Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X"

Transcription

1 Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 ** 2a a + b a + c Motrer que b + a 2b b + c 4(b + c)(c + a)(a + b) c + a c + b 2c Correctio [005362] Exercice 2 ** Pour a, b et c deux à deux disticts doés, factoriser Correctio X a b c a X c b b c X a c b a X [005363] Exercice 3 *** Calculer : 1 det( i j ) 1 i, j 2 det(si(a i + a j )) 1 i, j (a 1,,a état réels doés) a 0 b 0 a b b a 0 b 0 a det(c j 1 +i 1 ) 1 i, j p+1 X X X 1 a 0 a 2 a 1 X 1

2 Correctio [005364] Exercice 4 **** Détermiat de CAUCHY et détermiat de HILBERT Soit A ( 1 a i +b j )1 i, j où a 1,, a, b 1,,b sot 2 réels tels que toutes les sommes a i + b j soiet o ulles Calculer deta (e gééralisat l idée du calcul d u détermiat de VANDERMONDE par l utilisatio d ue fractio ratioelle) et e doer ue écriture codesée das le cas a i b i i Correctio [005365] Exercice 5 **** Soit A (a i, j ) 1 i, j où, pour tout i et tout j, a i, j { 1,1} Motrer que det A est u etier divisible par 2 1 Correctio [005366] Exercice 6 *** Résoudre le système MX U où M Correctio [005367] Exercice 7 ***I ( A B Soit (A,B) (M (R)) 2 et C B A Correctio ) M 2 (R) Motrer que detc 0 [005368] Exercice 8 **I Soit A (a i, j ) 1 i, j et B (b i, j ) 1 i, j avec b i, j ( 1) i+ j a i, j Motrer que detb deta Correctio [005369] Exercice 9 ***I Détermier les matrices A, carrées d ordre, telles que pour toute matrice carrée B d ordre o a det(a+b) deta + detb Correctio [005370] Exercice 10 **** Détermiat circulat a 1 a 2 a a a 1 a 2 a 1 a 1 a a 1 a 2 Soit A et P (ω (k 1)(l 1) ) 1 k,l où ω e 2iπ/ Calculer P 2 et PA E a 2 a 3 a a 1 déduire deta Correctio [005371] Exercice 11 ***I Calculer det(coma) e foctio de deta puis étudier le rag de coma e foctio du rag de A Correctio [005372] 2

3 Exercice 12 ***I Dérivée d u détermiat Soiet a i, j ((i, j) élémet de {1,,} 2 ) 2 foctios de R das R, dérivables sur R et A (ai, j) 1 i, j Calculer la dérivée de la foctio x det(a(x)) Applicatios Calculer x x x + 1 x + a 1 x x x x + a 2 2 x x x x + a Correctio [005373] Exercice 13 ***I Calculer et det((i + j 1) 2 ) a b b b a 3 a b b b a a 1 + x c + x c + x b + x a 2 + x 4 b, c complexes disticts a 1 + x c + x b + x b + x a + x Correctio [005374] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7emathfr 3

4 Correctio de l exercice 1 Soit (a,b,c) R 3 Notos le détermiat de l éocé Pour x réel, o pose D(x) 2x x + b x + c b + x 2b b + c c + x c + b 2c (de sorte que D(a))) D est u polyôme de degré iférieur ou égal à 2 Le coefficiet de x 2 vaut Puis, D( b) ( 2c) + (b + c) + (b + c) ( 2b) 4(b + c) 2b 0 b + c 0 2b b + c c b c + b 2c 2b(4bc (b + c)2 ) + 2b(c b) 2 0, et par symétrie des rôles de b et c, D( c) 0 De ce qui précède, o déduit que si b c, D(x) 4(b + c)(x + b)(x + c) (même si b + c 0 car alors D est u polyôme de degré ifèrieur ou égal à 1 admettat au mois deux racies distictes et est doc le polyôme ul) Aisi, si b c (ou par symétrie des roles, si a b ou a c), o a : 4(b + c)(a + b)(a + c) U seul cas est pas ecore étudié à savoir le cas où a b c Das ce cas, D(a) 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 8a a3 4(a + a)(a + a)(a + a), ce qui démotre l idetité proposée das tous les cas (o pouvait aussi coclure e costatat que, pour a et b fixés, la foctio est ue foctio cotiue de c et o obtiet la valeur de pour c b e faisat tedre c vers b das l expressio de déjà coue pour c b) 4(a + b)(a + c)(b + c) Correctio de l exercice 2 X a b c Soit P a X c b b c X a P est u polyôme uitaire de degré 4 E remplaçat C 1 par C 1 +C 2 +C 3 +C 4 et c b a X par liéarité par rapport à la première coloe, o voit que P est divisible par (X + a + b + c) Mais aussi, e remplaçat C 1 par C 1 C 2 C 3 +C 4 ou C 1 C 2 +C 3 C 4 ou C 1 +C 2 C 3 C 4, o voit que P est divisible par (X a b + c) ou (X a + b c) ou (X + a b c) 1er cas Si les quatre ombres a b c, a + b + c, a b + c et a + b c sot deux à deux disticts, P est uitaire de degré 4 et divisible par les quatre facteurs de degré 1 précédets, ceux-ci état deux à deux premiers etre eux Das ce cas, P (X +a+b+c)(x +a+b c)(x +a b+c)(x a+b+c) 2ème cas Deux au mois des quatre ombres a b c, a+b+c, a b+c et a+b c sot égaux Notos alors que a b c a+b c b a et que a+b+c a b+c a b Par symétrie des roles, deux des quatre ombres a b c, a + b + c, a b + c et a + b c sot égaux si et seulemet si deux des trois ombres a, b ou c sot égaux O coclut das ce cas que l expressio de P précédemmet trouvée reste valable par cotiuité par rapport à a, b ou c P (X + a + b + c)(x + a + b c)(x + a b + c)(x a + b + c) Correctio de l exercice 3 4

5 Pour 2, posos Tout d abord, o fait apparaître beaucoup de 1 Pour cela, o effectue les trasformatios C 1 C 1 C 2 puis C 2 C 2 C 3 puis puis C 1 C 1 C O obtiet det(c 1 C 2,C 2 C 3,,C 1 C,C ) O fait alors apparaître u détermiat triagulaire e costatat que det(l 1,L 2,,L ) det(l 1,L 2 + L 1,,L 1 + L 1,L + L 1 ) O obtiet (1 )( 2) , (1 )( 2) 2 cosa 1 2 (i, j) [[1,]] 2 cosa 2, si(a i + a j ) sia i cosa j + cosa i sia j et doc si o pose C et S cosa sia 1 sia 2, o a j [[1,]], C j cosa j S + sia j C E particulier, Vect(C 1,,C ) Vect(C,S) et le sia rag de la matrice proposée est iférieur ou égal à 2 Doc, 3, det(si(a i + a j )) 1 i, j 0 Si 2, det(si(a i + a j )) 1 i, j 2 si(2a 1 )si(2a 2 ) si 2 (a 1 + a 2 ) 3 L exercice a de ses que si le format est pair Posos 2p où p est u etier aturel o ul 5

6 a 0 0 b 0 a + b 0 0 b a b 0 0 a + b b 0 (pour 1 j p, C j C j +C 2p+1 j ) 0 b a 0 0 b + a a b 0 0 a b + a 0 0 a b (a + b) p 0 1 b 0 (par liéarité par rapport aux coloes C 1, C 2,, C p ) 0 1 a a b (a + b) p 0 1 b 0 (pour p + 1 i 2p, L i L i L 2p+1 i ) a b a b et (a + b) p (a b) p (a 2 b 2 ) p p N, 2p (a 2 b 2 ) p 4 O retrache à la première coloe la somme de toutes les autres et o obtiet 5 Pour 1 i p, ( 2) D ( 2) L i+1 L i (C 0 +i C 0 +i 1,C 1 +i C 1 +i 1,,C p +i Cp +i 1 ) (0,C0 +i 1,C 1 +i 1,,C p 1 +i 1 ) O remplace alors das cet ordre L p par L p L p 1 puis L p 1 par L p 1 L p 2 puis puis L 2 par L 2 L 1 pour obteir, avec des otatios évidetes Par suite, det(a p ) det(a p 1 ) det(a 1 ) 1 det(a p ) 1 det(a 0 A p 1 ) p 1 6 E développat suivat la derière lige, o obtiet : D (a 1 X)( X) ( 1) +k+1 a k k, k0 6

7 où k X X X X 1 ( 1) k X k et doc 2, D ( 1) ( X 1 k0 a kx k) Correctio de l exercice 4 Si deux des b j sot égaux, det(a) est ul car deux de ses coloes sot égales O suppose doréavat que les b j sot deux à deux disticts Soiet λ 1,, λ, ombres complexes tels que λ 0 O a deta 1 λ det(c 1,,C 1, j1 λ j C j ) detb, où la derière coloe de B est de la forme (R(a i )) 1 i avec R λ j j1 X+b j O pred R (X a 1)(X a 1 ) (X+b 1 )(X+b ) R aisi défiie est irréductible (car (i, j) [[1,]] 2, a i b j ) Les pôles de R sot simples et la partie etière de R est ulle La décompositio e élémets simples de R a bie la forme espérée Pour ce choix de R, puisque R(a 1 ) R(a 1 ) 0, o obtiet e développat suivat la derière coloe avec 1 λ R(a ) 1, Doc λ lim (z + b)r(z) ( b a 1 )( b a 1 ) z b ( b + b 1 )( b + b 1 ) (a 1 + b )(a 1 + b ) (b b 1 )(b b 1 ) 2, (a a 1 )(a a 1 )(b b 1 )(b b 1 ) (a + b 1 )(a + b 2 )(a + b )(a 2 + b )(a 1 + b ) 1 E réitérat et compte teu de 1 1, o obtiet 1 i< j (a j a i ) 1 i< j (b j b i ) 1 i, j (a i +b j ) Va(a 1,,a )Va(b 1,,b ) 1 i, j (a i +b j ) Das le cas particulier où i [[1,]], a i b i i, e otat H le détermiat (de HILBERT) à calculer : H Va(1,2,,)2 1 i, j (i+ j) Mais, et d autre part, Doc, 1 i, j Va(1,2,,) (i + j) 1 i< j i1 ( ) (i + j) j1 ( j i) i1 ( + i)! i! ( ) 1 1 ( j i) i1 ji+1 2 k1 k! ( k1 k!)2, i1( i)! 1! k1 k! 1, H ( k1 k!)3! 2 2 k1 k! 7

8 Correctio de l exercice 5 O procède par récurrece sur 1 Pour 1, c est clair Soit 1 Supposos que tout détermiat de format et du type de l éocé soit divisible par 2 1 Soit +1 u détermiat de format + 1, du type de l éocé Si tous les coefficiets a i, j de +1 sot égaux à 1, puisque + 1 2, +1 a deux coloes égales et est doc ul Das ce cas, +1 est bie divisible par 2 Sio, o va chager petit à petit tous les 1 e 1 Soit (i, j) u couple d idices tel que a i, j 1 et +1 le détermiat dot tous les coefficiets sot égaux à ceux de +1 sauf le coefficiet lige i et coloe j qui est égal à det(c 1,,C j,,c ) det(c 1,,C j,,c ) det(c 1,,C j C j,,c ), 0 où C j C j 0 2 ( 2 e lige i) E développat ce derier détermiat suivat sa j-ème coloe, o 0 0 obtiet : , où est u détermiat de format et du type de l éocé Par hypothèse de récurrece, est divisible par 2 1 et doc est divisible par 2 Aisi, e chageat les 1 e 1 les us après les autres, o obtiet (mod 2 ) 1 1 Ce derier détermiat état ul, le résultat est démotré par récurrece Correctio de l exercice 6 detm Va(1,2,,) 0 et le système est de CRAMER Les formules de CRAMER fourisset alors pour k [[1,]], x k k où 1 k 1 k (k 1) 2 (k + 1) 2 2 k Va(1,,k 1,0,k + 1,,) ( 1) k+1 1 (k 1) 1 (k + 1) 1 1 (e développat par rapport à la k-ème coloe) Par liéarité par rapport à chaque coloe, o a alors k ( 1) k (k 1) (k + 1) Va(1,2,,k 1,k + 1,,) ( 1) k+1! k Va(1,2,,) (k (k 1))(k 1)((k + 1) k)( k)! ( 1)k+1 k!( k)!, et doc, k [[1,]], x k ( 1) k+1 C k 8

9 Correctio de l exercice 7 E remplaçat les coloes C 1,, C par respectivemet C 1 + ic +1,, C + ic 2, o obtiet : ( A + ib B detc det B + ia A puis e remplaçat les liges L +1,, L 2 de la ouvelle matrice par respectivemet L +1 il 1,, L 2 il, o obtiet : ( A + ib B detc det 0 A ib ), ) det(a + ib)det(a ib) det(a + ib) 2 R + Correctio de l exercice 8 1ère solutio detb σ S ε(σ)( 1) 1+σ(1)+2+σ(2)+++σ() a σ(1),1 a σ(2),2 a σ(), σ S ε(σ)a σ(1),1 a σ(2),2 a σ(), (car 1 + σ(1) σ(2) σ() 2( ) 2N) deta 2ème solutio O multiplie par 1 les liges 2, 4, 6 puis les coloes 2, 4, 6O obtiet detb ( 1) 2p deta deta (où p est le ombre de liges ou de coloes portat u uméro pair) Correctio de l exercice 9 O suppose 2 La matrice ulle est solutio du problème Soit A u élémet de M (C) tel que B M (C), det(a + B) deta + detb E particulier, 2detA det(2a) 2 deta et doc deta 0 car 2 Aisi, A / GL (C) Si A 0, il existe ue certaie coloe C j qui est pas ulle Puisque la coloe C j est pas ulle, o peut compléter la famille libre ( C j ) e ue base (C 1,, C j,,c ) de M,1 (C) La matrice B dot les coloes sot justemet C 1,, C j,,c est alors iversible de sorte que deta + detb detb 0 Mais, A + B a ue coloe ulle et doc det(a + B) 0 deta + detb Aisi, seule la matrice ulle peut doc être solutio du problème A M (C), ( M M (C), det(a + M) det(a) + det(m)) A 0 Correctio de l exercice 10 Soit (k,l) [[1,]] 2 Le coefficiet lige k, coloe l de P 2 est α k,l u1 ω (k 1)(u 1) ω (u 1)(l 1) u1 ω (k+l 2)(u 1) 1 u0 (ω k+l 2 ) u Or, ω k+l 2 1 k + l 2 Z Mais, 0 k + l < 2 et doc, k + l 2 Z k + l 2 {0,} k + l 2 ou k + l + 2 Das ce cas, α k,l Sio, α k,l 1 (ωk+l 2 ) 1 ω k+l ωk+l 2 9

10 Aisi, P Soit (k,l) [[1,]] 2 Le coefficiet lige k, coloe l de PP est β k,l u1 ω (k 1)(u 1) ω (u 1)(l 1) u1 (ω k l ) u 1 Or, ω k l 1 k l Z Mais, < ( 1) k l 1 < et doc k l Z k l Das ce cas, β k,l Sio, β k,l 0 Aisi, PP I (ce qui motre que P GL (C) et P 1 1 P) Calculos efi PA Il faut d abord écrire propremet les coefficiets de A Le coefficiet lige k, coloe l de A peut s écrire a l k+1 si l o adopte la covetio commode a +1 a 1, a +2 a 2 et plus gééralemet pour tout etier relatif k, a +k a k Avec cette covetio d écriture, le coefficiet lige k, coloe l de PA vaut u1 ω (k 1)(u 1) a l u+1 l vl +1 Puis o réordoe cette somme pour qu elle commece par a 1 ω (k 1)(l v) a v l vl +1 ω (k 1)(l v) a v l v1 l v1 l v1 ω (k 1)(l v) a v + ω (k 1)(l v) a v + ω (k 1)(l v) a v + 0 vl +1 wl+1 wl+1 ω (k 1)(l v) a v ω (k 1)(l w+) a w+ (e posat w v + ) ω (k 1)(l w) a w v1ω (k 1)(l v) a v ω (k 1)(l 1) ω (k 1)(1 v) a v v1 (le poit clé du calcul précédet est que les suites (a k ) et (ω k ) ot la même période ce qui s est traduit par ω (k 1)(l w+) a w+ ω (k 1)(l v) a v ) Pour k élémet de [[1,]], posos alors S k v1 ω(k 1)(1 v) a v O a motré que PA (ω (k 1)(l 1) S k ) 1 k,l Par liéarité par rapport à chaque coloe, o a alors det(pa) det(ω (k 1)(l 1) S k ) 1 k,l ( k1 S k) det(ω (k 1)(l 1) ) 1 k,l ( k1 S k) detp Doc (detp)(deta) ( k1 S k)detp et fialemet, puisque detp 0, deta k1 ( v1 ω (k 1)(1 v) a v ) Par exemple, pour 3, deta (a 1 + a 2 + a 3 )(a 1 + ja 2 + j 2 a 3 )(a 1 + j 2 a 2 + ja 3 ) Correctio de l exercice 11 O a toujours A t coma (deta)i et doc (deta)(det(coma)) (deta)(det( t coma)) det(deta I ) (deta) Si deta 0, o obtiet det(coma) (deta) 1 Si deta 0, alors A t coma 0 et coma est pas iversible car sio, A 0 puis coma 0 ce qui est absurde Doc, det(coma) 0 Aisi, das tous les cas, A M (C), det(coma) (deta) 1 10

11 Si rga, alors coma GL (K) (car det(coma) 0) et rg(coma) Si rga 2, alors tous les mieurs de format 1 sot uls et coma 0 Das ce cas, rg(coma) 0 Si rga 1, il existe u mieur de format 1 o ul et coma 0 Das ce cas, 1 rg(coma) 1 Plus précisémet, A t coma 0 coma t A 0 Im( t A) Ker(comA) dim(ker(coma)) rg( t A) rga 1 rg(coma) 1, et fialemet si rga 1, rg(coma) 1 Correctio de l exercice 12 ( ) ) (deta) ε(σ)a σ(1),1 a σ(2),2 a σ(), ε(σ)( a σ(1),1 a σ(k),k a σ(), σ S σ S k1 k1 σ S ε(σ)a σ(1),1 a σ(k),k a σ(), k1 det(c 1,,C k,,c ) Applicatios x x Soit (x) est u polyôme dot la dérivée est d après ce qui x + 1 précède, k1 δ k où δ k est le détermiat déduit de e remplaçat sa k-ème coloe par le k-ème vecteur de la base caoique de M,1 (K) E développat δ k par rapport à sa k-ème coloe, o obtiet δ k 1 et doc 1 Esuite, o a déjà 1 X + 1 puis 2 (X + 1) 2 1 X 2 + 2X Motros par récurrece que pour 1, X + X 1 C est vrai pour 1 puis, si pour 1, X + X 1 alors +1 ( + 1)X + ( + 1)X 1 et, par itégratio, +1 X +1 + ( + 1)X + +1 (0) Mais, puisque 1, o a +1 2 et +1 (0) est u détermiat ayat au mois deux coloes idetiques Par suite, +1 (0) 0 ce qui motre que +1 X +1 + ( + 1)X Le résultat est démotré par récurrece N, x + x 1 x + a 1 x x x x + a 2 2 Soit (x) det(a 1 e 1 + xc,,a e + xc) où e k est le k-ème x x x x + a vecteur de la base caoique de M,1 (K) et C est la coloe dot toutes les composates sot égales à 1 Par liéarité par rapport à chaque coloe, est somme de 2 détermiats mais dès que C apparait deux fois, le détermiat correspodat est ul Doc, det(a 1 e 1,,a e ) + det(a 1 e 1,,xC,,a e ) Ceci motre que est u polyôme de degré iférieur ou égal à 1 La formule de TAYLOR fourit alors : (0)+X (0) Immédiatemet, (0) k1 a k σ puis (0) k1 det(a 1e 1,,C,,a e ) k1 i k a i σ 1 Doc, σ + Xσ 1 Correctio de l exercice 13 1 Pour le premier détermiat, o retrache la première coloe à chacue des autres et o obtiet u détermiat triagulaire iférieur dot la valeur est ( 1) 1 Pour le deuxième, o ajoute à la première coloe la somme de toutes les autres, puis o met ( 1) e facteurs de la première coloe et o tombe sur le premier détermiat Le deuxième détermiat vaut doc ( 1) 1 ( 1) 11

12 2 Pour (i, j) élémet de [[1,]] 2, (i + j 1) 2 j 2 + 2(i 1) j + (i 1) 2 Doc, 3 j {1,,}, C j j 2 (1) 1 i + 2 j(i 1) 1 i + ((i 1) 2 ) 1 i Les coloes de la matrice sot doc élémets de Vect((1) 1 i,(i 1) 1 i,((i 1)2) 1 i ) qui est de dimesio iférieure ou égale à 3 et la matrice proposée est de rag ifèrieur ou égal à 3 Doc, si 4, 0 Il reste esuite à calculer 1 1 puis puis ( ) 4( ) + 9(64 81) b b 1 a det(c 1,,C ) det(c 1 + +C,C 2,,C ) (a + ( 1)b) b, b 1 b b a par liéarité par rapport à la première coloe Puis, aux liges uméros 2,,, o retrache la première lige pour obteir : 1 b b 0 a b 0 0 (a + ( 1)b) 0 (a + ( 1)b)(a b) a b 4 Par liéarité, D est somme de 2 détermiats Mais das cette somme, u détermiat est ul dès qu il cotiet au mois deux coloes de x Aisi, e posat det(c 1 +xc,,c +xc) où C k et C (1) 1 i, o obtiet : det(c 1,,C ) + k1 det(c 1,,C k 1,xC,C k+1,,c ), a 1 a k 1 b a k+1 ce qui motre que est u polyôme de degré ifèrieur ou égal à 1 Posos AX + B et P k1 (a k X) Quad x b ou x c, le détermiat proposé est triagulaire et se calcule { doc immédiatemet Doc : 1er cas Si b c ( b) P(b) et ( c) P(c) fourit le système ba + B P(b) ca + B P(c) et doc A P(c) P(b) c b et B cp(b) bp(c) c b Aisi, si b c, P(c) P(b) c b x + cp(b) bp(c) c b où P k1 (a k X) 2ème cas Si b c, l expressio obteue e fixat x et b est clairemet ue foctio cotiue de c car polyômiale e c O obtiet doc la valeur de quad b c e faisat tedre c vers b das l expressio déjà coue de pour b c Maiteat, quad b ted vers c, P(c) P(b) c b ted vers P (b) et ted vers bp (b) + P(b) cp(b) bp(c) c b c(p(b) P(c)) + (c b)p(c), c b 12 a

13 si b c, xp (b) + P(b) bp (b) où P k1 (a k X) et Puis, pour 4, o obtiet e développat suivat la première coloe : D où, pour 4, et la suite ( 1 ) 3 est costate Par suite, pour 3, et doc la suite ( ) 2 est arithmétique de raiso 1 O e déduit que, pour 2, 2 +( 2) 1 +1 (o pouvait aussi résoudre l équatio caractéristique de la récurrece double) 2,

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

DETERMINANTS. a b et a'

DETERMINANTS. a b et a' 2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Module 3 : Inversion de matrices

Module 3 : Inversion de matrices Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local Appretissage: cours 3a Méthodes par moyeage local Guillaume Oboziski 1 er mars 2012 Réferece : chap. 6 of [Hastie et al., 2009] ad chap. 6 of [Devroye et al., 1996]. Algorithmes par moyeage local O cosidère

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

20. Algorithmique & Mathématiques

20. Algorithmique & Mathématiques L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus

Plus en détail

Solutions particulières d une équation différentielle...

Solutions particulières d une équation différentielle... Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

4 Approximation des fonctions

4 Approximation des fonctions 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour

Plus en détail

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état Approximatio de la solutio d ue équatio différetielle ordiaire avec impulsios qui dépedet de l état F. Dubeau A. Ouasafi A. Sakat CRM-276 Jauary 21 Départemet de mathématiques et d iformatique, Uiversité

Plus en détail

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3... Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1

Plus en détail

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil. Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

Statistique descriptive bidimensionnelle

Statistique descriptive bidimensionnelle 1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009 Bcclurét S Nouvelle - Clédoie Mrs 009 Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) r r Le pl est rpporté à u repère orthoorml direct ( O, u, v) d uité grphique cm O cosidère les poits et B d ffixes respectives

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers) Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie

Plus en détail

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini P : Déombremets / Probabilités e uivers fii Déombremet & Combiatoire P.1 O tire les cartes! O tire 5 cartes das u jeu de 32 cartes usuel. Combie y a-t-il de tirages possibles vérifiat les coditios suivates

Plus en détail

Des résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières

Des résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received

Plus en détail

Maîtrise de Mathématiques TER Le bandit manchot à deux bras

Maîtrise de Mathématiques TER Le bandit manchot à deux bras Maîtrise de Mathématiques TER Le badit machot à deux bras Deis Cousieau Sous la directio de Jea-Michel Loubes Septembre 2003 Table des matières 1 Présetatio du problème 2 1.1 Exemple de la machie à sous,

Plus en détail

Probabilité 1 - L1 MMIA

Probabilité 1 - L1 MMIA Probabilité 1 - L1 MMIA Tra Viet Chi, vtra@u-paris10fr, Bureau E12(G) Exercice 1 (Pour démarrer) 1 Soiet A et B deux esembles Rappelez les défiitios de l itersectio A B, de l uio A B, de la différece A

Plus en détail

E3A PC 2009 Math A. questions de cours. t C). On véri e que

E3A PC 2009 Math A. questions de cours. t C). On véri e que E3A PC 29 Math A questions de cours. Soit C 2 M 3 (R) Analyse : Si C = S + A, S 2 S 3 (R) et A 2 A 3 (R) alors t C = t S + t A = S A d où S = 2 (C +t C) et A = 2 (C t C). L analyse assure l unicité (sous

Plus en détail

Cours de Statistiques inférentielles

Cours de Statistiques inférentielles Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios

Plus en détail

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................

Plus en détail

Introduction : Mesures et espaces de probabilités

Introduction : Mesures et espaces de probabilités Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

Université de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015

Université de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015 Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir

Plus en détail

Chapitre 13. Statistiques et probabilités. Sommaire

Chapitre 13. Statistiques et probabilités. Sommaire 13 Chapitre Chapitre 13 Statistiques et probabilités Les statistiques et les probabilités occupet ue place importate das l eseigemet de certaies classes préparatoires Les pricipales foctios écessaires

Plus en détail

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4 UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation 1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. 55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique

Plus en détail

Probabilités et statistique pour le CAPES

Probabilités et statistique pour le CAPES Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes

Plus en détail

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester

Plus en détail

2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES

2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul

Plus en détail

1. CALCUL DES CARACTÉRISTIQUES «R- L-C» D'UNE JONCTION TRIPHASÉE

1. CALCUL DES CARACTÉRISTIQUES «R- L-C» D'UNE JONCTION TRIPHASÉE . CALCUL DES CAACTÉISTIQUES «- L-C» DUNE JONCTION TIPHASÉE Trasport et Distributio de léergie Electrique Mauel de travaux pratiques. CALCUL DES CAACTÉISTIQUES «-L-C» DUNE JONCTION TIPHASÉE.. Itroductio....

Plus en détail

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2 22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires

Plus en détail

Comment utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ

Comment utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ Commet utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ Survol du compte Mauvie U La majorité des Caadies gèret leurs fiaces comme suit : 1. Ils déposet leur reveu et autres actifs à court

Plus en détail

Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.

Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2. Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Pla de sodage 2.2.2 Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE

Plus en détail

HEC. Gilles Mauffrey. METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmation linéaire, programmation dynamique, simulation, statistique élémentaire

HEC. Gilles Mauffrey. METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmation linéaire, programmation dynamique, simulation, statistique élémentaire HEC Gilles Mauffrey METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmatio liéaire, programmatio dyamique, simulatio, statistique élémetaire La Modélisatio LA MODELISATION Modèle et typologie des modèles. La otio

Plus en détail

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )

TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude

Plus en détail

PROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales

PROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première

Plus en détail

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars

Plus en détail

PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS

PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie

Plus en détail

Régulation analogique industrielle ESTF- G.Thermique

Régulation analogique industrielle ESTF- G.Thermique Chapitre 5 Stabilité, Rapidité, Précisio et Réglage Stabilité. Défiitio Coditio de stabilité. Critères de stabilité.. Critères algébriques.. Critère graphique ou de revers das le pla de Nyquist Rapidité

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Chapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction

Chapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats

Plus en détail

Processus géométrique généralisé et applications en fiabilité

Processus géométrique généralisé et applications en fiabilité Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR

Plus en détail

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules est à dispositio olie et sera doé aux cadidats lors des exames oraux

Plus en détail

Exercices de mathématiques

Exercices de mathématiques MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris

Plus en détail

Intérêt simple CHAPITRE. Sommaire

Intérêt simple CHAPITRE. Sommaire HAPTRE térêt simple Sommaire A B D E F G H J K L Notio d itérêt Formule fodametale de l itérêt simple Durée de placemet exprimée e mois Durée de placemet exprimée e jours alculs sur la formule fodametale

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.

3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions. 3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios

Plus en détail

POLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT

POLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier

Plus en détail

LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D

LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D PRÉPARATION À L AGRÉGATION EXTERNE DE MATHÉMATIQUES DE L UNIVERSITÉ RENNES 1 1 ANNÉE 2009/2010 1. ESPACE PROBABILISÉ - VARIABLE ALÉATOIRE 1.1 ESPACE PROBABILISÉ

Plus en détail

Introduction aux inégalités

Introduction aux inégalités Introduction aux inégalités -cours- Razvan Barbulescu ENS, 8 février 0 Inégalité des moyennes Faisons d abord la liste des propritétés simples des inégalités: a a et b b a + b a + b ; s 0 et a a sa sa

Plus en détail

Gérer les applications

Gérer les applications Gérer les applicatios E parcourat les rayos du Widows Phoe Store, vous serez e mesure de compléter les services de base de votre smartphoe à travers plus de 10 000 applicatios. Gratuites ou payates, ces

Plus en détail

La spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».

La spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit». Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de

Plus en détail