Module 3 : Inversion de matrices

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1 Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que BBI (I matrice idetité). La matrice B est alors otée : B Propriétés : Remarque : ue matrice et l iverse de cette matrice ot écessairemet les mêmes dimesios (pour que la coditio de dimesio soit satisfaite et qu o puisse calculer les produits B et B). Deux matrices B et B iverses de la même matrice sot égales. Il suffit qu ue matrice B vérifie l ue des relatios B I et B I pour qu elle vérifie l autre. Si deux matrices et B sot iversibles, leur produit est iversible et l iverse du produit est le produit des iverses effectué das l ordre iverse. ( B) B ' L iverse de la trasposée d ue matrice est égale à la trasposé de l iverse : [ ] [ ] ' Détermiat de l iverse d ue matrice : Ue matrice carrée admettat pas d iverse est dite sigulière. Ue matrice carrée admettat ue iverse est dite iversible ou régulière.. djoite d ue matrice Soit ue matrice carrée à liges et coloes. O appelle matrice des cofacteurs la matrice das laquelle o remplace chaque élémet par so cofacteur. O la ote ~. La matrice adjoite est la matrice des cofacteurs trasposée. Elle a aussi liges et coloes. O la ote : ~ Exemple : Matrice des cofacteurs : ~ ~ 9 L_MS_M /

2 Math Stat Module : Iversio de matrices M L_MS_M / Trasposée de la matrice des cofacteurs 9 ~ ' O peut vérifier que l o peut calculer l adjoite e preat les cofacteurs de la matrice trasposée : Matrice : Trasposée de : Cofacteurs de la trasposée de : ~ 9 ~ isi, O peut procéder de la faço suivate : o traspose la matrice, puis o remplace chaque élémet par so cofacteur. La matrice obteue est dite matrice adjoite de la matrice ; elle a aussi liges et coloes. Exemple ~ Remarque : l égalité suivate est vérifiée : I ~ ( I matrice idetité). Exemple : Soit ~ (Cf Exemple ) ~ ( ) ( ) 9 9

3 Math Stat Module : Iversio de matrices M L_MS_M / ~. Iversio d ue matrice régulière par la méthode de l adjoite Soit ue matrice carrée régulière. Soit ~ sa matrice adjoite. O sait que ~ Posos: ~ B, alors ~ ' B B est doc l iverse de et o ote : B Doc de déter mi at de e adjo it ~ Exemples : Exemple : ~ det ~ Exemple : ) ( ) ( () det ~

4 Math Stat Module : Iversio de matrices M Exemple cocret de comptabilité aalytique Das ue etreprise, certais services travaillet directemet pour la productio, tadis que d autres travaillet au profit des autres services, sas cotribuer eux-mêmes directemet à la productio. Il est cepedat utile de pouvoir aalyser les coûts (directs et idirects) de productio. Soit ue etreprise comportat deux départemets de productio et B, et trois départemets de services itérieurs S, S et S. O coaît le coût direct de chaque départemet. Départemet B S S S Coût (milliers d ) O estime que l activité des services itérieurs est faite au profit des différets départemets selo la répartitio suivate : u profit de % B S S S Total d activité de S S S ) Exprimer le coût total des départemets de serv ices sous forme matricielle. Le coût total des départemets de services comporte leur coût direct et la fractio du coût des services cosommés, soit respectivemet : Pour S : x,x,x, x Pour S : x,x,x, x Pour S : x,x,x, x Soit matriciellemet : x X x x D, M,,,,, équatio : X (,) D(,) M(,) X(, ) ) Résoudre l équatio a) X MX D (I M)X D ou X (I M) D,,, L_MS_M /

5 Math Stat Module : Iversio de matrices M b) MX X D (M I)X D (M I) (M I)X (M I) D X (M I) D (M-I) doit être iversible Le calcul de (M I) peut être fait ue fois pour toutes tat que restet fixes les proportios que les services cosacret aux différets départemets, ue simple multiplicatio matricielle permettat de s adapter aux variatios de D.,9 ( M I),,,,,,,,9,9 ( M I),,,,,,,,9, ( M I),,,9,,,,,,,,,, det(m I) M I,9,,,,9,,9,,9(,),(,),(,),,, ( ),,,9 M I (M I),,, M I,,, X (M I) X (, ) 9 D isi, le coût total du Service S est de, celui du service S est de et celui de S de 9 L_MS_M /

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