Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

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1 Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 ** 2a a + b a + c Motrer que b + a 2b b + c 4(b + c)(c + a)(a + b) c + a c + b 2c Correctio [005362] Exercice 2 ** Pour a, b et c deux à deux disticts doés, factoriser Correctio X a b c a X c b b c X a c b a X [005363] Exercice 3 *** Calculer : 1 det( i j ) 1 i, j 2 det(si(a i + a j )) 1 i, j (a 1,,a état réels doés) a 0 b 0 a b b a 0 b 0 a det(c j 1 +i 1 ) 1 i, j p+1 X X X 1 a 0 a 2 a 1 X 1

2 Correctio [005364] Exercice 4 **** Détermiat de CAUCHY et détermiat de HILBERT Soit A ( 1 a i +b j )1 i, j où a 1,, a, b 1,,b sot 2 réels tels que toutes les sommes a i + b j soiet o ulles Calculer deta (e gééralisat l idée du calcul d u détermiat de VANDERMONDE par l utilisatio d ue fractio ratioelle) et e doer ue écriture codesée das le cas a i b i i Correctio [005365] Exercice 5 **** Soit A (a i, j ) 1 i, j où, pour tout i et tout j, a i, j { 1,1} Motrer que det A est u etier divisible par 2 1 Correctio [005366] Exercice 6 *** Résoudre le système MX U où M Correctio [005367] Exercice 7 ***I ( A B Soit (A,B) (M (R)) 2 et C B A Correctio ) M 2 (R) Motrer que detc 0 [005368] Exercice 8 **I Soit A (a i, j ) 1 i, j et B (b i, j ) 1 i, j avec b i, j ( 1) i+ j a i, j Motrer que detb deta Correctio [005369] Exercice 9 ***I Détermier les matrices A, carrées d ordre, telles que pour toute matrice carrée B d ordre o a det(a+b) deta + detb Correctio [005370] Exercice 10 **** Détermiat circulat a 1 a 2 a a a 1 a 2 a 1 a 1 a a 1 a 2 Soit A et P (ω (k 1)(l 1) ) 1 k,l où ω e 2iπ/ Calculer P 2 et PA E a 2 a 3 a a 1 déduire deta Correctio [005371] Exercice 11 ***I Calculer det(coma) e foctio de deta puis étudier le rag de coma e foctio du rag de A Correctio [005372] 2

3 Exercice 12 ***I Dérivée d u détermiat Soiet a i, j ((i, j) élémet de {1,,} 2 ) 2 foctios de R das R, dérivables sur R et A (ai, j) 1 i, j Calculer la dérivée de la foctio x det(a(x)) Applicatios Calculer x x x + 1 x + a 1 x x x x + a 2 2 x x x x + a Correctio [005373] Exercice 13 ***I Calculer et det((i + j 1) 2 ) a b b b a 3 a b b b a a 1 + x c + x c + x b + x a 2 + x 4 b, c complexes disticts a 1 + x c + x b + x b + x a + x Correctio [005374] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7emathfr 3

4 Correctio de l exercice 1 Soit (a,b,c) R 3 Notos le détermiat de l éocé Pour x réel, o pose D(x) 2x x + b x + c b + x 2b b + c c + x c + b 2c (de sorte que D(a))) D est u polyôme de degré iférieur ou égal à 2 Le coefficiet de x 2 vaut Puis, D( b) ( 2c) + (b + c) + (b + c) ( 2b) 4(b + c) 2b 0 b + c 0 2b b + c c b c + b 2c 2b(4bc (b + c)2 ) + 2b(c b) 2 0, et par symétrie des rôles de b et c, D( c) 0 De ce qui précède, o déduit que si b c, D(x) 4(b + c)(x + b)(x + c) (même si b + c 0 car alors D est u polyôme de degré ifèrieur ou égal à 1 admettat au mois deux racies distictes et est doc le polyôme ul) Aisi, si b c (ou par symétrie des roles, si a b ou a c), o a : 4(b + c)(a + b)(a + c) U seul cas est pas ecore étudié à savoir le cas où a b c Das ce cas, D(a) 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 8a a3 4(a + a)(a + a)(a + a), ce qui démotre l idetité proposée das tous les cas (o pouvait aussi coclure e costatat que, pour a et b fixés, la foctio est ue foctio cotiue de c et o obtiet la valeur de pour c b e faisat tedre c vers b das l expressio de déjà coue pour c b) 4(a + b)(a + c)(b + c) Correctio de l exercice 2 X a b c Soit P a X c b b c X a P est u polyôme uitaire de degré 4 E remplaçat C 1 par C 1 +C 2 +C 3 +C 4 et c b a X par liéarité par rapport à la première coloe, o voit que P est divisible par (X + a + b + c) Mais aussi, e remplaçat C 1 par C 1 C 2 C 3 +C 4 ou C 1 C 2 +C 3 C 4 ou C 1 +C 2 C 3 C 4, o voit que P est divisible par (X a b + c) ou (X a + b c) ou (X + a b c) 1er cas Si les quatre ombres a b c, a + b + c, a b + c et a + b c sot deux à deux disticts, P est uitaire de degré 4 et divisible par les quatre facteurs de degré 1 précédets, ceux-ci état deux à deux premiers etre eux Das ce cas, P (X +a+b+c)(x +a+b c)(x +a b+c)(x a+b+c) 2ème cas Deux au mois des quatre ombres a b c, a+b+c, a b+c et a+b c sot égaux Notos alors que a b c a+b c b a et que a+b+c a b+c a b Par symétrie des roles, deux des quatre ombres a b c, a + b + c, a b + c et a + b c sot égaux si et seulemet si deux des trois ombres a, b ou c sot égaux O coclut das ce cas que l expressio de P précédemmet trouvée reste valable par cotiuité par rapport à a, b ou c P (X + a + b + c)(x + a + b c)(x + a b + c)(x a + b + c) Correctio de l exercice 3 4

5 Pour 2, posos Tout d abord, o fait apparaître beaucoup de 1 Pour cela, o effectue les trasformatios C 1 C 1 C 2 puis C 2 C 2 C 3 puis puis C 1 C 1 C O obtiet det(c 1 C 2,C 2 C 3,,C 1 C,C ) O fait alors apparaître u détermiat triagulaire e costatat que det(l 1,L 2,,L ) det(l 1,L 2 + L 1,,L 1 + L 1,L + L 1 ) O obtiet (1 )( 2) , (1 )( 2) 2 cosa 1 2 (i, j) [[1,]] 2 cosa 2, si(a i + a j ) sia i cosa j + cosa i sia j et doc si o pose C et S cosa sia 1 sia 2, o a j [[1,]], C j cosa j S + sia j C E particulier, Vect(C 1,,C ) Vect(C,S) et le sia rag de la matrice proposée est iférieur ou égal à 2 Doc, 3, det(si(a i + a j )) 1 i, j 0 Si 2, det(si(a i + a j )) 1 i, j 2 si(2a 1 )si(2a 2 ) si 2 (a 1 + a 2 ) 3 L exercice a de ses que si le format est pair Posos 2p où p est u etier aturel o ul 5

6 a 0 0 b 0 a + b 0 0 b a b 0 0 a + b b 0 (pour 1 j p, C j C j +C 2p+1 j ) 0 b a 0 0 b + a a b 0 0 a b + a 0 0 a b (a + b) p 0 1 b 0 (par liéarité par rapport aux coloes C 1, C 2,, C p ) 0 1 a a b (a + b) p 0 1 b 0 (pour p + 1 i 2p, L i L i L 2p+1 i ) a b a b et (a + b) p (a b) p (a 2 b 2 ) p p N, 2p (a 2 b 2 ) p 4 O retrache à la première coloe la somme de toutes les autres et o obtiet 5 Pour 1 i p, ( 2) D ( 2) L i+1 L i (C 0 +i C 0 +i 1,C 1 +i C 1 +i 1,,C p +i Cp +i 1 ) (0,C0 +i 1,C 1 +i 1,,C p 1 +i 1 ) O remplace alors das cet ordre L p par L p L p 1 puis L p 1 par L p 1 L p 2 puis puis L 2 par L 2 L 1 pour obteir, avec des otatios évidetes Par suite, det(a p ) det(a p 1 ) det(a 1 ) 1 det(a p ) 1 det(a 0 A p 1 ) p 1 6 E développat suivat la derière lige, o obtiet : D (a 1 X)( X) ( 1) +k+1 a k k, k0 6

7 où k X X X X 1 ( 1) k X k et doc 2, D ( 1) ( X 1 k0 a kx k) Correctio de l exercice 4 Si deux des b j sot égaux, det(a) est ul car deux de ses coloes sot égales O suppose doréavat que les b j sot deux à deux disticts Soiet λ 1,, λ, ombres complexes tels que λ 0 O a deta 1 λ det(c 1,,C 1, j1 λ j C j ) detb, où la derière coloe de B est de la forme (R(a i )) 1 i avec R λ j j1 X+b j O pred R (X a 1)(X a 1 ) (X+b 1 )(X+b ) R aisi défiie est irréductible (car (i, j) [[1,]] 2, a i b j ) Les pôles de R sot simples et la partie etière de R est ulle La décompositio e élémets simples de R a bie la forme espérée Pour ce choix de R, puisque R(a 1 ) R(a 1 ) 0, o obtiet e développat suivat la derière coloe avec 1 λ R(a ) 1, Doc λ lim (z + b)r(z) ( b a 1 )( b a 1 ) z b ( b + b 1 )( b + b 1 ) (a 1 + b )(a 1 + b ) (b b 1 )(b b 1 ) 2, (a a 1 )(a a 1 )(b b 1 )(b b 1 ) (a + b 1 )(a + b 2 )(a + b )(a 2 + b )(a 1 + b ) 1 E réitérat et compte teu de 1 1, o obtiet 1 i< j (a j a i ) 1 i< j (b j b i ) 1 i, j (a i +b j ) Va(a 1,,a )Va(b 1,,b ) 1 i, j (a i +b j ) Das le cas particulier où i [[1,]], a i b i i, e otat H le détermiat (de HILBERT) à calculer : H Va(1,2,,)2 1 i, j (i+ j) Mais, et d autre part, Doc, 1 i, j Va(1,2,,) (i + j) 1 i< j i1 ( ) (i + j) j1 ( j i) i1 ( + i)! i! ( ) 1 1 ( j i) i1 ji+1 2 k1 k! ( k1 k!)2, i1( i)! 1! k1 k! 1, H ( k1 k!)3! 2 2 k1 k! 7

8 Correctio de l exercice 5 O procède par récurrece sur 1 Pour 1, c est clair Soit 1 Supposos que tout détermiat de format et du type de l éocé soit divisible par 2 1 Soit +1 u détermiat de format + 1, du type de l éocé Si tous les coefficiets a i, j de +1 sot égaux à 1, puisque + 1 2, +1 a deux coloes égales et est doc ul Das ce cas, +1 est bie divisible par 2 Sio, o va chager petit à petit tous les 1 e 1 Soit (i, j) u couple d idices tel que a i, j 1 et +1 le détermiat dot tous les coefficiets sot égaux à ceux de +1 sauf le coefficiet lige i et coloe j qui est égal à det(c 1,,C j,,c ) det(c 1,,C j,,c ) det(c 1,,C j C j,,c ), 0 où C j C j 0 2 ( 2 e lige i) E développat ce derier détermiat suivat sa j-ème coloe, o 0 0 obtiet : , où est u détermiat de format et du type de l éocé Par hypothèse de récurrece, est divisible par 2 1 et doc est divisible par 2 Aisi, e chageat les 1 e 1 les us après les autres, o obtiet (mod 2 ) 1 1 Ce derier détermiat état ul, le résultat est démotré par récurrece Correctio de l exercice 6 detm Va(1,2,,) 0 et le système est de CRAMER Les formules de CRAMER fourisset alors pour k [[1,]], x k k où 1 k 1 k (k 1) 2 (k + 1) 2 2 k Va(1,,k 1,0,k + 1,,) ( 1) k+1 1 (k 1) 1 (k + 1) 1 1 (e développat par rapport à la k-ème coloe) Par liéarité par rapport à chaque coloe, o a alors k ( 1) k (k 1) (k + 1) Va(1,2,,k 1,k + 1,,) ( 1) k+1! k Va(1,2,,) (k (k 1))(k 1)((k + 1) k)( k)! ( 1)k+1 k!( k)!, et doc, k [[1,]], x k ( 1) k+1 C k 8

9 Correctio de l exercice 7 E remplaçat les coloes C 1,, C par respectivemet C 1 + ic +1,, C + ic 2, o obtiet : ( A + ib B detc det B + ia A puis e remplaçat les liges L +1,, L 2 de la ouvelle matrice par respectivemet L +1 il 1,, L 2 il, o obtiet : ( A + ib B detc det 0 A ib ), ) det(a + ib)det(a ib) det(a + ib) 2 R + Correctio de l exercice 8 1ère solutio detb σ S ε(σ)( 1) 1+σ(1)+2+σ(2)+++σ() a σ(1),1 a σ(2),2 a σ(), σ S ε(σ)a σ(1),1 a σ(2),2 a σ(), (car 1 + σ(1) σ(2) σ() 2( ) 2N) deta 2ème solutio O multiplie par 1 les liges 2, 4, 6 puis les coloes 2, 4, 6O obtiet detb ( 1) 2p deta deta (où p est le ombre de liges ou de coloes portat u uméro pair) Correctio de l exercice 9 O suppose 2 La matrice ulle est solutio du problème Soit A u élémet de M (C) tel que B M (C), det(a + B) deta + detb E particulier, 2detA det(2a) 2 deta et doc deta 0 car 2 Aisi, A / GL (C) Si A 0, il existe ue certaie coloe C j qui est pas ulle Puisque la coloe C j est pas ulle, o peut compléter la famille libre ( C j ) e ue base (C 1,, C j,,c ) de M,1 (C) La matrice B dot les coloes sot justemet C 1,, C j,,c est alors iversible de sorte que deta + detb detb 0 Mais, A + B a ue coloe ulle et doc det(a + B) 0 deta + detb Aisi, seule la matrice ulle peut doc être solutio du problème A M (C), ( M M (C), det(a + M) det(a) + det(m)) A 0 Correctio de l exercice 10 Soit (k,l) [[1,]] 2 Le coefficiet lige k, coloe l de P 2 est α k,l u1 ω (k 1)(u 1) ω (u 1)(l 1) u1 ω (k+l 2)(u 1) 1 u0 (ω k+l 2 ) u Or, ω k+l 2 1 k + l 2 Z Mais, 0 k + l < 2 et doc, k + l 2 Z k + l 2 {0,} k + l 2 ou k + l + 2 Das ce cas, α k,l Sio, α k,l 1 (ωk+l 2 ) 1 ω k+l ωk+l 2 9

10 Aisi, P Soit (k,l) [[1,]] 2 Le coefficiet lige k, coloe l de PP est β k,l u1 ω (k 1)(u 1) ω (u 1)(l 1) u1 (ω k l ) u 1 Or, ω k l 1 k l Z Mais, < ( 1) k l 1 < et doc k l Z k l Das ce cas, β k,l Sio, β k,l 0 Aisi, PP I (ce qui motre que P GL (C) et P 1 1 P) Calculos efi PA Il faut d abord écrire propremet les coefficiets de A Le coefficiet lige k, coloe l de A peut s écrire a l k+1 si l o adopte la covetio commode a +1 a 1, a +2 a 2 et plus gééralemet pour tout etier relatif k, a +k a k Avec cette covetio d écriture, le coefficiet lige k, coloe l de PA vaut u1 ω (k 1)(u 1) a l u+1 l vl +1 Puis o réordoe cette somme pour qu elle commece par a 1 ω (k 1)(l v) a v l vl +1 ω (k 1)(l v) a v l v1 l v1 l v1 ω (k 1)(l v) a v + ω (k 1)(l v) a v + ω (k 1)(l v) a v + 0 vl +1 wl+1 wl+1 ω (k 1)(l v) a v ω (k 1)(l w+) a w+ (e posat w v + ) ω (k 1)(l w) a w v1ω (k 1)(l v) a v ω (k 1)(l 1) ω (k 1)(1 v) a v v1 (le poit clé du calcul précédet est que les suites (a k ) et (ω k ) ot la même période ce qui s est traduit par ω (k 1)(l w+) a w+ ω (k 1)(l v) a v ) Pour k élémet de [[1,]], posos alors S k v1 ω(k 1)(1 v) a v O a motré que PA (ω (k 1)(l 1) S k ) 1 k,l Par liéarité par rapport à chaque coloe, o a alors det(pa) det(ω (k 1)(l 1) S k ) 1 k,l ( k1 S k) det(ω (k 1)(l 1) ) 1 k,l ( k1 S k) detp Doc (detp)(deta) ( k1 S k)detp et fialemet, puisque detp 0, deta k1 ( v1 ω (k 1)(1 v) a v ) Par exemple, pour 3, deta (a 1 + a 2 + a 3 )(a 1 + ja 2 + j 2 a 3 )(a 1 + j 2 a 2 + ja 3 ) Correctio de l exercice 11 O a toujours A t coma (deta)i et doc (deta)(det(coma)) (deta)(det( t coma)) det(deta I ) (deta) Si deta 0, o obtiet det(coma) (deta) 1 Si deta 0, alors A t coma 0 et coma est pas iversible car sio, A 0 puis coma 0 ce qui est absurde Doc, det(coma) 0 Aisi, das tous les cas, A M (C), det(coma) (deta) 1 10

11 Si rga, alors coma GL (K) (car det(coma) 0) et rg(coma) Si rga 2, alors tous les mieurs de format 1 sot uls et coma 0 Das ce cas, rg(coma) 0 Si rga 1, il existe u mieur de format 1 o ul et coma 0 Das ce cas, 1 rg(coma) 1 Plus précisémet, A t coma 0 coma t A 0 Im( t A) Ker(comA) dim(ker(coma)) rg( t A) rga 1 rg(coma) 1, et fialemet si rga 1, rg(coma) 1 Correctio de l exercice 12 ( ) ) (deta) ε(σ)a σ(1),1 a σ(2),2 a σ(), ε(σ)( a σ(1),1 a σ(k),k a σ(), σ S σ S k1 k1 σ S ε(σ)a σ(1),1 a σ(k),k a σ(), k1 det(c 1,,C k,,c ) Applicatios x x Soit (x) est u polyôme dot la dérivée est d après ce qui x + 1 précède, k1 δ k où δ k est le détermiat déduit de e remplaçat sa k-ème coloe par le k-ème vecteur de la base caoique de M,1 (K) E développat δ k par rapport à sa k-ème coloe, o obtiet δ k 1 et doc 1 Esuite, o a déjà 1 X + 1 puis 2 (X + 1) 2 1 X 2 + 2X Motros par récurrece que pour 1, X + X 1 C est vrai pour 1 puis, si pour 1, X + X 1 alors +1 ( + 1)X + ( + 1)X 1 et, par itégratio, +1 X +1 + ( + 1)X + +1 (0) Mais, puisque 1, o a +1 2 et +1 (0) est u détermiat ayat au mois deux coloes idetiques Par suite, +1 (0) 0 ce qui motre que +1 X +1 + ( + 1)X Le résultat est démotré par récurrece N, x + x 1 x + a 1 x x x x + a 2 2 Soit (x) det(a 1 e 1 + xc,,a e + xc) où e k est le k-ème x x x x + a vecteur de la base caoique de M,1 (K) et C est la coloe dot toutes les composates sot égales à 1 Par liéarité par rapport à chaque coloe, est somme de 2 détermiats mais dès que C apparait deux fois, le détermiat correspodat est ul Doc, det(a 1 e 1,,a e ) + det(a 1 e 1,,xC,,a e ) Ceci motre que est u polyôme de degré iférieur ou égal à 1 La formule de TAYLOR fourit alors : (0)+X (0) Immédiatemet, (0) k1 a k σ puis (0) k1 det(a 1e 1,,C,,a e ) k1 i k a i σ 1 Doc, σ + Xσ 1 Correctio de l exercice 13 1 Pour le premier détermiat, o retrache la première coloe à chacue des autres et o obtiet u détermiat triagulaire iférieur dot la valeur est ( 1) 1 Pour le deuxième, o ajoute à la première coloe la somme de toutes les autres, puis o met ( 1) e facteurs de la première coloe et o tombe sur le premier détermiat Le deuxième détermiat vaut doc ( 1) 1 ( 1) 11

12 2 Pour (i, j) élémet de [[1,]] 2, (i + j 1) 2 j 2 + 2(i 1) j + (i 1) 2 Doc, 3 j {1,,}, C j j 2 (1) 1 i + 2 j(i 1) 1 i + ((i 1) 2 ) 1 i Les coloes de la matrice sot doc élémets de Vect((1) 1 i,(i 1) 1 i,((i 1)2) 1 i ) qui est de dimesio iférieure ou égale à 3 et la matrice proposée est de rag ifèrieur ou égal à 3 Doc, si 4, 0 Il reste esuite à calculer 1 1 puis puis ( ) 4( ) + 9(64 81) b b 1 a det(c 1,,C ) det(c 1 + +C,C 2,,C ) (a + ( 1)b) b, b 1 b b a par liéarité par rapport à la première coloe Puis, aux liges uméros 2,,, o retrache la première lige pour obteir : 1 b b 0 a b 0 0 (a + ( 1)b) 0 (a + ( 1)b)(a b) a b 4 Par liéarité, D est somme de 2 détermiats Mais das cette somme, u détermiat est ul dès qu il cotiet au mois deux coloes de x Aisi, e posat det(c 1 +xc,,c +xc) où C k et C (1) 1 i, o obtiet : det(c 1,,C ) + k1 det(c 1,,C k 1,xC,C k+1,,c ), a 1 a k 1 b a k+1 ce qui motre que est u polyôme de degré ifèrieur ou égal à 1 Posos AX + B et P k1 (a k X) Quad x b ou x c, le détermiat proposé est triagulaire et se calcule { doc immédiatemet Doc : 1er cas Si b c ( b) P(b) et ( c) P(c) fourit le système ba + B P(b) ca + B P(c) et doc A P(c) P(b) c b et B cp(b) bp(c) c b Aisi, si b c, P(c) P(b) c b x + cp(b) bp(c) c b où P k1 (a k X) 2ème cas Si b c, l expressio obteue e fixat x et b est clairemet ue foctio cotiue de c car polyômiale e c O obtiet doc la valeur de quad b c e faisat tedre c vers b das l expressio déjà coue de pour b c Maiteat, quad b ted vers c, P(c) P(b) c b ted vers P (b) et ted vers bp (b) + P(b) cp(b) bp(c) c b c(p(b) P(c)) + (c b)p(c), c b 12 a

13 si b c, xp (b) + P(b) bp (b) où P k1 (a k X) et Puis, pour 4, o obtiet e développat suivat la première coloe : D où, pour 4, et la suite ( 1 ) 3 est costate Par suite, pour 3, et doc la suite ( ) 2 est arithmétique de raiso 1 O e déduit que, pour 2, 2 +( 2) 1 +1 (o pouvait aussi résoudre l équatio caractéristique de la récurrece double) 2,

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