Les Nombres Parfaits.

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1 Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie est l étude faite par trois élèves de secode. La deuxième partie,qui complète «parfaitemet» la première a été rédigée par les élèves de TS. PARTIE U ombre parfait est u ombre dot la somme de ses diviseurs propres est égale à ce ombre, ou, sous ue autre formulatio, u ombre dot la somme de e ses diviseurs est égale à deux fois ce ombre. Pour mieux compredre, preos le premier ombre parfait : 6. Par la première formulatio, o peut dire que 6=+2+3. Et par la deuxième formulatio, o a égalemet que 2= 2x6 = Nous avos remarqué,e faisat de ombreux essais que les ombres parfaits pairs semblaiet s écrire sous la forme 2. P, avec P ombre premier, et que P est de la forme 2 -, avec premier. Les sept premiers ombres parfaits pairs sot : 6 = 2x3 = +2+3 avec = 6 = 2 (2 2 -) 28 = 4x7 = avec =2 28=2 2 (2 3 -) 496 = 6x3 = avec =4 496=2 4 (2 5 -) 8 28 = 64 x 27 = avec = = 2 6 (2 7 -) = x 8 9 avec = = 2 2 (2 3 -) = x 3 07 avec = = 2 6 (2 7 -) = x avec = = 2 8 (2 9 -)

2 Maiteat, ous allos démotrer : )Si P est premier et 2 P parfait, alors P=2-2)Si 2 - est premier, alors est premier. )Si P est premier et 2 P parfait, alors P=2 Démostratio : - O écrit la somme des diviseurs propres de 2 P : P+2P+2 2 P+2 3 P+2 4 P P Or ous savos: (X-) (+X+X 2 +X 3 +X 4 +..X ) = ( X -) Doc après avoir mis P e facteur o obtiet: P(2 -) = P( ) 2 - = Doc, la somme des diviseurs propres de 2 P vaut : P(2 -)+2 - Puisque 2 P est parfait, o a : P(2 -)+2 -=2 P ce qui ous doe : P=2 -. Doc : 2 P = 2 (2 -) P = 2 (2 ) 2)Si 2 - est premier, alors est premier. Nous allos ici raisoer par l absurde. Si o premier, cela implique que = ab, avec a> et b> E utilisat la règle de factorisatio (X b -) = (X-)(X 0 +X +X 2 + +X b- ), ous avos e preat X=2 a : 2 ab -=2 -=(2 a -)(+2 a + +(2 a ) b- ) (2 a -) est u etier ; (+2 a + +(2 a ) b- ) est u etier. Doc (2 a -)(+2 a + +(2 a ) b- ) est u produit de deux etiers Doc (2 a -)(+2 a + +(2 a ) b- ) est pas premier Doc (2 -) est pas premier E coclusio : Si 2 - premier, o a premier. Mais si premier, 2 - est pas forcemet premier. Demostratio : Nous savos, par démostratio, que si 2 - premier, alors premier. Nous allos démotrer ici qu il y a pas de réciproque, c est-à-dire que si premier, alors 2 - est pas forcemet premier. Il suffira d u cotre-exemple. E preat, =, puisque est u ombre premier.

3 Nous obteos doc : 2 - = 2 - = = 23 x est doc pas premier, puisque 2 - est le produit de deux facteurs. E revache, das les ombres premiers etre et 50, ous avos premier qui doe 2 - avec les ombres : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 3 ; 7 ; 9 ; 3. Mais ous avos premier qui e doe pas 2 - premier, avec les ombres : ; 23 ; 29 ; 37 ; 4 ; 43 ; 47. Le Cas du ombre Nous ous sommes posé le problème de l admissio du ombre das la liste des ombres parfaits. E effets, a qu u seul diviseur, lui-même,. La somme des diviseurs de est doc égale à. De plus, peut s écrire sous la forme du produit 2 (2-), avec =0. E effet : 2 0 (2 0+ -) = 2 0 (2 -) = x = Mais, das l éocé du problème, ous avos bie dit que das la somme des diviseurs propres d u ombre parfaits, il e pouvait y avoir le ombre lui-même ; c est-àdire que, das le cas préset, ous avos la somme des diviseurs propres de qui est égale à 0 (c est le seul cas existat). PARTIE 2 Les ombres parfaits pairs Mise e évidece Avec u ordiateur, o a cherché tout les ombres parfaits de à 0000, puis o a cherché leurs diviseurs : 6, 2, 3, 6 28, 2, 4, 7, 4, , 2, 4, 8, 6, 3, 62, 24, 248, , 2, 4, 8, 6, 32, 64, 27, 254, 508, 06, 2032, 4064, 828 O a vu que ces ombres ot ue structure particulière : ue série de puissaces cosécutive de 2, et ue autre série de ombres assez proches des puissaces de 2, e même quatité : 28, 2, 4, 7, 4, 28 28, 2, 4, 8, 6 2, = ( 32 4 ) x = ( 6 2 ) x 2 = ( 8 ) x 4 28 = ( 8 ) x 4 496, 2, 4, 8, 6, 3, 62, 24, 248, , 2, 4, 8, 6, 32 -, 64-2, 28-4, 256-8, = ( 52 6 ) x = ( ) x 2 = ( 28 4 ) x 4 = ( 64 2 ) x 8 = ( 32 ) x = ( 32 ) x 6 E regardat les décompositios, o s aperçoit que ces ombres parfaits sot issus de puissaces de 2. Ceci ous a ameé à peser que les ombres parfaits pairs sot de la forme suivate : (2 )(2 )

4 E utilisat cette formule, o a trouvé u ouveau ombre parfait : , qui correspod à = 2. Voici les valeurs de correspodates pour chaque ombre parfait trouvé : 6 = 28 = = = = 2 La partie a prouvé que si 2 P est parfait avec P premier, alors P=2 - avec premier. O prouve das cette partie que d ue part 2 (2 -), avec 2 - premier, est parfait, d autre part que tout ombre parfait pair est de la forme précédete. A) Somme des diviseurs d u ombre La foctio SD Maipuler sas outils les sommes des diviseurs d u ombre est assez peu pratique. Cette partie se cosacre à la mise e place d u outil assez pratique : la foctio SD, ou somme des diviseurs. Cette foctio retoure la somme des diviseurs d u ombre etier positif : 6 est divisible par,2,3 et 6, doc SD( 6 ) = = 2 SD( 45 ) = = 78 SD( 65 ) = = 008 Nous avos trouvé u algorithme simple pour chercher les diviseurs d u ombre. U programme iformatique ous éparge les calculs de décompositios mauels, assez fastidieux. Propriétés de la foctio SD O a mis e évidece des propriétés ( démotrées ) de cette foctio : SD( a ) = a + si a est u ombre premier SD( a ) = 2a si a est u ombre parfait Ce sot des propriétés assez simples. Les suivates sot plus subtiles et je les admets ici : = si a et b sot premiers etre eux SD ( ab) SD( SD( b) a SD( a ) = a ( ab) a b + a + b + si a est u ombre premier, u etier positif SD a et b 2 etiers positifs, a >, b > B) les ombres de la forme (2 )(2 ) +, où 2 démostratio : Soit (2 )(2 P = ) avec 2 premier. Alors = SD((2 )(2 )) Or 2 2 est premier, doc = SD((2 est u ombre premier, d ou : 2 et 2 )(2 )) = SD(2 premier, sot parfaits. sot premiers etre eux : ) SD(2 ) +

5 2 est aussi u ombre premier, d ou : 2 SD( P) = (2 2 P est doc u ombre parfait. = SD(2 ) = (2 ) (2 ) (2 ) ) = 2(2 )(2 ) = 2P C) Tous les ombres parfaits pairs sot de la forme (2 )(2 ), avec 2 premier SD( P) = 2P Soit P u ombre parfait pair. Alors P est pair doc P = a2, a état u ombre impair, u etier aturel différet de 0. Doc o a : = 2P = 2 a2 = a2 = a2 a2 Comme le ombre a est impair, alors il est premier avec 2 et 2, d où : SD ( a2 SD(2 2 est u ombre premier, doc : 2 SD(2 = a2 ( a et sot impairs, est pair, doc SD( a ) est pair. O pose SD(=b2 m, avec b impair. Alors b2 m (2 -)=a2. a et b état impairs, o a écessairemet m=. O a doc : = b2, b état u ombre impair. Plusieurs cas se présetet : - a premier, doc b =, o a fii la démostratio. - a est pas premier, et b =. - a est pas premier, et b >. La deuxième propositio est pas valable car si b = alors o obtiet : = 2 et a = 2 doc = a +, doc a premier. Or c est cotradictoire avec la propositio de départ. Supposos que a e soit pas u ombre premier, b >. O a a = b (2 ) et = b 2 b (2 b 2 b (2 ) + b + (2 ) + b + (2 ) + ) + ) = a2

6 b 2 b 2 b + b + 2 b b + 0 O aboutit à ue absurdité. Doc a est premier, et doc b = car a = b (2 ). Les ombres parfaits pairs sot tous de la forme (2 )(2 ), avec 2 premier. D)Quelques propriétés des ombres parfaits pairs E base 2, les ombres parfaits pairs ot ue structure itéressate. E base 0, o écrit les ombres avec des chiffres de 0 à 9. E base 2, o les écrit avec les chiffres 0 et Les ombres parfaits pairs sot de la forme (2 )(2 ). Or 2, e biaire, s écrit avec u suivit de chiffres 0. Et doc 2, e biaire, s écrit seulemet avec + chiffres. Doc u ombres parfait pair s écrit e biaire avec + chiffres suivit de chiffres 0. De plus, comme + est premier et doc impair, la somme des chiffres composat u ombre parfait pair est toujours égale à. ( Sauf 6 e base 0, car 6 < 0 ) = = = = = = = = = = = Efi, les ombres parfaits pairs semblet tous se termier par 6 ou 28, je e sais pas vraimet pourquoi. Je pese que ces ombres ot d autres propriétés, à vous de voir! Mo objectif primaire est de traquer les ombres parfaits, pas de les dépecer E) Les ombres parfaits impairs : pistes de recherches Bo, après avoir réglé le sort des ombres parfaits pairs, il ous reste les ombres parfaits impairs. Nous avos 3 pistes pricipales : - Déduire des propriétés sur les ombres parfaits impairs jusqu à que l o trouve ue cotradictio : o prouverait aisi leur o-existece. - E utilisat la foctio SD et le fait que tout ombre soit le produit de ombres premiers, motrer que 2 est icotourable pour u ombre parfait, et doc que les ombres parfaits impairs existet pas. - E étudiat les diviseurs des ombres, trouver des cycles, des lois, pour coicer les ombre parfaits.