Risque de longévité et détermination du besoin en capital : travaux en cours

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1 Risque de logévité et détermiatio du besoi e capital : travaux e cours Frédéric PLANCHET ISFA Laboratoire SAF Versio.6 / Septembre 2008 Sommaire La prise e compte de l expériece propre au groupe das l aalyse de la mortalité... 0 Les modèles stochastiques de mortalité Mesure de l icertitude tedacielle sur la mortalité Itroductio Le modèle de mortalité Présetatio Applicatio umérique Applicatio à u régime de retes viagères Problématique Résultats Coclusio Bibliographie Perturbatios extrêmes sur la dérive de mortalité aticipée Itroductio Le modèle de mortalité Présetatio Applicatio umérique Applicatio à u régime de retes viagères Problématique Résultats Coclusio Bibliographie Modèles prospectifs de mortalité avec dérive cotraite Itroductio Le modèle de mortalité Rappels sur le modèle de Lee-Carter... 4

2 Fermeture de la table Présetatio géérale du modèle Ue spécificatio simple du modèle Applicatio umérique Passage du modèle Lee-Carter stadard au Lee-Carter logistique Aalyse de la composate prospective Applicatio à u régime de retes viagères Coclusio Bibliographie Risque de modèle et détermiatio du capital écoomique Itroductio Descriptio du modèle Présetatio Cas particulier de la loi log-ormale Estimatio des paramètres du modèle Coséquece sur le iveau du capital de l estimatio des paramètres Cas du modèle log-ormal Cas du modèle mélagé Applicatio umérique Simulatio de la loi mélagée Résultats Idetificatio des valeurs extrêmes Ajustemet du modèle mélagé Coclusio Bibliographie Cotraites opératioelles : la prise e compte des extrêmes Calcul de VaR e assurace Notatios Estimatio de quatiles extrêmes Estimatio aturelle Ajustemet à ue loi paramétrique Approximatio GPD Estimateur de Hill Illustratio Applicatio du bootstrap Présetatio Calcul d u itervalle de cofiace pour ue VaR Illustratio umérique Robustesse du SCR Estimatio des paramètres des variables de base Simulatio... 77

3 Spécificatio du modèle Cotexte et motivatio Modélisatios avacées Coclusio Bibliographie Aexe A : Loi de Pareto gééralisée (GPD) A. Défiitio A.2 Quelques propriétés A.3 Estimatio des paramètres Aexe B : Résultats probabilistes B. Loi du maximum B.2 Épaisseur des queues de distributio B.3 Loi des excès au-delà d'u seuil Aexe C : Estimatio du paramètre de queue... 9 C. Méthodes paramétriques... 9 C.2 Méthodes semi-paramétriques... 92

4 Préambule Le préset travail fait suite à la thèse de doctorat préparée au sei du laboratoire de Scieces Actuarielle et Fiacière (SAF) de l Uiversité Lyo et souteue le 20 ovembre 2006 sur le thème du Pilotage techique d'u régime de retes viagères : idetificatio et mesure des risques, allocatio d'actif, suivi actuariel. Les thématiques présetées das ce travail ot depuis été développées et ot doé lieu aux publicatios suivates : PLANCHET F. [2007c] «Prospective models of mortality with forced drift Applicatio to the logevity risk for life auities», Proceedigs of the th IME Cogress PLANCHET F., JUILLARD M. [2007] «Mesure de l icertitude tedacielle sur la mortalité applicatio à u régime de retes», Assurace et gestio des risques, Vol. 75 (3). PLANCHET F.; JUILLARD M.; THEROND P. [2008] «Perturbatios extrêmes sur la dérive de mortalité aticipée», Assuraces et gestio des risques, à paraître. PLANCHET F., LELIEUR V. [2007] «Costructio de tables de mortalité prospectives : le cas des petites populatios», à paraître das le Bulleti Fraçais d Actuariat, vol. 7, 4. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2007a] Pilotage techique d'u régime de retes viagères, Paris : Ecoomica. PLANCHET F., THEROND P.E. [2007b] «Provisios techiques et capital de solvabilité d'ue compagie d'assurace : méthodologie d'utilisatio de Value-at-Risk», Assuraces et gestio des risques, Vol. 74 (4). PLANCHET F., THÉROND P.E. [2007c] «Model risk ad determiatio of ecoomic capital i the Solvecy 2 project»,, Proceedigs of the 6 th AFIR Colloquium. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2007d] Mesure et gestio des risques d assurace, Paris : Ecoomica. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2008] «Expected Shortfall of Claims Evets: Some Practical Aspects», Proceedigs of the 38th ASTIN Colloquium. PLANCHET F., WINTER P. [2007] «L'utilisatio des splies bidimesioels pour l estimatio de lois de maitie e arrêt de travail», Bulleti fraçais d actuariat, vol. 7, 3. Les sujets présetés ici sot égalemet actuellemet développés das le cadre des ciq thèses suivates, co-ecadrées avec le Professeur Jea-Claude AUGROS au sei du Laboratoire SAF (équipe d accueil 2429) : FARJALLAH Mariem (e cours depuis 2007) : Gestio dyamique de couvertures e assurace. KAMEGA Aymric (début e septembre 2008) : Outils théoriques et opératioels adaptés au cotexte de l'assurace vie e Afrique subsahariee fracophoe. MANDHOUJ Khouloud (début e octobre 2008) : Etude de la Structure de Dépedace multidimesioelle et Applicatio e Assurace. MERHI Nisrie (début e octobre 2008) : modélisatio des décisios de l'assureur das la gestio de la participatio aux bééfices - coséqueces de ces décisios sur l'évaluatio des optios et garaties d'u cotrat d'assurace vie. KALAMOUN Mehdi (début e octobre 2008) : Coceptio d u modèle d actifs itégré pour la détermiatio du SCR. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 4 -

5 A l exceptio de la première dot la souteace est prévue e ovembre 200, les quatre autres thèses devraiet ormalemet être souteues à la fi de l aée 20. Efi, le coteu du préset travail est costitué, pour la première partie, par des adaptatios de PLANCHET et JUILLARD [2007] (sectio ), PLANCHET et al. [2008] (sectio 2) et PLANCHET [2007c] (sectio 3) et pour la secode par des adaptatios de PLANCHET et THÉROND [2007b] (sectio 4) et [2007c] (sectio5). Le coteu de ces articles et ouvrages publiés depuis 2006 das le cadre d ue activité d eseigemet et de recherche à l Istitut de Sciece Fiacière et d Assuraces a été adapté pour préserver la cohérece d esemble de ce documet. Les articles d origie sot systématiquemet cités e référece. Pour termier, o souligera que ce travail prologe les approches géérales décrites das les ouvrages PLANCHET et al. [2005], PLANCHET et THEROND [2006], [2007a] et [2007d]. La plupart des référeces citées das ce documet sot dispoibles e lige sur le site Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 5 -

6 Itroductio L assurace est caractérisée par l iversio de so cycle de productio : d ue part le prix d u cotrat est fixé d avace («prime»), et d autre part so coût est cou qu a posteriori. Au surplus, das certaies situatios (retraite, ivalidité, cotrats de resposabilité civile, assurace costructio) il existe ue durée très logue, parfois de plusieurs aées ou plusieurs dizaies d aées, etre la détermiatio de la prime et la fi du paiemet des siistres. Les risques pris e charge par les cotrats d assurace sot très majoritairemet des risques mutualisables, ce qui coduit à e foder la gestio techique sur la loi des grads ombres (pour la détermiatio de la charge espérée) et le théorème de la limite cetrée (pour les fluctuatios autour de cette espérace). Les bases théoriques sur lesquelles reposet ces aalyses ot été établies par les travaux fodateurs de Codorcet et Laplace 2. De maière très schématique le bila d ue compagie d assurace est doc de la forme : avec L les provisios mathématiques et E les fods propres, qui coduiset à u iveau global d actif A = L+ E qui va devoir être ivesti et géré. De fait, la réglemetatio applicable aux orgaismes assureurs prévoit la costitutio de «provisios mathématiques» dot le iveau est fixé e référece à l espérace (actualisée ou o suivat les cas) des charges futures complétées par des fods propres ou «marge de solvabilité» dot le rôle est d absorber les fluctuatios d échatilloage et les autres risques supportés par l assureur. Toutefois la quatificatio des risques est pas explicite mais implicite. E effet, les règles prudetielles actuelles sot défiies par u cadre europée, Solvabilité, laissat ue marge de maœuvre importate au régulateur local de chaque pays ; aisi, e Frace, les provisios mathématiques (article R33- du code des assuraces) sot-elles détermiées sur des bases «prudetes» largemet ecadrées par la réglemetatio 3 et la marge de solvabilité est calculée de maière très simple e foctio du motat des provisios (assurace vie) ou des motats de cotisatios et de siistres (assurace o vie). E coséquece, le dispositif actuel itègre à différets iveaux des marges pour risque, mais le iveau de celles-ci reste implicite. L objectif du dispositif Solvabilité 2 e cours d élaboratio (voir les documets de la Commissio Européee 2 Le lecteur itéressé par l histoire de la théorie du risque pourra otammet cosulter Pradier [2003]. 3 O pourra par exemple se reporter à l itervetio de Marc PORIN aux etreties de l assurace e 997 (PORIN [997]). Cette itervetio est dispoible sur 5/$FILE/a7.pdf Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 6 -

7 cités e bibliographie aisi que PLANCHET et al. [2005] Pour ue présetatio sythétique) est de remédier à cette isuffisace e proposat u cadre d aalyse qui permette de quatifier explicitemet les marges de risques, e ayat préalablemet procédé à ue aalyse exhaustive de ceux-ci. E parallèle le développemet des cotrats d éparge icorporat différetes garaties telles que des garaties de taux, des possibilités de rachat ou ecore des garaties sur le motat du capital ivesti («garaties placher») a ameé les assureurs à aalyser de maière plus fie les risques associés à ces cotrats. E s appuyat sur les approches et les résultats de la fiace de marché, et otammet la théorie des optios, ue littérature abodate s est développée avec l objectif de quatifier le risque associé à de telles clauses et d e déduire leur «prix». O peut par exemple citer BALLOTA [2004], BALLOTA et al. [2005], BIFFIS et MILLOSSOVICH [2004] ou ecore JORGENSEN [2004]. DEVOLDER [200] propose ue sythèse critique de ces approches, qui sot égalemet détaillées de maière opératioelle das THÉROND [2007]. Au global, les aées récetes sot aisi marquées par le développemet de différets dispositifs coduisat à repeser de maière coséquete la gestio et le pilotage des risques d assurace : projet Solvabilité 2 (règles prudetielles), ormes IFRS 4 «assurace» (règles comptables) et égalemet cadre MCEV 5 (reportig fiacier). Le lecteur itéressé trouvera ue sythèse de ces référetiels das THEROND [2007]. O peut schématiser de maière très sythétique les évolutios pricipales iduites par ces réformes e relevat les poits suivats : Le passage quasi-systématique d hypothèses d évaluatio prudetes et/ou covetioelles à des hypothèses «réalistes» das ue logique «best estimate» (BLUM et OTTO [998]). Ue aalyse plus exhaustive des risques portés par l assureur qui coduit à s itéresser tout particulièremet aux risques o mutualisables ; le premier de ces risques est évidemmet costitué par les différets risques fiaciers sur les cotrats d éparge et de retraite, mais l exame attetif de passifs d assurace o fiacier met aussi e évidece des risques de ce type, chaque fois que l hypothèse classique d idépedace se trouve mise e cause. Le risque systématique de mortalité e est u exemple (CAIRNS et al. [2004]). Efi, le cadre coceptuel plus spécifique du dispositif prudetiel Solvabilité 2 met e avat u critère de cotrôle de la probabilité de ruie pour la fixatio du capital de solvabilité (Solvecy Capital Requiremet ou SCR), qui cotrait de fait à porter ue attetio particulière au comportemet des queues de distributio, à l actif comme au passif (PLANCHET et THEROND [2007c]). Au surplus, ce critère modifie les modèles de gestio actif / passif (ALM) traditioels e itroduisat u lie fort etre l allocatio effectuée et le iveau du capital de solvabilité. 4 «Iteratioal Fiacial Reportig Stadards». 5 «Market Cosistet Embedded Value». Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 7 -

8 De maière trasversale o peut sigaler que ces dispositifs puiset largemet das la culture d ispiratio fiacière via les otios de «fair value» et de couverture. Certaies coséqueces de ces empruts sot discutées das PLANCHET [2006b]. CHENUT et al. [2003] et [2004] aalyset de maière détaillée les implicatios de cette approche das le cas des garaties placher pour des cotrats e uités de compte. BALLOTA et al. [2005] aborde la prise e compte des sauts à l actif avec les implicatios e terme de valorisatio (marchés icomplets). Au-delà des réflexios théoriques sur ces sujets, pour lesquels ue littérature uiversitaire abodate existe, d importats besoi de modélisatios étayés théoriquemet et utilisables e pratique se sot fait jour. Ces besois coceret tout autat l assurace o vie que l assurace vie. La questio de la détermiatio du SCR das u cotexte d assurace o vie est par exemple abordée das PLANCHET et THEROND [2005a] das u cadre moo-périodique, le modèle proposé état étedu avec ue dyamique iter-temporelle par BRUNEAU et al. [2007]. Nous avos choisi das le préset documet de ous restreidre au cas de l assurace vie et de la retraite et d imagier des réposes à ces besois au travers de 2 thèmes précis : l aalyse du risque de mortalité supporté par u régime de rete, tat das sa dimesio prospective (aticipatio des évolutios futures des taux de décès) qu au travers de l aalyse de l aléa o mutualisable qui subsiste ue fois la tedace doée et supposée juste ; les implicatios du critère de «o ruie à u a avec ue probabilité de 99,5 %» sur lequel le dispositif Solvabilité 2 fode la détermiatio du capital de solvabilité. Le risque (systématique) de mortalité est e effet potetiellemet très dagereux pour u régime de retes : toute déviatio de la mortalité par rapport à la tedace aticipée lors de la tarificatio affecte e effet l esemble du portefeuille ; aisi, si l espérace de vie a été sous-estimée, le régime doit faire face à des charges supplémetaires o prévues. Ce risque est aalysé de maière détaillée das la première partie de ce travail. La secode partie est cosacrée à la mise e œuvre opératioelle du critère de cotrôle de la «probabilité de ruie» e Solvabilité 2 ; plus précisémet, o cherche quelles sot les cotraites miimales auxquelles doit satisfaire u modèle itere 6 pour fourir u iveau de capital qui e soit pas maifestemet sous-estimé. Cette aalyse permet de mettre e évidece u certai ombre de poits que le régulateur pourrait itégrer das ses règles d homologatio de tels modèles. Les itroductios des 2 parties composat ce travail développet assez largemet le cotexte de chacue des problématiques étudiées. Efi, ue bibliographie géérale repred l esemble des référeces citées das le texte, y compris l itroductio géérale, les itroductios des parties et la coclusio 6 Le modèle itere e Solvabilité 2 est ue modélisatio actif / passif propre à l etité, modélisatio sur laquelle elle peut s appuyer pour justifier de so iveau de capital de solvabilité, y compris e justifiat d u iveau iférieur à la situatio de référece défiie par la «formule stadard» ; o se reportera à THEROND [2007] pour u développemet détaillé. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 8 -

9 géérale. Les référeces propres à chacue des 5 sectios sot reprises das des bibliographies de la sectio correspodate. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 9 -

10 Partie : Mortalité prospective et mortalité stochastique 7 La prise e compte de l expériece propre au groupe das l aalyse de la mortalité Que ce soit das le cadre de l évaluatio des egagemets d u régime de retraite, la valorisatio d u portefeuille d éparge ou ecore le suivi techique de cotrats e cas de décès, la mortalité costitue u paramètre détermiat du résultat des valorisatios. La questio se pose doc du choix pertiet de l hypothèse à reteir. D ue maière géérale, les ormes comptables IFRS coduiset à privilégier, au travers d ue approche «écoomique» de la valorisatio de l etreprise, le choix d hypothèses «réalistes», teat compte de l'expériece du portefeuille 8 (IFRS assurace) ou de l etreprise (IAS 9). Das le cas particulier de la mortalité, cela coduit aturellemet à vouloir se tourer vers des «tables d'expériece» e lieu et place de référeces exogèes (tables atioales, tables réglemetaires das le cas des assureurs, etc.) pas écessairemet e phase avec la réalité du risque. Mais, dès lors que le risque est viager, et otammet das les problématiques de retes, la table de mortalité utilisée se doit d'être prospective afi de predre e compte l évolutio future des taux de décès, ce qui iduit de fortes cotraites e terme de volume de doées si l'o souhaite costruire ue «surface de mortalité» spécifique de la populatio cocerée aticipat correctemet les évolutios à veir. Aisi, lors de la costructio des ouvelles tables de mortalité réglemetaires utilisées par les assureurs pour le provisioemet de leur egagemets viagers 9, les quelques cetaies de milliers de têtes observées sur ue dizaie d aées ot pas suffit à costruire ue table autoome (ou «edogèe») et il est apparu écessaire de s appuyer sur des tables costruites préalablemet sur l esemble de la populatio fraçaise pour dégager des tedaces de log terme. E pratique, la taille des groupes existats et le ombre d aées dispoibles sot doc souvet isuffisats pour espérer réaliser ue costructio robuste d'ue telle table «edogèe», obteue uiquemet à partir des observatios issues du groupe cosidéré. Ceci est valable tat sur des portefeuilles de retiers que das le cas d etreprises. Doit-o pour autat reocer à teir compte de l'iformatio apportée par les observatios? La répose est bie etedu égative. E effet, les détermiats de la mortalité sot ombreux : le sexe, le mode de vie, le iveau de reveu, la régio d'habitatio figuret parmi les plus importats. Ue populatio particulière doée (portefeuille d assureur ou retiers futurs et e cours das le cas d u régime supplémetaire d'etreprise) présete doc a priori ue mortalité différete de celle décrite par des référeces atioales ou de place. 7 Ce texte est adapté de PLANCHET [2007a]. 8 Voir sur ce poit IASB INSURANCE WORKING GROUP [2006], Les tables TGH et TGF 05 de l arrêté du 0/08/2006. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 0 -

11 Das ce cotexte, dès lors que l o abadoe ue évaluatio prudetielle des egagemets au profit d ue évaluatio «réaliste» avec ue quatificatio qui se veut explicite de la marge de risque, il est idispesable de predre e compte l iformatio apportée par les doées dispoibles, sous peie de déformer «l image écoomique fidèle» de l etreprise que l o eted doer. Se pose toutefois la questio du moye d y parveir, compte teu des difficultés techiques exposées précédemmet. U exame plus attetif de la structure d'ue table de mortalité prospective coduit alors à distiguer le iveau de la mortalité (âge par âge) d ue part et so évolutio aticipée das le futur d autre part. Détermier le iveau de la mortalité à u momet doé reviet à fixer ue table du momet, proposer ue tedace pour l'évolutio future coduit à lui ajouter ue dimesio prospective pour aboutir à ue surface de mortalité, ou table prospective. Les doées dispoibles fourisset e gééral ue détermiatio suffisammet riche pour la costructio d'ue table du momet, quitte à procéder à des extrapolatios e dehors de la plage où des observatios sot dispoibles. Ces extrapolatios sot aisées das le cadre des modèles paramétriques de mortalité, comme par exemple le modèle classique de Makeham (MAKEHAM [874]) ou les modèles de régressio logistique. C est au momet de détermier la tedace d évolutio des taux de mortalité das le futur que les doées s avèret isuffisates e pratique : historiques trop faibles (souvet mois de 0 as) et effectifs isuffisats (quelques dizaies de milliers) pour supprimer le bruit issu des fluctuatios d échatilloage redet la démarche prospective délicate à appliquer directemet, sauf à predre des risques importats sur l appréciatio de la tedace. Il existe par exemple des versios paramétriques du célèbre modèle de Lee-Carter qui permettet d estimer ue surface de mortalité à partir d u ombre réduit de paramètres : la dimiutio du ombre de paramètres permet ue estimatio plus fiable et augmete le pouvoir prédictif du modèle, mais elle augmete e parallèle le risque d iadéquatio du modèle à la réalité. Toutefois, o peut oter à ce stade que la questio est pas tat fodametalemet ici de costruire ue table de mortalité que d être e mesure de sélectioer ue hypothèse bie adaptée au groupe pour le risque cosidéré, et à tout le mois mieux adaptée qu ue référece réglemetaire utilisée de maière arbitraire. E effet, si l objectif de costruire ue table spécifique pour la populatio étudiée s avère délicat à atteidre, ue démarche pragmatique cosiste à se tourer vers les différetes référeces existates et à rechercher celle qui, parmi elle, représete le mieux le comportemet de la populatio e terme de mortalité. Les outils statistiques d aalyse de l adéquatio d ue loi de mortalité doée a priori à des observatios issues de l expériece sot classiques et peuvet ici être employées avec succès. Aisi, il est doc importat de oter qu e pratique l'aalyse de la mortalité d expériece du groupe peut coduire à reteir comme «table d expériece» ue table exogèe au groupe, par exemple la TPG 993, ue table INSEE, ou plus gééralemet toute table dot o aurait des raisos de peser qu elle peut raisoablemet représeter la mortalité de la populatio cosidérée ; d ue maière géérale, la justificatio de l adéquatio d'ue table à u groupe doé pour u risque doé (vie ou décès) relève Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - -

12 d'ue aalyse différete de la costructio d'ue table de mortalité propre au groupe. Et cette aalyse est plus robuste et plus simple à mettre e œuvre que la costructio propremet dite. Face à ces cotraites, l obtetio d'ue iformatio raisoablemet fiable sur la mortalité d expériece du groupe passe doc i fie par le positioemet de cette mortalité par rapport à ue référece, que celle-ci soit ue table atioale, ue table de place, ou ue table d expériece costruite sur ue populatio plus large présetat des similitudes de comportemet sur ce registre. Ue table de mortalité est, o l a vu, essetiellemet décrite par le iveau de la mortalité à u momet doé et la tedace future d évolutio des taux de décès (ou de tout autre gradeur décrivat la survie, comme par exemple l idicateur classique d espérace de vie). Cette structure coduit à observer que le positioemet par rapport à ue référece peut, e foctio de la qualité des doées à dispositio, s evisager de deux maières : u positioemet sur le iveau uiquemet, la tedace repreat strictemet la tedace de la référece proposée ; u positioemet cojoit sur le iveau et la tedace. Plus délicat à mettre e œuvre techiquemet, il permet ue appréciatio plus fie du risque de logévité lorsque le volume de doées est suffisat. Pour l ue ou l autre de ces deux approches, les outils techiques existet : o peut citer otammet les régressios logistiques ou le modèle de Cox (COX [972]) et ses dérivés. O peut d ailleurs oter que les ouvelles tables réglemetaires TGH et TGF 05 légitimet d ue certaie maière cette démarche. E effet, la relative petite taille des portefeuilles utilisés pour la costructio a écessité comme o l a rappelé ifra le calage des tedaces sur des tables prospectives préalablemet costruites pour l occasio sur la base de doées INSEE. Aisi, les tables réglemetaires elles-même sot e u certai ses le résultat d'u positioemet de la mortalité des assurés par rapport à la mortalité géérale. Au global, et e guise de coclusio o peut reteir que les évolutios aussi bie des dispositifs prudetiels (Solvabilité 2) que des dispositifs comptables (IFRS) ou des approches de valorisatio d'ue activité d'assurace (EEV / MCEV) impliquet de predre e compte l expériece du groupe das les hypothèses de mortalité reteues. Si la costructio d ue «table d expériece» propre au groupe et élaborée à partir de ses seules doées est e pratique pas ue solutio systématiquemet evisageable, les techiques de positioemet de la mortalité d expériece par rapport à ue référece extere fourisset ue palette d'outils opératioels coduisat à ue appréciatio plus réaliste du risque porté. Il apparaît aisi délicat aujourd hui de faire l écoomie d ue étude fie de la mortalité d u portefeuille ou des membres d u régime de retraite das le but de mesurer de la maière la plus réaliste possible la valeur actuelle des egagemets pris. Cette problématique fait otammet l objet des travaux présetés das PLANCHET et al. [2006], Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 2 -

13 PLANCHET et JUILLARD [2007], PLANCHET et LELIEUR [2007] et PLANCHET et WINTER [2007]. Cette démarche coduit aturellemet à des modèles prospectifs itégrat ue aticipatio du iveau de la mortalité futur. Cette approche peut être complétée e itégrat ue icertitude sur le iveau des taux effectivemet observés autour de la tedace prédite. Cela coduit aux modèles stochastiques de mortalité. Les modèles stochastiques de mortalité La modélisatio de la mortalité est classiquemet effectuée via ue spécificatio de la foctio de risque μ ( x, t), e foctio de l âge x et de l aée courate t : μ ( x, t) est le taux istataé de décès à la date t pour u idividu d âge x à cette date. La coaissace de ce taux permet e effet de calculer la probabilité de survie etre t et T ( t < T ) d u idividu d âge x e t : T S( x,, t T) = exp μ ( x+ u t, u) du t Das le cas particulier où le taux de décès istataé ( x, t) o retrouve l expressio classique 0 S( x,, t T) exp ( ) ( ) = exp ( ) S x x 0 μ u du la foctio de survie du modèle. μ e déped que de l âge, ( ) S( x) x+ T t + S x T t = μ u du = x, avec O peut remarquer que μ ( x, T) = lim l S( x, t, T). Cette égalité, rappelle la t T T défiitio du taux d itérêt istataé par rapport au prix d u zéro-coupo ; elle coduit à itroduire la otio de taux istataé de décès «forward», défii par μ ( x,, tt) = l S( xtt,, ), de sorte que μ( x, T) = lim μ ( x, t, T) ; ces aalogies avec T t T les modèles de taux d itérêt fot l objet de ombreux développemets das la littérature (cf. CAIRNS et al. [2004] qui propose ue bibliographie sur ce thème). Das le cas où le taux istataé de décès est ue foctio détermiiste et e supposat celle-ci correctemet spécifiée, le risque de mortalité se mutualise ; e effet, la loi des grads ombres s applique, et assure que sur u portefeuille de taille importate, les fluctuatios d échatilloage sot faibles. Au surplus le théorème cetral limite permet de quatifier l amplitude de ces fluctuatios. A ce risque mutualisable s ajoute u risque d erreur de spécificatio : si la mortalité observée das le futur est différete de celle prévue par le modèle, l écart est bie etedu pas mutualisable, puisque toutes les têtes cocerées sot affectées das le même ses par l écart de la réalisatio par rapport à la prévisio. Das l approche stadard de la 0 Voir PLANCHET et THEROND [2006]. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 3 -

14 mortalité la maière de se prémuir cotre ce risque cosiste à reteir ue modélisatio prudete itégrat ue prime de risque : par exemple pour assurer u risque viager, la réglemetatio a reteu jusqu au 3/2/2006 ue table fémiie, les femmes ayat ue durée de vie supérieure à celle des hommes. Toutefois, l idée sous-jacete de ces modélisatios est qu il existe ue «vraie valeur» de μ ( x,t ), que l o cherche à approcher au mieux. O costruit aisi des «surfaces de mortalité» régulières, comme par exemple das CURRIE et al. [2004] : Figure - Surface de mortalité régulière Cepedat, u exame plus fi de cette surface fait apparaître que l évolutio du taux istataé de mortalité présete, aux différets âges, des variatios erratiques autour de la tedace qui se dégage 2 : Cette règle a été modifiée par l arrêté du 0/08/ Voir CAIRNS et al. [2004] pour ue aalyse détaillée. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 4 -

15 Figure 2 - Evolutio des taux de décès au cours du temps O est doc coduit à rechercher ue modélisatio capable de redre compte de ses fluctuatios autour de la valeur tedacielle : c est là l objectif des modèles stochastiques de mortalité. Les modèles stochastiques proposet de cosidérer que le taux de mortalité futur est lui même aléatoire, et doc μ ( x,t ) deviet u processus stochastique. Le taux de mortalité observé pour u âge et ue aée doés est alors ue réalisatio d ue variable aléatoire : o peut oter l aalogie avec les méthodes de lissage bayésiees 3. Le phéomèe de mortalité itègre alors explicitemet les deux risques décrits ci-dessus. Das la littérature, les approches stochastiques des phéomèes de mortalité sot ombreuses. Plusieurs modèles classiques sot de fait des modèles stochastiques ; e premier lieu, les lissages bayésies, et le modèle de Kimeldorf-Joes 4 etret das cette catégorie. Les modèles avacées de costructio de tables prospectives, comme le modèle de Lee-Carter 5 ou les modèles poissoies, sot égalemet des cas particuliers de modèles stochastiques, bie qu ils soiet à l origie élaborés pour costruire des extrapolatios (temporelles) de la surface μ ( x, t) détermiiste ; e ce qui cocere la modélisatio de Lee-Carter ou les modèles poissoies, o peut toutefois oter que les taux de mortalité 3 Voir PLANCHET et THEROND [2006]. 4 KIMELDORF et JONES [967]. 5 Ce modèle est décrit par exemple das BROUHNS et al. [2002]. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 5 -

16 aux différets âges sot supposés parfaitemet corrélés, la composate aléatoire ( k ) e t dépedat que du temps 6. Ceci est clairemet cotredit par le graphique précédet. U autre exemple simple de modèle stochastique cosiste à déformer ue table de mortalité classique par ue perturbatio aléatoire, e posat 7 : q = aq + b xt t x t avec E ( a t ) = et E ( b t ) = 0. O peut égalemet cosulter SOININEN [995] qui propose ue approche très formelle de ce risque. La modélisatio stochastique de la mortalité peut égalemet s ispirer des approches développées pour modéliser le défaut sur u marché de taux d itérêt ou de dette (o pourra par exemple cosulter LE PAGE [2000] pour ue présetatio des pricipaux modèles de ce type) ; la durée avat le défaut joue alors le rôle de la durée de vie. Ce sot ces classes de modèles qui sot aujourd hui les plus étudiés. Ces approches sot otammet itéressates das la perspective de la valorisatio e «juste valeur» d egagemets comportat à la fois le risque fiacier et le risque démographique. Efi, sigalos l existece d approches utilisat la théorie des valeurs extrêmes pour évaluer certais dérivés de mortalité, comme par exemple le produit proposé par Swiss Ré ; o pourra cosulter sur ce poit BEELDERS et COLAROSSI [2004]. L utilisatio potetielle d u modèle stochastique est doc double : u tel modèle permet de quatifier le risque systématique o diversifiable e itégrat explicitemet l icertitude sur les taux de mortalité futurs ; l évaluatio e «juste valeur» au ses des ormes IFRS de la valeur d u cotrat d assurace vie peut être effectuée das le cotexte gééral de l absece d opportuité d arbitrage, e traitat de maière symétrique les risques fiacier et démographique. Ue littérature abodate est cosacrée au secod poit : o pourra otammet cosulter BIFFIS et MILLOSOVITCH [2004], CAIRNS et al. [2004], DAHL [2004], MOLLER [998] et SCHRAGER [2004]. Cet aspect e sera pas abordé das la préset documet. Les modèles développés das ce cadre e costituet doc qu ue approche possible pour itroduire ue mesure du risque systématique, et à certais égards pas écessairemet l approche la plus pertiete. E particulier, les modèles de type Poisso s avèret bie adaptés pour les applicatios e assurace 8. 6 Cette composate est modélisée par u processus ARIMA. 7 Voir LEE [2000]. 8 O se reportera à PLANCHET et THEROND [2006] et à HADERER [2003] pour ue applicatio. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 6 -

17 . Mesure de l icertitude tedacielle sur la mortalité.. Itroductio Les aalyses prospectives de mortalité coduiset à aticiper les évolutios futures des taux de décès aux différets âges. Das les modèles maiteat classiques de costructio de tables prospectives, comme le modèle de Lee-Carter (voir otammet LEE et CARTER [992], LEE [2000], SITHOLE et al. [2000]) ou les modèles poissoies (cf. BROUHNS et al. [2002] et PLANCHET et THEROND [2006] pour ue présetatio et ue discussio de ces modèles), la dérive de mortalité future est aticipée à partir des observatios passées. Même e admettat qu il est légitime de prologer das les aées à veir les tedaces observées par le passé (o pourra se reporter à CAREY et TULAPURKAR [2003] pour des aalyses itégrat des cosidératios biologiques et eviroemetales, aisi que GUTTERMAN et VANDERHOOF [999] pour ue discussio sur ce poit), plusieurs sources d icertitude vieet perturber la détermiatio de la tedace future : choix de la période d observatio, fluctuatios stochastique des taux de mortalité, évéemets exceptioels, etc.. Cette icertitude fait peser sur les assureurs de retes viagères et les régimes de retraite u risque systématique (o mutualisable) dot l impact fiacier peut être très importat. Aisi, e Frace, la récete actualisatio des tables utilisées par les assureurs pour le provisioemet des retes viagères illustre les difficultés d ue telle aticipatio et les ejeux fiaciers associés : par rapport aux tables TPG e vigueur jusqu au 3/2/2006, les ouvelles tables TGH 05 et TGF 05 qui etret e vigueur le 0/0/2007 coduiset à des majoratios de provisio parfois supérieures à 20%, comme l illustre le tableau suivat : Figure 3 - Comparaiso des coefficiets de provisioemet TPG 993 et TGH/TGF 05 Age Géératio TPG 993 Femmes Femmes / TPG Hommes Hommes / TPG , , ,9% 26, ,2% , , ,0% 24, ,8% , ,3085 8,3% 2, ,2% , , ,0% 8,2226 -,7% , , ,3% 5, ,0% , , ,9% 2, ,6% ,3594 0,9627 7,2% 9,2890-2,4% , ,5548 8,5% 6, ,4% ,9330 5, ,5% 4, ,9% , , ,8% 3,4009 -,9% Das ce cotexte il apparaît opportu de rechercher à mesurer le risque associé à cette erreur d aticipatio et de quatifier so impact e termes de provisios pour u régime de retiers. O utilise pour cela das la présete étude le modèle de Lee-Carter (voir otammet LEE et CARTER [992], LEE [2000], SITHOLE et al. [2000]) pour costruire ue surface de mortalité μ x, t. Après u ajustemet des taux passés, les taux de mortalité pour les aées futures se ( ) 9 Tables obteues sur la base de la mortalité de la populatio fémiie sur la période , utilisées depuis le er juillet

18 déduiset classiquemet de l extrapolatio de la composate temporelle. O peut oter que l utilisatio de la variate log-poisso (cf. BROUHNS et al. [2002]) coduirait à des résultats très proches, qui e serot pas repris ici. A partir de ce modèle de référece, o propose u modèle stochastique de mortalité e cosidérat que le taux de mortalité futur μ ( x, t) est lui-même aléatoire, et que doc μ ( x, t) est u processus stochastique (comme foctio de t à x fixé). L aléa est itroduit de maière à capturer l icertitude sur l estimatio de la tedace future de la composate temporelle des taux de mortalité. Après avoir costruit u jeu de tables prospectives sur des doées atioales à l aide de ce modèle, ous l utilisos pour calibrer l icertitude sur la dérive aticipée et appliquos le modèle aisi obteu pour détermier la distributio de l egagemet d u régime de retes. Les coséqueces e termes d aalyse du risque pesat sur le régime et de provisioemet sot examiées. Le préset article complète l aalyse présetée das PLANCHET et al. [2006], auquel le lecteur pourra se référer pour les détails méthodologiques des modèles de base..2. Le modèle de mortalité.2.. Présetatio Le modèle reteu pour costruire les tables prospectives est u modèle stochastique adapté du modèle de Lee-Carter (LEE et CARTER [992]). O rappelle que la modélisatio proposée pour le taux istataé de mortalité das Lee-Carter est la suivate : μ = α + β k + ε, l xt x x t xt e supposat les variables aléatoires ε xt idépedates, idetiquemet distribuées selo 2 ue loi N ( 0, σ ) et que l o dispose d u historique t m t t M. La questio de l ajustemet des paramètres du modèle est pas abordée ici. Le lecteur itéressé pourra se reporter aux ombreuses référeces sur le sujet (citées par exemple das PLANCHET et THEROND [2006]). Ue fois ajustée la surface de mortalité sur les doées passées, il reste à modéliser la série ( k t ) pour extrapoler les taux futurs ; pour cela, o utilise la modélisatio la plus simple que l o puisse imagier, ue régressio liéaire e supposat ue tedace affie : * t k = at + b + γ, avec ( γ t ) u bruit blac gaussie de variace σ γ. O obtiet aisi des estimateurs â et ˆb qui permettet de costruire des surfaces projetées e utilisat simplemet t * ˆ ˆ t k = at+ b. Afi de simplifier l écriture des formules à veir, o pose τ = t t + m et T = tm tm +, ce qui coduit aux expressios : T + k k ˆ T τ τ a = 2 2 T et ˆ T + b = k aˆ, 2-8 -

19 avec k = kτ = k T T t ab, et de variace : d espérace ( ). De plus, le vecteur ( ˆ, ˆ) ab est distribué selo ue loi ormale T + 2 2σ 2 γ Σ= 2 T( T ) T + ( T + )( 2T + ) 2 6 O peut doc costruire des réalisatios de la mortalité future e effectuat des tirages das la loi du vecteur ( ab ˆ, ˆ). La variable k * t aisi obteue est telle que ( * E k ) t = kt. O obtiet alors des réalisatios des taux istataés de sortie via : Comme o ote que : et doc : * ˆ ˆ t ( k ) * * xt exp x x t μ = α + β. k = at+ best ue variable gaussiee d espérace kt = at+ b et de variace : 2 2 σγ 2 τ 2 ( ) ( T+ )( T+ ) 2 2 σ = τ τ( T+ ) +, TT 2 ( ) * * ( ) ( ) 2 2 β exp exp xσ E μ t xt = E αx + βxkt = αx + βxk t +, 2 E * ( ) 2 2 β exp xσ μ t xt = μxt > μxt. 2 Le modèle stochastique a doc tedace à surestimer les taux de sortie par rapport à la surface de référece fourie par le modèle de Lee-Carter. Compte teu du otre objectif de «perturber» la surface de mortalité, mais sous l hypothèse que celle-ci défiie correctemet la tedace future espérée des taux istataés de décès cette propriété du modèle est péalisate et il coviet d adapter l approche proposée. PLANCHET et al. [2006] proposet ue versio corrigée du biais du modèle défiie par : μ α β * β * exp xσt xt = x + xkt * Cette versio du modèle satisfait par costructio E ( μxt) xt = μ. Elle apparaît doc cohérete avec l objectif recherché. Toutefois, o peut lui reprocher de déformer de maière arbitraire la distributio des taux stochastiques ; e effet, si le modèle * ˆ ˆ t k = at+ b est pertiet, alors les - 9 -

20 taux de sortie * * * μ xt réellemet observés serot bie issus du modèle μxt exp ( αx βxkt ) o de la versio corrigée du biais. = + et O utilise ici ue approche différete et a priori plus aturelle cosistat à utiliser comme surface de référece détermiiste la surface moyee du modèle stochastique, soit 2 2 * β ( ) exp xσ E μ t xt = αx + βxk t +. E effet, si le mécaisme aléatoire dot sot issus les 2 taux de décès est bie associé à k * ˆ ˆ t = at+ b, alors la mortalité de référece détermiiste est bie défiie par la surface moyee ci-dessus, et o plus par la surface de Lee-Carter Applicatio umérique O présete ici les résultats obteus tout d abord sur la famille de tables prospectives proposée puis, das u secod temps, les coséqueces e terme de valorisatio de l egagemet du régime de retes. La table prospective utilisée das cette étude est celle utilisée das PLANCHET et al. [2006] ; elle est costruite à partir des tables du momet fouries par l INED 20 das MESLE et VALLIN [2002] et coduit à la surface de mortalité Lee-Carter suivate : Figure 4 - Surface de mortalité ajustée par Lee-Carter La surface de référece ajustée de otre modèle stochastique est présetée sur le graphe cidessous : 20 Ces tables sot dispoibles sur

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