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1 UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. ) page

2 SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau Itroductio à la statistique Amzallag, Piccioli, Bry Herma Bib. ENI Probabilités et statistiques Coll FLASH U A. Coli B.M. Belfort REA + Iitiatio pratique à la statistique A. Liorzou Gauthier Villars Bibl ENI Probabilités et Statistiques appliquées Lacaze, Mailhes, Cépaduès Bibl Utbm Sév. QA 73 Pro + puis ++ Statistiques et probabilités J. P. Lecoutre Duod Bibl Utbm Séveas + Niveaux des livres : - très (trop) facile, + iveau de SQ 0, ++ pour des prologemets, +++ : compétitio Quelques livres itéressats, istructifs ou réjouissats (propriétés e s excluat pas) : Etiee Klei : L atome au pied du mur Ed. Le Pommier Des ouvelles à caractère historique et scietifique écrites avec humour. De quoi esoleiller les jourées moroses J. Paul Delahaye Jeux mathématiques et mathématiques des jeux Bibliothèque Pour la Sciece Etude probabiliste des jeux de hasard à partir de situatios plus ou mois simples Ch. Ruhla La physique du hasard Ed. Hachette Bibl. Muicipale Belfort RUH Survol chroologique des phéomèes aléatoires e physique, difficulté croissate au cours des chapitres J. Merlio Les jargoautes B. M. Belfort Petite étude humoristique sur le lagage actuel Simo Sigh Histoire des codes secrets Itéressera tous les mathématicies Ce cours a été eseigé à l UTBM, Uiversité de Techologie de Belfort-Motbéliard depuis la créatio de cette uiversité de Techologie, c est-à-dire septembre 999. Il correspod à l Uité de Valeur SQ 0 Probabilités et Statistiques, das laquelle le volume horaire était de 3 heures de cours et 8 heures de Travaux Dirigés. Remarques prélimiaires : Ce documet compred plus d exercices qu il est possible d e faire pedat les séaces de TD. Le but e est multiple. D abord d avoir ue certaie variété das les différets groupes et esuite de permettre aux étudiats qui le souhaitet de faire les exercices qui aurot pas été traités das leurs séaces de TD. O peut toujours demader des élémets de solutio aux eseigats, ou à des étudiats des autres groupes qui les ot peut-être résolus. Certais exercices sot otés *, ** ou ***. Ils correspodet à des exercices demadat ue certaie recherche das le raisoemet, ou à ceux qui dépasset le programme de l UV, mais pas les capacités itellectuelles des étudiats brillats. Mais e le sot-ils pas tous? page

3 UV SQ 0 Chap. Espaces Probabilisés -I- Itroductio: ) Le hasard Le calcul des probabilités est l étude des phéomèes aléatoires, du mot lati alea = hasard. Cette otio est d ailleurs pas très facile à cerer. Ce qu o omme hasard peut être dû simplemet à u phéomèe qu o maîtrise mal, ou dot o e coaît pas les causes. Il y a quelques milléaires, l apparitio d ue éclipse pouvait être cosidérée comme u phéomèe relevat du hasard alors qu après la découverte des lois de la gravité et de l orbite des objets célestes du système solaire, il deviet u phéomèe etièremet détermié. De même le lacer d ue pièce de moaie, exemple même du phéomèe aléatoire, a rie de hasardeux à coditio de coaître avec précisio tous les paramètres du mouvemet. Dès que la pièce est lacée, so trajet est etièremet détermié, aisi que le résultat du lacer. Alors, le hasard? Existe-t-il vraimet, ou est-il simplemet ue mesure de otre icompétece? O peut cosidérer le mode comme u eviroemet totalemet détermié, tedace Laplace, ou au cotraire, cosidérer qu il existe ue part icompressible de hasard, (Cf. le pricipe d icertitude de Heiseberg) das laquelle o peut loger u espace de liberté. ) Probabilités objectives et subjectives : Avat de défiir la probabilité, il est écessaire de cosidérer la otio de fréquece. Soit ue expériece à deux issues, succès et échec, qui est répétée fois das les mêmes coditios. ombre de succès La fréquece de succès s écrit f =. O peut aisi défiir la probabilité de succès d ue expériece aléatoire par p= lim f p 0,, le problème état que cette probabilité e peut être coue qu après ue ifiité d expérieces. Das certais cas, il est possible de cotourer cette difficulté par des cosidératios géométriques. Par exemple, pour le lacer d u dé cubique parfaitemet équilibré (mais l est-il parfaitemet?), à chaque face o peut attribuer la probabilité /6. La défiitio de la probabilité d u évéemet aisi doée peut être appelée probabilité objective. Ue autre défiitio, beaucoup plus floue, celle de la probabilité subjective, serait «combie u joueur serait prêt à parier sur u résultat?» Par exemple, o demade à u étudiat d évaluer ses chaces de succès à u exame, c est-à-dire sa probabilité de réussite p [0, +]. Puis o lui propose l expériece suivate : faire tourer ue aiguille sur u axe situé au dessus d u disque dot u secteur d agle θ est blac, le reste état coloré. Après rotatio de l aiguille, si elle s arrête sur le secteur blac, o lui doe so exame, sio Puis o lui doe le choix, passer effectivemet l exame ou laisser l aiguille, doc laisser le hasard décider. E foctio de l agle θ l étudiat choisira l ue ou l autre solutio, ce qui permettra d évaluer sa probabilité subjective p. Pour termier cette itroductio, il faudrait préciser que le Calcul des Probabilités est pas qu u amusemet de mathématicie. Il est utilisé das des domaies aussi divers que la fiabilité, les assuraces, la gestio des stocs ou des sièges mis à la vete par les compagies aériees, la vitesse des coducteurs (y a-t-il u radar sur ma route?) et bie sûr les jeux de hasard (Cf. les bééfices de la Fraçaise des Jeux). Sas le calcul des probabilités les compagies d assuraces seraiet igérables, ou avec des primes dissuasives, et les compagies aériees e pratiqueraiet pas la surréservatio, qui peut avoir ses avatages pour certais passagers. Il est itéressat, par exemple e séace de TD, de pratiquer des expérieces pour vérifier l adéquatio etre la théorie (calculs effectifs) et la pratique (observatio). page 3

4 SQ-0 Probabilités - Statistiques -II- Algèbre d évéemets Das ce cours, ous allos utiliser des probabilités sur R ou des sous-esembles de R. E foctio de la ature de ces sous-esembles, esembles discrets, itervalles, etc., les méthodes de calcul serot différetes. U peu plus loi, ous prologeros l étude sur des parties de R. ) Sous-esembles de R : a) Esemble fiis: Défiitio : O dira que Ω R est u esemble fii s il existe u etier N, qu o ote Card(Ω), cardial de Ω, et ue bijectio de Ω das {,,..., }. Quelques exemples d esembles fiis : les esembles de la forme {,,..., } N* bie sûr, mais aussi l esemble vide L esemble des étudiats de première aée das ue Uiversité Sur les esembles fiis s applique toute l aalyse combiatoire, c est à dire les déombremets. b) Esembles déombrables: Défiitio : O dira que Ω R est u esemble déombrable s il existe ue bijectio de Ω das N. Par prologemet, o a les esembles déombrables au ses strict, qui correspodet à la défiitio ci-dessus, ou les esembles déombrables au ses large qui sot fiis ou déombrables. (O peut aussi défiir u esemble déombrable au ses large e disat qu il existe ue applicatio ijective de Ω das N, mais cette défiitio e fait pas la différece etre les esembles fiis et les esembles ifiis, différece qui sera utilisée pour certaies otios, momets d ue variable aléatoire par exemple, page 6) Quelques exemples d esemble déombrables, e dehors de N : Z (esemble des etiers relatifs), Q (esemble des fractios ratioelles), tout esemble de poits isolés das R. Par cotre u itervalle ouvert de R est pas déombrable (démostratio par le procédé diagoal de Cator). De plus, tout sous-esemble d u esemble déombrable est déombrable (au ses large). U esemble de poits isolés sera appelé u esemble discret. c) Les autres: Parmi les autres esembles, qui e fot doc pas partie des esembles ci-dessus, ue place prépodérete sera accordée à des esembles dits cotius, c est à dire costitués d itervalles o réduits à u poit de R ou d ue réuio de ce type d itervalles. Ces esembles e costituet pas l itégralité des esembles utilisés das la théorie des probabilités, loi delà, mais, pour la plupart des autres, il est écessaire d utiliser la théorie de la mesure, ce qui dépasse largemet le cadre de ce cours. ) Déombremets : L aalyse combiatoire est l étude des déombremets sur les esembles fiis. Il est des méthodes qu il est bo de coaître pour résoudre certais problèmes de probabilités. L étude des bases de l aalyse combiatoire ayat été faite das le secodaire, ous e feros que de brefs rappels, pour les démostratios, voir le cours de termiale. a) Nombre de parties d u esemble Soit u esemble fii Ω de cardial, o motre par récurrece que le ombre de sous-esembles (parties) de Ω est Card(P(Ω)) =. Cette relatio est aussi vérifiée pour = 0. b) Permutatios : Ue permutatio sur u esemble fii Ω de cardial, est ue bijectio de Ω sur lui-même. O peut, moyeat ue bijectio sur E ={,,...,} pour etier aturel o ul, compter le ombre de permutatios sur E. U poit x d u sous-esemble E de R est dit isolé das E s il existe u voisiage de x e coteat aucu autre élémet de E. page 4

5 UV SQ 0 O motre par récurrece que le ombre de permutatios sur E est! =.... Par covetio o attribue la valeur à 0!. c) Arragemets U arragemet est ue applicatio ijective de E p ={,,...,p} das E ={,,...,}. C est aussi u tirage successif et sas remise de p élémets ordoés das u esemble de élémets. Ue telle applicatio existe que si p, et d ailleurs si p = o est rameé au cas précédet. p p! p Le ombre d arragemets est oté A et o motre que A = si p et A = 0 sio ( p)! (o le ote aussi P(, p), cette otatio, plus simple pour les typographes, est souvet utilisée sur les calculatrices). d) Combiaisos Ue combiaiso est u tirage simultaé de p élémets das u esemble de élémets. Cotrairemet aux permutatios, o e tiet pas compte de l ordre das lequel ces élémets sot tirés. A chaque combiaiso de p élémets, o peut doc associer F p! permutatios différetes, ce qui ous doe p p A l expressio du ombre de combiaisos : C = H G I pk J! = =. Suivat les sources o trouvera p! p!( p)! les deux otatios. Historiquemet, la première a été utilisée par les fraçais, pour bie oter le C de combiaiso, alors que la secode se trouve das la littérature aglo-saxoe. O peut, à titre d exercice e déduire la formule du biôme de Newto : N, ( a, b) R a+ b = C a b b g aisi que le cas particulier où a + b =, bie utile = 0 pour les probabilités discrètes. p p O coviedra que C = 0 et A = 0 das le cas p >. 3 ) Exemples de déombremets : a) Plache de Galto : Soit ue plache icliée muie de clous suivat la dispositio ci-cotre, + liges umérotées de 0 à. O lace ue bille sur le premier clou, et elle se dirige à droite ou à gauche pour arriver à u autre clou et aisi de suite jusqu aux uméros de bas de grille. Pour u uméro {0,, }, la trajectoire peut se coder suivat ue suite (x,, x ) où x =0 ou suivat que la bille va à droite ou à gauche, avec fois et ( ) fois 0. O choisit doc rags de la suite parmi les auxquels o associe le résultat. O a doc C chemis différets pour se redre à la case. Cet exemple est assez riche pour qu o puisse recostruire les formules sur les combiaisos, e particulier le triagle de Pascal. 4 ) Tribus d évéemets : O cosidère ue expériece aléatoire dot l esemble Ω est l esemble de tous les résultats ω possibles. Ue partie A de Ω est appelée u évéemet. Si le résultat ω est das A, o dira que l évéemet A est réalisé. L objectif du calcul des probabilités est d évaluer les chaces de réalisatio d u évéemet. Il s agit doc, si possible, d attribuer ue probabilité à u sous-esemble de Ω, comme o attribue ue aire à ue surface. Ue partie A de P(Ω) = esemble de toutes les parties de Ω, est ue algèbre d évéemets si A est stable par les opératios booléees usuelles, itersectio fiie, complémetarité et si elle cotiet Ω. Du fait que A est stable par itersectio et complémetarité, elle est écessairemet stable par réuio, et de plus, coteat Ω, elle cotiet aussi. page 5

6 SQ-0 Probabilités - Statistiques O peut prologer cette défiitio avec la stabilité par itersectio déombrable pour obteir ue structure de tribu d évéemets qu o trouve aussi sous la déomiatio σ algèbre, le préfixe σ symbolisat gééralemet le passage du fii au déombrable. Das tous les cas, Ω est fii ou ifii, déombrable ou o déombrable, l algèbre (ou la tribu das le cas ifii) miimale est l esemble {Ω, } et la maximale est P(Ω). Das ce cours ous étudieros essetiellemet trois types d esembles Ω : fiis, ifiis déombrables et itervalles (a, b), ouverts ou fermés, de R avec a < b. Les algèbres ou les tribus que ous étudieros, sauf metio cotraire, serot les esembles P(Ω) si Ω est u esemble discret l esemble des borélies (tribu egedrée par les itervalles de R) si Ω =R. Certais évéemets sot utilisés fréquemmet, c est le cas de l évéemet certai Ω, des évéemets élémetaires, c est à dire ayat qu u seul élémet, et de l évéemet impossible -III- Espaces probabilisés : La otio ituitive de probabilité objective itroduite à l aide de fréqueces, aisi que celle de probabilité subjective, sot isuffisates pour bâtir ue théorie cohérete et éviter certaies erreurs grossières. Il est doc écessaire de mettre e forme ue axiomatique du calcul des probabilités. ) Probabilité sur u esemble : Soit u esemble Ω et ue tribu d évéemets A défiie sur E. Défiitio : L applicatio p est ue probabilité sur Ω si. p est ue applicatio de A sur l itervalle [0, ]. p(ω) = 3. si A A et B A avec A B= (évéemets icompatibles) alors p(a B) = p(a) + p(b). 4. Pour toute suite d évéemets A, N, deux à deux disjoits ( i j Ai A j = ) o a F I p U A p( A) (σ additivité) HG N KJ = N O défiit aisi u espace probabilisé qui est le triplet (Ω, A, p). Il est d ailleurs possible, à partir du même esemble Ω de défiir plusieurs espaces probabilisés différets. Plusieurs tribus d évéemets peuvet être défiies sur le même Ω, et pour ue même tribu, o peut costruire des probabilités différetes. Nous e verros u exemple avec le paradoxe de Bertrad (Cf. page 9). ) Propriétés : De la défiitio d ue probabilité, o déduit (facilemet) les propriétés : P( ) = 0, l évéemet est appelé évéemet impossible, par exemple «obteir u 7 e laçat u dé cubique ormal». A A, B A p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) pa ( ) = pa ( ) aveca= Ω \ A -IV- Idépedace et probabilités coditioelles Soit das u espace probabilisé (Ω, A, p) deux évéemets A, de probabilité o ulle, et B. Les évéemets peuvet être réalisés simultaémet si leur itersectio est pas vide, mais o peut se po- L évéemet impossible est d ailleurs pas le seul évéemet de probabilité ulle. Par exemple, u tirage au hasard d u ombre etre 0 et fourit des probabilités ulles pour tous les évéemets de la forme {x, x [0, ]}, mais u tel résultat, quoique très improbable, est pas impossible. page 6

7 UV SQ 0 ser la questio : la réalisatio de A a-t-elle ue ifluece sur celle de B? E d autres termes, la probabilité de B est-elle la même quad o sait que A est réalisé? Par exemple le doeur de cartes au poer qui a pris soi de regarder la derière carte du paquet (par exemple l As de ) avat de commecer sa distributio. Il a doc ue iformatio supplémetaire évéemet A = «l As de e sera pas distribué» dot il sait qu il est réalisé. ) Probabilités coditioelles Ceci ous amèe à la défiitio de la probabilité coditioelle p A, c est-à-dire la probabilité d u évéemet B sachat que A est réalisé. O costruit aisi u ouvel espace probabilisé (Ω =A, A, p A ) où A ={B A, B A } et la probabilité : B, p A pa ( B) ( B) = p( BA ) =. pa ( ) O vérifie que (Ω =A, A, p A ) est bie u ouvel espace probabilisé qui vérifie les propriétés à 4. ) Idépedace E repreat otre poit de départ, o peut défiir l idépedace de deux évéemets, c est-à-dire la propriété que la réalisatio de l u d eux a pas d ifluece sur celle de l autre. O dira, par défiitio, que B est idépedat de A (tel que p(a) 0) si p A (B) = p(b). pa ( B) Das ce cas, p A ( B) = = pb ( ) ce qui implique p ( A B) = pa ( ). pb ( ) (règle de multiplicatio). O peut remarquer que cette derière relatio est symétrique e A et B, et, si la probabilité de B pa ( ) est o ulle : B idépedat de A A idépedat de B. Les deux défiitios p A ( B) = p( B) et p ( A B) = p( A). p( B) qu o pourrait doer de l idépedace e sot équivaletes que si les probabilités de A et B e sot pas ulles. Pour la suite ous predros la défiitio suivate, ce qui permettra de l utiliser aussi das le cas où la probabilité d u évéemet est ulle: A et B sot idépedats si et seulemet si p (A B) = p(a) p(b) 3 ) Propriétés immédiates : Les évéemets Ω et sot idépedats de tous les autres. Si p(a) 0, p(b) 0 et A B= alors A et B e sot pas idépedats. E effet la réalisatio de l u red l autre impossible. A ce propos il coviet de bie faire la différece etre des évéemets icompatibles A B= et des évéemets idépedats p( A B) = p( A). p( B). pa ( B) De la relatio p A ( B) = o déduit p (A B) = p(a) p(b A), qu o utilise e particulier pour pa ( ) des études de fiabilité. 4 ) Exemples Les cas d idépedace sot (heureusemet) très fréquets, et l hypothèse d idépedace sera abodammet utilisée quad ous aborderos la partie Statistiques. Das l immédiat doos quelques exemples : Tirages aléatoires successifs avec remise d élémets das ue boîte Réposes à ue questio doée par des sodés e se cocertat pas Résultats de lacers successifs d u dé (dot o suppose qu il e s use pas!) Das d autres situatios, o itroduit l hypothèse d idépedace pour simplifier les calculs, e espérat que la différece etre les résultats est égligeable, e fait iférieure à la précisio dot o a besoi pour les calculs. C est le cas par exemple de : Tirages aléatoires successifs sas remise d u petit ombre élémets das ue boîte e coteat u grad ombre page 7

8 SQ-0 Probabilités - Statistiques Le sexe des efats d u même couple de parets Le ombre de crevaisos pedat u a de deux coducteurs (s ils emprutet pas systématiquemet les mêmes itiéraires, devat ue usie de recyclage de verre otammet) Paes des composats motés e parallèle d u dispositif électroique Tailles des étudiats d ue Uiversité Das tous les cas il est bo de vérifier l idépedace des évéemets dot o veut calculer la probabilité Exemple : Das ue salle se trouvet persoes,. Calculer e foctio de la probabilité qu ils aiet tous des mois de aissace différets. Das cet exemple, et c est souvet le cas das les études de phéomèes aléatoires, l éocé est très icomplet et il est écessaire d itroduire des hypothèses supplémetaires, pour préciser certais poits ou opérer des simplificatios. La première est de supposer que toutes ces persoes ot des jours de aissace idépedats, ce qui paraît assez réaliste, sauf s il y a des jumeaux das l assemblée. Esuite, pour simplifier le problème, o peut supposer que les 365 jours de l aée, ou les mois, sot équiprobables quat à la aissace. C est beaucoup mois rigoureux, pour e pas dire pas du tout, que le premier poit. E effet les aissaces e se répartisset pas uiformémet sur l aée (coveaces persoelles, réveil du pritemps ou pae géérale de télévisio pedat quelques jours,. ), et de plus les mois ot pas tous le même ombre de jours. Et que faire des aées bissextiles? Pour modéliser le problème, o peut le représeter par ue applicatio f de E = {,,, } das F = {,,, }, toutes les applicatios état équiprobables, c est à dire de probabilité p =. L évéemet A = «tous les mois de aissace sot différets» est associé à l évéemet B = «l applicatio f est ijective». Si > le problème est résolu immédiatemet, la probabilité de A est ulle. Si, o a ombre d applicatios ijectives = b d' applicatios ijectives E F A A et doc p( A) = = b d' applicatios E F exemple, pour = 6 o a p(a) = 0,3 ± 0,00. O peut parier sas risque excessif devat ue assemblée de 6 persoes que deux d etre elles sot ées le même mois. O pred successivemet = 0, = 5 et = 30. Quelle est la probabilité que deux d etre elles aiet des dates de aissace idetiques? Le problèmes est le même, avec les mêmes approximatios, mais il y a 365 jours au lieu de mois et o cosidère l évéemet C = «tous les jours aiversaires sot différets». Das le cas gééral compris etre et 365, o a la A 365 probabilité p( C) =, ce qui doe les probabilités 0,59 pour = 0 (0,43 pour 5 et 0,9 pour 30). Là ecore o 365 peut predre les paris sur u groupe de 30 persoes.. Par 5 ) Système complet d évéemets Das u espace probabilisé (Ω, A, p) o appelle système complet d évéemets S ={A, D} avec D = N ou D = {,,, } ue partitio fiie ou déombrable de Ω. Les esembles A état disjoits deux à deux, o peut écrire la formule des probabilités totales : B, B = B A ( B ) = p B A = p BA p ( A ) U et doc p b g b g D D D Formule de Bayes : Si S ={A, {,,, }} u système complet fii d évéemets A sot tels que p(a ) 0, o a, pba ( ) pa ( ) pour tout B tel que p(b) 0 : pa ( B) = pba ( ) pa ( ) = O peut traiter à titre d exercice l exemple suivat : Das u atelier quatre machies A, B, C et D fabriquet la même pièce à la même cadece. La productio est etreposée sas souci de proveace. O s'aperçoit à posteriori que la machie A a été mal réglée et que sa productio est iacceptable. Par ailleurs les proportios de pièces iacceptables sot, pour B, C et D de %, 3% et 5%. a) O pred au hasard ue pièce das le stoc. Probabilité qu'elle soit défectueuse? b) Ue pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité pour qu'elle viee de A, de B? page 8

9 UV SQ 0 -V- Hypothèse d équiprobabilité : ) Cas où Ω est fii : État doé u esemble fii Ω, par exemple {,,, } N*, u cas très fréquet est celui où tous les évéemets élémetaires {} ot la même probabilité. O a doc : b g b g U b g = = F p {} = = p {} et p ( ) = p {} p {} H G I K Ω K J = les évéemets état disjoits deux à deux, et doc Ω, p({}) = O dira das ce cas que l espace probabilisé vérifie l hypothèse d équiprobabilité. O trouve cette situatio das les cas où o peut évoquer ue symétrie physique (dé cubique ou pièce de moaie parfaitemet équilibrés) ou l absece d iformatios sur u phéomèe aléatoire, où aucu résultat e semble plus prévisible que les autres. U jeu de cartes bie battu e fourit aucue iformatio quat au classemet des cartes, et par coséquet toutes les cartes ot la même probabilité de sortie à l occasio d u tirage. Bie sûr il faut être très prudet das l utilisatio de cette hypothèse. L absece d iformatios implique pas écessairemet l équiprobabilité. ) Cas où Ω est ifii déombrable Ce cas est traité rapidemet. E effet, il est impossible d itroduire ue hypothèse d équiprobabilité das ce cas pour des raisos évidetes. Le cardial de Ω état ifii o aurait pb{} g = et doc = serait la somme d ue série à termes costats, qui diverge si la costate est o ulle, et qui est ulle si tous les termes sot uls. 3 ) Cas où Ω est u itervalle boré (o réduit à u poit) de R Das le cas où Ω = (a, b), a < b, itervalle (semi-)ouvert ou (semi-)fermé boré de R, o dira que l espace probabilisé (Ω, A, p) vérifie l hypothèse d équiprobabilité si la probabilité d u itervalle (c, d) (a, b) est proportioelle à la logueur d c de l itervalle. p (, c d) d O a doc a c d b = c. pb( a, b) g b a O peut remarquer que si l hypothèse d équiprobabilité est vérifiée, la probabilité d u poit est ulle, et doc que le fait que l itervalle (c, d) soit ouvert ou fermé a aucue ifluece sur sa probabilité. E effet pc c, dh = pb{ c} g + pc c, dh + pb{ c} g = pc c, dh. O utilisera, avec les précautios d usage, cette hypothèse das le cas où o effectue u tirage «au hasard» d u ombre réel das u itervalle de logueur o ulle. 4 ) Étude de cas : paradoxe de Bertrad Cosidéros la situatio suivate : o trace ue corde [A, B] sur u cercle (C), e supposat A et B choisis au hasard sur le cercle. O cherche à évaluer la probabilité de l évéemet E = la logueur de la corde est supérieure à celle du côté du triagle équilatéral iscrit das le cercle. Par homothétie, o peut supposer que le cercle a pour rayo R =. Le problème est de savoir ce qu o eted par au hasard. a) Première situatio : O peut, moyeat ue simplificatio, évetuellemet abusive, que A est fixé et que B est choisi au hasard sur le cercle. O a doc l espace probabilisé (Ω, A, p ) où Ω est le cercle, la tribu est la tribu maximale P(Ω ) et p est la probabilité uiforme sur le cercle, qu o peut associer page 9

10 SQ-0 Probabilités - Statistiques par bijectio à la probabilité uiforme sur l itervalle [0, π[. Das ce cas, l évéemet E est réalisé si B se trouve sur l arc CD, et, la probabilité état uiforme logueur de CD sur le cercle p( E) = =. circoférece du cercle 3 b) Deuxième situatio : O cosidère maiteat que le segmet [A,B] est etièremet détermié si o e coaît le milieu I. Le ouvel espace probabilisé est défii par (Ω, A, p ) où Ω est le disque, la tribu est P(Ω ) et p est la probabilité uiforme sur le disque, la probabilité d u domaie du disque état proportioelle à so aire. Das ce cas E est réalisé si I se trouve à l itérieur du disque (C ) de cetre O et de rayo moitié. O a doc : aire de ( C') p( E) = =. aire de ( C) 4 c) Troisième situatio : Pour des raisos de symétrie, ecore, o peut cosidérer que I est uiformémet distribué sur u rayo [O,F]. Das ce cas l évéemet est réalisé si I se trouve sur la première moitié du rayo. O a doc l espace probabilisé (Ω 3, A 3, p 3 ) où Ω 3 est le rayo, la tribu est la tribu maximale P(Ω 3 ) et p 3 est la probabilité uiforme sur le rayo. O a doc p3( E) =. E résumé, e foctio de la défiitio du terme au hasard et de l espace probabilisé, o a des résultats différets. O aurait pu cosidérer ue quatrième situatio e cosidérat que A est pas fixé et que les deux poits A et B sot choisis uiformémet sur le cercle. page 0 -VI- Exercices et Problèmes: b g *., ( ), 3 4 = 0 = 0 = 0 = 0 ) Ecrire le développemet de + x N E déduire S = C S = C S = C et S = C ) Pour ue UV das laquelle sot iscrits 40 étudiats et 0 étudiates, combie de cours doit o faire pour épuiser toutes les possibilités das les cas suivats : O cosidère l esemble des étudiats présets (la dispositio das la salle importe peu) Aucue fille est absete Ils preet place das ue salle de 60 places et tous les iscrits sot présets 50 iscrits sot présets et les 0 places de devat sot vides 3 ) Soit deux esembles E = {,,, p} et F = {,,, }. a) Combie peut-o costruire d applicatios de E das F? b) ijectives de E das F? c) strictemet croissates de E das F? d) ** surjectives de E das F 4 ) Neuf touristes embarquet das trois bateaux pouvat chacu recevoir de 0 à 9 passagers. Quelles sot les probabilités des évéemets suivats : Chaque bateau embarque trois persoes Aucu bateau est vide Das chaque bateau il y a au mois persoes et au plus 4.

11 UV SQ 0 5 ) ** Prologemet et applicatio à la Physique de l'exercice précédet: (corrigé page 69) E Physique, o est ameé à étudier la répartitio de particules, chacue pouvat predre N états différets (u état = poit das l'espace des phases). Le problème est doc d'étudier la répartitio de particules das N boîtes. a) Statistique de Maxwell-Boltzma (applicable à des molécules de gaz): o suppose que toutes les répartitios sot équiprobables. Détermier l'esemble Ω des répartitios possibles, aisi que la probabilité que la première boîte cotiee particules, avec {0,,, }. b) Statistique de Bose-Eistei (applicable à des photos): o suppose que les particules sot maiteat idiscerables. Détermier l'esemble Ω des répartitios possibles, aisi que la probabilité que la première boîte cotiee particules, avec {0,,, }. c) Statistique de Fermi-Dirac (applicable à des électros): o suppose que les particules sot idiscerables et que chaque boîte cotiet au plus ue particule, et par coséquet N. Détermier l'esemble Ω 3 des répartitios possibles, aisi que la probabilité que la première boîte cotiee ue particule. 6 ) Défiir l esemble Ω et détermier Card(Ω) das les situatios suivates : O lace trois fois u même dé cubique. O distribue ciq cartes à u joueur extraites d u u jeu de 3 O tire au hasard la grille de départ d u Grad Prix de Formule (0 cocurrets) le podium d ue course automobile (5 cocurrets) 7 ) O cosidère l'esemble N* ou N, l'algèbre A =P(N*) et ue probabilité p sur A. Das chacu des cas suivat, calculer, si possible, la costate α pour que p soit effectivemet ue probabilité sur A. a) N * α p b) N * α α clqh= p = c) N p = 3 clqh clqh ) Peut-o défiir ue probabilité p sur Ω, coteat les parties A, B et C, avec C = A B, satisfaisat aux coditios suivates: a) p(a) = 0,8 p(b) = 0, p(c) = 0,. b) p(a) = 0,8 p(b) = 0,4 p(c) = 0,. c) p(a) = 0,8 p(b) = 0,4 p(c) = 0,3 p(a B)= 0,9 9 ) Soit (Ω, P(Ω), p) u espace probabilisé et trois parties A, B et C de Ω, telles que: pa ( ) = 03, pb ( ) = 05, pa ( C) = 0, pa ( B C) = 0, pb ( C) = 05, pa ( B C) = 005, a) Das quel itervalle doit-o choisir p(c) pour que p soit effectivemet ue probabilité? b) O choisit pec ( A B) j= 0., Détermier les probabilités de évéemets suivats: C, A B C, A B C, A B C, A B C, B A, A B 0 ) Le programme d'u exame comporte: 0 chapitres sur les séries, 4 chapitres sur les itégrales multiples, 6 chapitres de probabilités et 0 chapitres d'algèbre liéaire. Les modalités sot les suivates: Le cadidat tire au sort trois questios parmi les 30 qui sot proposées, chacue des questios portat sur u chapitre et u seul, et choisit de traiter ue des questios. a) Combie de chapitres doit-il travailler pour être certai de réussir so exame? b) Détermier les probabilités des évéemets suivats: Il e tire aucue questio de probabilités Il tire trois questios sur des domaies différets page

12 SQ-0 Probabilités - Statistiques Il tire trois questios sur le même sujet. c) U cadidat e révise que l'algèbre liéaire. Quelle est la probabilité qu'il soit reçu? d) U autre cadidat est complètemet ul e algèbre liéaire (toute ressemblace avec des persoes...), quelle est la probabilité qu'il soit reçu? e) Das quelle mesure l'impasse sur certaies parties de programme est-elle itéressate? ) O pese savoir que, avec la probabilité 0,8, A est coupable du crime pour lequel il va être jugé. B et C, chacu d eux sachat si A est coupable ou o, sot appelés à la barre. B est u ami de A et dira la vérité si A est iocet et metira avec ue probabilité 0, si A est coupable. C déteste tout le mode sauf le juge et dira la vérité si A est coupable et metira avec la probabilité 0,3 si A est iocet. Ces coditios état posées : a) Détermier la probabilité d avoir des témoigages cotradictoires. b) Quel témoi a le plus de chaces de commettre u parjure? c) B et C ayat doé des témoigages cotradictoires, quelle est la probabilité que A soit iocet? d) Les évéemets (B met) et (C met) sot-ils idépedats? ) La différece essetielle etre les avios Airbus A 330 et A 340 est que le premier a deux moteurs et le secod quatre. La probabilité qu u moteur tombe e pae état p ]0, [, ces avios peuvet cotiuer leur route si au mois la moitié des moteurs est e état. Étudier suivat p lequel des deux avios est le plus fiable. Faire la même étude e supposat qu u avio peut voler sas problème avec u seul moteur. 3 ) Das u bassi se trouvet 36 poissos dot x blacs (x etier compris etre et 7), autat de oirs, les autres état rouges. O tire simultaémet 3 poissos du bassi et o appelle A l évéemet «les trois poissos sot de couleurs différetes». a) Défiir l espace probabilisé, e itroduisat évetuellemet des hypothèses supplémetaires. b) Das le cas x = 6, calculer la probabilité de A. Rx, + 7 c) Etudier sommairemet les variatios de la foctio f défiie par : S. 3 T f( x) = 36x x d) Si p(x) est la probabilité d obteir trois poissos de couleurs différetes, détermier la valeur de x pour laquelle p(x) est maximale. e) Das le cas x =, o ote X le ombre de poissos rouges parmi les trois. Détermier la loi de X. Calculer les probabilités p(a X = ) et p(x= A) (corrigé page 69 ) 4 ) Ue loterie aoce : «U billet sur trois est gagat, achetez trois billets!». Alors? 5 ) U dé pipé est (mal) équilibré de telle maière que la probabilité de chaque face est proportioelle au uméro. Calculer les probabilités de chaque face. O lace deux dés et o ote X la somme des deux résultats. Quelle est la valeur de X la plus probable? 6 ) U appareil est costitué de 50 composats e série dot la probabilité de défaillace est p. a) Quelle doit être la valeur de p pour que le risque de pae du système soit iférieur à %? b) O 'a pas pu obteir mieux que p = Calculer la probabilité de foctioemet de l'appareil. c) Pour atteidre 0,99 o a l'idée de mettre e parallèle deux appareils avec commutatio automatique e cas de pae du premier. Quelle sera la probabilité de foctioemet du dispositif? 7 ) Das le diagramme ci-cotre, chaque représete u lie de commuicatio. Sous la politique de maiteace, les défaillaces des lies sot des évéemets idépedats, et o suppose qu à chaque page

13 UV SQ 0 istat, la probabilité qu u lie foctioe est p. a) Si o pred u istat au hasard, quelle est la probabilité que : exactemet deux lies foctioet le lie g et u autre lie foctioet b) Sachat que six lies sot e pae, quelle est la probabilité que A soit ecore e commuicatio avec B? 8 ) O tire simultaémet ciq cartes das u jeu de 3 (4 couleurs,,,, et 8 valeurs, As, R, D, V, 0,..., 7). Calculer les probabilités des évéemets suivats: o a au mois u As o a au plus u, o a ue dame et u toutes les cartes sot de même couleur toutes les cartes sot de valeurs différetes o a ue seule paire U joueur de poer a reçu 5 cartes dot deux as, met de côté les trois autres cartes, puis repred trois cartes das le jeu. Calculer les probabilités des évéemets: il a trois as il a au mois trois as il a u seul as il retire trois cartes de même valeur. 9 ) U pâtissier cofectioe des pais aux raisis de 50 g. Combie de raisis secs doit-il mettre das 0 ilos de pâte pour qu e moyee 95% des pais aux raisis cotieet au mois deux raisis? 0 ) U chariot est partagé etre 3 machies A, B et C. Au départ la machie est e A, et à chaque étape de la productio le chariot passe de maière aléatoire à ue autre des deux autres machies. A la ème étape o ote a, b et c ( a0 =, b0 = 0 et c0 = 0) les probabilités que le chariot se trouve e A, B et C. a) Calculer a, b et c pour et les relatios etre a +, b+ et c+ et a, b et c. a) E déduire a, b et c e foctio de et les limites quad ted vers l ifii. (corrigé page 69) ) ) O cosidère ue boîte coteat 0 boules blaches umérotées de 0 à 9, aisi que 5 oires umérotées de à 5 et 5 rouges umérotées de à 5. a) O tire successivemet trois boules de la boîte, sas les remettre das la boîte après tirage. Calculer les probabilités des évéemets suivats: A = «les trois boules sot de même couleur» B = «les trois boules sot de couleurs différetes» C = «les trois boules ot le même uméro» D = «le ombre formé par les trois résultats est pair» b) O tire simultaémet trois boules de la boîte. Calculer les probabilité des évéemets suivats: A = «les trois boules sot de même couleur» B = «les trois boules sot de couleurs différetes» C = «les trois boules ot le même uméro» D = «il y a plus de boules oires que de blaches» c) O tire successivemet des boules de la boîte, e les remettat das la boîte après tirage. Calculer les probabilités des évéemets suivats: A = «les trois boules sot de même couleur» ( = 3) B = «les trois boules ( = 3) sot de couleurs différetes» C = «les trois boules ( = 3) ot le même uméro» D = «o a tiré 4 boules avat d'e avoir ue oire» page 3

14 SQ-0 Probabilités - Statistiques -VII- Pour les liguistes: ) Está dispuestos tres «desperados» A, B y C e triágulo equilátero, e ua plaza de toros, quizás co u carilló e el cetro, firmemete decididos a disparar uos a otros. A es el meos diestro y alcaza la meta ua de cada dos veces. B lo hace u poco mejor y la probabilidad que tiee de acertar es de 0,7. E lo que respecta a C, uca falla. Dispara uo después de otro siguiedo el orde A, B, C, A, B hasta que o quede más que uo. Qué tiee que hacer A para empezar? page 4

15 UV SQ 0 Chap. Variables aléatoires discrètes -I- Variables aléatoires: Le résultat d ue expériece aléatoire peut souvet se représeter par u ombre réel, le lacer d u dé, la taille d u étudiat ou la température le mati à 8 heures e u lieu doé. Il est doc plus simple de cosidérer le résultat umérique au lieu d étudier l expériece e etier, quad c est possible. Preos le lacer d ue pièce, équilibrée ou o. O peut e cosidérer que la face visible de la pièce ue fois que celle-ci s est immobilisée. Mais o peut aussi étudier sa positio au momet du lacer, l impulsio doée, sa trajectoire, so temps de mouvemet et bie d autres variables, ce qui ous doe u uivers d ue complexité telle qu il deviet impossible de se livrer à des calculs sur tous les paramètres das u temps raisoable. De cette expériece o e retiedra que le résultat fial par exemple pour Pile et 0 pour face. Suivat la forme du résultat umérique, o pourra faire des études différetes. L esemble des résultats X(Ω) pourra être u esemble discret, fii ou o, ce qui sera l objet de ce chapitre, ou cotiu, itervalle ou réuio d itervalles (d itérieurs o vides) que ous étudieros au prochai chapitre. Quelques exemples pour bie faire la différece etre les deux cas : Nombre de «Pile» pour (>0) lacers d ue pièce X(Ω) = {0,,, } Nombre d essais jusqu à obtetio d u succès das ue expériece aléatoire X(Ω) = N* Taille d u étudiat e cm X(Ω) = [50, 50] Temps d attete avat pae d u système X(Ω) = [0, [ ) Mise e place Soit u espace probabilisé (Ω, A, p) et ue applicatio X de Ω das R. O dira par défiitio que X est ue variable aléatoire si : A R, X ( A) A. E défiissat la probabilité p X(Ω) sur X(Ω) par A R, px( Ω) ( A) = pcx ( A) h o effectue u trasfert de probabilité de Ω sur l esemble image X(Ω). Pour des raisos de commodité, o idetifie typographiquemet les deux probabilités p et p X(Ω). C est u abus de lagage car les deux espaces sot différets, mais il e pose pas de problème das la pratique. Cette déomiatio de variable aléatoire est pas des plus judicieuses, e effet X est pas ue variable mais ue applicatio, et elle a rie d aléatoire. O trouve aussi das la littérature le syoyme alea umérique. ) Variables discrètes Das le cas où X(Ω) est u esemble discret, X est, par défiitio, ue variable aléatoire discrète. L esemble X(Ω) peut être das ce cas être représeté par ue suite x, x, fiie ou o. Les évéemets élémetaires, disjoits deux à deux, {x, N*} ot doc la probabilité p, défiie par p = pclω Ω / X ( ω ) = xqh et o a p =, d après la propriété de σ-additivité. N* La probabilité totale est doc distribuée, pas écessairemet uiformémet, etre les valeurs de X(Ω). O appelle distributio (ou loi) de probabilité de la variable X l esemble mbx, pg, N * r. Ue variable aléatoire état doée, o défiit aussi sa foctio de répartitio F, qui représete les probabilités cumulées. E Frace, o défiit F par x R, F( x) = p( X< x), alors que pour les pays aglo-saxos l iégalité est large. Pour ue variable discrète, F est ue foctio e escalier pour laquelle apparaît ue discotiuité à page 5

16 SQ-0 Probabilités - Statistiques droite à chaque poit chargé de probabilité. Cette foctio F est caractérisée par les propriétés suivates (pour ue variable discrète) : F. F est défiie cotiue presque partout (= sauf sur u esemble discret) de R das [0, ] F. F est croissate au ses large, c est à dire ( xy, ) R avecx< y, Fx ( ) Fy ( ) F 3. lim F= 0 et lim F= page 6 x x A toute variable aléatoire, o peut doc associer ue distributio, puis ue foctio de répartitio, et iversemet, ue foctio F remplissat les coditios F à F 3 ci-dessus o peut associer ue distributio de variable aléatoire avec la probabilité x R, p( X= x) = lim F( x) lim F( x) t x t x + 3 ) Représetatios graphiques Pour avoir ue représetatio visuelle d ue distributio de probabilité, ou pour faire des comparaisos de lois, il peut être itéressat d effectuer ue représetatio graphique de la distributio ou de la foctio de répartitio. Pour la première o représetera la distributio par u diagramme e bâtos, alors que pour la secode o a ue foctio e escalier. Étude d u exemple : O cosidère u jeu de 3 cartes das lequel o prélève simultaémet 5 cartes (ue mai), et la variable aléatoire X = ombre d As parmi les ciq cartes. Le tirage des ciq cartes état simultaé, il s effectue sas remise, et l ordre de tirage est idifféret. Ue mai est u sous-esemble de ciq élémets das les 3 possibles. Moyeat ue bijectio, o peut travailler sur l esemble E = {,,, 3}. L espace probabilisé, si o suppose que les cartes sot toutes équiprobables, 5 s écrit Ω= x, K, x, x, K, 3 et i j x x, P ( Ω), p, aveccard( Ω) = C. e o s l q 5 i j 3 O a doc, d après l hypothèse d équiprobabilité, les calculs suivats : 5 C4 C8 l0, K, 4q p( X= ) =, avec les résultats umériques ci-cotre : 5 C3 Das le calcul de cette probabilité, o tire As parmi 4, puis 5- cartes (différetes des As) parmi 8. Les tirages des As et des autres cartes état idépedats, o peut utiliser la règle de multiplicatio, les tirages pouvat être représetés par u arbre. -II- Momets d ue variable aléatoire Plusieurs variables discrètes état défiies sur le même espace, ou sur des espaces de même ature, il peut être pratique de disposer de moyes permettat de les comparer. Par exemple, si o cosidère deux populatios vivat das deux pays différets, la comparaiso des tailles est difficile si o e regarde que les doées brutes ou même les distributios. Il faudrait défiir e quelque sorte u résumé simple de ces distributios à des fis de comparaiso rapide. Par aalogie avec la mécaique, pour ue variable discrète, o peut défiir les momets d ue variable. La défiitio sera u peu différete pour les variables cotiues que ous étudieros au prochai chapitre. ) Défiitio géérale : Ue variable X état défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, p), o appelle momet d ordre ( N*) l expressio M ( X) = x p( X= x ) si cette expressio existe. x X( Ω) O défiit de même les momets par rapport à u réel α, par M ( X) = ( x α) p( X= x ) t, α j x X( Ω) Das le cas d ue variable discrète à support fii (X(Ω) est u esemble fii) l existece des momets est automatiquemet assurée, comme somme fiie de ombres réels. Par cotre si le support est ifii déombrable, le momet d ordre est la somme d ue série, qui est pas écessairemet covergete. Das ce derier cas, il est possible que certais momets existet alors que pour d autres les séries = p(x=)= 0 0,488 0,407 0, , ,000

17 sot divergetes. UV SQ 0 * α Par exemple, soit la variable X défiie par sa distributio : N p( X = ) =. La série état cover- 3 gete, o peut détermier α > 0 tel que la somme des probabilités soit égale à. Si o calcule les momets : M ( X ) α απ existe mais M X 6 ( ) α = = = ' existe pas * * N N x X( Ω) ) Espérace mathématique : Soit u espace probabilisé (Ω, A, p) et X ue variable aléatoire discrète, o défiit l espérace mathématique E(X) par : E( X) = xpx ( = x), si cette somme existe. L espérace est doc le momet d ordre (par rapport à 0). Das la mesure où px ( = x ) =, l espérace est le barycetre x X( Ω) des poits x, affectés des coefficiets p(x = x ). Pour expliquer cette défiitio, cosidéros ue variable X à valeurs das X( Ω ) = x, x, p K et N u etier très grad. L expériece état faite N fois, le résultat x sera obteu eviro =Np(X=x ) fois, et N la moyee des résultats sera x( N) = x ( N) avec p( X = x ) = lim ( ), de plus, quad N N N x X N ( Ω) ted vers +, o a EX ( ) = lim xn ( ). N Ceci doe doc ue iterprétatio pratique, et ue justificatio, de l espérace, moyee des résultats quad le ombre d expérieces ted vers l ifii. E statistique, o appelle souvet l espérace moyee, ce qui est ue cofusio etre u résultat théorique, l espérace, et u résultat calculé à partir d ue observatio. Jusqu à maiteat les statisticies (et les étudiats) ot sas scrupules mélagé les deux otios, mais sas dommage majeur. Pour avoir ue représetatio plus cocrète de l espérace, o peut faire ue comparaiso avec la mécaique, e cosidérat u système de poits matériels aligés d abscisses x, et de masses p(x = x ). L espérace est alors le cetre de gravité du système. 3 ) Variace Gééralemet l espérace, si elle existe, est pas suffisate pour comparer deux distributios. L espérace doe e quelque sorte u cetre d iertie, mais e doe aucue idicatio de la dispersio de la distributio autour de ce cetre. Imagios par exemple que deux cetres d exames otet des copies. Il est possible que la distributio des otes aiet la même espérace mais que les répartitios des otes autour de cette même moyee soiet très différetes. O défiit la variace d ue variable aléatoire X,discrète sur u espace probabilisé (Ω, A, p) et dot l espérace existe, par Var( X) = x E( X) p( X = x ) = E ( X E( X)), si cette somme existe, b g c h x Ω c est à dire le momet cetré d ordre. Cette défiitio motre l aalogie avec la mécaique, la variace correspod à u momet d iertie, et elle permet de costater qu ue variace est toujours positive, comme barycetre de carrés affectés de coefficiets positifs, mais elle peut se mettre sous ue autre forme, souvet plus pratique pour les calculs. b g a f VarX ( ) = x xex ( ) + EX ( ) px ( = x) = xpx ( = x) xex ( ) px ( = x) + EX ( ) px ( = x) x Ω x Ω x Ω x Ω ( ) ( ) x Ω x Ω x Ω x Ω = x p( X = x ) E( X) x p( X = x ) + E( X) p( X = x ) = x p( X = x ) E( X) + E( X) xpx ( x) EX ( ) EX b g EX ( ) x Ω = = = ( ) page 7

18 SQ-0 Probabilités - Statistiques c h c h b g e O predra, au choix et suivat les circostaces, VarX ( ) = E( X EX ( )) = EX EX ( ) faisat bie attetio à la place des parethèses. Pour des raisos pratiques, o utilise aussi l écart type σ (écart quadratique moye) défii par la relatio σ X = Var( X). La variace état positive l existece de l écart type est assurée dès que Var(X) existe. 4 ) Relatios sur l espérace et la variace O motre facilemet, à partir des défiitios, que, α et β état des ombres réels quelcoques : E( αx+ β) = αe( X) + β, Var( αx+ β) = α Var( X) et que σα X+ β = α σx. Si Var(X) 0, il est doc possible, moyeat la trasformatio affie Y X E ( = X ), de costruire, σ x à partir de X, ue variable aléatoire Y cetrée (d espérace ulle) et réduite (de variace égale à ). Par cotre, et c est u erreur fréquete chez les étudiats distraits et fougueux, il est pas questio d utiliser ue relatio similaire si la relatio etre X et Y est pas affie. E particulier, et il est possible à titre d exercice de trouver des cotre-exemples, E I F et EX EX HG XK J ( ) E ( X b ( ) g, sio toutes ) les variaces seraiet ulles! 5 ) Exemples Si o repred l exemple de la page 6, le calcul direct doe E(X) = 0,65 et Var(X) 0,48, ce qui sigifie que sur u très grad ombre de tirages de 5 cartes, la moyee du ombre d As est de 0,65, eviro. Exemple de variable à support déombrable, qu o peut faire à titre d exercice : Das ue fourée de biscuits le ombre X de oisettes présetes das chaque biscuit est ue variable aléatoire de distributio : p( X= ) = N H I F. O suppose de plus que la valeur d u biscuit est proportioelle au cube du ombre de oisettes présetes (pourquoi pas?). 3 3K Les biscuits sot triés par des chimpazés qui maget tous ceux qui cotieet 0, ou oisettes. a) Calculer l espérace et la variace de X. b) Quelle est la probabilité qu u biscuit pris au hasard soit magée par u chimpazé? c) Quelle est la part du chiffre d affaires que les chimpazés cosommet? d) Quelle est la probabilité qu ue oisette prise au hasard aille das u biscuit e coteat? e) soit magée par u chimpazé? xbx + 4x+ g 3 O peut utiliser x, + x = ou démotrer cette relatio. 4 = 0 ( x) -III- Lois usuelles Il est pas questio d étudier e détail toutes les variables aléatoires discrètes, il y e a ue ifiité, mais certaies d etre elles revieet fréquemmet das la pratique, et il est itéressat d e coaître les coditios d applicatio. O peut aussi e mémoriser les caractéristiques, distributio, espérace, variace quad elles existet. ) Loi uiforme U() Soit l esemble E ={,,, }, N* et la variable aléatoire X uiforme sur E, c est-à-dire qu o suppose l équiprobabilité sur E. O a doc E p( X= ) = tirage au hasard das le lagage commu.. Il s agit de ce qu o omme page 8

19 ( + ) Calcul de l espérace et de la variace : EX ( ) = = = + = ( + ) ( + )( + ) ( + ) Var( X) = = = = O remarque que si =, la probabilité est cocetrée sur la valeur et que la variace est ulle. UV SQ 0 ) Loi biomiale B(, p) Ue situatio fréquete cosiste à répéter la même expériece meat à u succès (probabilité p) ou à u échec (probabilité p) fois et à compter le ombre X de succès. Il peut s agir par exemple de lacer 0 fois u dé équilibré et de compter le ombre de 6, de tirer 5 fléchettes sur ue cible et de compter le ombre de flèches das le rod cetral. O peut aussi se référer à la plache de Galto itroduite à la page 5, e preat succès = droite et échec = gauche. Das la pratique, o cosidère, pour ce gere d expérieces, que tous les lacers se fot de maière idépedate, c est à dire que les coditios de l expériece sot idetiques d ue fois à l autre, il y a pas d usure, de progrès das la dextérité, etc. Ue situatio similaire (mais équivalete uiquemet das le cas où Np est etier) est le tirage avec remise de jetos das u esemble de N, Np jetos blacs et N( p) oirs, avec N N* et p [0, +]. X est alors le ombre de jetos blacs tirés. O a l esemble X(Ω)={0,,, }, et pour toute valeur de das X(Ω) le résultat s écrit sous la forme d ue suite (x, x ) de élémets parmi lesquels il y a fois le résultat (succès) et fois 0 (échec). La probabilité d u tel résultat est doc p ( p) -. Pour costruire ue telle suite, il faut choisir rags où placer les 0 das {,,, }, c est-à-dire C possibilités. O a doc l0, K, q p( X= ) = C p ( p) Les calculs de l espérace E(X) = p s obtiet à partir de la formule du biôme. E effet :! ( ) EX ( ) = C p( p) = p p ( p) = p C p ( p) = p( p+ ( p)) = p!( )! = 0 De même pour la variace : =! Var( X) = C p ( p) ( p) = ( ) p ( p) + C p ( p) p!( )! = 0 = ( ) p C p ( p) + E( X) p = p p + p p = p( p) = 0 = = = 3 ) Loi hypergéométrique H(N,, p) a) Défiitio Pour la loi biomiale, o cosidère des tirages idépedats (avec remise), mais cette fois o tire les jetos simultaémet, c est-à-dire qu o e remet pas les jetos das la boîte après tirage et que l ordre de tirage a pas d importace. Pour modéliser ce problème, o peut cosidérer ue boîte séparée e deux cases coteat respectivemet N p jetos blacs et N( p) oirs. Le ombre de tirages possibles, qu o suppose équiprobables est alors C N. Pour toute valeur de das {0,,,, }, o extrait simultaémet jetos das la première case, et esuite (de maière idépedate) jetos das la secode. O a alors : b de tirages des jetos blacs = C C C - Np Np N(-p) doc p X - l0 b de tirages des jetos oirs = C,, K, q ( = ) =. N(-p) CN Cette relatio caractérise la loi hypergéométrique H(N,, p). Ne pas oublier la covetio sur les combiaisos itroduite à la page 5. Le cas = 0 e présete pas d itérêt, car o e tire pas de jeto et doc p(x = 0) =. b) Propriétés Par des calculs (fastidieux) sur les combiaisos, o vérifie que la somme des probabilités est bie page 9

20 SQ-0 Probabilités - Statistiques égale à, et o motre que E(X) = p (résultat idépedat de N) et Var X p p N ( ) = ( ) N. O remarque que l espérace est la même que pour les tirages avec remise (variable biomiale), mais que la variace est iférieure, avec toutefois lim p( p) N p( p) N =. Nous allos faire le premier calcul à titre d exemple, les autres ferot (évetuellemet) l objet d u exercice qui pourra remplir ue soirée pluvieuse. Cosidéros et N etiers tels que 0 < N. i j x R, + x = + x + x C = C C. i j C = C C = C C, ce qui motre que p(x = ) = N page 0 N Np N( p) N Np N( p) a f a f a f N Np N( p) Cosidéros le terme e x = 0 i= 0 j= 0 Np N( p) Np N( p) i+ j= = 0 =0 F I HG K J F H G I K J c) Exemples Soit u jeu de 3 cartes (4 couleurs,,,, et 8 valeurs, As, R, D, V, 0,..., 7), duquel o extrait simultaémet 5 cartes, ce qu o appelle ue mai. O s itéresse au ombre de reçus das les ciq cartes. Toutes les coditios serot remplies pour utiliser la loi hypergéométrique quad ous auros supposé que les ciq cartes sot tirées au hasard, c est-à-dire que toutes les mais possibles sot équiprobables. O a doc les paramètres N = 3, = 5, et p = 0,5. (Cf. aussi l exemple -I- 3 ) page 3) 4 ) Loi géométrique G(p) O cosidère la situatio suivate : u évéemet a ue probabilité de succès de p ]0, [. O répète la même expériece jusqu à obtetio d u succès, et o ote X le ombre d expérieces effectuées. Par exemple les shados (feuilleto TV des aées 960) avaiet ue chace sur 00 de réussir leur expériece, alors ils essayaiet jusqu au succès. N ayat aucue coaissace de probabilités, ils se dépêchaiet de rater les 99 premières afi de réussir à coup sûr la 00 ème. Exercice : avaiet-ils raiso? Plus sérieusemet, cette loi est utilisée das le domaie de la sécurité. Pour tester la solidité d u matériel, o le soumet à des chocs, ou à des surtesios si c est u matériel électroique, et o compte le ombre de chocs avat rupture. La variable X (variable géométrique de paramètre p est défiie N * p( X= ) = p( p) où p ]0, [. E effet, pour avoir le premier succès (probabilité p) à la ème expériece, il faut avoir raté les précédetes (chacue de probabilité p). Toutes les probabilités sot positives, mais o doit quad même vérifier que la somme des probabilités est égale à. O peut faire la remarque que si ue somme de réels positifs est égale à, tous ces réels sot compris etre 0 et. p px ( = ) = p( p) = p ( p) = = (somme d ue série géométrique). * * * N N N ( p) Calculos maiteat l espérace, si elle existe. E utilisat le cours sur les séries etières, o peut motrer les résultats suivats : + = = = = = x ], [ f( x) x, f'( x) x et f"( x) ( ) x = N 3 x N ( x) * N ( x). O a doc, avec x = p, EX ( ) = p( p) = p ( p) = p = * * N N a ( p) f p p( p) p Var( X) = p( p) = p ( )( p) + p ( p) = + = 3 * p * * p p p p p N N 5 ) Loi de Poisso P(λ) a) Défiitio Soit ue variable biomiale B(,p) avec p = λ > 0, et étudios le cas où ted vers l ifii, ce qui implique, avec λ costat, que p tede vers 0. Il s agit doc, pour assez grad, de répéter u grad N

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