Principes et Méthodes Statistiques

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1 Esimag - 2ème aée x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi

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3 Table des matières 1 Itroductio Défiitio et domaies d applicatio de la statistique La démarche statistique Objectifs et pla du cours Statistique descriptive Termiologie Représetatios graphiques Variables discrètes Variables qualitatives Variables quatitatives Choix d u modèle probabiliste discret Variables cotiues Histogramme et polygoe des fréqueces Foctio de répartitio empirique Les graphes de probabilités Idicateurs statistiques Idicateurs de localisatio ou de tedace cetrale La moyee empirique Les valeurs extrêmes La médiae empirique Caractérisatio des idicateurs de localisatio Idicateurs de dispersio ou de variabilité Variace et écart-type empiriques L étedue Les quatiles empiriques Estimatio poctuelle Itroductio Méthodes d estimatio Défiitio d u estimateur La méthode des momets L estimateur des momets (EMM) Exemples La méthode du maximum de vraisemblace

4 4 TABLE DES MATIÈRES La foctio de vraisemblace Exemple itroductif L estimateur de maximum de vraisemblace (EMV) Exemples Qualité d u estimateur Estimateur sas biais et de variace miimale (ESBVM) Quatité d iformatio, efficacité d u estimateur Propriétés des EMM et des EMV Propriétés des estimateurs des momets Propriétés des estimateurs de maximum de vraisemblace Exemples Itervalles de cofiace Problématique et défiitio Itervalles de cofiace pour les paramètres de la loi ormale Itervalle de cofiace pour la moyee Itervalle de cofiace pour la variace Itervalle de cofiace pour ue proportio Tests d hypothèses Itroductio : le problème de décisio Formalisatio du problème de test paramétrique sur u échatillo Tests d hypothèses simples Tests d hypothèses composites Tests sur la moyee d ue loi ormale Exemple itroductif : essais thérapeutiques Première idée Deuxième idée Troisième idée Exemple La p-valeur Remarques Les tests de Studet Lie etre tests d hypothèses et itervalles de cofiace Procédure pour costruire u test d hypothèses Tests sur la variace d ue loi ormale Tests sur ue proportio Test de comparaiso de deux échatillos Itroductio Comparaiso de deux échatillos gaussies idépedats Test de Fisher de comparaiso des variaces Test de Studet de comparaiso des moyees Comparaiso de deux proportios Comparaiso d échatillos gaussies appariés

5 TABLE DES MATIÈRES Le test du χ Le test du χ 2 sur les probabilités d évèemets Test d adéquatio du χ 2 à ue loi etièremet spécifiée Test d adéquatio du χ 2 à ue famille de lois La régressio liéaire Itroductio Le modèle de régressio liéaire simple Estimatio par la méthode des moidres carrés Le modèle liéaire simple gaussie Défiitio du modèle et estimatio des paramètres Maximum de vraisemblace Itervalles de cofiace et tests d hypothèses Etude complète de l exemple e R Aexe A : Rappels de probabilités pour la statistique Variables aléatoires réelles Loi de probabilité d ue variable aléatoire Variables aléatoires discrètes et cotiues Momets et quatiles d ue variable aléatoire réelle Vecteurs aléatoires réels Loi de probabilité d u vecteur aléatoire Espérace et matrice de covariace d u vecteur aléatoire Covergeces et applicatios Quelques résultats sur quelques lois de probabilité usuelles Loi biomiale Loi géométrique Loi de Poisso Loi expoetielle Loi gamma et loi du chi Loi ormale Lois de Studet et de Fisher-Sedecor Aexe B : Lois de probabilité usuelles Caractéristiques des lois usuelles Variables aléatoires réelles discrètes Variables aléatoires réelles cotiues Vecteurs aléatoires das IN d et das IR d Tables de lois Table 1 de la loi ormale cetrée réduite Table 2 de la loi ormale cetrée réduite Table de la loi du χ Table de la loi de Studet Tables de la loi de Fisher-Sedecor Exemples de représetatios de probabilités et de desités

6 6 TABLE DES MATIÈRES Lois discrètes Lois cotiues Aexe C : Itroductio à R Les bases de R Commades pour les deux premiers TD e R Quelques commades utiles de R Les lois de probabilité usuelles e R Les pricipaux tests d hypothèses e R Les graphiques das R Graphique simple Autres foctios graphiques Paramétrage de la commade plot Bibliographie 145

7 Chapitre 1 Itroductio 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique La statistique est la sciece dot l objet est de recueillir, de traiter et d aalyser des doées issues de l observatio de phéomèes aléatoires, c est-à-dire das lesquels le hasard iterviet. L aalyse des doées est utilisée pour décrire les phéomèes étudiés, faire des prévisios et predre des décisios à leur sujet. E cela, la statistique est u outil essetiel pour la compréhesio et la gestio des phéomèes complexes. Les doées étudiées peuvet être de toute ature, ce qui red la statistique utile das tous les champs discipliaires et explique pourquoi elle est eseigée das toutes les filières uiversitaires, de l écoomie à la biologie e passat par la psychologie, et bie sûr les scieces de l igéieur. Doos quelques exemples d utilisatio de la statistique das divers domaies. écoomie, assurace, fiace : prévisios écoométriques, aalyse de la cosommatio des méages, fixatio des primes d assurace et frachises, études quatitatives de marchés, gestio de portefeuille, évaluatio d actifs fiaciers,... biologie, médecie : essais thérapeutiques, épidémiologie, dyamique des populatios, aalyse du géôme,... scieces de la terre : prévisios météorologiques, exploratio pétrolière,... scieces humaies : equêtes d opiio, sodages, études de populatios,... scieces de l igéieur : cotrôle de qualité, maîtrise statistique des procédés (méthode six-sigma ), sûreté de foctioemet (fiabilité, dispoibilité, sécurité,...), maîtrise des risques idustriels, évaluatio des performaces des systèmes complexes,... scieces de l iformatio et de la commuicatio : traitemet des images et des sigaux, recoaissace des formes et de la parole, aalyse exploratoire des grades bases de doées, aalyse des réseaux de commuicatio,... physique : mécaique statistique, théorie ciétique des gaz,... etc...

8 8 Chapitre 1 - Itroductio Le poit fodametal est que les doées sot etâchées d icertitudes et présetet des variatios pour plusieurs raisos : le déroulemet des phéomèes observés est pas prévisible à l avace avec certitude (par exemple o e sait pas prévoir avec certitude les cours de la bourse ou les paes des voitures) toute mesure est etâchée d erreur seuls quelques idividus sot observés et o doit extrapoler les coclusios de l étude à toute ue populatio (cotexte des sodages) etc... Il y a doc itervetio du hasard et des probabilités. L objectif essetiel de la statistique est de maîtriser au mieux cette icertitude pour extraire des iformatios utiles des doées, par l itermédiaire de l aalyse des variatios das les observatios. Nous e ous itéresseros pas à la collecte des doées, qui est ue tâche importate et difficile, mais qui e relève pas des mathématiques. Si o omet la collecte des doées, les méthodes statistiques se répartisset e deux classes : La statistique descriptive, statistique exploratoire ou aalyse des doées, a pour but de résumer l iformatio coteue das les doées de faço sythétique et efficace. Elle utilise pour cela des représetatios de doées sous forme de graphiques, de tableaux et d idicateurs umériques (par exemple des moyees). Elle permet de dégager les caractéristiques essetielles du phéomèe étudié et de suggérer des hypothèses pour ue étude ultérieure plus sophistiquée. Les probabilités ot ici qu u rôle mieur. La statistique iféretielle va au delà de la simple descriptio des doées. Elle a pour but de faire des prévisios et de predre des décisios au vu des observatios. E gééral, il faut pour cela proposer des modèles probabilistes du phéomèe aléatoire étudié et savoir gérer les risques d erreurs. Les probabilités jouet ici u rôle fodametal. Pour le grad public, les statistiques désiget les résumés de doées fouris par la statistique descriptive. Par exemple, o parle des statistiques du chômage ou des statistiques de l écoomie américaie. Mais o oublie e gééral les aspects les plus importats liés aux prévisios et à l aide à la décisio apportés par la statistique iféretielle. L iformatique et la statistique sot deux élémets du traitemet de l iformatio : l iformatique acquiert et traite l iformatio tadis que la statistique l aalyse. Les deux disciplies sot doc étroitemet liées. E particulier, l augmetatio cosidérable de la puissace des ordiateurs et la facilité de trasmissio des doées par iteret ot redu possible l aalyse de très grades masses de doées, ce qui écessite l utilisatio de méthodes de plus e plus sophistiquées, coues sous le om de data miig ou fouille de doées. Efi, l iformatique décisioelle ou busiess itelligece regroupe les outils d aide à la décisio deveus essetiels das la gestio des etreprises. Ces outils écessitet u recours importat aux méthodes statistiques. Plus gééralemet, tout igéieur est ameé à predre des décisios au vu de certaies iformatios, das des cotextes où de ombreuses icertitudes demeuret. Il importe doc qu u igéieur soit formé aux techiques de gestio du risque et de traitemet de

9 1.2 La démarche statistique 9 doées expérimetales. 1.2 La démarche statistique La statistique et les probabilités sot les deux aspects complémetaires de l étude des phéomèes aléatoires. Ils sot cepedat de atures bie différetes. Les probabilités peuvet être evisagées comme ue brache des mathématiques pures, basée sur la théorie de la mesure, abstraite et complètemet décoectée de la réalité. Les probabilités appliquées proposet des modèles probabilistes du déroulemet de phéomèes aléatoires cocrets. O peut alors, préalablemet à toute expériece, faire des prévisios sur ce qui va se produire. Par exemple, il est usuel de modéliser la durée de bo foctioemet ou durée de vie d u système, mettos ue ampoule électrique, par ue variable aléatoire X de loi expoetielle de paramètre λ. Ayat adopté ce modèle probabiliste, o peut effectuer tous les calculs que l o veut. Par exemple : la probabilité que l ampoule e soit pas ecore tombée e pae à la date t est P (X > t) = e λt. la durée de vie moyee est E(X) = 1/λ. Si ampoules idetiques sot mises e foctioemet e même temps, et qu elles foctioet idépedammet les ues des autres, le ombre N t d ampoules qui tomberot e pae avat u istat t est ue variable aléatoire de loi biomiale B (, P (X t)) = B (, 1 e λt). Doc o s atted à ce que, e moyee, E(N t ) = ( 1 e λt) ampoules tombet e pae etre 0 et t. Das la pratique, l utilisateur de ces ampoules est très itéressé par ces résultats. Il souhaite évidemmet avoir ue évaluatio de leur durée de vie, de la probabilité qu elles foctioet correctemet pedat plus d u mois, u a, etc... Mais si l o veut utiliser les résultats théoriques éocés plus haut, il faut d ue part pouvoir s assurer qu o a choisi u bo modèle, c est-à-dire que la durée de vie de ces ampoules est bie ue variable aléatoire de loi expoetielle, et, d autre part, pouvoir calculer d ue maière ou d ue autre la valeur du paramètre λ. C est la statistique qui va permettre de résoudre ces problèmes. Pour cela, il faut faire ue expérimetatio, recueillir des doées et les aalyser. O met doc e place ce qu o appelle u essai ou ue expériece. O fait foctioer e parallèle et idépedammet les ues des autres = 10 ampoules idetiques, das les mêmes coditios expérimetales, et o relève leurs durées de vie. Admettos que l o obtiee les durées de vie suivates, exprimées e heures : Notos x 1,..., x ces observatios. Il est bie évidet que la durée de vie des ampoules est pas prévisible avec certitude à l avace. O va doc cosidérer que x 1,..., x sot les réalisatios de variables aléatoires X 1,..., X. Cela sigifie qu avat l expériece, la durée de vie de la ième ampoule est icoue et que l o traduit cette icertitude e

10 10 Chapitre 1 - Itroductio modélisat cette durée par ue variable aléatoire X i. Mais après l expériece, la durée de vie a été observée. Il y a doc plus d icertitude, cette durée est égale au réel x i. O dit que x i est la réalisatio de X i sur l essai effectué. Puisque les ampoules sot idetiques, il est aturel de supposer que les X i sot de même loi. Cela sigifie qu o observe plusieurs fois le même phéomèe aléatoire. Mais le hasard fait que les réalisatios de ces variables aléatoires de même loi sot différetes, d où la variabilité das les doées. Puisque les ampoules ot foctioé idépedammet les ues des autres, o pourra égalemet supposer que les X i sot des variables aléatoires idépedates. O peut alors se poser les questios suivates : 1. Au vu de ces observatios, est-il raisoable de supposer que la durée de vie d ue ampoule est ue variable aléatoire de loi expoetielle? Si o, quelle autre loi serait plus appropriée? C est u problème de choix de modèle ou de test d adéquatio. 2. Si le modèle de loi expoetielle a été reteu, commet proposer ue valeur (ou u esemble de valeurs) vraisemblable pour le paramètre λ? C est u problème d estimatio paramétrique. 3. Das ce cas, peut-o garatir que λ est iférieur à ue valeur fixée λ 0? Cela garatira alors que E(X) = 1/λ 1/λ 0, autremet dit que les ampoules serot suffisammet fiables. C est u problème de test d hypothèses paramétriques. 4. Sur u parc de 100 ampoules, à combie de paes peut-o s attedre e mois de 50 h? C est u problème de prévisio. Le premier problème cetral est celui de l estimatio : commet proposer, au vu des observatios, ue approximatio des gradeurs icoues du problème qui soit la plus proche possible de la réalité? La première questio peut se traiter e estimat la foctio de répartitio ou la desité de la loi de probabilité sous-jacete, la secode reviet à estimer u paramètre de cette loi, la quatrième à estimer u ombre moye de paes sur ue période doée. Le secod problème cetral est celui des tests d hypothèses : il s agit de se proocer sur la validité d ue hypothèse liée au problème : la loi est-elle expoetielle? λ est-il iférieur à λ 0? u objectif de fiabilité est-il atteit? E répodat oui ou o à ces questios, il est possible que l o se trompe. Doc, à toute répose statistique, il faudra associer le degré de cofiace que l o peut accorder à cette répose. C est ue caractéristique importate de la statistique par rapport aux mathématiques classiques, pour lesquelles u résultat est soit juste, soit faux. Pour résumer, la démarche probabiliste suppose que la ature du hasard est coue. Cela sigifie que l o adopte u modèle probabiliste particulier (ici la loi expoetielle), qui permettra d effectuer des prévisios sur les observatios futures. Das la pratique, la ature du hasard est icoue. La statistique va, au vu des observatios, formuler des hypothèses sur la ature du phéomèe aléatoire étudié. Maîtriser au mieux cette icertitude permettra de traiter les doées dispoibles. Probabilités et statistiques agisset doc e aller-retour das le traitemet mathématique des phéomèes aléatoires. L exemple des ampoules est ue illustratio du cas le plus fréquet où les doées se présetet sous la forme d ue suite de ombres. C est ce cas que ous traiteros das ce cours, mais il faut savoir que les doées peuvet être beaucoup plus complexes : des

11 1.3 Objectifs et pla du cours 11 foctios, des images, etc... Les pricipes et méthodes gééraux que ous traiteros das ce cours serot adaptables à tous les types de doées. 1.3 Objectifs et pla du cours Ce cours a pour but de préseter les pricipes de base d ue aalyse statistique de doées (descriptio, estimatio, tests), aisi que les méthodes statistiques les plus usuelles. Ces méthodes serot toujours illustrées par des problèmes cocrets, issus de l iformatique, la médecie, le cotrôle de qualité, la physique, etc... Il e s agit pas de doer u catalogue de recettes. Les méthodes statistiques serot la plupart du temps justifiées mathématiquemet, ce qui permettra d éviter u certai ombre d erreurs d iterprétatio des résultats, fréquetes das la pratique. Néamois, le cours privilégie l applicatio à la théorie. Les approfodissemets théoriques serot étudiés das les cours du 2ème semestre de Statistique Iféretielle Avacée et Aalyse Statistique Multidimesioelle. Les méthodes présetées serot mises e œuvre à l aide du logiciel R. La plupart du temps, o associera à chaque méthode la sytaxe et les sorties (tableaux, graphiques) correspodates de R. Le chapitre 2 présete les techiques de base e statistique descriptive, représetatios graphiques et idicateurs statistiques. Le chapitre 3 est cosacré aux problèmes d estimatio paramétrique poctuelle, le chapitre 4 aux itervalles de cofiace et le chapitre 5 aux tests d hypothèses. Le derier chapitre est cosacré à ue des méthodes statistiques les plus utilisées, la régressio liéaire. Efi, des aexes doet quelques rappels de probabilités utiles e statistique, des tables des lois de probabilité usuelles et ue courte itroductio à R.

12 12 Chapitre 1 - Itroductio

13 Chapitre 2 Statistique descriptive La statistique descriptive a pour but de résumer l iformatio coteue das les doées de faço à e dégager les caractéristiques essetielles sous ue forme simple et itelligible. Les deux pricipaux outils de la statistique descriptive sot les représetatios graphiques et les idicateurs statistiques. 2.1 Termiologie Les doées dot ous disposos sot des mesures faites sur des idividus (ou uités statistiques) issus d ue populatio. O s itéresse à ue ou plusieurs particularités des idividus appelées variables ou caractères. L esemble des idividus costitue l échatillo étudié. Exemple : si l échatillo est u groupe de TD à l ENSIMAG, u idividu est u étudiat la populatio peut être l esemble des étudiats de l ENSIMAG, des élèves igéieur de Frace, des habitats de Greoble, etc... les variables étudiées peuvet être la taille, la filière choisie, la moyee d aée, la couleur des yeux, la catégorie socio-professioelle des parets,... Si l échatillo est costitué de tous les idividus de la populatio, o dit que l o fait u recesemet. Il est extrêmemet rare que l o se trouve das cette situatio, essetiellemet pour des raisos de coût. Quad l échatillo est qu ue partie de la populatio, o parle de sodage. Le pricipe des sodages est d étedre à l esemble de la populatio les eseigemets tirés de l étude de l échatillo. Pour que cela ait u ses, il faut que l échatillo soit représetatif de la populatio. Il existe des méthodes pour y parveir, dot ous e parleros pas ici. Remarque : le mot variable désige à la fois la gradeur que l o veut étudier (variable statistique) et l objet mathématique qui la représete (variable aléatoire). Ue variable statistique peut être discrète ou cotiue, qualitative ou quatitative. Les méthodes de représetatio des doées diffèret suivat la ature des variables étudiées.

14 14 Chapitre 2 - Statistique descriptive Das ce chapitre, o e s itéresse qu au cas où o e mesure qu ue seule variable sur les idividus, comme das l exemple des ampoules. O dit alors que l o fait de la statistique uidimesioelle. Das ce cas, les doées sot sous la forme de la série des valeurs prises par la variable pour les idividus, otées x 1,..., x. O supposera que ces doées sot les réalisatios de variables aléatoires X 1,..., X idépedates et de même loi. O otera X ue variable aléatoire de cette loi. Le terme d échatillo désigera à la fois les séries x 1,..., x et X 1,..., X. Quad o mesure plusieurs variables sur les mêmes idividus, o dit que l o fait de la statistique multidimesioelle. Des doées de ce type serot traitées das le chapitre cosacré à la régressio liéaire et le cours de 2ème semestre d Aalyse Statistique Multidimesioelle leur est etièremet cosacré. L objectif premier de la statistique descriptive est u objectif de représetatio des doées, et pas d estimatio. O peut cepedat utiliser les outils de statistique descriptive das u but d estimatio. Notammet, o s itéressera au choix d u modèle probabiliste pertiet, ce qui reviedra à estimer la foctio de répartitio F ou la desité f de la variable aléatoire X sous-jacete, quad celle-ci est quatitative. 2.2 Représetatios graphiques Variables discrètes Ue variable discrète est ue variable à valeurs das u esemble fii ou déombrable. Mais l esemble des valeurs prises par cette variable das u échatillo de taille est forcémet fii. Les variables qui s exprimet par des ombres réels sot appelées variables quatitatives ou umériques (ex : logueur, durée, coût,...). Les variables qui s exprimet par l apparteace à ue catégorie sot appelées variables qualitatives ou catégorielles (ex : couleur, catégorie socio-professioelle,...) Variables qualitatives Si la variable est qualitative, o appelle modalités les valeurs possibles de cette variable. L esemble des modalités est oté E = {e 1,..., e k }. Par exemple, si la variable est la couleur des yeux d u idividu, l esemble des modalités est E = {bleu, vert, bru, pers, oir}. Si o iterroge = 200 persoes, les doées brutes se préseterot sous la forme d ue suite du type : bru, vert, vert, bleu,..., oir, vert. Cette suite est pas lisible. La meilleure maière de représeter ces doées est d utiliser les fréqueces absolues et relatives. Défiitio 1 O appelle fréquece absolue de la modalité e j le ombre total j d idividus de l échatillo pour lesquels la variable a pris la modalité e j : j = 1 {ej }(x i ). O appelle fréquece relative de la modalité e j le pourcetage j / d idividus de l échatillo pour lesquels la variable a pris la modalité e j. Das l exemple, o obtiet u tableau du type du tableau 2.1.

15 2.2 Représetatios graphiques 15 couleur des yeux bleu vert bru pers oir fréqueces absolues fréqueces relatives 33% 17% 40% 7.5% 2.5% Table 2.1 couleur des yeux d u échatillo de 200 persoes De même, das le cas des résultats d électio e Frace, les idividus sot les = 42 millios d électeurs et la variable est la persoe ou la liste pour laquelle l idividu a voté. La suite des 42 millios de votes a aucu itérêt. Le résultat est exprimé directemet sous forme du tableau des fréqueces relatives. Par exemple, le tableau 2.2 doe le résultat des électios européees de Listes NPA LO FrGauche PS EurEco EcoId Modem DivD UMP Libertas FN Autres % Voix Table 2.2 résultats des électios européees de NPA LO FrGauche PS EurEco EcoId Modem DivD UMP Libertas FN Autres Figure 2.1 électios européees, diagramme e coloes Les représetatios graphiques correspodates sot de deux types : diagrammes e coloes ou e bâtos : à chaque modalité correspod u rectagle vertical dot la hauteur est proportioelle à la fréquece relative de cette modalité diagrammes sectoriels ou camemberts : à chaque modalité correspod u secteur de disque dot l aire (ou l agle au cetre) est proportioelle à la fréquece relative de cette modalité Les commades R pour les diagrammes e coloes et sectoriels sot barplot(x) et pie(x). Das l exemple des électios, les figures 2.1 et 2.2 sot obteues à l aide des commades :

16 16 Chapitre 2 - Statistique descriptive > x<-c(3.3, 5.2, 28.9, 7.4, 5.9, 10.7, 11.9, 16.6, 9.8, 0.3) > partis<-c("npa","lo","frgauche","ps","eureco","ecoidep","modem","divd", "UMP","Libertas","FN","Autres") > barplot(x,ames=partis) > pie(x,labels=partis) PS EurEco FrGauche EcoId LO NPA Modem DivD FN Autres Libertas UMP Figure 2.2 électios européees, diagramme sectoriel Variables quatitatives Quad la variable est quatitative, o utilise les mêmes représetatios à l aide des fréqueces absolues et relatives. La différece fodametale etre les représetatios pour des variables qualitatives et quatitatives tiet au fait qu il existe u ordre aturel sur les modalités (qui sot des ombres réels) pour les variables quatitatives, alors qu aucu ordre est prédéfii pour les variables qualitatives. C est pourquoi les diagrammes e bâtos sot toujours utilisés, mais pas les diagrammes sectoriels. Par exemple, o a effectué ue equête auprès de 1000 couples e leur demadat otammet leur ombre d efats. Le tableau 2.3 doe les fréqueces et la figure 2.3 doe le diagramme e bâtos, obteu à l aide de la commade : > barplot(c(235,183,285,139,88,67,3),ames=c(0,1,2,3,4,5,6)) Nombre d efats > 6 fréquece absolue fréquece relative 23.5% 18.3% 28.5% 13.9% 8.8% 6.7% 0.3% 0 Table 2.3 ombre d efats de 1000 couples Choix d u modèle probabiliste discret Les représetatios graphiques effectuées permettet de guider le statisticie das le choix d u modèle probabiliste adapté aux doées. E effet, la fréquece relative j /, pourcetage d observatio de la modalité e j das l échatillo, est ue estimatio aturelle de la probabilité que la variable pree la modalité e j, P (X = e j ). Ue loi de probabilité vraisemblable pour X est ue loi telle que le diagramme des P (X = e j ) soit proche, e u certai ses, du diagramme e bâtos.

17 2.2 Représetatios graphiques Figure 2.3 ombre d efats de 1000 couples, diagramme e bâtos Par exemple, pour le ombre d efats par famille, ue loi géométrique est impossible car ue variable aléatoire de loi géométrique e peut pas predre la valeur 0. Ue loi biomiale est evisageable, par exemple la loi B (6, p) ou la loi B (7, p). Le problème est de savoir s il existe u paramètre p das [0,1] tel que le diagramme des P (X = j) ait ue allure proche de celle de la figure 2.3. Ue loi de Poisso est aussi possible a priori. Pour pouvoir choisir u modèle par cette méthode, il faudrait doc coaître au mois les formes des diagrammes des probabilités élémetaires des lois biomiale et de Poisso. Ce est pas simple du fait de la complexité des expressios de ces probabilités. De plus, la forme de ces diagrammes peut chager assez sesiblemet suivat la valeur des paramètres. Il est doc difficile de proposer u modèle probabiliste vraisemblable au seul vu d u diagramme e bâtos. O verra que c est beaucoup plus facile quad la variable est cotiue. Fialemet, le diagramme e bâtos sert plus à visualiser l allure géérale de la distributio qu à véritablemet aider à choisir u modèle probabiliste pertiet Variables cotiues Quad la variable étudiée est cotiue, les représetatios du type diagramme e bâtos sot sas itérêt, car les doées sot e gééral toutes distictes, doc les fréqueces absolues sot toutes égales à 1. O cosidèrera ici deux types de représetatios graphiques : l histogramme et le polygoe des fréqueces qui lui est associé. la foctio de répartitio empirique, qui permet otammet de costruire des graphes de probabilités. Ces deux types de représetatios écessitet d ordoer les doées. Si l échatillo iitial est oté x 1,..., x, l échatillo ordoé sera oté x 1,..., x. Das l exemple des ampoules, l échatillo iitial est : et l échatillo ordoé est :

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