tailles des groupes qui sot combiés quad la variable supplémetaire est igorée sot très différetes. (Les groupes utilisés pour le traitemet A et B ot la même taille, mais ot pas la même répartitio de petits et grads calculs). Vérifios les calculs pour le traitemet A. O choisit comme uivers Ω les 350 patiets de l échatillo, que l o muit de la tribu P(Ω). Appelos S l évéemet le traitemet est u succès, P l évéemet les calculs sot petits. Alors d après le premier tableau, P(S) = , et d après le deuxième, P(P ) = , P(P c ) = Ces deux probabilités état strictemet positives, o peut coditioer par les évéemets correspodats. D après le deuxième tableau toujours, o a P P (S) = 8 87, P P c(s) 92 = 263. Utilisos la formule des probabilités totales pour calculer P(S). P(S) = P P (S)P(P ) + P P c(s)p(p c ) = = O retrouve bie le résultat du premier tableau. Des calculs similaires permettet de vérifier les résultats pour le traitemet B. Aisi, ces résultats apparemmet cotradictoires s expliquet aisémet grâce aux probabilités coditioelles. Exercices Exercice 3.. O choisit ue famille au hasard parmi toutes les familles ayat deux efats.. Sachat que la famille choisie a au mois u garço, quelle est la probabilité qu elle ait deux garços? 2. Sachat que l aîé de la famille choisie est u garço, quelle est la probabilité que le plus jeue soit aussi u garço? Exercice 3.2. U exemple d ure de Polya. Ue ure cotiet au départ 5 boules blaches et 7 oires. Chaque fois que l o tire ue boule, o la réitroduit e rajoutat deux ouvelles boules de la même couleur que celle tirée. Quelle est la probabilité que les deux premières boules tirées soiet oires? Que la deuxième boule tirée soit oire? Remarque : les ures de Polya peuvet servir pour modéliser la propagatio de maladies ifectieuses. E effet, chaque réalisatio d u évéemet augmete la probabilité des réalisatios suivates. Exercice 3.3. O cosidère trois cartes à jouer de même forme. Les deux faces de la première carte ot été colorées e oir, les deux faces de la deuxième e rouge tadis que la troisième porte ue face oire et ue face rouge. O mélage les trois cartes au fod d u chapeau puis 33

34 ue carte est tirée au hasard et placée sur la table. Si la face apparete est rouge, quelle est la probabilité que l autre soit oire? Exercice 3.4. Le test de dépistage d u certai virus est pas ifaillible : fois sur 00, il est positif, alors que l idividu est pas cotamié, 2 fois sur 00, il est égatif alors que l idividu est cotamié. D autre part, o sait que sur la populatio totale, la fractio de porteurs est approximativemet de /000.. État doé que le test est positif, quelle est la probabilité que l idividu e soit pas porteur du virus? 2. État doé que so test est égatif, quelle est la probabilité qu u idividu soit porteur du virus? Exercice 3.5. U dé à six faces est pas bie équilibré, u échatilloage a permis d obteir le tableau suivat. Score Total Fréquece 0, 0,2 0, 0,4 0, 0, O cherche à savoir si, avec ce dé, il est plus probable de faire u score d au mois 5 lorsque le score est pair ou lorsque le score est impair.. Détermier u choix d espace probabilisé adapté à cette expériece. 2. Calculer la probabilité coditioelle que le score soit d au mois 5 sachat que le score est pair. Calculer la probabilité coditioelle que le score soit d au mois 5 sachat que le score est impair. Coclure. 3. Calculer la probabilité coditioelle que le score soit impair sachat qu il est d au mois 5. Calculer la probabilité coditioelle que le score soit pair sachat qu il est d au mois 5. Iterpréter. Solutios Solutio 3.. O choisit comme uivers, Ω = {(G, G), (G, F ), (F, G), (F, F )}, où la première coordoée (resp. la deuxième) doe le sexe de l aîé (du cadet) des efats. O muit Ω de la tribu A = P(Ω). Comme la famille est choisie au hasard, o muit Ω de la probabilité uiforme, otée P, de sorte que pour tout évéemet A de A, P(A) = Card(A) Card(Ω) = Card(A) 4. Soit A l évéemet la famille a au mois u garço, B l aîé de la famille est u garço, C les deux efats sot des garços. Alors, A C = C, B C = C, et P(A) = P[{(G, G), (G, F ), (F, G)}] = 3 4 > 0, P(B) = P[{(G, G), (G, F )}] = 2 > 0, P(C) = P[{(G, G)}] = 4. E particulier les probabilités coditioées par rapport à A ou B sot bie défiies. La probabilité recherchée au Poit. est : P A (C) = P(A C) P(A) 34 = P(C) P(A) = 4 2 = 3.

35 La probabilité recherchée au Poit 2. est : P B (C) = P(B C) P(B) = P(C) P(B) = 2 4 = 2. Solutio 3.2. O choisit comme uivers Ω = {(B, B), (B, N), (N, B), (N, N)}, où la première (resp. deuxième) coordoée représete l issue du premier (resp. deuxième) tirage. O muit Ω de la tribu A = P(Ω). O ote P la probabilité sur (Ω, A) correspodat à cette expériece. Soit k {, 2}, o ote B k (resp. N k ) l évéemet la boule tirée au k-ième tirage est blache (resp. oire). Alors, la doée de l exercice ous dit que : P(B ) = 5 2, P(N ) = 7 2. Comme ces deux probabilités sot strictemet positives, o peut coditioer par rapport aux évéemets B et N. D après l éocé, ous savos que : P B (B 2 ) = 7 4, P B (N 2 ) = 7 4, P N (B 2 ) = 5 4, P N (N 2 ) = 9 4. La répose à la première questio est P(N N 2 ) et à la deuxième, P(N 2 ). Calculos ces probabilités. D après la défiitio des probabilités coditioelles, ous savos que : De maière aalogue, ous pouvos calculer : P(N N 2 ) = P N (N 2 )P(N ) = = 3 8. P(B N 2 ) = P B (N 2 )P(B ) = = Comme {B, N } forme ue partitio de Ω, ous déduisos de la formule des probabilités totales : P(N 2 ) = P(N N 2 ) + P(B N 2 ) = = 7 2. Remarque 3.. Si l o e savait pas que P(B ) > 0, o e pourrait pas coditioer par l évéemet B et o e pourrait pas écrire P B (B 2 ) = 7 4. Néamois, o pourrait traduire l hypothèse par P(B B 2 ) = 7 4 P(B ). E effet : si P(B ) > 0, o retrouve P(B B 2 ) = P B (B 2 ) P(B ) = 7 4 P(B ) ; si P(B ) = 0, de l iclusio (B B 2 ) B o déduit 0 P(B B 2 ) P(B ) = 0 et l égalité P(B B 2 ) = 7 4 P(B ) est ecore vraie, puisque les deux membres de l égalité sot uls. Il est fréquet que les mauels scolaires traduiset les hypothèses d u éocé e termes de probabilités coditioelles sas savoir si cela est possible, redat le raisoemet icorrect. La remarque précédete motre que l o peut faire u raisoemet juste. Pourquoi s e priver? Solutio 3.3. Chaque carte possède deux faces, que l o va distiguer. Choisissos l uivers Ω = {R, R 2, N, N 2, R 3, N 3 }, où par exemple l évéemet élémetaire R est réalisé si c est la première face de la carte uicolore rouge qui est apparete. O muit Ω de la tribu A = P(Ω). 35

36 État doé que la carte est tirée au hasard, o muit Ω de la probabilité uiforme, otée P, de sorte que pour tout évéemet A de A, P(A) = Card(A) Card(Ω) = Card(A) 6. O souhaite calculer la probabilité coditioelle de l évéemet R 3 sachat que l évéemet R ou R 2 ou R 3 est réalisé. Soit A = R R 2 R 3, alors P(A) = 2, et la probabilité coditioelle P A (R 3 ) est bie défiie. D après la défiitio de la probabilité coditioelle, ous avos : P A (R 3 ) = P(A R 3) P(A) = P(R 3) P(A) = /6 /2 = 3. Sas faire attetio, o pourrait peser que cette probabilité est de /2, pesat qu à partir du momet où le côté rouge apparaît, il reste deux situatios équiprobables. Solutio 3.4. O choisit comme espace des états l esemble des idividus de la populatio. O appelle V l évéemet l idividu est cotamié, et T l évéemet le test est positif. D après la doée de l exercice ous coaissos les probabilités suivates : P(V ) = 000, d où P(V c ) = 000 = Ces deux probabilités état strictemet positives, o peut coditioer par les évéemets V et V c. D après l éocé, ous savos que : P V c(t ) = 00, P V (T c ) = O souhaite calculer P T (V c ) et P T c(v ). Comme 0 < P(V ) <, ous pouvos utiliser la formule de Bayes, de sorte que : P T (V c ) = U calcul similaire motre que : P T c(v ) = P V c(t )P(V c ) P V c(t )P(V c 0, 9. ) + P V (T )P(V ) P V (T c )P(V ) P V c(t c )P(V c ) + P V (T c 0, )P(V ) Solutio O choisit comme uivers Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}, que l o muit de la tribu A = P(Ω). O associe la probabilité P aturellemet défiie par le tableau, de sorte que : P[{}] = 0, ; P[{2}] = 0, 2; P[{3}] = 0, ; P[{4}] = 0, 4; P[{5}] = 0, ; = P[{6}] = 0,. Soit A l évéemet le score est pair, B l évéemet le score est impair, C le score est d au mois 5. Alors, P[A] = P[{2, 4, 6}] = P[{2}] + P[{4}] + P[{6}] = 0, 2 + 0, 4 + 0, = 0, 7 P[B] = P[A c ] = P[A] = 0, 3 P[C] = P[{5, 6}] = 0, + 0, = 0, 2. Ces trois probabilités état strictemet positives, il est possible de coditioer par les évéemets A, B ou C. 36

37 2. O cherche P A [C]. D après la formule des probabilités coditioelles : P A [C] = P[A C] P[A] = P[{6}] P[A] = 0, 0, 7 = 7. O cherche esuite P B [C]. D après la formule des probabilités coditioelles : P B [C] = P[B C] P[B] = P[{5}] P[B] = 0, 0, 3 = 3. Aisi il est plus probable de faire u score d au mois 5 si le score est impair. 3. O cherche P C [A]. D après la formule de Bayes, o a : P C [A] = P A[C]P[A] P[C] = = 2. O cherche esuite P C [B] = P C [A c ]. Comme ue probabilité coditioelle est ue probabilité, o a e particulier : P C [B] = P C [A c ] = P C [A] = 2. S il o sait que le score est d au mois 5, alors il est aussi probable d obteir u score pair qu u score impair Arbre de probabilité Nous trouvos plus judicieux de traiter ce thème sur u exemple tiré de l épreuve dossier du CAPES extere. Exemple 3.4. (Dossier CAPES extere, juillet 2007). Ue ure cotiet trois boules blaches et deux boules oires. O tire successivemet et au hasard trois boules das cette ure, e respectat le protocole suivat : o remet la boule das l ure si elle est oire, o e la remet pas si elle est blache.. Quelle est la probabilité de obteir aucue boule blache? 2. Quelle est la probabilité d obteir trois boules blaches? 3. Quelle est la probabilité d obteir exactemet ue boule blache? Pedat sa présetatio, le cadidat traitera les questios suivates.. Costruire u arbre de probabilité permettat de répodre aux questios de l exercice. 2. Utiliser u tel arbre pour répodre à la questio 3 de l exercice. Sur ses fiches, le cadidat rédigera et présetera : sa répose à la questio ; l éocé de ou plusieurs exercices se rapportat au thème Probabilités. État doé que ous sommes itéressés par les trois premiers tirages, ous choisissos comme espace des états : Ω = {B, N} 3 = {(B, B, B), (B, B, N),, (N, N, N)}. O muit Ω de la tribu A = P(Ω) et d ue probabilité, otée P. Attetio, la probabilité P est pas la probabilité uiforme sur (Ω, A). Pour i {, 2, 3}, défiissos B i (resp. N i ) l évéemet 37

38 la i-ième boule tirée est de couleur blache (resp. oire), alors les évéemets {B i, N i } formet ue partitio de Ω. Calcul des probabilités et probabilités coditioelles Au momet du premier tirage, il y a 3 boules blaches das l ure et 2 boules oires. Comme les boules sot tirées au hasard, o déduit que : P(B ) = 3 5, P(N ) = 2 5. Ces deux probabilités état strictemet positives, il fait ses de coditioer par les évéemets correspodats. Le protocole de tirage ous dit égalemet que les probabilités P(B B 2 ),, P(N N 2 ) sot strictemet positives, o peut doc coditioer par les évéemets correspodats. Supposos qu au premier tirage ue boule blache est tirée. Comme coséquece du protocole, il reste alors 2 boules blaches et 2 oires. État doé que les boules sot tirées au hasard, o coclut : P B (B 2 ) = 2, P B (N 2 ) = 2. Supposos que lors des deux premiers tirages ue boule blache est tirée. Alors il reste, à l issue de ces deux tirages, boule blache et 2 oires. État doé que les boules sot tirées au hasard, o coclut : P B B 2 (B 3 ) = 3, P B B 2 (N 3 ) = 2 3. Les autres probabilités coditioelles sot calculées de maière similaires, et résumées sur l arbre de probabilité ci-dessous. /2 B2 /3 2/3 B3 N3 3/5 B /2 N2 /2 B3 O /2 /2 N3 B3 2/5 3/5 N B2 /2 N3 2/5 N2 3/5 2/5 B3 N3 Iterprétatio de l arbre de probabilité L arbre de probabilité est u arbre orieté et podéré, satisfaisat aux coditios suivates. Les sommets de l arbre sot formés d évéemets de Ω, et la racie est Ω. Si A est u sommet de l arbre, alors les feuilles de A formet ue partitio de A. Soit, et A 0, A,, A u chemi de l arbre (où A 0 = Ω). Alors le ombre situé sur la brache de A vers A est la probabilité coditioelle de A sachat que A A est réalisé. 38

39 Aisi, la somme des probabilités des braches issues d u même sommet est. Soit, et A 0, A,, A u chemi de l arbre, A 0 = Ω. Alors, par défiitio des probabilités coditioelles, la probabilité P(A A ) est obteue e effectuat le produit des ombres situés sur les braches format le chemi, e effet : P(A A ) = P(A )P A (A 2 ) P A A (A ). E sommat le produit le log de différetes braches, o retrouve différetes formes de la formule des probabilités totales. Solutios des questios -3 L évéemet obteir aucue boule blache est le même que l évéemet obteir 3 boules oires qui correspod au sous-esemble N N 2 N 3 de Ω. D après le Poit 4 ci-dessus, o déduit que P(N N 2 N 3 ) s obtiet e effectuat le produit des probabilités le log du derier chemi de l arbre. ( ) 2 3 P(N N 2 N 3 ) = P(N )P N (N 2 )P N N 2 (N 3 ) = = De maière similaire, la probabilité d obteir trois boules blaches s obtiet e effectuat le produit des probabilités le log du premier chemi de l arbre : P(B B 2 B 3 ) = = 0. L évéemet obteir exactemet ue boule blache correspod au sous-esemble (B N 2 N 3 ) (N B 2 N 3 ) (N N 2 B 3 ). Comme ces évéemets sot disjoits, cette probabilité s obtiet e effectuat le produit le log de la 4-ième, 6-ième et 7-ième brache et e sommat les résultats obteus. Aisi : P((B N 2 N 3 ) (N B 2 N 3 ) (N N 2 B 3 )) = P(B N 2 N 3 ) + P(N B 2 N 3 ) + P(N N 2 B 3 ) = = Exercice 3.6. Doer les arbres de probabilités correspodat à :. l exemple de l etreprise (cadres/ouvriers, sachat parler aglais ou o) ; 2. l Exercice 2. sur les ures de Polya. Résoudre les exercices e expliquat. Solutio 3.6. Voici l arbre de probabilité correspodat à l exemple du sodage das la société (il faut expliquer les ombres sur les arêtes). E effectuat le produit le log d ue brache, o retrouve la coséquece de la formule de probabilité coditioelle, qui permet de calculer la probabilité de l itersectio de deux évéemets. Par exemple, e faisat le produit le log de la première brache, o retrouve : P(A C) = P(C)P C (A). O retrouve égalemet la formule des probabilités totales. Par exemple e faisat le produit le log de la première brache et le log de la troisième brache et e sommat les deux résultats, o retrouve : P(A) = P(A C) + P(A O). 39

40 2/0 A U 4/0 6/0 C O 8/0 /0 Ac A 9/0 Ac 3.2 Idépedace des évéemets Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé. Défiitio. Deux évéemets A et B de A sot dits idépedats, si P(A B) = P(A) P(B). Exemple Les évéemets et Ω sot idépedats. E effet, d où, P( Ω) = P( ) P(Ω). P( Ω) = P( ) = 0, et P( )P(Ω) = 0. = 0, 2. O jette u dé parfaitemet équilibré. Soit A l évéemet obteir,2 ou 3, et B l évéemet obteir,2,4 ou 5. O choisit comme espace des états, Ω = {,, 6}, que l o muit de la probabilité uiforme. O a alors, P(A) = 2, P(B) = 2 3, P(A B) = P({, 2}) = 3. Aisi, comme P(A B) = P(A) P(B), o déduit que les évéemets A et B sot idépedats. Remarque. L idépedace a rie à voir avec le fait que les évéemets soiet disjoits ou o. Das l Exemple 2 ci-dessus, les évéemets sot idépedats, mais o disjoits (A B ). Si A et B sot deux évéemets de probabilité o ulle, alors : A et B sot idépedats P(A) = P B (A) P(B) = P A (B). Le fait d avoir ue iformatio supplémetaire, à savoir que B est réalisé, e modifie pas la probabilité de A (de même pour B lorsqu o sait que A est réalisé) ce qui justifie la termiologie d idépedace. Ces critères e sot cepedat pas utilisés comme défiitio car ils écessitet l hypothèse supplémetaire, P(A) > 0 et P(B) > 0. Propositio 3.. Si les évéemets A et B sot idépedats, il e est de même des évéemets A c et B, A et B c, A c et B c. Démostratio. Démotros que A c et B sot idépedats si A et B le sot. P(A c B) = P(B) P(A B), d après la formule des probabilités totales = P(B) ( P(A)), car A et B sot idépedats = P(B) P(A c ), doc A c et B sot idépedats. E remplaçat A et B par B et A c, l implicatio que l o viet de prouver etraîe que si A c et B sot idépedats (et doc B et A c idépedats), alors B c et A c sot idépedats. Et aisi de suite pour les autres cas. 40

41 Défiitio. Des évéemets A,, A de A sot dits mutuellemet idépedats, si pour tout etier k et tout k-uplet d etiers (i,, i k ), tels que, i < < i k, P(A i A ik ) = P(A i ) P(A ik ). Les évéemets A,, A sot dits deux-à-deux idépedats, si pour tout i {,, }, j {,, }, tels que i j, o a : P(A i A j ) = P(A i ) P(A j ). Exercice 3.7. Soit Ω = {, 2, 3, 4} mui de la tribu A = P(Ω) et de la probabilité uiforme, otée P. O cosidère les évéemets A = {, 2}, B = {2, 3}, C = {, 3}. Motrer que les évéemets A, B, C, sot deux-à-deux idépedats, Motrer que les évéemets A, B, C, e sot pas mutuellemet idépedats. Aisi l idépedace deux-à-deux est plus faible que l idépedace mutuelle. Solutio 3.7. Comme (Ω, A) est muit de la probabilité uiforme, o a pour tout évéemet A de A, P(A) = Card(A) Card(Ω) = Card(A) 4. Aisi, P(A) = P(B) = P(C) = 2 4 = 2 D autre part, A B = {2}, B C = {3}, A C = {}, A B C = { }. D où : P(A B) = P(B C) = P(A C) =, et P(A B C) = 0. 4 D après les calculs ci-dessus, o a : P(A B) = P(A)P(B) = 4, P(B C) = P(B)P(C) = 4, P(A C) = P(A)P(C) = 4, d où les évéemets A, B, C sot deux-à-deux idépedats. D après les calculs ci-dessus, P(A)P(B)P(C) = 8 et P(A B C) = 0, d où les évéemets A, B, C e sot pas mutuellemet idépedats. Exercice 3.8. Ue ure cotiet 9 boules idiscerables, umérotée de à 9. O tire ue boule au hasard. Les évéemets suivats sot-ils idépedats?. A : la boule tirée porte u uméro pair, 2. B : le uméro tiré est multiple de 3. Répodre à la même questio lorsque l ure cotiet 2 boules. Solutio 3.8. Soit k le ombre de boules coteues das l ure, avec k = 9 ou k = 2. O choisit comme espace des états Ω k = {, 2,, k}, et la tribu A = P(Ω k ). Comme la boule est tirée au hasard, o muit Ω k de la probabilité uiforme, otée P k, de sorte que pour tout évéemet A de A, P k (A) = Card(A) Card(Ω k ) = Card(A). k Das le cas où k = 9, les évéemets A, B, A B s écrivet : A = {2, 4, 6, 8}, B = {3, 6, 9}, A B = {6}. 4

42 Aisi, P 9 (A) = 4 9, P 9(B) = 3, P 9(A B) = 9. Comme P 9(A B) P 9 (A) P 9 (B), o e déduit que les évéemets A et B e sot pas idépedats. Das le cas où k = 2, les évéemets A, B, A B s écrivet : A = {2, 4, 6, 8, 0, 2}, B = {3, 6, 9, 2}, A B = {6, 2}, Aisi, P 2 (A) = 2, P 2(B) = 3, P 2(A B) = 6. Comme P 2(A B) = P 2 (A) P 2 (B), o e déduit que les évéemets A et B sot idépedats Nombre ifii de jets de dés Das cette sectio, ous abordos de maière approfodie u exemple classique qui utilise la otio d idépedace : la descriptio mathématique d ue expériece aléatoire répétée, das les mêmes coditios, et de maière idépedate, u ombre fii ou ifii de fois. Afi de fixer les idées, ous predros comme exemple des jets idépedats d u dé o pipé, mais vous pourriez aussi imagier predre les jets d ue pièce de moaie, etc. U jet de dé O choisit comme espace des états, Ω = {,, 6} et comme tribu A = P(Ω ). État doé que le dé est o-pipé, o muit Ω de la probabilité uiforme, otée P, de sorte que : i {,, 6}, P ({i}) = 6. Deux jets de dés idépedats O choisit comme espace des états, Ω 2 = {(i, j) i {,, 6}, j {,, 6}} = {, 6} 2. Pour les mêmes raisos que das le cas d u dé, o choisit comme tribu A 2 = P(Ω 2 ) et l o muit Ω 2 de la probabilité uiforme, otée P 2, de sorte que : (i, j) Ω 2, P 2 ({(i, j)}) = 36. Il y a ue autre maière de voir ceci qui est la suivate : ous souhaitos modéliser l idépedace des expérieces successives, par coséquet deux évéemets portat l u sur la première expériece, l autre sur la deuxième, doivet être idépedats. Pour k {,, 6}, l {, 2}, o cosidère l évéemet Ek l le l-ième jet doe k. Lorsque l =, cet évéemet est le sous-esemble A k (Ω 2) = {k} Ω de Ω 2, et lorsque l = 2, c est le sous-esemble A 2 k (Ω 2) = Ω {k} de Ω 2. Remarquos de plus que l évéemet élémetaire {(i, j)} de Ω 2 s écrit : {(i, j)} = A i (Ω 2 ) A 2 j(ω 2 ). Aisi, o souhaite que : P 2 ({(i, j)}) = P 2 [A i (Ω 2 )] A 2 j[(ω 2 )] = P 2 [A i (Ω 2 )]P 2 [A 2 j(ω 2 )]. D autre part, comme l évéemet Ei e déped que du premier jet et Ej 2 que du deuxième, o peut les écrire comme des sous-esemble de Ω (représetat la première et la deuxième 42

43 est le sous- expériece respectivemet) : Ei est le sous-esemble A i (Ω ) = {i} de Ω et Ej 2 esemble A 2 j (Ω ) = {j} de Ω. Doc, il est aturel de demader que : P 2 ({(i, j)}) = P 2 [A i (Ω 2 ) A 2 j(ω 2 )] = P 2 [A i (Ω 2 )]P 2 [A 2 j(ω 2 )] = P [A i (Ω )] P [A 2 j(ω )] = P ({i}) P ({j}) = 6 2 = 36. jets de dés idépedats Ceci se gééralise aturellemet au cas de jets. Ω = {,, 6}, A = P(Ω ), Pour tout (i,, i ) Ω, P [{(i,, i )}] = 6. Répétitio ifiie de jets de dés idépedats Ceci sort du programme à propremet parlé, cepedat c est u exemple qui apparaît souvet sous ue forme déguisée. O choisit comme espace des états Ω = {,, 6} N. Attetio Ω est pas déombrable, doc o e choisit pas comme tribu P(Ω ). La tribu A sur Ω est la tribu egedrée par les évéemets e dépedat que d u ombre fii de jets. Soit, et pour tout k {,, }, soit i k {,, 6}. O défiit l évéemet E i,,i l issue du premier tirage est i,, l issue du -ième tirage est i. Alors E i,,i est le sous-esemble A i,,i (Ω ) = {i } {i } Ω Ω de Ω, et le sous-esemble A i,,i (Ω ) = {(i,, i )} de Ω. E utilisat le théorème d extesio de Carthéodory, o motre qu il existe ue uique probabilité P sur (Ω, A), telle que : P [A i,,i (Ω )] = P [A i,,i (Ω )] = P ({(i,, i )}) = P ({i }) P ({i }) = 6. Cette probabilité s appelle la probabilité produit sur Ω. Vous e devez pas coaître les détails de la costructio, cepedat l idée à reteir est la suivate : si l uivers est Ω, la probabilité choisie sur Ω permet de calculer la probabilité de tous les évéemets qui e dépedet que d u ombre fii de jets et cette probabilité est doée par le produit des probabilités pour chacu des jets. Exercice 3.9. O lace u dé à 6 faces o-truqué, idéfiimet.. Décrire l uivers Ω associé à cette expériece aléatoire. 2. Pour N, soit A l évéemet o obtiet pour la première fois au -ième jet. Calculer la probabilité de l évéemet A. 3. Pour N, soit B l évéemet o obtiet aux premiers jets, et soit B l évéemet o obtiet toujours. Calculer la probabilité de B et B. Solutio L uivers Ω choisi est Ω = {,, 6} N = {(i ) :, i {,, 6}}. 43

44 2. Pour tout, l évéemet A est le sous-esemble de Ω, aisi {i 2} {i 2} {i = }, ( 5 ) P(A ) = P({i 2}) P({i 2})P({i = }) = 6 6. Ceci est u exemple de loi géométrique que ous reverros plus tard. État doé que la mesure produit est pas au programme, o e l écrit pas P et o passe sous silece sa costructio (cotrairemet à ce qui se fait das le cas où Ω est fii ou déombrable!) 3. Pour tout, l évéemet B est l élémet de Ω, aisi, {} {} = (,, ) P(B ) = P({}) P({}) = 6. L évéemet B est l élémet {(i ) :, i = } de Ω. Remarquos que B s écrit aussi B = B. Or les (B ) formet ue suite décroissate d évéemets, doc d après la Propositio.2 : P(B) = P( B ) = lim P(B ) = + lim + 6 = 0. 44

45 Chapitre 4 Variables aléatoires 4. Défiitio et loi d ue variable aléatoire Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé. Plutôt que de travailler avec des évéemets de A, il est souvet plus commode d associer ue valeur umérique aux résultats d ue expériece aléatoire. Par exemple, lors de jets de pile ou face, il sera itéressat d étudier le ombre de piles obteus. Cela motive l itroductio de la otio de variable aléatoire, qui est ue applicatio X de Ω das u esemble E qui sera typiquemet, N d, Z d ou R d (d ). Lorsque X e pred qu u ombre déombrable de valeurs X(Ω) = {x j : j J}, où J est ue partie o-vide fiie ou déombrable de N, alors X est appelée ue variable aléatoire discrète. Remarque. La termiologie de variable aléatoire peut être trompeuse, car il s agit e fait d ue foctio de Ω das E. Afi de pouvoir défiir ue probabilité de maière cohérete, il faut supposer de plus que pour ue classe importate de parties B de E, l esemble {ω Ω : X(ω) B} appartiet à A. Formellemet, o muit E d ue tribu E. Ue variable aléatoire X est alors ue applicatio de (Ω, A) das (E, E) telle que : B E, {ω Ω : X(ω) B} A. Hors programme. Ue variable aléatoire X est e fait ue applicatio mesurable de (Ω, A) das (E, E). Soit B u sous-esemble de E. Rappelez-vous les otatios : X (B) = {ω Ω : X(ω) B} = {X B}. {X B} est l évéemet X pred ue valeur apparteat à B. Attetio, X (B) désige l image réciproque de la partie B par l applicatio X. Cela e sous-eted ullemet que X est bijective! Exemple 4... O cosidère deux lacers successifs d u même dé, et o ote S la variable aléatoire correspodat à la somme des valeurs obteues, aisi S pred ses valeurs das {2, 3,, 2}. 45

46 2. Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé, et A A u évéemet. Alors l idicatrice de A, otée I A, est la variable aléatoire défiie sur Ω par : { si ω A, ω Ω, I A (ω) = 0 sio. Aisi l idicatrice de A pred ses valeurs das {0, }. E probabilité, il est importat de bie savoir maipuler cette otatio. E particulier l idicatrice satisfait aux coditios suivates. Si A et B sot deux évéemets de A, alors : I A c = I A, I A B = I A I B, I A B = I A + I B I A B. Défiitio. Soiet (Ω, A, P) u espace probabilisé et X ue variable aléatoire défiie sur Ω, à valeurs das E. O défiit la loi de probabilité de X, otée P X de la maière suivate. Pour tout sous-esemble B de E tel que {X B} A : P X (B) = P({X B}). Remarque. Repreos le cadre plus formel, où l o muit E d ue tribu E. La loi de probabilité de X est alors ue probabilité sur (E, E). C est la traspositio de la structure abstraite (Ω, A, P) sur (E, E). L espace E mui de la tribu E et de la probabilité P X deviet u espace probabilisé (E, E, P X ). Propositio 4.. Das le cas où X est ue variable aléatoire discrète, X(Ω) = {x j : j J}, où J est ue partie o-vide, fiie ou déombrable de N, alors la loi de probabilité de X est caractérisée par la doée : j J, P X ({x j }). Das le cas où X(Ω) = R, la loi de probabilité de X est caractérisée par la doée de : (a, b) R 2, a < b, P X ([a, b[). Exemple Choisissos comme uivers Ω = {,, 6} 2, que l o muit de la tribu A = P(Ω), et de la probabilité uiforme, otée P. Aisi pour tout sous-esemble A de P(Ω), P(A) = Card(A) Card(Ω). État doé que S pred ses valeurs das {2,, 2}, pour détermier la loi de probabilité P S de S, il suffit de calculer, pour tout i {2,, 2}, P S ({i}) : P S ({2}) = P({S {2}}) = P({ω Ω : S(ω) {2}}) = P({ω Ω : S(ω) = 2}) = P({(, )}) = 36, P S ({3}) = P({ω Ω : S(ω) = 3}) = P({(, 2), (2, )}) = 8, etc. 2. État doé que l idicatrice de A pred ses valeurs das {0, }, il suffit de détermier, pour i {0, }, P I A({i}) : P I A ({}) = P(I A {}) = P({ω Ω : I A (ω) = }) = P({ω Ω : ω A}) = P(A), P I A ({0}) = P(I A {0}) = P({ω Ω : I A (ω) = 0}) = P({ω Ω : ω / A}) = P(A c ) = P(A). 46

47 4.2 Foctio de répartitio Défiitio. Soit X ue variable aléatoire de loi P X à valeurs das R (ou ue partie de R). O appelle foctio de répartitio de la loi P X ou ecore, par abus, foctio de répartitio de X, l applicatio F X défiie sur R par : t R, F X (t) = P X (], t]) = P(X t). Propriété 2. La foctio de répartitio de la loi P X satisfait aux propriétés suivates :. F X pred ses valeurs das [0, ], 2. F X est ue applicatio croissate, 3. F X est cotiue à droite et admet ue limite à gauche, 4. lim F X(t) = 0, lim F X(t) =. t t + Démostratio. Le Poit. est ue coséquece de la défiitio d ue probabilité. Le Poit 2. découle de la propriété de croissace des probabilités : s t ], s] ], t] P X (], s]) P X (], t]). État doé que F X est croissate, pour motrer le Poit 3. il suffit de voir que, pour tout t R : ( lim F X t + ) ( = F X (t), et lim + F X t ) existe. + Pour tout, o défiit A = ], t + ] et B = ], t ]. Alors (A ) est ue suite décroissate d évéemets qui vérifie A =], t] ; et (B ) est ue suite croissate d évéemets, telle que B =], t[. Doc, d après la Propositio.2, o sait que : lim + PX (A ) = P X (], t]) lim + PX (B ) = P X (], t[) lim + F X lim + F X ( t + ) = F X (t) ( t ) = P X (], t[), ce qui démotre le Poit 3. Attetio P X (], t[) peut-être différet de P X (], t]), car P X (], t]) P X (], t[) = P(X = t), qui peut être o ulle. Mais si P(X = t) = 0, alors F X est cotiue au poit t. De maière aalogue, pour démotrer le Poit 4. il suffit de motrer que : lim F X( ) = 0, et + lim F X() =. + Pour tout, o défiit C =], ] et D =], ]. Alors (C ) est ue suite décroissate d évéemets telle que, C = ; et (D ) est ue suite croissate d évéemets telle que, D = R. Aisi, d après la Propositio.2 et la défiitio d ue probabilité, o déduit : lim + PX (C ) = P X ( ) = 0 lim F X( ) = 0, + lim + PX (D ) = P X (R) = lim F X() =. + 47

48 La propositio suivate ous dit qu ue foctio de répartitio caractérise la loi de la variable aléatoire. Propositio 4.2. Toute applicatio défiie de R das [0, ] qui possède les propriétés 2, 3, 4, est la foctio de répartitio d ue uique loi de probabilité sur R. La foctio de répartitio permet de calculer les probabilités suivates : Propriété 3. Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé, et X ue variable aléatoire sur Ω de foctio de répartitio F X, alors : P(X > x) = F X (x), P(x < X y) = F X (y) F X (x), P(X < x) = F X (x ). Pour la suite de la théorie, ous allos traiter trois cas séparémet, selo que la variable aléatoire soit discrète (fiie ou ifiie) ou cotiue et à desité. Ceci pourrait être uifié e utilisat la théorie de la mesure, mais ous amèerait e dehors du programme. 4.3 Variables aléatoires discrètes 4.3. Défiitios et exemples à coaître Rappelos la restrictio des défiitios géérales au cas discret. Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé. Défiitio. Ue variable aléatoire X défiie sur Ω est dite discrète si elle pred ses valeurs das u esemble discret : X(Ω) = {x j : j J} R, où J est ue partie o-vide fiie ou déombrable de N. Remarque. Lorsque Ω est fii, toute applicatio défiie sur Ω est ue variable aléatoire discrète. Propositio 4.3. Si X est ue variable aléatoire discrète défiie sur Ω, alors la loi de probabilité de X est caractérisée par la doée de la famille {(x j, P X ({x j })), j J}, où : P X ({x j }) = P({X = x j }). Voici ue liste des lois discrètes classiques à coaître. Loi uiforme. Soit N et ue variable aléatoire, X : Ω {x,, x }, où pour tout i j, x i x j. Supposos que la loi de probabilité de X est doée par : j {,, }, P X ({x j }) =. Alors la loi de X est appelée la loi uiforme discrète sur {x,, x }. Exemple 4.3. O lace ue pièce équilibrée. Soit Ω = {P, F } que l o muit de la probabilité uiforme P. O défiit la variable aléatoire X : Ω {, }, par X({P }) =, X({F }) =. Aisi, la loi de probabilité de X est : P X ({}) = P({X = }) = P({P }) = 2, PX ({ }) = P({X = }) = P({F }) = 2, et la variable aléatoire X suite ue loi uiforme sur {, }. 48

49 Loi de Beroulli. Soit 0 < p < et ue variable aléatoire X : Ω {0, } de loi de probabilité : P X ({}) = p, P X ({0}) = p. Alors la loi de X est appelée loi de Beroulli de paramètre p. Exemple 4.4. Ue épreuve de Beroulli de paramètre p est ue expériece aléatoire admettat deux issues succès/échec, telle que p est la probabilité d obteir u succès. Soit Ω représetat les issues de l expériece, P ue probabilité sur Ω et A l évéemet représetat le succès. D après la descriptio de l expériece, o a P(A) = p. Das ce cas, l idicatrice de A, I A, suit ue loi de Beroulli de paramètre p. E effet, I A est à valeurs das {0, } et ous avos déjà vu que : P I A ({}) = P(A), P I A ({0}) = P(A). O coclut e utilisat le fait que P(A) = p. Par exemple, o jette u dé équilibré ue fois. O appelle succès l évéemet A obteir u ombre plus grad ou égal à 2. O choisit comme uivers Ω = {,, 6}, alors P(A) = P({2, 3, 4, 5, 6}) = 5 6 et I A suit ue loi de Beroulli de paramètre 5/6. Loi biomiale. Soit N, 0 < p < et ue variable aléatoire X : Ω {0,, } de loi de probabilité : ( ) k {0,, }, P X ({k}) = p k ( p) k. k Alors la loi de X est appelée loi biomiale de paramètres et p. Exemple 4.5. O appelle schéma de Beroulli de paramètres et p l expériece qui cosiste à répéter fois de maière idépedate ue épreuve de Beroulli de paramètre p. O choisit comme uivers Ω, que l o muit d ue probabilité P. Pour i {,, }, o ote A i l évéemet obteir u succès lors de la i-ième expériece. Soit k {0,, }, comme les expérieces sot idépedates, la probabilité d obteir u succès lors des k premières expérieces et u échec lors des k derières est : P (A A k A c k+ Ac ) = P(A ) P(A k )P(A c k+ ) P(Ac ) = p k ( p) k. Soit X la variable aléatoire qui compte le ombre de succès das u schéma de Beroulli, alors X suit ue loi biomiale de paramètres et p. E effet, P X ({k}) = P (X = k) = P ({obteir k succès sur les expérieces}). Il y a ( k) faços d obteir ces succès, et pour chacue des faços la probabilité est p k ( p) k. Aisi, P X ({k}) = ( k ) p k ( p) k. Par exemple, si o jette fois ue pièce de moaie équilibrée, et o appelle X la variable aléatoire qui compte le ombre de fois où l o obtiet u ombre plus grad ou égal à 2, alors X suit ue loi biomiale de paramètres et 5/6. 49

50 Remarque. Nous avos vu que pour tout i {,, }, la variable aléatoire I Ai suit ue loi de Beroulli de paramètre p. De plus, X = I Ai. i= La variable aléatoire X est la somme de variables aléatoires de Beroulli idépedates de paramètre p (ous verros plus tard la défiitio de variables aléatoires idépedates). E particulier, la somme de deux variables aléatoires idépedates, de loi biomiale de paramètres, p et m, p respectivemet, est ue variable aléatoire biomiale de paramètres + m et p. Loi géométrique. Soit 0 < p < et ue variable aléatoire X : Ω N de loi de probabilité : k N, P X ({k}) = ( p) k p. Alors la loi de X est appelée loi géométrique de paramètre p. E traslatat de les valeurs de la variable aléatoire, o obtiet la loi géométrique sur N. Exemple 4.6. Cosidéros u schéma de Beroulli où l expériece est répétée idéfiimet. Si X est la variable aléatoire égale au temps passé jusqu au premier succès, alors X suit ue loi géométrique de paramètre p. E effet, choisissos comme uivers Ω N et calculos la loi de probabilité de X. Pour tout k N, P X ({k}) = P k (A c A c k A k) = P(A c ) P(A c k )P(A k), par idépedace = ( p) k p. Loi de Poisso. Soit θ > 0 et ue variable aléatoire X : Ω N de loi : k N, P X θ θk ({k}) = e k!. Alors la loi de X est appelée loi de Poisso de paramètre θ. Exemple 4.7. La loi de Poisso modélise le ombre d autobus passés à u arrêt avat u istat T doé, et θ représete le ombre moye d arrivées das cet itervalle. Remarque. Lorsque p, et p tedet vers 0, + et θ respectivemet, la loi biomiale de paramètres et p ted vers ue loi de Poisso de paramètre θ. Plus précisémet, o a la propositio suivate. Propositio 4.4. Soit (X ) ue suite de variables aléatoires. O suppose que, pour tout etier, la variable aléatoire X suit ue loi biomiale de paramètres et p, et que p tede vers u ombre réel strictemet positif θ lorsque ted vers +. Alors, pour tout etier aturel k : P X ({k}) + θk e θ k!. Démostratio. Soit k u etier aturel. Alors, pour tout etier k, o a : ( ) P X ({k}) = p k ( p ) k ( )... ( k + ) = k k k! = k! ( ) (... k De p = θ + o(), o déduit que p = θ + o ( ), puis : ) ( p ) k ( p ) k e l( p). 50 ( p ) k ( p ) k e l( p)

51 i) lim p = 0 et lim ( p ) k = ; + + ii) lim ( p ) k = θ k ; + iii) l( p ) = l ( θ + o ( iv) par cotiuité de l applicatio expoetielle, Il s esuit que d où le résultat. )) = ( θ + o ( )) = θ+o() et lim + l( p ) = θ ; P X ({k}) + Exercices lim + e l( p) = e θ. k!..θk..e θ, Exercice. Pour chacue des lois ci-dessus, motrer que la somme des probabilités des évéemets élémetaires vaut. Exercice 4.. Soit Ω = {ω, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 } u espace fii à 5 élémets, de probabilités respectives /4, /4, /6, /6, /6. O ote X la variable aléatoire défiie par : X(ω ) = X(ω 2 ) = 0, X(ω 3 ) = X(ω 4 ) =, X(ω 5 ) = 2. Détermier la loi de la variable aléatoire X. Exercice 4.2. Ue ure cotiet boules umérotées de à, 3. O tire 3 boules d u seul coup. Soit X la variable aléatoire égale à si o a tiré la boule o, égale à 0 das le cas cotraire. Doer la loi de la variable aléatoire X. Exercice 4.3. O lace deux dés équilibrés. O ote X le plus grad des uméros obteus. Détermier la loi de la variable aléatoire X. Exercice 4.4. Ue ure cotiet N b boules blaches et N boules oires. Posos N = N b +N. O tire r boules avec remise das l ure. Soit X la variable aléatoire égale au ombre de boules blaches tirées. Détermier la loi de la variable aléatoire X. Recoaître la loi de X. Exercice 4.5. O lace u dé à 6 faces o truqué, idéfiimet. Soit X la variable aléatoire égale au temps passé jusqu à ce que le premier soit obteu. Détermier la loi de la variable aléatoire X. Recoaître la loi de X. Solutios. Solutio 4.. La variable aléatoire X est à valeurs das {0,, 2}. Sa loi de probabilité P X est caractérisée par : P X [{0}] = P[{X = 0}] = P[{ω, ω 2 }] = P[{ω }] + P[{ω 2 }] = = 2 P X [{}] = P[{X = }] = P[{ω 3, ω 4 }] = = 3 P X [{2}] = P[{X = 2}] = P[{ω 5 }] = 6. 5

52 Solutio 4.2. O choisit comme uivers Ω, l esemble des tirages possibles. Il s agit d u tirage o ordoé, sas remise de 3 boules parmi, aisi Card(Ω) = ( 3). État doé que Ω est de cardial fii, o le muit de la tribu A des parties de Ω. Comme le tirage s effectue au hasard, o muit (Ω, A) de la probabilité uiforme, otée P. Soit A l évéemet o a tiré la boule uméro. Il y a maière de choisir la boule uméro das u tirage o ordoé, puis ( ) ( 2 maières de choisir les 2 autres boules. Aisi, Card(A) = ) 2, et P[A] = Card(A) ( ) Card(Ω) = 2 ( )( 2)3.2 ) = ( )( 2)2 = 3. ( 3 Remarquos que l évéemet {X = } = A. Aisi, la loi de la variable aléatoire X est doée par : P X [{}] = P[{X = }] = P[A] = 3, PX [{0}] = P X [{}] = 3. Remarque. Si l éocé disait que les boules étaiet tirées successivemet, il aurait été aturel de choisir le tirage comme état ordoé. Das ce cas, Card(Ω) = ( )( 2). O aurait mui Ω de la probabilité uiforme et o aurait cosidéré le même évéemet A. Alors, Card(A) = 3( )( 2), de sorte que P[A] = 3. Solutio 4.3. O choisit comme espace des états Ω = {,, 6} 2. Comme Ω est discret, o le muit de la tribu A des parties de Ω. État doé que les dés sot équilibrés, o muit Ω de la probabilité uiforme, otée P, de sorte que pour tout A A, P[A] = Card(A) Card(Ω) = Card(A) 36. La variable aléatoire X pred ses valeurs das {,, 6}. La loi de X est doée par : P X [{}] = P[{X = }] = P[{(, )}] = 36, P X [{2}] = P[{X = 2}] = P[{(, 2); (2, ); (2, 2)}] = 2, P X [{3}] = P[{X = 3}] = P[{(, 3); (3, ); (2, 3); (3, 2); (3, 3)}] = 5 36, P X [{4}] = P[{X = 4}] = P[{(, 4); (4, ); (2, 4); (4, 2); (3, 4); (4, 3); (4, 4)}] = 7 36, P X [{5}] = 9 36, P X [{6}] = 36. Solutio 4.4. O choisit comme uivers Ω l esemble des tirages possibles. Il s agit d u tirage ordoé avec remise de r boules parmi N, aisi Card(Ω) = r. État doé que Ω est de cardial fiie, o le muit de la tribu A = P(Ω). Comme le tirage s effectue au hasard, o muit (Ω, A) de la probabilité uiforme, otée P, de sorte que pour tout A A, P(A) = Card(A) Card(Ω). Pour k {0,..., r}, o défiit l évèemet A k o a tiré exactemet k boules blaches. D après l Exemple 2., ous savos que Card(A k ) = ( ) r k N k b N r k, et que : P[A k ] = ( r ) k N k b N r k N r = ( r k ) ( Nb N ) k ( ) r k N. N Remarquos que la variable aléatoire X est à valeurs das {0,..., r}, et que pour tout k {0,..., r}, l évèemet {X = k} = A k. Aisi, la loi de la variable aléatoire X est doée, pour 52

53 tout k {0,, r}, par : P X [{k}] = P[{X = k}] = P[A k ] = ( r k ) ( Nb N ) k ( ) r k N. N La variable aléatoire X suite ue loi biomiale de paramètres r et N b N. Solutio 4.5. O choisit comme uivers Ω = {,..., 6} N. Souveez-vous que l o e muit pas Ω de la tribu P(Ω) et que, exceptioellemet, o passe sous silece le choix de la tribu. Soit et soit (i,..., i ) {,..., 6}, otos B i,,i l évèemet l issue du premier tirage est i,..., l issue du -ième tirage est i. Le dé état o truqué et les jets état idépedats, o muit Ω de la probabilité P, telle que : P[B i,,i ] = P[B i ]... P[B i ] = 6. Pour, défiissos l évèemet A o obtiet pile pour la première fois au -ième jet. D après l Exercice 3.9, ous savos que : P[A ] = 6 ( 5 6 ). Remarquos que la variable aléatoire X est à valeurs das N, et que pour tout, l évèemet {X = } = A. Aisi, pour tout : P X [{}] = P[{X = }] = P[A ] = 6 ( 5 6 ). O recoaît que la variable aléatoire X suit ue loi géométrique de paramètre Foctio de répartitio Das le cas des variables aléatoires discrètes, la foctio de répartitio vérifie les propriétés suivates. Propriété 4. Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé et soit X ue variable aléatoire discrète réelle défiie sur Ω. Alors la foctio de répartitio F X de la loi P X, vérifie :. F X (x) = P X ({y}) ; {y X(Ω) : y x} 2. si x et y sot deux poits cosécutifs de X(Ω), alors F X est costate sur [x, y[ ; 3. la hauteur du saut e x X(Ω) est doée par P X ({x}). Exercice 4.6. Calculer la foctio de répartitio de :. la loi uiforme sur {,, }, 2. la loi de Beroulli de paramètre p, 3. la loi biomiale de paramètres 4 et 2, 4. la loi géométrique de paramètre p. Solutio

54 . Si X suit ue loi uiforme sur {,, }, alors pour tout k {,, }, P X ({k}) =. Aisi, 0 si y < F X (y) = k si y [k, k + [, k {,, } si y. 2. Si X suit ue loi de Beroulli de paramètre p, alors P X ({}) = p, et P X ({0}) = p. Aisi, 0 si y < 0 F X (y) = p si y [0, [ si y. 3. Si X suit ue loi biomiale de paramètres 4 et 2, alors pour tout k {0,, 4}, D où, Aisi, P X ({k}) = ( 4 k ) ( 2 ) k ( ) 4 k = 2 ( ) 4 k 6. P X ({0}) = 6, PX ({}) = 4 6, PX ({2}) = 6 6, PX ({3}) = 4 6, PX ({4}) = 6. F X (y) = 0 si y < 0 6 si y [0, [ 5 6 si y [, 2[ 6 si y [2, 3[ 5 6 si y [3, 4[ si y Si X suit ue loi géométrique de paramètre p, alors pour tout k N, P X ({k}) = ( p) k p. Aisi, 0 si y < F X (y) = k ( p) i p = ( p) k si y [k, k + [, k N Espérace i= L espérace d ue variable aléatoire représete sa moyee podérée par la probabilité de chacue des issues. Lors d u jeu de hasard par exemple, elle permet de détermier si le jeu est équitable ou o. Cas où l uivers est fii. Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé. Supposos l uivers Ω fii : Ω = {ω,, ω }. Défiitio. Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur Ω. O appelle espérace de X, que l o ote E(X), la quatité : E(X) = X(ω i )P({ω i }). i= 54

55 L espérace satisfait aux propriétés suivates. Propriété 5.. (Liéarité). Si X et Y sot deux variables aléatoires défiies sur Ω, et si a, b sot deux costates réelles, alors : E(aX + by ) = ae(x) + be(y ). 2. (Mootoie). Si X et Y sot deux variables aléatoires défiies sur Ω telle que X Y, alors E(X) E(Y ). E particulier, E(X) E( X ). 3. Si X est ue variable aléatoire costate, X a, alors E(X) = a. 4. (Théorème de trasfert). Notos {x,, x m } l esemble des valeurs prises par la variable aléatoire réelle X, et soit f ue applicatio défiie sur X(Ω), alors : E(f(X)) = E particulier, si f Id, o obtiet : E(X) = m f(x k ) P X ({x k }). m x k P X ({x k }). Démostratio.. Par défiitio de l espérace, E(aX + by ) = (ax(ω i ) + by (ω i ))P({ω i }) = a i= X(ω i )P({ω i }) + b i= i= = ae(x) + be(y ). Y (ω i )P({ω i }) 2. Supposos que X Y. Alors, comme la probabilité P est à valeur positive, E(X) = X(ω i )P({ω i }) i= Y (ω i )P({ω i }) = E(Y ). i= E appliquat ceci avec X X et X X, et e utilisat la liéarité de l espérace, o obtiet, E(X) E( X ) et E(X) E( X ), d où o déduit, E(X) E( X ). 3. Par liéarité de l espérace, il suffit de motrer que si X, alors E() =. E() = X(ω i ) P({ω i }) = i= P({ω i }) = P(Ω) =. i= 55

56 4. Démotros ce poit pour f Id. Par défiitio de l espérace, E(X) = X(ω i )P({ω i }). Comme X pred les valeurs {x,, x m }, o peut réécrire ceci sous la forme : E(X) = = = m X(ω i ) P({ω i }) i X(ω i )=x k m x k P({ω i }) i X(ω i )=x k m x k P({ω Ω : X(ω) = x k }) = i= m x k P X ({x k }). Cas où l espace des états est quelcoque et la variable aléatoire discrète Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé et X ue variable aléatoire discrète défiie sur Ω, à valeurs das X(Ω) = {x j : j J}, où J est ue partie o vide, fiie ou déombrable de N. Défiitio. La variable aléatoire discrète X est dite itégrable, si la série de terme gééral x j p j coverge. Si X est ue variable aléatoire discrète itégrable, o défiit so espérace, otée E(X), par : E(X) = j J x j P X ({x j }). Remarque. Lorsque l uivers Ω est fii, toute variable aléatoire défiie sur Ω est itégrable et la défiitio coïcide avec celle doée précédemmet. Si X est pas itégrable, elle admet pas d espérace. L espérace de X, lorsqu elle existe, e déped que de la loi de X, c est-à-dire des couples {(x j, P X ({x j })), j J}, et représete le barycetre de l esemble de ces couples. O retrouve les propriétés vues lorsque l espace des états est fii, mais elles sot souvet plus difficile à motrer das ce cas. Propriété 6.. Ue variable aléatoire discrète X est itégrable si et seulemet si X est itégrable. 2. Si la variable aléatoire X est borée, alors elle est itégrable. 3. (Liéarité). Si X et Y sot deux variables aléatoires discrètes itégrables, et si a, b sot deux costates réelles, alors ax + by est itégrable et o a : E(aX + by ) = ae(x) + be(y ). 4. (Mootoie). Si X et Y sot deux variables aléatoires discrètes itégrables telles que X Y, alors E(X) E(Y ). E particulier si X est itégrable, alors E(X) E( X ). 5. Si X est ue variable aléatoire costate, X a, alors X est itégrable et E(X) = a. 56

57 6. (Théorème de trasfert). Si X est ue variable aléatoire discrète et si f est ue applicatio défiie sur X(Ω) telle que la série de terme gééral f(x j ) P X ({x j }) coverge, alors f(x) est ue variable aléatoire discrète itégrable et E(f(X)) = j J f(x j )P X ({x j }). Défiitio. Soit X ue variable aléatoire discrète itégrable. Si X est d espérace ulle, o dit que X est cetrée. Exercices Exercice 4.7. Soit X ue variable aléatoire discrète itégrable. Motrer que la variable aléatoire X E(X) est cetrée. Exercice 4.8. Calculer, si elle existe, l espérace des variables aléatoires ayat pour loi :. loi uiforme sur {,, }, 2. loi de Beroulli de paramètre p. Soit A A u évéemet de Ω, déduire que E(I A ) = P(A). 3. loi biomiale de paramètres et p, 4. loi géométrique de paramètre p, 0 < p <, 5. loi de Poisso de paramètre θ > 0. Solutios Solutio 4.7. Si X est itégrable, alors par la propriété de liéarité de l espérace, X E(X) est itégrable et, E(X E(X)) = E(X) E(X) = 0, d où o déduit que la variable aléatoire X E(X) est cetrée. Solutio Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi uiforme sur {,, }. Comme X e pred qu u ombre fii de valeurs, alors X est itégrable et admet doc ue espérace. Par défiitio : E(X) = k = ( + ) 2 = Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi de Beroulli de paramètre p. Comme X e pred qu u ombre fii de valeurs, alors X est itégrable et admet doc ue espérace. Par défiitio : E(X) =.p + 0.( p) = p. Soit A ue évéemet de Ω, alors l idicatrice de A, I A, suit ue loi de Beroulli de paramètre P(A), aisi I A admet ue espérace et E(I A ) = P(A). 57

58 3. Soit X ue variable aléatoire suivat u loi biomiale de paramètres et p. Comme X e pred qu u ombre fii de valeurs, alors X est itégrable et admet doc ue espérace. Nous allos calculer l espérace de X de deux maières. Par défiitio de l espérace, E(X) = = ( k k k=0 ) p k ( p) k = k.! k!( k)! pk ( p) k ( )! (k )!( (k ))! pk ( p) k ( = j j=0 j=0 ) p j+ ( p) j, (avec le chagemet d idice j = k ) ( ) = p p j ( p) j j = p(p + p) = p, (e utilisat la formule du biôme de Newto). D autre part, la variable aléatoire X a même loi que X k, où les (X k ) k sot des variables aléatoires idépedates de Beroulli de paramètre p. Aisi, e utilisat la liéarité de l espérace et le Poit 2, ous obteos : ( ) E(X) = E X k = E(X k ) = p = p. 4. Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi géométrique de paramètre p. Pour motrer que X est itégrable, ous devos prouver que la série de terme gééral k P X ({k}) = kp( p) k est covergete. Soit x R, cosidéros la série de terme gééral x k. O recoaît la série géométrique, qui est absolumet covergete pour tout x tel que x <, et vaut alors, φ(x) = x. Par u théorème du cours, la série est ifiimet dérivable sur l itérieur de so itervalle de covergece et les dérivées successives sot doées par les dérivées successives terme à terme. E particulier, pour tout x tel que x <, φ (x) = + ( x) 2 = k x k. Comme 0 < p <, o e déduit que la série de terme gééral p[k( p) k ] est absolumet covergete et qu elle vaut p p 2. Aisi, si X suit ue loi géométrique de paramètre p, X admet ue espérace et E(X) = p. 5. Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi de Poisso de paramètre θ. Afi de motrer que X est itégrable, ous devos prouver que la série de terme gééral k P X ({k}) = k e est covergete. Or pour tout k, k e θ θk k! = e θ θ θk (k )!. O recoaît, à la costate e θ θ près, le développemet e série de e θ. Aisi, si X suit ue loi de Poisso de paramètre θ, X admet ue espérace, et E(X) = θe θ e θ = θ. θ θk k! 58

59 4.3.4 Variace, momets d ordres supérieurs Soiet (Ω, A, P) u espace probabilisé et X ue variable aléatoire discrète défiie sur Ω, à valeurs das {x j : j J}, où J est ue partie o-vide, fiie ou déombrable de N. Défiitio. La variable aléatoire X et dite de carré itégrable, si X 2 admet ue espérace. La quatité E(X 2 ) est alors bie défiie et est appelée momet d ordre 2 de X. Remarque.. Grâce au théorème de trasfert, la variable aléatoire X est de carré itégrable si et seulemet si la série de terme gééral x 2 j PX ({x j }) coverge. 2. Si la variable aléatoire X est de carré itégrable, alors elle est itégrable. E effet, supposos que la variable aléatoire X pree les valeurs {x i : i N}. Fixos N, et otos I l esemble des etiers compris etre 0 et. Alors, x i P X ({x i }) = x i P X ({x i }) + x i P X ({x i }) i I {i I : x i } {i I : x i >} P X ({x i }) + x 2 i P X ({x i }) {i I : x i } + i I x 2 i P X ({x i }). {i I : x i >} O coclut e utilisat le critère de comparaiso des séries à termes positifs. 3. Soit λ R. Si la variable aléatoire X est de carré itégrable, il e est de même pour les variables aléatoires (X + λ) et ( X + λ). Propriété 7. Si X est ue variable aléatoire discrète de carré itégrable, alors : E( X ) 2 E(X 2 ). Démostratio. Soit λ R. Si la variable aléatoire X est de carré itégrable, alors il e est de même pour X +λ et ous posos : f(λ) = E[( X +λ) 2 ] E utilisat la liéarité de l espérace, f(λ) = E(X 2 ) + 2λE( X ) + λ 2. Aisi, f est u polyôme de degré 2, positif ou ul. So discrimiat est doc égatif ou ul, ce qui implique le résultat. Défiitio. Si X est ue variable aléatoire discrète de carré itégrable, o défiit sa variace, otée Var(X), par : Var(X) = E[(X E(X)) 2 ]. L écart-type, oté σ(x), est défii par σ(x) = Var(X). Remarque. La variace de X mesure la faço dot X s écarte de sa moyee E(X). L écart-type s utilise surtout e statistique. Remarquer que si la variable aléatoire X a ue uité, alors l écart-type a la même uité, tadis que la variace a l uité au carré, d où l itérêt das la pratique de travailler avec l écart-type. Propriété 8. Soit X ue variable aléatoire discrète de carré itégrable, alors :. Var(X) 0, 59

60 2. a R, Var(X + a) = Var(X), 3. a R, Var(aX) = a 2 Var(X), 4. Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2, 5. Var(X) = 0 j J tel que P X ({x j }) > 0, x j = E[X]. Démostratio.. Découle de la propriété de mootoie de l espérace et du fait que (X E(X)) et 4. E utilisat la défiitio de la variace et la liéarité de l espérace, o a : Var(X + a) = E[(X + a E(X + a)) 2 ] = E[(X E(X)) 2 ] = Var(X) Var(aX) = E[(aX E(aX)) 2 ] = E[a 2 (X E(X)) 2 ] = a 2 Var(X) Var(X) = E[(X E(X)) 2 ] = E[X 2 2E(X)X + E(X) 2 ] 5. D après le théorème de trasfert, = E(X 2 ) 2E(X) 2 + E(X) 2 = E(X 2 ) E(X) 2. Var(X) = j J(x j E(X)) 2 P X ({x j }). C est ue somme de termes positifs. Aisi, cette somme est ulle si et seulemet si chacu de ses termes l est, c est-à-dire si et seulemet si, j J, tel que P X ({x j }) > 0, x j = E(X). Défiitio. Soit X ue variable aléatoire discrète de carré itégrable. Si X est de variace égale à, o dit que X est réduite. Défiitio. Soit X ue variable aléatoire discrète, et soit N. Si X est itégrable, la quatité E(X ) est bie défiie et o l appelle momet d ordre de la variable aléatoire X. Remarque. D après le théorème de trasfert, la variable aléatoire X est itégrable si et seulemet si la série de terme gééral x j P X ({x j }) coverge. Exercices Exercice 4.9. Soit X ue variable aléatoire discrète de carré itégrable et de variace o X X E(X) ulle. Motrer que la variable aléatoire σ(x) est réduite, et que la variable aléatoire σ(x) est cetrée réduite. Exercice 4.0. Calculer, si elle existe, la variace de chacue des lois discrètes classiques. Solutios Solutio 4.9. Utilisat les propriétés de la variace et de l espérace, ous déduisos que : ( ) X Var = σ(x) σ(x) 2 Var(X) = ( ) ( ) X E(X) X Var = Var = σ(x) σ(x) ( ) X E(X) E = E[X E(X)] = 0. σ(x) σ(x) 60

61 Solutio 4.0. Pour les Poits, 2, 3, comme X e pred qu u ombre fii de valeurs, elle est de carré itégrable et admet doc ue variace.. Calculos d abord E(X 2 ) e utilisat le théorème de trasfert. d où E(X 2 ) = k 2 = ( + )(2 + ) = 6 Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 ( + )(2 + ) = 6 ( + ) ( ) = 2 6 ( + )(2 + ), 6 ( + )2 4 = Das ce cas, E(X 2 ) = p, d où Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = p( p). 3. Calculos d abord E[X(X )] e utilisat le théorème de trasfert. Aisi, ( ) E[X(X )] = k(k ) p k ( p) k k k=2 ( )( 2)! = (k 2)!( 2 (k 2))! pk ( p) k k=2 2 ( ) 2 = ( ) p j+2 ( p) j 2, (e posat, j = k 2) j j=0 2 ( ) 2 = ( )p 2 p j ( p) 2 j j j=0 = ( )p 2 (p + p) 2 = ( )p 2, (biôme de Newto). Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = E[X(X )] + E(X) E(X) 2 = ( )p 2 + p 2 p 2 = p( p). 4. Soit X suivat ue loi géométrique de paramètre p. Afi de motrer que X est de carré itégrable, il suffit de motrer que X(X ) est itégrable. Aisi, d après le théorème de trasfert, ous devos prouver que la série de terme gééral k(k ) P({X = k}) = k(k )p( p) k = p( p)[k(k )( p) k 2 ], est covergete. E utilisat ce que ous avos fait pour le calcul de l espérace, ous savos que pour tout x, x < : φ (x) = 2 + ( x) 3 = k(k )x k 2. 6

62 O e déduit que la série de terme gééral p( p)[k(k )( p) k 2 ] est absolumet covergete, et vaut 2p( p). Aisi, si X suit ue loi géométrique de paramètre p, X(X ) p 3 admet ue espérace et 2( p) E[X(X )] = p 2, d où : Var(X) = E[X(X )] + E(X) E(X) 2 = 2( p) p 2 + p p 2 = p p Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi de Poisso de paramètre θ. Afi de motrer que X est de carré itégrable, il suffit de motrer que X(X ) est itégrable. Aisi, d après le théorème de trasfert, ous devos motrer que la série de terme gééral, θ θk k(k )P({X = k}) = k(k )e k!, est covergete. Or, pour tout k 2, k(k )e θ θk k! = θ 2 e θ θk 2 (k 2)!. O recoaît, à la costate θ 2 e θ près, le développemet e série de e θ. Aisi, si X suit ue loi de Poisso de paramètre θ, X(X ) admet ue espérace et E[X(X )] = θ 2 e θ e θ = θ 2, d où Var(X) = E[X(X )] + E(X) E(X) 2 = θ 2 + θ θ 2 = θ Iégalité de Markov et de Bieaymé Tchebychev Voici deux iégalités classiques. Propositio 4.5 (Iégalité de Markov). Soit X ue variable aléatoire admettat u momet d ordre. Alors, a > 0, P ( X a) E[ X ] a. Démostratio. Ue maière courte d écrire cette preuve est d utiliser ue variable aléatoire idicatrice. Remarquer que l o peut écrire la foctio costate égale à sur Ω de la maière suivate : pour tout ω Ω, pour tout réel a > 0, Aisi, pour tout ω Ω, pour tout a > 0, o a : (ω) = I { X a} (ω) + I { X <a} (ω). X(ω) = X(ω) I { X a} (ω) + X(ω) I { X <a} (ω) X(ω) I { X a} (ω), car X(ω) I { X <a} (ω) 0 a I { X a} (ω), car a est positif. Autremet dit, o a l iégalité X a I { X a}. O coclut e utilisat la mootoie de l espérace : E[ X ] E[a I { X a} ] = a P[ X a]. 62

63 Propositio 4.6 (Iégalité de Bieaymé-Tchebychev). Soit X ue variable aléatoire discrète de carré itégrable. Alors, a > 0, P[ X E(X) a] Var(X) a 2. Démostratio. L iégalité de Bieaymé-Tchébychev est ue coséquece de l iégalité de Markov. La variable aléatoire X état de carré itégrable, il e est de même pour la variable aléatoire X E(X). O applique l iégalité de Markov avec la variable aléatoire Y = X E(X), et = 2. Pour tout a > 0, P ( Y a) E[ Y 2 ] a 2 P ( X E(X) a) E[(X E(X))2 ] a 2 = Var(X) a Vecteurs aléatoires discrets Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé, et soiet X, Y deux variables aléatoires défiies sur Ω. Alors la loi de probabilité de X et Y ecode toute l iformatio pour chacue des variables aléatoires, par cotre, elle ecode aucue iformatio sur les propriétés relativemet l ue à l autre. Ue faço de résoudre ce problème est de cosidérer X et Y o pas comme deux variables aléatoires, mais comme les composates d u vecteur aléatoire (X, Y ) preat ses valeurs das R Défiitio et lois des vecteurs aléatoires Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé. Défiitio. Soiet X, Y deux variables aléatoires défiies sur Ω. Le couple aléatoire Z = (X, Y ) est dit discret si chacue des variables aléatoires X et Y est discrète. Plus gééralemet, soiet X,, X des variables aléatoires défiies sur Ω. Le vecteur aléatoire X = (X,, X ) est dit discret, si chacue des variables aléatoires X,, X l est. Notatios. Pour u couple de variable aléatoire (X, Y ), o ote : E = X(Ω), F = Y (Ω). Pour u vecteur aléatoire X = (X,, X ), o ote : i {,, }, E i = X i (Ω). Le vecteur X = (X,, X ) est doc u vecteur aléatoire défii sur Ω, à valeurs das l esemble discret E E. Propositio 4.7 (Défiitios).. Loi des vecteurs aléatoires 63

64 Si Z = (X, Y ) est u couple aléatoire discret défii sur Ω, alors la loi de probabilité de Z est caractérisée par la doée des ombres (P Z ({(x, y)})) (x,y) E F, défiis par (x, y) E F : P Z ({(x, y)}) = P({Z = (x, y)}) = P({X = x} {Y = y}) = P({ω Ω : X(ω) = x et Y (ω) = y}). Si X = (X,, X ) est u vecteur aléatoire discret défii sur Ω. Alors la loi de probabilité de X est caractérisée par la doée des ombres (P X ({(x,, x )})) (x,,x ) E E, défiis par : (x,, x ) E E, P X ({(x,, x )}) = P({X = x } {X = x }). 2. Lois margiales d u couple aléatoire. Coaissat la loi du couple aléatoire Z = (X, Y ), o retrouve la loi des variables aléatoires X et Y, dites lois margiales de Z, grâce aux formules suivates : x E, P X ({x}) = P({X = x}) = y F P Z ({(x, y)}) = y F P({X = x} {Y = y}), y F, P Y ({y}) = P({Y = y}) = x E P Z ({(x, y)}) = x E P({X = x} {Y = y}). 3. Loi coditioelle. Soit x E tel que P({X = x}) > 0. La loi coditioelle de Y sachat que X pred la valeur x, est caractérisée par la doée des ombres : y F, P {X=x} ({Y = y}) = P({Y = y} {X = x}) P({X = x}) = PZ ({(x, y)}) P X. ({x}) Remarque. La loi du vecteur aléatoire Z permet de coaître la loi des variables aléatoires X et Y, mais la réciproque est fausse! La coaissace de chacue des lois X et Y etraîe pas la coaissace de la loi du couple. Voir l exemple ci-dessous. Comme coséquece du Poit 3. o sait que si x E et y F sot tels que P({X = x}) > 0 et P({Y = y}) > 0, alors : P Z ({(x, y)}) = P {X=x} ({Y = y})p({x = x}) = P {Y =y} ({X = x})p({y = y}). Aisi, das ce cas, la coaissace de la loi de Z est équivalete à la coaissace de celle de X et de la loi coditioelle de Y sachat X, ou ecore est équivalete à la coaissace de la loi Y et de la loi coditioelle de X sachat Y. Exemple 4.8. Soit Z = (X, Y ) u couple aléatoire à valeurs das {(, ), (, ), (, ), (, )}, respectivemet avec les probabilités 2 p, p, p, 2 p, où 0 p 2. Calculos les lois margiales du couple aléatoire Z et la loi coditioelle de Y sachat {X = }. Remarquos que X et Y 64

65 sot à valeurs das {, }. De la Propositio 4.7, ous déduisos : P(X = ) = P(Z = (, )) + P(Z = (, )) = 2 p + p = 2 P(X = ) = P(Z = (, )) + P(Z = (, )) = p + 2 p = 2 P(Y = ) = P(Z = (, )) + P(Z = (, )) = 2 p + p = 2 P(Y = ) = P(Z = (, )) + P(Z = (, )) = p + 2 p = 2, doc X et Y suivet ue loi uiforme sur {, }. D après la Propositio 4.7, comme P(X = ) = 2 > 0, la loi coditioelle est bie défiie et est doée par : P {X=} (Y = ) = = P {X=} (Y = ) = = P({Y = } {X = }) P(X = ) P(Z = (, )) P(X = ) = 2 p = 2p. 2 P({Y = } {X = }) P(X = ) P(Z = (, )) = p P(X = ) = 2p Espérace, covariace, matrice de covariace Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires et vecteurs aléatoires que l o cosidère sot défiis sur Ω. Propositio 4.8. (Théorème de trasfert pour les couples). Si Z = (X, Y ) est u couple aléatoire discret et que f est ue applicatio réelle défiie sur E F, telle que la série f(x, y) P Z ({(x, y)}) coverge, alors f(x, Y ) est itégrable et : E(f(X, Y )) = (x,y) E F f(x, y) P Z ({(x, y)}). (x,y) E F (Théorème de trasfert pour les vecteurs). Si X = (X,, X ) est u vecteur aléatoire discret et que f est ue applicatio réelle défiie sur E E, telle que la série (x,,x ) E E f(x,, x ) P X ({(x,, x )}) coverge, alors f(x,, x ) est itégrable et : E(f(X,, X )) = (x,,x ) E E f(x,, x ) P X ({(x,, x )}). Remarque. Avec le théorème de trasfert pour les couples, ous avos les outils écessaires pour démotrer la propriété de liéarité de l espérace. 65

66 Exemple 4.9. Vérifios sur l exemple que E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). D après le théorème de trasfert : E(X + Y ) = ( + )P(Z = (, )) + ( )P(Z = (, ))+ + ( + )P(Z = (, )) + ( )P(Z = (, )) ( ) ( ) = 2 2 p 2 2 p = 0. D autre part, ous avos motré que X et Y suivet ue loi uiforme sur {, }, doc : E(X) = 2 2 = 0 = E(Y ), d où E(X) + E(Y ) = 0. Propositio 4.9 (Iégalité de Cauchy-Schwartz). Soiet X, Y deux variables aléatoires discrètes. Si X et Y sot de carré itégrable, alors XY est itégrable, et : E(XY ) E(X 2 ) 2 E(Y 2 ) 2. Démostratio. L idée de la preuve est la même que pour motrer qu ue variable aléatoire de carré itégrable est itégrable. Défiitio. Soiet X, Y deux variables aléatoires discrètes de carré itégrable, alors o défiit la covariace de X et Y, otée Cov(X, Y ), par : Cov(X, Y ) = E[(X E(X))(Y E(Y ))] = E(XY ) E(X)E(Y ). Exemple 4.0. Calculos la covariace des variables aléatoires X et Y de l exemple. Nous avos déjà calculé E(X) = E(Y ) = 0. D après le théorème de trasfert, ous savos que : E(XY ) =. P(Z = (, )) + ( ) P(Z = (, )) + ( )() P(Z = (, )) + ( )( ) P(Z = (, )) ( ) = 2 2 p 2p = 4p. Aisi, Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 4p. Propriété 9. Soiet X, Y deux variables aléatoires discrètes, de carré itégrable.. Cov(X, X) = Var(X) et Cov(X, Y ) = Cov(Y, X). 2. Si a, b, c, d, sot des costates réelles, alors : Cov(aX + b, cy + d) = ac Cov(X, Y ). 3. La variace et la covariace sot reliées par l égalité : Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 Cov(X, Y ). 4. La covariace vérifie l iégalité : Cov(X, Y ) σ(x)σ(y ). 66

67 Démostratio. 2. Par défiitio de la covariace, et e utilisat la liéarité de l espérace, Cov(aX + b, cy + d) = E[(aX + b)(cy + d)] E[aX + b]e[cy + d] = ace(xy ) + bce(y ) + ade(x) + bd ace(x)e(y ) ade(x) bce(y ) bd = ac[e(xy ) E(X)E(Y )] = ac Cov(X, Y ). La covariace est ue forme biliéaire symétrique semi-défiie positive sur les variables aléatoires de carré itégrable. 3. Par défiitio de la variace, et e utilisat la liéarité de l espérace, Var(X + Y ) = E[(X + Y ) 2 ] [E(X + Y )] 2 = E(X 2 ) + 2E(XY ) + E(Y 2 ) [E(X) 2 + 2E(X)E(Y ) + E(Y ) 2 ] = E(X 2 ) E(X) 2 + E(Y 2 ) E(Y ) 2 + 2[E(XY ) E(X)E(Y )] = Var(X) + Var(Y ) + 2 Cov(X, Y ). 4. Il suffit d appliquer l iégalité de Cauchy-Schwartz avec X E(X) et Y E(Y ). Défiitio. Soiet X, Y deux variables aléatoires discrètes de carré itégrable, de variaces o ulles. Alors, le coefficiet de corrélatio de X et Y, oté ρ(x, Y ), est défii par : ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) σ(x)σ(y ). Remarque. Le coefficiet de corrélatio est sas uité et est très utilisé e statistique. Comme coséquece de la Propriété 4. de la covariace, ous savos que : ρ(x, Y ). Défiitio. Si X = (X,, X ) est u vecteur aléatoire discret, telle que chacue des composates est ue variable aléatoire de carré itégrable, alors o défiit la matrice de covariace du vecteur X, otée V (X), par ses coefficiets : Propriété 0. (i, j) {,, } 2, (V (X)) i,j = Cov(X i, X j ).. La matrice de covariace V (X) est ue matrice réelle symétrique, dot la diagoale est formée des variaces des variables aléatoires X,, X. 2. Var( X i ) = Var(X i ) + 2 Cov(X i, X j ). i= i= i<j Démostratio. Le Poit. est ue coséquece directe de la Propriété 9. Le Poit 2. se démotre par récurrece sur le ombre de variables aléatoires cosidérées. 67

68 4.4.3 Variables aléatoires idépedates Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires et tous les vecteurs aléatoires que l o cosidère sot défiis sur Ω. Défiitio. Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires discrètes. O dit que les variables aléatoires X et Y sot idépedates, si pour tout sous-esemble A de E et tout sous-esemble B de F, tels que {X A} A et {Y B} A : P({X A} {Y B}) = P({X A}) P({Y B}). Soit X = (X,, X ) u vecteur aléatoire discret. O dit que (X,, X ) est u - uplet de variables aléatoires idépedates, ou u vecteur aléatoire idépedat si, pour tout sous-esemble (A,, A ) de E E tel que pour tout i {,, }, {X i A i } A : P({X A } {X A }) = P({X A }) P({X A }). Propositio 4.0. Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires discrètes. Les assertios suivates sot équivaletes.. Les variables aléatoires X et Y sot idépedates. 2. (x, y) E F, P({X = x} {Y = y}) = P({X = x})p({y = y}). 3. (x, y) E F, P({X = x}) > 0 P {X=x} ({Y = y}) = P({Y = y}). 4. (x, y) E F, P({Y = y}) > 0 P {Y =y} ({X = x}) = P({X = x}). 5. Pour toutes foctios f et g, respectivemet défiies sur E et F, telles que f(x) et g(y ) soiet itégrables et telles que le produit f(x)g(y ) est itégrable, et o a : E[f(X)g(Y )] = E[f(X)]E[g(Y )]. Soit (X,, X ) u vecteur aléatoire discret. Les assertios suivates sot équivaletes.. (X,, X ) est u -uplet de variables aléatoires idépedates. 2. (x,, x ) E E, P({X = x } {X = x }) = P({X = x }) P({X = x }). 3. Pour toutes foctios f,, f respectivemet défiies sur E,, E, telles que f (X ),, f (X ) soiet itégrables et telles que le produit f (X ) f (X ) est itégrable, et o a : E[f (X ) f (X )] = E[f (X )] E[f (X )]. Remarque 4.. O déduit de la Propositio 4.0 le fait suivat : si les variables aléatoires X et Y sot idépedates, alors pour toutes foctios f et g suffisamet régulières, les variables aléatoires f(x) et g(y ) sot aussi idépedates. Exemple 4.. Étudios l idépedace des variables aléatoires X et Y de l exemple. Les variables aléatoires X et Y sot idépedates, si et seulemet si : P({X = } {Y = }) = P(X = )P(Y = ), et P({X = } {Y = }) = P(X = )P(Y = ), et P({X = } {Y = }) = P(X = )P(Y = ), et P({X = } {Y = }) = P(X = )P(Y = ), 2 p = 4 et p = 4 p = 4. 68

69 Propositio 4.. Soiet X et Y deux variables aléatoires discrètes de carré itégrable. Alors, si X et Y sot idépedates,. E(XY ) = E(X)E(Y ), 2. Cov(X, Y ) = 0, 3. Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Soit (X,, X ) u -uplet de variables aléatoires discrètes de carré itégrable et idépedates, alors :. E( X i ) = E(X i ), i= i= 2. (i, j) {,, } 2, i j, Cov(X i, X j ) = 0. Autremet dit, la matrice de covariace est diagoale. 3. Var( X i ) = Var(X i ). i= i= Démostratio. Motros la propositio das le cas des couples de variables aléatoires. D après le théorème de trasfert, E(XY ) = xy P({X = x} {Y = y}) (x,y) E F = (x,y) E F xy P(X = x) P(Y = y), (par idépedace) ( )( = x P(X = x) x E = E(X) E(Y ). Aisi, si X et Y sot idépedates, y F ) y P(Y = y) Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 0, et Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 Cov(X, Y ) = Var(X) + Var(Y ). Exemple 4.2. Recalculos la variace d ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètres et p. Alors X a même loi que X k, où les (X k ) sot des variables aléatoires idépedates de Beroulli de paramètre p. Aisi, par la Propositio 4. : Var(X) = Var(X k ) = p( p). Remarque. Attetio, si Cov(X, Y ) = 0, cela implique pas que les variables aléatoires X et Y sot idépedates. Par exemple, cosidéros le couple Z = (X, Y ) de loi uiforme sur {(, 0), (, 0), (0, ), (0, )}. D après la Propositio 4.7, ous avos : P(X = ) = 4, P(X = ) = 4, P(X = 0) = 2, P(Y = ) = 4, P(Y = 0) = 2, P(Y = ) = 4. 69

70 Aisi : E(X) = 0, E(Y ) = 0, E(XY ) = 0, d où Cov(X, Y ) = 0. Mais, X et Y e sot pas idépedates. E effet, P(X =, Y = 0) = 4 et P(X = )P(Y = 0) = 8, d où P(X =, Y = 0) P(X = )P(Y = 0). Défiitio. Soit (X k ) k ue suite de variables aléatoires discrètes. O dit que la suite (X k ) k est ue suite de variables aléatoires discrètes idépedates, si pour tout etier, (X,, X ) est u -uplet de variables aléatoires idépedates. Exercices Exercice 4.. Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates, à valeurs das N.. Calculer la loi de Z = X + Y. 2. Calculer la loi de T = mi(x, Y ). Exercice Motrer que la loi de la somme de variables aléatoires idépedates de Beroulli de paramètre p est ue loi biomiale de paramètres et p. 2. Motrer que la loi de la somme de variables aléatoires idépedates de Poisso de paramètres λ,, λ, respectivemet est ue loi de Poisso de paramètre λ i. 3. Motrer que la variable aléatoire T = mi(x, Y ), où X et Y sot idépedates de même loi géométrique de paramètres p (p ]0, [), suit ue loi géométrique de paramètre ( p) 2. i= Exercice 4.3. Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedats de loi uiforme sur {,, }. Calculer P[X = Y ]. Exercice 4.4. Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates, de même loi de Beroulli de paramètre p, 0 < p <. O pose S = X + Y et D = XY.. Détermier la loi du couple (S, D). 2. E déduire les lois margiales de S et D. 3. Calculer de trois maières différetes E(S) et E(D). 4. Calculer Cov(S, D). Les variables aléatoires S et D sot-elles idépedates? Solutio 4.. Solutios 70

71 . La variable aléatoire Z est à valeurs das N et la loi de Z est etièremet détermiée par la doée des ombres : P Z ({}) = P(Z = ) = P(X + Y = ), N. Soit u etier aturel. D après la formule des probabilités totales : P(Z = ) = P(X + Y =, X = k) = = k=0 P(Y = k, X = k) k=0 P(Y = k) P(X = k) k=0 car X et Y sot idépedates. 2. La variable aléatoire T est à valeurs das N et la loi de T est etièremet détermiée par la doée des ombres : Soit N, calculos P(T > ) : P T ({}) = P(T = ) = P(mi(X, Y ) = ), N. P(T > ) = P(mi(X, Y ) > ) Aisi, pour tout N : Solutio 4.2. = P({X > } {Y > }) = P(X > ) P(Y > ), car X et Y sot idépedates P(T = ) = P(T > ) P(T > ) = P(X > )P(Y > ) P(X > )P(Y > ).. Pour tout N, o défiit la propriété P() : la somme Y = X k de variables idépedates de Beroulli de paramètre p suit ue loi biomiale de paramètres et p. Si X suit ue loi de Beroulli de paramètre p, alors X suit ue loi biomiale de paramètres et p et la propriété P() est vérifiée. Supposos que pour u etier N, la propriété P() soit vraie. La variable aléatoire Y + = + X k pred ses valeurs das {0,, +}, et d après l exercice précédet ous savos que, pour tout k {0,, + } : P(Y + = k) = k P(Y = k l) P(X + = l) l=0 = P(Y = k)( p) + P(Y = k )p, car X + {0, } ( ) ( ) = p k ( p) + k + p k ( p) k+, par hypothèse k k ( ( ) ( ) ) = + p k ( p) + k k k ( ) + = p k ( p) + k, k 7

72 et la propriété P( + ) est vraie. O a doc motré que la propriété est vraie au rag iitial et héréditaire. Du pricipe de raisoemet par récurrece o e déduit que la propriété P() est vraie pour tout N. 2. Nous e rédigeros pas la récurrece e détail cette fois-ci. La propriété est clairemet vraie au rag iitial. Supposos qu elle soit vraie pour u certai, et soit Y + = + X k comme das l éocé. Alors, Y + est à valeurs das N et d après l exercice précédet, pour tout k N : P(Y + = k) = = k P(Y = k l)p(x + = l) l=0 k e l=0 ( = e = e ( i= + i= λ i ( + i= ) ( ) k l λ i λ i i= e λ (λ + +) l, par hypothèse (k l)! l! ) k! k l=0 ( ) k ( ) k l(λ+ λ i ) l l i= ) λ i k!( + ) k, λ i d après la formule du biôme de Newto, i= et la propriété est vraie au rag À faire à la maiso. Solutio 4.3. Nous avos : P[X = Y ] = P[ {{X = k} {Y = k}}] = P[{X = k} {Y = k}] = = car les évéemets ({X = k} {Y = k}; k ) sot icompatibles P[{X = k}] P[{Y = k}], car les variables aléatoires X et Y sot idépedates =., car X et Y suivet la loi uiforme sur {,, } 2 Solutio La variable aléatoire S est à valeurs das E = {0,, 2} et la variable aléatoire D est à valeurs das F = {0, }, aisi le couple Z = (S, D) est à valeurs das E F. Sa loi est caractérisée par la doée des ombres : (x, x 2 ) E F, P Z [{(x, x 2 )}] = P[{S = x } {D = x 2 }]. 72

73 Calculos. Pour tout x 2 {0, }, P Z [{(0, x 2 )}] = P[{X + Y = 0} {XY = x 2 }], = P[{X = 0} {Y = 0} {XY = x 2 }] { P[{X = 0} {Y = 0}] = ( p) 2, si x 2 = 0 = P[ ] = 0, si x 2 = P Z [{(, x 2 )}] = P[{X + Y = } {XY = x 2 }], = P[{X = 0} {Y = } {XY = x 2 }] + P[{X = } {Y = 0} {XY = x 2 }] { P[{X = 0} {Y = }] + P[{X = } {Y = 0}] = 2p( p), si x 2 = 0 = P[ ] = 0, si x 2 = P Z [{(2, x 2 )}] = P[{X + Y = 2} {XY = x 2 }], = P[{X = } {Y = } {XY = x 2 }] { P[ ] = 0, si x 2 = 0 = P[{X = } {Y = }] = p 2, si x 2 =. 2. D après la formule des probabilités totales, la loi margiale de la variable aléatoire S est doée par : x E, Aisi, la loi margiale de S est : P S [x ] = P[{S = x }] = P Z [{(x, x 2 )}]. x 2 F P S [{0}] = P Z [{(0, 0)}] + P Z [{(0, )}] = ( p) 2 P S [{}] = P Z [{(, 0)}] + P Z [{(, )}] = 2p( p) P S [{2}] = P Z [{(2, 0)}] + P Z [{(2, )}] = p 2. Remarquos que S état somme de deux variables aléatoires de Beroulli idépedates, o sait d après l exercice précédet, qu elle suit ue loi biomiale de paramètres 2 et p. De maière aalogue, la loi margiale de la variable aléatoire D est doée par : P D [{}] = 2 P Z [{(x, )}] = p 2 x =0 P D [{0}] = P D [{}] = p Les variables aléatoires S et D e preat qu u ombre fii de valeurs, elles admettet ue espérace. Première méthode. A la questio précédete, ous avos détermié les lois des variables aléatoires S et D. Aisi, d après la défiitio de l espérace, ous avos : E[S] = 0 P S [{0}] + P S [{}] + 2 P S [{2}] = 2p( p) + 2p 2 = 2p. E[D] = 0 P D [{0}] + P D [{}] = p 2. 73

74 Deuxième méthode. D après la liéarité de l espérace, E[S] = E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] = 2p. Les variables aléatoires état idépedates : E[D] = E[XY ] = E[X]E[Y ] = p 2. Troisième méthode. D après le théorème de trasfert appliqué au couple (X, Y ), o a : E[X + Y ] = (x + y)p[{x = x} {Y = y}] (x,y) {0,} 2 = (x + y)p[{x = x}]p[{y = y}], car X et Y sot idépedates (x,y) {0,} 2 = 0( p) 2 + [p( p) + ( p)p] + 2.p 2 = 2p E[XY ] = (xy)p[{x = x}]p[{y = y}] (x,y) {0,} 2 4. Par défiitio, = 0( p) p( p) +.p 2 = p 2. Cov(S, D) = E[SD] E[S]E[D] = E[(X + Y )XY ] 2p 3, d après la questio 2 = E[X 2 Y ] + E[Y 2 X] 2p 3 = E[X 2 ]E[Y ] + E[Y 2 ]E[X] 2p 3, car X et Y sot idépedates = 2p 2 2p 3 = 2p 2 ( p). Pour que les variables aléatoires soiet idépedates, il faut (mais il e suffit pas) que Cov(S, D) = 0 ; il faut doc que p = 0 ou p =. Or par hypothèse 0 < p <, les variables aléatoires S et D e sot doc pas idépedates. 4.5 Variables aléatoires réelles à desité 4.5. Défiitios Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé et soit X ue variable aléatoire défiie sur Ω à valeurs das R. Défiitio. La variable aléatoire X est dite à desité, s il existe ue foctio réelle positive p ayat qu u ombre fii de poits de discotiuité, telle que la foctio de répartitio de la loi de probabilité de X s écrit : t R, F X (t) = t p(x) dx. La foctio p est alors appelée desité de la loi de probabilité de X. Propriété. O a les propriétés suivates :. l applicatio p est itégrable sur R et + p(x) dx = ; 74

75 2. la foctio de répartitio F X est cotiue sur R ; 3. pour tout itervalle I de R, o réduit à u poit : + P[X I] = I I (x) p(x) dx = 4. pour tout réel t, P[X = t] = 0 ; I p(x) dx; 5. la foctio de répartitio est dérivable partout où p est cotiue et, e ces poits, F X = p. Remarque.. Toute applicatio positive p, cotiue sauf e u ombre fii de poits, telle que + p(x) dx existe et vaut est ue desité de probabilité sur R ; c est-à-dire qu il existe ue variable aléatoire X telle que, pour tout t R, F X (t) = P (X t) = t p(x) dx. 2. Soit X ue variable aléatoire de foctio de répartitio F X. Si l applicatio F X est cotiue sur R et C -par morceaux, alors X est ue variable aléatoire à desité, de desité égale à F X partout où elle est dérivable. 3. O parle de la desité de la loi d ue variable aléatoire, alors qu o devrait parler d ue desité. E effet, si l o modifie p e u ombre fii de poits e lui doat d autres valeurs positives, o obtiet ue autre desité Espérace et momets d ordres supérieurs Défiitio. Soit X ue variable aléatoire réelle à desité, de desité p. O dit que la variable aléatoire X est itégrable ou ecore qu elle admet ue espérace si l itégrale + x p(x) dx existe. Das ce cas, o défiit so espérace, otée E(X), par : E(X) = + x p(x) dx. Défiitio. Soit u etier aturel o ul. O dit que la variable aléatoire X admet u momet d ordre si la variable aléatoire X est itégrable. Das ce cas, so -ième momet est E(X ) par défiitio. Théorème 4. (Théorème de trasfert). Soit X ue variable aléatoire réelle. Alors X est ue variable aléatoire à desité, si et seulemet si il existe ue foctio positive p ayat qu u ombre fii de poits de discotiuité, telle que pour toute foctio φ cotiue borée de R das R, o a : E [φ(x)] = φ(x) p(x) dx. Das ce cas, la foctio p est la desité de la variable aléatoire X. Remarque. R. Lorsque la variable aléatoire φ(x) est itégrable, so espérace est ecore doée par φ(x)p(x) dx, même si φ est pas cotiue borée. R 2. Ce théorème doe ue autre caractérisatio des variables aléatoires à desité. O retrouve celle impliquat la foctio de répartitio e cosidérat les foctios idicatrices des itervalles ], t]. Nous e démotros pas l implicatio das l autre ses. 75

76 3. Grâce au théorème de trasfert, o déduit que X admet u momet d ordre si et seulemet si l itégrale R x p(x) dx existe. Si c est le cas, alors E(X ) = R x p(x) dx. (Voir exercice ci-dessous das le cas du momet d ordre 2). Remarque. Les propriétés éocées pour l espérace (liéarité, mootoie, etc.), la défiitio de la variace, l iégalité de Markov, Bieaymé-Tchébychev, restet valables das le cas des variables aléatoires à desité. Exercices Exercice 4.5. Soit X ue variable aléatoire réelle de desité p X. Détermier la desité de la variable aléatoire Y das les cas suivats :. Y = ax + b, où a et b sot des ombres réels, a 0 ; 2. Y = X 2 ; 3. Y = exp(x). Résoudre cet exercice de deux maières : e utilisat soit la foctio de répartitio, soit le théorème de trasfert. Exercice 4.6. Soit X ue variable aléatoire réelle de desité p X.. À l aide de la desité de X 2, traduire le fait que X admet u momet d ordre deux. Motrer alors que X admet u momet d ordre deux si et seulemet si l itégrale + x2 p X (x) dx existe. 2. O suppose que X admet u momet d ordre deux. Motrer, de deux faços différetes, que X admet ue espérace. Idicatio : pour l ue des méthodes, o utilisera l iégalité x + x 2. Solutios Solutio 4.5. Voici la résolutio e utilisat, soit la foctio de répartitio F Y de la variable aléatoire Y, soit la caractérisatio du Théorème 4.. Das la suite, ous otos φ ue foctio de R das R, cotiue, borée.. O se doe t R et o suppose a > 0, la preuve état aalogue das le cas où a < 0. Par défiitio : F Y (t) = P(Y t) = P(aX + b t), = P ( X t b ), (car a 0) a = t b a p X (x) dx. D autre part, d après le théorème de trasfert : E(φ(Y )) = E(φ(aX + b)), = + 76 φ(ax + b) p X (x) dx.

77 Soit ϕ la foctio défiie par : u R, ϕ(u) = u b t b a. Alors, lim ϕ(u) =, ϕ(t) = u a, lim ϕ(u) = +, ϕ est de classe u + C sur R, et : u R, ϕ (u) = a. Aisi, d après la formule du chagemet de variables : F Y (t) = E(φ(Y )) = t b a + p X (x) dx = t φ(u) p X (u b a (u b) p X a a du ) a du. O déduit de chacue des deux équatios, que Y ( est ue variable aléatoire à desité, de desité p Y, défiie par : u R, p Y (u) = p u b ) X a a. De maière géérale si a R, ( a 0 : u R, p Y (u) = p u b ) X a a. 2. Soit t R, alors par défiitio : F Y (t) = P(Y t) = P(X 2 t). Aisi F Y (t) = 0 si t 0. Soit t > 0. Alors, F Y (t) = P( X t) = P( t X t), = = 0 t t 0 p X (x) dx + t (p X ( x) + p X (x))dx. D autre part d après le théorème de trasfert : E(φ(Y )) = E(φ(X 2 )) = = p X (x) dx, φ(x 2 ) p X (x) dx φ(x 2 )(p X ( x) + p X (x))dx. Soit ϕ la foctio défiie par : u [0, + [, ϕ(u) = u. Alors ϕ(0) = 0, ϕ(t) = t, lim ϕ(u) = +, ϕ est de classe C sur ]0, + [, et : u ]0, + [, ϕ (u) = u + 2 u. Aisi, d après la formule du chagemet de variables, pour tout t > 0 : F Y (t) = E(φ(Y )) = t t (p X ( x) + p X (x))dx = (p X ( u) + p X ( u)) 0 2 u du, φ(u)(p X ( u) + p X ( u)) 2 u du. La foctio de répartitio et l espérace peuvet se réécrire : t R, F Y (t) = E(φ(Y )) = t + I ]0,+ [ (u)(p X ( u) + p X ( u)) 2 u du, φ(u) I ]0,+ [ (u)(p X ( u) + p X ( u)) 2 u du, d où o déduit, de chacue des deux équatios que Y est ue variable aléatoire à desité, de desité p Y, défiie par : u R, p Y (u) = I ]0,+ [ (u)(p X ( u) + p X ( u)) 2 u. 77

78 3. Soit t R, alors par défiitio : F Y (t) = P(Y t) = P(exp(X) t). Aisi, F Y (t) = 0 si t 0. Soit t > 0, alors : F Y (t) = P(X l t) = D autre part, d après le théorème de trasfert, E(φ(Y )) = E(φ(exp(X))) = l t + p X (x) dx. φ(exp(x)) p X (x) dx. Soit ϕ la foctio défiie par : u ]0, + [, ϕ(u) = l u. Alors, lim ϕ(u) =, ϕ(t) = u 0 l t, lim ϕ(u) = +, ϕ est de classe u + C sur ]0, + [ et : u ]0, + [, ϕ (u) = u. Aisi, d après la formule du chagemet de variables : F Y (t) = E(φ(Y )) = l(t) + 0 p X (x) dx = t φ(u) p X (l u) u du. 0 p X (l u) u du, La foctio de répartitio et l espérace peuvet doc s écrire : t R, F Y (t) = E(φ(Y )) = t + I ]0,+ [ (u) p X (l u) u du, φ(u) I ]0,+ [ (u)p X (l u) u du. O déduit de chacue des deux équatios que Y est ue variable aléatoire à desité, de desité p Y défiie par : u R, p Y (u) = I ]0,+ [ (u) p X (l u) u. Solutio D après la défiitio, X admet u momet d ordre 2 si et seulemet si la variable aléatoire Y = X 2 est itégrable. Nous avos motré à l exercice que Y est ue variable aléatoire à desité, de desité p Y (y) = I ]0, [ (y)(p X ( y) + p X ( y) 2 y. Aisi, par défiitio Y est itégrable ssi l itégrale R y p Y (y) dy est covergete. D après le chagemet de variable effectué das l exercice ous savos que cette itégrale est covergete ssi l itégrale R x2 p X (x) dx est covergete. 2. Si X admet u momet d ordre 2, alors d après la questio l itégrale R x2 p X (x) dx est covergete. De plus, p X état ue desité de probabilité, l itégrale R p X(x)dx est covergete et par suite R (x2 + )p X (x)dx l est. De l iégalité 0 x < x 2 +, ous déduisos par ecadremet que l itégrale R x p X(x)dx est covergete, autremet dit que X est itégrable (admet ue espérace). L autre méthode est celle qui a déjà été traitée das la Sectio Exemples de variables aléatoires à desité Loi de Gauss ou loi ormale Défiitio. Ue variable aléatoire réelle X suit ue loi de Gauss ou loi ormale cetrée réduite si elle admet pour desité l applicatio p X défiie sur R par : x R, p X (x) = e x2 2. 2π 78

79 Plus gééralemet, o défiit la loi de Gauss ou loi ormale, de moyee m et de variace σ 2, σ 2 > 0, otée N (m, σ 2 ), comme la loi d ue variable aléatoire X de desité défiie sur R par : x R, p X (x) = (x m)2 e 2σ 2. 2πσ 2 Exercices Exercice 4.7. Soit X ue variable aléatoire de loi ormale cetrée réduite.. Démotrer que pour tout k N, l itégrale + 0 x k e x 2 dx est covergete. E déduire que la variable aléatoire X admet des momets de tout ordre. 2. Démotrer que l applicatio x p X (x) = 2π e x2 2 est bie ue desité de probabilité sur R. 3. Motrer que X admet 0 comme espérace et comme variace. 4. Motrer que la variable aléatoire Y = σx +m, suit ue loi ormale N (m, σ 2 ). E déduire que Y admet des momets de tout ordre, m comme espérace et σ 2 comme variace. 2 Remarque. La loi ormale cetrée réduite a ue grade importace e théorie des probabilités, car elle apparaît comme limite das certais théorèmes, comme le théorème cetral limite. Nous avos motré que si X suit ue loi ormale N (0, ), alors Y = σx + m suit ue loi N (m, σ 2 ). De maière aalogue, si Y suit ue loi N (m, σ 2 ), alors X = Y m σ suit ue loi N (0, ). La foctio de répartitio de X e se calcule pas à l aide des foctios usuelles. Si o ote Π la foctio de répartitio de la loi gaussiee cetrée réduite, des tables doet des valeurs approchées de Π(t) pour t > 0 (voir à la fi de cette première partie). E remarquat que : Π(t) + Π( t) = o peut e déduire des valeurs approchées de Π(t) pour les valeurs égatives de t. Exercice 4.8. Soit X ue variable aléatoire gaussiee de moyee m et de variace σ 2.. Expliciter à l aide de la foctio Π la quatité P [X [m kσ, m + kσ]], k > E doer ue valeur approchée lorsque k =, k = 2, k = 3, k = Motrer que, si m 4σ > 0, la probabilité que X soit égative est iférieure à E déduire ue coditio pour que l o puisse raisoablemet modéliser u phéomèe positif (durée de vie, poids, logueur,...) par ue variable gaussiee. Solutios Solutio Comme la foctio x x k e x2 2 est cotiue sur R, elle est localemet itégrable. Aisi, pour tout réel M > 0, l itégrale M 0 x k e x 2 2 dx est bie défiie. De plus, ous savos qu e, la foctio x e x2 2 ted vers 0 plus vite que tout polyôme, e particulier lim x + xk+2 e x 2 2 = 0. Ceci implique qu il existe u réel M > 0 79

80 tel que pour tout x M, x k e x2 2 x 2. De l itégrabilité de x 2 sur [M, + [, o déduit l itégrabilité de x k e x2 2 sur [M, + [. O e déduit que l itégrale M x k e x2 2 dx + x k e x2 2 dx = M 0 x k e x2 2 dx, est covergete. La variable aléatoire X admet u momet d ordre k si l itégrale 2π R x k e x 2 2 dx est covergete. Par parité et e omettat la costate multiplicative, la covergece de cette itégrale est équivalete à la covergece de l itégrale + 0 x k e x 2 2 dx. Nous veos de motrer que c est effectivemet le cas et déduisos doc que X admet des momets de tout ordre. 2. L applicatio p X est positive et cotiue sur R. D après la questio précédete avec k = 0, ous savos égalemet que p X est itégrable sur R. Afi de motrer que p X 2 est ue desité de probabilité, ils ous reste à prouver que 2 2π dx =. De R e x maière équivalete, ous prouvos que ( x2 R e 2 dx ) 2 = 2π. D après le théorème de Fubii-Toelli : ( e x2 2 dx e y2 2 dy = 2 dx dy. R e x2 2 dx ) 2 = R R e x 2 +y 2 R 2 Soit ϕ : R + ]0, 2π[ R 2 \ {(0, 0)}, le chagemet de variables défii par ϕ(r, θ) = (r cos θ, r si θ). Alors ϕ est difféomorphisme C, et det(j ϕ (r, θ)) = r. D après le théorème de chagemet de variables et Fubii-Toelli, R 2 e x 2 +y 2 2 dx dy = + 2π re r2 2 dr dθ = 2π r e r2 2 dr = 2π. 3. Nous avos déjà motré que la variable aléatoire X admet des momets de tout ordre. Aisi, elle admet ue espérace qui vaut : E(X) = x p(x) dx. R État doé que la foctio que l o itègre est impaire, o déduit immédiatemet que, E(X) = 0. La variable aléatoire X admet aussi ue variace, et vu qu elle est d espérace ulle, cette variace est doée par E(X 2 ). Aisi : Var(X) = R x 2 p(x) dx = 2 + 2π 0 0 x 2 e x2 2 dx, (par parité). Soit A > 0. Au moye d ue itégratio par partie, e posat pour tout x R +, u(x) = x et v (x) = xe x2 2, o obtiet : 2 A 2π 0 x 2 e x2 2 dx = [ 2 Comme, lim A + Ae A 2 = 0 et lim 2 A + xe x2 2 2π ] A = 2 2π Ae A A 2π 0 e x A 2π 2π A 0 0 e x2 2 dx e x2 2 dx 2 dx =, o déduit que Var(X) =.

81 4. Soit X ue variable aléatoire qui suit ue loi ormale N (0, ). Supposos σ > 0. Alors, d après l exercice 4.5, la variable aléatoire Y = σx + m, admet pour desité et doc Y suit ue loi ormale N (m, σ 2 ). De l iégalité Y k (σ X + m ) k = k (x m) p Y (x) = p X σ σ = (x m)2 e 2σ 2, 2πσ 2 i=0 momets de Y de l existece de ceux de X. De plus : ( k i ) σ i X i m k i, ous déduisos l existece des E(Y ) = σe(x) + m = m Var(Y ) = σ 2 Var(Y ) = σ 2. Solutio Soit k > 0, et supposos σ > 0. Nous savos que X m σ suit ue loi ormale cetrée réduite, d où : ( P(m kσ X m + kσ) = P k X m ) k σ 2. De la questio précédete, ous déduisos : = Π(k) Π( k) = 2Π(k), (car Π( k) + Π(k) = ). P(m σ X m + σ) = 2Π() = 2 0, 843 = 0, 6826 P(m 2σ X m + 2σ) = 2Π(2) = 2 0, 9772 = 0, 9544 P(m 3σ X m + 3σ) = 2Π(3) = 2 0, = 0, 9973 P(m 4σ X m + 4σ) = 2Π(4) = 2 0, = 0, Si m 4σ > 0, alors : P(X 0) P(m 4σ X m + 4σ) = (2Π(4) ) = 2( Π(4)). D où, P(X 0) 2( 0, ) = 0, Ue coditio raisoable est que m 4σ > 0. E effet, das ce cas, la probabilité que la loi gaussiee de moyee m et variace σ 2 est égative est iférieure à 0 4, c est-à-dire égligeable. Loi uiforme Défiitio. Soit I = [a, b] u itervalle de R, où a < b. La variable aléatoire X suit la loi uiforme sur I si elle est à valeurs das I et pour tout itervalle J iclus das I, la probabilité que X appartiee à J est proportioelle à la logueur de J. Comme la variable aléatoire X est à valeurs das [a, b], pour tout t < a, P(X t) = 0 et pour tout t b, P(X t) =. Soit maiteat t [a, b], alors P(X t) = P(X [a, t]). Par 8

82 défiitio, il existe ue costate c > 0 telle que, P(X [a, t]) = c(t a). De plus, comme X est à valeurs das [a, b], P(X [a, b]) = c(b a) =, d où c = b a. Aisi, pour tout t R : 0 si t a F X (t) = t a b a si t [a, b[, si t b autremet dit, pour tout t R, F X (t) = t b a I [a,b](u)du. État doé que l applicatio x p X (x) = b a I [a,b](x) est positive et cotiue sauf e u ombre fii de poits, o déduit que la variable aléatoire X admet comme desité p X. De plus, si X admet pour desité p X, o motre facilemet qu elle suit ue loi uiforme au ses de la défiitio. O e déduit doc le corollaire suivat. Corollaire 4.2. La variable aléatoire X suit la loi uiforme sur l itervalle I = [a, b] si et seulemet si elle admet pour desité l applicatio p X défiie par : x R, p X (x) = b a I [a,b](x). Exercice 4.9. Soit X ue variable aléatoire de loi uiforme sur l itervalle [a, b]. Motrer que X admet des momets de tout ordre. Calculer so espérace et sa variace. Solutio 4.9. La variable aléatoire X état borée par 0 et max{ a, b }, elle admet des momets de tout ordre. Aisi, e utilisat la défiitio de l espérace et de la variace, ous déduisos : Loi expoetielle E(X) = E(X 2 ) = + = a + b 2 + x b a I [a,b](x) dx x 2 b a I [a,b](x) dx = b3 a 3 3(b a) = a2 + ab + b 2 3 Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = (a b)2. 2 Défiitio. La variable aléatoire X suit ue loi expoetielle de paramètre λ > 0, si elle admet pour desité l applicatio p X défiie par : x R, p X (x) = I [0,+ [ (x) λ e λx. Exercice Soit X ue variable aléatoire de loi expoetielle de paramètre λ > 0.. Vérifier que l applicatio x p X (x) = I [0,+ [ (x)λe λx est bie ue desité de probabilité sur R. 2. Motrer que pour tout etier aturel, la variable aléatoire X admet u momet d ordre et que : E[X ] =! λ, de sorte que E(X) = λ, Var(X) = λ 2. 82

83 3. Motrer que sa foctio de répartitio est, pour tout t R : Exercice 4.2. Loi sas mémoire F X (t) = I [0,+ [ (t) ( e λt ). Soit X ue variable expoetielle de paramètre λ > 0. Motrer que, pour tous ombres réels positifs s et t : P {X>s} [X > s + t] = P[X > t]. Cette propriété traduit le fait que les variables aléatoires expoetielles sot sas mémoire. Par exemple, la probabilité qu u évéemet se produise après l istat s + t sachat qu il e s est pas produit jusqu à l istat s est la même que la probabilité qu il se passe après l istat t. La propriété de sas mémoire caractérise e fait les lois expoetielles (parmi les lois à desité). Pour cette raiso, elles modéliset souvet des durées de vie (d u atome radioactif par exemple), des temps d attete. Elle est aussi itimemet liée à la loi de Poisso. L aalogue das le cas discret est la loi géométrique. Solutio L applicatio p est positive et cotiue sauf e 0. Nous devos doc motrer que l itégrale R p(x)dx = + 0 p(x)dx est covergete et vaut. De la cotiuité sur [0, + [, ous déduisos que p est localemet itégrable sur [0, + [. Aisi pour tout A > 0 : Comme A 0 λe λx dx = [ e λx] A lim A + e λa = 0, ous pouvos coclure : R p(x)dx = A lim A = e λa. λ e λx dx =. 2. Pour tout N, défiissos la propriété P() : la variable aléatoire X admet u momet d ordre et E(X ) =! λ. D après la questio, ous savos que P(0) est vraie. Supposos que pour u etier N, la propriété P() soit vraie. La variable aléatoire X admet u momet d ordre + si l itégrale + 0 x + λ e λx dx est covergete. L applicatio x x + λ e λx état cotiue sur [0, + [, elle est localemet itégrable sur cet itervalle. Au moye d ue itégratio par partie, e posat pour tout x [0, + [, u(x) = x +, v (x) = λe λx, ous obteos, pour tout A > 0 : A 0 x + λ e λx dx = [ x + e λx] A + ( + ) 0 = A + e λa + ( + ) λ A 0 A 0 x e λx dx x λe λx dx. A Par hypothèse de récurrece, ous savos que lim A + 0 x λ e λx dx =! λ. De plus, lim A + A+ e λa = 0. Aisi, ous déduisos que l itégrale + 0 x + λ e λx dx est covergete et que : E(X + ) = A lim A + 0 x + λe λx dx = ( + ) λ! ( + )! = λ λ +, 83

84 et la propriété P( + ) est vraie. O a doc motré que la propriété est vraie au rag iitial et héréditaire. Du pricipe de raisoemet par récurrece o e déduit que, pour tout N, la propriété P() est vraie. 3. Par défiitio, pour tout t R : F X (t) = = t t = I [0,+ [ (t) p X (x) dx I [0,+ [ (x) e λx dx t 0 e λx dx = I [0,+ [ (t) ( e λt ). Solutio 4.2. Pour tout s > 0, t > 0 : P(X > s) = e λs > 0, doc o peut coditioer par cet évéemet, et : P {X>s} [X > s + t] = P[{X > s} {X > s + t}] P[X > s] = e λt = P[X > t]. = e λ(s+t) e λs Loi de Cauchy Défiitio. La variable aléatoire X suit ue loi de Cauchy stadard si elle admet pour desité l applicatio p X défiie par : x R, p X (x) = π ( + x 2 ). Remarque. Si la variable aléatoire X suit ue loi de Cauchy stadard, elle est pas itégrable. E effet, x p X (x) π x au voisiage de l ifii, et x x est pas itégrable à l ifii (critère de Riema avec α = ). La variable aléatoire X admet doc pas d espérace i de momet d ordre deux. La loi de Cauchy apparaît comme la loi d ue variable aléatoire qui est le quotiet de variables aléatoires ormales cetrées idépedates, de même variace (voir exercice 4.23). L iverse d ue variable aléatoire qui suit ue loi de Cauchy suit égalemet ue loi de Cauchy. Exercice Soit X ue variable aléatoire de loi de Cauchy stadard. Détermier la foctio de répartitio de :. la variable aléatoire X, 2. la variable aléatoire Y =. La variable aléatoire Y admet-elle ue espérace? X2 Solutio La foctio de répartitio F X de la variable aléatoire X est défiie, pour tout ombre réel t, par : F X (t) = t dx π ( + x 2 ) = t lim a a arcta t arcta a = lim = arcta t a π π 84 dx π ( + x 2 ) = [ ] t lim a π arcta x a π ( π 2 ) = 2 + arcta t. π

85 2. La variable aléatoire Y état positive, F Y (t) = 0 pour tout t 0. Soit doc t > 0. [ ] [ ] F Y (t) = P[Y t] = P X 2 t = P t X2 (car t > 0) [ = P X 2 < ] = P [ t < X < ] t t ( ) ( = F X π + F X ), car X est à desité π ) = 2 arcta t + arcta ( t π 2 + π = 2 arcta t π L applicatio F Y est cotiue sur R, et C e tout poit sauf e 0. Doc, Y admet ue desité p Y doée par : p Y (t) = { 0 si t 0; π t t + t = π t (+t) si t > 0. La variable aléatoire Y admet ue espérace si et seulemet si l itégrale + y p Y (y) dy existe, i.e. si et seulemet l itégrale + x 0 +x dx existe. Or, si A > 0, A x A + x dx = 2y 2 + y 2 dy, e posat y = x, 0 = 0 A 0 (2 2 + y 2 ) dy A = [2y 2 arcta y] 0 = 2 A 2 arcta A. Lorsque A ted vers +, 2 arcta A ted vers π de sorte que A x 0 +x dx ted vers +. Aisi, Y admet pas d espérace. Repredre l exercice e utilisat le théorème de trasfert pour détermier la desité de Y. 4.6 Couples de variables aléatoires à desité Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé et soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires défii sur Ω à valeurs das R Défiitios Défiitio. Le couple aléatoire (X, Y ) est dit à desité, s il existe ue applicatio réelle positive p défiie sur R 2, suffisammet régulière, telle que pour tout bo sous-esemble B de R 2 (i.e. tel que {(X, Y ) B} A) o ait : P[(X, Y ) B] = I B (x, y) p(x, y) dx dy = p(x, y) dx dy. R 2 B 85

86 L applicatio p est alors appelée la desité de la loi de probabilité du couple (X, Y ). Remarque. Toute applicatio positive p défiie sur R 2, suffisammet régulière, telle que R 2 p(x, y)dx dx existe et vaut, est ue desité de probabilité sur R 2. Il est difficile de doer ue défiitio mathématique précise d ue desité de probabilité sur R 2 avec les outils au programme du CAPES. C est pourquoi ous parlos de foctio suffisammet régulière. L exemple classique de desité de probabilité sur R 2 est celui où l applicatio p est cotiue sur u domaie boré D et ulle e dehors, comme das l exemple qui suit. Exemple. (Loi uiforme sur ue partie borée de R 2 ). Soit D ue partie borée de R 2 dot o peut calculer l aire A(D) supposée strictemet positive (par exemple, le disque uité). Le couple (X, Y ) suit la loi uiforme sur D si, pour toute partie A de R 2 icluse das D et dot o peut calculer l aire, la probabilité que (X, Y ) appartiee à A est proportioelle à l aire de A. De maière aalogue au cas uidimesioel, o peut motrer que le couple (X, Y ) suit la loi uiforme sur D, si et seulemet si il admet pour desité l applicatio p défiie, pour tout (x, y) R 2, par : { A(D), si (x, y) D, p(x, y) = 0, si (x, y) / D. Le théorème de caractérisatio de la desité d ue variable aléatoire réelle à desité se gééralise de la faço suivate. Théorème 4.3 (Théorème de trasfert). Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires réelles. Alors le couple (X, Y ) est u couple de variables aléatoires à desité, si et seulemet si il existe ue applicatio positive p défiie sur R 2, suffisammet régulière, telle que pour toute foctio ψ cotiue borée de R 2 das R, o a : E [ψ(x, Y )] = ψ(x, y) p(x, y) dx dy. R 2 L applicatio p est la desité du couple (X, Y ). Remarque.. E toute rigueur, o devrait là ecore parler d ue desité de probabilité du couple (X, Y ). 2. Si ψ : R 2 R est telle que la variable aléatoire ψ(x, Y ) est itégrable, alors so espérace est égale à R 2 ψ(x, y) p(x, y) dx dy (que ψ soit cotiue borée ou o). Propositio 4.2 (Desités margiales). Coaissat la desité p X,Y retrouve les desités dites margiales de X et Y par : pour tout x R, p X (x) = p X,Y (x, y) dy, pour tout y R, p Y (y) = Exercice. Démotrer la propositio 4.2. R R p X,Y (x, y) dx. du couple (X, Y ), o 86

87 4.6.2 Variables aléatoires à desité idépedates Défiitio. Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires à desité. O dit que les variables aléatoires X et Y sot idépedates, si pour tout sous-esembles A et B de R tels que {X A} A, {Y B} A, les évéemets {X A} et {Y B} sot idépedats, c est-àdire : P({X A} {Y B}) = P({X A})P({Y B}). Propositio 4.3. Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires réelles à desité sur R 2. Les assertios suivates sot équivaletes :. les variables aléatoires X et Y sot idépedates ; 2. le couple (X, Y ) admet ue desité de probabilité p X,Y de la forme : (x, y) R 2, p X,Y (x, y) = p X (x)p Y (y). 3. pour toutes foctios F et G de R das R telles que F (X) et G(Y ) soiet itégrables et telles que le produit F (X)G(Y ) est itégrable, o a : E[F (X)G(Y )] = E[F (X)]E[G(Y )] ; Remarque. Lorsque la desité du couple (X, Y ) s écrit : (x, y) R 2, p X,Y (x, y) = f(x)g(y), il existe ue costate c o ulle telle que x R, p X (x) = c f(x) et y R, p Y (x) = c g(y). Exercices Exercice Soiet N et N 2 deux variables aléatoires gaussiees cetrées réduites idépedates. Détermier la foctio de répartitio F C de la variable aléatoire C = N N 2. E déduire que C suit ue loi de Cauchy stadard. Exercice Soiet X et X 2 deux variables aléatoires idépedates qui suivet ue loi expoetielle de paramètres λ et λ 2 respectivemet. Détermier la loi de Z = mi(x, X 2 ). Solutios Solutio Les variables aléatoires N et N 2 état idépedates, le couple (N, N 2 ) admet pour desité : (x, y) R 2, p(x, y) = p N (x)p N2 (y) = 2 e y2 2. 2π e x 2 Calculos la foctio de répartitio de la variable aléatoire C. Soit t R, alors : [ ] N F C (t) = P(C t) = P N 2 t = P[(N, N 2 ) B], où B = {(x, y) R 2 : = I { x R 2 y t} p(x, y)dx dy = I { x R 2 y t} 2π e x 2 2 e y2 2 dx dy. 87 x y t}

88 Grâce au théorème de Fubii (l itégrale double existe et o itègre ue quatité positive) : F C (t) = 2π + e y2 2 ( + I {x y t} e x2 2 dx ) dy À y fixé, o fait le chagemet de variable x = u y das l itégrale e x. Il s esuit : F C (t) = + ( + ) e y2 2 y I 2π {u t} e u2 y 2 2 du dy = t ( + ) y e (+u2 ) y 2 2 dy du, 2π e utilisat à ouveau le théorème de Fubii. Par parité, si λ > 0, + + y e λy2 2 dy = 2 0 ye λy2 2 dy. Or A 0 [ ye λy2 2 dy = ] A λy2 e 2 = λ 0 puis F C (t) = t 2π λa 2 e 2, d où λ 2 t + u 2 du = + π( + u 2 ) du. y e λy2 2 dy = 2 λ, O e déduit que la variable aléatoire C admet pour desité l applicatio p C défiie pour tout ombre réel u par p C (u) = π ( + u 2 ). O recoaît que C suit ue loi de Cauchy stadard. O aurait aussi pu utiliser u chagemet de variables e coordoées polaires. Retrouver ce résultat e utilisat le théorème de trasfert. Solutio Soit t R, calculos P(Z > t). Si t 0, P(Z t) =. Supposos doc t 0. P(Z > t) = P(mi(X, X 2 ) > t) = P({X > t} {X 2 > t}) = P(X > t)p(x 2 > t}), les variables aléatoires X et X 2 sot idépedates = e λ t e λ 2t. Aisi, pour tout t R : P(Z t) = P(Z > t) = I ],0] (t)( e (λ +λ 2 )t ), d où o déduit que Z = mi(x, X 2 ) suit ue loi expoetielle de paramètre λ + λ 2. Remarque. E raisoat par récurrece o peut motrer que si X,, X sot variables aléatoires idépedates de loi expoetielle de paramètres λ,, λ respectivemet, alors la variable aléatoire mi(x,, X ) suit ue loi expoetielle de paramètre λ + + λ. Propositio 4.4. Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates de desités respectives p X et p Y. La variable aléatoire X + Y admet ue desité p X+Y sur R égale à : t R, p X+Y (t) = p X (s) p Y (t s) ds. (4.) La desité p X+Y s appelle le produit de covolutio de p X et p Y. R 88

89 Démostratio. Les variables aléatoires X et Y état idépedates, la desité du couple (X, Y ) est : (x, y) R 2, p X,Y (x, y) = p X (x)p Y (y). Posos Z = X + Y et calculos la foctio de répartitio de Z. Soit t R. Alors, F Z (t) = P(Z t) = P(X + Y t) = I {x+y t} p X (x)p Y (y)dx dy, par défiitio et idépedace R 2 ( ) = p X (x) I {x+y t} p Y (y)dy dx, d après le théorème de Fubii. R R À x fixé, o effectue le chagemet de variables u = x + y. Il s esuit : ( t ) F Z (t) = p X (x) p Y (u x)du dx, = R t ( p X (x)p Y (u x)dx R ) du, d après le théorème de Fubii. O e déduit que la variable aléatoire X + Y admet pour desité (4.). Exercices Exercice Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates de lois gaussiees de moyees respectives m et m 2, et de variaces respectives σ 2 et σ2 2. Alors X + Y suit ue loi gaussiee de moyee m + m 2, et de variace σ 2 + σ2 2. Remarque. E raisoat par récurrece, o peut motrer que si X,, X sot variables aléatoires gaussiees idépedates de moyee m,, m et variace σ 2,, σ2 respectivemet, alors X k suit ue loi gaussiee de paramètres ( m k, σk 2 ). Ce résultat est idispesable pour le cours de statistique. Exercice Soit N ue variable aléatoire gaussiee cetrée réduite. Motrer que la variable aléatoire Y = N 2 admet pour desité l applicatio p Y défiie par : t R, p Y (t) = I [0,+ [ (t) t 2 e t 2. 2π O dit que Y suit ue loi du khi-deux à degré de liberté. Remarque. Si N,, N d sot d variables aléatoires gaussiees cetrées réduites idépedates, alors Y d = doée par : d i= X 2 i suit ue loi du khi-deux à d degrés de liberté, dot la desité p Yd est t R, p Yd (t) = I [0,+ [ (t) 2 d 2 Γ ( )t d 2 e t 2 d. 2 La foctio Γ s appelle la foctio gamma et est défiie pour tout t R + par : Γ(t) = Elle satisfait aux propriétés suivates : x t e x dx.

90 (a) t R +, Γ(t + ) = t Γ(t), (b) N, Γ() = ( )!, (c) Γ( 2 ) = π. U des problèmes que ous étudieros e M2 portera sur ce sujet. Le mettre e aexe? 2. Soit la variable aléatoire T d = N d Y d où N et Y d sot idépedates. O suppose que N est ue gaussiee cetrée réduite et que Y d suit la loi du khi-carré à d degrés de liberté (d ). Détermier la desité p Td de T d. O dit que T d suit la loi de Studet à d degrés de liberté. O peut motrer que pour tout x réel, la limite de p Td (x) lorsque d ted vers + est la desité d ue gaussiee cetrée réduite évaluée e x. Solutios Solutio Avec ce que ous avos vu précédemmet, motrer que X + Y suit ue loi gaussiee N (m + m 2, σ 2 + σ2 2 ), il est équivalet de motrer que X+Y m m 2 suit ue loi gaussiee cetrée réduite. O peut écrire σ 2 +σ 2 2 X + Y m m 2 σ 2 + σ 2 2 = X m σ 2 + σ2 2 + Y m 2, σ 2 + σ2 2 doc il suffit de motrer que si X et Y sot deux variables aléatoires idépedates, gaussiees de loi N (0, a 2 ) et N (0, b 2 ) respectivemet, telles que a 2 + b 2 = (a > 0, b > 0), alors X + Y suit ue loi gaussiee cetrée réduite. Calculos la desité de X + Y ; pour tout réel t : p X +Y (t) = p X (s)p Y (t s) ds R = 2πab = 2πab R R = e t 2 (a 4 a 2 ) 2(ab) 2 2πab = e t 2 2 2π R e s2 2a 2 e (t s)2 2b 2 ds = 2πab e s2 2sta 2 +a 2 t 2 2a 2 b 2 ds, (car a 2 + b 2 = ) R e (s a2 t) 2 2a 2 b 2 ds R e (bs)2 +[a(t s)] 2 2a 2 b 2 ds e (s a2 t) 2 2a 2 b 2 ds (car a 4 a 2 = a 4 a 2 [a 2 + b 2 ] = a 2 b 2 ) 2πab = 2π e t2 2, (desité d ue gaussiee N (a 2 t, (ab) 2) ). d où o déduit que X + Y suit ue loi gaussiee de moyee 0 et de variace. Solutio D après l exercice, ous savos que Y admet la desité p Y défiie pour tout t R par : p Y (t) = I [0,+ [ (t) 2 t (p X ( t) + p X ( t)). E remplaçat p X par la desité de la loi gaussiee cetrée réduite, et e utilisat le fait qu elle soit symétrique par rapport à 0, ous obteos : p Y (t) = I [0,+ [ (t) t 2 e t 2. 2π 90

91 2. Calculos la foctio de répartitio de la la variable aléatoire T d. Soit t R : ( d ) P(T d t) = P N t Y d = P[(N, Y d ) B], où B = {(x, y) R 2 d : x y t} = p N (x)p Yd (y)dx dy, car les v.a. N et Y d sot idépedates B ( + t y ) d = p Yd (y) p N (x)dx dy, d après le théorème de Fubii = = = = d+ 2 2 Γ ( d 2 ( d ) p Yd (y)p y N t dy ( t p Yd (y) ) πd t d+ 2 2 Γ ( d 2 ) πd t e x2 y 2d y dx )dy, car 2πd ( + 0 ( 2d x 2 + d d (0, y N suit ue loi N d y ) e y x2 +d d 2d y 2 dy dx, d après le théorème de Fubii ) d+ 2 ( + 0 ) e u u d+ 2 du dx, avec le chagemet de variables, u = x2 + d 2d y = Γ ( ) d+ t ( ) d+ 2 d Γ ( 2 + ) d 2 πd x 2 dx, car e u u d+ 2 du = Γ + d 0 Aisi, o déduit que la variable aléatoire T d admet pour desité : x R, p Td (x) = Γ ( ) d+ ( 2 d Γ ( ) d 2 πd x 2 + d ) ( d + Remarque. Les défiitios de covariace, matrice de covariace aisi que leurs propriétés et l iégalité de Cauchy-Schwartz, restet valables das le cas des variables aléatoires à desité. ) d ). 9

92 Table de Gauss t R, Π(t) = t 2π exp( x2 2 ) dx Valeurs approchées à 0 4 près. t 0, 00 0, 0 0, 02 0, 03 0, 04 0, 05 0, 06 0, 07 0, 08 0, 09 0, 0 0, , , , 520 0, 560 0, 599 0, , , 539 0, , 0, , , , 557 0, , , , , 574 0, , 2 0, , , 587 0, 590 0, , , , , 603 0, 64 0, 3 0, 679 0, 627 0, , , 633 0, , , , , 657 0, 4 0, , 659 0, , , , , , , , , 5 0, 695 0, , , 709 0, , , 723 0, 757 0, 790 0, , 6 0, , , , , , , , , 757 0, , 7 0, , 76 0, , , , , , , , , 8 0, 788 0, 790 0, , , , , 805 0, , 806 0, 833 0, 9 0, 859 0, 886 0, 822 0, , , , 835 0, , , 8389, 0 0, 843 0, , 846 0, , , 853 0, , , , 862, 0, , , , , , , , , 880 0, 8830, 2 0, , , , , , , , , , 905, 3 0, , , , , , 95 0, 93 0, 947 0, 962 0, 977, 4 0, 992 0, , , , 925 0, , , , , 939, 5 0, , , , , , , , 948 0, , 944, 6 0, , , , , , , 955 0, , , 9545, 7 0, , , , , 959 0, , , 966 0, , 9633, 8 0, 964 0, , , , 967 0, , , , , 9706, 9 0, 973 0, 979 0, , , , , , , 976 0, , 0 0, , , , , , , , , 982 0, 987 2, 0, 982 0, , , , , , , , , , 2 0, 986 0, , , 987 0, , , 988 0, , , , 3 0, , , , 990 0, , , , 99 0, 993 0, 996 2, 4 0, 998 0, , , , , , 993 0, , , , 5 0, , , 994 0, , , , , , 995 0, , 6 0, , , , , , , 996 0, , , , 7 0, , , , , , , 997 0, , , , 8 0, , , , , , , , , , 998 2, 9 0, 998 0, , , , , , , , , 9986 Cas des grades valeurs de t t 3, 0 3, 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 3, 8 4, 0 4, 5 Π(t) 0, , , , , , , , , ,

93 4.7 Suites de variables aléatoires réelles Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires cosidérées das ce paragraphe sot défiies sur Ω, à valeurs réelles, discrètes ou à desité. Défiitio. Soit (X ) ue suite de variables aléatoires. O dit que la suite (X ) coverge e probabilité vers la variable aléatoire X si : ε > 0, lim P[ X X > ε] = 0. + Das ce cas, o ote : X P + X. Propositio 4.5. Soit (X ) ue suite de variables aléatoires covergeat e probabilité vers X, et soit f ue foctio cotiue défiie sur R.. La suite (f(x )) coverge e probabilité vers f(x). 2. Si de plus f est borée, o a : lim + E[f(X )] = E[f(X)] Loi faible des grads ombres Théorème 4.4 (Loi faible des grads ombres.). Soit (X ) ue suite de variables aléatoires idépedates et de même loi. O suppose que ces variables sot de carré itégrable, d espérace commue m. Alors la suite coverge e probabilité vers m. ( X k ) Démostratio. Notos m l espérace et σ 2 la variace commue des variables aléatoires X k, k. Rappelos l iégalité de Bieaymé-Tchebychev. Si Z est ue variable aléatoire de carré itégrable, alors pour tout a > 0 : P[ Z E[Z] > a] Var(Z) a 2. Soit ε > 0 et défiissos Z = X k. Alors la variable aléatoire Z est de carré itégrable car somme fiie de variables aléatoires de carré itégrable. De plus : [ ] E[Z] = E X k = E[X k ] = m, par liéarité de l espérace [ ] Var[Z] = Var X k = [ ] 2 Var X k = 2 Var[X k ] = σ2, car les variables X k sot idépedates. E appliquat l iégalité de Bieaymé-Tchebychev à Z, o obtiet : [ ] ) 0 P X ( k m > ε σ2 ε 2. 93

94 D après le théorème d ecadremet, pour tout ε > 0 : [ ] ) lim P X + ( k m > ε = 0, et o e déduit que la suite Remarque. ( ) X k coverge e probabilité vers m.. O peut démotrer que ce résultat reste vrai si o suppose seulemet les variables aléatoires itégrables (au lieu de carré itégrable). 2. La loi faible des grads ombres et la otio de covergece e probabilité e semblet plus être explicitemet au programme du cocours du CAPES. Néamois, les programmes de classe de première S proposet u éocé vulgarisé de la loi des grads ombres : pour ue expériece doée, das le modèle défii par ue loi de probabilité P, les distributios des fréqueces obteues sur des séries de taille se rapprochet de P quad deviet grad. Il vaut mieux coaître la théorie pour pouvoir expliquer ce que cela veut dire Il existe égalemet ue versio forte de la loi des grads ombres. Exemple. Cosidéros ce que l o pourrait appeler u schéma de Beroulli de paramètres et p, i.e. ue expériece qui cosiste à répéter idéfiimet ue même expériece admettat deux issues : succès/échec, telle que p est la probabilité d obteir u succès. Si o ote A l évéemet obteir u succès, alors P(A) = p. Par exemple, o lace idéfiimet u dé o pipé et o cosidère l évéemet A obteir u 6, alors p = /6. Pour k, o défiit A k l évéemet A est réalisé lors de la k-ième expériece et X k = I Ak. Alors la suite (X k ) k est ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi de Beroulli de paramètre p, de carré itégrable état doé qu elles e preet que deux valeurs. De plus, pour tout k, E(X k ) = P(A k ) = P(A) = p. D après la loi des grads ombres : N N X k P N + E(X ) = p. Iterprétos ce résultat. Pour tout N N, la variable aléatoire N X k = N I Ak représete le ombre de fois où A est réalisé lors des N premières épreuves, et N = N (A) N X k représete doc la fréquece de A lors des N premières épreuves. Aisi la loi des grads ombres peut se réécrire : N (A) N P P(A). N + Cela justifie aisi l approche ituitive dot ous avos parlé au début de ce cours (cf. chapitre ). Das l exemple du lacer de dé, cela sigifie que la fréquece du ombre de 6 obteus ted vers /6 e probabilité Théorème cetral limite Soit (X ) ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi, de moyee et variace commue m et σ 2 respectivemet. O défiit S = 94 X k. Alors d après la loi des grads

95 ombres, S m P + 0. Supposos que l o divise par quelque chose de plus petit que, peut-o alors obteir ue limite? La répose est oui, si o ormalise par ue quatité proportioelle à. Cela précise e particulier la vitesse de covergece das la loi faible des grads ombres. Théorème 4.5 (Théorème cetral limite). Soit (X ) ue suite de variables aléatoires de carré itégrables, idépedates, de même loi, de moyee et variace commue m et σ 2 respectivemet. O pose S = X k. Alors pour tout réel t : [ ] [ ] lim P S m + σ t = lim P S E[S ] t = t e x2 2 dx. + Var[S ] 2π E posat S = S E[S], cela peut s écrire : Var[S] t R, lim F (t) = Π(t), S + où Π est la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite. Remarque.. O dit que la variable aléatoire S coverge e loi vers ue variable aléatoire gaussiee cetrée réduite. A oter que cette otio est pas explicitemet au programme du CAPES. 2. De maière équivalete, o a que pour tous réels a et b, a b, lim P[a S b] = + 2π b a e x2 2 dx lim F (b) F S + S (a) = Π(b) Π(a). 3. Ce théorème a d abord été démotré lorsque la loi commue des variables est ue loi de Beroulli de paramètre p (le théorème est das ce cas cou sous le om de théorème de Moivre-Laplace). Das ce cas, la variable S suit ue loi biomiale de paramètres et p. L approximatio de cette loi biomiale par la loi de Gauss est déjà très boe lorsque 0, et que p et ( p) dépasset quelques uités. Plus précisémet das ce cas, otos F la foctio de répartitio de la variable aléatoire cetrée réduite S = S E[S]. Alors, o a : Var[S] sup F (x) Π(x) p2 + q 2, x R pq où q = p ; (cf. Shiryayev, Probability, Spriger). O a doc vu deux faços d approcher la loi biomiale : par la loi de Gauss, et par la loi de Poisso. 4. Correctios de cotiuité (programme BTS). Si a et b sot des ombres etiers compris etre 0 et (avec a b), la probabilité que la variable S de loi biomiale de paramètres et p soit comprise etre a et b est égale à P[a ε S b + ε] pour tout ε ]0, [ puisqu elle e pred que des valeurs etières. Il 95

96 se trouve que l approximatio que l o obtiet (pour les grades valeurs de ) à l aide du théorème cetral limite est la meilleure pour ε = 2. O approchera doc P[a S b] par l approximatio de [ P[a 2 S b + a 2 ] = P 2 p S E[S ] b + 2 p ], pq Var[S ] pq c est-à-dire par Π ( b+ ) ( 2 p a ) 2 pq Π p pq (cf. Feller W., O the ormal approximatio to the biomial distributio, A. Math. Statist., vol. 6, p , 945). 5. Das les programmes du secodaire, o trouve parfois ce théorème sous le om de théorème de la limite cetrée. Mais aucu probabiliste sérieux utilise cette déomiatio que l o utilisera doc pas. Exercice 4.27 (D après le polycopié de cours de P. Priouret.). U joueur pese qu u dé (à six faces) est pipé. Il le lace 720 fois, et obtiet le six 50 fois. Quelle coclusio le joueur peut-il e tirer? Solutio Supposos que le dé e soit pas pipé. Notos A k l évéemet le joueur obtiet u six au k-ième lacer, et posos X k = I Ak. La variable S = 720 X k suit alors la loi biomiale de paramètres = 720 et p = 6 puisque le dé est pas pipé. O a E[S] = p = = 20 et Var[S] = p( p) = = 00. Évaluos la probabilité de l évéemet (qui s est produit) : o a obteu au mois 50 fois le six, i.e. P[S 50] e effectuat ue correctio de cotiuité. Puisqu ue variable de loi biomiale e pred que des valeurs etières : [ ] S E[S] 49, 5 20 P[S 50] = P[S 49, 5] = P Var[S] 0 [ ] S E[S] = P 2, 95 Π(2, 95) 0, 006, Var[S] d après le théorème cetral limite. Aisi, si le dé est pas pipé, il s est produit u évéemet de probabilité très faible. Il y a doc de très grades chaces pour que le dé soit pipé (mais o e peut e être certai!) 4.8 Ecore des défiitios Défiitio. Soit X ue variable aléatoire réelle de foctio de répartitio F. O appelle valeur médiae, toute valeur a telle que P(X a) 2 et P(X a) 2. Remarque.. Das le cas où F est cotiue (par exemple si X est ue variable aléatoire à desité), a est ue valeur médiae si et seulemet si F (a) = Lorsque X est ue variable aléatoire discrète, il existe ue autre défiitio de médiae, utilisée das l eseigemet secodaire, sur laquelle ous reviedros au Chapitre 5. 96

97 Exercice Soit X ue variable aléatoire de carré itégrable. Soiet φ et ψ les foctios défiies sur R par : t R, φ(t) = E[(X t) 2 ] et ψ(t) = E[ X t ].. Motrer que la foctio φ admet u miimum. E quel poit ce miimum est-il atteit? 2. Motrer que ψ est miimale e toute valeur médiae de X. 3. Applicatio. Sur ue route, sot disposés magasis, aux abscisses x,..., x. Chaque jour, o doit se redre das chacu des magasis ; après avoir visité u magasi, o reviet au poit de départ. De quel poit de la route doit-o partir pour effectuer le plus court déplacemet? O suppose : x < x 2 <... < x. O pourra commecer par étudier les cas =, = 2 puis = 3, avat de traiter le cas gééral. Solutio Soit t R. D après les propriétés de la variace, o obtiet : φ(t) = E[(X t) 2 ] = Var(X t) + (E[X t]) 2 = Var(X) + (E[X] t) 2. Il s esuit que φ admet u miimum pour t = E[X] et que ce miimum vaut Var[X]. 2. Soit m ue valeur médiae pour X, c est-à-dire u ombre réel m tel que P[X m] 2 et P[X m] 2. Soit t R. Premier cas : t m. ψ(t) ψ(m) = E[(X t) I {X>t} (X t) I {X t} ] E[(X m) I {X>m} (X m) I {X m} ] = E[X(I {X>t} I {X t} I {X>m} + I {X m} )] + t(p[x t] P[X > t]) + m(p[x > m] P[X m]) = E[ 2X I {m<x t} ] + t (2 P[X t] ) m (2 P[X m] ) = E[ 2X I {m<x t} ] + t (2 P[m < X t] + 2 P[X m] ) m (2 P[X m] ) = 2 E[(t X) I {m<x t} ] + (t m) (2 P[X m] ). Or, par défiitio d ue valeur médiae, P[X m] 2. De plus, la variable aléatoire (t X) I m<x t est positive (le vérifier sur chaque ω), doc d espérace positive. Il s esuit : Deuxième cas : t m. O a de même : ψ(t) ψ(m) 0. ψ(t) ψ(m) = E[(X t) I {X t} (X t) I {X<t} ] E[(X m) I {X m} (X m) I {X<m} ] = E[X(I {X t} I {X<t} I {X m} + I {X<m} )] + t(p[x < t] P[X t]) + m(p[x m] P[X < m]) = E[2X I {t X<m} ] + t ( 2 P[X t]) + m (2 P[X m] ) = E[2X I {t X<m} ] + t ( 2 P[t X < m] 2 P[X m]) + m (2 P[X m] ) = 2 E[(X t) I {t X<m} ] + (m t) (2 P[X m] ) 0. Remarque. Pour cette questio, il suffit de supposer que X est itégrable, l hypothèse de l existece d u momet d ordre deux e servat que das la première questio. Par ailleurs, lorsque X admet ue desité p, la démostratio peut se traduire plus simplemet e écrivat : ψ(t) = t et e étudiat les variatios de ψ. (t x) p(x) dx t (x t) p(x) dx

98 3. Il s agit ici de la versio statistique de la questio 2. das le cas particulier où X est ue variable aléatoire uiformémet distribuée sur {x, x 2,..., x }. L adaptatio de la démostratio est laissée au lecteur. Ue questio aalogue est traitée das le Problème 2, Partie A du CAPES 203, première compositio. Défiitio. Soit X ue variable aléatoire réelle de foctio de répartitio F. O défiit la foctio fractile ou ecore quatile associée à X par : u ]0, [, Q(u) = if{x R; F (x) u}. 98

99 Chapitre 5 Statistique descriptive 5. Préambule à la Statistique La Statistique : méthode scietifique qui cosiste à observer et à étudier ue/plusieurs particularité(s) commue(s) chez u groupe de persoes ou de choses. La statistique est à différecier d ue statistique, qui est u ombre calculé à propos d ue populatio. 5.. U peu de vocabulaire Populatio : collectio d objets à étudier ayat des propriétés commues. Terme hérité des premières applicatios de la statistique qui cocerait la démographie. Exemple : esemble de parcelles sur lesquelles o mesure u redemet, u groupe d isectes... Idividu : élémet de la populatio étudiée. Exemple : ue des parcelles, u des isectes... Variable ou caractère : propriété commue aux idividus de la populatio, que l o souhaite étudier. Elle peut être - qualitative : couleur de pétales, - quatitative : (umérique). Par exemple la taille, le poids, le volume. O distigue ecore les variables - cotiues : toutes les valeurs d u itervalle de R sot acceptables. Par exemple : le périmètre d ue coquille de moule. - discrètes : seul u ombre discret de valeurs sot possibles. Par exemple : le ombre d espèces recesées sur ue parcelle. Les valeurs observées pour les variables s appellet les doées. Échatillo : partie étudiée de la populatio Collecte de doées La collecte de doées (obtetio de l échatillo) est ue étape clé, et délicate. Nous e traitos pas ici des méthodes possibles, mais attiros l attetio sur le fait suivat. 99

100 Hypothèse sous-jacete e statistique : l échatillo d idividus étudié est choisi au hasard parmi tous les idividus qui auraiet pu être choisis. Tout mettre e œuvre pour que cela soit vérifié Deux directios e statistique. Statistique descriptive Elle a pour but de décrire, c est-à-dire de résumer ou représeter, par des statistiques, les doées dispoibles quad elles sot ombreuses. Questios typiques : (a) Représetatio graphique : diagramme e bâtos, diagramme circulaire, voir exercice 5.. (b) Paramètres de positio, de dispersio, de relatio : voir paragraphe 5.2. (c) Régressio liéaire : voir paragraphe 5.4. (d) Questios liées à des grads jeux de doées : hors programme. 2. Statistique iféretielle Les doées e sot pas cosidérées comme ue iformatio complète, mais ue iformatio partielle d ue populatio ifiie. Il est alors aturel de supposer que les doées sot des réalisatios de variables aléatoires, qui ot ue certaie loi de probabilité. Nécessite des outils mathématiques plus poitus de théorie des probabilités. Questios typiques : (a) Estimatio de paramètres. (b) Itervalles de cofiace. (c) Tests d hypothèse. (d) Modélisatio : exemple (régressio liéaire) Statistique uivariée / multivariée Lorsque l o observe ue seule variable pour les idividus de la populatio, o parle de statistique uivariée, et de statistique multivariée lorsqu o e observe au mois deux. Pour chacue des catégories, o retrouve les deux directios ci-dessus. Exemple. Uivarié. Populatio : iris. Variable : logueur des pétales. Multivarié. Populatio : iris. Variable : logueur des pétales. Variable 2 : largeur des pétales. 5.2 Paramètres de positio, dispersio, relatio O cosidère u échatillo de idividus et o souhaite étudier ue variable (caractère) quatitative de cette populatio. Pour tout i {,, }, x i représete la doée de la variable (caractère) pour le i-ième idividu. Les doées sot représetées das u vecteur (x,..., x ), qui s appelle ue série statistique quatitative. Sas perte de gééralité, supposos que x x 2 x (puisque les x i sot des ombres réels). Exemple. O étudie les résultats de 0 étudiats à u test de statistique : L effectif total est. Das l exemple, = 0. x = (2, 5, 5, 8, 0, 2, 2, 2, 5, 20). 00

101 Notos (z,, z m ) les valeurs différetes des doées de la série. O a doc m. L effectif j d ue valeur z j est le ombre de répétitios de z j das la série. Remarquer que m j =. La fréquece f j d ue doée z j est : f j = effectif (z j) effectif total = j. Exemple. Repreos l exemple précédet. m = 7, (z,, z 7 ) = (2, 5, 8, 0, 2, 5, 20) =, 2 = 2, f = 0, f 2 = 5, j= Nous souhaitos esuite étudier ue deuxième variable quatitative de cette populatio. Pour tout i {,, }, y i représete la doée de la deuxième variable pour le i-ième idividu. O appelle statistique double la doée {(x i, y i ) : i {,, }} des deux variables pour chacu des idividus. Exemple. Cosidéros les deux séries représetat les résultats de 0 étudiats à l exame de statistique et d algèbre, respectivemet : x = (2, 5, 5, 8, 0, 2, 2, 2, 5, 20), y = (3, 4, 6, 7, 8, 0, 2, 4, 6, 9). Défiitio (Paramètres de positio). Chacue des quatités défiies ci-dessous se calcule pour la doée d ue des variables. La moyee arithmétique ou simplemet la moyee, otée x est : x = = x k m j z j = j= m f j z j. La moyee élaguée est la moyee de la série privée de ses valeurs extrêmes lorsque celles-ci semblet aberrates (à iterpréter selo les cas). O appelle médiae ou valeur médiae tout ombre a tel qu au mois la moitié de l effectif de la série soit iférieur ou égal à a, et au mois la moitié de l effectif soit supérieur ou égal à a. Lorsque = 2p + est impair, x p+ est la médiae de la série. Lorsque = 2p est pair, tout ombre de l itervalle [x p ; x p+ ] (appelé das ce cas itervalle média car c est l esemble des valeurs médiaes) coviet. Attetio! Das le secodaire o utilise la défiitio suivate, légèremet différete, pour la médiae. L avatage est que la médiae est uique, o la ote µ : si = 2p + est impair, µ = x p+, et si = 2p est pair, µ = xp+x p+ 2. O peut alors démotrer que la médiae µ possède la propriété suivate : au mois la moitié de l effectif de la série est iférieur ou égal à µ, et au mois la moitié de l effectif est supérieur ou égal à µ. U mode est ue valeur de plus grad effectif. U mode est pas forcémet uique. Les modes ot d itérêt que si leurs effectifs (égaux) sot ettemet supérieurs à ceux des autres caractères. 0 j=

102 Soit α ]0, [. Le fractile d ordre α est le plus petit ombre réel a de la série, tel qu au mois 00 α% de l effectif est iférieur ou égal à a. C est doc ue valeur de la série. Lorsque α vaut 4, 2 ou 3 4, o parle de quartiles : premier quartile oté Q, deuxième quartile Q 2, troisième quartile Q 3. L itervalle [Q, Q 3 ] s appelle l itervalle iterquartile. Lorsque α vaut 0, ou 0, 2,..., ou 0, 9, o parle de déciles : premier, deuxième,..., euvième. Attetio. La médiae et le deuxième quartile e sot pas forcémet égaux. E effet, le deuxième quartile est par défiitio ue valeur de la série, ce qui est pas le cas pour la médiae. Exemple. Nous traitos la première série de l exemple. La moyee est : x = = 0,. Tout ombre de l itervalle [0, 2] est valeur médiae. Avec la défiitio utilisée das le secodaire, la médiae vaut µ =. Le premier quartile est Q = 5, le deuxième Q 2 = 0, le troisième Q 3 = 2. Aisi médiae (µ = ) et deuxième quartile (Q 2 = 0) e coïcidet pas écessairemet. Remarque. Attetio, les calculatrices et les tableurs e calculet gééralemet pas correctemet les fractiles des séries statistiques, et cofodet deuxième quartile et médiae. Aisi, pour calculer le premier quartile de la série, 2, 3 (qui vaut Q = x = car la série comporte trois termes), le tableur fait ue approximatio affie etre les différetes valeurs de la série, comme s il s agissait d ue série cotiue uiforme, et retoure des valeurs qui e sot pas écessairemet des valeurs de la série, ici, 5 (e pas oublier que, par défiitio, u quartile, et plus gééralemet u fractile, est ue valeur de la série). Défiitio (Paramètres de dispersio). Chacue des quatités défiies ci-dessous se calcule pour la doée d ue des variables. Les valeurs extrêmes sot le miimum et le maximum de la série, ici x et x. L étedue est la différece etre les valeurs extrêmes de la série, ici x x. O parle de faible dispersio si l étedue est cosidérée comme petite, de forte dispersio si elle est cosidérée comme grade, ce qui est ue appréciatio subjective. La variace, otée σx, 2 permet de mesurer la dispersio des doées e teat compte de toutes les valeurs. Elle est défiie par : ( ) σx 2 = (x i x) 2 = x 2 i x 2 i= i= = m j (z j z) 2 = m j z 2 j x 2. j= L écart-type est σ x, (σ x 0). Remarquos que σ x = 0 équivaut à dire que, pour tout i, (x i x) 2 = 0, c est-à-dire que tous les x i sot égaux. Exemple. Valeurs extrêmes : 2, 20. Étedue : 20 2 = 8. Défiitio (Paramètres de relatio).. Les quatités défiies ci-dessous permettet de détermier des relatios etre la doée des différetes variables. La covariace etre les doées x et y, otée σ x,y est défiie par : ( ) σ x,y = (x i x)(y i ȳ) = x i y i x ȳ. i= 02 j= i=

103 Si σ x 0 et σ y 0, le coefficiet de corrélatio, oté ρ x,y, est défii par : ρ x,y = σ x,y σ x σ y. Remarque. Si x et y ot des uités (kg, m,...), σ x a pour uité celle de x, σ y celle de y, et σ x,y a pour uité le produit des uités de x et de y. Mais le coefficiet de corrélatio ρ x,y est u ombre, sas uité doc. Nous verros plus tard qu il vérifie : ρ x,y. 5.3 Iterprétatio des doées Cosidéros ue statistique double {(x i, y i ) : i {,, }}, décrivat la doée de deux variables quatitatives pour idividus Iterprétatio probabiliste Soit Ω = {ω,..., ω }. La série statistique double peut-être vue comme l esemble des valeurs prises par u couple de variables aléatoires (X, Y ) défii sur l uivers Ω : i {,, }, (X, Y )(ω i ) = (x i, y i ). Si o muit Ω de la probabilité uiforme, alors : i {,, }, P(X = x i, Y = y i ) = i, où i représete la multiplicité du couple (x i, y i ) das la série ( i = si tous les couples sot disticts), et E(X) = x, E(Y ) = ȳ, Var(X) = σ 2 x, Var(Y ) = σ 2 y, Cov(X, Y ) = σ x,y, Cor (X, Y ) = ρ x,y Iterprétatio vectorielle Notos le produit scalaire usuel sur R et la orme associée (la orme euclidiee). La doée de chacue des variables peut être iterprétée comme u vecteur de R, oté respectivemet x, y. Notos u le vecteur formé de de R. Aisi, ous cosidéros : x = x. x y = y. y u =.. Alors, la moyee, variace et coefficiet de corrélatio peuvet s écrire : x = x u, ȳ = y u, σ 2 x = ( x x u) ( x x u) = x x u 2, σ 2 y = y ȳ u 2, σ x,y = ( x x u) ( y ȳ u), ( x x u) ( y ȳ u) ρ x,y = = cos ( x x u, y ȳ u). x x u y ȳ u Le coefficiet de corrélatio est u cosius, il est doc compris etre et. 03

104 5.4 Méthode des moidres carrés Cosidéros ue statistique double {(x i, y i ); i }, vue comme poits de R 2. Représetosles par u uage de poits das u repère orthogoal (O, i, j), et otos M i le poit de coordoées (x i, y i ) (si u poit apparaît plusieurs fois, o ote sa multiplicité sur le graphe). Le poit G de coordoées ( x, ȳ) est appelé le poit moye du uage ; c est l isobarycetre des poits {(x i, y i ); i }. E fait, c est le barycetre des poits M i comptés avec leur multiplicité, doc l isobarycetre lorsque tous les poits sot disticts. Parfois, le uage semble proche d ue droite, même si cela a a priori aucu ses mathématique. O cherche quelle droite serait la meilleure pour approcher le uage, das le but d estimer des doées maquates ou de faire des prévisios par exemple. O appelle cela faire u ajustemet affie du uage de poits. Mais il faut bie sûr défiir cette otio de meilleur ajustemet. Cosidéros ue droite qui e soit pas parallèle à l axe des ordoées, d équatio y = ax + b, et, pour tout i, otos H i le projeté de M i sur parallèlemet à (O, j), voir Figure 5.. D M H2 H M2 j o i Figure 5. Statistique double et droite de régressio. La méthode des moidres carrés cosiste à dire que la meilleure approximatio est celle qui miimise la somme des distaces au carré des H i aux M i. Elle cosiste doc à trouver a et b qui miimiset la quatité T (a, b), appelée somme des résidus, où : T (a, b) = (y i ax i b) 2. i= O suppose das la suite que σ 2 x 0, ce qui sigifie que les poits du uage e sot pas aligés sur ue droite verticale (s ils sot aligés sur ue droite verticale, o e va pas essayer de faire mieux!). O peut aussi supposer, même si cela e sert à rie das la suite, que le uage comporte au mois trois poits disticts (si o a que deux poits, ils sot aligés!). Théorème 5.. Soit (x i, y i ) i u uage de poits tel que σ 2 x 0. Alors il existe ue uique droite d équatio y = ax + b telle que la somme des résidus soit miimale. C est la droite 04

105 d équatio appelée droite de régressio de y e x. Remarque. y = σ x,y σ 2 x x + y x σ x,y σx 2,. Cette droite passe par le poit moye du uage. 2. Cette méthode d ajustemet, appelée méthode des moidres carrés, fut itroduite par Gauss qui, e tat qu astroome, s itéressait aux orbites de petits astéroïdes comme Cérès, découvert e 80. Après avoir observé l astéroïde Cérès pedat plusieurs jours, celui-ci avait été perdu das l éclat du soleil. Gauss e calcula alors l orbite e utilisat la méthode des moidres carrés (avec ue ellipse), ce qui lui permit de prévoir la positio et la date de réapparitio de l astéroïde. Démostratio. Première méthode E utilisat l iterprétatio e terme de variables aléatoires de la statistique double, ous devos miimiser l espérace : T (a, b) = E((Y ax b) 2 ). D après les propriétés de l espérace et de la variace, ous pouvos écrire : O e déduit l équivalece : T (a, b) = Var(Y ax b) + [E(Y ax b)]2 = Var(Y ax) + [ȳ a x b] 2 = Var(Y ) + a 2 Var(X) 2a Cov(X, Y ) + [ȳ a x b] 2 = σy 2 + a 2 σx 2 2a σ x,y + [ȳ a x b] 2 ( = σy 2 + aσ x σ ) x,y 2 σx,y 2 σ x σx 2 + [ȳ a x b] 2. T (a, b) miimal (aσ x σ x,y σ x = 0 et ȳ a x b = 0). Aisi, o obtiet la droite de régressio de y e x : y = σ x,y σ 2 x x + ȳ x σ x,y σx 2, et la bore iférieure suivate pour la somme des résidus : ( (a, b) R 2, T (a, b) σ 2 y σ2 x,y σ 2 x ). Remarque. Supposos que de plus σ y 0, ce qui sigifie que les poits e sot pas aligés o plus horizotalemet. La démostratio précédete permet d obteir l équivalece suivate : (a, b) R 2, T (a, b) = 0 σ 2 y σ2 x,y σ 2 x = 0 ρ x,y =. C est-à-dire que les poits du uage sot aligés si et seulemet si la valeur absolue du coefficiet de corrélatio vaut. 05

106 Notos (a 0, b 0 ) le poit qui miimise T (a, b). Alors, T (a 0, b 0 ) = σy 2 σ2 x,y σx 2, d où ρ 2 x,y = σy 2 T (a 0, b 0 ). O aurait pu faire la même chose e projetat sur l axe (0, i). Démostratio. Deuxième méthode O cosidère, pour tout (a, b) R 2 : T (a, b) = E[(Y (ax + b))2 ] = a 2 E[X 2 ] + E[Y 2 ] + b 2 2a E[XY ] 2bE[Y ] + 2ab E[X] = a 2 (σ 2 x + x 2 ) + σ 2 y + ȳ 2 + b 2 2a(σ x,y + xȳ) 2bȳ + 2ab x, comme ue applicatio polyomiale e a et b. Aisi, l applicatio T est C, de sorte que si elle admet u miimum e u poit, alors ses dérivées partielles sot ulles e ce poit. T a (a 0, b 0 ) = 0 a 0 (σx 2 + x 2 ) + b 0 x = σ x,y + xȳ a 0 = σx,y σx 2 T b (a 0, b 0 ) = 0 a 0 x + b 0 = ȳ b 0 = ȳ x σx,y σx 2 Motros que (a 0, b 0 ) réalise effectivemet u miimum pour T. Comme T est ue applicatio polyomiale de degré 2, et que les dérivées partielles de premier ordre s aulet e (a 0, b 0 ), la formule de Taylor à l ordre 2 autour de (a 0, b 0 ) doe que T (a 0 + h, b 0 + k) est égal à : = T (a 0, b 0 ) + 2 h2 2 T a 2 (a 0, b 0 ) + hk 2 T a b (a 0, b 0 ) + 2 k2 2 T b 2 (a 0, b 0 ) + 0 = T (a 0, b 0 ) + h 2 (σx 2 + x 2 ) + 2hk x + k 2 = T (a 0, b 0 ) + (k + h x) 2 + h 2 σ 2 x T (a 0, b 0 ). Il s esuit : h R, k R, T (a 0 + h, b 0 + k) T (a 0, b 0 ). C est-à-dire que (a 0, b 0 ) est l uique poit réalisat le miimum de T. Démostratio. Troisième méthode Cosidéros les trois vecteurs de R : x = x. x, y = y. y, u = Aisi, T (a, b) = y (a x + b u) 2. De plus, l hypothèse σ x 0 équivaut à dire que x x u 0, autremet dit que les vecteurs x et u e sot pas coliéaires. E coséquece Vect( x, u) est u pla vectoriel. La quatité T (a, b) est doc miimale lorsque le vecteur a x + b u est la projectio orthogoale de y sur le pla Vect( x, u), voir figure 5.2. Ceci équivaut à dire que le vecteur y (a x + b u) est orthogoal à x et à u : ( y (a x + b u)) x = 0 a x 2 + b u x = y x X ( y (a x + b u)) u = 0 ( ) ( a y x = b ȳ ), où X = a x u + b = y u ( ) x 2 x x.. 06

107 y u u x proj x Figure 5.2 T (a, b) est miimal lorsque a x + b u est la projectio orthogoale de y sur le pla Vect( x, u). Le détermiat de la matrice X est : E coséquece : ( a b det(x) = x 2 2 x 2 = 2 σ 2 x 0, par hypothèse. ) = ( x 2 σx 2 x x 2 = 2 σ 2 x ( y x 2 xȳ ȳ x 2 x y x ) ( ) y x ȳ ) = ( σx 2 σ x,y σ 2 xȳ xσ x,y ). Exercice 5.. Série statistique à ue variable O veut cotrôler la qualité des livraisos d ue coopérative agricole de productio de pommes de terre. E pricipe, elle produit des sacs de 5 kg, avec ue tolérace de 0, 2 kg e mois. O pèse 50 sacs pris au hasard. Cela doe la série statistique suivate : 5, 6 4, 9 5, 5 5, 0 4, 4 5, 3 5, 0 5, 5, 8 5, 3 5, 3 5, 3 5, 0 5, 5 5, 0 5, 4, 3 4, 5 5, 2 4, 4 5, 3 4, 9 5, 4 4, 5 4, 6 4, 4 5, 6 5, 6 5, 7 4, 4 5, 5, 4, 9 5, 4 5, 2 5, 4, 8 5, 0 3, 8 5, 4 4, 3 5, 2 5, 3 5, 5, 4 4, 0 4, 9 5, 5 4, 5 5, 5.. Doer le tableau des effectifs, des effectifs cumulés croissats et des effectifs cumulés décroissats. Même chose avec les fréqueces. Quelle erreur des élèves peut-o aticiper das ce type de problème, erreur qu o a peu de chace de voir ici compte teu du ombre de doées? 2. Doer le maximum, le miimum de cette série, so étedue, so ou ses modes. 3. Doer diverses représetatios statistiques de ces doées. 4. Calculer la moyee x de cette série, aisi que so écart-type s. E détermier la médiae. 5. Détermier le premier et le troisième quartile. Calculer l itervalle iterquartile. Détermier le premier et le euvième décile de cette série. 6. Tracer la boîte à moustaches correspodate. 7. Classer cette série e classes d égale étedue de 0, 2 kg. Idiquer quelles sot les classes modale et médiae. Doer ue représetatio graphique de cette série (effectifs et fréqueces cumulées). Parler de la médiae de la série classée a-t-il u ses? 07

108 8. À partir de la série classée, doer ue estimatio de la moyee de la série de départ. Parler de la moyee de la série classée a-t-il u ses? Solutio 5... Notos (x,, x 50 ) la série statistique, et (z,, z 7 ) les valeurs différetes des doées de la série. Notos ecore = 50 et m = 7. L effectif j d ue valeur z j est le ombre de répétitios de cette valeur das la série. La fréquece f j d ue doée z j est f j = effectif (z j) effectif total = j. Ces quatités sot résumées das le tableau ci-dessous, aisi que les effectifs cumulés et les fréqueces cumulées. Classe (kg) Effectif Effectifs cumulés Effectifs cumulés Fréquece Fréqueces croissats décroissats e % cumulées croissates 3, , , , , , , , , , , , , , , , , Il s agit d erreurs d arrodis. Par exemple, si la première fréquece est a/b dot l élève doe ue valeur approchée x avec deux décimales, puis la deuxième est c/d dot il doe ue valeur approchée y avec deux décimales, das le tableau des fréqueces cumulées croissates, il risque d additioer x et y au lieu d additioer a/b et c/d et de doer ue valeur approchée de cette somme, de sorte qu à la fi, l élève risquet d obteir ue fréquece cumulée croissate différete de. 2. Le maximum est 5, 8 et le miimum est 3, 8. L étedue est la différece etre la valeur maximale et la valeur miimale, soit 2. Le mode est le ou les valeurs de plus grads effectifs. Das otre cas, o a deux modes : 5, et 5, Voici le diagramme e bâtos des effectifs. La hauteur de chacu des bâtos représete l effectif. Voici le diagramme e bâto des fréqueces cumulées croissates. O aurait aussi pu tracer le diagrammes e bâto des effectifs cumulés ou celui des fréqueces. 08

109 Effectifs Kg 3,5 4 4,5 5 5,5 6 Figure 5.3 Diagramme e bâtos des effectifs. Fréqueces cumulées Kg 3,8 4 4,5 5 5,5 5,8 Figure 5.4 Diagramme e bâtos des fréqueces cumulées croissates. O peut égalemet représeter les doées sous forme d u diagramme circulaire, plus cou sous le om de camembert, où la mesure agulaire de chaque secteur correspod à la fréquece de chaque caractère. C est ue simple questio de proportioalité. Ce gere de représetatio est adapté lorsque le ombre de doées différetes das la série est pas trop grad. O représete parfois les doées sur u diagramme semi-circulaire. Il suffit alors de calculer les mesures agulaires par rapport à Par défiitio, la moyee est : d où : x = x k = 50 7 j= j z j, x =.3, ,3+4.4,4+3.4,5+.4,6+.4,8+4.4, ,+3.5,2+6.5,3+4.5,4+4.5,5+3.5,6+.5,7+.5,8 50 = 25, 4 5, 0 kg

110 25% 7% 23% 35% Figure 5.5 Exemple de diagramme circulaire. Attetio, il e correspod pas à cette série statistique. L écart type est : σ x = 50 (x i x) 50 2 = i= ( 274, 42 25, 4 = i= ) 2 0, 46 kg. (x i ) 2 (x) 2 Rappelos qu o appelle valeur médiae toute valeur µ telle qu au mois la moitié de l effectif est supérieur ou égal à µ, et au mois la moitié de l effectif est iférieur ou égal à µ. O costate que plus de la moitié de l effectif (28 sur 50) est iférieur ou égal à 5, alors que plus de la moitié de l effectif (28 sur 50) est supérieur ou égal à 5,. O e déduit que 5, est ue valeur médiae. Si l o choisit pour défiitio du mot médiae d ue série (x, x 2,..., x 2p ) d u ombre pair de valeurs classées par ordre croissat, le ombre xp+x p+ 2, o trouve ecore ici que 5, est la médiae de cette série ( = 2p = 50, x 25 = x 26 = 5, ). 5. Le quartile Q (resp. Q 3 ) est le plus petit ombre q de la série tel qu au mois 25% (resp. 75%) de l effectif soit iférieur ou égal à q. O e déduit : Q = 4, 8 et Q 3 = 5, 4. L itervalle iterquartile est alors : Q 3 Q = 5, 4 4, 8 = 0, 6. Le premier (resp. euvième) décile D (resp. D 9 ) est le plus petit ombre d de la série tel qu au mois 0% (resp. 90%) de l effectif soit iférieur ou égal à d. Aisi, D = 4, 4 et D 9 = 5, La boîte à moustache cosiste à tracer u rectagle qui va du premier quartile au troisième quartile et coupé par la médiae. O ajoute esuite des segmets aux extrémités meat jusqu au premier décile et au euvième décile. Aisi : 4,4 4,8 5, 5,4 5,5 Figure 5.6 Boîte à moustache. 7. Il y a bie sûr pas uicité du choix du regroupemet par classes. Néamois, le plus logique est de choisir des classes cetrées sur les valeurs de la série iitiale. D où le tableau : 0

111 Classe Effectif Fréquece Fréquece e % cumulées [3, 7; 3, 9[ 2 2 [3, 9; 4, [ 2 4 [4, ; 4, 3[ [4, 3; 4, 5[ [4, 5; 4, 7[ [4, 7; 4, 9[ 2 26 [4, 9; 5, [ [5, ; 5, 3[ [5, 3; 5, 5[ [5, 5; 5, 7[ [5, 7; 5, 9[ Ue classe modale est ue classe de fréquece maximale ; ici, il y a qu ue seule classe modale, la classe [5, 3; 5, 5[. La médiae appartiet à la classe [5, ; 5, 3[ qui est doc la classe médiae. Cela e fait pas de ses de parler de médiae de la série classée. O otera que 62% de l effectif est strictemet iférieur à 5, 3 alors que 44% de l effectif est strictemet iférieur à 5, (i.e. 56% de l effectif est supérieur ou égal à 5, 3). Lorsque les doées sot réparties das des classes (ce qui est e particulier le cas lorsque l o étudie ue variable cotiue) la représetatio appropriée est l histogramme. L effectif de chaque classe est représeté par u rectagle dot la base est l amplitude de la classe et l aire est proportioelle à l effectif (ou la fréquece). Il faut faire attetio à la costructio lorsque les classes e sot pas régulières, ce qui est pas le cas ici. Voici l histogramme des effectifs ,7 3,9 4, 4,3 4,5 4,7 4,9 5, 5,3 5,5 5,7 5,9 Figure 5.7 Histogramme des effectifs. Voici l histogramme des fréqueces cumulées croissates.

112 0, ,7 3,9 4,3 4,5 4,7 4,9 5, 5,3 5,5 5,7 5,9 8. La moyee x de la série est comprise etre la moyee µ i de la série podérée des valeurs iférieures de chaque classe et la moyee µ s de la série podérée des valeurs supérieures de chaque classe. E effet, si o désige par m j et M j les valeurs iférieures et supérieures de la j-ième classe, o a : j, k tel que x k [m j, M j [, m j x k < M j, d où, j m j x k < j M j, ce qui etraîe, k tel que x k [m j,m j [ m j m j j= autremet dit, µ i x µ s. N x k < m j M j, Lorsque les classes sot de même amplitude a, il est commode de calculer la moyee x de la série podérée ( m j+m j 2 ) j m des milieux des classes : x = m j= j M j + m j 2 ce qui doe sur cet exemple j= x =.3, ,4+4.4,6+.4, ,2+0.5,4+7.5,6+2.5,8 50 = 254 = 5, L erreur faite alors est égale à la moitié de l amplitude commue des classes : x x 2 (µ s µ i ) = 2 m j= j (M j m j ) = 2 m j a = a 2, j= et l o peut écrire x a 2 x x + a 2. O e déduit ici : 5, 07 x 5, 09. O trouve souvet das les mauels scolaires la valeur x cosidérée comme état égale à la moyee de la série classée, ce qui est faux. Pour que cela soit vrai, il faudrait que les valeurs de la série soiet uiformémet réparties à l itérieur des classes (ce qui etraîe que l o coaît e fait toutes les valeurs de la série!), ce qui est quasimet toujours faux. Parfois, cette hypothèse est ajoutée das les éocés, même si elle est 2

113 totalemet irréaliste. Cela est pourtat iutile, puisque l o peut écrire facilemet des choses toujours justes, e procédat comme ci-dessus. O e parlera doc jamais de la valeur de la moyee d ue série classée, mais o e doera systématiquemet u ecadremet. Exercice 5.2. Séries statistiques à deux variables D après Méthodes statistiques. Ed. DUNOD. Le tableau ci-dessous doe les idices des prix des produits alimetaires et des produits éergétiques pour les douze pays de la Commuauté européee et les États-Uis e 990 (base 00 e 985). Pays Produits éergétiques x i Produits alimetaires y i Belgique 82, 07, 7 Daemark 6, 4, 4 R. F. A. 85, 5 04, 9 Grèce 72, 4 25, 9 Espage 99, 36, 8 Frace 9, 9 6, 2 Irlade 97, 9 6, 8 Italie 6 27, Luxembourg 77, 6 08, 8 Pays-Bas 80, 5 00, 3 Portugal 35, 58, 6 Royaume Ui 4, 8 25, 7 États Uis 00, 4 26, 9. Utiliser la calculatrice ou u logiciel pour : représeter le uage de poits associé à la série statistique (x i, y i ) i ; détermier les coordoées du poit moye G du uage ; le placer ; détermier l écart-type de chacue des deux séries, aisi que la covariace ; détermier le coefficiet de corrélatio liéaire e x et e y au millième près ; détermier ue équatio de la droite de régressio D de y e x par la méthode des moidres carrés ; représeter la droite D. 2. O costate qu à part la Grèce, le uage de poits est assez compact. Repredre alors les questios précédetes après avoir élimié la Grèce de la populatio cosidérée. 3. Quel est l effet d u chagemet de repère et d u chagemet d échelle sur l équatio de la droite de régressio? Exercice 5.3. Séries statistiques à deux variables D après Déclic, Termiale ES, Éditio La tableau ci-dessous doe le trafic aérie itérieur fraçais, e milliards de voyageurs-kilomètres. Aée rag x i trafic y i 7, 4 8, 3 8, 9 9, 6, 4, 7 3

114 Aée rag x i trafic y i 2, 2 2, 3 2, 7 2, 7 3, 8 3, 8 4, 5 Source : Directio géérale de l Aviatio civile.. Représeter le uage de poits M i (x i, y i ) das u repère orthogoal. Calculer les coordoées du poit moye G du uage. Le placer. 2. Ajustemet par la droite de Mayer (a) Détermier les coordoées du poit moye G des 7 premiers poits du uage et du poit moye G 2 des 7 deriers. (b) Détermier l équatio réduite de la droite (G, G 2 ) sous la forme y = ax + b. Vérifier que G est u poit de (G, G 2 ). 3. Ajustemet par ue droite choisie. Détermier l équatio réduite de la droite D passat par G, de coefficiet directeur 0, 5. Tracer D. 4. Ajustemet par la droite des extrêmes. Calculer l accroissemet moye auel du trafic etre 985 et 988. E déduire l équatio réduite de la droite (M, M 4 ). Le poit G appartiet-il à cette droite? 5. Ajustemet affie par la méthode des moidres carrés À l aide de la calculatrice, détermier l équatio réduite de la droite de régressio de y e x par la méthode des moidres carrés. 6. Comparaiso (a) À l aide des listes de la calculatrice, ou d u tableur, calculer la somme des résidus : 4 S = (y i ax i b) 2, i= pour chacue des droites précédetes d équatio réduite de la forme y = ax + b (a et b doés à 0 3 près). (b) Quelle est la droite pour laquelle cette somme est miimale? 4

115 Chapitre 6 Statistique iféretielle Ce chapitre est fortemet ispiré du cours de Pierre Priouret (Uiversité Pierre et Marie Curie, 983). 6. U exemple itroductif O veut estimer la proportio icoue θ de chauves das ue populatio S = {s,..., s N } de N idividus. Pour cela, o va faire des expérieces, des sodages, e iterrogeat persoes. O ote Ω = S l esemble des échatillos de taille avec répétitios de S. U élémet ω = (ω,..., ω ) de Ω est doc u -uplet costitué de persoes, choisies au hasard et avec répétitio das S. État doé qu il y a pas de raiso de choisir u échatillo de persoes sodées ω plutôt qu u autre, o muit Ω de la probabilité uiforme P (c est ce que l o sous-eted e disat que les persoes sot choisies au hasard ). Aisi, ω Ω, P({ω}) = Card(Ω) = N. Faire u sodage, c est se doer u élémet ω = (ω,..., ω ) de Ω et demader à chacu des idividus ω,, ω, s il est chauve ou pas. Pour tout i compris etre et, o défiit la variable aléatoire X i de la faço suivate : si ω = (ω,..., ω ), o pose { si l idividu ω i est chauve, X i (ω) = 0 si l idividu ω i est pas chauve. Alors, pour tout échatillo ω de persoes sodées, X k (ω) représete le ombre de persoes chauves de l échatillo, et la quatité M (ω) = d idividus chauves das cet échatillo. Propriété 2. X k (ω) représete la proportio. Pour tout i {,, }, la variable aléatoire X i suit ue loi de Beroulli de paramètre θ. 2. Les variables aléatoires X,, X sot idépedates. 3. La variable aléatoire M = X k suit ue loi biomiale de paramètres et θ. 5

116 4. Pour tout ε > 0, P(θ ]M ε, M + ε[) 4ε 2. Démostratio.. Les variables aléatoires X i suivet la même loi de Beroulli de paramètre θ. E effet, e désigat par C l esemble des idividus chauves de S, o a, puisque P est la probabilité uiforme sur Ω : où P[X i = ] = P [{(ω,, ω ) Ω : ω i est chauve}] = Card(A i) Card(Ω), A i = {(ω,, ω ) Ω : ω i est chauve} = S } {{ S } C S } {{ S } = S i C S i, i termes i termes avec la covetio que, das le produit cartésie, S i est pas écrit si i = ou que S i est pas écrit si = i. O e déduit : P[X i = ] = Card(Si C S i ) [Card(S)] = [Card(S)] Card(C) [Card(S)] = Card(C) Card(S) = θ, puisque, par défiitio, θ représete la proportio de chauves das la populatio. 2. Exercice. 3. La variable aléatoire X k suit ue loi biomiale de paramètres et θ car elle est somme de variables aléatoires idépedates de Beroulli de paramètre θ. 4. La variable aléatoire M état borée (0 M ), elle admet des momets de tout ordre et ous déduisos du poit précédet que : ( ) E(M ) = E X k = E (X k ) = θ et, puisque les variables sot idépedates, ( ) Var(M ) = Var X k = 2 Var (X k ) = θ( θ). Les hypothèses état vérifiées, ous pouvos appliquer l iégalité de Bieaymé-Tchébychev. Aisi : ε > 0, P [ M θ ε] Var(M ) θ( θ) ε 2 = ε 2. Or, l applicatio x x( x) est majorée sur [0, ] par sa valeur au poit x = 2, à savoir 4 (o a u morceau de parabole, à cocavité tourée vers le bas, et dot le sommet est au poit d abscisse 2 ). O e déduit, que pour tout ε > 0 : P [ M θ ε] 4ε 2 P [ M θ < ε], e passat au complémetaire 4ε2 P [ θ ]M ε, M + ε[ ] 4ε 2. 6

117 Fixos ε de sorte que, par exemple, = 0, 95, i.e. ε = 4 ε 2, c est-à-dire choisissos ω et observos Calculos alors M (ω) = x = X (ω),, x = X (ω). 5. Faisos u sodage de taille x k. La proportio θ icoue se trouve das l itervalle ]M (ω) ε, M (ω) + ε[, c est-à-dire das l itervalle ] 5 x k, x k + [ 5 avec ue cofiace au mois (] égale à 0, 95. Ceci veut dire que la proportio θ appartiet à 95% 5 des itervalles de la forme x k, [ ) 5 x k + : (x,..., x ) {0, }. O dit que les variables aléatoires X,..., X, sot u échatillo de taille de loi de Beroulli de paramètre θ. 6.2 Modèle statistique paramétrique O suppose qu u certai phéomèe suit ue loi de probabilité coue, dépedat d u ou plusieurs paramètres, e gééral icou. O ote θ la collectio de paramètres, Θ l esemble des valeurs que peut predre θ et µ θ la loi correspodate. O se restreit au cas où µ θ est :. soit à valeurs das R, à desité otée p θ ; 2. soit à valeurs das u esemble fii ou déombrable E, de loi caractérisée par la doée des ombres {p θ (x)} x E. Afi de détermier la collectio des paramètres avec ue certitude partielle, vraie avec ue certaie probabilité, o réalise u certai ombre d expérieces aléatoires idépedates de loi µ θ. Défiitio. Soit µ θ ue loi de probabilité sur u esemble fii ou déombrable E ou à desité sur R. Soit. U échatillo de taille de loi µ θ est u -uplet (X,, X ) de variables aléatoires idépedates et de même loi µ θ. Ue observatio ou réalisatio x = (x,, x ) est formée des valeurs de réalisatio X (ω),, X (ω) des variables aléatoires X,, X, e u poit ω. Exemple.. Das l exemple itroductif, la loi µ θ est ue loi de Beroulli de paramètre θ icou, et Θ =]0, [. Nous avos itroduit les variables aléatoires X,..., X, idépedates, de même loi de Beroulli de paramètre icou θ, et avos observé des réalisatios de ces variables aléatoires. 2. O pourrait imagier u exemple où la loi µ θ est ue loi gaussiee de moyee m et de variace σ 2 icoues. Das ce cas, θ = (m, σ 2 ), et Θ = R R +. 7

118 Défiitio. O appelle modèle statistique paramétrique u triplet (X, A, (P θ ) θ Θ )) où X s appelle l espace des observatios, A est ue tribu sur X et (P θ ) θ Θ est ue famille de probabilités sur (X, A). Remarque. Si X = (X,, X ) est u échatillo de taille de loi µ θ, alors X est l espace das lequel X pred ses valeurs, celui das lequel vivet les observatios x = (x,, x ), la loi P θ est la loi P X θ du vecteur aléatoire X. Comme les variables aléatoires X,, X sot idépedates, la loi de probabilité P θ est etièremet détermiée par la loi µ θ. Plus particulièremet :. Si la loi µ θ est à desité p θ sur R, alors X = R, A est la tribu boréliee de R et pour tout bo sous-esemble B de X : P θ [B] = P X θ [B] = R I B (x,, x )p θ (x ) p θ (x )dx dx. 2. Si µ θ est défiie sur u esemble fii ou déombrable E, alors X = E, A = P(X ) et pour tout x = (x,, x ) apparteat à X : P θ [{(x,, x )}] = P X θ [{(x,, x )}] = p θ (x ) p θ (x ). O ote E θ et Var θ l espérace et la variace par rapport à la probabilité P θ. L objectif de la statistique paramétrique est de répodre à l ue des questios suivates :. problèmes d estimatio : estimer le paramètre icou θ, ou ue foctio réelle f(θ) de ce paramètre, soit par ue valeur uique (estimatio poctuelle), soit par u itervalle de cofiace, i.e. e répodat à la questio avec quelle probabilité f(θ) appartiet-il à [a, b]? 2. test d hypothèse : état doé u sous-esemble H 0 de Θ, il s agit de décider si θ appartiet ou o à H 0 ; o dit que l o teste l hypothèse H 0 cotre l hypothèse cotraire H. 6.3 Estimateur Soit (X,, X ) u échatillo de taille de loi µ θ. O ote P θ la loi joite du vecteur (X,, X ) et x = (x,, x ), x X, ue observatio. Défiitio. Soit f ue foctio défiie sur Θ à valeurs réelles. U estimateur de f(θ) est ue variable aléatoire T (X,..., X ) à valeurs das f(θ), utilisée pour estimer f(θ). U estimateur poctuel est la valeur de cet estimateur e u poit ω. Cette défiitio est assez géérale et e précise que peu le choix d u estimateur pour f(θ). Il est souhaitable qu il ait les propriétés supplémetaires suivates : cosistace, absece de biais (voir défiitios ci-dessous), miimisatio de l erreur moyee. À oter que le fait d être sas biais est pas essetiel, car il arrive que respecter cette cotraite etraîe la perte d autres propriétés importates. Il est égalemet utile que l estimateur suive ue loi coue. Défiitio. U estimateur T (X,..., X ) de f(θ) est cosistet ou coverget s il coverge e probabilité vers f(θ) : θ Θ, ε > 0, lim P θ[ T (X,, X ) f(θ) > ε] =

119 Remarque. Cette otio est pas explicitemet au programme. Néamois, il est pas iutile de la metioer car elle permet de mieux compredre certais théorèmes étudiés. Défiitio. Si l estimateur T (X,..., X ) de f(θ) est itégrable, so biais est défii par : θ Θ, E θ [T (X,, X )] f(θ). O dit que T (X,..., X ) est u estimateur sas biais si, θ Θ, E θ [T (X,, X )] = f(θ). Remarque. La otio de biais d u estimateur apparaît das les programmes de BTS. Elle e peut être exigible d u élève, mais doit par cotre être coue du professeur... Exemple. Soit (X,, X ) u échatillo de taille de loi µ θ. Notos m et σ 2 la moyee et la variace commue de l échatillo.. Moyee empirique. O souhaite estimer m = E θ (X ). U estimateur aturel est la moyee empirique, otée M ou X, défiie par : La moyee empirique observée, l échatillo (rappel : x k = X k (ω)). M = X = X k. x k, est u estimateur poctuel de la moyee de Exercice. Motrer que la moyee empirique est u estimateur sas biais et cosistet de la moyee m. 2. Variace empirique. O souhaite estimer σ 2 = E θ [(X E θ (X )) 2 ]. Si la moyee m = E θ (X ) de l échatillo est coue. Alors u estimateur aturel est V défii par : V = (X k m) 2. La valeur observée l échatillo. (x k m) 2 est u estimateur poctuel de la variace de Exercice. Motrer qu il s agit d u estimateur sas biais de la variace de l échatillo. Si la moyee de l échatillo est icoue. U estimateur aturel est la variace empirique, otée S 2, et défiie par : Alors ( x k ( S 2 = (X k M ) 2. 2 x i )) est u estimateur poctuel de la variace de l échatillo. i= Propriété 3. La variable aléatoire S 2 = la variace de l échatillo. (X k M ) 2 est u estimateur sas biais de 9

120 Démostratio. Comme les variables aléatoires X,, X sot idetiquemet distribuées : E θ [S 2 ] = E θ[(x M ) 2 ]. Calculos doc E θ [(X M ) 2 ]. Par liéarité de l espérace : [ E θ [(X M ) 2 ] = E (X = E θ [X 2 ] 2 X i ) 2] i= E θ [X X i ] + 2 i= E θ [X i X j ]. i= j= Comme les variables aléatoires sot idépedates et idetiquemet distribuées, { E(X 2 E(X i X j ) = ) si i = j E(X ) 2 si i j, aisi : 2 2 E θ (X X i ) = 2 [E θ(x) 2 + ( )E θ (X ) 2 ] i= i= j= E θ (X i X j ) = 2 [E θ (X) 2 + ( )E θ (X ) 2 ] i= = [E θ(x 2 ) + ( )E θ (X ) 2 ], d où E θ [(X M ) 2 ] =E θ [X 2 ] [E θ(x 2 ) + ( )E θ (X ) 2 ] = (E θ[x 2 ] E θ [X ] 2 ). O coclut que E θ [S 2 ] = E θ [X 2 ] E θ[x ] 2 = σ 2 et que la variace empirique est u estimateur sas biais de la variace de l échatillo. Exercice 6.. Pour tout ombre réel θ, o défiit l applicatio p θ sur R par : { 0 si x < θ p θ (x) = e (x θ) si x θ.. Motrer que, pour tout ombre réel θ, l applicatio p θ est ue desité de probabilité sur R. 2. Soit X 0 ue variable aléatoire de desité p θ. Motrer que X 0 admet u momet d ordre deux, et expliciter so espérace et sa variace. 3. Détermier la foctio de répartitio F 0 de X Soit et (X,..., X ) u échatillo de taille de la loi de X 0. O pose U = mi(x,..., X ) et M = X i. (a) Pour tout ombre réel t, calculer P[U > t]. E déduire la loi de U. 20 i=

121 (b) Motrer que M et U sot des estimateurs sas biais de θ. Solutio 6... L applicatio p θ est positive et cotiue sauf au poit θ. Il reste doc à motrer que l itégrale R p θ(x)dx = + θ e (x θ) dx existe et vaut. L applicatio x e (x θ) est cotiue sur R, doc localemet itégrable sur [θ, + [. Motros la covergece de l itégrale au moye d u chagemet de variable : posos y = x θ qui est mootoe et de classe C sur R, alors e (x θ) dx = e y dy et aisi + θ e (x θ) dx est de même ature que + 0 e y dy. Nous recoaissos l itégrale sur R de la desité d ue loi expoetielle de paramètre. Nous avios démotré das l exercice 6 que cette itégrale est covergete et vaut. Nous cocluos doc que l itégrale R p θ(x)dx est covergete et vaut. L applicatio p θ est doc bie ue desité de probabilité sur R. 2. Motros que la variable aléatoire X 0 admet u momet d ordre deux, c est-à-dire que l itégrale R x2 p θ (x) dx = + θ x 2 e (x θ) dx existe. L applicatio x x 2 e (x θ) est cotiue sur R doc localemet itégrable. Motros la covergece de cette itégrale au moye d u chagemet de variables : posos y = (x θ) qui est mootoe et de classe C sur R, alors : x 2 e (x θ) dx = (y + θ) 2 e y dy = (y 2 e y + 2θye y + θ 2 e y )dy. Aisi R x2 p θ (x)dx est de même ature que + 0 (y 2 e y + 2θ y e y + θ 2 e y )dy. Nous avios motré das l exercice 6 qu ue variable aléatoire expoetielle Y de paramètre admet des momets de tout ordre et ous avios calculé : E(Y ) =, E(Y 2 ) = 2. Nous cocluos doc que l itégrale R x2 p θ (x)dx est covergete et que : E(X0) 2 = x 2 p θ (x)dx = E(Y 2 ) + 2θE(Y ) + θ 2 = 2 + 2θ + θ 2 = + ( + θ) 2. R Comme la variable aléatoire X 0 admet u momet d ordre 2, elle admet égalemet u momet d ordre. Au moye du chagemet de variables y = x θ, ous obteos : + E(X 0 ) = x p θ (x)dx = x e (x θ) dx = R + Ceci ous permet de calculer la variace de X 0 : 0 θ (y + θ)e y dy = E(Y ) + θ = + θ. Var(X 0 ) = E(X 2 0) E(X 0 ) 2 = + ( + θ) 2 ( + θ) 2 =. 3. Soit t R. Par défiitio : F 0 (t) = t p θ(x) dx. Supposos t < θ, alors F 0 (t) = 0, car p θ (x) = 0 si x < θ. Supposos t θ : F 0 (t) = t θ e (x θ) dx = t θ 0 e y dy = [ e y] t θ 0 = e (t θ). Aisi, pour tout réel t, F 0 (t) = ( e (t θ) )I [θ, [ (t). O peut aussi remarquer que X 0 a la même loi que Y + θ, où Y suit ue loi expoetielle de paramètre. Cela permet d utiliser les résultats déjà démotrés pour la loi expoetielle. 2

122 4. (a) Soit t R, alors : P[U > t] = P[mi(X,, X ) > t] = P[{X > t} {X > t}] = P[X > t] P[X > t], puisque les v.a. X,, X sot idépedates = P[X 0 > t], puisqu elles ot même loi que X 0 = [ F 0 (t)]. Soit G 0 la foctio de répartitio de U. Alors, d après ce qui précède et la questio 3 : { G 0 (t) = P[U > t] = [ F 0 (t)] 0 si t < θ = e (t θ) si t θ. L applicatio G 0 est cotiue e tout poit de R et dérivable e tout poit sauf e θ. O e déduit que U admet ue desité, que l o otera q θ, et que, par exemple : { q θ (t) = G 0 si t < θ 0(t) = e (t θ) si t θ, autremet dit, pour tout réel t, o peut choisir q θ (t) = e (t θ) I [θ,+ [ (t). (b) E utilisat la liéarité de l espérace et le fait que les variables aléatoires X,, X ot toutes même loi que X 0, ous obteos : E[M ] = E[X i ] = E[X 0 ] = θ +. i= Aisi E[M ] = θ et o coclut que M est u estimateur sas biais de θ. Motros que U admet ue espérace, c est-à-dire que l itégrale R t q θ(t)dt = + θ t e (t θ) dt est covergete. L applicatio t t e (t θ) est cotiue sur R doc localemet itégrable sur [θ, + [. Motros la covergece au moye du chagemet de variable y = t θ qui est mootoe et de classe C sur R, alors : te (t θ) dt = (y e y + θ e y )dy. Aisi R t q θ(t)dt est de même ature que + 0 (y e y + θ e y )dy. Nous avios motré das l exercice 6 qu ue variable aléatoire Y de loi expoetielle de paramètre admet u momet d ordre et ous avios calculé E(Y ) =. Nous cocluos que l itégrale R q θ(t)dt est covergete et que : E[U ] = q θ (t)dt = E(Y ) + θ = + θ. Aisi E [ U ] = θ et U R est doc u estimateur sas biais de θ. Remarque. O e peut se coteter des estimatios poctuelles de la moyee et de la variace de otre échatillo, même si ces estimatios sot obteues à partir d estimateurs sas biais de ces paramètres. E effet, ous avos aucue idicatio sur la faço dot ces valeurs s écartet des vraies moyee et variace de l échatillo. Voir paragraphe

123 6.4 Rappels sur quelques lois utiles e statistique Voici des défiitios et propriétés que ous avos déjà vues, mais que ous rappelos pour leur utilité e statistiques. O se réfère aux exercices 4.25 et 4.26 de la sectio 4.6. Rappel. Si X,..., X sot des variables aléatoires idépedates, gaussiees de moyees m,..., m, et de variace σ 2,..., σ2, respectivemet, leur somme de moyee m k et de variace σ 2 k. X k suit ue loi gaussiee Défiitio. Soit d. O dit que la variable aléatoire Y d suit la loi du khi-deux à d degrés de liberté si elle est de la forme Y d = d Ni 2, où N,, N d sot d variables aléatoires gaussiees cetrées réduites idépedates. i= Propriété 4. Soit Y d ue variable aléatoire qui suit ue loi du khi-deux à d degrés de liberté. Alors :. elle admet ue desité p Yd de la forme x R, p Yd (x) = k d x d 2 e x 2 I[0,+ [ (x), où k d =, et Γ désige la foctio gamma ; 2 d 2 Γ( d 2) 2. elle est itégrable et admet comme espérace E[Y d ] = d ; 3. la foctio de répartitio de Y d a pas d expressio simple, elle est tabulée ; 4. si d > 30, pour tout itervalle I de R, o a P[ Y d 2d I ] P[N I], où N est ue variable aléatoire gaussiee cetrée réduite. Démostratio. (Remarques). Das l exercice 4.26, ous avos calculé la desité d ue variable aléatoire de loi du khi-deux à degré de liberté. 2. Le fait que Y d est itégrable découle de l existece de la variace d ue loi gaussiee et du fait que Y d est ue somme fiie de gaussiees au carré. Le calcul découle de la liéarité de l espérace. 4. Résultat admis, aisi que le fait que cette approximatio est excellete. Défiitio. Soit d. O dit que la variable aléatoire T d suit la loi de Studet à d degrés de liberté, si elle est de la forme N d Y d, où N est ue variable aléatoire gaussiee cetrée réduite, et où Y d suit la loi du khi-deux à d degrés de liberté et est idépedate de N. Propriété 5. Soit T d ue variable aléatoire qui suit la loi de Studet à d degrés de liberté. Alors :. elle admet ue desité p Td de la forme où c d = ( ) d+ x R, p Td (x) = c d + x2 2, d Γ( d+ 2 ) πd et Γ désige la foctio gamma ; 23

124 2. la foctio de répartitio de T d est pas simple même si elle se calcule ; o a alors recours à des tables qui permettet de calculer des quatités du type P[ T d c] ; 3. pour tout réel x, p Td (x) ted vers x 2 e 2 2π lorsque d ted vers + ; si d 30, pour tout itervalle I de R, o a P[ T d I ] P[N I], où N est ue variable aléatoire gaussiee cetrée réduite. Démostratio. (Remarques) Das l exercice 4.26, ous avos calculé la desité d ue variable aléatoire de Studet à d degrés de liberté. Les autres résultats sot admis. Propositio 6.. Soit (X,..., X ) u échatillo de taille de loi ormale de moyee m et de variace σ 2. Rappelos que M, V et S 2 sot respectivemet la moyee empirique, la variace empirique das le cas où m est cou, et la variace empirique das le cas où la moyee et la variace sot icoues. O a alors :. M m 2. σ 2 V = σ suit ue loi ormale cetrée réduite ; ) 2 suit ue loi du khi-deux à degrés de liberté ; 3. S 2 σ 2 = ( Xk m σ ( Xk M σ ) 2 suit ue loi du khi-deux à degrés de liberté et est idépedate de M (admis) ; 4. M m S suit ue loi de Studet à degrés de liberté. Démostratio. 4. Posos N = M m σ et Y = S σ. 2 Alors N est ue gaussiee cetrée 2 réduite, Y suit ue loi du khi-deux à d = degrés de liberté. De plus, d après le poit 3, N et Y sot idépedates. Il s esuit que N Studet à d degrés de liberté. d Y = M m σ σ S = M m S suit ue loi de 6.5 Itervalles de cofiace O repred les otatios du paragraphe 6.2 : (X,..., X ) est u échatillo de taille de loi µ θ, P θ est la loi joite du vecteur (X,, X ), x = (x,..., x ), x X, est ue observatio. Soit f ue foctio réelle défiie sur l esemble des paramètres Θ. Plutôt que d estimer poctuellemet f(θ), estimatio qui est probablemet voisie de f(θ) mais pratiquemet jamais égale à f(θ), o peut evisager de trouver u itervalle I(x,..., x ) qui dépede de l observatio x = (x,..., x ), et qui permette de : répodre à la questio f(θ) appartiet-il à l itervalle I(x,..., x )? doer ue précisio umérique à cette répose e disat que f(θ) appartiet à l itervalle I(x,..., x ) avec ue probabilité supérieure à 0, 9 ou 0, 95, ou 0, 99,... Cela coduit à la défiitio suivate : Défiitio. Soit α ]0, [. O appelle itervalle de cofiace au iveau α pour f(θ), ue famille d itervalles (I(x,..., x ) : (x,..., x ) X ) telle que : θ Θ, P θ [ f(θ) I(X,..., X ) ] α. Remarque. Attetio! U itervalle de cofiace est ue famille d itervalles détermiistes, et das la quatité P θ [ f(θ) I(X,..., X ) ], l itervalle I(X,..., X ) est aléatoire. 24

125 6.5. Itervalle de cofiace à partir de l iégalité de Bieaymé-Tchebychev Supposos que φ(x,..., X ) soit u estimateur sas biais de f(θ). Nous souhaitos chercher, quad cela est possible, u itervalle de cofiace au iveau α pour f(θ) de la forme : {I α (x,, x ) : (x,, x ) X } = = {]φ(x,..., x ) C α, φ(x,..., x ) + C α [ : (x,, x ) X }. Si l estimateur φ(x,..., X ) satisfait à quelques hypothèses, o peut trouver u tel itervalle de cofiace e utilisat l iégalité de Bieaymé-Tchebychev. Propositio 6.2. Soit (X,..., X ) u échatillo de taille de loi µ θ. Soit P θ la loi joite du vecteur aléatoire (X,, X ). O cosidère φ(x,..., X ) u estimateur sas biais de f(θ). O suppose que, pour tout θ Θ, φ(x,..., X ) admet ue variace sous P θ, et qu il existe u ombre réel r tel que : θ Θ, Var θ [φ(x,..., X )] r. Soit α ]0, [. Alors, (] r φ(x,, x ) α ; φ(x,, x ) + est u itervalle de cofiace pour f(θ) au iveau α. [ r α ) : (x,, x ) X Démostratio. Soit α ]0, [. Notos X le vecteur aléatoire (X,, X ). Remarquos que : Aisi, ous cherchos C α telle que : P θ (f(θ) I α (X)) = P θ (f(θ) ]φ(x) C α, φ(x) + C α [) = P θ ( φ(x) f(θ) < C α ). θ Θ, P θ ( φ(x) f(θ) < C α ) α. L estimateur état sas biais, f(θ) = E θ [φ(x)], et la variable aléatoire φ(x) admettat ue variace, ous pouvos utiliser l iégalité de Bieaymé-Tchebychev. Preos comme choix de ε : Aisi : Varθ [φ(x,, X )] ε =. α P θ [ φ(x) f(θ) ε] Var θ[φ(x)] ε 2 P θ [ φ(x) f(θ) < ε] Var θ[φ(x)], e passat au complémetaire P θ [ φ(x) f(θ) < ε] ( α) = α, par défiitio de ε. ε 2 Posos, C α = r α. Alors par hypothèse, ε C α, de sorte que { φ(x) f(θ) < ε} { φ(x) f(θ) < C α }. Doc : P θ [ φ(x) f(θ) < C α ] P θ [ φ(x) f(θ) < ε] α. Aisi, ous avos trouvé C α tel que θ Θ, P θ ( φ(x) f(θ) < C α ) α. 25

126 Remarque.. C est exactemet de cette faço que l o a procédé das l exemple itroductif de ce chapitre (cf. paragraphe 6.) : (X,, X ) est u échatillo de taille de loi de Beroulli de paramètre θ icou ; Θ =]0, [, X = {0, }. ; θ Θ, f(θ) = θ, et la moyee empirique, φ(x,, X ) = M, est u estimateur sas biais de la moyee θ ; ous avos motré que Var[M ] 4, d où r = 4 ; posos α = 0, 95, alors (] x k 5, x k + [ 5 : (x,..., x ) {0, } ), est u itervalle de (] cofiace pour θ au iveau 0, 95. C est-à-dire que θ appartiet à 95% des itervalles x 5 k, [ x 5 k + : (x,..., x ) {0, } ), et que θ appartiet pas à 5% de ces itervalles. Supposos que l o ait effectivemet fait u sodage sur = 500 parisies pour e estimer la proportio de chauves, et que l o ait trouvé 75 chauves. Aisi, x k = = 0, 5. O dira que la moyee θ du ombre de chauves parisies 5 est comprise etre 0, = 0, 05 et 0, = 0, 25 avec ue cofiace au mois égale à 0, Estimatio par itervalle de cofiace de la fréquece das le cas d ue loi de Beroulli (] de paramètre icou θ. Plus gééralemet, pour [ α ]0, [, ) x k, 2 ( α) x k + ; (x,..., x ) {0, } est u itervalle 2 ( α) de cofiace au iveau α pour la moyee icoue θ de otre échatillo de taille. 3. Remarquos que la logueur des itervalles de cofiace obteus das ce cas est. ( α) Aisi, pour diviser par 2 la logueur de l itervalle, il faut multiplier par 4. Par ailleurs, plus α est proche de, plus la logueur de l itervalle est grade. Il faut doc u compromis etre le iveau de cofiace α et la logueur de l itervalle. Exercice 6.2. O repred les estimateurs M et U (cf. l exercice 6.).. Costruire u itervalle de cofiace pour θ au iveau 0, 95 à partir de M. 2. À l aide de la variable U, proposer u autre itervalle de cofiace pour θ au iveau 0, 95. Comparer les deux itervalles de cofiace obteus (o comparera leurs logueurs). Solutio D après l exercice 6., o sait que M est u estimateur sas biais de θ, et que M admet u momet d ordre 2 car elle est somme fiie de variables aléatoires qui e 26

127 admettet u. Il e est doc de même pour M. Calculos Var θ [M ] : Var θ [M ] = Var θ [M ] = Var θ [ X i ] = 2 Var θ[ i= X i ], car la variace est quadratique i= = 2 Var θ [X i ], car les variables aléatoires X,, X sot idépedates i= = 2 Var θ[x 0 ] =, car elles ot toutes même loi que X 0. Comme la variable aléatoire M admet u momet d ordre deux, o peut lui appliquer l iégalité de Bieaymé-Tchébychev. Pour tout ε > 0, o a : P θ [ M E θ (M ) ε] Var θ[m ] ε 2 P θ [ M θ ε] ε 2, car M est u estimateur sas biais de θ P θ [ M θ < ε], e passat au complémetaire. ε2 P θ [θ ]M ε, M + ε[ ] ε 2. Fixos ε > 0 de sorte que 20. O e déduit : (] x i i= = 0, 95, i.e. ε = ε 2 20, x i + i= 20 est u itervalle de cofiace pour θ au iveau 0, 95. [ : (x,..., x ) R ) 2. E rédigeat de maière aalogue à l exercice 6., o motre que U admet u momet d ordre 2 et que : + E θ [U] 2 = t 2 q θ (t)dt = t 2 e (t θ) dt O e déduit : = R + 0 θ (y 2 e y + 2θ y e y + θ 2 e y )dy, avec y = t θ = E[Y 2 ] + 2θ E[Y ] + θ 2, où Y suit ue loi exp. de param. = 2 + 2θ + 2 θ 2 2 = (θ + ) Var θ [U ] = E θ [U] 2 E θ [U ] 2 = (θ + )2 + (θ + )2 2 2 = 2. E procédat comme à la questio précédete, puisque U est u estimateur sas biais de θ admettat u momet d ordre deux, o obtiet : [ P θ U ] θ < ε Var θ[u ] ε 2 = 2 ε [ 2 P θ θ ]U ε, U ] + ε[ 2 ε 2. 27

128 Fixos ε > 0 de sorte que = 0, 95, i.e. ε = 20 2 ε 2. Il s esuit que : ( ] mi(x,, x ) 20, mi(x,, x ) ) + 20 [ ; (x,, x ) R est u itervalle de cofiace pour θ au iveau 0, 95. Cet itervalle de cofiace est de logueur 2 20, alors que celui costruit sur M 20 est de logueur plus grade, 2, pour u même iveau de cofiace. O préférera doc celui costruit à partir de U Costructio d u itervalle de cofiace pour la moyee Soit (X,, X ) u échatillo de taille et de loi µ θ. Soit P θ la loi joite du vecteur aléatoire (X,, X ). O suppose que la variable aléatoire X admet ue espérace et o ote m l espérace commue à X,, X. O cosidère la moyee empirique M = X k comme estimateur de la moyee m et o fixe u iveau α ]0, [. Nous allos chercher, quad cela est possible, u itervalle de cofiace au iveau α pour m de la forme : {I α (x,, x ) : (x,, x ) X } {] = x k C α, E observat que : [ x k + C α : (x,, x ) X }. P θ (m I α (X,, X )) = P θ (m ]M C α, M + C α [) = P θ ( M m < C α ), ous cherchos C α telle que : θ Θ, P θ ( M m < C α ) α. (6.) Afi de cotiuer, ous avos besoi d iformatios supplémetaires sur la loi de l échatillo ou sur sa taille. Échatillo de taille de loi ormale N (m, σ 2 ) où σ est cou Propositio 6.3. Soit (X,..., X ) u échatillo de taille de loi N (m, σ 2 ) où σ 2 est cou et m est icou. Soit α ]0, [. Alors, 2 ) ) : (x,..., x ) R (] x k σ Π ( +α ; est u itervalle de cofiace pour m au iveau α. x k + σ Π ( +α 2 ) [ Démostratio. D après l équatio (6.), ous cherchos C α tel que : θ Θ, P θ ( M m < C α ) α. Das ce cas Θ = R, θ = m. Or, sous P θ, la variable aléatoire M m σ suit ue loi gaussiee cetrée réduite. Notos N ue variable aléatoire de loi N (0, ). Alors, [ M m P θ ( M m < C α ) = P θ σ < C ] [ α = P N < C ] α σ σ ( ) Cα = 2 Π, σ 28

129 d où il suffit de choisir C α tel que : ( ) ( ) Cα Cα 2 Π = α Π σ σ = + α. 2 Comme la foctio de répartitio Π de la loi ormale est bijective de R das ]0, [, o peut défiir Π ( +α 2 ). De la stricte croissace de Π, o déduit que Π ( +α 2 ) > Π ( 2 ) = 0. Aisi, il suffit de choisir C α = σ Π ( ) α+. 2 Remarque. Il s agit d u cas particulier de la méthode suivate, dite de la foctio pivotale. O suppose l existece d ue applicatio g : X R R telle que, si o ote X = (X,..., X ) :. pour tout θ Θ, g (X, f(θ)) suit ue loi de desité p, idépedate de θ ; 2. pour tout x X, l applicatio y R g(x, y) est cotiue strictemet mootoe. Si a et b sot deux ombres réels tels que α = b a p(y) dy, alors, pour tout θ Θ : P θ [ g (X, f(θ)) ]a, b[ ] = b a p(y) dy = α. Grâce à la deuxième coditio, il existe des applicatios réelles A et B défiies sur X telles que { g (X, f(θ)) ]a, b[ } soit égal à {f(θ) ]A(X), B(X)[ }. Il s esuit que la famille ( ]A(x); B(x)[; x X ) est u itervalle de cofiace pour f(θ) au iveau α. Das le cas ( de l échatillo gaussie de ) variace coue, l applicatio g : R R défiie par g(x, y) = σ x k y satisfait aux deux coditios (avec f(θ) = θ), et p est la desité de la gaussiee cetrée réduite. Exercice 6.3. D après Pha-Roweczyk. O modélise la durée de vie d ampoules électriques par ue loi ormale de moyee m icoue et d écart-type σ = 00.. O effectue ue observatio de la durée de vie sur = 50 lampes. Détermier u itervalle de cofiace pour la moyee m au iveau 0, Quelle doit être la taille de l échatillo pour que la logueur de l itervalle de cofiace soit iférieure à 20 heures? Solutio Ici, α = 0, 95, d où Π ( + α ) = Π (0, 975), 96, et 2 σ Π ( +α 2 ) = 00Π (0, 975) 27, O e déduit que (] 50 x k 27, 72; x k + 27, 72 [ : (x,..., x 50 ) R 50 ), est u itervalle de cofiace pour θ au iveau 0,

130 2. La logueur de l itervalle de cofiace (exprimée e heures) est : 2 σπ ( +α 2 ) = 2 00 Π (0, 975). O veut doc que 200 Π (0,975) 20, i.e. ( 0 Π (0, 975) ) 2, c est-à-dire 385. Échatillo de taille de loi ormale N (m, σ 2 ) où σ est icou Propositio 6.4. Soit (X,, X ) u échatillo de taille de loi N (m, σ 2 ) où σ est icou. Soit α ]0, [. Pour ue observatio (x,, x ), otos l écart-type empirique observé s = (x k x i ) 2. Soit T ue variable aléatoire de loi de Studet de paramètre, et d α tel que P[ T > d α ] = α. Alors, (] x k d α s ; est u itervalle de cofiace pour m au iveau α. i= [ s x k + d α : (x,, x ) R ) Démostratio. La démostratio de la propositio précédete repose sur le fait que l o coaît la loi de la variable aléatoire M m σ sous P θ. Ici, o e coaît pas la variace σ. Il est doc aturel de costruire ue régio critique à partir de la variable aléatoire M m S et de chercher ue costate c α telle que : θ Θ, P θ [ M m S ] < c α α. Or, sous P θ, la variable aléatoire M m S suit ue loi de Sudet à degrés de liberté, où S 2 = (X k M ) 2 est la variace empirique. Notos T ue variable aléatoire de loi de Studet à degrés de liberté. Alors, P θ [ M m S Il suffit doc de choisir c α tel que : ] < c α = P [ T < c α ] = P [ T c α ]. P[ T c α ] = α P[ T c α ] = α. Soit d α tel que P[ T > d α ] = α. Aisi, il suffit de choisir c α = d α. Échatillo de taille, > 30, de variace coue 30

131 Propositio 6.5. Soit (X,..., X ) u échatillo de taille, > 30, de loi µ θ admettat u momet d ordre 2. O suppose la variace de l échatillo coue et o la ote σ 2. Soit α ]0, [. Alors, (] x k σ Π ( +α 2 ) ; x k + σ Π ( +α 2 ) [ ) ; (x,..., x ) X est u itervalle de cofiace pour θ au iveau (eviro) égal à α. Démostratio. La démostratio est aalogue à celle faite das le cas de l échatillo gaussie. Notos m la moyee icoue de l échatillo. Sous ces hypothèses, o peut appliquer le théorème cetral limite et approcher ( est grad) M m σ par ue variable aléatoire gaussiee de moyee 0 et variace. ] Remarque. Il s agit ici d ue approximatio [ : la probabilité que m appartiee à l itervalle M σπ ( +α 2 ) ; M + σπ ( +α 2 ) est à peu près égale à α, d où la formulatio de l éocé. Échatillo de taille de Beroulli de moyee icoue lorsque la loi biomiale est approchable par ue loi ormale Propositio 6.6. Soit (X,..., X ) u échatillo de taille de loi de Beroulli de paramètre icou θ. O suppose que les paramètres et θ sot tels que la variable S = X k de loi biomiale est approchable par ue loi ormale (classiquemet, 0, et θ et ( θ) dépasset quelques uités). Soit α ]0, [, alors (] x k Π ( +α 2 ) 2, x k + Π ( +α 2 ) [ ) 2 : (x,..., x ) {0, } est u itervalle de cofiace pour la moyee θ de l échatillo au iveau (eviro) égal à α. Démostratio. D après l équatio (6.), ous cherchos C α tel que : θ Θ, P θ ( M m < C α ) α. ( S θ P θ ( M θ < C α ) = P θ Var(X ) < ( S E(S ) = P θ Var(S ) < P θ ( S E(S ) Var(S ) C ) α Var(X ) C ) α, car Var(X ) = θ( θ), θ( θ) ) < 2C α, car θ( θ) sur [0, ]. 4 Comme 0 et que θ et ( θ) dépasset quelques uités, o est das les coditios d applicatio du théorème cetral limite. O e déduit : ( ) S E(S ) P θ Var(S ) < 2C α 2 Π(2C α ). 3

132 Aisi, si o pose C α = ( ) 2 Π α+ 2, o obtiet, pour tout θ Θ : ( ) ( ) S E(S ) α P θ Var(S ) < 2C S E(S ) α et P θ Var(S ) < 2C α P θ ( M θ < C α ). Remarque. O a vu que, sous les hypothèses ci-dessus permettat d approcher ( o e dit pas approximer, ce verbe existe pas e fraçais!) la loi biomiale par la loi de Gauss, [ ] M P θ θ < Π ( +α θ( θ) 2 ) α, c est-à-dire [ P θ θ ]M Π ( +α 2 ) θ( θ) ; M + Π ( +α 2 ) ] θ( θ) [ α. O pourrait doc avoir evie de cosidérer des itervalles de cofiace de la forme ] x k Π ( +α 2 ) θ( θ) ; x k + Π ( +α 2 ) [ θ( θ), e remplaçat le paramètre icou θ. O trouve das les livres deux types d itervalles de cofiace assez curieux :. o remplace θ par l estimateur poctuel de la moyee d u échatillo de Beroulli, à savoir par x = x k ; l itervalle de cofiace proposé deviet : I(x,..., x ) = ] x Π ( +α 2 ) x( x) ; x + Π ( +α 2 ) x( [ x) ; 2. o remplace θ( θ) qui est la variace de l échatillo de Beroulli, par l estimateur poctuelle de la variace lorsque la moyee est icoue, à savoir par s 2 = (x k ] x) 2 ; l itervalle de cofiace proposé deviet : I(x,..., x ) = x s Π ( +α 2 ) ; x + s Π ( +α Mais, das les deux cas, o e voit pas commet estimer P θ [θ I(X,..., X )], ecore mois commet cette probabilité peut être égale à α sas outils plus sophistiqués... Prudece, prudece doc, avat d écrire importe quoi... Ce type de résultats peuvet être démotrés, mais fot appel à des otios plus compliquées. Pour e savoir plus, o pourra par exemple lire le cours de l ENSTA de Jea-Fraçois Delmas, chapitre V.7, th. V.29 (théorème de Slutsky). 2 ) [. 6.6 Tests 6.6. Exemple itroductif D après le cours de Pierre Priouret. Supposos que la probabilité qu ue vache doe aissace à u veau ou à ue géisse est la même, à savoir 2. Cette hypothèse est vraisemblablemet fausse, ous avos vu au.2.4 que les filles et les garços e aisset pas e proportios égales, alors, 32

133 pourquoi serait-ce le cas chez les rumiats? Mais peu importe. L idustrie laitière s itéresse tout particulièremet aux procédés permettat d obteir plus de géisses que de veaux. U biologiste préted avoir trouvé ue méthode pour faire aître plus de géisses que de veaux et la teste sur 20 vaches sélectioées au hasard. Il aît 3 géisses et 7 veaux, soit ue proportio de 3 20 = 0, 65 de géisses, très supérieure à la proportio aturelle de 0, 5. Peut-o coclure à l efficacité de la méthode? Modélisos le ombre de géisses X par ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètres = 20 et θ icou (o est das le cas d u schéma de Beroulli), avec θ > 0, 5 si la méthode est efficace, θ = 0, 5 si elle est iefficace : o suppose tout de même que le biologiste a u miimum de compéteces et que la méthode e produit pas l effet iverse de l effet recherché! Cosidéros l évéemet {X 3} qui s est produit. Si la méthode est iefficace, c est-à-dire si θ = 0, 5, cet évéemet a pour probabilité : 20 3 ( ) = 0, 36. k Sous l hypothèse de l iefficacité de la méthode, l évéemet qui s est produit est doc pas du tout exceptioel. Aisi, o e rejette pas l hypothèse θ = 0, 5, c est-à-dire qu o e rejette pas le fait que la méthode soit iefficace. O e peut cepedat pas, a priori, accepter l hypothèse que la méthode est iefficace. U autre biologiste préted à so tour avoir mis au poit u procédé efficace, et o le teste sur = 900 vaches. Il aît 497 géisses et 403 veaux, soit ue proportio de , 522 de géisses, supérieure à la proportio aturelle, mais bie iférieure à la proportio obteue avec la méthode du premier biologiste. Supposos que la méthode soit iefficace. Le ombre de géisses X est modélisé par ue variable aléatoire de loi biomiale cette fois de paramètres = 900 et θ = 0, 5. L évéemet {X 497} qui s est produit s écrit ecore { X /2 47 /4 et, comme est grad, est de probabilité à peu près égale à Π( 47 5 ) 0, (grâce au théorème cetral limite). C est u évéemet de probabilité très faible. O peut doc rejeter avec ue très forte probabilité (mais évidemmet pas de faço certaie!) le fait que θ = 0, 5, c est-à-dire que l o peut rejeter le fait que la méthode est iefficace. 5 }, Défiitios La situatio géérale est la suivate. O se doe u modèle statistique paramétrique (X, A, (P θ ) θ Θ ), et deux sous-esembles Θ 0, Θ de Θ, tels que Θ 0 Θ = Θ et Θ 0 Θ =. O appelle test d hypothèse ue règle de décisio qui permette de décider, à la vue de l observatio x = (x,..., x ) X, etre les hypothèses H 0 : θ Θ 0 et H : θ Θ. H 0 est appelée hypothèse ulle, c est celle que l o imagie être vraie, c est-à-dire vraie à mois que l o ait de fortes preuves qu elle e le soit pas ; H s appelle hypothèse alterative, elle est moralemet plus osée. U test est détermié par u évéemet D de X, appelé régio critique, tel que si l observatio x appartiet à D, o refuse l hypothèse H 0 θ appartiet à Θ 0. O appelle erreur de première espèce le rejet de H 0 à tort. L erreur de première espèce est mesurée par les probabilités : {P θ (D), θ Θ 0 }. 33

134 Soit α ]0, [ fixé. O dira qu u test est de iveau ou risque α, respectivemet seuil α, si : sup P θ (D) = α, respectivemet sup P θ (D) α. θ Θ 0 θ Θ 0 Aisi, la probabilité de refuser à tort H 0 est majorée par le iveau α du test. Si o e rejette pas H 0, o e l accepte pas pour autat. Accepter H 0 à tort reviet à rejeter H à tort, ce qui est commettre ue erreur de secode espèce. L erreur de deuxième espèce est mesurée par les probabilités : {P θ (D c ), θ Θ }. O appelle puissace du test, la foctio β : Θ [0, ], défiie par β(θ) = P θ (D). Le iveau α du test état fixé, il s agit de trouver des régios D telles que l erreur de deuxième espèce soit la plus petite possible. Autremet dit, parmi les tests de iveau α, o cherche ceux de plus grade puissace. Ce est pas toujours possible. Das la théorie classique des tests, o fixe u seuil maximum à l erreur de première espèce, à savoir 0, ou 0, 05 ou 0, 0. Remarque. O remarquera, et cela est fodametal, que les deux hypothèses H 0 et H sot traitées de faços dissymétriques. Leur choix est doc pas idifféret. Par exemple, lors d u procès crimiel, si l o pred pour hypothèse H 0, l accusé est iocet, ce qui est la présomptio d iocece, l erreur de première espèce qui représete la probabilité de codamer à tort u iocet, peut être cosidérée comme plus grave que l erreur de deuxième espèce qui représete la probabilité d acquitter u coupable Cas de deux hypothèses simples Θ = {θ 0, θ } Ce paragraphe est pas au programme du cocours, mais sa simplicité permet de mieux appréheder la otio de test. Il s agit de tester des hypothèses simples H 0 : θ = θ 0 cotre H : θ = θ. Propositio 6.7 (Lemme de Neyma-Pearso.). O cosidère u modèle statistique paramétrique (X, A, (P θ ) θ Θ ). O suppose que Θ = {θ 0, θ } et que les lois P θ0 et P θ de l échatillo X = (X,..., X ) ot des desités, otées respectivemet p 0 et p. Soiet α ]0, [ et D α l évéemet : D α = {(x,..., x ) X ; p (x,..., x ) λ α p 0 (x,..., x )}, où λ α est choisi de sorte que P θ0 (D α ) = α. Alors D α est la régio critique du test de iveau α de H 0 cotre H, le plus puissat. Démostratio. Afi de simplifier les otatios, ous omettos l idice α. Soit B ue autre régio critique de iveau α. Nous devos motrer que P θ (B) P θ (D). Remarquos d abord que : P θ0 (B D c ) = P θ0 (B) P θ0 (B D) = α P θ0 (B D) et P θ0 (D B c ) = α P θ0 (D B) d où P θ0 (B D c ) = P θ0 (D B c ). 34

135 Comme (B D c ) D c et (D B c ) D, o a : P θ0 (B D c ) = p 0 (x,, x )dx dx B D c p (x,, x )dx dx = λ B D c λ P θ (B D c ), et P θ0 (D B c ) λ P θ (D B c ). Aisi, P θ (B D c ) λ P θ0 (B D c ) = λ P θ0 (D B c ) P θ (D B c ), et o coclut : P θ (B) = P θ (B D c ) + P θ (B D) P θ (D B c ) + P θ (B D) = P θ (D) Test pour la moyee Soit (X,, X ) u échatillo de taille de loi µ θ et de moyee commue m. O ote P θ la loi joite du vecteur aléatoire (X,, X ). O souhaite tester deux sortes d hypothèses pour la moyee.. H 0 : m = m 0 cotre H : m m 0, appelé test bilatère et o bilatéral qui est ue mauvaise traductio de l aglais bilateral. 2. Si l o sait que la moyee m satisfait à m m 0, o teste alors les hypothèses : H 0 : m = m 0 cotre H : m > m 0, appelé test uilatère. De maière aalogue, si l o sait que la moyee m satisfait à m m 0, o teste alors les hypothèses : H 0 : m = m 0 cotre H : m < m 0. Soit α ]0, [ u seuil fixé. Il est alors aturel de chercher ue régio critique de la forme :. D α = {x X : M m > C α }, 2. D α = {x X : M m > C α } ou D α = {x X : M m < C α }. État doé que l hypothèse H 0 est simple, le test est de iveau α, si : P m0 (D α ) = α. Détaillos ceci das le cas d u test bilatère. O cherche C α tel que : ] α = P m0 (D α ) = P m0 [(x,, x ) X : x k m 0 > C α. (6.2) Afi de cotiuer, ous avos besoi de plus d iformatios sur la loi de l échatillo ou sur sa taille. Échatillo de loi gaussiee de paramètres m et σ 2 Soit (X,, X ) u échatillo de taille de loi gaussiee de moyee m et de variace σ 2. Soit m 0 R. Das ce cas, il faut traiter séparémet le cas où la variace est coue de celui où elle e l est pas. O ote T ue variable aléatoire de loi de Studet à degrés de liberté. Propositio

136 (A) Cas où la variace σ 2 est coue. () (Test bilatère). Soit H 0 : m = m 0 et H : m m 0. Posos, { D α = (x,..., x ) R : x k m 0 > Π ( α 2 )σ }. Alors, D α est la régio critique d u test de iveau α de H 0 cotre H. (2) (Test uilatère). Soit H 0 : m = m 0 et H : m > m 0. Posos, { } D α = (x,..., x ) R : x k m 0 > Π ( α) σ. Alors, D α est la régio critique d u test de iveau α de H 0 cotre H. (2) (Test uilatère). Soit H 0 : m = m 0 et H : m < m 0. Posos, { } D α = (x,..., x ) R : x k m 0 < Π (α) σ. Alors, D α est la régio critique d u test de iveau α de H 0 cotre H. (B) Cas où la variace σ 2 est pas coue. () (Test bilatère). Soit H 0 : m = m 0 et H : m m 0. O défiit d α par α = P[ T d α ], et o pose : ( ) 2 d α x i D α = (x,..., x ) R x j i= j= : x k m 0 >. ( ) Alors, D α est la régio critique d u test de iveau α de H 0 cotre H. (2) (Test uilatère). Soit H 0 : m = m 0 et H : m > m 0. O défiit d α par α = P[T d α ], et o pose : ( ) 2 d α x i D α = (x,..., x ) R x j i= j= : x k m 0 >. ( ) Alors, D α est la régio critique d u test de iveau α de H 0 cotre H. (2) (Test uilatère). Soit H 0 : m = m 0 et H : m < m 0. O défiit d α par α = P[ T d α ], et o pose : ( ) 2 d α x i D α = (x,..., x ) R x j i= j= : x k m 0 <. ( ) Alors, D α est la régio critique d u test de iveau α de H 0 cotre H. 36

137 Remarque. O rappelle que la desité d ue variable de Studet est paire, de sorte que P[ T d c ] = 2P[ T d c ]. Aisi : P[ T d c ] = P[ T d c ] = 2 P[ T d c ]. O rappelle ecore que, si d 30, P[ T d I ] P[N I], pour tout itervalle I de R. Lorsque d < 30, o utilise des tables pour calculer des quatités du type P[ T d c ]. Démostratio. (A) Cas où la variace σ 2 est coue. Le paramètre icou θ état la moyee m de l échatillo, l esemble des paramètres est Θ = R. Das ce cas, H 0 : m = m 0. Le test repose sur le fait que, sous l hypothèse H 0, la variable M m 0 σ suit ue loi gaussiee cetrée réduite, où M = X k. Notos N ue variable aléatoire ormale cetrée réduite. Nous prouvos le résultat uiquemet das le cas d u test bilatère : test de m = m 0 cotre m m 0. D après l équatio (6.2), ous cherchos C α tel que : Or, α = P m0 [D α ] = P m0 [ M m 0 > C α ]. [ P m0 [ M m 0 > C α ] = P N > C α σ ( = 2 Π ] ( Cα σ )). ( ( )) O cherche doc C α tel que : α = 2 Π Cα σ. Il suffit de choisir C α = σ Π ( α ) 2. (B) Cas où la variace σ 2 est pas coue. Le paramètre icou θ est cette fois le couple moyee-variace (m, σ 2 ) de l échatillo, de sorte que l esemble des paramètres est Θ = R R +. Das ce cas, H 0 : (m, σ 2 ) {m 0 } R +. Le test repose sur le fait que, sous l hypothèse H 0, la variable M m 0 S suit ue loi de Studet à degrés de liberté, où S = (X k M ) 2. Notos T ue variable aléatoire de loi de Studet à degrés de liberté. Nous prouvos le résultat uiquemet das le cas d u test bilatère. Comme pour la costructio d u itervalle de cofiace, au lieu de travailler à partir de la variable aléatoire M m 0 ou e fait de M m 0 σ, ous allos travailler ici à partir de la variable aléatoire M m 0 puisqu o e coaît pas la variace σ. Nous cherchos doc ue S costate c α telle que : α = P m0 [D α ] = P m0 [ M m 0 S > c α Or, sous P m0, la variable aléatoire M m S suit ue loi de Sudet à degré de liberté. Alors, [ ] M m P m0 S > c α = P [ T > c α ] Il suffit doc de choisir c α = d α où P[ T > d α ] = α. 37 ].

138 Remarque.. Si o e rejette pas l hypothèse H 0, pourquoi e peut-o pas e gééral l accepter? Accepter H 0 reviet e fait à rejeter H. Calculos par exemple la probabilité de commettre ue erreur de deuxième espèce, c est-à-dire de rejeter l hypothèse H à tort, autremet dit d accepter H 0 à tort, das le cas d u test de m = m 0 cotre m < m 0 lorsque la variace de l échatillo gaussie est coue. Puisque H est l hypothèse m ], m 0 [ das ce cas, l erreur de deuxième espèce est majorée par : sup P m [Dα]. c m<m 0 Pour m fixé, calculos P m [Dα] c : [ P m [Dα] c = P m M m 0 > Π (α) σ ] [ ] M m = P m > Π (α) + σ σ (m m 0) = P[N > Π (α) + σ (m m 0)] = Π[Π (α) + σ (m m 0)], où N est ue variable aléatoire ( gaussiee cetrée réduite. Or, l applicatio m Π Π ) (α) + σ (m 0 m) est cotiue croissate, de sorte que sa bore supérieure sur l itervalle ], m 0 [ est égale à sa valeur e m 0, à savoir Π(Π (α)) = α. La probabilité d accepter à tort l hypothèse H 0 vaut doc α... mais α est petit, doc α est proche de... O compred pourquoi cela a pas de ses d accepter l hypothèse H 0 avec ce type de test! 2. Nous avos éocé les tests tels qu ils figuret désormais das les programmes du cocours du CAPES. O remarquera que l o peut aisémet étedre les résultats pour des tests de m m 0 cotre m > m 0, ou de m m 0 cotre m < m 0, qui sot les tests éocés le plus fréquemmet das la littérature mathématique. O calcule alors l erreur de première espèce e utilisat la cotiuité et la croissace de la foctio de répartitio Π de la gaussiee cetrée réduite, comme pour le calcul de l erreur de deuxième espèce das la remarque ci-dessus. Échatillo de loi de Beroulli de paramètre icou θ ]0, [. Soit (X,..., X ) u échatillo de taille de loi de Beroulli de paramètre icou θ ]0, [. O suppose que et θ sot tels que la variable aléatoire X k, qui suit ue loi biomiale de paramètres (, θ), est approchable par ue loi ormale (classiquemet 0 et θ, ( θ) dépasset quelques uités). Soit θ 0 ]0, [. O obtiet alors les résultats suivats : Propositio 6.9. Soit α ]0, [ le iveau fixé du test.. (Test bilatère). Soit H 0 : θ = θ 0 et H : θ ]0, [\{θ 0 }. Posos : { D α = (x,..., x ) {0, } ( ; x k θ 0 > Π α ) } 2 θ0 ( θ 0 ). 38

139 Alors, D α est la régio critique d u test de iveau (à peu près égal à) α de H 0 cotre H. 2. (Test uilatère). O suppose que l o sait que θ appartiet à l itervalle [θ 0, [. Soit alors, H 0 : θ = θ 0 et H : θ ]θ 0, [. Posos : { D α = (x,..., x ) {0, } ; x k θ 0 > Π ( α) } θ 0 ( θ 0 ). Alors, D α est la régio critique d u test de iveau (à peu près égal à) α de H 0 cotre H. 3. (Test uilatère). O suppose que l o sait que θ appartiet à l itervalle ]0, θ 0 ]. Soit alors, H 0 : θ = θ 0 et H : θ ]0, θ 0 [. Posos : { D α = (x,..., x ) {0, } ; x k θ 0 < Π (α) } θ 0 ( θ 0 ). Alors, D α est la régio critique d u test de iveau (à peu près égal à) α de H 0 cotreh. Coséqueces Si (x,..., x ) D α, o rejette l hypothèse θ = θ 0, et la probabilité de se tromper est e gros majorée par α. Si (x,..., x ) / D α, o e peut pas rejeter l hypothèse θ = θ 0. O e peut pas l accepter o plus car o e sait pas si la probabilité d accepter à tort l hypothèse H 0, c est-à-dire sup θ θ 0 P θ [D c α] est faible ou o. Exercice 6.4. D après Duod ex.., p. 40. Das la populatio fraçaise, le pourcetage d idividus de rhésus égatif est de 5%. Das u échatillo représetatif de 200 basques fraçais, o observe que 44 persoes sot de rhésus égatif. Peut-o dire, au risque α = 0, 05, que les basques diffèret du reste de la populatio fraçaise e ce qui cocere le rhésus? Quelle serait la coclusio si o avait observé seulemet 37 basques de rhésus égatif parmi les 200 persoes testées? Solutio 6.4. Le ombre de basques de rhésus égatif suit ue loi biomiale de paramètres = 200 et θ ]0, [ icou, avec θ = 0, 5 si les basques e diffèret pas du reste de la populatio fraçaise e ce qui cocere le rhésus, θ 0, 5 sio. O pose H 0 : θ = 0, 5 et H : θ ]0, [\{0, 5}. O fait doc u test de H 0 ( cotre H) das le cas d ue loi biomiale approchable par ue loi gaussiee. Posos c = Π 0,05 = Π (0, 975), 96 et : { D α = (x,..., x 200 ) {0, } ; x k 0, > c } 0, 5.0, O a c 0,5.0, , 049 et 200 x k 0, = 44 0, = 0, 07 > c 0, 5.0, O e déduit que l observatio x = (x,..., x 200 ) appartiet à D α : o rejette l hypothèse H 0. Les basques diffèret du reste de la populatio fraçaise e ce qui cocere le rhésus, et la probabilité de se tromper est iférieure à 0,

140 Avec 37 basques au lieu de 44, o trouve : x k 0, 5 = , 5 = 0, 045 < c 0,5.0,85. Cette fois l observatio appartiet 200 pas à D, de sorte qu o e peut pas rejeter l hypothèse H 0. Exercice 6.5. D après Duod ex..2, p. 40. Das ue populatio, le pourcetage d idividus présetat des rides est de 25%. Sur 200 persoes ayat suivi u traitemet ati-rides, o observe que 40 persoes ot des rides. Au risque α = 0, 05, peut-o dire que le traitemet est efficace? Solutio 6.5. Le ombre de persoes ayat des rides après le traitemet suit ue loi biomiale de paramètres = 200 et θ ]0, [ icou, avec θ = 0, 25 si le traitemet est iefficace, et θ < 0, 25 si le traitemet est efficace (o suppose tout de même que le traitemet e favorise pas l apparitio des rides, ce qui serait u comble!) O pose H 0 : θ = 0, 25 et H : θ ]0; 0, 25[, et o fait doc u test uilatère de H 0 cotre H das le cas d ue loi biomiale approchable par ue loi gaussiee. Posos 0, 05 = Π(c) = Π( c) d où Π( c) = 0, 95, i.e. c = Π (0, 95), 645 et : D = { (x,..., x 200 ) {0, } 200 ; } x k 0, 25 < c 0, 25.0, Or c 0, 25.0, , 0504 et x k 0, 25 = 40 c 0, 25.0, 75 0, 25 = 0, 05 >, de sorte que l observatio appartiet pas à D : o e peut pas rejeter l hypothèse H 0 de l iefficacité du traitemet. Ce qui e veut pas dire o plus qu il est efficace, o e sait pas coclure! Comparaiso de deux moyees Propositio 6.0. Soiet (X,..., X ) et (Y,..., Y m ) deux échatillos gaussies idépedats de même variace, de lois respectives N (µ, σ 2 ) et N (µ 2, σ 2 ). O veut tester l hypothèse H 0 : µ = µ 2 cotre l hypothèse H : µ µ 2. O ote : X = X k, S 2 = Ȳ m = m m Y k, (X k X ) 2, S2 2 = m m (Y k Ȳm) 2. Sous l hypothèse H 0 : µ = µ 2, la variable aléatoire + m 2 X Z = Ȳm ( )S 2 + (m, )S2 2 + m suit ue loi de Studet à + m 2 degrés de liberté. 40

141 O e déduit le test suivat. Soit α ]0, [. Fixos d α > 0 tel que P[ T +m 2 d α ] = α, où T +m 2 suit ue loi de Studet à + m 2 degrés de liberté. m D α = (x,..., x, y,..., y m ) R +m : +m 2 + m (x i i= x k y m k x k ) 2 + m m (y i y m k ) 2 i= est la régio critique d u test de H 0 : µ = µ 2 cotre H : µ µ 2, de iveau α. Remarque. Classiquemet, si x = (x,..., x ) et y = (y,..., y m ) sot les observatios, o ote x = ȳ = m m x k, s 2 = y k, s 2 2 = m (x k x) 2, m (y k ȳ) 2, de sorte que l o écrit souvet la régio critique sous la forme : { + m 2 D α = (x,..., x, y,..., y m ) R +m ; + m x ȳ ( ) s 2 + (m )s 2 2 d α } Exercice 6.6. Polycopié de Priouret. Les 48 copies d u exame sot partagées au hasard etre deux correcteurs. Le correcteur A e corrige 85 et le secod B, e corrige 63. Leurs moyees respectives sot de 0, 5 et 9, 6, avec, pour les otes de A, s 2 =, 25, et pour celles de B, s 2 2 = 8, 4 (avec les otatios classiques rappelées ci-dessus). La différece etre les deux correcteurs est-elle sigificative au seuil α = 0, 0? O modélise les otes de chaque correcteur comme les valeurs prises par des variables aléatoires gaussiees de même variace, dot les moyee µ et µ 2 caractériset la sévérité du correcteur. Même questio si s 2 = 4,, et pour celles de B, s2 2 = 3, 9, les autres doées restat ichagées.. d α, Solutio 6.6. O est das le cas de la propositio précédete pour faire u test de µ = µ 2 cotre µ µ 2, avec = 85, x = 0, 5 ; s 2 =, 25, m = 63 ; ȳ = 9, 6 ; s2 2 = 8, 4. Comme + m 2 est grad, P[ T +m 2 c ] P[ N c ]. O cherche doc c tel que P[ N c ] = α = 0, 0, i.e. tel que 2( Π(c)) = 0, 0, soit ecore c = Π (0, 995), c 2, 575, et l o choisit pour régio critique { } 46 D = (x,..., x 85, y,..., y 63 ) R 48 x ȳ ; 85 + c s s 2 2 x ȳ ( ) s 2 +(m ) s 2 2 Comme +m 2 + m e peut pas rejeter l hypothèse d égalité des moyees. Lorsque s 2 = 4, et s2 2 = 3, 9, o trouve +m 2 + m, 7, l observatio appartiet pas à D, de sorte que l o x ȳ ( ) s 2 +(m ) s 2 2 2, 7. Cette fois, l observatio appartiet à D et o rejette l hypothèse d égalité des moyees. Remarquos au passage le rôle importat joué par les variaces empiriques s 2 et s Test d adéquatio à ue loi Preos u exemple. O cosidère u caractère géétique pour lequel o suppose ue trasmissio medéliee (trasmissio due à la mutatio d u seul gèe) gouverée par u gèe 4

142 preat les deux formes A et B. Supposos que l o sache idetifier les idividus AA, AB et BB. Si le modèle medélie est adapté à la situatio, les fréqueces théoriques des trois possibilités sot respectivemet 4, 2 et 4. C est cette hypothèse que l o souhaite tester par u test dit du χ 2 (test du chi-deux). Soit ue variable aléatoire Y à valeurs das l esemble fii {y,..., y N }. O ote p = (p k ) k N où p k est la probabilité de l évéemet {Y = y k }. O souhaite comparer ce vecteur p à ue valeur particulière p 0 (das l exemple ci-dessus, N = 3 et p 0 est le vecteur de composates ( 4, 2, 4 )). O désire doc tester l hypothèse H 0 p = p 0 cotre l hypothèse H p p 0. O dispose de réalisatios idépedates Y,..., Y de Y, i.e. (Y,..., Y ) est u échatillo de taille de la loi de Y. Notos N,..., N N, les effectifs de chaque valeur possible pour Y i.e. Ni = I {Yj =y i } compte le ombre de fois où l o a obteu la valeur y i. O a bie sûr, j= puisque chaque variable Y j e peut predre que les valeurs y,..., y N : N Ni = i= N i= j= I {Yj =y i } = j= i= N I {Yj =y i } = =. ) Pour tout k {,..., N}, o ote p k les fréqueces empiriques, et p = ( p k le vecteur k N des fréqueces empiriques. Aisi, si,..., N sot des etiers aturels tels que + + N =, o a : P [ N =,..., NN = N ] [ ] = P { i variables preet la valeur y i } i= ( )( ) ( ) ( + + N ) = (p )... (p N ) N = 2!!... N! (p )... (p N ) N. Défiissos la distace du χ 2 etre lois sur {y,..., y N }. Si p = (p k ) k N et q = (q k ) k N sot deux vecteurs de composates strictemet positives dot la somme est égale à, alors : χ 2 (p, q) = N N (p k q k ) 2 q k. E fait, il e s agit pas d ue vraie distace car, par exemple, elle est pas symétrique. Cepedat, o a bie l équivalece : χ 2 (p, q) = 0 p = q. Par ailleurs : χ 2 ( p, p 0 ) = N (N k p0 k )2 p 0 k j= (Nk est l effectif valat y k observé, p 0 k est l effectif théorique valat y k ; o compare doc les effectifs observés aux effectifs théoriques). Théorème 6.. (admis). O suppose que : k {,..., N}, p 0 k 0. i) Soit I u itervalle de R. Sous l hypothèse H 0 : p = p 0, o a : [ ] lim P χ 2 ( p, p 0 ) I = P [ χ 2 + N I ], où χ 2 N est ue variable qui suit ue loi du χ2 à N degrés de liberté. ii) Sous l hypothèse H : p p 0, χ 2 ( p, p 0 ) ted e probabilité vers +. 42

143 O e déduit u test asymptotique pour grad, appelé test du χ 2. Propositio 6.. O suppose grad. Soit α ]0, [. Soit β N α le fractile d ordre α de la loi du χ 2 à N degrés de liberté, i.e. P[ χ 2 N βn α ] = α. Si l observatio vérifie χ 2 ( p, p 0 ) > β N α alors o rejette l hypothèse H 0 p = p 0, et la probabilité de rejeter à tort l hypothèse est de l ordre de α. Si l observatio vérifie χ 2 ( p, p 0 ) β N α, alors o e peut pas rejeter l hypothèse H 0 p = p 0. Remarque. D après le théorème précédet, la probabilité de rejeter à tort l hypothèse H 0 ted vers α quad ted vers l ifii. O parle de test de iveau asymptotique α. Le problème est de savoir à partir de quelles valeurs de l approximatio est justifiée. Il y a pas de résultats théoriques précis. À partir de cosidératios heuristiques reposat sur des simulatios (et doc sur l expériece et o sur la théorie), o cosidère gééralemet que l approximatio asymptotique est justifiée dès que : k {,..., N}, p k > 5. Exercice 6.7. D après Duod ex. 0., p. 27 O a effectué le croisemet de balsamies blaches avec des balsamies pourpres. À la première géératio, toutes les fleurs sot pourpres, mais à la deuxième, o obtiet la répartitio suivate : pourpre rose blac lavade blac O souhaite savoir si la répartitio se fait selo les lois de Medel, c est-à-dire selo les probabilités ( 9 6 ; 3 6 ; 3 6 ; 6). Au risque α = 0, 05, peut-o rejeter l hypothèse de répartitio medéliee? Solutio 6.7. Il s agit de faire u test du χ 2 avec N = 4, = = 3098 (doc est grad!), p 0 = ( 9 6 ; 3 6 ; 3 6 ; 6). O ote p = (pk ) k 4 le vecteur théorique de répartitio des fleurs à la deuxième géératio (aisi, p représete la probabilité d obteir ue fleur pourpre, p 2 celle d obteir ue fleur rose, p 3 celle d obteir ue fleur blac lavade, et p 4 celle d obteir ue fleur blache). L hypothèse H 0 que ous cosidéros est p = p 0. O teste p = p 0 cotre p p 0. O cherche β tel que P[ χ 2 3 β ] = α = 0, 05, où χ2 3 suit ue loi du χ 2 à N = 3 degrés de liberté. La lecture das ue table (voir à la fi de ce chapitre) doe β 7, 8. y = pourpre y 2 = rose y 3 = blac lavade y 4 = blac effectif observé N = 790 N 2 = 547 N 3 = 548 N 4 = 23 effectif théorique p 0 = p 0 2 = p 0 3 = p 0 4 = Il s esuit que : χ 2 ( p, p 0 ) = = 4 (N k p0 k )2 p 0 k 394 (790 8 ) (547 8 ) (548 8 ) ( ) i.e. χ 2 ( p, p 0 ) 7, 06, d où χ 2 ( p, p 0 ) < β : o e peut doc pas rejeter l hypothèse H 0 de répartitio medéliee. 43

144 Exemple. Les tests d adéquatio à ue loi équirépartie sot au programme de la classe de Termiale ES, même si le vocabulaire des tests est hors programme. Mais o trouve parfois quelques formulatios bie curieuses... Voici l éocé d u exercice doé au Baccalauréat ES e jui Faites-e ue aalyse critique... Les guichets d ue agece bacaire d ue petite ville sot ouverts au public ciq jours par semaie : les mardi, mercredi, jeudi, vedredi et samedi. Le tableau ci-dessous doe la répartitio jouralière des 250 retraits d arget liquide effectués aux guichets ue certaie semaie. Jour de la semaie mardi mercredi jeudi vedredi samedi Rag i du jour Nombre de retraits O veut tester l hypothèse le ombre de retraits est idépedat du jour de la semaie. O suppose doc que le ombre des retraits jouraliers est égal à 5 du ombre des retraits de la semaie. O pose d 2 obs = 5 ( fi ) 2 5 où fi est la fréquece des retraits du i-ième jour. i=. Calculer les fréqueces des retraits pour chacu des ciq jours de la semaie. 2. Calculer alors la valeur de 000 d 2 obs (la multiplicatio par 000 permet d obteir u résultat plus lisible). 3. E supposat qu il y a équiprobabilité des retraits jouraliers, o a simulé 2000 séries de 250 retraits hebdomadaires. Pour chaque série, o a calculé la valeur du 000 d 2 obs correspodat. O a obteu aisi 2000 valeurs de 000 d 2 obs. Ces valeurs ot permis de costruire le diagramme e boîte ci-dessous où les extrémités des pattes correspodet respectivemet au premier décile et au euvième décile. Lire sur le diagramme ue valeur approchée du euvième décile. 4. E argumetat soigeusemet la répose, dire si pour la série observée au début, o peut affirmer, avec u risque d erreur iférieur à 0%, que le ombre de retraits est idépedat du jour de la semaie? Repreos cet exercice avec les otatios du cours pour mieux compredre ce qui se passe. Il s agit de réaliser u test d adéquatio à ue loi das le cas où = 250 ( est grad, o pourra appliquer la règle), N = 5, p 0 = ( 5, 5, 5, 5, 5 ) (l hypothèse H 0 est le ombre ) de retraits est idépedat du jour de la semaie, d où la valeur de p 0 ). Le vecteur p = ( p k des k 5 fréqueces empiriques est oté (f k ) k 5 das l éocé et vaut ( , , , , 250) 60. Alors χ 2 ( p, p 0 ) = N (p k p 0 k )2 p 0 k s écrit, avec les otatios de l éocé χ 2 ( p, p 0 ) = (f k 5 )2 5 = 250 d 2 obs = O veut costruire u test au risque α = 0,. La théorie ous dit de chercher β tel que P[ χ 2 4 > β ] = α = 0,, où χ2 4 suit ue loi du χ2 à N = 4 degrés de liberté. La lecture das ue table doe β 7, 78. La règle s éoce alors aisi : 44

145 si 250 d 2 obs > β, o refuse l hypothèse le ombre de retraits est idépedat du jour de la semaie ; la probabilité de se tromper est de l ordre de 0, ; si 250 d 2 obs β, o e peut pas refuser l hypothèse d idépedace du ombre de retraits par rapport au jour de la semaie. Comme 250 d 2 obs = 6, 56, o e peut pas coclure! Remarquos que l o e peut jamais accepter l hypothèse car o e sait pas estimer la probabilité de se tromper das ce cas. L erreur de 0% correspod à la probabilité de rejeter à tort l hypothèse, pas celle de l accepter à tort. Il est doc ridicule de demader si o peut affirmer, avec u risque d erreur iférieur à 0%, que le ombre de retraits est idépedat du jour de la semaie, cela a aucu ses. O remarque par ailleurs que l o a P[ χ 2 4 β ] = 0, 9, c est-à-dire que β est le euvième décile de χ 2 4. Mais les lois du χ2 e sot pas au programme de la Termiale ES, et il est doc pas questio de procéder e appliquat la théorie!... C est pourquoi l éocé doe ue simulatio de ce qui serait e fait, à quelque chose près, ue loi du χ 2. Par miracle, le euvième décile D 9 sur la boîte à moustache vaut 6, ce qui est pas loi de β (il s agit d ue simulatio de 000 d 2 obs et o de 250 d2 obs comme la théorie le suggère d où le facteur multiplicatif). Mais ces simulatios, e sot que des simulatios : elles sot obteues avec des géérateurs pseudoaléatoires. Cela pose doc u problème sur la validité de ce type de méthode et o peut alors s iterroger sur l itérêt de préseter ce type de problème À propos de la droite de Hery La méthode dite de la droite de Hery, au programme des classes de BTS, est ue méthode pour détermier les paramètres (moyee et variace) d ue loi gaussiee qui approche au mieux u phéomèe étudié. Preos u exemple (d après Publicatio 8 de la commissio Iter-IREM Lycées techiques). O étudie la durée de vie, exprimée e heures, de joits spéciaux. Sur u effectif de N = 500 joits, o a obteu les résultats suivats : temps de foctioemet x i effectifs i Esuite, o détermie les valeurs des réels t i pour lesquels les fréqueces cumulées croissates f i vérifiet P[ N t i ] = f i, i.e. t i = Π (f i ) (sauf pour f i = bie sûr!), où Π désige la foctio de répartitio de la variable gaussiee cetrée réduite N. Pour cela, o oublie pas que, si f < 2, t = Π (f) est strictemet égatif et e se trouve pas das les tables. Comme alors f > 2 de sorte que Π ( f) se trouve das les tables, et que = Π(t) + Π( t), il faut doc calculer t = Π (f) à l aide de t = Π ( f) das ce cas. x i temps de foctioemet x = 500 x 2 = 700 x 3 = 900 x 4 = 0 x 5 = 300 x 6 = 500 x 7 = 700 effectifs i effectifs cumulés croissats fréqueces cumulées f = f 2 = f 3 = f 4 = f 5 = f 6 = croissates = 0, 048 = 0, 82 = 0, 398 = 0, 65 = 0, 868 = 0, 97 f 7 = f i t i = Π (f i ) t, t 2 0, t 3 0, t 4 0, t 5, t 6, pas de ses 45

146 Si les couples (x i, f i ) i 6 proveaiet d ue variable gaussiee X de moyee m et de variace σ 2, c est-à-dire si f i = P[X x i ] pour tout i {,..., 6}, alors, puisque X m σ serait ue gaussiee cetrée réduite, les poits (x i, t i ) i 6 seraiet liés par la relatio t i = x i m σ, c està-dire que les poits (x i, t i ) i 6 appartiedraiet à la droite d équatio t = σ x m σ. O appelle alors droite de Hery, la droite obteue par la méthode des moidres carrés, pour le uage de poits (x i, t i ) i 6 (ce qui est possible car par costructio les poits x i e sot pas tous égaux de sorte que σ x 0). La droite de régressio de t e x, d équatio t = σx,t x+ t σx,t x σx 2 σx 2 permet alors d idetifier le couple moyee-variace cherché : σ = σx,t et m σx 2 σ = σx,t x t, ce qui σx 2 doe σ = σ2 x σ x,t et m = x t σ2 x σ x,t. Das l exemple cosidéré, l équatio de la droite de régressio de t e x est t = ax + b avec a 0, et b 3, , de sorte que m 973, et σ 286, Remarque. Das l exemple ci-dessus, comme m 4σ < 0, o peut se demader s il est bie judicieux de vouloir modéliser la durée de vie (positive) de joits par ue variable gaussiee. Que l o se rassure, m 3, 4.σ > 0, ce qui etraîe que la probabilité qu ue variable gaussiee de moyee m et de variace σ 2 soit positive est supérieure à 2 Π(3, 4) 0,

147 6.6.8 Table de lois du χ 2 Si χ 2 d est ue variable aléatoire qui suit ue loi du χ2 à d degrés de liberté, la table doe, pour α doé, le ombre β α tel que P [ χ 2 d β ] α = α, c est-à-dire que βα est le fractile d ordre α de la variable χ 2 d. d \ α 0, 99 0, 975 0, 95 0, 90 0, 0 0, 05 0, 025 0, 0 0, , 2 0, 22 0, 35 0, 58 6, 25 7, 8 9, 35, 34 6, , 30 0, 48 0, 7, 06 7, 78 9, 49, 4 3, 28 8, Lorsque d > 30, la variable U = χ 2 d 2d est telle que, pour tout itervalle I de R, P[ U I ] P[ N I ], où N est ue variable aléatoire cetrée réduite. 47

148

149 Bibliographie [CDF07] [Chr] [Del0] Fraçoise Couty, Jea Debord, ad Daiel Fredo. Mii-mauel de Probabilités et Statistique. Duod, Le site Chroomath. Jea-Fraçois Delmas. Itroductio au calcul des probabilités et à la statistique. Les presses de l ENSTA, pdf, 200. [Fel68] William Feller. A itroductio to probability theory ad its applicatios. Vol. I. Third editio. Joh Wiley & Sos Ic., New York, 968. [MPDG97] Sylvie Méléard, Claude Piquet, ad Aette Decomps-Guilloux. Aalyse et probabilités. Problèmes de Mathématiques. Écrit du CAPES Masso, Paris, 997. Avec rappels de cours. [PR2] [Pri05] [Pub] [Shi96] Thérèse Pha ad Jea-Pierre Roweczyk. Exercices et problèmes. Statistique et Probabilités. Scieces sup. Duod, 202. Pierre Priouret. Polycopié du cours de Probabilités de L3. jussieu.fr/cours/proba_l_priouret.pdf, Publicatio 8 de la commissio iter-irem lycées techiques. la statistique e quatre séaces. caret de stage. Brochure\_8\_Statistique\_iferetielle.pdf. A. N. Shiryaev. Probability, volume 95 of Graduate Texts i Mathematics. Spriger- Verlag, New York, secod editio, 996. Traslated from the first (980) Russia editio by R. P. Boas. [Vel4] Yva Veleik. Polycopié du cours de Probabilités et Statistique. uige.ch/math/folks/veleik/cours/ /probastat/probastat.pdf,