Séries réelles ou complexes

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1 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés cous de même que les foctios usuelles exp, l, si, 6. Gééralités sur les séries réelles ou complexes Soiet u etier aturel et u ue suite de ombres complexes. Étudier la série de terme gééral u reviet à étudier la suite S des sommes partielles défiie par :, S k u k. O peut remarquer que cette suite est aussi défiie par la relatio de récurrece : { S u, +, S S + u. O otera plus simplemet u ue telle série et o parlera de série umérique. Pour tout etier, o dit que u est le terme d idice et S la somme partielle d idice de cette série. O supposera, a priori, que. 6. Séries covergetes ou divergetes O se doe ue suite u N ou plus gééralemet u d élémets de C et o désige par S N la suite de ses sommes partielles. Défiitio 6. O dit que la série u est covergete si la suite de ses sommes partielles S N est covergete. Das le cas cotraire, o dit que la série est divergete. Das le cas où la série u est covergete, o otera + u la limite de la suite S N, soit : + u lim u k

2 Séries réelles ou complexes et o dit que + u est la somme de la série de terme gééral u. O peut alors défiir la suite R N des restes de cette série covergete par : N, R + u S + u k u k. O dit, pour tout etier N, que R est le reste d ordre de la série covergete u et o ote : R + k+ O peut remarquer que la suite R N coverge vers. Le reste d ordre, R ous doe ue idée de l erreur que l o commet e remplaçat la somme + u par la somme partielle d ordre, S. u k. La covergece de la série u se traduit doc par : ε >, N, + k+ u k < ε. L étude la suite géométrique a N exercice 3.8 ous permet d étudier la série correspodate. Exercice 6. Étudier la série géométrique a, où a C. Solutio 6. Pour a, o a : lim a k lim + + et la série diverge. Pour a, les sommes partielles sot doées par : N, S a k a+ a et la série géométrique coverge si, et seulemet si, la suite géométrique a + N coverge, ce qui équivaut à a <. E cas de covergece, o a alors : + a a + lim a Les restes d ordre, pour tout N, sot doés par : R + a a. a k a a+ a a+ a L exercice qui suit ous motre commet rameer l étude d ue suite à celle d ue série ou iversemet.

3 Séries covergetes ou divergetes 3 Exercice 6. État doée ue suite umérique a N, o lui associe la série umérique de terme gééral u défii par : { u C,, u a a. Motrer que la suite a N est de même ature que la série u, c est-à-dire qu elles coverget ou diverget simultaémet. Solutio 6. Les sommes partielles de la série u sot doées par S u et, pour : S u + a k a k u + k u + a k a k k k a k a k u + a a ce qui doe le résultat. E cas de covergece de la suite a N vers l, la série u coverge vers u + a l et les restes d ordre de la série u sot doées par : k R u + a l S a l. Les exercices qui suivet ous doe des exemples d applicatio de ce résultat. Exercice 6.3 Étudier les séries + + et Solutio 6.3 Ue décompositio e élémets simples ous doe : et : et e coséquece : v u a a b b + Exercice 6.4 Étudier les séries l + + u + a lim +, v + b lim +. + et l. Solutio 6.4 Avec :, u l + l + l a a

4 4 Séries réelles ou complexes o déduit que la série l + diverge vers l ifii. Pour, o a : l v l l + + l l l l + + l + a a et : + l v + a lim l l l 3 + l. Exercice 6.5 Étudier la suite u N, défiie par la relatio de récurrece : où a est u scalaire doé. { u C, N, u + u + a Solutio 6.5 La suite u N est de même ature que la série u + u a. Elle est doc covergete si, et seulemet si, a <. Pour a <, o a : u u + u k+ u k u + u + a a a k u + a. De maière plus géérale, ue suite u N, défiie par ue relatio de récurrece du type : { u C, N, u + u + v est covergete si, et seulemet si, la série v est covergete. Nous verros plus loi commet utiliser le résultat de l exercice 6. pour étudier la costate d Euler γ déjà recotré à l exercice L exercice suivat ous motre commet utiliser la décompositio e élémets simple des foctios ratioelles de pôles etiers relatifs et les chagemets d idices pour calculer la somme de certaies séries umériques. Exercice 6.6 Motrer que les séries de terme gééral u 4 3 et v sot covergetes et calculer leurs sommes. + +

5 Séries covergetes ou divergetes 5 Solutio 6.6 E utilisat la décompositio e élémets simples : avec : o a : et : E coséquece : f x x x x 4 a x + b x + c x + a lim x xf x 4, b lim x x f x 3 8, c lim x x + f x 5 8 8S 4 k3 u 8 k k + 3 k3 k3 4 k + 3 k + k k 5 k + 3 k k k3 k + + k 5 k5 + k 5 k k k De maière aalogue, la décompositio e élémets simples : avec : o a : et : E coséquece : g x x x + x + a x + b x + + c x + a lim xg x x, b lim x + g x, c lim x + g x x x S v k k k k k k k k k + + k + k3 k

6 6 Séries réelles ou complexes Les exercices 3.4 et 3.5 ous doet le résultat suivat sur les séries de Riema α. Théorème 6. Soit α u réel. La série de Riema est covergete si, et seulemet si α α >. Démostratio. Rappelos la démostratio de ce résultat. Pour α, o utilise le fait que si la suite S N coverge alors pour α >, o motre que la suite croissate S N est majorée. Pour α, o a x x α x α pour x et : S S k + k α k + k et la suite S diverge. Pour α >, la foctio t t α état décroissate sur R+, o a : et pour tout, o a : S + k, k + α k k k k k k dt k t dt α k k α k α lim S S et dt t + dt α t + α α α α α. La suite S N est doc croissate majorée et e coséquece covergete. Pour α, o a + π. Voir le problème pour plusieurs démostratios de ce 6 résultat. De maière plus géérale, o peut motrer que pour tout etier p o a : + b p π p p p+ où les b p sot les ombres de Beroulli voir le problème 3. O peut aussi motrer la covergece des séries de Riema pour α > e utilisat les séries géométriques comme suit. Exercice 6.7 O désige par S N la suite des sommes partielles de la série de Riema pour α >. α. Motrer que pour tout etier p, o a : p+ k p k α pα.

7 Séries covergetes ou divergetes 7. E déduire que pour tout réel α > et tout etier r, o a : S r+ < α α. 3. E déduire que la série de Riema est covergete pour α >. α Solutio 6.7. Pour k compris etre p et p+, o a k p, doc k pour α > et : α pα p+ k p+ p α p pα pα. pα k p. Pour tout etier r, o a la partitio : {,,, r+ } {} {, 3} {4, 5, 6, 7} { r,, r+ } et pour α >, o a : r { p,, p+ } p S r+ r p p+ k α k p r p p r+α α α < α α α 3. Pour tout etier, o peut trouver u etier r tel que r+ et o a : S S r+ < α α puisque la série cosidérée est à termes positives. La suite S N est doc croissate majoré et e coséquece covergete. Ue coditio écessaire de covergece, élémetaire mais souvet utile pour justifier la divergece d ue série, est doée par le résultat suivat. Théorème 6. Si la série u est covergete, alors la suite u N coverge vers. Démostratio. Résulte immédiatemet de u S S pour. Exemple 6. Pour a, la suite a N e coverge pas vers, e coséquece la série géométrique a diverge. Remarque 6. La réciproque est fausse comme le motre l exemple de la série l + ou ceux des séries de Riema divergetes.

8 8 Séries réelles ou complexes E fait, das le cas où la suite u N est réelle décroissate, o a le résultat plus précis suivat. Théorème 6.3 Soit u N ue suite décroissate de réels positifs. Si la série u est covergete, alors la suite u N coverge vers, c est-à-dire que u o. soit : Démostratio. Pour > m, o a : Comme + + lim u k km km u k ε et o a : u u k m + u km u k + m u km + km u k + mu., pour ε > doé, o peut trouver etier m tel que > m, u ε + m u. Pour m aisi fixé, teat compte de lim u, o peut trouver u etier > m tel que m u < ε pour. O a doc u < ε pour. Le réel ε état quelcoque, o a bie motré que lim u. Exercice 6.8 Soit u N ue suite de réels positifs décroissate telle que la série u soit covergete. Motrer que lim u et e déduire la ature de la série + u. u. Motrer que + u u + + u. Solutio 6.8. O a déjà vu avec le théorème précédet que lim u. O a alors u u > pour assez grad et u, ce qui etraîe la covergece de la u série + u. u. O a : avec u + k u k u k+ u k u +, + + u +, d où le résultat. O peut remarquer que les séries de Riema sot de la forme f où f est ue foctio défiie sur [, + [, à valeurs positives, cotiue et décroissate. De maière plus précise, o a le résultat suivat qui repred celui de l exercice 3.53.

9 Séries covergetes ou divergetes 9 Théorème 6.4 Soit f : [, + [ R + ue foctio cotiue décroissate et F la primitive de f ulle e. La suite u u N défiie par u f k F pour tout est covergete et la série f de même ature que la suite F N. E supposat f o idetiquemet ulle et e otat l la limite de la suite u N, o a : k k f k F + l. Démostratio. La foctio F est défiie par : Pour, o a : f + x, F x x f t dt. u + u f + F + F + f t dt + f + f t dt avec f cotiue et f + f t pour tout t ], + [. O a doc u + u et u N est décroissate. La foctio f est cotiue décroissate sur [, + [, doc : k, et pour tout, o a : f k k et u F + F k+ k k k + k+ f t dt f t dt k+ k + f k dt f k f t dt F +, f t dt puisque f est à valeurs positives. La suite u est doc décroissate miorée et e coséquece covergete vers u réel l. Comme f est à valeurs positives, la suite F N est croissate à valeurs positives et o a deux possibilités. Soit cette suite est majorée et elle coverge alors vers u réel l. Il e résulte alors que + f l + l. Das le cas cotraire, o a lim F + et + f +. Si f est pas la foctio ulle, o aura F F > pour avec assez grad puisque f est cotiue et : f k f k F l k F + l k F + l f k F l k F + l

10 Séries réelles ou complexes c est-à-dire que k f k Remarque 6. Das le cas où F. F + l. lim F +, o a F +l F et f k k Nous verros, après avoir étudié les itégrales gééralisées, que le résultat précédet se traduit e disat que la série f est de même ature que l itégrale gééralisée k + f t dt. E utilisat la foctio f t avec α > o retrouve, e les précisat, les résultats sur tα les séries de Riema. Pour α, o a F x l x, lim l γ la costate d Euler, k k + l et + lim k k + +, soit +. x. α α Pour α, o a F x α Pour α >, o a F α Pour α <, o a F α α α + et et doc + k k α α + l. k α + F + +. α Pour α, la série diverge puisque so terme gééral e ted pas vers. Exercice 6.9 O se propose de motrer de faço élémetaire que + O ote, pour tout etier et tout réel x :. Motrer que : pour tout x [, ]. f x k x k. f x + x + + x. E déduire que, pour tout etier, o a : k k + 3. E déduire le résultat aocé. l + x + + x dx. + l. α α, soit Solutio 6.9. Pour x [, ], o a x et : f x x k x+ + x + x +. + x

11 Séries covergetes ou divergetes. E itégrat sur [, ], o a : f x dx k x k dx dx + + x k k + + x + dx + x l + x + + x dx x + + x dx. 3. Avec : o déduit que lim k k + x + + x dx l, soit + x + dx + + l., Exercice 6. E s ispirat de la méthode utilisée à l exercice précédet, motrer que + π 4. Solutio 6.. Pour x [, ], o a : + f x x k + x + + x + x + + x.. E itégrat sur [, ], o a : f x dx k x k dx dx + + x k k + + x + dx + x π 4 + x + + x dx x + + x dx. 3. Avec : o déduit que lim x + + x dx k k + π +, soit 4 x + dx π 4., Pour ce qui est des opératios sur les séries umériques, o dispose des résultats suivats.

12 Séries réelles ou complexes Théorème 6.5 Soiet u et v deux séries umériques et λ, µ deux scalaires.. Si ces deux séries coverget, il e est alors de même de la série de terme gééral λu +µv et + λu + µv λ + u + µ + µv.. Si la série u coverge et la série v diverge, alors la série u + v diverge. 3. Si la série u coverge, il e est de même de la série u, où u est le complexe cojugué de u et u u. Démostratio. Se déduit immédiatemet des résultats relatifs aux opératios algébriques sur les suites umériques. Exercice 6. O se propose d étudier les séries de termes gééraux u a e iθ, s a si θ et c a cos θ où a et θ sot deux réels quelcoques.. Motrer que pour θ R et a <, les trois séries coverget et calculer la somme de chacue ces séries.. Que dire des séries c et s pour θ πz et a R? 3. O suppose que θ R \ πz et a. a Motrer que la suite si θ N est divergete. b Motrer la série s est divergete. c Motrer la série c est divergete. Solutio 6.. O a u λ avec λ ae iθ et la série u coverge si, et seulemet si, λ <, ce qui équivaut à a < et θ R. Pour a < et θ R, o a ; u a cos θ + ia si θ a cos θ + a si θ ae iθ a cos θ ia si θ a cos θ + ia si θ a cos θ + a et : puis : et : u a cos θ ia si θ a cos θ + a c u + u u + u a cos θ R u a cos θ + a s I u a si θ a cos θ + a.

13 Séries alterées 3. Si θ pπ avec p Z, o a s pour tout N et tout a R, de sorte que s. O a aussi c a p p a et c coverge si, et seulemet si, a <. 3. O remarque que la coditio θ / πz équivaut à siθ. a Supposos que lim si θ l. Avec : si + θ + si θ si θ cos θ, o déduit que l l cos θ, ce qui impose l puisque cos θ si siθ. Avec : si + θ cos θ si θ + si θ cos θ, o déduit que lim cos θ si θ, ce qui etraîe lim cos θ puisque si θ, mais ce derier résultat est icompatible avec cos θ+si θ. b Supposos que la série s soit covergete. O a alors si θ s s pour a, o e déduit que a faux. c Supposos que la série c soit covergete. O a alors cos θ c c pour a, o e déduit que a cos + θ cos θ cos θ si θ si θ lim s et comme lim si θ ce qui est lim c et comme lim cos θ et avec : o e déduit que lim si θ si θ et lim si θ puisque siθ ce qui est faux. 6.3 Séries alterées Défiitio 6. O dit qu ue série est alterée si so terme gééral est de la forme u α, où α N est ue suite réelle de sige costat. Si α est ue série alterée, o supposera, a priori, que les α sot positifs. Le théorème relatif aux suites adjacetes ous permet de motrer le résultat fodametal suivat. Théorème 6.6 Soit α est ue série alterée. Si la suite α N ted vers e décroissat, alors la série α est covergete et ue majoratio des restes est doée par : + N, R k α k α +. k+ Démostratio. O vérifie que si S N est la suite des sommes partielles de cette série, alors les suites S N et S + N sot adjacetes et e coséquece covergete vers la même limite, ce qui équivaut à la covergece de S N.

14 4 Séries réelles ou complexes E utilisat la décroissace de la suite α N, o déduit que pour tout etier, o a : { S+ S α + α +, S +3 S + a + a +3, ce qui sigifie que S N est décroissate et S + N croissate. De plus avec : S + S α +, o déduit que ces suites sot covergetes et la covergece de la série α e découle. E otat S la somme de cette séries, o a : N, S + S S + S, ce qui etraîe : ou ecore : N, { α+ R S S, R + S S + α + N, R α +. Remarque 6.3 Le fait que α N tede vers e décroissat implique que les α sot tous positifs. O e déduit le résultat suivat sur les séries de Riema alterée. Exercice 6. Soit α u réel. Motrer que la série de Riema alterée est covergete si, et seulemet si α >. α Solutio 6. Pour α la série diverge puisque so terme gééral e ted pas vers. Pour α >, la suite ted vers e décroissat et le théorème des séries alterées α ous dit que la série coverge. α Exercice 6.3 Étudier la série de terme gééral u 3 cosπ + 4. Solutio 6.3 Pour, o a u α avec α qui ted vers x 3 x + et f x x 3 4x 4 e décroissat α et α f avec f x < x + 5 pour x. Le théorème des séries alterées ous dit alors que u coverge. Exercice 6.4. Motrer que la suite I N défiie par : ted vers e décroissat. N, I π cos x dx

15 Séries absolumet covergetes 5. Motrer que la série de terme gééral : est covergete et calculer sa somme. Solutio 6.4. Pour, o a : I + π doc I N est décroissate. ] Pour et ε, π [, o a : I ε u π cos x cos x dx cos x dx + π ε cos x dx π cos x dx I, cos x dx ε + cos ε. Comme < cos ε <, o a lim cos ε et il existe u etier ε tel que cos ε < ε pour tout ε, ce qui doe I < ε pour tout ε. O a doc aisi motré π que la suite I N ted vers e fait, o peut motrer que I.. Le théorème des [ séries alterées ous dit que cette série coverge. Pour tout x, π ], o a : S x k cos k x + cos x + cos + x + cos x et : avec : ce qui doe : S u k π π π dx + cos x + cos + π x + cos x dx cos + x dx I + cos + x + cos x dx,, + u π dx + cos x e effectuat le chagemet de variable t ta dt + t + t +t x. 6.4 Séries absolumet covergetes Défiitio 6.3 O dit que la série u covergete. est absolumet covergete si la série u est

16 6 Séries réelles ou complexes Le critère de Cauchy pour les suites umériques ous permet de motrer qu ue série absolumet covergete est covergete. Nous verros au paragraphe suivat que l étude des séries à termes positifs est plus simple que celle des séries réelles de sige quelcoque ou que celle des séries complexes. Remarque 6.4 E réalité le critère de Cauchy pour les suites umériques est équivalet au fait qu ue série absolumet covergete est covergete. Précisémet, o peut motrer qu u espace vectoriel ormé E, est complet si, et seulemet si, toute série ormalemet covergete das E, est covergete. Théorème 6.7 Soit u N ue suite umérique. Si la série u est covergete, alors la série u est covergete et : + + u u. Démostratio. Soit u ue série umérique absolumet covergete. La suite des sommes partielles u k état covergete, elle vérifie le critère de N Cauchy et pour tout réel ε >, o peut trouver u etier tel que : m >, m k+ u k < ε, ce qui etraîe que : m m m >, u k u k < ε k+ k+ et sigifie que la suite des sommes partielles u k est de Cauchy et e coséquece N covergete, ecore équivalet à dire que la série u est covergete. E utilisat l iégalité triagulaire, pour tout etier : u k u k et faisat tedre vers l ifii, o déduit que + u + u. Avec l exercice 6., o motre le résultat précédet sas utiliser le critère de Cauchy, e utilisat uiquemet le fait qu ue suite réelle croissate majorée est covergete. Défiitio 6.4 Ue série umérique covergete, mais o absolumet covergete est dite semi-covergete. Exemple 6. Pour < α, la série de Riema alterée + est semi covergete. α

17 Séries absolumet covergetes 7 Exemple 6.3 Pour tout ombre complexe z x + iy tel que x R z >, la série z est absolumet covergete du fait que z o rappelle que x z e z l. La foctio ζ défiie sur l esemble des ombres complexes de partie réelle strictemet supérieur à par : est la foctio dzéta de Riema. ζ z Si o effectue ue permutatio de l ordre des termes d ue série semi-covergete il peut se produire les phéomèes suivat : la ature de cette série est ichagée, mais sa somme est modifiée ; la ature et la somme de cette série sot ichagées ; la série est trasformée e série divergete. Avec les exercices et le théorème qui suivet, o étudie ces phéomèes. Exercice 6.5 O s itéresse à la série de Riema alterée +. O sait que cette série + est semi covergete de somme l exercice 6.9. O désige par σ la permutatio de N qui ordoe N comme suit : σ N {} {, 3} {} {5, 7} {4} {k} {4k +, 4k + 3} Ue telle permutatio σ peut être défiie par : { k si 3k N, σ 4k + r si 3k + r avec r {, } ou ecore par : + z k si 3k N, σ 4k + si 3k + 4k + 3 si 3k +. Vérifier que σ est bie permutatio de N.. E otat u +, o désige par v la série umérique de terme gééral v u σ. O se doe u etier 3 et o écrit 3k + r sa divisio euclidiee par 3 avec k et r. a Écrire la somme partielle S v j sous la forme S T k ε k où T k S 3k+ et lim ε k. k + b Pour tout etier k, o ote H k k. Motrer que : i + j c E déduire que + u σ l. i T k H k+ H k+

18 8 Séries réelles ou complexes Solutio 6.5. C est la divisio euclidiee par 3 qui permet de défiir σ. Soiet, m deux etiers aturels et 3k + r, m 3k + r les divisios euclidiees de ces etiers par 3. Si σ σ m, les restes r et r sot soit tous les deux uls, soit tous les deux o uls, sio σ et σ m sot deux etiers de parités différetes. E supposat qu ils sot tous deux uls, l égalité σ σ m se traduit par k k, soit par k k et m. E supposat qu ils sot tous deux o uls, l égalité σ σ m se traduit par 4k + r 4k + r soit par k + r k + r avec r, r, ce qui équivaut à r r argumet de parité et k k, ce qui doe m. L applicatio σ est doc ijective. Si m est u etier pair, il s écrit m k σ où 3k. Si m est u etier impair, il s écrit m 4k + ou 4k + 3, soit m σ où 3k + ou 3k + L applicatio σ est doc surjective.. Soit 3k + r u etier avec k et r. a Pour r, o a S T k et ε k, pour r ou, o a : avec T k S 3k+ et : b O a : S 3k+ j v j 3k+ j3k+r+ v j T k ε k ε k v 3k+ + v 3k+ 4k + + 4k + 3 T k 3k+ j u σj k u σ3i + i k+ j k i k u σ3i+ + i k u i + i i + j + k i. k + k i k u 4i+ + i 4i + u σ3i+ k i k i k k i + i i k k i + 4 i i u 4i+3 4i + 4 4i + 4 i + soit : T k k+ j j + k i i + H k+ H k+

19 Séries absolumet covergetes 9 c O rappelle que l + δ avec lim k k l lim δ γ. O e déduit alors que : T k H k+ H k+ γ exercice 3.49, ce qui s écrit H k + l + δ k+ δ k+ k + et lim T k l. k + Les trois suites extraites S 3k+r k, pour r,, coverget alors vers la même limite, ce qui reviet à dire que S coverge vers cette limite, soit : + σ σ + l. Exercice 6.6 O s itéresse ecore à la série de Riema alterée + +. O se doe deux etiers aturels o uls p et q et o désige par σ la permutatio de N qui ordoe N comme suit : σ N {,,, p } {, 3,, q } {p,, p } {q +,, 4q } c est-à-dire qu o place les p premiers etiers pairs, puis les q premiers etiers impairs, puis les p etiers pairs suivats, q etiers impairs suivats, et aisi de suite. E effectuat la divisio euclidiee par p + q tout etier s écrit de maière uique p + q k + r avec k N et r p + q et ue telle permutatio σ peut être défiie par : { pk + r si r p N, σ qk + r p + si p r p + q. Motrer que σ est bie permutatio de N.. E otat u +, o désige par v la série umérique de terme gééral v u σ. O se doe u etier p + q et o écrit p + q k + r sa divisio euclidiee par p + q avec k et r p + q. a Écrire la somme partielle S v j sous la forme S T k ε k où T k S p+qk+p+q et lim ε k. k + b Pour tout etier k, o ote H k k. Motrer que : i + T k T k H pk+ Hpk+ + H qk+. c E déduire que + u σ l + p l. q Solutio 6.6 j i

20 3 Séries réelles ou complexes. Soiet, m deux etiers aturels et p + q k + r, m p + q k + r les divisios euclidiees de ces etiers par p + q. Si σ σ m, les restes r et r sot tous deux das {,,, p } ou {p,, p + q }, sio σ et σ m sot deux etiers de parités différete. E supposat qu ils sot tous deux das {,,, p } [resp. das {p,, p + q }] l égalité σ σ m se traduit par pk + r pk + r [resp. par qk + r p + qk + r p + ] soit par pk + r pk + r [resp. par qk + r p qk + r p] avec r, r p [resp. r p, r p q ] ce qui équivaut à k k et r r du fait de l uicité du quotiet et du reste das la divisio euclidiee par p [resp. par q]. O a doc m et σ est ijective. Si m est u etier pair, il s écrit m s pk + r avec r p e effectuat la divisio euclidiee de s par p, soit m σ où p + q k + r. Si m est u etier impair, il s écrit m s + qk + r + avec r q e effectuat la divisio euclidiee de s par q, soit m σ où p + q k + p + r. L applicatio σ est doc surjective.. Soit p + q k + r u etier avec k et r p + q divisio euclidiee. a Pour r p + q, o a S T k et ε k, pour r p + q, o a : S avec T k S p+qk+p+q et : b O a : p r p+qk+p+q j v j p+qk+p+q jp+qk+r+ v j T k ε k ε k vp+qk+ + + vp+qk+p+q k i T k p+qk+p+q p r j p + q k u σj k u pi+r + i p+q pi + r + p r k i rp p+q r p+q rp k i pi + r + q s E utilisat la divisio euclidiee par q, o a :. k + k i k i u σp+qi+r u qi+r p+ qi + r p + k i qi + s + {qi + s + i k et s q } {,,, qk + q} et : q s k i qk+ qi + s + j H qk+ j

21 Séries absolumet covergetes 3 E remarquat que les etiers de la forme pi + r+ où i k et s p sot les etiers impairs compris etre et pk + p divisio euclidiee par p, o a : p r k i p pi + r + k s i p s pk+ j k i p pi + s + r k i pi + s + p r pi + r + k i pi + r + j pk+ j H pk+ H pk+ j O a doc : T k H pk+ Hpk+ + H qk+. c O utilisat H l + δ avec lim δ γ, o a : T k H pk+ Hpk+ + H qk+ p l + δ pk+ δpk+ + δ qk+ q et lim T k l + p k + l. q Toutes les suites extraites S p+qk+r, pour r p + q coverget alors k vers la même limite, ce qui reviet à dire que S coverge vers cette limite, soit : + σ σ + l + p l. q Exercice 6.7 Soit σ ue permutatio de N telle que la suite σ N soit borée. Motrer que pour toute série covergete u, la série u σ est covergete et + u σ + u. Solutio 6.7 Si la suite σ N est borée, il existe u etier N tel que σ N, ou ecore N σ + N pour tout N. Comme σ est bijective, pour N et k il existe u etier j tel que k σ j et avec j N σ j k j + N, o déduit que cet etier j est compris etre et k + N. Il e résulte que la somme partielle u k est ue partie de la somme +N u σj et : +N j u σj u k De plus avec σ j j + N + N, o déduit que : +N j σj + j u σj {σ j j + N et σ j + } { +,, + N}

22 3 Séries réelles ou complexes et : +N u σj j u k +N j σj + +N uσj k+ u k ε Comme chacue des suites u +r N pour r compris etre et N ted vers, la suite ε N +N ted aussi vers somme fiie de suites qui tedet vers. Il e résulte que u σj lim lim u k, ce qui sigifie que la série u σ est covergete avec + u σ + u. Théorème 6.8 Soit u ue série semi-covergete. Pour tout réel S, il existe ue permutatio σ de N telle que la série u σ soit covergete de somme S. O peut aussi trouver des permutatio σ et σ de N telles que la série u σ soit divergete vers et la série u σ soit divergete vers +. Démostratio. Voir [7] pages 7 à 75 ou [9] volume 3, pages 37 à 43. La démostratio rigoureuse de ce théorème est délicate. 6.5 Séries à termes positifs Das le cas où la suite u N et à valeurs positives, la suite S N des sommes partielles associées est croissate o a S + S u + et deux cas de figure peuvet se produire : soit la suite S N est majorée et e coséquece elle coverge ; soit cette suite est pas majorée et lim S +, ce qui peut se oter + u +. O a doc le résultat suivat. Théorème 6.9 Ue série à termes positifs u est covergete si, et seulemet si, la suite de ses sommes partielles est majorée. E cas de divergece, o a lim S +. Das le cas des séries à termes positifs, o écrira u < + pour sigifier que cette derière coverge. Cette otatio état justifiée par les cosidératios précédetes. Du résultat précédet o déduit les critères de comparaisos suivats valables uiquemet pour les séries à termes réels positifs. Théorème 6. Soiet u et v deux séries à termes réels positifs.. S il existe u etier tel que :, u v j alors : { v < + u < + u + v +. S il existe u etier et des costates m et M strictemet positives tels que :, v > et m u v M alors les séries u et v sot de même ature.

23 Séries à termes positifs S il existe u etier tel que :, u >, v > et u + u v + v alors : { v < + u < + u + v + 4. S il existe u etier et ue costate λ ], [ tels que :, u > et u + u λ alors u coverge. 5. S il existe u etier et ue costate λ tels que :, u > et u + u λ alors u diverge. Démostratio.. E otat respectivemet S N et T N les suites des sommes partielles des séries u et v, o a :, S S T T. Le résultat aocé e découle alors immédiatemet.. De < u Mv o déduit que si v coverge il e est alors de même de u et de u mv >, o déduit que si v diverge il e est alors de même de u. 3. O a : et par récurrece : u + u v + v λv + +, u λv. E effet, c est vrai pour + et e supposat le résultat acquis au rag : O est doc rameé au premier cas. 4. O a u + v + u v coverge aussi. u + u v + v λv +. pour avec v λ et v puisque λ ], [, doc u 5. O peut là aussi utiliser v λ ou tout simplemet remarque la suite u est croissate, doc u u > pour tout et u e peut tedre vers, la série u est doc divergete. Remarque 6.5 Si u v pour tout N, et v coverge, alors + u + v. Plus gééralemet, o a pour les restes R + u k R + k+ k+ v k.

24 34 Séries réelles ou complexes Exercice 6.8 Motrer que la série l + est divergete. E déduire la divergece de la série harmoique. Solutio 6.8 Pour, o a : S l + k k doc l + diverge. Avec les iégalités valables pour : o e déduit la divergece de. l l k + l k k l >, Exercice 6.9 Motrer que si les séries à termes positifs u et v sot covergetes, il e est alors de même des séries u v et v. Solutio 6.9 Résulte de : u v u + v et v v avec covergete. Le théorème précédet permet de retrouver le fait qu ue série absolumet covergete est covergete sas recours au critère de Cauchy. Exercice 6. Motrer, sas utiliser le critère de Cauchy, qu ue série absolumet covergete est covergete. Solutio 6. O cosidère tout d abord le cas d ue série réelle u absolumet covergete. Pour tout etier, o a u u u, soit v u + u u. O déduit alors du théorème précédet que la série v est covergete et avec u v u, o e déduit que u est covergete. Das le cas d ue série complexe u absolumet covergete, o écrit que u x + iy, où x R u et y I u et avec x u, y u, o déduit que les séries réelles x et y sot absolumet covergetes, doc covergetes et la covergece de u suit. De ce corollaire, o déduit les critères de comparaiso aux séries de Riema suivat. Corollaire 6. Soit u ue série à termes réels positifs.. S il existe u réel α > tel que la suite α u N soit borée ecore équivalet à dire que u O, alors la série u α coverge.. S il existe u réel α tel que la suite lim α u +, alors la série u diverge.

25 Séries à termes positifs 35 Démostratio. Das le premier cas, o a u M α u à partir d u certai rag avec α. α avec α > et das le secod Remarque 6.6 Si o veut comparer la série à termes positifs à ue série de Riema, o étudie e pratique la covergece de la suite α u N vers u réel positif ou vers l ifii. est absolu- Exercice 6. Motrer que pour tout réel θ et tout réel α >, la série met covergete. Solutio 6. Résulte de cos θ α. α cos θ α Exercice 6. Étudier la série de terme gééral u cos + 4. Solutio 6. O a :, u, doc la série coverge absolumet. Exercice 6.3. Motrer que +.. E comparat et, e déduire la covergece de la série + avec. Solutio 6.3. Pour, o a : k k k k k k k k k k k k k k, ce qui sigifie que +.. Avec < pour tout, o déduit la série. est covergete et Exercice 6.4 O étudie à ouveau les séries de Riema α.. Motrer que diverge pour α. α. Motrer que diverge.

26 36 Séries réelles ou complexes 3. E déduire que la série diverge pour < α. α 4. O suppose que α >. a Motrer que + α. α b Motrer que pour tout réel β > et tout réel t ], [, o a : t β + βt. c Motrer que pour tout etier, o a : α α α. α d Coclure. Solutio 6.4. Pour α, le terme gééral de la série e ted pas vers, doc la série diverge. α. E désigat par S la somme partielle d idice de la série, o a pour tout : S S k + k doc la suite S S e ted pas vers et la série diverge. 3. Pour < α et, o a < et e coséquece α diverge. α 4. a Pour, o a : k α k α k k k α k k ce qui sigifie que + α. α k α k α α k k α, b O désige par f la foctio défiie sur ], [ par f t + βt t β. Cette foctio est dérivable sur [, ] avec : f t β t β t + βt β t β t + βt < Elle est doc décroissate et f t f, ce qui doe l iégalité souhaitée.