Module 3 : Inversion de matrices

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Module 3 : Inversion de matrices"

Transcription

1 Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que BBI (I matrice idetité). La matrice B est alors otée : B Propriétés : Remarque : ue matrice et l iverse de cette matrice ot écessairemet les mêmes dimesios (pour que la coditio de dimesio soit satisfaite et qu o puisse calculer les produits B et B). Deux matrices B et B iverses de la même matrice sot égales. Il suffit qu ue matrice B vérifie l ue des relatios B I et B I pour qu elle vérifie l autre. Si deux matrices et B sot iversibles, leur produit est iversible et l iverse du produit est le produit des iverses effectué das l ordre iverse. ( B) B ' L iverse de la trasposée d ue matrice est égale à la trasposé de l iverse : [ ] [ ] ' Détermiat de l iverse d ue matrice : Ue matrice carrée admettat pas d iverse est dite sigulière. Ue matrice carrée admettat ue iverse est dite iversible ou régulière.. djoite d ue matrice Soit ue matrice carrée à liges et coloes. O appelle matrice des cofacteurs la matrice das laquelle o remplace chaque élémet par so cofacteur. O la ote ~. La matrice adjoite est la matrice des cofacteurs trasposée. Elle a aussi liges et coloes. O la ote : ~ Exemple : Matrice des cofacteurs : ~ ~ 9 L_MS_M /

2 Math Stat Module : Iversio de matrices M L_MS_M / Trasposée de la matrice des cofacteurs 9 ~ ' O peut vérifier que l o peut calculer l adjoite e preat les cofacteurs de la matrice trasposée : Matrice : Trasposée de : Cofacteurs de la trasposée de : ~ 9 ~ isi, O peut procéder de la faço suivate : o traspose la matrice, puis o remplace chaque élémet par so cofacteur. La matrice obteue est dite matrice adjoite de la matrice ; elle a aussi liges et coloes. Exemple ~ Remarque : l égalité suivate est vérifiée : I ~ ( I matrice idetité). Exemple : Soit ~ (Cf Exemple ) ~ ( ) ( ) 9 9

3 Math Stat Module : Iversio de matrices M L_MS_M / ~. Iversio d ue matrice régulière par la méthode de l adjoite Soit ue matrice carrée régulière. Soit ~ sa matrice adjoite. O sait que ~ Posos: ~ B, alors ~ ' B B est doc l iverse de et o ote : B Doc de déter mi at de e adjo it ~ Exemples : Exemple : ~ det ~ Exemple : ) ( ) ( () det ~

4 Math Stat Module : Iversio de matrices M Exemple cocret de comptabilité aalytique Das ue etreprise, certais services travaillet directemet pour la productio, tadis que d autres travaillet au profit des autres services, sas cotribuer eux-mêmes directemet à la productio. Il est cepedat utile de pouvoir aalyser les coûts (directs et idirects) de productio. Soit ue etreprise comportat deux départemets de productio et B, et trois départemets de services itérieurs S, S et S. O coaît le coût direct de chaque départemet. Départemet B S S S Coût (milliers d ) O estime que l activité des services itérieurs est faite au profit des différets départemets selo la répartitio suivate : u profit de % B S S S Total d activité de S S S ) Exprimer le coût total des départemets de serv ices sous forme matricielle. Le coût total des départemets de services comporte leur coût direct et la fractio du coût des services cosommés, soit respectivemet : Pour S : x,x,x, x Pour S : x,x,x, x Pour S : x,x,x, x Soit matriciellemet : x X x x D, M,,,,, équatio : X (,) D(,) M(,) X(, ) ) Résoudre l équatio a) X MX D (I M)X D ou X (I M) D,,, L_MS_M /

5 Math Stat Module : Iversio de matrices M b) MX X D (M I)X D (M I) (M I)X (M I) D X (M I) D (M-I) doit être iversible Le calcul de (M I) peut être fait ue fois pour toutes tat que restet fixes les proportios que les services cosacret aux différets départemets, ue simple multiplicatio matricielle permettat de s adapter aux variatios de D.,9 ( M I),,,,,,,,9,9 ( M I),,,,,,,,9, ( M I),,,9,,,,,,,,,, det(m I) M I,9,,,,9,,9,,9(,),(,),(,),,, ( ),,,9 M I (M I),,, M I,,, X (M I) X (, ) 9 D isi, le coût total du Service S est de, celui du service S est de et celui de S de 9 L_MS_M /

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

Notions de base pour l analyse d un tableau de contingence

Notions de base pour l analyse d un tableau de contingence Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Notios de base pour l aalyse d u tableau de cotigece Marie Chavet http://wwwmathu-bordeauxfr/ machave/ 204-205 Notatios et défiitios U tableau de cotigece

Plus en détail

Feuille d exercices: Calcul matriciel.

Feuille d exercices: Calcul matriciel. Feuille d exercices : Calcul matriciel : Exercice 2 3 ) Soit A = 0 0, motrer que A est la matrice das la 2 6 base caoique de R 3 d ue projectio dot o precisera le oyau et l image 2) Doer la matrice das

Plus en détail

[A.B] ij =.. (0.5 pt.)

[A.B] ij =.. (0.5 pt.) mx xp Mai 4 ( heures et miutes). a) Soiet A et B avec m,,p IN.Si i {,,...,m} et j {,,...,p}, compléter : [A.B] ij.. (. pt.) b) Démotrer (e justifiat toutes les étapes) que le produit matriciel distribue

Plus en détail

Le rang d une matrice correspond à la dimension de son image, ce qui est égal à la dimension maximale d une sous-matrice extraite inversible.

Le rang d une matrice correspond à la dimension de son image, ce qui est égal à la dimension maximale d une sous-matrice extraite inversible. Uiversité de Geève Sectio de Mathématiques Algèbre I Corrigé 2 Série 7, ex 3 Toutes les affirmatios sot vraies sauf la derière E effet, pour que deux espaces soiet e somme directe, il faut que leur itersectio

Plus en détail

Concours PT2004 Maths I-B. partie A

Concours PT2004 Maths I-B. partie A ocours PT2 Maths I-B Même si le suet e l a pas posé o utilisera : 8 2 M r (R) = I r partie a b x y ax + bz. Si = 2 S c d 2 et B = 2 S z t 2 o a B = cx + dz ay + bt cy + dt Les coe ciets de B sot sommes

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

(10.C02) Une matrice de dimension est un tableau formé par la juxtaposition de m vecteurs de dimension n. On la note par une majuscule grasse.

(10.C02) Une matrice de dimension <n;m> est un tableau formé par la juxtaposition de m vecteurs de dimension n. On la note par une majuscule grasse. 0.C ANNEXE: CALCUL MATRICIEL 0.C. Défiitios La maîtrise du calcul matriciel est icotourable pour aborder l'étude des réglages d'état. Nous 'e rappelleros que les opératios fodametales déjà étudiées e mathématiques

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

A propos des matrices

A propos des matrices A propos de matrices Page sur 6 La tavere de l'irladais vous présete A propos des matrices U horizo racompté par Jérôme ONILLON, désagrégé par les mathématiques U mot d'itroductio Il y a peu, les matrices

Plus en détail

Matrices et suites RÉSOLUTION DE PROBLÈMES CHAPITRE. SÉQUENCE 1 Suite de matrices colonnes (page 142) Problème. A 1. Étape 1. 3. Voir en bas de page.

Matrices et suites RÉSOLUTION DE PROBLÈMES CHAPITRE. SÉQUENCE 1 Suite de matrices colonnes (page 142) Problème. A 1. Étape 1. 3. Voir en bas de page. HPIRE Matrices et suites SÉQUENE Suite de matrices coloes (page ) RÉSOLUION E PROLÈMES Problème Étape La louche aller cotiet cl de café oc, après l aller, cotiet cl de café et cl de café oc, la louche

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( )

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( ) Aée 01-013 Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

Fiche N 8 : Matrices.

Fiche N 8 : Matrices. Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Fiche N 8 : atrices Gééralités sur les matrices atrices : Défiitios O appelle matrice à liges et p coloes tout tableau rectagulaire de ombres réels à liges et p coloes

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

Éléments finis de joint mécaniques et éléments finis de joint couplés hydromécanique

Éléments finis de joint mécaniques et éléments finis de joint couplés hydromécanique Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 1/10 Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fiis de joit couplés hydromécaique Résumé : Cette documetatio porte sur

Plus en détail

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire SPECIALITE TS ( PHYSIQUE ) : FICHE CURS 6 1/5 MDES PRPRES DE IBRATI Ce qu'il faut reteir Modes propres de vibratio ; iterprétatio odulatoire 1. Productio d u so à l aide d u istrumet de musique U istrumet

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation 1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus

Plus en détail

Corrigé mines 2 PSI 2015 Partie I

Corrigé mines 2 PSI 2015 Partie I Corrigé mies 2 PSI 2015 Partie I Les questios de cette partie sot très faciles, il est doc idispesable d'être irréprochable sur le pla de la rédactio. Questio 1 ous les blocs qui itervieet das ce qui suit

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information.

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information. BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Fiace d Etreprise, Gestio des systèmes d iformatio. SESSION 2012 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Mercatique, comptabilité et fiace d etreprise

Plus en détail

École de technologie supérieure

École de technologie supérieure École de techologie supérieure Mat 165-04 Algèbre liéaire et aalyse vectorielle A-015 Michel Beaudi michel.beaudi@etsmtl.ca Liste d exercices à faire e T.P./Caledrier des évaluatios Itroductio au cours

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france. Exo7 Applicatios liéaires cotiues, ormes matricielles Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr Exercice * * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile

Plus en détail

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces

Plus en détail

TD Algèbre linéaire (Partie II) Polynôme caractéristique. Décompositions LU et de Cholesky. Produit matriciel.

TD Algèbre linéaire (Partie II) Polynôme caractéristique. Décompositions LU et de Cholesky. Produit matriciel. TD lgèbre liéaire (Partie II) Polyôme caractéristique. Décompositios LU et de Cholesy. Produit matriciel. Itroductio et objectifs Das cette secode partie du TD cosacré à l algèbre liéaire, ous abordos

Plus en détail

Statistique descriptive bidimensionnelle

Statistique descriptive bidimensionnelle 1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets

Plus en détail

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2 Fiche Diagoalisatio des Matrices x MOSE 1003 4 Septembre 014 Table des matières Motivatio, puissaces d ue matrice 1 Diagoalisatio Vérificatio avec Scilab 3 Puissace 4 Motivatio, puissaces d ue matrice

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.

Plus en détail

DETERMINANTS. a b et a'

DETERMINANTS. a b et a' 2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ 01529 ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F?

Plus en détail

Chapitre 1 : Les notions de base

Chapitre 1 : Les notions de base Chapitre : Les otios de base Itroductio I Comparer des gradeurs A) Les pourcetages B) Taux de variatio, coefficiet multiplicateur, idice C) Importace du ses de la comparaiso ) Raisoemet sur les taux de

Plus en détail

Cours 8 : Applications pratiques de la programmation linéaire

Cours 8 : Applications pratiques de la programmation linéaire Cours 8 : Applicatios pratiques de la prograatio liéaire Christophe Gozales LIP6 Uiversité Paris 6, Frace Pla du cours Cours 8 : Applicatios pratiques de la prograatio liéaire 2/23 1 Jeux à deux joueurs

Plus en détail

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener INF58 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wieer Nicolas DOUZIECH - Thomas JANNAUD - X005 9 mars 008 Table des matières Quelques rappels sur le cryptosystème RSA Pricipe de l attaque de

Plus en détail

FONDEMENTS MATHÉMATIQUES ET MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 10 E ANNÉE. Mesure

FONDEMENTS MATHÉMATIQUES ET MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 10 E ANNÉE. Mesure FONDEMENTS MATHÉMATIQUES ET MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 10 E ANNÉE [C] Commuicatio [CE] Calcul metal et estimatio Mesure 1. Résoudre des problèmes comportat la mesure liéaire à l aide : d uités de mesure

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6 Corrigés TD Chapitre : Variables aléatoires sur u uivers fii Exercice : Soit X la VAR défiie par le tableau suivat : x i - - 0 p 6 4 6 4 6 i O ote Y = X ) Détermier la loi cooite de X et Y ) Détermier

Plus en détail

B) CHAÎNES DE SOLIDES

B) CHAÎNES DE SOLIDES Chaîes de solides B) CHAÎNES DE SOLIDES Objectifs Cette théorie a pour but d'aalyser les comportemets statique et ciématique d'u mécaisme à partir d'u modèle défii par le schéma ciématique du mécaisme.

Plus en détail

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques Séries etières Préparatio au Capes de Mathématiques I - Covergece des séries etières Notatios Pour tout élémet r de R +, o ote D r = fz 2 C / jzj < rg et D r = fz 2 C / jzj rg Déitio 1 O appelle série

Plus en détail

Août 2014 (1 heure et 45 minutes) b) Quel lien y a-t-il entre le rang d'une matrice et son nombre de lignes et de colonnes? Ne pas

Août 2014 (1 heure et 45 minutes) b) Quel lien y a-t-il entre le rang d'une matrice et son nombre de lignes et de colonnes? Ne pas Août 24 ( heure et 45 miutes). a) Défiir: matrice écheloée lige réduite rag d'ue matrice (.5 pts.) b) Quel lie a-t-il etre le rag d'ue matrice et so ombre de liges et de coloes? Ne pas démotrer. (.5 pt.)

Plus en détail

Formes multilinéaires et déterminant

Formes multilinéaires et déterminant Emmauel Vieillard Baro www.les-mathematiques.et Formes multiliéaires et détermiat Itroductio Motrer qu ue applicatio liéaire est iversible est à prioris pas chose évidete. e détermiat permettra, das certais

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

Codes détecteurs et correcteurs d erreurs

Codes détecteurs et correcteurs d erreurs Codes détecteurs et correcteurs d erreurs Lorsque des doées umériques sot stockées ou trasmises, des perturbatios (par exemple électromagétiques) peuvet les edommager. Les codes détecteurs et correcteurs

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

EXERCICES D OPTIQUE GEOMETRIQUE ENONCES

EXERCICES D OPTIQUE GEOMETRIQUE ENONCES EXERCICES D PTIQUE GEMETRIQUE ENNCES Exercice 1 : Vitre Motrer que la lumière est pas déviée par u passage à travers ue vitre. Pour ue vitre d épaisseur 1 cm, que vaut le décalage latéral maximal? Si la

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

La transformée en Z inverse

La transformée en Z inverse La trasformée e Z iverse La questio posée... Exercice... Recherche d'origiaux par décompotio e élémets mples, cas cocrets... 4 Situatio o... 5 Situatio Exemple... ) Trasformatio de l égalité à l aide de

Plus en détail

Cécile Lardon. Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon. Jean-Marie Monier

Cécile Lardon. Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon. Jean-Marie Monier Mathématiques Méthodes et eercices ECS e aée Cécile Lardo Professeur e classe préparatoire au lycée du Parc à Lyo Jea-Marie Moier Professeur e classe préparatoire au lycée La Martiière-Moplaisir à Lyo

Plus en détail

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé :

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé : http://maths-scieces.fr OPÉRATIONS FINANIÈRES A INTÉRÊTS OMPOSÉS I) Itérêts et valeur acquise Défiitio U capital est placé à itérêts composés lorsque le motat des itérêts produits à la fi de chaque période

Plus en détail

Fonction logarithme népérien Corrigés d exercices / Version de décembre 2012

Fonction logarithme népérien Corrigés d exercices / Version de décembre 2012 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 Les eercices du livre corrigés das ce documet sot les suivats : Page 9 : N, 6 Page 9 : N Page 9 : N 7, 9 Page 98 : N 9,,, 6, 7, 9 Page 99 : N 4, 47, 49, Page

Plus en détail

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices EXERCICE 1 : Soit E u espace vectoriel et u L(E) tel que u u +u = 0 Motrer que Sp (u) {0, 1, } EXERCICE : 1) Soit A ue matrice carrée telle que A

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x /RJLTXHERROpHQQH I. Défiitios I.. Variable biaire O appelle variable biaire (ou logique), ue variable preat ses valeurs das l esemble {0, }. Eemple : état d u iterrupteur, d u bouto poussoir, la présece

Plus en détail

Méthode de Schwarz optimisé appliquée au problème de Helmholtz

Méthode de Schwarz optimisé appliquée au problème de Helmholtz DEA de Mathématiques Uiversité Claude Berard de Lyo Aée uiversitaire : 003/004 Méthode de Schwarz optimisé appliquée au problème de Helmholtz Etude de l article de Marti J. Gader, Frédéric Magoulès et

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

Automates 1 Présentation

Automates 1 Présentation Automates Présetatio Présetatio d u automate 2 Ue maière de désiger l automate de l exemple 3 Défiitio géérale 4 U exemple d automate 5 Mot costruit sur l alphabet C 6 L esemble de tous les mots das u

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Article Probabilités et espérances dans le jeu de serpents

Article Probabilités et espérances dans le jeu de serpents Article Probabilités et espéraces das le jeu de serpets et Probabilités et espéraces das le jeu de serpets et échelles à àdeux deux joueurs joueurs Daiel Audet Daiel Audet, départemet Collège de Bois-de-Bouloge

Plus en détail

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers) Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie

Plus en détail

Bac Blanc de Mathématiques T STMG

Bac Blanc de Mathématiques T STMG Nom : Préom : Classe : Bac Blac de Mathématiques T STMG Mars 2014 Les 4 exercices ci-dessous sot idépedats. L utilisatio d ue calculatrice persoelle est autorisée. Vous utiliserez cet éocé de 4 pages e

Plus en détail

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices SESSION 2004 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MTHEMTIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sot iterdites * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

Les mesures de tendance centrale

Les mesures de tendance centrale 6 CHAPITRE 7 Les mesures de tedace cetrale Les mesures de tedace cetrale servet à caractériser ue série statistique à l aide d ue valeur ou d ue modalité typique. Il existe trois mesures possibles : le

Plus en détail

La fonction de la maîtrise des vitesses est d assurer un temps

La fonction de la maîtrise des vitesses est d assurer un temps sas frotière OÎTE À OUTILS Guide de dimesioemet La maîtrise des vitesses hydrauliques JEN ROUSSEU 1 La oîte à outils du précédet uméro de Techologie traitait du choix d u distributeur pour l actioeur hydraulique.

Plus en détail

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée 447 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? Aalyse de l exercice de spécialité de TS de Podichéry 2013 Jacques Lubczaski «Podichéry est tombé!» : cela ressemble à l aoce

Plus en détail

COMITE DE NORMALISATION OBLIGATAIRE "C.N.O." Association régie par la loi du 1er juillet 1901

COMITE DE NORMALISATION OBLIGATAIRE C.N.O. Association régie par la loi du 1er juillet 1901 COMITE DE NORMALISATION OBLIGATAIRE "C.N.O." Associatio régie par la loi du 1er juillet 1901 Le 17 Mars 2005 Règles de calcul des coupos des empruts d Etat sur le marché de gros Après décisio de so A.G.

Plus en détail

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Matrices et systèmes 4 ème Economie Gestion Exercice 1 Soient les matrices = 1 2 4 2 ; =2 et =1 1 3 0 5 3 1 1) Calculer + + ; ++ et ++ 2) a) Calculer 2 ; 3 et 4 b) Calculer 2 3 +4 3) a) Calculer. ;. que

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

La classification de données quantitatives avec SPAD

La classification de données quantitatives avec SPAD La classificatio de doées quatitatives avec SPAD SPAD effectue toujours ue ACP de la matrice des doées quatitatives X " p avat de faire la classificatio des idividus. Les méthodes de classificatio s appliquet

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1. Notions de base Chapitre 2. Nombres complexes Polynômes... 33

Sommaire. Chapitre 1. Notions de base Chapitre 2. Nombres complexes Polynômes... 33 Sommaire Chapitre. Notios de base.................... 7 A. Démostratio par récurrece..................... 8 B. Esembles............................. 9 C. Applicatios............................ 2 D. Calcul

Plus en détail

A) Forme algèbrique d un nombre complexe.

A) Forme algèbrique d un nombre complexe. A) Forme algèbrique d u ombre complexe. Théorème Il existe u esemble, oté,de ombres appelés ombres complexes, tel que : cotiet ; est mui d ue additio et d ue multiplicatio pour lesquelles les règles de

Plus en détail

Application du logiciel Excel

Application du logiciel Excel Applicatio du logiciel Ecel Utilisatio du Solver du logiciel Ecel Table de matiers Lacemet du logiciel... Optimisatios... Programmatio liéaire... Problème du trasport... 8 Problème de programmatio quadratique...

Plus en détail

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi.

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi. Exo7 Fractios ratioelles Correctios de Léa Blac-Ceti. Fractios ratioelles Exercice Existe-t-il ue fractio ratioelle F telle que ( F() ) = ( + ) 3? Idicatio Correctio Vidéo [006964] Exercice Soit F = P

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 Table des matières 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 2 11 Notatios 2 12 Équatio de Black-Scholes

Plus en détail

LSM 3.053 Informatique - Statistique : TP n 1 et 2

LSM 3.053 Informatique - Statistique : TP n 1 et 2 LSM.05 Iformatique - Statistique : TP et Ce TP couple les otios de statistiques descriptives abordées e cours avec l'utilisatio avatageuse du tableur Excel. Le tableur est utilisé pour effectué les calculs

Plus en détail

Loi de Bernoulli et loi binomiale, cours, première S

Loi de Bernoulli et loi binomiale, cours, première S Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, première S 1 Loi de Beroulli Déitio : Soit p u ombre réel tel que p [0; 1]. Soit X ue variable aléatoire.

Plus en détail

EXERCICE 1 - Calculs de déterminants

EXERCICE 1 - Calculs de déterminants PCSI 201-2014 CORRECTION DS 1 Lycée de L essouriau EXERCICE 1 - Calculs de détermiats 1 Via C 1 C 1 C 2 et C 2 C 2 C puis e factorisat selo la première coloe par a 1 a 2 et selo la secode par a 2 a ot

Plus en détail

Année : (Cayley Hamilton) «Pour inventer, il faut penser à côté.» (Paul Souriau)

Année : (Cayley Hamilton) «Pour inventer, il faut penser à côté.» (Paul Souriau) 1 Niveau : Termiale S Spé Maths Titre Cours : Matrices, Matrices carrées Evolutio de processus Aée : 2014-2015 (Cayley Hamilto) «Pour iveter, il faut peser à côté.» (Paul Souriau) I. Défiitio 1. Défiitio

Plus en détail

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle février 2012 ORRIGE II. Permutatios sas répétitios et otatio factorielle Aalyse combiatoire 4 ème - 1 I. Itroductio Les différets modèles mathématiques costruits pour étudier les phéomèes où iterviet le

Plus en détail

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont :

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont : Estimatio Objectifs Estimer poctuellemet ue proportio, ue moyee ou u écart type d ue populatio à l aide de la calculatrice ou d u logiciel, à partir d u échatillo Détermier u itervalle de cofiace à u iveau

Plus en détail

L G. Usage limit e. Faculté des Sciences Appliquées. Première partie Calcul matriciel et algèbre linéaire. Éric J.M. DELHEZ

L G. Usage limit e. Faculté des Sciences Appliquées. Première partie Calcul matriciel et algèbre linéaire. Éric J.M. DELHEZ L G L G Faculté des Scieces Appliquées Algèbre Première partie Calcul matriciel et algèbre liéaire Éric J.M. DELHEZ Juillet 2008 Avat-propos Ces otes costituet le support écrit de la partie Algèbre Liéaire

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

L'analyse des coûts. Prix de revient d'un produit

L'analyse des coûts. Prix de revient d'un produit Page 1 sur 17 L'aalyse des coûts Salaires directs Ivestissemets Admiistratio Maiteace Eergies Frais d 'études Prix de reviet d'u produit Locaux Outillages Matières premières Frais de commercialisatio Charges

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Mai 2016 2 heures et 30 minutes

Mai 2016 2 heures et 30 minutes Mai 6 heures et 3 miutes a) Défiir : matrice élémetaire Doer u exemple de matrice de IR 3x3 qui est élémetaire et expliquer pourquoi elle l est Commet utilise-t-o ue telle matrice pour effectuer ue opératio

Plus en détail

Statistiques. Ne pas oublier - la légende sur les axes - les unités - un titre pour le diagramme

Statistiques. Ne pas oublier - la légende sur les axes - les unités - un titre pour le diagramme Statistiques I. Tableaux d effectifs, de fréqueces : 1. Calculer la fréquece d'ue valeur ou d'ue classe : Diviser l effectif de la valeur par l effectif total fréquece La somme des fréqueces est 1 (ou

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

Loi binomiale. Loi de Bernoulli

Loi binomiale. Loi de Bernoulli Loi biomiale Loi de Beroulli O s itéresse ici à la réalisatio ou o d u évéemet. Autremet dit, o étudie les expérieces aléatoires qui ot que deux issues possibles : Obteir Pile ou Face Doer aissace à u

Plus en détail