4 Approximation des fonctions

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1 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour t I. Ces valeurs sot e ombre ifii et il est doc pas possible e pratique de les mettre e mémoire sur u ordiateur. O peut alors chercher à remplacer f par ue foctio g plus simple qui est proche de f et déped d u ombre fii de paramètres que l o peut aisi mettre e mémoire. U exemple cosiste à choisir g das l esemble des polyômes de degré 1 : o peut alors caractériser g par ses coefficiets. Plus gééralemet, o peut chercher à approcher f par ue foctio g apparteat à u espace de foctios E de dimesio. O peut efi chercher à approcher f à partir de la doée de ses valeurs e poits x 1, x,, x. Ituitivemet, o approche de mieux e mieux f lorsque la quatité d iformatio augmete. La théorie de l approximatio étudie de faço rigoureuse le compromis etre la complexité doée par le ombre de paramètres et la précisio que l o peut obteir etre f et g. Elle s itéresse aussi à la maière dot o costruit e pratique l approximatio g à partir de f. Das ce chapitre, o s itéresse pricipalemet à l approximatio des foctios par des polyômes, après avoir fait quelques rappels sur les séries trigoométriques. O termie par l approximatio polyômiale par morceaux qui est la plus souvet utilisée e pratique. O cosidère ici uiquemet l approximatio de foctios d ue seule variable réelle, la gééralisatio à l approximatio des foctios à plusieurs variables dépassat le cadre de ce cours. Afi de mesurer la distace etre deux foctios défiies sur u itervalle I, o itroduit la orme dite L ou orme sup sur I : si f est défiie sur I et à valeur das IK = IR ou C, o pose f = f := sup f(x). x I Cette orme est aussi appelée orme de la covergece uiforme : e effet ue suite de foctios f coverge uiformémet vers f sur I si et seulemet si lim + f f = 0. O rappelle que l espace C(I) des foctios cotiues sur I est complet pour cette orme. L erreur de meilleure approximatio d ue foctio f das u espace de foctios E est défiie par la quatité if g E f g, et décrit la qualité de l approximatio de f par les élémets de E. O s itéresse e particulier à la décroissace de cette erreur lorsque augmete. 4.1 Approximatio par les séries trigoométriques Commecos par quelques rappels sur les séries trigoométriques, qui sot aussi appelée séries de Fourier. Il s agit de séries de foctios de la forme si(kx), que l o peut aussi mettre sous la forme k 0 a k cos(kx) + k>0 b k c k e ikx, k ZZ e posat c 0 = a 0 et c ±k = 1 (a k ib k ) pour k > 0. Lorsque ces séries coverget, leurs limites sot des foctios de période π, puisque chacu de leurs termes possèdet cette propriété. O appelle polyôme trigoométrique de degré ue foctio du type g(x) = c k e ikx = a k cos(kx) + si(kx). k 0 k 0<k L esemble T des polyômes trigoométriques de degré est doc l espace vectoriel egedré par les foctios e k : x e ikx pour k. O peut motrer que ces foctios sot idépedates : o part de la remarque que π e k (x)e l (x)dx = π e i(k l)x dx = π si k = l et 0 si k = l. 39 b k

2 Par coséquet, si k c ke k = 0, o a 0 = π ( c k e k (x))e l (x)dx = c l. k L espace T est doc de dimesio + 1. Le problème fodametal de la représetatio d ue foctio arbitraire π-périodique sous la forme d ue série de Fourier est u problème d approximatio : chercher à écrire f sous la forme d ue série uiformémet covergete f(x) = k ZZ c k e k (x), sigifie que l o cherche à approcher f par la suite de polyômes trigoométriques k c ke k T. Si ue telle covergece est vérifiée, alors e multipliat l idetité ci-dessus par e l (x) et e itégrat sur [, π], o trouve que le coefficiet c l déped de f suivat la forme c l = 1 π f(x)e ilx dx. π Les c l sot souvet otés c l (f) et appelés coefficiets de Fourier de f. Le polyôme trigoométrique S f(x) = c k (f)e k (x), k est appelé somme partielle de Fourier de f. Nous rappelos ue versio simple du théorème de Dirichlet qui doe ue coditio suffisate pour la covergece simple de S f vers f. Théorème (de Dirichlet). Soit f ue foctio π périodique et cotiue, telle qu e u poit x il existe ue dérivée à gauche et à droite. Alors lim S f(x) = f(x). + Le théorème de Dirichlet est pas satisfaisat du poit de vue umérique car il e doe aucue estimatio sur la faço dot l erreur f S f décroit e foctio de (ici désige la orme sup sur IR, qui coïcide avec celle sur [, π] puisque l o cosidère des foctios π-périodiques). Il est possible d obteir de telles estimatios si o fait des hypothèses supplémetaires portat sur la régularité de f. E effet, si f est ue foctio π périodique de classe C 1 sur IR, ue itégratio par partie permet d obteir et par coséquet c k (f) = 1 π π f(x)e ikx dx = 1 πik π c k (f) 1 π f (x) dx. π k f (x)e ikx dx = 1 ik c k(f ), Notos que cette estimatio reste valide pour des foctios dot la dérivée est pas écessairemet cotiue mais de valeur absolue itégrable sur [, π] (au ses où f est la primitive d ue foctio de valeur absolue itégrable). E itérat l itégratio par partie si f est suffisammet régulière, o trouve c k (f) = 1 (ik) m+1 c k(f (m+1) ), et par coséquet c k (f) 1 π π k m+1 f (m+1) (x) dx. 40

3 Si m 1, o e déduit l estimatio f S f = k > c k(f)e k k > c k(f)e k = k > c k(f) π f (m+1) (x) dx π k> k (m+1) π f (m+1) (x) dx mπ m, où l o a utilisé l estimatio k> k (m+1) + suivat. t (m+1) dt m m. O a doc prouvé le résultat Théorème 4.1. Soit m 1 et f ue foctio π périodique de classe C m telle que f (m+1) est itégrable sur [, π]. O a alors l estimatio f S f C m, avec C := π f (m+1) (x) dx mπ. Lorsque f est seulemet supposée cotiue sur IR, le théorème de Dirichlet e permet pas d affirmer que S f coverge uiformémet vers f. O sait e fait depuis le XIXème siècle que l o peut trouver des foctios f cotiues sur IR et π-périodiques telles qu e certais poits x IR la série de Fourier S f(x) diverge quad +. Il est cepedat possible d approcher les foctios cotiues par des polyômes trigoométriques qui diffèret de S f. Ue première approche cosiste à utiliser les moyees de Césaro des sommes partielles de Fourier, F f(x) = 1 S k f(x), + 1 qui sot aussi appelées sommes de Fejer. O remarque que F f T et que l o a avec F f(x) = k l= k π ( φ (z) := f(y)e iky dy)e ikx = l= k k e iz, π f(y)φ (x y)dy, La foctio φ qui est u polyôme trigoométrique de degré est appelée oyau de Fejer. O remarque que l o peut factoriser φ suivat φ (z) = (1 + eiz + e iz + + e iz )(1 + e iz + e iz + + e iz ) = 1 1 e i(+1)z 1 e i(+1)z e iz 1 e iz = 1 si (+1)z + 1 si ( z ). O voit aisi que le oyau de Fejer est positif et possède les propriétés suivates : π φ (z)dz = 1, et pour tout α > 0 et ε > 0 il existe 0 tel que pour tout 0 o a Ceci permet de motrer le résultat suivat. φ (z) ε, α z π 41

4 Théorème Pour toute foctio f cotiue et π-périodique, F f coverge uiformémet vers f lorsque teds vers +. Preuve : La foctio f état périodique, elle est uiformémet cotiue. Pour ε > 0, o fixe α tel que pour tout z h α f(x) f(x z) ε/, et o écrit esuite f(x) F f(x) = π (f(x) f(y))φ (x y)dy = π (f(x) f(x z))φ (z)dz, où o a utilisé π φ = 1, u chagemet de variable et la périodicité. Il viet que f(x) F f(x) f(x) f(x z)) φ (z)dz + f(x) f(x z)) φ (z)dz. z α α z π Le premier terme est iférieur à ε/, et le secod à f α z π φ (z)dz et par coséquet iférieur à ε/ pour suffisamet grad, ce qui prouve que f F f ε, pour suffisamet grad, autremet dit F f coverge uiformémet vers f. Il est possible d autres procédés d approximatio par des polyômes trigoométriques qui permettet de quatifier plus précisémet l erreur d approximatio. Ces procédés ot ue forme géérale A f(x) = π f(y)ψ (x y)dy, similaire aux sommes de Fejer, où ψ est ue foctio choisie das T ce qui etraîe que A f T. La foctio ψ est appelée oyau de sommabilité. Il est possible (exercice difficile) de mettre au poit, pour u etier m > 0 arbitraire que l o s est fixé, la foctio ψ de faço à ce qu elle vérifie les propriétés suivates : π ψ (z)dz = 1 et et il existe ue costate K m telle que π π z k ψ (z) = 0, k = 1,..., m 1, z m ψ (z) dz K m m, 0. O pourra à titre d exemple vérifier que la foctio ψ (z) = α (φ (z)) avec la partie etière de / et α = ( π (φ (z)) dz) 1 est u choix possible pour la valeur m =. E raisoat comme das la preuve la preuve du Theorème 4.1.3, o peut écrire f(x) A f(x) = π (f(x) f(x z))ψ (z)dz. Si f est ue foctio périodique et de classe C m sur IR o a u développemet de Taylor-Lagrage de la forme f(x) f(x z) = m 1 k=1 a k z k + r(z) où r(z) πm m! z m f (m) lorsque z [, π]. O e déduit que π π f(x) A f(x) = r(z)ψ (z)dz πm m! f (m) z m ψ (z) dz C m f (m) m, π où C m = K m m m!. E résumé, o a obteu le résultat suivat. 4

5 Théorème Si f est π-périodique, de classe C m o a if g T f g C m f (m) m. Par comparaiso au théorème 4.1., o ote que la coditio f C m est plus faible que f C m et f (m+1) itégrable, l idée pricipale restat que la vitesse de covergece du procédé d approximatio est liée à la régularité de la foctio f 4. Approximatio polyômiale O s itéresse à préset à l approximatio des foctios par des polyômes. O ote P := Vect{x x k ; k = 0, 1,, }, l espace des polyômes de degré. Approcher ue foctio f par u polyôme de degré est u procédé très classique e aalyse que l o recotre par exemple lorsque l o effectue fait u développemet limité de f e u poit x 0, f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + + f () (x 0 ) (x x 0 ) := p (x), avec p P.! L icovéiet du développemet de Taylor est que si o souhaite faire tedre so degré vers +, la covergece de la suite p vers la foctio f sur u itervalle [a, b] exige que celle-ci soit développable e série etière das u voisiage du poit x 0 coteat [a, b]. C est u hypothèse très forte puisqu elle etraie e particulier que f est de classe C sur cet itervalle. Il est doc légitime de rechercher d autres procédés d approximatio par des polyômes qui coverget lorsque la foctio f est mois régulière, par exemple simplemet cotiue. U résultat fodametal dû à Weierstrass affirme que toute foctio cotiue peut être approchée par ue suite de polyômes. Théorème 4..1 (de Weierstrass). Si f est cotiue sur I = [a, b], alors lim + if f g = 0. g P Autremet dit, il existe ue suite (f ) 0 de polyômes f P qui coverge uiformémet vers f. Preuve : O remarque qu o peut toujours se rameer au cas I = [ 1, 1] e utilisat le chagemet de variable affie φ(x) = a + 1 (b a)(x + 1) qui evoie [ 1, 1] sur [a, b]. E effet si f est cotiue sur [a, b] alors la foctio f φ est cotiue sur [ 1, 1]. Si o peut approcher f φ uiformémet sur [ 1, 1] par ue suite de polyômes g P, alors les foctios f = g φ 1 sot aussi das P puisque φ 1 est affie et elles approchet uiformémet f sur [a, b] : f f = max f(y) f (y) = max f(φ(x)) f (φ(x)) = f φ g. y [a,b] x [ 1,1] O suppose doc à préset que f est ue foctio cotiue sur I = [ 1, 1]. O effectue u ouveau chagemet de variable e posat pour tout t IR, F (t) = f(cos(t)). La foctio F est cotiue et π-périodique. D après le Théorème 4.1.3, il existe ue suite de polyômes trigoométrique F T qui coverge uiformémet vers F. O remarque qu il est toujours possible de supposer que F est de la forme F (t) = c k cos(kt). E effet, si ce est pas le cas, o remarque que puisque F (t) = F ( t), la suite des foctios t F ( t) coverge aussi uiformémet vers F, aisi que la suite t 1 (F (t) + F ( t)) qui a la forme souhaitée. 43

6 O remarque que les foctios cos(kt) peuvet s exprimer comme des polyômes de degré k e la variable cos(t) : il existe ue famille de polyômes à coefficiets réels T k P k, appelés polyômes de Tchebychev, tels que pour tout k 0 et t IR, cos(kt) = T k (cos(t)). Ceci est évidet pour les valeurs k = 0, 1, pour lesquelles o a T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x et T (x) = x 1. O peut esuite le motrer par récurrece e remarquat que ce qui coduit à la relatio cos(( + 1)t) + cos(( 1)t) = cos(t) cos(t), T +1 (x) = xt (x) T 1 (x), qui motre que T P. O peut par coséquet écrire F sous la forme F (t) = b k cos(t) k, et o défiit alors f P par O coclut e écrivat f (x) = b k x k. f f = max f(x) f (x) = max x [ 1,1] t IR f(cos(t)) f (cos(t)) = F F, ce qui motre que f coverge uiformémet vers f. E examiat la preuve du théorème de Weierstrass, o costate que si f est de classe C 1 sur [ 1, 1], alos F est aussi de classe C 1 sur IR avec F f. Par coséquet, e utilisat le Théorème pour la valeur m = 1, o obtiet O a aisi prouvé le résultat suivat. f f = F F C 1 M 1. Propositio 4..1 Si f est de classe C 1 sur [ 1, 1] o a if g P f g C 1 f 1. Par chagemet de variable affie, o obtiet les mêmes estimatios sur l itervalle [a, b], avec la costate C 1 multipliée par b a. Ce résultat se gééralise sous la forme suivate que l o admet. Théorème 4.. Si f est de classe C m sur [a, b], o a if g P f g C m f (m) m. où la costate C m deped de m et de b a et est idépedate de et f. Nous termios cette sectio e idiquat ue autre preuve du théorème de Weierstrass utilisat la famille des polyômes de Berstei. O se ramèe das ce cas par chagemet de variable affie à ue foctio f défiie sur I = [0, 1]. Pour ue telle foctio, o défiit le -ème polyôme de Berstei par où k :=! k!( k)!. B f(x) := k f x k (1 x) k, k 44

7 Théorème 4..3 Si f est cotiue sur [0, 1], o a lim + f B f = 0. Preuve : O ote e 0 (x) = 1, e 1 (x) = x et e (x) = x et o examie les polyômes de Berstei associés à ces trois foctios. Pour e 0, o a Pour e 1, o obtiet B e 0 (x) = B e 1 (x) = = = x x k (1 x) k = (x + 1 x) = 1. k k k 1 k=1 k 1 k=1 x k (1 x) k x k (1 x) k x k 1 (1 x) 1 (k 1) 1 k 1 = xb 1 e 0 (x) = x. Pour e, o obtiet par des cosidératios similaires B e (x) = ( k ) k x k (1 x) k = 1 k(k 1) ( 1) k x k (1 x) k + = 1 x B e 0 (x) xb e 0 (x) = 1 x + 1 x. Pour x [0, 1], o peut écrire k ( 1) k x k (1 x) k f(x) B f(x) = f(x) f( k ) k x k (1 x) k = f(x) f( k ) k x k (1 x) k. Pour δ > 0 fixé, o peut estimer la somme ci-dessus e distiguat l esemble E des k {0,, } tels que k x δ et so complémetaire F. E otat Σ E := k f(x) f x k (1 x) k, k k E et Σ F la somme similaire pour k F, o a doc f(x) B f(x) Σ E + Σ F. O estime le premier terme e écrivat Σ E (max k E f(x) f( k ) ) k E k x k (1 x) k max x y δ f(x) f(y) = ω(f, δ). Pour le secod terme, o peut écrire Σ F f k F f δ k F = f δ k x k (1 x) k x k k x k (1 x) k (x B e 0 (x) xb e 1 (x) + B e (x)) = f 1 δ (x x ) f δ. Comme ceci est valable pour tout x [0, 1], o a aisi obteu l estimatio f B f ω(f, δ) + f δ. Pour tout ε > 0, o peut choisir δ > 0 tel que ω(f, δ) ε/, puis 0 tel que f δ ε/ pour 0, ce qui etraîe f B f ε. O a aisi motré que B f coverge uiformémet vers f. 45

8 4.3 Iterpolatio polyômiale Nous étudios à préset u procédé permettat d obteir de faço simple ue approximatio d ue foctio f par ue foctio polyômiale. O se place ici sur u itervalle I et o se doe + 1 poits disticts sur cet itervalle : x 0 < x 1 < < x 1 < x. Etat doé u esemble de + 1 réels {y 0,, y }, o se pose la questio de l existece et de l uicité d u polyôme de degré dot le graphe passe par tous les poits (x i, y i ). Ceci est évidet das le cas = 1 : il existe ue uique droite passat par deux poits. Le résultat suivat motre que ceci est aussi vrai pour > 1. Théorème Pour tout esemble de réels {y 0,, y }, il existe u uique polyôme p P tel que p (x i ) = y i pour tout i = 0,,. Preuve : Ceci reviet à motrer que l applicatio L : P IR +1 qui à p P associe le vecteur de coordoées (p(x 0 ),, p(x )) est bijective. Cette applicatio est liéaire, et dim(p ) = dim(ir +1 ). Il suffit doc de démotrer qu elle est ijective, c est à dire que so oyau est réduit au polyôme ul. Or L(p) = 0 sigifie que p s aule aux + 1 poits disticts x 0,, x ce qui est possible que si p = 0 puisque c est u polyôme de degré. Remarque Ue autre faço de prouver l existece et l uicité de p est de l exprimer sous la forme p (x) = j=0 a jx j. Les équatios p (x i ) = y i pour i = 0,,, sot alors équivaletes au système ( + 1) ( + 1) V a = y où a et y sot les vecteurs de coordoées (a 0,, a ) et (y 0,, y ) et où V = (x j i ) i,j=0,, est la matrice de Vadermode associée aux poits x 0,, x. Comme ces poits sot disticts, o sait que V est iversible et il existe doc ue uique solutio. Le polyôme p est appelé polyôme d iterpolatio de Lagrage (ou iterpolat de Lagrage) des valeurs y 1,, y aux poits x 1,, x. O peut préciser sa forme e itroduisat les polyômes ( i ),,, défiis par j {1,,} {i} i (x) = (x x j) j {1,,} {i} (x i x j ) = x x j. x i x j j=i O ote que i est l uique polyôme de degré tel que i (x j ) = 0 si i = j et i (x i ) = 1. O peut alors écrire p (x) = y i i (x). Puisque p = 0 si et seulemet si tous les y i sot uls, la famille { 0,, } costitue ue base de P. Les foctios i sot parfois appelées foctios de base de Lagrage de degré pour les poits {x 0,, x }. Il pourra être utile pour l ituitio de tracer les graphes de ces foctios das les cas simples = 1 et =. Défiitio Si f est ue foctio défiie sur I, o appelle polyôme d iterpolatio de Lagrage de f aux poits x 0,, x, l uique p P tel que p (x i ) = f(x i ), pour i = 0,,. D après les remarques précèdetes, ce polyôme peut s écrire sous la forme p (x) := f(x i )(x), dite forme de Lagrage. O remarque aussi que f P si et seulemet si p = f. Il est possible d exprimer p sous ue forme différete dite forme de Newto. O défiit par récurrece les différeces divisées de f e posat pour tout les poits x 0 < < x, f[x i ] := f(x i ), 46

9 puis e défiissat les différeces d ordre 1 par les différeces d ordre par jusqu à la différece d ordre par f[x i, x i+1 ] = f[x i+1] f[x i ] x i+1 x i, f[x i, x i+1, x i+ ] = f[x i+1, x i+ ] f[x i, x i+1 ] x i+ x i, f[x 0,, x ] = f[x 1,, x ] f[x 0,, x 1 ] x x 0. Le calcul des différeces divisées se fait aisi de proche e proche par ordre croissat. Propositio Le polyôme d iterpolatio de Lagrage de f aux poits x 0,, x s écrire i 1 p (x) = f[x 0,, x i ] (x x j ). j=0 peut aussi Preuve : O procède par récurrece sur. Il est évidet que f[x 0 ] = f(x 0 ) est le polyôme (costat) d iterpolatio de Lagrage de f au poit x 0, et de même que f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) est le polyôme affie d iterpolatio de Lagrage aux poits x 0 et x 1. O suppose la propositio vérifiée à l ordre 1. O remarque que p p 1 est u polyôme de degré qui s aule aux poits x 0,, x 1 et par coséquet il existe τ IR tel que 1 1 i 1 p (x) = p 1 (x) + τ (x x j ) = f[x 0,, x i ] (x x j ) + τ j=0 j=0 1 (x x j ). Il reste à motrer que τ = f[x 0,, x ]. Pour cela o remarque que τ est le coefficiet de x das le polyôme d iterpolatio de Lagrage p, et o motre par récurrece que ce coefficiet est égal à f[x 0,, x ]. C est évidet pour = 0 et = 1. E supposat cela vrai à l ordre 1, o pose q (x) = (x x 0)r 1 (x) (x x )p 1 (x) x x 0, où r 1 est le polyôme d iterpolatio de f pour les poits x 1,, x. O voit aisi que q P et o vérifie aisémet que q (x i ) = f(x i ), i = 0,,. Par coséquet q = p. D après l hypothèse de récurrece, le coefficiet de x 1 das r 1 et p 1 est respectivemet f[x 1,, x ] et f[x 0,, x 1 ]. Par coséquet, le coefficiet de x das p est doé par f[x 1,, x ] f[x 0,, x 1 ] x x 0 = f[x 0,, x ], ce qui coclut la preuve. Remarque 4.3. A partir du fait que f[x, y] = f[y, x], o peut établir que la différece divisée f[x 0,, x ] est ivariate par permutatio des idices : f[x 0,, x ] = f[x ϕ(0),, x ϕ() ], pour toute bijectio ϕ de {0,, } das lui-même. E particulier la forme de Newto exige pas que les x i soiet ragés par ordre croissat. j=0 47

10 Il existe u autre procédé d iterpolatio dû à Hermite et qui fait iterveir les valeurs de f aisi que de ses dérivées. O se doe ici deux poits a < b et o part du résultat suivat. Théorème 4.3. Pour tout esemble de réels {α 0,, α, β 0,, β }, il existe u uique polyôme q P +1 tel que q (i) (a) = α i et q (i) (b) = β i, i = 0,,. où l o a utilisé la covetio q (0) = q. Preuve : Comme das la preuve du Théorème 4.3.1, il suffit de motrer que l applicatio liéaire L : P +1 IR + qui a p P +1 associe le vecteur de coordoées (p(a),, p () (a), p(b),, p () (b)) est ijective. Or si ce vecteur s aule, cela sigifie que p est de la forme p(x) = (x a) +1 (x b) +1 r(x), où r est u polyôme, ce qui est possible que si r = 0 puisque p P +1. Par coséquet p = 0. Défiitio 4.3. Soit f ue foctio de classe C sur u itervalle ouvert I et soit a < b deux poits de cet itervalle. O défiit le polyôme d iterpolatio de Hermite d ordre de f aux poits a et b comme l uique q +1 P +1 tel que q (i) +1 (a) = f (i) (a) et q (i) +1 (b) = f (i) (b), i = 0,,. Il est possible d exprimer l iterpolatio de Hermite à l aide de foctios de base sous la forme q +1 (x) = (f (i) (a) a,i (x) + f (i) (b) b,i (x)). A titre d exercice, o pourra chercher l expressio des foctios a,i et b,i lorsque = 1 ce qui correspod à ue iterpolatio par des polyômes de degré Estimatio de l erreur d iterpolatio Afi d étudier l erreur etre f et so polyôme d iterpolatio de Lagrage p aux poits x 0,, x, o doe tout d abord u résultat qui gééralise le théorème de Rolle. Lemme Soit f ue foctio de classe C sur u itervalle I et qui s aule e +1 poits disticts a 0 < < a coteus das cet itervalle. Alors il existe u poit z ]a 0, a [ tel que f () (z) = 0. Preuve : O procède par récurrece. Pour = 1 c est le théorème de Rolle. O suppose la propriété vraie à l ordre 1. Si f s aule e a 0,, a, alors f s aule e poits b 0,, b 1 avec a i < b i < a i+1. Par l hypothèse de récurrece, f () = (f ) ( 1) s aule e u poit z ]b 0, b 1 [ ]a 0, a [. Afi de décrire l erreur d iterpolatio o itroduit la foctio Π (x) = 1 ( + 1)! (x x i ). Théorème Soit f ue foctio de classe C +1 sur I et p so polyôme d iterpolatio de Lagrage e + 1 poits disticts x 0 < < x coteus das I, alors pour tout x I il existe y I qui déped de x, tel que f(x) p (x) = f (+1) (y)π (x). Le poit y est coteu das ] mi{x, x 0 }, max{x, x }[, c est à dire das ]x, x [ si x < x 0, das ]x 0, x[ si x > x, das ]x 0, x [ si x [x 0, x ]. 48

11 Preuve : Das le cas où x est égal à l u des x i, il y a rie à prouver puisque les deux membres de l égalité sot uls. O se fixe u x différet de tous les x i, ce qui etraîe Π (x) = 0. Par coséquet, il existe u ombre µ IR (qui déped de x) tel que f(x) p (x) = µπ (x). La foctio g(t) = f(t) p (t) µπ (t) s aule aux + poits disticts x 0,, x et x. Par coséquet, d après le Lemme il existe u poit y ] mi{x, x 0 }, max{x, x }[ (qui déped de x) tel que 0 = g (+1) (y) = f (+1) (y) p (+1) (y) µπ (+1) (y) = f (+1) (y) µ, et par coséquet µ = f (+1) (y) ce qui doe le résultat. Remarque Lorsque f est pas de classe C +1 mais seulemet cotiue, o peut établir la formule d erreur f(x) p (x) = f[x 0, x 1,, x, x] (x x i ) à partir de la forme de Newto du polyôme d iterpolatio, e remarquat qu au poit x la foctio f coïcide avec le polyôme d iterpolatio p +1 de f aux poits {x 0,, x, x}. Combiée au résultat précèdet, cette formule d erreur etraîe la propriété suivate : si f est de classe C, alors pour tout esemble de poits {y 0,, y } il existe y ] mi x i, max x i [ tel que f[y 0,, y ] = f () (y).! A partir du Théorème o peut estimer l erreur d iterpolatio sur u itervalle [a, b] qui cotiet [x 0, x ]. Ue première coséquece est l estimatio e orme sup sur [a, b]. O peut estimer la orme sup de Π e écrivat Ceci etraie l estimatio f p f (+1) Π Π = 1 (+1)! max x [a,b] x x i 1 (+1)! (b a)+1. f p 1 ( + 1)! f (+1) (b a) +1. Cette estimatio peut être améliorée pour des choix particuliers des poits d iterpolatio. Par exemple, das le cas de poits a = x 0 < < x équidistats c est à dire x i = a + i (b a), il est facile d établir que x x i!(b a)+1, ce qui coduit à l estimatio +1 f p 1 + f (+1) (b a) +1, asymptotiquemet meilleure que la précèdete quad +. Ces estimatios ous permettet d établir u premier résultat sur la covergece de l iterpolat de Lagrage p vers f lorsque +, das le cas où f est très régulière au ses où elle admet u développemet e série etière coverget sur l itervalle [a, b]. Théorème 4.4. Soit f ue foctio qui admet u développemet e série etière au poit a+b de rayo de covergece R > 3 (b a). Alors la suite p coverge uiformémet vers f sur [a, b]. 49

12 Preuve : D après l hypothèse sur f, pour tout 0 < r < R, la série k 0 1 k! f (k) ( a + b ) rk, est covergete. E otat C(r) sa somme, o a e particulier, f (k) ( a + b ) C(r)k!r k. Comme o a supposé R > 3 b a (b a), o peut choisir r das l itervalle [, R[. Pour tout x [a, b], o peut dériver terme à terme la série etière f(x) = k 0 E posat u := x a+b, o obtiet après dérivatios f () (x) = k 0 1 k! f (k) ( a + b )(x a + b )k. 1 k! f (k) ( a + b ) d du (uk ) Lorsque 0 u a+b d, o a du (u k ) 0 et o peut doc écrire f () (x) k 0 1 k! f (k) ( a+b d ) du (u k ) C(r) d k 0 r k du (u k ) = C(r) d du k 0 ( u r )k = C(r) d r du r u = C(r)!r (r u) +1 C(r)!r r b a (+1) Lorsque a+b u 0, o fait le même calcul e posat v = u et e dérivat par rapport à v, et o aboutit aussi à l estimatio f () (x) C(r)!r r b a (+1). O a par coséquet f (+1) C(r)( + 1)!r r b a (+1), ce qui combié à l estimatio f p 1 (+1)! f (+1) (b a) +1, coduit à f p rc(r)ρ +1 avec ρ := b a r b a Lorsque R > 3 (b a), il est possible de choisir r < R tel que 0 < ρ < 1, ce qui etraie la covergece uiforme. Remarque 4.4. Das le cas où les poits x i sot équidistats avec x 0 = a et x = b, o peut utiliser l estimatio f p 1 f (+1) (b a) +1 afi d obteir le résultat du théorème ci-dessus sous la + coditio plus faible R > ( e )(b a) (idicatio : utiliser la formule de Stirlig qui doe u équivalet de! quad + ). La preuve du Théorème 4.4. ous idique que la covergece de p vers f est très rapide, puisque f p Cρ +1 avec 0 < ρ < 1, mais ceci est au prix d hypothèses très fortes sur f qui est supposée développable e série etière sur u itervalle ] a+b R, a+b + R[ coteat [a, b] avec R suffisammet grad, et e particulier C sur cet itervalle. Lorsque de telles hypothèses e sot pas satisfaites, la 50

13 covergece de p vers f est plus garatie, et elle demade u exame approfodi faisat iterveir le choix des poits d iterpolatio x i das l itervalle [a, b]. Le choix le plus aturel cosiste à predre des poits équidistats, mais das ce cas il est possible de mettre e évidece des problèmes de covergece même pour des foctios très régulières : il existe des foctios f développables e série etières sur u itervalle coteat [a, b] mais telles que p e coverge pas vers f. C est le phéomèe de Ruge que l o peut illustrer umériquemet sur sur [a, b] = [ 1, 1] e cosidérat la foctio f(x) = (x + α) 1 avec α > 0 : lorsque α est suffisamet petit, o costate la divergece de la suite p lorsque + qui se traduit e particulier par des oscillatios au voisiage des extrémités de l itervalle. Le choix des poits d iterpolatio joue aussi u rôle importat das l étude de la stabilité umérique du procédé d iterpolatio qui est l objet de la sectio suivate. Cette étude coduit à proposer d autres choix que celui des poits équidistats, et qui doet de meilleurs résultats de covergece. 4.5 Stabilité Etat doé u choix de poits a x 0 < < x b, désigos par I l opérateur qui à ue foctio f cotiue sur [a, b] associe so polyôme d iterpolatio p de degré aux poits x 0,, x. O dit que I est l opérateur d iterpolatio aux poits x 0,, x. O a doc I : C([a, b]) P, I f(x) = p (x) = f(x i ) i (x), où les i sot les foctios de bases de Lagrage aux poits x 0,, x. Il est immédiat de vérifier que P est ue applicatio liéaire c est à dire u élémet de L(C([a, b]), P ). O appelle costate de Lebesgue du procédé d iterpolatio de Lagrage aux poits x 0,, x la orme de l opérateur I subordoée à la orme sup sur [a, b], c est à dire Λ = I f sup I f = sup f C([a,b]), f 1 f C([a,b]), f=0 f, où f := sup x [a,b] f(x). La costate de Lebesgue joue u rôle cetrale das l étude de la stabilité du procédé d iterpolatio puisque pour toute paire de foctios f et g o a I f I g Λ f g Ceci sigifie que si o fait ue erreur de orme ε > 0 sur la foctio f, il e résulte ue erreur de orme au plus Λ ε sur so polyôme d iterpolatio. Remarque Il est facile de vérifier que la costate de Lebesgue peut aussi être défiie comme la orme de l applicatio liéaire qui à u vecteur y = (y 0,, y ) associe le polyôme d iterpolatio aux poits (x i, y i ), c est-à-dire J : IR +1 P, J y = y i i (x). Plus précisémet, o a Λ = J y sup J y = sup. y IR +1, y 1 y IR y +1, y=0 Ceci sigifie que si o commet ue erreur de ε sur les doées y i, il e résulte ue erreur de orme au plus Λ ε sur le polyôme d iterpolatio. La costate de Lebesgue joue aussi u rôle importat das l étude de l erreur etre f et so polyôme d iterpolatio, comme le motre le résultat suivat. Théorème Pour tout f C([a, b]), o a f I f (1 + Λ ) if g P f g 51

14 Preuve : Pour tout g P, o peut écrire f I f f g + I f g = f g + I f I g (1 + Λ )f g, où o a utilisé le fait que I g = g. Comme g est arbitraire o obtiet le résultat aocé. E combiat ce résultat avec ceux qui décrivet l erreur de meilleure approximatio par des polyômes, o obtiet des estimatios sur l erreur d iterpolatio. Par exemple, e utilisat le Théorème 4.., o obtiet le résultat suivat. Corollaire Si f est de classe C m sur [a, b], alors f I f C m f (m) (1 + Λ ) m. où la costate C m deped de m et de b a et est idépedate de et f. Pour préciser ces estimatios, il est importat de compredre si la costate de Lebesgue augmete lorsque +, et si sa croissace peut compeser le facteur de décroissace m. Doos d abord u moye de calcul de Λ. Propositio O a Λ = max x [a,b] où les i sot les foctios de base de Lagrage. Preuve : Pour tout x [a, b], o a ce qui etraie i (x) = i I f(x) = f(x i ) i (x) max f(x i) i (x) f i,,, I f f i, et par coséquet Λ i. Pour démotrer l iégalité iverse, o cosidère le poit x tel que i (x ) = max x [a,b] i (x) = i et o pose y i = 1 si i (x ) > 0 et 1 sio. Il est facile de costruire ue foctio f telle que f(x i ) = y i et f = 1 (o pred par exemple f cotiue et affie sur chaque itervalle [x i, x i+1 ] avec les valeurs prescrites aux poits x i ). Pour cette foctio, o a et par coséquet Λ I f I f(x ) = y i i (x ) =, i (x ) = i i. Cosidéros à preset le cas particulier où les poits x i sot équidistats avec x i = a + i (b a). Le résultat suivat ous motre que la costate de Lebesgue croît expoetiellemet lorsque augmete. Propositio 4.5. Pour les poits équidistats o a Λ 4., 5

15 Preuve : Tout x [a, b] peut s écrire x = a + s (b a) avec s [0, ] et o a i (x) = j=i x x j = s j x i x j i j. j=i Au poit x = a + 1 (b a) qui correspod à s = 1 o a Et par coséquet i (x ) = j=i 1 j i!( i)! j {,,} {i} (j 1) 4i!( i)!! 4 i!( i)! = 1 4 i i (x ) 4, ce qui etraie le résultat puisque Λ i(x ). Remarque 4.5. O peut aussi majorer Λ e remarquat que pour tout s [k, k + 1] o a s j (k + 1)!( k)! i j i!( i)! i ce qui coduit à Λ. j=i O voit aisi que le choix de poits équidistats coduit à des problèmes de stabilité umérique lorsque est grad. D autre part, la croissace expoetielle de Λ est plus forte que toute décroissace e m, et par coséquet les estimatios telles que celles du Corollaire e se traduiset par aucue propriété de covergece. U meilleur choix est celui des poits de Tchebychev. Lorsque l o travaille sur l itervalle [ 1, 1] ces poits sot doés par (i + 1)π u i = cos, i = 0,,. + O remarquera que la répartitio de ces poits est plus dese au voisiage des extrémités de l itervalle. O ote aussi que ce sot exactemet les + 1 racies du polyôme de Tchebychev T +1 P +1 qui a été itroduit das la preuve du théorème de Weierstrass. Das le cas d u itervalle [a, b] quelcoque, o défiit les poits de Tchebychev e trasportat les poits défiis sur [ 1, 1] par l applicatio affie t x = a+b u. O pose doc + b a x i = a + b + b a u i = a + b + b a cos. (i + 1)π +, i = 0,,. Le résultat suivat ous motre que la costate de Lebesgue a ue croissace logarithmique lorsque l o utilise les poits de Tchebychev. Propositio Pour les poits de Tchebychev o a Λ C log() pour tout > 1, où C est ue costate idépedate de. Preuve : Tout x [a, b] peut s écrire x = a+b i (x) = j=i + b a u avec u [ 1, 1]. O a x x j = u u j. x i x j u i u j j=i E remarquat que T +1 (u) = c j=0 (u u j) avec c IR o e déduit i (x) = T +1 (u) (u u i )T +1 (u i). 53

16 E dérivat la relatio T +1 (cos(t)) = cos(( + 1)t), o voit que si(t)t +1(cos(t)) = ( + 1) si(( + 1)t). Tout u [ 1, 1] peut s écrire u = cos(t) avec t [0, π], et e particulier u i = cos(t i ) avec t i = (i+1)π +. O a doc i (x) = cos(( + 1)t) si(t i ) ( + 1)(cos(t) cos(t i )) si(( + 1)t i ) = cos(( + 1)t) si(t i ) ( 1)i ( + 1)(cos(t) cos(t i )), où o a utilisé le fait que si(( + 1)t i ) = si((i + 1 )π) = ( 1)i. O remarque à préset que t + ti t ti cos(t) cos(t i ) = si si. O remarque que puisque t ti π o a D autre part, o peut écrire si t ti si t+t i π t t i. t mi{si i t, si i+π t = mi{si i t, cos i } t si i t cos i = 1 si(t i). E combiat ces remarques avec l expressio obteue pour i (x), o obtiet i (x) π cos(( + 1)t). ( + 1) t t i Soit t j le poit de Tchebychev le plus proche de t. Pour i = j 1, j, j + 1, o a t t i π +1 ( j i 1) et o peut doc écrire π i (x) ( + 1) t t i 1 i j 1. Pour i = j 1, j, j + 1, o a e utilisat le théorème des accroissemets fiis, et par coséquet cos(( + 1)t) = cos(( + 1)t) cos(( + 1)t i ) ( + 1) t t i, Ces deux estimatios coduiset fialemet à i (x) 3π + i=1 i=j 1,j,j+1 i (x) π. 1 1 i j 1 3π + k=1 } 1 3π + + log(). k O peut trouver ue costate C telle que 3π + log() C log pour tout > 1 ce qui coduit au résultat aocé. U corollaire immédiat de ce résultat motre que l erreur pour l approximatio par l iterpolatio aux poits de Tchebychev décroit presque à la même vitesse que l erreur de meilleure approximatio par les polyômes. Corollaire 4.5. Si f est de classe C m 1 sur [a, b] et si f (m 1) est M-Lipschitziee, alors pour I l opérateur d iterpolatio avec les poits de Tchebychev, o a f I f C m M m log(), où la costate C m deped de m et de b a et est idépedate de et f. E particulier si f est de classe C m o a f I f C m f (m) m log(). 54

17 4.6 Approximatio des moidres carrés Das le procédé d iterpolatio, o a besoi des valeurs de f e + 1 poits pour costruire u polyôme de degré. Si l o dispose des valeurs de f e m + 1 poits x 0 < < x m avec m >, o peut chercher à costruire u polyôme de degré qui approche f par u autre procédé. Plus précisémet, état doé u vecteur y de m+1 coordoées y 0,, y m, o défiit le polyôme des moidres carrés de degré aux poits x 0,, x m comme le polyôme q P qui miimise la quatité m q(x i ) y i, parmis tous les polyômes q P. Das le cas où les y i sot les valeurs d ue foctio f aux poits x i, o dit que q est l approximatio des moidres carrés de degré de f aux poits x 0,, x m, qui miimise doc la quatité m q(x i ) f(x i ). Si l o écrit q (x) = a kx k, alors o voit que la recherche de q est équivalete à celle du vecteur a de coordoées a 0,, a qui miimise la orme euclidiee V a y où V est ue matrice (m + 1) ( + 1) dot les coefficiets sot doés par v i,j = x j i. Il s agit doc de la méthode des moidres carrés déjà abordée das la sectio 1.5. O sait qu il existe toujours ue solutio et que celle-ci est uique lorsque V est ijective. C est le cas ici puisque V a = 0 équivaut à l aulatio du polyôme a kx k aux poits x 0,, x m, ce qui est possible que si ce polyôme est ul, i.e. a = 0, puisque m. Les équatios ormales qui caractériset a sot doées par le système ( + 1) ( + 1) V t V a = V t y, avec m m V t V = ( x i+j k ) i,j=0,, et V t y = ( x j k y k) j=0,,. Das le cas = 0, o trouve aisi que la solutio costate du problème des moidres carrés q 0 (x) = a 0 est doée par la moyee des valeurs y k : a 0 = 1 m + 1 m y k. Das le cas = 1, la solutio affie q 1 (x) = a 0 + a 1 x est appelée e statistiques droite de régressio pour les poits {(x i, y i ), i = 1,, }, et ses coefficiets se calculet simplemet à partir des valeurs x k et y k e résolvat u système. U autre type d approximatio des moidres carrés pour ue foctio f cotiue sur u itervalle [a, b] est obteu e cherchat à miimiser la quatité b a f(x) q(x) dx, parmis tous les polyômes q P. Ce procédé est ituitivemet lié au précèdet e remarquat que si o choisi des poits a = x 0 < < x m = b équidistats, la quatité 1 m m f(x i ) q(x i ), 55

18 qui est miimisée par le polyôme des moidres carrés aux poits x 0,, x m est alors ue somme de Riema qui approche l itégrale ci-dessus lorsque le ombre de poits m augmete. Il est facile de voir que l o défiit ue orme sur C([a, b]) e posat b 1/. g := g(x) dx a Cette orme est appelée orme L sur l itervalle [a, b]. O remarque qu elle dérive du produit scalaire f, g := b a f(x)g(x)dx, au ses où g := g, g. O recherche doc le polyôme q P solutio de f q = mi q P f q. Afi de prouver l existece et l uicité du polyôme q, o itroduit la suite des polyômes de Legedre qui est défiie e appliquat le procédé d orthogoalisatio de Gramm-Schmidt aux foctios e k := x x k. Défiitio La suite des polyômes de Legedre orthoormés sur [a, b] est défiie par récurrece e posat L 0 = et e0 e 0 L = c est-à-dire L 0 (x) = (b a) 1/ et L (x) = e 1 e, L k L k e 1 e,, L k L k x 1 ( b a t L k (t)dt)l k (x) b a (t 1 ( b a s L k (s)ds)l k (t)) dt O déduit immédiatemet de cette défiitio que les polyômes de Legedre formet u esemble orthoormé au ses où L i, L j = 0 si i = j et L i, L i = L i = 1. La famille {L 0,, L } est ue base orthoormée de P, et il est aussi facile de vérifier que L est exactemet de degré. 1/. Propositio Le polyôme q qui miimise f q parmi tous les q P est doé par q := f, L k L k. C est la projectio orthogooale de f sur P qui est caractérisée par la propriété f q, q = 0 pour tout q P. Preuve : Si q est doé par la formule ci-dessus, o remarque que pour tout i = 0,,, o a f q, L i = f, L i f, L k L k, L i = f, L i f, L i = 0. Puisque tout q P peut s écrire comme ue combiaiso liéaire des L i o a bie la propriété Pour tout q P o a d autre part f q, q = 0. f q = f q + q q = f q + q q f q, puisque f q, q q = 0. 56

19 Remarque Il est possible de doer u ses à la projectio orthogoale de f sur P lorsque f est pas ue foctio cotiue : il suffit e effet que f soit itégrable sur [a, b] pour que les produits scalaires f, L k soiet bie défiis. La orme L sur [a, b] peut-être majorée par la orme sup sur [a, b] suivat g (b a) 1/ g, pour toute foctio g C([a, b]). O obtiet aisi pour l erreur de projectio orthogoale pour tout q P c est à dire f q (b a) 1/ f q, f q (b a) 1/ if f q. q P E combiat cette estimatio avec les résultats de meilleure approximatio polyômiale obteue das la sectio 4., o obtiet immédiatemet des résultats de covergece de q vers f. Propositio 4.6. Pour toute foctio f C([a, b]), l erreur de projectio orthogoale sur P vérifie Si f est de classe C m sur [a, b], o a lim + f q = 0. f q C m f (m) m. où la costate C m deped de m et de b a et est idépedate de et f. La covergece de q vers f sigifie que l o peut écrire f = k 0f, L k L k, au ses où la série coverge vers f e orme L. E ce ses, la famille {L k } k 0 costitue ue base orthoormée pour décrire les foctios cotiues sur [a, b]. E combiat le fait que f q ted vers 0 avec l égalité de Pythagore o obtiet l égalité dite de Parseval f = q + f q = f = + f, L + f q, f, L, qui est classique pour les bases orthoormée e dimesio fiie. U autre exemple de base orthoormée de foctios {f k } k ZZ est associé aux séries de Fourier dot la covergece peut s écrire f = k ZZf, f k f k, où, désige le produit scalaire L sur [, π] et f k (x) := (π) 1/ e ikx. Le cocept gééral de base orthoormée e dimesio ifiie peut-être redu plus rigoureux das le cadre des espaces de Hilbert qui est pas abordé das ce cours. Il est itéressat de remarquer qu ue base orthoormée telle que L est ue suite uiformémet borée e orme L puisque L = 1 mais que pour tout = m o a L L m = ce qui etraîe qu o e peut pas e extraire de sous-suite covergete. Ceci traduit le fait qu e dimesio ifiie u esemble fermé et boré est pas écessairemet compact. 57

20 Remarque 4.6. Les polyômes de Legedre sot plus usuellemet défiis sur l itervalle [a, b] = [ 1, 1] et reormalisés de maière à ce que L (1) = 1 pour tout (il s agit doc d ue suite de polyômes orthogoaux mais o-orthoormés). O peut facilemet établir quelques propriétés importates de cette famille, e particulier la formule de Rodrigues et la formule de récurrece iitialisée par L 0 (x) = 1 et L 1 (x) = x. L (x) = ( 1)! d dx (1 x ), L +1 (x) = xl (x) + 1 L 1(x), Remarque E utilisat le chagemet de variable x = cos(t), o voit que les polyômes de Tchebychev abordés das la preuve du théorème de Weierstrass vérifiet pour tout m = 1 1 T (x)t m (x)(1 x ) 1/ dx = π T (cos(t))t m (cos(t))dt = π cos(t) cos(mt)dt = 0. Il s agit doc d ue suite de polyômes orthogoaux au ses du produit scalaire f, g := 1 1 f(x)g(x)(1 x ) 1/ dx. Plus gééralemet, la théorie des polyômes orthogoaux établit l existece de bases orthoormées de polyômes pour u produit scalaire de type f, g := f(x)g(x)w(x)dx, I où I est u itervalle boré ou o, et w(x) ue foctio positive telle que I x w(x)dx < pour tout 0. Citos e particulier les polyômes de Hermite (I = IR et w(x) = e x ) et de Laguerre (I = [0, + [ et w(x) = e x ). 4.7 Iterpolatio polyômiale par morceaux Nous avos observé que l iterpolatio polyômiale sur u itervalle [a, b] fait apparaître des problèmes de stabilité lorsque l o fait tedre le degré vers +, e particulier si l o choisi des poits d iterpolatio équidistats. U procédé alteratif permettat d éviter ces difficultés, et très utilisé e pratique, cosiste à découper l itervalle e morceaux e appliquat sur chacu d etre eux u procédé d iterpolatio de degré fixé. O fait esuite tedre la taille de ces morceaux vers 0. Plus précisémet, pour 0 o se doe ue subdivisio et o défiit sa fiesse par a = a 0 < a 1 < < a 1 < a = b, h = max,, 1 (a i+1 a i ). E se fixat u etier m > 0, o se doe sur chacu des itervalles [a i, a i+1 ] ue autre subdivisio a i = x i,0 < x i,1 < < x i,m 1 < x i,m = a i+1. U choix classique cosiste à predre des poits équidistats sur chaque itervalle [a i, a i+1 ] c est à dire x i,j = a i + j m (a i+1 a i ). Etat doée ue foctio f, o peut alors défiir so iterpolatio polyômiale de Lagrage de degré m par morceaux sur la subdivisio a 0,, a, comme l uique foctio f dot la restrictio à chaque itervalle [a i, a i+1 ] est u polyôme de degré m et qui vérifie f (x i,j ) = f(x i,j ), i = 0,, 1, j = 0,, m. 58