2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES

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1 2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul de l'itérêt : Le capital (C) est la somme d'arget prêtée ou placée. Le temps () est la durée du placemet. Le taux auel brut (t) est le pourcetage appliqué au capital représetat l itérêt auel brut. Le précompte mobilier est u pourcetage qui est reteu sur le reveu mobilier. Le précompte mobilier sur les itérêts et dividedes est harmoisé et est porté au taux uique de 21%. Il existe cepedat 4 exceptios à cette règle. le précompte mobilier sur les bois de liquidatio est maiteu à 10%; le taux du précompte mobilier sur les dividedes et itérêts actuellemet soumis au précompte mobilier de 25%, reste ichagé; le précompte mobilier sur les itérêts des bos d Etat dot la période de souscriptio s éted du 24 ovembre 2011 au 2 décembre 2011 est maiteu à 15%. E ce qui cocere les itérêts sur les dépôts d éparge, il existe ue exoératio du précompte mobilier pour la première trache des reveus de carets de dépôt (idexée à pour l exercice d impositio 2014 reveus de l aée 2013). Pour les persoes physiques, le précompte mobilier est libératoire c'est-à-dire que le cotribuable 'est pas teu de metioer ses reveus mobiliers das sa déclaratio fiscale. Exemple 1 : Calcul de CD 0 max pour atteidre le plafod d exoératio fiscale t=3% auel brut Le seuil d exoératio fiscale est de 1880 d itérêt auel, soit t.cd 0 max. CD 0 max =1880/0.03= E 2014, le capital maximum pour jouir d ue exoératio fiscale sur u caret de dépôt rémuéré à u taux auel brut de 3% est de Exemple 2 : Preos u motat placé supérieur au capital maximum calculé ci-dessus et appliquos la reteue du précompte mobilier sur les itérêts brut. CD 0 = et t=3% auel brut Les itérêts après 1 a s élèvet à Le seuil d exoératio fiscale de 1880 état dépassé, le précompte mobilier de 15% est automatiquemet prélevé sur le reveu mobilier dépassat le seuil d exoératio fiscale. Les itérêts serot de ( ).85 % ou % %, soit ième aée Techique de qualificatio 2 ième partie : Mathématiques fiacières p. 1

2 Lors d'u placemet ou d'u prêt, le prêteur et l'empruteur fixet u certai ombre de covetios qui servirot de base au calcul de l'itérêt : Les échéaces au bout desquelles les itérêts sot exigibles (doivet être payés). Le taux auel brut. O distigue e gééral deux types d'itérêts : L'itérêt simple est soit régulièremet perçu par le propriétaire du capital, soit ajouté au capital sas qu'il produise d'itérêt supplémetaire. L'itérêt composé s'ajoute au capital chaque aée (ou à d'autres itervalles de temps fixés d'avace) pour produire lui aussi des itérêts (à u taux qui peut être différet de celui du placemet iitial). Le graphique ci-dessous motre clairemet la différece etre les deux types d'itérêts (capital de 1000 placé à 3 %). L'itérêt simple est costat (1000.0,03=30 ). Le capital augmeté de l itérêt simple croît de faço liéaire (droite sur le graphique), tadis que l'itérêt composé croît de faço expoetielle (courbe sur le graphique). Capital e 2000 Itérêts composés 1500 Itérêts simples Itérêts simples Durée e aées L'itérêt simple est proportioel au capital iitial (CD 0 ), à la durée du placemet ( exprimée e aées) et au taux auel brut e % (t). Il e résulte que l itérêt simple (I s ) est doé par la formule Is = CD t 0. Le capital dispoible après aées (CD ) est la valeur du capital et des itérêts après aées, soit : 5 ième aée Techique de qualificatio 2 ième partie : Mathématiques fiacières p. 2

3 CD (1 ) = CD0 + I s = CD0 + CD0t = CD0 + t Exemple : Supposos que l o place u capital de 1000 à itérêts simples pedat 10 as au taux auel brut de 3%. Le capital dispoible après chaque aée peut s écrire : CD = CD + 0,03. CD CD = CD + 2.0, 03. CD CD = CD + 3.0, 03. CD M CD = CD ,03. CD Il est doc clair que les différetes valeurs aisi obteues formet ue progressio arithmétique de premier terme CD 0 et de raiso I s. 3. Itérêts composés. U capital est placé à itérêts composés. Les itérêts e sot pas perçus et s ajoutet au capital pour produire eux aussi des itérêts. Les itérêts se capitaliset à la fi de chaque période de placemet (capitalisatio auelle, semestrielle, trimestrielle ou mesuelle). Exemple 1 : capitalisatio auelle U capital de 1000 est placé à itérêts composés au taux auel brut de 3 % pedat 10 as. La capitalisatio est auelle. A la fi de la première aée, le capital aura produit 30 d itérêts et sera deveu CD 1 = ,03 = (1 + 0,03)= 1030 A la fi de la deuxième aée, la valeur acquise CD 2 sera de : CD 2 = ,03 = 1030 (1 + 0,03) =1000 (1 +0,03)² = 1060,90 Après 10 as, la valeur acquise CD 10 sera de : CD 10 = 1000 (1 + 0,03) 10 = 1343,92 D ue maière géérale, o peut écrire : CD = CD0 + t (1 ) Les valeurs CD0, CD1, CD2,..., CD formet ue progressio géométrique de premier terme CD 0 et de raiso (1+t). Par coséquet, l itérêt brut gééré la ième aée est doé par : I = CD CD = CD (1 + t) CD (1 + t) = CD (1 + t) (1 + t 1) I = CD (1 + t) t = CD t ième aée Techique de qualificatio 2 ième partie : Mathématiques fiacières p. 3

4 Das ce qui précède, ous avos supposé que la période de placemet du capital était auelle. Il est évidemmet possible de partir d ue période plus courte ou plus logue, u mois par exemple. Il faut alors modifier le raisoemet e coséquece. Exemple 2 : capitalisatio mesuelle U capital de 1000 est placé à itérêts composés au taux auel brut de 3 %, soit u taux mesuel brut de 3/12 % (0.25%) pedat 10 as. La capitalisatio est mesuelle. A la fi du premier mois, le capital aura produit 2,5 d itérêts et sera deveu CD 1/12 = ,0025 = (1+0,0025) = 1002,5 La valeur acquise CD 2/12 sera = 1002, ,5. 0,0025 =1002,5. (1+0,0025) = 1000 (1 +0,0025)² = 1005,01 Après 10 as, la valeur acquise CD 10 sera =1000 (1 + 0,0025) 120 = 1.349,35 D ue maière géérale, o peut écrire : CD (1 t ) = CD + et I t t = CD ( 1) 12 0 (1 ) [(1 ) 1] Les valeurs CD0, CD1/12, CD2/12,..., C /12 formet ue progressio géométrique de premier terme CD 0 et de raiso (1+t/12). Das le cas où le ombre de capitalisatio auelle vaut T, les formules devieet : CD t = CD0 (1 + )T et T I t t = CD + + T T T ( 1) T 0 (1 ) [(1 ) 1] 4. Auités 4.1. Défiitio Ue auité est u payemet auel, au moye duquel o costitue u capital ou o éteit sa dette, (itérêts et capital), au bout d'u certai ombre d'aées. Lorsque les versemets sot mesuels, o parle de mesualités; s'ils sot trimestriels, o parle de trimestrialités et s'ils sot semestriels de semestrialités. Les auités permettet de résoudre certais problèmes de la vie courate Costitutio d'u capital 1 Ue persoe désire se costituer u capital pour ses "vieux jours". Elle peut le faire de deux maières : 1 Nous supposeros que les versemets sot auels. Le raisoemet est le même e cas de versemets mesuels; les calculs doivet cepedat être adaptés. 5 ième aée Techique de qualificatio 2 ième partie : Mathématiques fiacières p. 4

5 Verser régulièremet (tous les as par exemple) ue certaie somme (que ous supposeros toujours la même pour simplifier les calculs). La questio est de savoir combie elle recevra le jour de ses soixate as. Souhaiter recevoir ue certaie somme le jour de ses soixate as, par exemple La questio est de savoir combie elle devra payer chaque mois. Exemple 1 : Mosieur Lejeue verse le 31 décembre de chaque aée pedat vigt as ue somme de 500. Le premier versemet a lieu le 31 décembre Quel motat touchera-t-il le 31 décembre 2029 sachat que le taux auel (t) est de 5 %? Chaque versemet a est deveu après aées au taux t : a(1+t) Avec qui dimiue chaque aée de 1 uité. Ces différets motats formet doc ue progressio géométrique. Si o la commece par le derier motat (qui, das otre exemple, a porté itérêt pedat u a), cette progressio a comme premier terme a(1+t) et comme raiso (1+t). Le capital costitué C sera la somme des termes de cette progressio géométrique. Puisqu'elle est formée de termes, le capital à recevoir s'élèvera à Das l'exemple choisi, o obtiet : ( t) ( ) C = a + t = a + t 1 t ( ) Exemple 2 : ( ) ( 1+ 0, 05 )20 1 1, 6533 C = , 05 = 500.1, 05. = 17359, 63 0,05 0,05 Mosieur Levieux désire se costituer u capital de à recevoir le jour de ses soixate as. Il s'adresse à u orgaisme fiacier et demade à verser ue certaie somme chaque aée à partir de so quaratième aiversaire. Il verse doc au début de chaque aée. Quel motat devra-t-il verser? Ce problème est exactemet l'iverse du précédet. Le capital C est cou; il y a lieu de détermier la valeur de l'auité a. E partat de la formule précédete et e teat compte que le derier versemet a lieu le jour de so 59 e aiversaire, il viet C. t 1 a =. ( 1 + t) 1 1+ Mosieur Levieux devra doc verser chaque aée a = , , , ,05 = 1,6533 1,05 = ( ) 20 t 5 ième aée Techique de qualificatio 2 ième partie : Mathématiques fiacières p. 5

6 Si les versemets ot lieu à terme échu, le derier versemet aura lieu le jour de so 60 e aiversaire et la formule précédete deviet a = C. t ( t) Emprut remboursable par auités - Amortissemet d'u emprut Ue persoe a besoi d ue somme d'arget assez importate pour u achat bie précis, par exemple, pour fixer les idées, pour acheter ue maiso. Plusieurs solutios se présetet, mais e gééral, cette persoe s'adressera à ue baque et demadera les coditios d'obtetio d'u emprut. Das ce qui suit, ous e tiedros pas compte des frais egedrés par la costitutio du dossier, i des frais de otaire, d'assurace-vie ou autres que ce gere d'opératio etraîe. Notre objectif est simplemet de savoir commet calculer le motat que l'empruteur devra rembourser régulièremet. Nous supposeros das le premier exemple que les remboursemets ot lieu ue fois chaque aée et ue fois par mois das le deuxième exemple. Il faut d'abord remarquer que les versemets sot tous égaux et que chaque versemet compred deux parties : Les itérêts produits par le solde restat dû pedat la période cosidérée; Ue partie du capital, appelée amortissemet. E gééral, le versemet se fait à terme échu. Il est évidet que le motat de l'auité devra être supérieur aux itérêts dus pedat u a. D'autre part, au fur et à mesure que les aées s'écoulet, la part des itérêts das le remboursemet s'amoidrit, tadis que celle du capital augmete. Si l'o tiet compte que la somme à obteir 'est pas le capital empruté C, mais celui-ci augmeté des itérêts dus, c'est-à-dire C (1+t), le problème reste le même que le précédet. Le motat de l auité a de chaque versemet s'élève alors à : ( t) C ( 1+ t ) = a a = C ( 1+ t) ( t) ( 1+ ) C t t a = 1+ 1 a = C ( 1+ t) t Das le cas d u remboursemet par mesualité (exemple 2), le motat de la mesualité m de chaque versemet s'élève à : 12 t t C m = 12 t ième aée Techique de qualificatio 2 ième partie : Mathématiques fiacières p. 6

7 Exemple 1 : Ue persoe désire empruter u capital de et le rembourser e 20 as; si le taux auel est de 9 %, quel sera le motat a de l'auité? La formule ci-dessus permet d'obteir sas difficulté 20 (1, 09).0, 09 5, 604.0, (1, 09) 1 5, a = = = 10954, 65 Le tableau d'amortissemet se présete comme suit : Aées Auité Itérêts Amortissemet Solde restat dû , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,65 904, ,14 0 Exemple 2 : Ue persoe désire empruter u capital de et le rembourser e 20 as; si le taux auel est de 9 % (9/12 =0.75% mesuel), quel sera le motat m de la mesualité? La formule ci-dessus permet d'obteir sas difficulté 240 (1, 0075).0, , 009.0, (1, 0075) 1 6, m = = = 899, 73 5 ième aée Techique de qualificatio 2 ième partie : Mathématiques fiacières p. 7

8 Le tableau d'amortissemet se présete comme suit : mois Mesualité Itérêts Amortissemet Solde restat dû ,73 737,17 162, , ,73 721,93 177, , ,73 705,25 194, , ,73 687,00 212, , ,73 667,05 232, , ,73 645,22 254, , ,73 621,35 278, , ,73 595,23 304, , ,73 566,67 333, , ,73 535,43 364, , ,73 501,25 398, , ,73 463,87 435, , ,73 422,99 476, , ,73 378,27 521, , ,73 329,35 570, , ,73 275,84 623, , ,73 217,32 682, , ,73 153,30 746, , ,73 83,29 816, , ,73 6,70 893,03 0 Comparaiso du motat total remboursé etre u remboursemet auel et mesuel. Le remboursemet auel est de ,65 = Le remboursemet mesuel est de ,73 = ,2 Le gai pour l empruteur est de ,2 = 3 157,8. Exemple 3 : Ue persoe désire empruter , sa baque lui propose 3 formules possibles. Cas 1 Cas 2 Cas 3 taux 4% 6% 7% durée 15 as 20 as 25 as auité 8994, , ,05 versemet mesuel 749,51 726,54 715,09 remboursemet total , , ,25 gai référece , ,60 Le baquier a pas itérêt à préseter ce tableau, mais il doit covaicre l empruteur que sur ue plus logue durée la mesualité sera plus faible et d orieter le choix sur le cas 3, ettemet plus favorable au prêteur. 5 ième aée Techique de qualificatio 2 ième partie : Mathématiques fiacières p. 8

9 Exemple 4 : Ue persoe désire u crédit à la cosommatio (type carte visa) de 2000 remboursable par mesualité. Sa baque lui propose 3 formules possibles. Le taux auel est de 15%, soit 1,25% mesuel. Cas 1 Cas 2 Cas 3 durée 12 mesualités 24 mesualités 48 mesualités mesualité 180,52 96,97 55,66 remboursemet total 2166, , ,75 gai référece 161,16 505,55 L allogemet de la durée du remboursemet allège cosidérablemet le motat de la mesualité, mais accroît égalemet le motat total remboursé. 5. Taux de chargemet Les publicités que l'o trouve régulièremet das les boites aux lettres affichet des tableaux comme ci-dessous 2 : Motat Mesualités TAEG x 99,88 15,5 % x 170,82 15,5 % x 206,85 15,5 % x 219,37 12,0 % x 329,03 12,0 % x 346,52 12,0 % x 433,15 12,0 % La première coloe repred les motats que l'o veut empruter. La deuxième coloe idique le ombre de mesualités à rembourser (premier facteur du produit) et le motat de ces mesualités (deuxième facteur du produit). La troisième coloe doe la valeur du TAEG (taux auel effectif global). Il remplace le taux de chargemet. C'est la loi qui impose l'obligatio d'idiquer sur tout cotrat d'emprut la valeur du TAEG. Des défiitios de ce taux existet, mais elles s'adresset surtout à des spécialistes. Lorsqu'ue persoe désire effectuer u emprut pour u achat tel ue voiture par exemple, elle s'adresse à u orgaisme fiacier qui lui propose u "prêt à tempéramet". Nous 'etreros pas das le détail fiacier de l'opératio. Disos simplemet que la loi prévoit u acompte miimum de 15 % qui e peut être couvert par l'emprut. Pour le solde, l'orgaisme fiacier lui soumet ue covetio sur laquelle figuret u certai ombre de reseigemets ; le motat de l'emprut, la durée de celui-ci, le motat à rembourser, les dates de ces remboursemets et efi le TAEG. L'employé de l'orgaisme fiacier e calcule rie lui-même : actuellemet, tout est das so ordiateur. Pour comparer les coditios proposées par deux orgaismes fiaciers différets, il faut éviter de comparer les taux : le plus simple est de comparer les motats à rembourser et leur fréquece. 2 Les commetaires figurat sous le tableau e ous itéresset pas. 5 ième aée Techique de qualificatio 2 ième partie : Mathématiques fiacières p. 9

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