Comportement d'une suite

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1 Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer les poits de coordoées (;u) J'obties facilemet les termes de la suite e utilisat la calculatrice graphique! Je peux aussi les calculer moi même e utilisat la formule explicite : u 2 = 5 7 (2 + ) 2 = = 45 7 = ,22 Il semble que, plus augmete, plus u augmete. O a u0 < u < u2... O peut cojecturer la faço dot la suite évolue, c'est à dire so ses de variatio. O dira ici que la suite (u) est croissate. Si les termes dimiuet, o a u0 > u > u2... o dit que la suite est décroissate. Elle sera dite costate si tous les termes sot égaux. attetio, certaies suites e sot i croissates, i décroissates, i costates. Par exemple, = cos() Lorsque augmete (o dit aussi qu'il ted vers +), les termes se rapprochet de plus e plus de la valeur 5. O dit que la ite de la suite ( ) est 5. O écrit alors : + () = 5 Si augmete autat qu'o veut quad augmete, o dit que la suite ted vers + + ( ) = + Si dimiue autat qu'o veut quad augmete, o dit que la suite ted vers + ( ) = attetio, certaies suites 'ot pas de ite. Par exemple = ( )

2 II) Ses d'ue variatio de suite : défiitio : ue suite ( ) est : strictemet croissate si et seulemet si, pour tout etier aturel, < + la suite (v ) des ombres impairs, 3, 5, 7, 9... est ue suite strictemet croissate C'est la suite arithmétique de premier terme v 0 = et de raiso 2 strictemet décroissate si et seulemet si, pour tout etier aturel, > + la suite (w ) des ombres, 2, 3, 4,... est ue suite strictemet décroissate 5 C'est la suite telle que w = pour tout etier aturel supérieur ou égal à costate si et seulemet si, pour tout etier aturel, = + o défiit de la même faço ue suite croissate ou décroissate e utilisat les iégalités au ses large. (w ) est ue suite décroissate car pour tout etier aturel, w w + défiitio : ue suite ( ) est mootoe lorsqu'elle est soit croissate, soit décroissate, soit costate. les suites (v) et (w ) défiies précédemmet sot mootoes. la suite (u) défiie pour tout etier aturel par u=( ) 'est pas mootoe III) Etudier le ses d'ue variatio de suite : Soit ( ) ue suite défiie sur il existe trois faços évetuelles de procéder : O peut étudier le sige de la différece u+ u si, pour tout etier aturel, u+ u 0 alors la suite u est croissate si, pour tout etier aturel, u+ u 0 alors la suite u est décroissate justificatio : + 0 équivaut à + et () est croissate + 0 équivaut à + et () est décroissate Soit la suite (u) défiie pour tout etier aturel par u = 2 + Etudios le ses de variatio de ( ) u+ u = 2 + (+) = = + ( + )( ) = ( + )( +2) ( + )( +2) < 0 et (+)(+2) > 0 doc + < 0 et la suite ( ) est strictemet décroissate 2

3 O peut comparer + à (uiquemet si tous les termes de la suite sot strictemet positifs) si, pour tout etier aturel, u+ u si, pour tout etier aturel, u+ justificatio : + + u équivaut à + et est doc croissate équivaut à + et est doc décroissate alors la suite u est croissate alors la suite u est décroissate Soit la suite (u) défiie pour tout etier aturel par u = Etudios le ses de variatio de ( ) u+ u = = x = 2 3 or, 2 3 < doc ( ) est décroissate Si la suite ( ) est défiie à l'aide d'ue foctio par =(), o peut utiliser le ses de variatio de la foctio. si la foctio est croissate sur [0 ; +[, alors la suite est croissate si la foctio est décroissate sur [0 ; +[, alors la suite est décroissate justificatio : Si f est croissate sur [0 ; +[, (+) équivaut à (+) () doc + (la suite () est doc croissate) Si f est décroissate sur [0 ; +[, (+) équivaut à (+) () doc + (la suite () est doc décroissate) Soit la suite (u) défiie pour tout etier aturel par u = 3 2 Etudios le ses de variatio de ( ) La foctio est défiie par u = () avec (x) = 3x 2 La foctio est croissate sur [0 ; +[ doc ( ) est croissate. propriété : ue suite arithmétique de raiso r est croissate si r>0 et décroissate si r<0 la suite (v) telle que v = q pour tout etier aturel est croissate si q> et décroissate si 0<q< démostratio Soit ( ) ue suite arithmétique de raiso r. Par défiitio, o a + = u + r doc + u = r - si r > 0, o a + u > 0 doc la suite est croissate - si r < 0, o a + u < 0 doc la suite est décroissate 'oublios pas que >0! 3

4 Soit (v ) ue suite telle que v= q avec q0. Par défiitio, o a v + = q + = q x q = v x q doc q = v + v - si q>, v + v > doc v + > v doc la suite est croissate - si 0<q<, 0< v + v < doc v + < v doc la suite est décroissate IV) Notio de ite d'ue suite : a) suite ayat pour ite + (ou ) (ite ifiie) : Soit la suite (u) défiie pour tout etier aturel par = 2 0 Je preds u ombre réel A, aussi grad que je le veux. Je trouve alors u rag 0 à partir duquel tous les termes de la suite serot plus grads que A A A Démotrer ce qui précède quel que soit le ombre A, c'est démotrer que les termes de la suite sot tous aussi grads qu'o veut à coditio de predre assez grad. O dit que la suite ( ) a pour ite + et o ote : + () = De la même faço, o pourra motrer qu'ue suite ted vers. Pour u ombre réel A (aussi petit qu'o veut), il existe u rag à partir duquel tous les termes de la suite sot iférieurs à A. b) suite ayat pour ite u ombre réel (ite fiie) : Soit la suite (u) défiie pour tout etier aturel par = a 3 3 a 0 0 Je cojecture que la ite de la suite est 3 (à l'aide de ma calculatrice) Je choisis u ombre réel positif a aussi petit que je veux! Je trouve alors u rag 0 à partir duquel tous les termes de la suite serot das l'itervalle ]3 a ; 3 + a[ Démotrer ce qui précède quel que soit le réel positif a, c'est démotrer que les termes de la suite fiisset par s'accumuler près de 3. O dit que la suite ( ) a pour ite 3 et o ote : + () = 3 4

5 Certaies suites 'ot pas de ite! Par exemple, la suite (u) défiie pour tout etier aturel par = cos() 5

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