55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.

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1 55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique des ouvrages du secodaire et STS, il est doc très probable qu il y ait des référeces plus pertietes que celles doées. C est u appui pour costruire votre propre leço. Pour la costruire, si possible varier les domaies mathématiques et iveaux d eseigemet, aisi que les types d utilisatios du tableur. Tous les exemples présetés ici sot sur tableur Libre Office, o peut bie sûr aussi utiliser le tableur de Geogebra ou XCas. 2. Traitemet de doées - Statistique Niveau : quatrième (source Trasmath) Itérêt : sesibilisatio au type de représetatio A partir du fichier Natha C8 tachecomplexe Precipitatio.ods doer deux graphiques, le premier permettat d accréditer l opiio que les précipitatios ot peu varié e 100 as, le secod qu elles ot beaucoup varié e 100 as. O peut varier sur ce thème, motrer aussi que certaies représetatios sot plus lisibles que d autres, o utilise l assistat graphique. O peut regrouper par classes (utiliser la foctio SOMME), chager de type de diagramme, chager d échelle (double-clic sur le diagramme pour avoir u tour gris puis clic droit sur l axe dot o veut chager l échelle). voir le fichier Precipitatio.ods Niveau : fi collège, lycée (source IREM Pays de Loire) Itérêt : itroductio des idices, travail sur la proportio et les pourcetages Fichier : PopulatioCorrige.ods (1) O commecera par remarquer la difficulté de représetatio des doées brutes sur u même graphiques (e raiso de l importate différece d effectifs). (2) O itroduira les idices pour chaque populatio, l aée de référece (idice 100) état l aée 1851, les idices des autres aées état calculés proportioellemet à leur populatio. Puis o représetera sur u même graphique l évolutio des idices. Pour cela il sera écessaire de créer de ouvelles coloes, d utiliser l adressage absolu et l assistat diagramme. (3) O pourra utiliser ce travail pour répodre aux questios : Quels sot les pourcetages d augmetatio ou de dimiutio de 1851 à 1872 pour la populatio de Frace, de Corrèze et de Loire-Atlatique? Quels sot les pourcetages d augmetatio ou de dimiutio de 1968 à 1982 pour la populatio de Frace, de Corrèze et de Loire-Atlatique? Niveau : BTS Itérêt : Ajustemet affie par la méthode des moidres carrés, applicatio à u test empirique de ormalité avec la droite de Hery Fichier : droite Hery.ods Source : TP p347 Idice TS, éditeur Bordas. Les grades liges de la démarche empirique sot les suivates. O dispose de doées sous formes de classes et d effectifs, l histogramme de la série fait peser à u histogramme pour ue loi ormale. Si o appelle X la variable aléatoire pour laquelle les valeurs observées sot des réalisatios alors o est Date: 20 mars

2 2 CHANTAL MENINI coduit à peser qu elle suit ue loi N(µ, σ 2 ) et o cherche à détermier les paramètres µ et σ à l aide d u ajustemet affie. Pour cela o ote pour i compris etre 1 et, la classe [a i 1, a i [ et F i l effectif cumulé de cette classe. Avec otre hypothèse de travail ( X µ P (X a i ) = P a ) i µ F i. σ σ Si l o ote q i le quatile défii par P (Z q i ) = F i avec Z variable aléatoire suivat ue loi N(0, 1) alors si la loi de X est proche (là ecore de faço complètemet empirique) d ue loi N(µ, σ 2 ) le uage de poits de coordoées (a i, q i ) (1 i ) doit avoir ue forme allogée puisque q i a i µ σ. O fait u ajustemet affie selo les moidres carrés de Y e X pour la série (a i, q i ) 1 i, o obtiet la droite d équatio y = ax + b, o estimera alors que 1 σ a et µ σ b. 3. Outil de simulatio Les exemples sot ombreux, e voici deux possibles que l o peut pousser plus ou mois loi. Niveau : troisième - secode Le premier fichier : des.ods simule la modélisatio de l expériece aléatoire : Heri et Louis lacet tous les deux u dé équilibré uméroté de 1 à 6, Louis gage s il obtiet u ombre strictemet supérieur à celui de Heri. et illustre la covergece des fréqueces vers la probabilité de réalisatio de l évéemet. (1) A l aide du tableur faire 2000 simulatios de la modélisatio d ue partie, pour cela o pourra utiliser la foctio ALEA.ENTRE.BORNES. (2) Créer ue ouvelle coloe avec la valeur 1 si Louis gage et 0 sio, o pourra utiliser la foctio SI. (3) Compter le ombre de parties gagées par Louis pour parties jouées ( variat de 1 à 2000), o pourra utiliser la foctio SOMME et l adressage absolu. (4) Représeter sur u diagramme les poits ayat pour abscisse le ombre de parties jouées et pour ordoée la fréquece de victoire de Louis pour ces parties. (5) Que mettez-vous aisi e évidece? Recommecer la simulatio e appuyat sur Ctrl + Maj + F9. (6) Prologemet possible : Quelle est la probabilité que Louis gage lors d ue partie? Le deuxième fichier : LievreTortue.ods simule la modélisatio de l expériece aléatoire : A chaque tour, o lace u dé équilibré à 6 faces umérotées de 1 à 6. Si le 6 sort alors le lievre gage la partie, sio la tortue avace d ue case. La tortue gage quad elle a avacé 6 fois. (1) A l aide du tableur simuler ue modélisatio d ue partie e faisat afficher lievre si c est celui-ci qui gage et sio tortue. Pour cela o pourra utiliser les foctios ALEA.ENTRE.BORNES, SI et NB.SI. (2) Simuler 1000 parties puis faire u tableau avec la fréquece de victoire du lievre et de la tortue lors de 10, 100 et 1000 parties. Pour cela o pourra utiliser la foctio NB.SI. (3) Avec le formatage coditioel appliqué à la coloe (ou lige) où s affichet le om du vaiqueur de chaque partie, o peut mettre u fod rouge lorsque la tortue gage et u fod vert lorsque c est le lievre. (4) Prologemet possible : Sur 5 feuilles différetes faire 5 simulatios idetiques à la première et rassembler les valeurs prises par les fréqueces pour (10,100 et 1000 expérieces) afi d illustrer la fluctuatio d échatilloage (Ctrl+Shift+F9). (5) O peut termier par le calcul la probabilité de victoire du lievre et de la tortue lors d ue partie. Niveau : Termiale Itérêt : Estimatio d ue probabilité que l o croit souvet beaucoup plus petite par itervalle de cofiace.

3 55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. 3 fichier : aiversaires.ods Le problème : das ue classe de 32 élèves prise au hasard quelle est la probabilité qu au mois deux élèves aiet leur aiversaire le même jour? Pour modéliser o supposera que toutes les aées ot 365 jours et qu il y a équiprobabilité des aissaces chacu de ces jours. Ce problème peut doer lieu à ue prise de décisio (o a demadé aux élèves de proposer ue probabilité et o décide avec par exemple l échatillo des classes du lycée si l o a des élémets pour écarter cette hypothèse ou pas -feuille 2 du tableur avec la biomiale pour détermier u itervalle de fluctuatio lorsqu o a u échatillo de taille = 19-). Esuite o cherche à estimer cette probabilité icoue (voir feuille 1 du tableur) avec l itervalle de cofiace [f 1, f + 1 ]. La commade utilisée pour détermier s il y a ou pas 2 aissaces le même jour est MODE(plage de cellules) : revoie la valeur qui apparaît le plus souvet das la plage de doées, s il existe plusieurs valeurs avec la même fréquece, la plus petite est revoyée. Ue erreur se produit lorsqu aucue valeur apparaît au mois deux fois, il est alors affiché # VALEUR!. U prologemet possible puisque l o a u tableur à otre dispositio est le calcul de la valeur de la probabilité cherchée (feuille 3) : difficile e termiale car la déombremet est plus du tout vu. Niveau : termiale Itérêt : simulatio de sodage, illustratio d u résultat de cours Fichier : sodagebis.ods Source : Math x TS O a fait ue feuille de calcul simulat 100 sodages aléatoires de taille 1000 le jour de l électio de Barack Obama e 2008, où la proportio d opiios favorables das la populatio est égale à p = De plus pour chaque sodage simulé, fourissat ue fréquece d opiios favorables f, o représete l itervalle de cofiace au iveau 0.95 : [f 1, f + 1 ]. (1) E B30 écrire sodage 1, e A31 écrire tirage 1 et e B31 etrer ue formule permettat d avoir la valeur 1 avec ue probabilité de 0.55 et 0 sio (o pourra utiliser les foctios ENT, ALEA ou SI). Tirer vers le bas afi d avoir 1000 tirages puis tirer vers la droite afi d avoir 100 sodages de taille (2) Sur le haut de la feuille faire u tableau doat pour chaque sodage la fréquece d opiios favorables, la bore iférieure et la bore supérieure de l itervalle de cofiace. Faire u test permettat d afficher NON si l itervalle de cofiace e cotiet pas (3) Faire u diagramme avec les poits d abscisse le uméro du sodage et d ordoée la fréquece d opiio favorables. Ue fois le diagramme affiché lorsque les bords sot grisés faire u clic droit sur l u des poits puis afficher les barres d erreur. Sélectioer alors positif et égatif 1 puis valeur costate (valeur égale ici à 1000 ). (4) Combie comptez-vous d itervalles qui e cotieet pas 0.55, est-ce ormal? (5) Prologemet de iveau BTS : Est-il possible d avoir deux itervalles disjoits? Commet pourriezvous estimer la probabilité de cet évéemet? 4. Outil d ivestigatio Niveau : Troisième - Secode Itérêt : travail algébrique et graphique sur les foctios, cojecture d u maximum Fichier : ZoeBaigade.ods U grad classique : la zoe de baigade, éocé trouvé sous la forme ci-dessous das le Trasmath 4e. Il pourra être l occasio de doer u exemple de foctio autre que affie e troisième, de travailler sur les différets types de représetatio, et cojecturer la valeur de l aire maximale e affiat le balayage. E secode la cojecture pourra être démotrée e utilisat l axe de symétrie de la parabole. Eocé : Toy est maître ageur sur la plage de Caro das le départemet de l Hérault. Il dispose de 150 m de liges d eau pour délimiter ue zoe de baigade rectagulaire. Il atted vos coseils pour que la zoe de baigade ait ue aire la plus grade possible. Troisième - Première Itérêt : travail algébrique et graphique sur les foctios, cojecture d u maximum

4 4 CHANTAL MENINI Fichier : Boitesascouvercle.ods D après IREM Pays de Loire, mais c est u autre grad classique et il se trouve das de ombreux ouvrages (o pourra aussi trouver ue aalyse de cette activité e partat d ue feuille carrée das la brochure Les foctios IREM d Aquitaie). Ici la lecture graphique ou le tableur pour estimer la valeur maximale de V 1 sot idispesables tat que l o a pas la dérivatio. Eocé : O dispose d ue feuille de de dimesios 24 cm sur 16 cm, à chaque agle o découpe u carré puis o plie la feuille de faço à avoir ue boite sas couvercle. Que dire du volume de la boite sas couvercle aisi costruite? Avec 3 des 4 carrés découpés o costruit u ouvelle boite de base l u des carrés et de côtés les carrés coupés e deux, étudier so volume. (1) Doer ue piste de recherche à l aide du tableur. O pourra aussi faire apparaitre les graphes de deux foctios. (2) Prologemet : trouver le volume maximal possible pour la première boite costruite. Niveau : première Itérêt : modes de géératio d ue suite, courbe de tedace, cojecture Source : d après documet ressource Aalyse Fichier : Pies.ods Partie A : essais de modélisatio. U groupe de biologistes a relevé pedat quatre as, le premier javier de chaque aée depuis 2000, le ombre de pies vivat sur ue île d ue superficie de 60 km 2. Il a obteu les résultats suivats Aée Populatio Les mesures ot été stoppées pedat quelques aées, puis ot repris e O comptait 105 pies sur l île le premier javier (1) Etrer les doées das ue feuille de calcul. (2) Proposer ue modélisatio de la situatio à l aide d ue suite (p ). (3) E utilisat ce modèle, quel serait la populatio e 2010? (4) Peut-o valider cette modélisatio? Partie B : Premier modèle les biologistes itervieet pas. Les biologistes ot admis que le ombre d oiseaux dimiuait de 10% chaque aée, à cause des prédateurs et de la régulatio des aissaces et des décès. (1) Quelle est das ce cas la ature de la suite (p )? (2) Commet évolue la populatio de pies? (3) E quelle aée la populatio disparaît-elle de l île si la situatio perdure? Partie C : Deuxième modèle les biologistes itervieet. Pour teter de modifier la situatio, les biologistes décidet d istaller u ombre a d oiseaux de cette espèce le premier javier de chaque aée suivat l aée Ils estimet que le risque d extictio est évité si la populatio se stabilise autour de 200 oiseaux sur l île. (1) Regarder l évolutio de la populatio e preat a = 5 puis a = 10, a = 20 et a = 30. (2) Combie doivet-ils istaller au miimum d oiseaux chaque aée pour éviter l extictio? (3) Combie doivet-ils istaller au miimum d oiseaux chaque aée pour que le ombre de pies vivat sur l île retrouve au bout d u certai ombre d aées sa valeur de l a 2000? Pour répodre aux questios de la partie A o pourra faire u graphique et itroduire ue courbe de tedace, pour cela lorsque le cotour du graphique est grisé faire u clic droit sur l u des poits du graphique et sélectioer itroduire ue courbe de tedace.

5 55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. 5 Répodre aux questios des parties B et C e créat deux ouvelles listes doat les termes de la suite. Pour la partie C, das ue cellule mettre la valeur de a et puis la modifier e foctio de ce qui est demadé, peser à utiliser l adressage absolu $. Prologemet : doer l expressio du terme gééral de la suite lorsqu il y a pas itervetio des biologistes et lorsqu il y a itervetio des biologistes (elle dépedra alors du paramètre a). Niveau : première-termiale Itérêt : suite doée par ue relatio de récurrece pour laquelle o va cojecturer l expressio de so terme gééral e foctio de. Source : brochure IREM Paris VII Fichier : suiterecurrete.ods O cosidère la suite récurrete (u ) de premier terme u 0 = 0 et telle que, pour tout etier aturel, u +1 = u (1) E utilisat u tableur (ou ue calculatrice) calculer et représeter graphiquemet les 20 premiers termes de cette suite. Le uage de poits obteus a-t-il ue particularité? Si oui laquelle? (2) état doé, o peut calculer la valeur de u si o coait la valeur de u 1. O voudrait à préset pouvoir calculer, pour importe quelle valeur de l etier aturel o ul, la valeur de u sas pour autat coaître la valeur de u 1. Pour cela il faudrait disposer d ue formule doat u e foctio de. A l aide des observatios faites das la première questio, cojecturer ue formule doat, pour importe quelle valeur de l etier aturel, u e foctio de. Démotrer cette formule. 5. Outil de calcul 5.1. E aalyse. Niveau : Première Comparaiso placemets à itérêt simples, composés, avec apport régulier (voir leço suites arithmétiques et géométriques) Niveau : Première-Termiale Itérêt : Recherche d ue solutio approchée d ue équatio par balayage Source : Math X TS p57 (ecore u grad classique) Fichier : BilleCylidre.ods Eocé tel qu o le trouve das l ouvrage cité : O cosidère u cylidre de rayo itérieur 10 cm et de hauteur itérieure 20 cm. Il cotiet de l eau sur ue hauteur de 4 cm. O place ue boule au fod du récipiet et o costate que l eau recouvre exactemet la boule (la boule, de desité plus grade, e flotte pas). Détermier, à 0,1 mm près, le rayo de la boule. Avec le tableur et le balayage ous trouvos r 2, 05 cm (feuille 1). Le théorème des valeurs itermédiaires permet de justifier l existece de la solutio, la stricte mootoie sur u itervalle bie choisi permet de justifier l uicité. A oter que si l o fait varier le rayo itérieur du cylidre (feuille 2) o peut avoir deux solutios à ce problème. Peser tout de même à modifier si écessaire la hauteur du cylidre pour que l eau e déborde pas lorsqu o met la bille E arithmétique. Niveau : troisième Itérêt : calcul de pgcd par différeces successives puis par divisios euclidiees successives, applicatio à la résolutio d u problème Fichier : pgcd.ods Sur le tableur, écrire l algorithme de calcul du pgcd par soustractio successives aisi que par divisios euclidiees successives. O pourra utiliser les foctios MIN, MAX ou MOD. Source : Phare 3 e O veut remplir itégralemet (sas vide) u récipiet de forme parallélépipède rectagle de dimesios e millimètres 448x364x280 par des cubes dot les logueurs d arêtes sot de dimesio e ombre etier de millimètres. Quelle est le plus grade logueur d arête possible? Quel est alors le ombre de cubes mis das le récipiet?

6 6 CHANTAL MENINI Niveau : Termiale S spé Maths Itérêt : codage, décodage avec le tableur Fichiers : Chiffremet.ods Chiffremets de César et Affie, Idice TS ou math x TS (1) Das le chiffremet de Jules César, chaque lettre est remplacée par la lettre qui la suit trois rags plus loi das l alphabet, les trois derières lettres état remplacées, par permutatio circulaire, par les trois premières lettres de l alphabet. Que deviet le mot EGYPTE ue fois crypté? (2) Chaque lettre, e majuscule, est remplacée par so rag etre 0 et 25 das l alphabet, les autres siges (espaces, trait d uio,etc.) sot supprimés. O ote x le rag de la lettre e clair, 0 x 25.Le rag r(x) de la lettre chiffrée est alors le reste de la divisio euclidiee de ax + b par 26. Le couple (a, b) est appelé clé du codage. O va automatiser la codage à l aide du tableur, pour cela o aura besoi de deux foctios CODE() qui fourit le code ASCII de la lettre écrite, par exemple CODE(A) fourit 65 CAR() qui doe la lettre associée à u code ASCII, aisi CAR(65) doe A. La foctio MOD() aussi sera bie utile. (1) Automatiser das le cas du chiffremet de César, prévoir de pouvoir modifier le décalage. Faire ue lige avec le texte e clair, e dessous le calcul du rag de chaque lettre, e dessous le rag après chiffremet et pour derière lige le texte chiffré. Quelles foctios retrer pour avoir le rag de A égal à 0? Tester avec le mot EGYPTE. (2) Même travail pour le chiffremet affie, prévoir de pouvoir modifier a et b. Tester sur le mot CESAR et différetes valeurs de a et b. (3) Prologemet : Pour a = 2 et b = 7 que costatez-vous? Expliquer pourquoi il y a o ijectivité de l applicatio qui à x associe r(x) pour ce choix de a et b. Chiffremet de Hill, math x TS, Documet ressources Mathématiques série S eseigemet de spécialité O choisit quatre etiers,a, b, c et d costituat la clé du chiffremet. Les lettres de l alphabet sot codées de 0 à 25. A u bloc de deux lettres correspod doc u couple (x, y) d etiers compris etre 0 et 25. O calcule les codes du message chiffré e associat au couple (x, y) le couple (x, y ) tel que { x = ax + by y = cx + dy O calcule les restes de x et y das la divisio euclidiee par 26 et o leur associe u bloc de deux lettres. Faire ce travail sur tableur, o doit pouvoir modifier la clé. Tester pour le mot ETUDIER (que l o complètera à la fi avec ue lettre arbitraire pour avoir des blocs de 2 lettres) avec la clé a = 5, b = 8, c = 2 et d = 3 puis avec la clé a = 6, b = 7, c = 8 et d = 5. Prologemet : Commet feriez-vous pour décoder, cela est-il toujours possible?

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