Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche"

Transcription

1 Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles QCM, Liba 009, 3 poits QCM, C. étragers QCM, Frace QCM, N. Calédoie QCM divers, Atilles QCM probas diverses, La Réuio ROC+QCM, N. Caledoie Exercice de base.. Exercice de base Exercice de base Exercice de base 4 : Das ue ure. 4. Exercice de base 5 : La loterie. 5. Exercice de base Exercice de base Exercice de base 8, domios, Am. Sud Exercice de base 4 : test. 9. Exercice de base 5 : sodage. 0. Exercice de base 6 : Cartes 3.. Exercice de base 7 : Cubes 3.. Exercice de base 8 : Stylos Titi et Milou, N. Calédoie Sodage, Bac E, Rees Sodage écolo, Polyésie Archer. 7. Arbre ROC + jetos + VA, Frace Dés+VA, Atilles Arbres, Cetres étragers Arbre+biom, La Réuio Arbre 3 iveaux, La Réuio Cotrôle de qualité, Liba VA, Nouvelle Calédoie Boules+VA, STL, Frace, jui Boules+VA, STL, Frace, jui Ures+Biom, Atilles 09/ VA + Biom, N. Calédoie / Loterie+VA, Frace et La Réuio Arbre+VA+Biom, Atilles jui Tirages+VA, Polyésie, sept Boules+VA+répétitio, Polyésie Boules+VA, C Atilles STL, Frace, sept Partie de dés, STL, Frace, jui 004, Boules+suite, Polyésie Boules et ures, Am. Sud Boules sas ou avec remise Ures, boules, tirages, Podicherry Ures, boules, VA, N. Calédoie Loterie, VA, Asie Morpio, Polyésie Cartes+VA+Barycetre Boules+foctio+VA, Podichéry Grippe+biomiale 30 Termiale S F. Laroche. 56. Sodage+biomiale Questioaire+VA Ures+VA Raquettes. 60. Code d etrée Statio-service, Frace Avec de la géométrie, Am. du Sud Géométrie+VA, Atilles remplt Loi biomiale ROC+Biomiale, Cetres étragers Cotrôle de fabricatio, Polyésie Cotrôle+biomiale, La Réuio Fabricatio+biomiale, Asie VA+biomiale, Podicherry VA+biomiale, Asie Biomiale, Frace & La Réuio sept Aire et tir, La Réuio Dé, biom. et suites, C. étragers Paquets de gaufrettes Calcul de l esp. et de la var. de la loi biomiale Autour du biome Exames saguis Evolutio d ue populatio de bactéries Tirages successifs, Liba Barycetre+ures+biom., Polyésie Equête téléphoique, C. étragers Equête téléphoique, Frace Dé pipé, Polyésie Pièces truquées, La Réuio Clefs et portes, Podicherry Hôpital, Liba Fléchettes, Frace Fléchettes, Amérique du Nord Lacer de tétraèdres, Polyésie Pièces d euro et loi biom., Frace Promeades avec u guide, Atilles Promeades sas guide, Asie Visite de musée, Cetres étragers Loi de Poisso, Podichéry Accidets (Poisso), N. Calédoie Loterie 5 3. Chaie de Markov Chaie de Markov, N. Calédoie Tirages successifs, Asie Hérédité, Polyésie sept Chaîe de Markov, Liba Chaîe de Markov, Asie Markov, biomiale, N. Calédoie Ramassage (Markov), C. étragers Géétique (Markov) Ures et jetos (Markov) Feux rouges (Markov), Asie Assurace, Polyésie Chaîe de Markov, Atilles Fléchettes et chaîe de Markov, Asie Promeade aléatoire, Polyésie 005 6

2 3. 0. Petit commerce, Atilles cotiues QCM probas cotiues, La Réuio Autocars, Asie Durée de vie d ue machie Oscilloscopes, Polyésie Vie composats, Am. du Sud Durée de vie, Am. du Nord Loi uiforme, Atilles Loi cotiue Test+biom+adéquatio, Atilles Lacer dé+adéquatio, Frace rempl Fesic 003 : Exercice Fesic 003 : Exercice Fesic 003 : Exercice 4 68 Note : l orthographe fraçaise est compliquée le mot biome peut s écrire de dix maières différetes (et e parlos pas des polyomes et cosorts). Aussi, et j egage fortemet mes lecteurs à procéder de même, j ai décidé de supprimer l accet circoflexe das tous les cas (aisi que l Académie Fraçaise le recommade d ailleurs lorsque ce derier est pas écessaire). Termiale S F. Laroche

3 . Rappels et exercices de base.. QCM (P. Egel). A et B sot deux évèemets idépedats tels que p(a) = 0, et p(b) = 0,3 alors p(a B) =. a. 0,06 b. 0,44 c. 0,5 d. 0,56. A et B sot deux évèemets. p(a B) = a. p(a) p( A B ) b. p(b) p( A B ) c. p(b) p( A B ) d. p(a) p( A B ) 3. Ue ure cotiet 5 boules oires et 3 boules blaches. O tire successivemet et sas remises boules de l ure. La probabilité de l évéemet : «la ième boule tirée est oire sachat que la première l est aussi» est égale à. a. 5 4 b c. 5 4 d Lors d ue course de chevaux comportat 0 partats, la probabilité de gager le tiercé das le désordre est combie de fois supérieure à la probabilité de gager le tiercé das l ordre? a. 0 fois b. 6 fois c. 5 fois d. 3 fois 5. Das u tiroir il y a 3 paires de chaussettes de couleurs différetes, o tire au hasard chaussettes ; la probabilité qu elles appartieet à la même paire est égale à. a. 3 b. 5 c. 6 d. 6. Ue seule de ces 4 affirmatios est fausse laquelle? a. Deux évèemets icompatibles e sot pas écessairemet idépedats b. Si p(a) 0 alors p A (A)= c. Das u jeu de 3 cartes, la probabilité d obteir les 4 as das ue mai de 5 cartes est iférieure à u dix millième. d. Que l o joue au loto ou pas, la probabilité de gager le gros lot est idetique au millioième près 7. O cosidère l épreuve qui cosiste à lacer u dé o truqué. O gage 0 si o obtiet le 6, o perd 4 sio. L espérace de gai pour ce jeu est. a. Impossible à détermier b. Négative c. Positive d. Nulle 8. O choisit au hasard ue boule d ue ure coteat 3 boules rouges umérotées, et 3, deux boules vertes umérotées et et ue boule bleue umérotée. O cosidère les évèemets suivats : R : «La boule tirée est rouge» ; A : «la boule tirée est umérotée» ; B : «la boule tirée est umérotée». Laquelle de ces 4 affirmatios est vraie? a. Il y a pas d évèemets idépedats b. R et A sot idépedats c. A et B sot idépedats d. R et B sot idépedats Termiale S 3 F. Laroche

4 9. E cosidérat ue aée de 365 jours, la probabilité pour que das u groupe de 3 persoes choisies au hasard, persoes au mois aiet la même date aiversaire est a. Iférieure à 0,5 b. Egale à 0,5 c. Supérieure à 0,5 d. Proche de 0, U élève répod au hasard aux 0 questios de ce QCM. La probabilité qu il obtiee la moyee est eviro égale à. a. 0,003 b. 0,058 c. 0,078 d. 0, QCM, Atilles poits Cet exercice est u questioaire à choix multiples costitué de quatre questios, chacue comporte trois réposes, ue seule est exacte. O otera sur la copie uiquemet la lettre correspodat à la répose choisie. U lecteur d'ue bibliothèque est passioé de romas policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 50 romas policiers et 50 biographies. 40% des écrivais de romas policiers sot fraçais et 70% des écrivais biographiques sot fraçais. Le lecteur choisit u livre au hasard parmi les 00 ouvrages.. La probabilité que le lecteur choisisse u roma policier est :. Le lecteur ayat choisi u roma policier, la probabilité que l'auteur soit fraçais est : 3. La probabilité que le lecteur choisisse u roma policier fraçais est : 4. La probabilité que le lecteur choisisse u livre d u écrivai fraçais est : 5. La probabilité que le lecteur ait choisi u roma policier sachat que l'écrivai est fraçais est : 6. Le lecteur est veu 0 fois à la bibliothèque. La probabilité qu il ait choisi au mois u roma policier est :. 3. QCM, Liba 009, 3 poits a. 0,4 b. 0,75 c. 50 a. 0,3 b. 0,8 c. 0,4 a.,5 b. 0,4 c. 0,3 a. 0,9 b. 0,7 c. 0,475 a b. 9 c. 0,3 a. (0,5)0 b. 0 0,75 c. 0,75 (0,5)0 Pour chacue des trois questios. ue seule des quatre propositios est exacte. Il sera attribué u poit si la répose est exacte, zéro sio.. O désige par A et B deux évèemets idépedats d u uivers mui d ue loi de probabilité p. O sait que ( A B) 4 5 p = et ( A) 3 p =. La probabilité de l évèemet B est égale à : 5 a. 5 b. 3 c. 3 5 d.. O ote X ue variable aléatoire cotiue qui suit ue loi expoetielle de paramètre λ = 0,04. O rappelle que pour tout réel t positif, la probabilité de l évéemet X t par p( X t) t x λ λ 0, otée p( X t) = e dx. La valeur approchée de p(x > 5) à 0 près par excès est égale à : a. 0,9 b. 0,8 c. 0,9 d. 0,8, est doée Termiale S 4 F. Laroche

5 3. Das ma rue, il pleut u soir sur quatre. S il pleut, je sors mo chie avec ue probabilité égale à 0 ; s il 9 e pleut pas, je sors mo chie avec ue probabilité égale à. Je sors mo chie ; la probabilité qu il e 0 pleuve pas est égale à : a QCM, C. étragers poits b Pour chacue des questios de ce QCM ue seule, des trois propositios A, B ou C est exacte. c. 3 4 d. 7 8 Le cadidat idiquera sur sa copie le uméro de la questio et la lettre correspodat à la répose choisie. Aucue justificatio est demadée. Ue répose exacte rapporte 0,5 poit. Ue répose iexacte elève 0,5 poit. L absece de répose apporte i elève aucu poit. Si le total est égatif la ote de l exercice est rameée à 0. Ue ure cotiet 8 boules idiscerables au toucher, 5 sot rouges et 3 sot oires.. O tire au hasard simultaémet 3 boules de l ure. a. La probabilité de tirer 3 boules oires est : A B C b. La probabilité de tirer 3 boules de lamême couleur est : A B C O tire au hasard ue boule das l ure, o ote sa couleur, o la remet das l ure ; o procède aisi à 5 tirages successifs et deux à deux idépedats. a. La probabilité d obteir 5 fois ue boule oire est : A B C b. La probabilité d obteir boules oires et 3 boules rouges est : A B C O tire successivemet et sas remise deux boules das cette ure. O ote : R l évèemet :«La première boule tirée est rouge»; N l évèemet :«La première boule tirée est oire»; R l évèemet :«La deuxième boule tirée est rouge»; N l évèemet :«La deuxième boule tirée est oire». a. La probabilité coditioelle ( R ) P est : R Termiale S 5 F. Laroche

6 A B C b. La probabilité de l évèemet R N est : A B C c. La probabilité de tirer ue boule rouge au deuxième tirage est : A B C d. La probabilité de tirer ue boule rouge au premier tirage sachat qu o a obteu ue boule oire au secod tirage est : A B C QCM, Frace poits Cet exercice est u questioaire à choix multiples. Pour chaque questio, ue seule des propositios est exacte. O doera sur la feuille la répose choisie sas justificatio. Il sera attribué u poit si la répose est exacte, zéro sio. Das certaies questios, les résultats proposés ot été arrodis à 0 3 près.. U représetat de commerce propose u produit à la vete. Ue étude statistique a permis d établir que, chaque fois qu il recotre u cliet, la probabilité qu il vede so produit est égale à 0,. Il voit ciq cliets par matiée e moyee. La probabilité qu il ait vedu exactemet deux produits das ue matiée est égale à : a. 0,4 b. 0,04 c. 0,04 d. 0,048. Das ue classe, les garços représetet le quart de l effectif. Ue fille sur trois a eu so permis du premier coup, alors que seulemet u garço sur dix l a eu du premier coup. O iterroge u élève (garço ou fille) au hasard. La probabilité qu il ait eu so permis du premier coup est égale à : a. 0,043 b. 0,75 c. 0,7 d. 0, Das la classe de la questio, o iterroge u élève au hasard parmi ceux ayat eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit u garço est égale à : a. 0,00 b. 0,09 c. 0, d. 0,5 4. U tireur sur cible s etraîe sur ue cible circulaire comportat trois zoes délimitées par des cercles cocetriques, de rayos respectifs 0, 0 et 30 cetimètres. O admet que la probabilité d atteidre ue zoe est proportioelle à l aire de cette zoe et que le tireur atteit toujours la cible. La probabilité d atteidre la zoe la plus éloigée du cetre est égale à : Termiale S 6 F. Laroche

7 a. 5 9 b. 9 4 c. 4 7 d QCM, N. Calédoie poits Pour chaque questio ue seule des quatre propositios est exacte. Le cadidat idiquera sur la copie le uméro de la questio et la lettre correspodat à la répose choisie. Aucue justificatio est demadée. Ue répose exacte rapporte les poits attribués à la questio, ue répose iexacte elève la moitié des poits attribués à la questio, l absece de répose est comptée 0 poit. Si le total est égatif la ote est rameée à 0. A. U sac cotiet 3 boules blaches, 4 boules oires et boule rouge, idiscerables au toucher. O tire, au hasard, successivemet, trois boules du sac, e remettat chaque boule tirée das le sac avat le tirage suivat. Questio : La probabilité de tirer trois boules oires est : a b. 9 8 c. 3 d Questio : Sachat que Jea a tiré 3 boules de la même couleur, la probabilité qu il ait tiré 3 boules rouges est : a. 0 b. 8 3 c. 3 8 d. 9 B. Soit f la foctio défiie sur [0; ] par f ( x) = x+ m où m est ue costate réelle. Questio 3 : f est ue desité de probabilité sur l itervalle [0 ; ] lorsque : a. m= b. m= c. m= e d. m= e C. La durée de vie e aées d u composat électroique suit ue loi expoetielle de paramètre 0,. Questio 4 : La probabilité que ce composat électroique ait ue durée de vie strictemet supérieure à 5 as est : a. e b. e c. 5e d. ( ) 0, e. 7. QCM divers, Atilles poits Pour chaque questio, ue seule des propositios est exacte. Le cadidat idiquera sur la copie le uméro et la lettre de la questio aisi que la valeur correspodat à la répose choisie. Aucue justificatio est demadée. Ue répose exacte aux questios et rapporte 0,5 poit et à la questio 3 rapporte poit. Ue répose iexacte elève 0,5 poit ; l absece de répose est comptée 0 poit. Si le total est égatif, la ote est rameée à zéro. O s itéresse à deux types de pièces électroiques, P et P, qui etret das la fabricatio d ue boïte de vitesses automatique. Ue seule pièce de type P et ue seule pièce de type P sot écessaires par boîte. L usie se fourit auprès de deux sous-traitats et deux seulemet : S et S. Termiale S 7 F. Laroche

8 Le sous-traitat S produit 80 % des pièces de type P et 40 % de pièces de type P. Le sous-traitat S produit 0 % des pièces de type P et 60 % de pièces de type P.. U employé de l usie réuit toutes les pièces P et P destiées à être icorporées das u certai ombre de boîtes de vitesses. Il y a doc autat de pièces de chaque type. Il tire ue pièce au hasard. a. La probabilité que ce soit ue pièce P est : 0,8 0,5 0, 0,4 0,6 b. La probabilité que ce soit ue pièce P et qu elle viee de S est : 0, 0, 0,3 0,4 0,5 c. La probabilité qu elle viee de S est 0, 0,4 0,5 0,6 0,8. Il y a 00 pièces au total. Cette fois l employé tire deux pièces simultaémet. O suppose tous les tirages équiprobables. a. Ue valeur approchée à 0 4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P est : 0,588 0,487 0,683 0,0095 b. Ue valeur approchée à 0 4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P et P est : 0,5000 0,53 0,505 c. La probabilité que ce soiet deux pièces fabriquées par le même fourisseur est : La durée de vie exprimée e aées des pièces P et P suit ue loi expoetielle dot le paramètre λ est doé das le tableau suivat : λ P P S 0, 0,5 S 0, 0,5 O rappelle que si X, durée de vie d ue pièce exprimée e aées, suit ue loi expoetielle de paramètre λ, alors p( X t) t x λ λ 0 = e dx. Ue valeur approchée à 0 4 près de la probabilité qu ue pièce P fabriquée par S dure mois de 5 as est : 0,3679 0, QCM probas diverses, La Réuio poits Pour chaque questio, ue seule des quatre propositios est exacte. Le cadidat idiquera sur la copie le uméro de la questio et la lettre correspodat à la répose choisie. Aucue justificatio est demadée. Ue répose exacte rapporte poit ; ue répose iexacte elève u demi-poit ; l absece de répose est comptée 0 poit. Si le total est égatif, la ote est rameée à 0. Termiale S 8 F. Laroche

9 Première partie Pour réaliser des étiquettes de publipostage, ue etreprise utilise deux baques de doées : B, coteat adresses, dot 0 sot erroées et sot exactes, B, coteat adresses, dot 00 sot erroées et sot exactes.. O prélève au hasard, avec remise, 0 étiquettes parmi les réalisées à l aide de B. La probabilité qu exactemet trois de ces étiquettes comportet ue adresse erroée est : A : B : 0 C : D : Parmi les étiquettes, o e choisit ue au hasard. Sachat que l étiquette comporte ue adresse exacte, la probabilité qu elle ait été réalisée à l aide de B est : A : 0,98 B : 0,4 0,95 0,6 0,98+ 0,6 0,0 C : 0,6 0,98 D : 0,6 0,98 0,6 0,98+ 0,4 0,95 Deuxième partie La durée de vie, exprimée e heures, d u robot méager jusqu à ce que surviee la première pae est modélisée par ue loi de probabilité p de durée de vie sas vieillissemet défiie sur l itervalle [ 0;+ [ (loi expoetielle de paramètre λ = 0,0005). Aisi la probabilité que le robot tombe e pae avat l istat t est : ([ 0; [). La probabilité qu u robot ait ue durée de vie supérieure à 500 heures est : A : e B : 5 4 e C : e D : e. La durée de vie moyee d u robot méager est doée par la formule t x λ λ 0 p t = e dx x λ λ 0 E= lim t xe dx. t + a. L itégrale xe dx est égale à : t x λ λ 0 t A : λ t e λ B : λt λt e te + λt λt C : λte λe λ D : λ λ te λt λt e λ b. La durée de vie moyee des robots, exprimée e heures, est : A : B : 000 C : 53,4 D : ROC+QCM, N. Caledoie poits Cet exercice comporte deux parties idépedates. La partie I est la démostratio d u résultat de cours. La partie II est u Q.C.M. Partie I : Questio de cours Soiet A et B deux évèemets idépedats. Démotrer que A et B sot idépedats. Partie II Pour chacue des questios suivates, ue et ue seule des quatre propositios est exacte. Le cadidat idiquera sur sa copie le uméro de la questio et la lettre correspodat à la répose choisie. Aucue Termiale S 9 F. Laroche

10 justificatio est demadée. Ue répose exacte rapporte poit, ue répose fausse elève 0,5 poit, l absece de répose est comptée 0 poit. Si le total de cette partie est égatif, la ote correspodat à la partie II est rameée à zéro.. Ue ure comporte ciq boules oires et trois boules rouges idiscerables au toucher. O extrait simultaémet trois boules de l ure. Quelle est la probabilité d obteir deux boules oires et ue boule rouge? Termiale S 0 F. Laroche A 75 5 B Au cours d ue épidémie de grippe, o vaccie le tiers d ue populatio. Parmi les grippés, u sur dix est vaccié. La probabilité qu ue persoe choisie au hasard das la populatio soit grippée est 0,5. Quelle est la probabilité pour u idividu vaccié de cette populatio de cotracter la grippe? A 0 3. U joueur lace ue fois u dé bie équilibré. B 3 40 Il gage 0 si le dé marque. Il gage si le dé marque ou 4. Il e gage rie das les autres cas. Soit X la variable aléatoire égale au gai du joueur. Quelle est la variace de X? C C 5 64 D D A B 3 C 6 D 7 4. La durée d attete T, e miutes, à u péage d autoroute avat le passage e caisse est ue variable aléatoire qui suit ue loi expoetielle de paramètre λ =. O a doc pour tout réel t > 0 : 6 où t désige le temps exprimé e miutes. t x λ λ 0 P( T < t) = e dx avec λ = 6 Sachat qu u automobiliste a déjà attedu miutes, quelle est la probabilité (arrodie à 0 4 près) que so temps total d attete soit iférieur à 5 miutes?. 0. Exercice de base A 0,89 B 0,3935 C 0,5654 D 0,6065 O cosidère l esemble E des etiers de 0 à 40. O choisit l u de ces ombres au hasard. A est l évéemet : «le ombre est multiple de 3» B est l évéemet : «le ombre est multiple de» C est l évéemet : «le ombre est multiple de 6». Calculer p(a), p(b), p(c), p(a B), p(a B), p(a C) et p(a C)... Exercice de base O lace deux fois de suite u dé équilibré.. Représeter das u tableau les 36 issues équiprobables.. Calculer la probabilité des évéemets : A : «o obtiet u double» ; B : «o obtiet uméros cosécutifs» ; C : «o obtiet au mois u 6» ; D : «la somme des uméros dépasse 7»... Exercice de base 3 O lace 4 fois de suite ue pièce équilibrée.. Dresser la liste des issues équiprobables.. Quel est l évéemet le plus probable : A ou B? A : «piles et faces» ;

11 B : «3 piles et face ou 3 faces et pile».. 3. Exercice de base 4 : Das ue ure Mille boules umérotées de 0 à 999 sot placées das ue ure. O tire ue boule au hasard et o ote X le uméro sorti.. Calculer la probabilité des évéemets : A : «X est divisible par 5» ; B : «X se termie par 0» ; C : «X est multiple de» ; D : «X est divisible par 3».. Détermier la probabilité des évéemets A C,A C,B D,B D,A D,A D, A B et C D.. 4. Exercice de base 5 : La loterie Das ue loterie, o ved 00 billets dot 3 sot gagats.. O achète u billet. Quelle est la probabilité qu il soit gagat?. O achète u deuxième billet. Quelle est la probabilité de gager au mois u lot?. 5. Exercice de base 6 U joueur lace u dé : si le uméro est u ombre premier, le joueur gage ue somme égale au ombre cosidéré (e euros) ; sio il perd ce même ombre d euros.. Si X est le gai algébrique réalisé, doer la loi de probabilité de X et calculer so espérace mathématique et so écart-type.. Le jeu est-il favorable au joueur?. 6. Exercice de base 7 E fi de e S, chaque élève choisit ue et ue seule spécialité e termiale suivat les répartitios ci dessous : Par spécialité Sexe de l élève selo la spécialité Sexe Spécialité Mathématiques Scieces Physiques SVT 40% 5% 35% Mathématiques Scieces physiques SVT Fille 45% 4% 60% Garço 55% 76% 40% O choisit u élève au hasard.. Costruire l arbre podéré de cette expériece aléatoire.. a. Quelle est la probabilité de chacu des évéemets suivats? F : «l élève est ue fille», M : «l élève est e spécialité maths». b. Quelle est la probabilité que ce soit ue fille ayat choisi spécialité mathématiques? 3. Sachat que cet(te) élève a choisi spécialité mathématiques, quelle est la probabilité que ce soit ue fille? O appelle «probabilité de F sachat M» cette probabilité (coditioelle) et o la ote P M (F). 4. a. Quelle égalité faisat iterveir P(F M), P(F) et P M(F) peut-o écrire? b. Comparer P(F) et P M(F) et e doer ue iterprétatio. 5. a. Sachat que cet(te) élève a choisi spécialité SVT, quelle est la probabilité que ce soit ue fille? Termiale S F. Laroche

12 b. Comparer P S(F) et P(F), et e doer ue iterprétatio.. 7. Exercice de base 8, domios, Am. Sud 00 O cosidère l esemble E = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7}. Avec deux chiffres disficts x et y de E o crée u uique domio oté idifféremmet x y ou y x Avec u chiffre z de E, o forme u uique domio double oté z z.. Motrer que l o peut aisi créer 36 domios.. O tire au hasard u domio. a. Quelle est la probabilité d obteir u domio costitué de chiffres pairs? b. Quelle est la probabilité d obteir u domio dot la somme des chiffres est paire? 3. O tire au hasard et simultaémet deux domios. U élève affirme : «la probabilité d obteir u domio double et u domio simple dot l u des chiffres 4 est celui du domio double est égale à 45». So affirmatio est-elle vraie ou fausse? (La répose sera justifiée).. 8. Exercice de base 4 : test U laboratoire a mis au poit u éthylotest. Théoriquemet, celui-ci devrait être positif lorsqu ue persoe testée a u taux d alcoolémie excessif (c est à dire strictemet supérieur au seuil toléré). Mais il est pas parfait : * À u taux d alcoolémie excessif, l éthylotest est positif 96 fois sur cet. * À u taux d alcoolémie acceptable, l éthylotest est positif 3 fois sur cet. O suppose que ces résultats portet sur u échatillo suffisammet importat pour qu ils soiet costats. Das ue régio, 95 % des coducteurs d automobiles ot u taux d alcoolémie acceptable. O soumet au hasard u automobiliste de cette régio à l éthylotest. O défiit les évéemets suivats : Termiale S F. Laroche T : «L éthylotest est positif» S : «Le coducteur a u taux d alcoolémie excessif». Traduire mathématiquemet chacue des trois doées umériques de l éocé.. Quelle est la probabilité qu u automobiliste ait u taux d alcoolémie excessif et que l éthylotest soit positif. 3. Calculez P(T). 4. Quelle est la probabilité que l automobiliste ait u taux d alcoolémie excessif si l éthylotest est positif? 5. Quelle est la probabilité que l automobiliste ait u taux d alcoolémie acceptable si l éthylotest est égatif? 6. Quelle est la probabilité que l éthylotest doe u résultat erroé?. 9. Exercice de base 5 : sodage U sodage auprès de 50 persoes a doé les résultats suivats : A la questio «Cosommez vous régulièremet de l'alcool?», 50 persoes répodet oui. A la questio «Êtes-vous fumeur?», 80 persoes répodet oui. A la questio «Êtes-vous u fumeur cosommat régulièremet de l'alcool?», 35 persoes répodet oui.. Représeter ces doées par u diagramme.. Combie de persoes sot des fumeurs e cosommat pas régulièremet de l'alcool? 3. Combie de persoes cosommet régulièremet de l'alcool et e sot pas fumeurs? 4. Combie de persoes e sot pas fumeurs et e cosommet pas régulièremet de l'alcool?

13 5. Combie de persoes sot fumeurs ou cosommet régulièremet de l'alcool?. 0. Exercice de base 6 : Cartes O tire simultaémet 8 cartes d u jeu de 3, et o appelle ce tirage ue mai.. Combie y a-t-il de mais différetes possibles?. Combie de mais e comportet-elles que des cartes rouges. 3. a. Combie de mais cotieet-elles le roi de pique? b. Combie de mais comportet-elles exactemet as? c. Combie de mais comportet-elles exactemet roi et piques? d. Combie de mais comportet-elles la dame de carreau et au mois cœurs? 4. Combie de mais comportet-elles les 4 as ou les 4 rois?.. Exercice de base 7 : Cubes O dispose d u cube e bois de 3 cm d arête, peit e jaue. O le découpe, parallèlemet aux faces, e 7 cubes de cm d arête. O place ces 7 cubes das u sac.. O tire au hasard l u des 7 cubes du sac. O suppose que les tirages sot équiprobables. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le ombre de faces peites sur le cube tiré. a. Détermier la loi de probabilité de la variable aléatoire X. b. Calculer l espérace mathématique de la variable aléatoire X.. O tire maiteat, au hasard, simultaémet deux des 7 cubes du sac. O suppose que les tirages sot équiprobables. a. Motrer que la probabilité d avoir, au total, six faces peites est égale à b. O désige par u ombre aturel o ul ; après avoir oté le ombre de faces coloriées sur les deux premiers cubes tirés, o les remet das le sac et o recommece l opératio de maière à effectuer tirages successifs et idépedats de deux cubes. Calculer la probabilité p pour que l o obtiee au total 6 faces peites. c. Détermier la plus petite valeur de pour que p soit iférieur à 0. Les résultats des calculs serot doés sous forme fractioaire... Exercice de base 8 : Stylos Das u magasi se trouve u bac avec des stylos-feutres et des stylos à bille, bleus ou oirs. O sait qu il y a 40% de stylos-feutres parmi lesquels 0% sot bleus et qu il y a das le bac 5% de stylos à bille oirs. O choisit aléatoiremet u stylo das le bac et o ote : * F l évéemet : «le stylo choisi est u stylo-feutre» ; * B l évéemet : «le stylo choisi est u stylo bleu». Das cet exercice, tous les résultats serot doés sous forme décimale à 0 près.. a. Détermier les probabilités suivates : p(f), p F (B) et p(f B). b. Calculer p(f) et p F(B), e déduire p(f B). c. Motrer que la probabilité de choisir u stylo bleu est égale à 0,49. d. O a choisi u stylo bleu, quelle est la probabilité que ce soit u stylo à bille?. Le gérat du magasi recompte tous les stylos du bac et trouve fialemet : * 8 stylos feutres oirs à 0,40 l u, Termiale S 3 F. Laroche

14 * 7 stylos feutres bleus à 0,40 l u, * 90 stylos- à bille oirs à 0,70 l u, * 30 stylos- à bille bleus à 0,50 l u. Soit X la variable aléatoire égale au prix du stylo choisi das le bac. a. Détermier la loi de probabilité de X. b. Calculer l espérace mathématique et l écart-type de la variable aléatoire X.. 3. Titi et Milou, N. Calédoie 993 O cosidère le mot MILOU. O forme des «mots», ayat u ses ou o, avec certaies de ses lettres. Chaque lettre iterviet au plus ue fois das u même «mot».. Combie de mots de 5 lettres peut-o faire?. Combie de mots peut-o faire e tout? 3. Combie de mots de 5 lettres das lesquels il y a pas deux voyelles cosécutives? 4. Combie de mots de 6 lettres peut-o faire e employat les lettres du mot TINTIN, chaque lettre pouvat figurer autat de fois qu elle apparaît das le mot? 5. Combie de mots de 6 lettres peut-o faire e employat les lettres du mot HADDOCK, chaque lettre pouvat figurer autat de fois qu elle apparaît das le mot?. 4. Sodage, Bac E, Rees 977 U equêteur s itéresse aux loisirs d u groupe de 00 persoes. Il appred que 00 pêchet, 80 liset, et 30 pratiquet ces deux activités.. Représeter ces doées sous la forme d u diagramme de Caroll (autremet dit des patates, NDLR), le compléter.. O effectue u sodage e choisissat 0 persoes du groupe. a. Combie de sous-groupes différets peut-o faire? b. Combie de sous groupes das lesquels il y a exactemet 0 pêcheurs? c. Combie de sous groupes das lesquels les proportios de l esemble sot respectées (0 chasseurs, 8 lecteurs et 3 pratiquat les )? d. Combie de sous groupes das lesquels il y a exactemet 0 chasseurs et 8 lecteurs? O doera les résultats e utilisat les coefficiets p ou les factorielles.. 5. Sodage écolo, Polyésie poits U sodage effectué à propos de la costructio d u barrage a doé les résultats suivats : 65% des persoes sot cotre la costructio, parmi les persoes qui sot cotre cette costructio, 70% sot des écologistes, parmi les persoes qui sot pour la costructio, 0% sot écologistes. O ote C l évéemet «la persoe cocerée est cotre la costructio», D l évéemet cotraire, E l évéemet «la persoe cocerée est écologiste» et F l évéemet «la persoe cocerée est cotre la costructio et est pas écologiste».. Calculer les probabilités p(c), p C (E), p D (E).. a. Calculer la probabilité qu ue persoe soit cotre la costructio et soit écologiste. b. Calculer la probabilité qu ue persoe soit pour la costructio et soit écologiste. c. E déduire la probabilité qu ue persoe soit écologiste. 3. Calculer la probabilité p E (C). 4. Motrer que p(f) = 0,95. O choisit au hasard 5 persoes. Quelle est la probabilité qu au mois ue d elles soit cotre la costructio et e soit pas écologiste? Termiale S 4 F. Laroche

15 . 6. Archer Ue étude statistique a motré qu'u archer de très bo iveau, tirat das ue cible à oze zoes umérotées 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 0, a atteit avec ue flèche : la zoe 0 avec ue fréquece de 0,3 ; la zoe 9 avec ue fréquece de 0,6 ; la zoe 8 avec ue fréquece de 0,. À chaque flèche tirée est associé u ombre de poits égal au uméro de la zoe atteite. O admet que, pour cet archer se présetat à ue compétitio, les probabilités des évéemets : " la flèche marque 0 ", " la flèche marque 9 ", " la flèche marque 8 ", sot respectivemet égales aux fréqueces observées et que les tirs sot idépedats les us des autres. O appelle volée deux tirs successifs d'ue flèche.. Cet archer tire ue volée. O associe à ue volée la variable aléatoire X, somme des poits marqués à chacu des deux tirs de la volée. O appelle volée réussie toute volée telle que X 9. a. Quelles sot les valeurs prises par X? Détermier la loi de probabilité de la variable aléatoire X. b. Vérifier que la probabilité de l'évéemet " X 9 " est 9 0. Calculer la probabilité de l'évéemet «7 X 9» c. Calculer l'espérace mathématique et l'écart-type de X.. Cet archer tire trois volées successives, que l'o suppose idépedates. O cosidère la variable aléatoire Y, ombre de volées réussies parmi les trois tirées. Calculer la probabilité des évéemets suivats : a. «Y =». b. «Y». 3. Cet archer tire volées successives, que l'o suppose idépedates. Quelle doit être la valeur miimale 0 de pour que la probabilité de l'évéemet :" ue volée au mois est réussie " soit supérieure ou égale à 0,999?. 7. Arbre Das ue classe où tous les élèves étudiet l'aglais, o a testé le caractère visuel ou auditif de chacu d'eux : 70 % sot des visuels et 30 % des auditifs. O a oté que 50 % des visuels de cette classe ot de boes otes e aglais, et que 80 % des auditifs de cette même classe ot de boes otes e aglais.. Proposer ue représetatio (arbre, tableau...) qui décrive cette situatio.. O pred au hasard u om sur la liste des élèves de cette classe. Détermier la probabilité des évéemets suivats : E : «l'élève tiré est u visuel qui a de boes otes e aglais» ; F : «l'élève tiré est u auditif qui a de boes otes e aglais» ; G : «l'élève tiré a de boes otes e aglais».. 8. ROC + jetos + VA, Frace poits I. Cette questio est ue restitutio orgaisée de coaissaces.! O rappelle que si et p sot deux ombres etiers aturels tels que p alors =. p p! ( p)! Termiale S 5 F. Laroche

16 Démotrer que pour tout ombre etier aturel et pour tout ombre etier aturel p tels que p o a : Termiale S 6 F. Laroche = +. p p p II. U sac cotiet 0 jetos idiscerables au toucher : 7 jetos blacs umérotés de à 7 et 3 jetos oirs umérotés de à 3. O tire simultaémet deux jetos de ce sac.. a. O ote A l évèemet «obteir deux jetos blacs». Démotrer que la probabilité de l évèemet A est égale à 7 5. b. O ote B l évèemet «obteir deux jetos portat des uméros impairs». Calculer la probabilité de B. c. Les évèemets A et B sot-ils idépedats?. Soit X la variable aléatoire preat pour valeur le ombre de jetos blacs obteus lors de ce tirage simultaé. a. Détermier la loi de probabilité de X. b. Calculer l espérace mathématique de X.. 9. Dés+VA, Atilles poits Das cet exercice, les résultats serot doés sous forme de fractios. O dispose de deux dés tétraédriques idetiques : les quatre faces sot marquées A, B, C et D.. O lace les deux dés simultaémet et o ote la lettre de la face sur laquelle repose chacu des dés. Détermier la probabilité des évéemets suivats : - E 0 : «e pas obteir la lettre A», - E : «obteir ue fois la lettre A», - E : «obteir deux fois la lettre A».. O orgaise u jeu de la faço suivate : le joueur lace les deux dés simultaémet. - Si les deux dés reposet sur les faces «A», le jeu s arrête. - Si u seul dé repose sur la face «A», le joueur relace l autre dé et le jeu s arrête. - Si aucu dé e repose sur la face «A», le joueur relace les deux dés et le jeu s arrête. a. Recopier et compléter l arbre suivat e idiquat sur chaque brache la probabilité correspodate. b. Le joueur gage si, lorsque le jeu s arrête, les deux dés reposet sur les faces «A». Motrer que, pour le joueur, la probabilité de gager est de c. Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S il gage, o lui doe 0 euros. Si, lorsque le jeu s arrête, u seul dé repose sur la face «A», il est remboursé. Sio, il perd sa mise. Le jeu est-il favorable au joueur?. 30. Arbres, Cetres étragers poits Nombre de faces A Le secteur de productio d'ue etreprise est composé de 3 catégories de persoel : * les igéieurs ; * les opérateurs de productio ; * les agets de maiteace. 0 Nombre de faces A 0 0

17 Il y a 8 % d'igéieurs et 8 % d'opérateurs de productio. Les femmes représetet 50 % des igéieurs, 5 % des agets de maiteace et 60 % des opérateurs de productio. Partie A Das cette partie, o iterroge au hasard u membre du persoel de cette etreprise. O ote : Termiale S 7 F. Laroche * M l'évéemet : «le persoel iterrogé est u aget de maiteace» ; * O l'évéemet : «le persoel iterrogé est u opérateur de productio» ; * I l'évéemet : «le persoel iterrogé est u igéieur» ; * F l'évéemet : «le persoel iterrogé est ue femme».. Costruire u arbre podéré correspodat aux doées.. Calculer la probabilité d'iterroger : a. u aget de maiteace ; b. ue femme aget de maiteace ; c. ue femme. Partie B Le service de maiteace effectue l'etretie des machies, mais il est appelé aussi à iterveir e cas de pae. Pour cela ue alarme est prévue. Des études ot motré que sur ue jourée : O ote :». * la probabilité qu'il 'y ait pas de pae et que l'alarme se décleche est égale à 0,00 ; * la probabilité qu'ue pae surviee et que l'alarme e se décleche pas est égale à 0,003 ; * la probabilité qu'ue pae se produise est égale à 0,04. * A l'évéemet : «l'alarme se décleche» ; * B l'évéemet : «ue pae se produit. Démotrer que la probabilité qu'ue pae surviee et que l'alarme se décleche est égale à 0,037.. Calculer la probabilité que l'alarme se décleche. 3. Calculer la probabilité qu'il y ait ue pae sachat que l'alarme se décleche.. 3. Arbre+biom, La Réuio poits Tous les résultats serot arrodis à 0 près. Ue etreprise produit e grade quatité des stylos. La probabilité qu'u stylo présete u défaut est égale à 0,.. O prélève das cette productio, successivemet et avec remise huit stylos. O ote X la variable aléatoire qui compte le ombre de stylos présetat u défaut parmi les huit stylos prélevés. a. O admet que X suit ue loi biomiale. Doer les paramètres de cette loi. b. Calculer la probabilité des évéemets suivats : A : «il 'y a aucu stylo avec u défaut» ; B : «il y a au mois u stylo avec u défaut» ; C : «il y a exactemet deux stylos avec u défaut».. E vue d'améliorer la qualité du produit vedu, o décide de mettre e place u cotrôle qui accepte tous les stylos sas défaut et 0 % des stylos avec défaut. O pred au hasard u stylo das la productio. O ote D l'évéemet «le stylo présete u défaut», et E l'évéemet «le stylo est accepté». a. Costruire u arbre traduisat les doées de l'éocé. b. Calculer la probabilité qu'u stylo soit accepté au cotrôle. c. Justifier que la probabilité qu'u stylo ait u défaut sachat qu'il a été accepté au cotrôle est égale à 0,0 à 0 3 près. 3. Après le cotrôle o prélève successivemet et avec remise huit stylos parmi les stylos acceptés.

18 Calculer la probabilité qu'il 'y ait aucu stylo avec u défaut das ce prélèvemet de huit stylos. Comparer ce résultat avec la probabilité de l'évéemet A calculée à la questio. b. Quel commetaire peut-o faire?. 3. Arbre 3 iveaux, La Réuio poits O cosidère trois ures U, U et U 3. L ure U cotiet deux boules oires et trois boules rouges ; l ure U cotiet ue boule oire et quatre boules rouges ; l ure U 3 cotiet trois boules oires et quatre boules rouges. Ue expériece cosiste à tirer au hasard ue boule de U et ue boule de U, à les mettre das U 3, puis à tirer au hasard ue boule de U 3. Pour i preat les valeurs, et 3, o désige par N i, (respectivemet R i ) l évèemet «o tire ue boule oire de l ure Ui» (respectivemet «o tire ue boule rouge de l ureui»).. Reproduire et compléter l arbre de probabilités suivat N N 3 R 3 N 3 N R R 3 N 3 N R 3 R N 3 R R 3. a. Calculer la probabilité des évèemets N N N3, et N R N3. b. E déduire la probabilité de l évèemet N N3. c. Calculer de faço aalogue la probabilité de l évèemet R N3. 3. Déduire de la questio précédete la probabilité de l évèemet N Les évèemets N et N 3 sot-ils idépedats? 5. Sachat que la boule tirée das U 3 est oire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U soit rouge?. 33. Cotrôle de qualité, Liba poits U fabricat d écras plasma teste ue première fois ses appareils à la sortie de la chaîe de fabricatio. Si le test est positif (c est-à-dire si l écra foctioe correctemet), l écra est achemié chez le cliet. Sio l écra retoure e usie où il est réparé puis testé ue secode fois. Si ce deuxième test est positif, l écra est achemié chez le cliet, sio il est détruit. Ue étude statistique a permis de motrer que le test est positif pour 70 % des écras eufs sortis directemet des chaîes de fabricatio, mais que parmi les écras réparés, seulemet 65 % d etre eux passet le secod test avec succès. O ote T l évèemet : «le premier test est positif». Termiale S 8 F. Laroche

19 O ote C l évèemet : «l écra est achemié chez le cliet».. O choisit u écra au hasard à la sortie de la chaîe de fabricatio. Détermier les probabilités des évèemets T et C.. La fabricatio d u écra reviet à 000 au fabricat si l écra est testé qu ue fois. Cela lui coûte 50 de plus si l écra doit être testé ue secode fois. U écra est facturé a euros (a état u réel positif) au cliet. O itroduit la variable aléatoire X qui, à chaque écra fabriqué, associe le «gai» (évetuellemet égatif ) réalisé par le fabricat. a. Détermier la loi de probabilité de X e foctio de a. b. Exprimer l espérace de X e foctio de a. c. À partir de quelle valeur de a, l etreprise peut-elle espérer réaliser des bééfices?. 34. VA, Nouvelle Calédoie 00 U jeu cosiste à tirer simultaémet trois boules d ue ure coteat six boules blaches et quatre boules rouges. O suppose que tous les tirages sot équiprobables. Si les trois boules tirées sot rouges, le joueur gage 00 euros ; si exactemet deux boules tirées sot rouges, il gage 5 euros et si ue seule est rouge il gage 4 euros. Das tous les autres cas, il e gage rie. Soit X la variable alatoire qui pred pour valeurs le gai e euros du joueur lors d u jeu.. Détermier la loi de probabilité de la variable aléatoire X.. Pour u jeu, la mise est de 0 euros. Le jeu est-il favorable au joueur, c est-à-dire l espérace mathématiques est-elle strictemet supérieure à 0? 3. Pour l orgaisateur, le jeu e s avérat pas suffisammet retable, celui-ci evisage deux solutios : soit augmeter la mise de euro, doc passer à euros, soit dimiuer chaque gai de euros, c est-à-dire e gager que 99 euros, 4 euros ou 3 euros. Quelle est la solutio la plus retable pour l orgaisateur?. 35. Boules+VA, STL, Frace, jui poits Ue ure cotiet trois boules idiscerables au toucher, umérotées respectivemet, et 3. Le jeu proposé est le suivat : o verse d abord 0 euros, puis o effectue trois tirages successifs d ue boule avec remise et o obtiet aisi u ombre à trois chiffres e otat das l ordre les trois uméros obteus. Par exemple, si o tire successivemet, 3 et o obtiet le ombre 3. Si les trois chiffres sot idetiques, o reçoit 5 euros. Si les trois chiffres sot tous différets, o reçoit 5 euros. Si la somme des trois chiffres vaut 7, o reçoit 3 euros. Termiale S 9 F. Laroche

20 Das tous les autres cas, o e reçoit rie.. E s aidat d u arbre comme ci-dessous, doer la liste des 7 tirages possibles.. O appelle X la variable aléatoire qui, à chaqueombre à trois chiffres obteu, associe le gai algébrique (c est-à-dire la différece : somme reçue mois le versemet iitial). a. Détermier les valeurs prises par la variable aléatoire X. b. Préseter das u tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X. c. Calculer l espérace mathématique E(X) de la variable aléatoire X Boules+VA, STL, Frace, jui poits Ue ure cotiet 0 boules idiscerables au toucher. Sur chacue d elles est iscrit u ombre comme l idique le tableau ci-dessous : Nombre iscrit 5 0 Nombre de boules 4 3 U joueur mise 4 euros, tire ue boule au hasard et reçoit le motat (e euros) iscrit sur la boule.. Le joueur effectue u tirage. O appelle p la probabilité pour qu il perde (c est à dire qu il reçoive mois de 4 euros) et p la probabilité pour qu il gage (c est à dire qu il reçoive plus de 4 euros). Calculer p et p.. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspodre le «gai» du joueur (positif s il gage, égatif s il perd). a. Quelles sot les valeurs prises par la variable aléatoire X? b. Préseter la loi de probabilité de X das u tableau. c. Calculer so espérace mathématique E(X). 3. U jeu est équitable si et seulemet si E(X) = 0. O décide de chager le ombre iscrit sur ue seule boule portat le ombre. Quel ombre doit-o y iscrire pour que le jeu soit équitable?. 37. Ures+Biom, Atilles 09/008 4 poits O dispose de deux ures U et U. L ure U cotiet billes vertes et 8 billes rouges toutes idiscerables au toucher. L ure U cotiet 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes idiscerables au toucher. Ue partie cosiste, pour u joueur, à tirer au hasard ue bille de l ure U, oter sa couleur et remettre la bille das l ure U puis de tirer au hasard ue bille de l ure U, oter sa couleur et remettre la bille das l ure U. À la fi de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gage u lecteur MP3. S il a tiré ue bille verte, il gage u ours e peluche. Sio il e gage rie. O ote V l évèemet : «le joueur tire ue boule verte das U» V l évèemet : «le joueur tire ue boule verte das U». Les évèemets V et V sot idépedats.. Motrer, à l aide d u arbre podéré, que la probabilité de gager u lecteur MP3 est p = 0,06.. Quelle est la probabilité de gager u ours e peluche? Termiale S 0 F. Laroche

21 3. Vigt persoes jouet chacue ue partie. Détermier la probabilité que deux d etre elles exactemet gaget u lecteur MP3. O justifiera la répose et o doera ue valeur approchée du résultat à 0 4 près. 4. O appelle le ombre de persoes participat à la loterie u jour doé et jouat ue seule fois. O ote p la probabilité que l ue au mois de ces persoes gage u lecteur MP3. Détermier la plus petite valeur de vérifiat p >0, VA + Biom, N. Calédoie /008 4 poits U joueur lace ue bille qui part de A puis emprute obligatoiremet ue des braches idiquées sur l arbre ci-dessous pour arriver à l u des poits D, E, F et G. O a marqué sur chaque brache de l arbre la probabilité pour que la bille l emprute après être passée par u oeud. Les ombres etre parethèses idiquet les poits gagés par le joueur lors du passage de la bille. O ote X la variable aléatoire qui correspod au ombre total de poits gagés à l issue d ue partie c est-à-dire ue fois la bille arrivée e D, E, F ou G. 8 9 A B (0 pt) C (0 pts) 9 D (0 pt) E (0 pts) F (0 pt) G (0 pts). Das cette questio, les résultats sot attedus sous forme fractioaire. a. Détermier la loi de probabilité de X. b. Calculer l espérace de X. c. Calculer la probabilité que la bille ait suivi la brache AC sachat que le joueur a obteu exactemet 0 poits.. Le joueur effectue 8 parties et o suppose que ces huit parties sot idépedates. O cosidère qu ue partie est gagée si le joueur obtiet 0 poits à cette partie. a. Calculer la probabilité qu il gage exactemet parties. O doera le résultat arrodi au millième. b. Calculer la probabilité qu il gage au mois ue partie. O doera le résultat arrodi au millième Loterie+VA, Frace et La Réuio poits Das ue kermesse u orgaisateur de jeux dispose de roues de 0 cases chacue. La roue A comporte 8 cases oires et cases rouges. La roue B comporte 6 cases oires et 4 cases rouges. Lors du lacer d'ue roue toutes les cases ot la même probabilité d'être obteues. La règle du jeu est la suivate : Le joueur mise euro et lace la roue A. S'il obtiet ue case rouge, alors il lace la roue B, ote la couleur de la case obteue et la partie s'arrête. S'il obtiet ue case oire, alors il relace la roue A, ote la couleur de la case obteue et la partie s'arrête.. Traduire l'éocé à l'aide d'u arbre podéré. Termiale S F. Laroche

22 . Soiet E et F les évéemets : E : «à l'issue de la partie, les cases obteues sot rouges» ; F : «à l'issue de la partie, ue seule des deux cases est rouge». Motrer que p(e) = 0,0 et p(f) = 0,7. 3. Si les cases obteues sot rouges le joueur reçoit 0 euros ; si ue seule des cases est rouge le joueur reçoit euros ; sio il e reçoit rie. X désige la variable aléatoire égale au gai algébrique e euros du joueur (rappel : le joueur mise euro). a. Détermier la loi de probabilité de X. b. Calculer l'espérace mathématique de X et e doer ue iterprétatio. 4. Le joueur décide de jouer parties cosécutives et idépedates ( désige u etier aturel supérieur ou égal à ). p = 0,9. a. Démotrer que la probabilité p qu'il lace au mois ue fois la roue B est telle que : ( ) b. Justifier que la suite de terme gééral p est covergete et préciser sa limite. c. Quelle est la plus petite valeur de l'etier pour laquelle p > 0,9?. 40. Arbre+VA+Biom, Atilles jui poits O dispose de deux ures U et U coteat des boules idiscerables au toucher. U cotiet k boule blaches (k etier aturel supérieur ou égal à ) et 3 boules oires. U cotiet boules blaches et ue boule oire. O tire ue boule au hasard das U et o la place das U. O tire esuite, au hasard, ue boule das U. L esemble de ces opératios costitue ue épreuve. O ote B (respectivemet N ) l évéemet «o a tiré ue boule blache (resp. oire) das l ure U». O ote B (respectivemet N ) l évéemet «o a tiré ue boule blache (resp. oire) das l ure U».. a. Recopier et compléter par les probabilités maquates l arbre ci-cotre. b. Motrer que la probabilité de l évéemet B est égale à 3 k+ 6. 4k+ Das la suite o cosidère que k =. Les questios et 3 sot idépedates l ue de l autre et peuvet être traitées das importe quel ordre.. U joueur mise 8 euros et effectue ue épreuve. Si, à la fi de l épreuve, le joueur tire ue boule blache de la deuxième ure, le joueur reçoit euros. Sio, il e reçoit rie et perd sa mise. Soit X la variable aléatoire égale au gai du joueur, c est-à-dire la différece etre la somme reçue et la mise. a. Motrer que les valeurs possibles de X sot 4 et 8. b. Détermier la loi de probabilité de la variable X. c. Calculer l espérace mathématique de X. d. Le jeu est-il favorable au joueur? 3. U joueur participe fois de suite à ce jeu. Au début de chaque épreuve, l ure U cotiet boules blaches et 3 oires, et l ure U cotiet boules blaches et oire. Aisi, les épreuves successives sot idépedates. B N B N B N Termiale S F. Laroche

23 Détermier le plus petit etier pour que la probabilité de réaliser au mois ue fois l évéemet B soit supérieure ou égale à 0, Tirages+VA, Polyésie, sept poits O rappelle que la probabilité d u évéemet A sachat que l'évéemet B est réalisé se ote pb( A ). Ue ure cotiet au départ 30 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l'ure : - si la boule tirée est blache, o la remet das l'ure et o ajoute boules blaches supplémetaires ; - si la boule tirée est oire, o la remet das l'ure et o ajoute boules oires supplémetaires. O tire esuite au hasard ue secode boule de l'ure. O ote : * B l évéemet : «o obtiet ue boule blache au premier tirage» ; * B l'évéemet : «o obtiet ue boule blache au secod tirage» ; * A l'évéemet : «les deux boules tirées sot de couleurs différetes».. Das cette questio, o pred = 0. a. Calculer la probabilité p( B B ) et motrer que ( ) p B. b. Calculer ( ) B c. Motrer que ( ) 3 p A =. 0. O pred toujours = 0. 3 p B =. 4 Huit joueurs réaliset l'épreuve décrite précédemmet de maière idetique et idépedate. O appelle X la variable aléatoire qui pred pour valeur le ombre de réalisatios de l'évéemet A. a. Détermier p(x = 3). (O doera la répose à 0 près). b. Détermier l'espérace mathématique de la variable aléatoire X. 3. est u etier supérieur ou égal à. Existe-t-il ue valeur de pour laquelle ( ). 4. Boules+VA+répétitio, Polyésie poits Ue ure cotiet 4 houles blaches et boules oires idiscerables au toucher. p A =? 4. O effectue trois tirages successifs au hasard d ue boule selo la procédure suivate : après chaque tirage si la boule tirée est blache, o la remet das l ure et si elle est oire, o e la remet pas das l ure. O désige par X la variable aléatoire égale au ombre de boules oires obteues à l issue des trois tirages. O pourra s aider d u arbre podéré. a. Quelles sot les valeurs prises par X? b. Calculer P(X = 0). c. O se propose de détermier maiteat P(X = ). Motrer que la probabilité que la seule boule oire tirée soit obteue au secod tirage est égale à E remarquat que la seule boule oire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer P(X = ).. O repred l ure das sa compositio iitiale : 4 boules blaches et boules oires idiscerables au toucher. Soit u etier aturel supérieur ou égal à 3. Termiale S 3 F. Laroche

24 O effectue maiteat tirages successifs au hasard d ue boule das l ure selo la même procédure : après chaque tirage, si la boule tirée est blache, o la remet das l ure et si elle est oire, o e la remet pas das l ure. Soit k u etier compris etre et. Soit N l évèemet : «la k-ième boule tirée est oire et toutes les autres sot blaches». Soit A l évèemet : «o obtiet ue boule blache das chacu des k premiers tirages et ue boule oire au k-ième». Soit B l évèemet : «o obtiet ue boule blache das chacu des ( k) deriers tirages». Calculer P(A), P A (B) et P(N) Boules+VA, C Atilles 994 Ue boîte cotiet 60 boules blaches et 40 boules oires. O effectue das cette boîte des tirages successifs avec remise de chaque boule après tirage. O arrête le tirage après l obtetio d ue boule blache.. O limite le ombre de tirages à 4. O appelle X la variable aléatoire égale au ombre de tirages écessaire à l obtetio de la première boule blache. Si o a pas tiré de boule blache après le 4 ème tirage o pred X = 0. a. Calculer la probabilité p(x = 0). b. Détermier la loi de probabilité de X, so espérace mathématique E(X) et sa variace V(X).. O procède maiteat à tirages au maximum, >. X est la v.a. défiie comme précédemmet, si o a pas tiré de boule blache après les tirages o pred X = 0. a. Détermier la loi de probabilité de X. 3 Motrez que E(X) = f 5 5 où f est la foctio défiie par : 3 f( x) = + x+ 3x + 4 x x. b. O cosidère la foctio g défiie par Termiale S 4 F. Laroche + g( x) = + x+ x x. Motrez par récurrece que x g( x) =. Calculez g (x) e utilisat les deux formes, déduisez-e ue autre expressio de f(x). x Calculez alors E(X). c. Détermiez la limite de E(X) quad ted vers +. Iterprétez STL, Frace, sept poits Ue ure cotiet trois boules : ue jaue J, ue verte V et ue rouge R, idiscerables au toucher. O tire successivemet deux boules das l ure, e remettat la première, après avoir oté sa couleur, avat de tirer la deuxième. O appelle résultat, u couple dot le premier élémet est la couleur de la boule obteue au premier tirage, et le secod élémet celle obteue au secod tirage. Par exemple, le couple (J ; V) est u résultat différet du couple (V ; J).. Détermier l esemble des 9 résultats possibles (o pourra s aider d u tableau ou d u arbre).. O coviet de la règle de jeu suivate, associée au tirage précédet : * pour chaque boule jaue tirée, le joueur perd 3 euros ; * pour chaque boule verte tirée, le joueur gage euro ; * pour chaque boule rouge tirée, le joueur gage k euros (où k est u ombre positif). O désige par X la variable aléatoire qui à tout tirage associe le gai (positif ou égatif ) du joueur. Par exemple, pour le tirage (J ; V) le gai est de euros. a. Détermier les valeurs prises par la variable aléatoire X. b. Doer la loi de probabilité de X. c. Calculer l espérace E(X) de la variable X e foctio de k.

25 d. Quelle valeur faut-il doer à k pour que le jeu soit équitable?. 45. Partie de dés, STL, Frace, jui 004, 5 poits Ue partie de dé est orgaisée selo les règles suivates : o mise euros puis o lace u dé parfaitemet équilibré ; Termiale S 5 F. Laroche pour la sortie du 6 o reçoit 6 euros ; pour la sortie du 5 o reçoit euros ; pour la sortie du 4 o reçoit euros ; et das les autres cas o e reçoit rie. O appelle gai d ue partie la différece etre la somme reçue et la mise iitiale.. O ote X la variable aléatoire qui à l issue d ue partie associe le gai. a. Quelles sot les valeurs prises par X? b. Établir la loi de probabilité de X. c. Détermier l espérace mathématique E(X).. U joueur se présete ; il a e poche,50 euros. a. Quelles sot les différetes sommes possibles qu il peut avoir e poche à l issue d ue partie? b. Détermier la probabilité qu il puisse jouer deux parties. c. O suppose qu il gage assez à la première partie pour pouvoir jouer ue deuxième partie. Quelles sot les différetes sommes possibles qu il peut avoir e poche à l issue des deux parties?. 46. Boules+suite, Polyésie 999 Ue ure cotiet 5 boules oires et 5 boules blaches. O e prélève successivemet et avec remise, état u etier aturel supérieur ou égal à. O cosidère les évéemets suivats : A : «O obtiet des boules des deux couleurs» ; B : «O obtiet au plus ue boule blache».. a. Calculer la probabilité de l évéemet : «Toutes les boules tirées sot de même couleur». b. Calculer la probabilité de l évéemet : «O obtiet exactemet ue boule blache». c. E déduire que p( A B) =, p( A) =, + p( B) =.. Motrer que p( A B) = p( A) p( B) si et seulemet si 3. Soit ( u ) la suite défiie par u = +. = ( + ), >. Calculer u, u 3, u 4. Motrer que u est strictemet croissate. E déduire la valeur de l etier tel que les évéemets A et B soiet idépedats Boules et ures, Am. Sud 00 Ue ure A cotiet ue boule rouge et trois boules vertes. Ue ure B cotiet deux boules rouges et deux boules oires. Les boules sot idiscerables au toucher.. O dispose d u dé à 6 faces, parfaitemet équilibré, uméroté de à 6. O le lace ue fois ; si o obtiet u multiple de 3, o tire au hasard ue boule de l ure A, sio o tire au hasard ue boule de l ure B. a. Calculer la probabilité d obteir ue boule oire. b. Quelle est la couleur qui a la plus grade probabilité de sortir? c. Quelle est la probabilité que la boule tirée proviee de l ure B sachat qu elle est rouge?. O réuit toutes les boules das ue seule ure et o tire successivemet trois boules que l o pose chaque fois devat l ure. a. Motrer que la probabilité de l évèemet «la 3 ème boule tirée est oire» vaut 4.

26 b. Certais peset que l évèemet «la première boule tirée est oire» a ue probabilité supérieure à l évèemet «la troisième boule tirée est oire». Est-ce vrai? Justifier Boules sas ou avec remise Ue ure cotiet deux boules blaches et quatre boules oires. Ces six boules sot idiscerables au toucher.. O tire simultaémet 4 boules de l'ure. Calculer la probabilité d'obteir ue seule boule blache.. O effectue 4 tirages successifs d'ue boule, sas remise. a. Calculer la probabilité de tirer das l'ordre ue boule oire, ue boule oire, ue boule oire et ue boule blache. b. Calculer la probabilité de tirer ue seule boule blache au cours de ces quatre tirages. 3. O effectue maiteat quatre tirages successifs d'ue boule avec remise. a. Calculer la probabilité de tirer das l'ordre ue boule oire, ue boule oire, ue boule oire et ue boule blache. b. Calculer la probabilité de tirer ue seule boule blache au cours de ces quatre tirages. c. Calculer la probabilité de 'obteir aucue boule blache au cours des quatre tirages. d. Calculer la probabilité de tirer au mois ue boule blache au cours de ces quatre tirages. 4. O effectue tirages successifs, avec remise. O appelle P la probabilité d'obteir, au cours de ces tirages, ue boule blache uiquemet au derier tirage. a. Calculer P, P, P 3. b. Cojecturer P Ures, boules, tirages, Podicherry poits. O dispose d ue ure U coteat trois boules rouges et sept boules oires. O extrait simultaémet deux boules de cette ure, o admet que tous les tirages sot équiprobables. a. Quelle est la probabilité p que les deux boules tirées soiet rouges? b. Quelle est la probabilité p que les deux boules tirées soiet oires? c. Quelle est la probabilité p 3 que les deux boules tirées soiet de la même couleur? d. Quelle est la probabilité p 4 que les deux boules tirées soiet de couleurs différetes?. O dispose aussi d ue deuxième ure U coteat quatre boules rouges et six boules oires. O tire maiteat deux boules de l ure U et ue boule de l ure U, o suppose que tous les tirages sot équiprobables. O cosidère les évéemets suivats : R : «Les trois boules tirées sot rouges.» D : «Les trois boules tirées e sot pas toutes de la même couleur» B : «La boule tirée de l ure U est rouge». a. Calculer la probabilité de l évéemet R. b. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur? c. Calculer la probabilité coditioelle p D (B), probabilité de l évéemet B sachat que l évéemet D est réalisé. O doera tous les résultats sous forme de fractio irréductible Ures, boules, VA, N. Calédoie 00 U jeu cosiste à tirer simultaémet trois boules d ue ure coteat six boules blaches et quatre boules rouges. O suppose que tous les tirages sot équiprobables. Termiale S 6 F. Laroche

27 Si les trois boules tirées sot rouges, le joueur gage 00 ; si exactemet deux boules tirées sot rouges, il gage 5 et si ue seule est rouge il gage 4. Das tous les autre cas, il e gage rie. Soit X la variable alatoire qui pred pour valeurs le gai e euros du joueur lors d u jeu.. Détermier la loi de probabilité de la variable aléatoire X.. Pour u jeu, la mise est de 0. Le jeu est-il favorable au joueur, c est-à-dire l espérace mathématique est-elle strictemet supérieure à 0? 3. Pour l orgaisateur, le jeu e s avérat pas suffisammet retable, celui-ci evisage deux solutios : soit augmeter la mise de, doc passer à, soit dimiuer chaque gai de, c est-à-dire e gager que 99, 4 ou 3. Quelle est la solutio la plus retable pour l orgaisateur?. 5. Loterie, VA, Asie poits Ue associatio orgaise ue loterie pour laquelle ue participatio m exprimée e euros est demadée. U joueur doit tirer simultaémet au hasard, deux boules das ue ure coteat boules vertes et 3 boules jaues. Si le joueur obtiet deux boules de couleurs différetes, il a perdu. Si le joueur obtiet deux boules jaues, il est remboursé de sa participatio m. Si le joueur obtiet boules vertes, il peut cotiuer le jeu qui cosiste à faire tourer ue roue où sot iscrits des gais répartis comme suit : sur 8 sur 4 de la roue le gai est de 00, de la roue le gai est de 0, sur le reste le joueur est remboursé de sa participatio m. O appelle V l évèemet «le joueur a obteu boules vertes». O appelle J l évèemet «le joueur a obteu boules jaues». O appelle R l évèemet «le joueur est remboursé de sa participatio et e gage rie».. Quelques calculs. a. Calculer les probabilités P(V) et P(J) des évèemets respectifs V et J. b. O ote P V (R) la probabilité pour le joueur d être remboursé sachat qu il a obteu deux boules vertes. Détermier P V (R) puis P(R V). c. Calculer P(R). d. Calculer la probabilité de gager les 00, puis la probabilité de gager les 0 de la roue. O appelle X la variable aléatoire doat le gai algébrique du joueur c est-à-dire la différece etre les sommes évetuellemet perçues et la participatio iitiale m. a. Doer les valeurs prises par la variable aléatoire X. b. Doer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier que P(X = m) est 0,6. c. Démotrer que l espérace mathématique de la variable aléatoire X est Termiale S 7 F. Laroche 40 5m E( X) =. 80 d. L orgaisateur veut fixer la participatio m à ue valeur etière e euro. Quelle valeur miimale faut-il doer à m pour que l orgaisateur puisse espérer e pas perdre d arget? 3. U joueur se présete et décide de jouer 4 fois, quels que soiet les résultats obteus. Calculer la probabilité qu il perde au mois ue fois sa mise. 4. O voudrait qu u joueur ait plus d ue chace sur deux d être remboursé de sa mise ou de gager quad il joue ue seule fois. O ote G cet évèemet. Pour cela o garde deux boules vertes das l ure mais o modifie le ombre de boules jaues. O appelle le ombre de boules jaues, o suppose.

28 Calculer la valeur miimale de pour que la coditio précédete soit vérifiée.. 5. Morpio, Polyésie 00 O dispose d ue grille à trois liges et trois coloes. Ue machie M place au hasard u jeto das ue case de la grille, puis ue machie M place de même u jeto sur la grille das ue case libre et efi ue troisième machie M 3 place u jeto das ue case libre. O ote les évèemets suivats : 3 A B C H : «Les trois jetos sot aligés horizotalemet» ; V : «Les trois jetos sot aligés verticalemet» ; D : «Les trois jetos sot aligés e diagoale» ; N : «Les trois jetos e sot pas aligés». Les ombres demadés serot doés sous forme de fractio irréductible.. Calculer les probabilités des évèemets H, V et D. E déduire que la probabilité de N est égale à 9.. O cosidère la variable aléatoire X défiie par : X = 0, lorsque H ou V est réalisé ; X = α, lorsque D est réalisé ; X =, lorsque N est réalisé. Détermier α pour que l espérace de X soit ulle. 3. Das cette questio, o se place das le cas où la machie M est déréglée ; elle place alors le premier jeto das l u des cois de la grille. O ote l évèemet : «la machie M est déréglée». a. Calculer la probabilité d avoir u aligemet horizotal c est-àdire p ( H), puis de même, d avoir u aligemet vertical p ( V), d avoir u aligemet e diagoale p ( D). b. E déduire que la probabilité d avoir u aligemet horizotal ou vertical ou diagoal, est égale à 4. A désige l évèemet «les trois jetos sot aligés horizotalemet ou verticalemet ou e diagoale». O admet que p( ) =. 5 Reproduire et compléter l arbre podéré suivat e précisat les ciq probabilités correspodates : A A A A Termiale S 8 F. Laroche

29 . 53. Cartes+VA+Barycetre O dispose d'u jeu de 3 cartes (6 oires, 6 rouges). L'expériece cosiste à extraire ue carte, oter sa couleur et la remettre das le jeu, puis à extraire ue ouvelle carte dot o ote aussi la couleur. Deux cartes oires fot gager deux fracs. Deux cartes rouges fot perdre deux fracs. Deux cartes de couleurs différetes procuret u gai ul.. a. Quelle est la probabilité de gager deux fracs, de perdre deux fracs, de réaliser u gai ul? b. O répète ciq fois l'expériece. Détermier la probabilité de gager dix fracs.. Das u pla mui du repère (O; i, j), o cosidère les poits A (0; ) ; B( ; ); C( ; ). L'origie O est le barycetre du système de poits podérés : {(A, a) ; (B, b) ; (C, c)}, où a, b, c, sot des réels de somme o ulle. X est la variable aléatoire qui e pred que les valeurs, 0, avec les probabilités : p(x = ) = a ; p(x = 0) = b ; p(x = ) = c. a. A l'aide des coordoées des poits A, B, C, O, écrire deux équatios vérifiées par les réels a, b, c. b. Quelle est la valeur de a + b + c? c. Résoudre le système de trois équatios aisi obteu, d'icoues a, b, c. d. Détermier l'espérace mathématique E(X) de la variable aléatoire X Boules+foctio+VA, Podichéry 00 Partie A Ue ure cotiet boules blaches ( N et ), 5 boules rouges et 3 boules vertes. O tire simultaémet et au hasard deux boules de l ure.. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blaches?. O ote p() la probabilité de tirer deux boules de même couleur. a. Motrer que p( ) b. Calculer lim p( ) Partie B + = + 6 ( + 8)( + 7). Iterpréter ce résultat. Pour les questios suivates = 4.. Calculer p(4)... U tirage cosiste à tirer simultaémet et au hasard deux boules de l ure. U joueur effectue deux tirages idépedats, e remettat das l ure avat le secod tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros. Pour chaque tirage : - si les deux boules sot de même couleur, il reçoit alors 40 euros, - si elles sot de couleurs différetes, il reçoit alors 5 euros. O appelle gai du joueur la différece, à l issue des deux tirages, etre la somme reçue par le joueur et sa mise iitiale (ce gai peut être positif ou égatif). O désige par X la variable aléatoire égale au gai du joueur. a. Quelles sot les valeurs prises par X? b. Détermier la loi de probabilité de X. c. Calculer l espérace de X. Termiale S 9 F. Laroche

30 . 55. Grippe+biomiale Le directeur du persoel d ue etreprise costate que, chaque hiver, u ombre importat d employés s absetet, malades de la grippe. Le médeci de l etreprise lui assure qu ue persoe o vacciée cotre la grippe a 40 % de chaces d attraper la maladie alors qu ue persoe vacciée a que 5 % de chaces de tomber malade. Le directeur décide doc de proposer au persoel ue vacciatio gratuite.. O choisit u employé au hasard et o cosidère les évéemets suivats : V : l employé s est fait vaccier. G : l employé cotractera la grippe durat l hiver. O ote P E (F) la probabilité d u évéemet F sachat que E s est réalisé. a. Détermier les probabilités suivates : P V( G ), P V ( G ), P ( ) V G et P V ( G ). b. Exprimer la probabilité P(G) e foctio de la probabilité P(V).. Détermier le pourcetage miimum de persoes à vaccier pour que mois de 0% des employés aiet la grippe cet hiver. 3. Fialemet 80 % du persoel accepte de se faire vaccier. a. Quelle est la probabilité p qu u employé, pris au hasard, tombe malade cet hiver? b. Fred, employé au service iformatique, tombe malade de la grippe. Quelle est la probabilité p qu il soit vaccié? c. Calculer la probabilité p 3 qu u employé, pris au hasard, e soit pas vaccié et attrape la grippe cet hiver. 4. L etreprise comporte 500 persoes. O cosidère que le fait pour ue persoe de tomber malade est idépedat du fait que d autres persoes le soiet. a. O ote X la variable aléatoire égale au ombre de persoes malades. Quelle est la loi de probabilité de X? b. Quel est le ombre moye de persoes qui tomberot malades de la grippe cet hiver? E moyee das quel itervalle ce ombre peut-il varier? c. Pour assurer le bo foctioemet de l etreprise le chef du persoel evisage l embauche de 0 itérimaires. Que pesez vous de cette décisio, sachat qu avec plus de 50 persoes malades l etreprise e foctioe plus Sodage+biomiale O cosidère u groupe de 6 persoes parmi lesquelles 4 ot ue caractéristique C. Ces 4 persoes serot dites de type C. O pred simultaémet et au hasard 5 persoes das le groupe.. a. Calculer la probabilité p a de avoir aucue persoe du type C b. Calculer la probabilité p b d avoir exactemet ue persoe du type C c. Calculer la probabilité p c d avoir au mois deux persoes du type C. d. O sait que deux des persoes choisies sot du type C. Détermier alors la probabilité d avoir quatre persoes de type C. Les résultats serot doés sous forme de fractio irréductible puis sous forme décimale à 4 0 près. O costate après equête que das la populatio etière 5% des ges sot du type C. O estime que le ombre de persoes est suffisammet importat pour pouvoir utiliser ue loi biomiale. O choisit au hasard persoes ( > ) et o appelle X la variable aléatoire doat le ombre de persoes ayat le type C. a. Détermier la loi de probabilité de X. Calculer p(x=0) et p(x=) e foctio de et e déduire la probabilité p d avoir au mois deux persoes de type C. b. Démotrer que p 0,9 si et seulemet si ,. 4 4 Termiale S 30 F. Laroche

31 c. O pose u 3 3+ = 4 4. Calculer u+ u et démotrer que u est décroissate. d. Par essais successifs trouver la plus petite valeur de telle que p 0, Questioaire+VA Das cet exercice, les résultats serot doés sous forme de fractios irréductibles. Das u jeu, il s'agit de trouver la boe répose à ue questio posée. Les questios sot classées e trois catégories : sport, ciéma, musique. Das chaque catégorie, il y a le même ombre de questios. Les trois catégories sot doc équiprobables. Alai, fervet supporter de ce jeu, est cosciet qu'il a : 5 chaces sur 6 de doer la boe répose sachat qu'il est iterrogé e sport ; chaces sur 3 de doer la boe répose sachat qu'il est iterrogé e ciéma ; chace sur 9 de doer la boe répose sachat qu'il est iterrogé e musique.. Alai participe à ce jeu et tire au hasard ue questio. Détermier la probabilité que : a. la questio soit das la catégorie sport et qu'il doe la boe répose ; b. sa répose soit boe à la questio posée.. Pour participer au jeu, Alai doit payer 0 de droit d'iscriptio. Il recevra : 0 s'il est iterrogé e sport et que sa répose est boe ; 0 s'il est iterrogé e ciéma et que sa répose est boe ; 50 s'il est iterrogé e musique et que sa répose est boe ; 0 si la répose qu'il doe est fausse. Soit X la variable aléatoire égale au gai d'alai (o appelle gai la différece, e fracs, etre ce qu'il reçoit et les 0 de droit d'iscriptio). a. Détermier les valeurs prises par X. b. Détermier la loi de probabilité de X. c. Calculer l'espérace mathématique E(X) de X. Alai a-t-il itérêt à jouer?. 58. Ures+VA O dispose de deux ures : - ue ure U das laquelle se trouvet trois boules blaches et deux boules oires ; - ue ure U das laquelle il y a deux boules blaches et trois boules oires. Ue épreuve cosiste à tirer simultaémet et au hasard deux boules de chaque ure : o obtiet aisi quatre boules, les tirages das chaque ure état équiprobables.. Motrer que la probabilité de l'évéemet E : «Parmi les quatre boules tirées, il y a exactemet deux boules blaches» est égale à 0,46.. O ote X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le ombre de boules blaches obteues. a. Détermier la loi de probabilité de X. b. Le joueur doit verser,50 avat d'effectuer le tirage : il reçoit à l'issue du tirage par boule blache obteue. Le jeu est-il équitable? 3. Calculer la probabilité d'avoir tiré ue et ue seule boule blache de l'ure U sachat qu'o a tiré deux boules blaches. 4. O e cosidère que l'ure U, de laquelle o tire toujours au hasard et simultaémet deux boules. O omme succès le tirage de deux boules blaches. O reouvelle dix fois la même épreuve (e remettat chaque fois les boules tirées das l'ure). Détermier la probabilité d'avoir au mois u succès sur les dix tirages. Termiale S 3 F. Laroche

32 . 59. Raquettes Lorsque les éléphats sautet e parachute au-dessus de la savae, ils chausset des raquettes pour e pas s eliser. Il y a deux types de raquettes pour pachydermes : des à petit tamis et des à grad tamis. Certais éléphats préfèret mettre quatre raquettes à petit tamis (ue à chaque patte) tadis que d autres préfèret porter deux raquettes à grad tamis (aux pattes postérieures). La probabilité qu ue raquette se détache avat l arrivée au sol est la même pour les deux types et est otée p.. U éléphat saute avec quatre raquettes : quelle est la probabilité P qu il ait mois (strictemet) de deux raquettes à l atterrissage?. U éléphat saute avec deux raquettes : quelle est la probabilité Q qu il ait aucue raquette à l atterrissage? 3. Sachat qu u éléphat s elise s il a perdu plus de la moitié de so équipemet, comparer, e foctio de valeurs de p, les probabilités de s eliser avec chaque type de chausse Code d etrée Le code d etrée d u immeuble est composé de 5 symboles parmi les chiffres de 0 à 9 et les lettres A et B. U même symbole peut être utilisé plusieurs fois.. Combie y a-t-il de codes possibles?. Combie de codes e comportet que des chiffres pairs? 3. Combie de codes cotieet u et u seul 0? 4. Combie de codes cotieet au mois ue lettre? 5. U ouveau sydic est ommé, qui décide que pour des raisos de sécurité, le code doit comporter au mois u chiffre et au mois ue lettre. Combie y a-t-il doréavat de codes possibles? 6. U SDF veut dormir das le hall. Il sait par ue idiscrétio que le code comporte les chiffres 58 et la lettre B. Combie de codes devra-t-il essayer au maximum avat de passer la uit au chaud?. 6. Statio-service, Frace 998. Le ombre de cliets se présetat e ciq miutes das ue statio service est ue variable aléatoire X dot o doe la loi de probabilité p i = P(X = i) : i 0 p i 0, 0,5 0,4 a. Défiir et représeter graphiquemet la foctio de répartitio de X. b. Calculer l espérace mathématique de x et so écart type.. Das cette statio service, la probabilité qu u cliet achète de l essece est de 0,7 ; celle qu il achète du gazole est 0,3. Le choix de chaque cliet est idépedat de celui des cliets précédets. O cosidère les évéemets : C : E ciq miutes, u seul cliet se présete ; C : E ciq miutes, deux cliets se présetet ; E : E ciq miutes, u seul cliet achète de l essece. a. Calculer P(C E). b. Motrer que P (E) = 0,4 et calculer P(C C E). c. E déduire la probabilité qu e ciq miutes u seul cliet achète de l essece. 3. Y désige la variable aléatoire égale au ombre de cliets achetat de l essece e ciq miutes. Détermier la loi de probabilité de Y et calculer so espérace.. 6. Avec de la géométrie, Am. du Sud poits U sac cotiet 4 jetos umérotés respectivemet, 0, 0, et idiscerables au toucher. Termiale S 3 F. Laroche

33 O tire u jeto du sac, o ote so uméro x et o le remet das le sac ; o tire u secod jeto, o ote so uméro y et o le remet das le sac ; puis o tire u troisième jeto, o ote so uméro z et o le remet das le sac. Tous les jetos ot la même probabilité d être tirés. À chaque tirage de trois jetos, o associe, das l espace mui d u repère orthoormal ( O; i, j, k ) le poit M de coordoées (x, y, z). Sur le graphique joit e aexe, sot placés les 7 poits correspodat aux différetes positios possibles du poit M. Les coordoées du poit A sot (; ; ) das le repère ( O; i, j, k ). O ote C le cube ABCDEFGH.. Démotrer que la probabilité que le poit M soit e A est égale à 64.. O ote E l évèemet : «M appartiet à l axe des abscisses». Démotrer que la probabilité de E est égale à Soit P le pla passat par O et orthogoal au vecteur ( ; ; ). a. Détermier ue équatio cartésiee du pla P. b. Tracer e couleur sur le graphique la sectio du pla P et du cube C. (O e demade pas de justificatio). c. O ote E l évèemet : «M appartiet à P». Quelle est la probabilité de l évèemet E? 4. O désige par B la boule de cetreo et de rayo,5 (c est-à-dire l esemble des poits M de l espace tels que OM,5). O ote E 3 l évèemet : «M appartiet à la boule B». Détermier la probabilité de l évèemet E Géométrie+VA, Atilles remplt poits Les trois parties de cet exercice sot idépedates. Ue ure cotiet 5 boules idetiques idiscerables au toucher de couleur moire, blache ou rouge. O sait de plus qu il y a au mois deux boules de chaque couleur das l ure. O tire au hasard simultaémet boules das l ure et o ote leur couleur. Soit l évéemet G : «obteir deux boules de même couleur». Termiale S 33 F. Laroche

34 Partie A O suppose que l ure cotiet 3 boules oires et 7 boules blaches. Calculer la probabilité de l évéemet G. Partie B O ote, b et r le ombre de boules respectivemet oires, blaches et rouges figurat das l ure.. O ote g(, b, r ) la probabilité e foctio de, b et r de l évéemet G. 0. Démotrer que g(, b, r) = ( ) + b( b ) + r( r ). Le but de cette questio est de détermier, b et r de sorte que la probabilité (,, ) L espace est mui d u repère orthoormal ( O; i, j, k ) g b r soit miimale.. Soiet les poits N, B et R de coordoées respectives ( 5;0;0 ), ( 0;5;0 ) et ( 0;0;5 ) et soit M le poit de coordoées ( ; ; ) O pourra se reporter à la figure ci-dessous. a. Justifier qu ue équatio du pla ( ) NBR est x+ y+ z 5= 0. b. E déduire que le poit M est u poit du pla ( NBR ). c. Démotrer que g(, b, r) ( OM 5) =. 0 b r. d. Soit H le projeté orthogoal du poit O sur le pla ( NBR ). Détermier les coordoées du poit H. e. E déduire les valeurs de, b et r afi que la probabilité g(, b, r ) soit miimale. Justifier que cette probabilité miimale est égale à 7. Partie C O suppose que les ombres de boules de chaque couleur ot été choisis par l orgaisateur d u jeu, de telle sorte que la probabilité de l évéemet G soit égale à 7. U joueur mise x euros, avec x etier aturel o ul, puis tire simultaémet au hasard deux boules de l ure. Das tous les cas, il perd sa mise de départ. S il obtiet deux boules de même couleur, il reçoit k fois le motat de sa mise, avec k ombre décimal strictemet supérieur à. Sio il e reçoit rie. O ote X la variable aléatoire égale au gai algébrique du joueur.. Calculer l espérace E( X ) de la variable X e foctio de x et k.. Détermier la valeur de k pour laquelle le jeu est équitable. R i k j O B N Termiale S 34 F. Laroche

35 . Loi biomiale. 64. ROC+Biomiale, Cetres étragers poits. Restitutio orgaisée de coaissaces Prérequis : Deux évéemets A et B sot idépedats pour la probabilité p si et seulemet si : p A B = p A p B. ( ) ( ) ( ) Soiet A et B deux évéemets associés à ue expériece aléatoire. a. Démotrer que p( B) = p( B A) + p( B A). b. Démotrer que, si les évéemets A et B sot idépedats pour la probabilité p, alors les évéemets A et B le sot égalemet.. Applicatio Chaque mati de classe Stéphae peut être victime de deux évéemets idépedats : R : «II 'eted pas so réveil soer» ; S : «So scooter, mal etreteu, tombe e pae». II a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale 0, et que celle de S est égale à 0,05. Lorsque qu'au mois l'u des deux évéemets se produit, Stéphae est e retard au lycée sio il est à l'heure. a. Calculer la probabilité qu'u jour de classe doé, Stéphae etede so réveil soer et que so scooter tombe e pae. b. Calculer la probabilité que Stéphae soit à l'heure au lycée u jour de classe doé. c. Au cours d'ue semaie, Stéphae se red ciq fois au lycée. O admet que le fait qu'il etede so réveil soer u jour de classe doé 'iflue pas sur le fait qu'il l'etede ou o les jours suivats. Quelle est la probabilité que Stéphae etede le réveil au mois quatre fois au cours d'ue semaie? Arrodir le résultat à la quatrième décimale Cotrôle de fabricatio, Polyésie poits Ue etreprise fabrique des lecteurs MP3 dot 6 % sot défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à ue uité de cotrôle dot la fiabilité est pas parfaite. Cette uité de cotrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5% des lecteurs MP3 foctioat correctemet. O ote : D l évèemet : «le lecteur MP3 est défectueux» ; R l évèemet : «l uité de cotrôle rejette le lecteur MP3».. Faire u arbre podéré sur lequel o idiquera les doées qui précèdet.. a. Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et e soit pas rejeté. b. O dit qu il y a ue erreur de cotrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu il est pas défectueux, ou qu il est pas rejeté alors qu il est défectueux. Calculer la probabilité qu il y ait ue erreur de cotrôle. 3. Motrer que la probabilité qu u lecteur MP3 e soit pas rejeté est égale à 0, Quatre cotrôles successifs idépedats sot maiteat réalisés pour savoir si u lecteur MP3 peut être commercialisé. U lecteur MP3 est : commercialisé avec le logo de l etreprise s il subit avec succès les quatre cotrôles successifs, détruit s il est rejeté au mois deux fois, commercialisé sas le logo sio. Termiale S 35 F. Laroche

36 Le coût de fabricatio d u lecteur MP3 s élève à 50 euros. So prix de vete est de 0 euros pour u lecteur avec logo et 60 euros pour u lecteur sas logo. O désige par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gai algébrique e euros (évetuellemet égatif) réalisé par l etreprise. a. Détermier la loi de probabilité de la variable aléatoire G. b. Calculer à 0 près l espérace mathématique de G. Doer ue iterprétatio de ce résultat Cotrôle+biomiale, La Réuio poits Ue usie produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut préseter deux défauts : le défaut a et le défaut b. U sac est dit défectueux s il présete au mois l u des deux défauts.. Das cette questio les probabilités demadées serot doées avec leurs valeurs décimales exactes. O prélève u sac au hasard das la productio d ue jourée. O ote A l évèemet «le sac présete le défaut a» et B l évèemet «le sac présete le défaut b». Les probabilités des évèemets A et B sot respectivemet p(a) = 0,0 et p(b) = 0,0 ; o suppose que ces deux évèemets sot idépedats. a. Calculer la probabilité de l évèemet C : «le sac prélevé présete le défaut a et le défaut b». b. Calculer la probabilité de l évèemet D : «le sac est défectueux». c. Calculer la probabilité de l évèemet E : «le sac e présete aucu défaut». d. Sachat que le sac présete le défaut a, quelle est la probabilité qu il présete aussi le défaut b?. O suppose que la probabilité (arrodie au cetième) qu u sac soit défectueux est égale à 0,03. O prélève au hasard u échatillo de 00 sacs das la productio d ue jourée. La productio est suffisammet importate pour que l o assimile ce prélèvemet à u tirage avec remise de 00 sacs. O cosidère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvemet de 00 sacs, associe le ombre de sacs défectueux. a. Justifier que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale dot o précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité de l évèemet «au mois u sac est défectueux»? O arrodira cette probabilité au cetième. Iterpréter ce résultat. c. Calculer l espérace mathématique de la variable aléatoire X. Iterpréter ce résultat das le cadre de l éocé Fabricatio+biomiale, Asie poits Ue etreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fourisseurs F, F, F 3. Das l etreprise, toutes ces paires de chaussettes sot regroupées das u stock uique. La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fourisseur F, le tiers par le fourisseur F et le reste par le fourisseur F 3. Ue étude statistique a motré que 5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fourisseur F ot u défaut ;,5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fourisseur F ot u défaut ; sur l esemble du stock, 3,5 % des paires de chaussettes ot u défaut.. O prélève au hasard ue paire de chaussettes das le stock de l etreprise. O cosidère les évèemets F, F, F 3 et D suivats : F : «La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fourisseur F» ; F : «La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fourisseur F» ; F 3 : «La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fourisseur F 3» ; D : «La paire de chaussettes prélevée présete u défaut». a. Traduire e termes de probabilités les doées de l éocé e utilisat les évèemets précédets. Termiale S 36 F. Laroche

37 Das la suite, o pourra utiliser u arbre podéré associé à cet expériece. b. Calculer la probabilité qu ue paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fourisseur F et présete u défaut. c. Calculer la probabilité de l évèemet F D. d. E déduire la probabilité de l évèemet F 3 D. e. Sachat que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fourisseur F 3, quelle est la probabilité qu elle présete u défaut?. L etreprise coditioe les paires de chaussettes par lots de six paires. O cosidère que le stock est suffisammet grad pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages idépedats, successifs avec remise. a. Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactemet d u lot présetet u défaut ; o doera u résultat arrodi au millième. b. Motrer que la probabilité, arrodie au millième, qu au plus ue paire de chaussettes d u lot présete u défaut est égale à 0, VA+biomiale, Podicherry poits O dispose de deux dés cubiques dot les faces sot umérotées de à 6. Ces dés sot e apparece idetiques mais l u est bie équilibré et l autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d obteir 6 lors d u lacer est égale à 3. Les résultats serot doés sous forme de fractios irréductibles.. O lace le dé bie équilibré trois fois de suite et o désige par X la variable aléatoire doat le ombre de 6 obteus. a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X? b. Quelle est so espérace? c. Calculer p(x = ).. O choisit au hasard l u des deux dés, les choix état équiprobables. O lace le dé choisi trois fois de suite. O cosidère les évèemets D et A suivats : Termiale S 37 F. Laroche D «le dé choisi est le dé bie équilibré» ; A : «obteir exactemet deux 6». a. Calculer la probabilité des évèemets suivats : «choisir le dé bie équilibré et obteir exactemet deux 6» ; «choisir le dé truqué et obteir exactemet deux 6». (O pourra costruire u arbre de probabilité). b. E déduire que ( ) 7 p A =. 48 c. Ayat choisi au hasard l u des deux dés et l ayat lacé trois fois de suite, o a obteu exactemet deux 6. Quelle est la probabilité d avoir choisi le dé truqué? 3. O choisit au hasard l u des deux dés, les choix état équiprobables, et o lace le dé fois de suite ( désige u etier aturel supérieur ou égal à ). O ote B l évèemet «obteir au mois u 6 parmi ces lacers successifs». a. Détermier, e foctio de, la probabilité p de l évèemet B. b. Calculer la limite de la suite (p ). Commeter ce résultat VA+biomiale, Asie poits

38 Ue fabrique artisaale de jouets e bois vérifie la qualité de sa productio avat sa commercialisatio. Chaque jouet produit par l etreprise est soumis à deux cotrôles : d ue part l aspect du jouet est examié afi de vérifier qu il e présete pas de défaut de fiitio, d autre part sa solidité est testée. Il s avère, à la suite d u grad ombre de vérificatios, que : * 9 % des jouets sot sas défaut de fiitio; * parmi les jouets qui sot sas défaut de fiitio, 95 %réussisset le test de solidité ; * % des jouets e satisfot à aucu des deux cotrôles. O pred au hasard u jouet parmi les jouets produits. O ote : * F l évèemet : «le jouet est sas défaut de fiitio» ; * S l évèemet : «le jouet réussit le test de solidité».. Costructio d u arbre podéré associé à cette situatio. a. Traduire les doées de l éocé e utilisat les otatios des probabilités. b. Démotrer que ( S) Termiale S 38 F. Laroche p =. F 4 c. Costruire l arbre podéré correspodat à cette situatio.. Calcul de probabilités. a. Démotrer que p(s) = 0,934. b. U jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu il soit sas défaut de fiitio. (O doera le résultat arrodi au millième.) 3. Étude d ue variable aléatoire B. Les jouets ayat satisfait aux deux cotrôles rapportet u bééfice de 0 euros, ceux qui ot pas satisfait au test de solidité sot mis au rebut, les autres jouets rapportet u bééfice de 5 euros. O désige par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bééfice rapporté. a. Détermier la loi de probabilité de la variable aléatoire B. b. Calculer l espérace mathématique de la variable aléatoire B. 4. Étude d ue ouvelle variable aléatoire. O prélève au hasard das la productio de l etreprise u lot de 0 jouets. O désige par X la variable aléatoire égale au ombre de jouets de ce lot subissat avec succès le test de solidité. O suppose que la quatité fabriquée est suffisammet importate pour que la costitutio de ce lot puisse être assimilée à u tirage avec remise. Calculer la probabilité qu au mois 8 jouets de ce lot subisset avec succès le test de solidité Biomiale, Frace & La Réuio sept poits La scèe se passe e haut d ue falaise au bord de la mer. Pour trouver ue plage et aller se baiger, les touristes e peuvet choisir qu etre deux plages, l ue à l Est et l autre à l Ouest. A. U touriste se retrouve deux jours cosécutifs e haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l ue des deux directios. Le secod jour, o admet que la probabilité qu il choisisse ue directio opposée à celle prise la veille vaut 0,8. Pour i = ou i =, o ote E i l évèemet : «Le touriste se dirige vers l Est le i-ème jour» et O i l évèemet : «Le touriste se dirige vers l Ouest le i-ème jour».. Dresser u arbre de probabilités décrivat la situatio.. Détermier les probabilités suivates : p ( E ) ; p E ( O ) ; ( E E ) p. 3. Calculer la probabilité que ce touriste se rede sur la même plage les deux jours cosécutifs. B. O suppose maiteat que touristes ( 3) se retrouvet u jour e haut de la falaise. Ces touristes veulet tous se baiger et chacu d eux choisit au hasard et idépedammet des autres l ue des deux directios.

39 O ote X la variable aléatoire doat le ombre de ces touristes qui choisisset la plage à l Est.. Détermier la probabilité que k touristes (0 k ) partet e directio de l Est.. O suppose ici que les deux plages cosidérées sot désertes au départ. O dit qu u touriste est heureux s il se retrouve seul sur ue plage. a. Peut-il y avoir deux touristes heureux? b. Motrer que la probabilité (otée p) qu il y ait u touriste heureux parmi ces touristes vaut : p=. c. Applicatio umérique : lorsque le groupe compred 0 persoes, exprimer la probabilité, arrodie au cetième, qu il y ait u touriste heureux parmi les Aire et tir, La Réuio poits Première partie : Calculer l itégrale Deuxième partie x xe dx. 0 La figure ci-dessous représete ue cible rectagulaire OIMN telle que, das le repère orthoormal O ; OI, OJ, la lige courbe C reliat le poit O au poit M est ue partie de la courbe représetative de ( ) la foctio f défiie sur R par ( ) x f x = xe. Cette courbe partage la cible OIMN e deux parties A et B comme l idique la figure ci-dessous. U jeu cosiste à lacer ue fléchette qui atteit soit l extérieur de la cible, soit l ue des parties A ou B. O admet que la fléchette e peut atteidre aucue des frotières de la cible, i la courbe C. Ue étude statistique a motré que la fléchette tombe à l extérieur de la cible avec ue probabilité de et que les probabilités d atteidre les parties A et B sot proportioelles à leurs aires respectives.. Démotrer que la probabilité d atteidre la partie A est égale à. Quelle est la probabilité d atteidre la partie B? e. O lace de maière idépedate trois fléchettes. a. Soit X la variable aléatoire qui est égale au ombre de fléchettes ayat atteit la partie A. Défiir la loi de probabilité de X. E déduire la valeur exacte de so espérace mathématique. b. Soit E l évèemet : «Exactemet deux fléchettes atteiget la partie A». Calculer ue valeur approchée au millième de la probabilité de E. c. Soit F l évèemet : «les trois fléchettes atteiget la partie B». Calculer la probabilité de F (o doera la valeur exacte). Sachat qu aucue fléchette a atteit l extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvet das la partie B? 3. O lace cette fois de maière idépedate fléchettes. a. Détermier e foctio de la probabilité p pour qu au mois ue des fléchettes atteige la partie A. b. Détermier le plus petit aturel tel que p 0, Dé, biom. et suites, C. étragers poits Termiale S 39 F. Laroche

40 O lace u dé tétraédrique dot les quatre faces portet les ombres,, 3 et 4. O lit le ombre sur la face cachée. Pour k { ; ; 3 ; 4), o ote p i la probabilité d obter le ombre k sur la face cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les ombres p, p, p 3 et p 4 das cet ordre, formet ue progressio arithmétique.. Sachat que p 4 = 0,4 démotrer que p = 0,, p = 0, et p 3 = 0,3.. O lace le dé trois fois de suite. O suppose que les lacers sot deux à deux idépedats. a. Quelle est la probabilité d obteir das l ordre les ombres,, 4? b. Quelle est la probabilité d obteir trois ombres disticts ragés das l ordre croissat? 3. O lace 0 fois de suite le dé. O suppose les lacers deux à deux idépedats. O ote X la variable aléatoire qui décompte le ombre de fois où le chiffre 4 est obteu. a. Pour à i 0, exprimer e foctio de i la probabilité de l évéemet (X = i ). b. Calculer l espérace mathématique de X. Iterpréter le résultat obteu. c. Calculer la probabilité de l évèemet (X ). O doera ue valeur arrodie au millième. 4. Soit u etier aturel o ul. O lace fois le dé, les lacers état ecore supposés idépedats deux à deux. O ote U la probabilité d obteir pour la première fois le ombre 4 au ième lacer. a. Motrer que (U ) est ue suite géométrique et qu elle est covergete. b. Calculer Termiale S 40 F. Laroche S = U puis étudier la covergece de la suite (S ). i= i c. Détermier le plus petit etier tel que S > 0, Paquets de gaufrettes U supermarché commercialise des gaufrettes vedues e paquets pour lesquels : Das 5% des cas l emballage est pas itact. Das 70% des emballages o itacts il y au mois ue gaufrette cassée. 90% des emballages itacts e cotieet pas de gaufrette cassée.. U cliet achète au hasard u paquet de gaufrettes. O ote I l évéemet «l emballage est itact» et C l évéemet «au mois ue gaufrette est cassée». a. Calculer la probabilité de I. b. O cosidère les évéemets suivats : E «l emballage est pas itact et aucue gaufrette est cassée» et F «l emballage est itact et aucue gaufrette est cassée». Exprimer E et F e foctio de I, I, et C. Calculer les probabilités de E et de F. E déduire la probabilité de C, puis celle de C. c. Le paquet e cotiet pas de gaufrette cassée. Calculer la probabilité que l emballage ait été itact.. Lors d ue vete promotioelle, les paquets sot vedus par lots de 5. U cliet achète au hasard u tel lot. Quelle est la probabilité qu il y ait aucue gaufrette cassée? Que le lot cotiee au mois u emballage détérioré?. 74. Calcul de l esp. et de la var. de la loi biomiale k O cosidére ue v.a. X suivat ue ue loi biomiale B(, p) où pk = P( X = k) = p ( p) k f( x) = ( px+ p). a. Calculer f '( x ) et f "( x ) puis f '() et f "(). b. Vérifier que f( x) = p x. Calculer de ouveau f '( x ) et f "( x ) puis f '() et f "(). k= 0 k k c. Déduire des calculs précédets les valeurs de E(X) et Var(X). k. O pose

41 . 75. Autour du biome Les trois questios sot idépedates.. Les adhérets du foyer rural de Vaudouhé l Etag peuvet pratiquer ue ou plusieurs des activités suivates : photographie, mycologie ou pêche. 30 pêchet, et parmi eux 55 fot de la mycologie, et 46 de la photo. 55 fot de la photo, et parmi eux 60 sot aussi mycologues. Il y a e tout 30 amateurs de champigos, et 4 pratiquet les 3 activités. Combie le foyer rural comporte-t-il d adhérets?. Résoudre l équatio + = 3 ( ) 3 das l esemble des etiers supérieurs à O pose f( x) = ( x+ ). a. Calculer f (x). b. E utilisat la formule du biôme de Newto, développer f(x). c. Déduire du b. ue autre expressio de f (x). d. E déduire que k = k. Termiale S 4 F. Laroche k= Exames saguis Lors des recrutemets massifs de 940 l armée américaie mit sur pied ue méthode de détectio de certaies maladies évitat de procéder par uité (o e testait pas chaque idividu). Mettos que das ue populatio N il y ait ue proportio p de persoes atteites d ue maladie doée, détectable par aalyse saguie. O choisit u échatillo de taille (certaies recrues de 940) dot o mélage les prélèvemets saguis. Si le résultat est égatif aucue de ces persoes est malade, sio o aalyse idividuellemet chacu des prélèvemets. Le problème est évidemmet d optimiser le coût des aalyses et doc la taille de l échatillo.. Soit X la v.a. égale au «ombre d aalyses écessaires pour u groupe de persoes». a. Motrer que P( X = ) = ( p). E déduire P( X = + ). b. Motrer que le ombre moye d aalyses par persoe est E( X ) ( ) = + p.. Si o procède par échatillos de, o teste tout le mode ; il faut doc miimiser E( X ) détermier quad u ( ) = p est égatif. et pour cela a. O pose v = ( p) ; motrer qu il existe ue valeur 0 de (qui déped de p) telle que lorsque 0, v est croissate et lorsque 0, v est décroissate. b. E déduire qu il existe ue valeur de pour laquelle v > lorsque et v < lorsque. c. O pose = x et f( x) = x( p) x. Retrouver les résultats précédets e étudiat les variatios de f. d. Détermier les valeurs de pour lesquelles u > O se demade quelle est la valeur de pour laquelle l écoomie moyee est la plus forte. Quelle méthode proposeriez-vous pour répodre à cette questio?. 77. Evolutio d ue populatio de bactéries Das ue populatio de bactéries, à u istat doé, chaque bactérie meurt avec ue probabilité p, se divise e deux avec ue probabilité q et meurt avec ue probabilité r = p q. Toutes les bactéries se comportet de la même faço et de maière idépedate. O s itéresse à la probabilité de disparitio des bactéries au cours du temps. O ote p la probabilité que la géératio e comporte aucu idividu ; das tous les cas o part d ue seule bactérie iitiale.

42 . Motrer que p = p et que. D ue maière géérale, motrer que p = p pq+ p ( q). p rp qp p + = Motrer que la suite p est croissate et majorée par. Motrer que p coverge et détermier les valeurs possibles de sa limite. 4. Etudier les cas p=, q=, r= puis Tirages successifs, Liba poits p=, q=, r= et efi 4 4 Ue ure cotiet quatre boules oires et deux boules blaches. p=, q=, r=. 4 4 Soit u etier aturel supérieur ou égal à. O répète fois l épreuve qui cosiste à tirer ue boule puis la remettre das l ure ; o suppose que toutes les boules ot la même probabilité d être tirées et que les tirages sot idépedats. O ote p, la probabilité de tirer exactemet ue boule blache lors des premiers tirages et ue boule blache lors du -ième tirage.. Calculer les probabilités p, p 3 et p 4.. O cosidère les évèemets suivats : B : «O tire ue boule blache lors du -ième tirage», U : «O tire ue boule blache et ue seule lors des premiers tirages». a. Calculer la probabilité de l évèemet B. b. Exprimer la probabilité de l évèemet U e foctio de. c. E déduire l expressio de p e foctio de et vérifier l égalité : 3. O pose : S = p + p p. p = 4 3. a. Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel supérieur ou égal à, o a : b. Détermier la limite de la suite (S ) Barycetre+ures+biom., Polyésie poits S = + 3. O doe das le pla trois poits A, B et C disticts o aligés. Ue ure U cotiet six cartos idiscerables au toucher portat les ombres,, 0,, et 3. Ue ure V cotiet ciq cartos idiscerables au toucher ; quatre cartos portet le ombre et u carto le ombre. O tire au hasard u carto das chacue des ures. Les tirages sot équiprobables. O ote a le ombre lu sur le carto de U et b celui lu sur le carto de V.. Jusitifier que les poits podérés (A ; a), (B ; b) et (C ; 4) admettet u barycetre. O ote G ce barycetre.. a. Détermier la probabilité de chacu des évéemets suivats : E : «G appartiet à la droite (BC)» ; E : «G appartiet au segmet [BC]». b. Motrer que la probabilité de l évéemet E 3 : «G est situé à l itérieur du triagle ABC et appartiet à aucu des côtés» est égale à (o pourra faire appel à des cosidératios de sige). 5 Termiale S 4 F. Laroche

43 3. Soit u etier aturel o ul. O répète fois das les mêmes coditios l épreuve qui cosiste à tirer u carto das chacue des ures U et V puis à cosidérer le barycetre de la questio. O désige par X la varaiable aléatoire preat pour valeurs le ombre de réalisatios de l évéemet E 3. a. Détermier l etier pour que l espérace de la variable aléatoire X soit égale à 4. b. Détermier le plus petit etier pour que la probabilité d avoir au mois u des barycetres situé à l itérieur du triagle ABC soit supérieure ou égale à 0, Equête téléphoique, C. étragers poits Ue etreprise cofie à ue société de sodage par téléphoe ue equête sur la qualité de ses produits. O admet que lors du premier appel téléphoique, la probabilité que le correspodat e décroche pas est 0,4 et que s il décroche, la probabilité pour qu il répode au questioaire est 0,3. O pourra costruire u arbre podéré.. O ote : D l évèemet : «la persoe décroche au premier appel» ; R l évèemet «la persoe répod au questioaire lors du premier appel». Calculer la probabilité de l évèemet R.. Lorsqu ue persoe e décroche pas au premier appel, o la cotacte ue secode fois. La probabilité pour que le correspodat e décroche pas la secode fois est 0,3 et la probabilité pour qu il répode au questioaire sachat qu il décroche est 0,. Si ue persoe e décroche pas lors du secod appel, o e tete plus de la cotacter. O ote : D l évèemet : «la persoe décroche au secod appel». R l évèemet : «la persoe répod au questioaire lors du secod appel». R l évèemet : «la persoe répod au questioaire». Motrer que la probabilité de l évèemet R est 0, Sachat qu ue persoe a répodu au questioaire, calculer la probabilité pour que la répose ait été doée lors du premier appel (o doera la répose arrodie au millième). 4. U equêteur a ue liste de 5 persoes à cotacter. Les sodages auprès des persoes d ue même liste sot idépedats. Quelle est la probabilité pour que 0 % des persoes répodet au questioaire (o doera la répose arrodie au millième)?. 8. Equête téléphoique, Frace 000 Les résultats serot doés à 0 3 près. Ue etreprise cofie à ue société de sodage par téléphoe ue equête sur la qualité de ses produits. Chaque equêteur a ue liste de persoes à cotacter. Lors du premier appel téléphoique, la probabilité pour que le correspodat soit abset est 0,4. Sachat que le correspodat est préset, la probabilité pour qu il accepte de répodre au questioaire est 0,.. O ote : Termiale S 43 F. Laroche A l évèemet «la persoe est absete lors du premier appel» ; R l évèemet «la persoe accepte de répodre au questioaire lors du premier appel». Quelle est la probabilité de R?. Lorsqu ue persoe est absete lors du premier appel, o lui téléphoe ue secode fois, à ue heure différete. La probabilité pour qu elle soit alors absete est 0,3. Lorsqu elle est présete au secod appel, la probabilité qu elle accepte de répodre au questioaire est ecore 0,. Si ue persoe est absete lors du secod appel, o e tete plus de la cotacter. O ote : A l évèemet «la persoe est absete lors du secod appel» ; R l évèemet «la persoe accepte de répodre au questioaire lors du secod appel» ;

44 R l évèemet «la persoe accepte de répodre au questioaire». Motrer que la probabilité de R est 0,76. (O pourra utiliser u arbre). 3. Sachat qu ue persoe a accepté de répodre au questioaire, quelle est la probabilité pour que la répose ait eu lieu lors du premier appel? 4. O suppose que les sodages auprès des persoes d ue même liste sot idépedats. U equêteur a ue liste de 0 persoes à cotacter. Quelle est la probabilité pour qu ue au mois des 0 persoes de la liste accepte de répodre au questioaire?. 8. Dé pipé, Polyésie 000 O dispose d u dé cubique dot les faces sot umérotées de à 6. O désige par p k la probabilité d obteir, lors d u lacer, la face umérotée k (k est u etier et k 6). Ce dé a été pipé de telle sorte que : les six faces e sot pas équiprobables, les ombres p, p, p 3, p 4, p 5, p 6, das cet ordre, sot six termes cosécutifs d ue suite arithmétique de raiso r, les ombres p, p, p 4 das cet ordre, sot trois termes cosécutifs d ue suite géométrique.. Démotrer que : k p k = pour tout etier k tel que k 6.. O lace ce dé ue fois et o cosidère les évèemets suivats : A : «le ombre obteu est pair» B : «le ombre obteu est supérieur ou égal à 3» C : «le ombre obteu est 3 ou 4». a. Calculer la probabilité de chacu de ces évèemets. b. Calculer la probabilité que le ombre obteu soit supérieur ou égal à 3, sachat qu il est pair. c. Les évèemets A et B sot-ils idépedats? Les évèemets A et C sot-ils idépedats? 3. O utilise ce dé pour u jeu. O dispose : d ue ure U coteat ue boule blache et trois boules oires, d ue ure U coteat deux boules blaches et ue boule oire. Le joueur lace le dé : s il obtiet u ombre pair, il extrait au hasard ue boule de l ure U, s il obtiet u ombre impair, il extrait au hasard ue boule de l ure U. O suppose que les tirages sot équiprobables et le joueur est déclaré gagat lorsqu il tire ue boule blache, o ote G cet évèemet. a. Détermier la probabilité de l évèemet G A, puis la probabilité de l évèemet G. b. Le joueur est gagat. Détermier la probabilité qu il ait obteu u ombre pair lors du lacer du dé Pièces truquées, La Réuio 00 Das u lot de 00 pièces de moaie toutes de même apparece, ot été mélagées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées. La probabilité d apparitio de «PILE» lors d u jet d ue pièce truquée est 3 4. La probabilité d apparitio de «PILE» lors d u jet d ue pièce équilibrée est. O suppose que les différets lacers dot il sera questio das la suite sot idépedats les us des autres. La probabilité d u évèemet A est otée p(a). O désige par A l évéemet cotraire de A. La probabilité coditioelle de A sachat que l évèemet B est réalisé est otée p B (A). Les résultats serot doés sous forme de fractios irréductibles. Termiale S 44 F. Laroche

45 . O pred ue pièce au hasard et o la lace : Termiale S 45 F. Laroche soit T l évèemet : «la pièce est truquée», soit P l évèemet : «o obtiet PILE». a. Calculer la probabilité d obteir «Pile» (o pourra s aider d u arbre). b. Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachat que l o a obteu «PILE»?. O pred ue pièce au hasard et o la lace quatre fois. Si au cours des quatre lacers o obtiet quatre fois «Pile», o décide d élimier la pièce, das le cas cotraire, o décide de coserver la pièce. O ote E l évèemet «la pièce est élimiée». a. Quelle est la probabilité que la pièce soit élimiée sachat qu elle est équilibrée? b. Quelle est la probabilité que la pièce soit coservée sachat qu elle est truquée? c. Quelle est la probabilité d avoir pris ue pièce équilibrée et de l avoir élimiée ou d avoir pris ue pièce truquée et de l avoir coservée?. 84. Clefs et portes, Podicherry poits U professeur se trouve e possessio de 5 clefs de salles. Il se tiet devat ue porte et il sait que, parmi ses 5 clefs, ouvret pas la porte parce qu elles sot défectueuses mais les autres le peuvet. Il veut alors les tester toutes, ue à ue. Le choix des clefs est effectué au hasard et sas remise. O appelle clef uméro x la clef utilisée au x-ième essai.. O appelle D l évèemet : «La clef uméro ouvre pas la porte». Calculer sa probabilité.. O appelle D l évèemet : «La clef uméro ouvre pas la porte». Calculer la probabilité que l évèemet D se réalise, sachat que l évèemet D est réalisé. E déduire la probabilité de l évèemet D D. O pourra, pour la suite de l exercice, s aider d u arbre podéré. 3. Quelle est la probabilité de l évéemet : «Les clefs uméros et ouvret la porte et la clef uméro 3 e l ouvre pas»? 4. Pour i< j 5, o ote (i; j) l évéemet : «Les clefs qui ouvret pas la porte sot les clefs uméros i et j», et P(i ; j) la probabilité de cet évèemet. a. Calculer P( ; 4). b. Calculer P(4 ; 5) Hôpital, Liba poits Le persoel d u très grad hôpital est réparti e trois catégories : les médecis, les soigats (o médecis) et le persoel AT (admiistratif ou techique). % des persoels sot des médecis et 7% sot des soigats. 67% des médecis sot des hommes et 9% des soigats sot des femmes. O doera ue valeur approchée de tous les résultats à 0 4 près.. O iterroge au hasard u membre du persoel de cet hôpital. a. Quelle est la probabilité d iterroger ue femme soigate? b. Quelle est la probabilité d iterroger ue femme médeci? c. O sait que 80% du persoel est fémii. Calculer la probabilité d iterroger ue femme AT. E déduire la probabilité d iterroger ue femme sachat que la persoe iterrogée fait partie du persoel AT.. Tout le persoel de cet hôpital a u temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à ue heure et o suppose que la durée exacte du trajet est ue variable aléatoire uiformémet répartie sur [0 ; ].

46 O iterroge au hasard u membre du persoel de cet hôpital. Quelle est la probabilité pour que la persoe iterrogée ait ue durée de trajet comprise etre 5 mi et 0 mi? 3. Ue etreprise souhaite evoyer u courrier publicitaire à 40 persoes qui travaillet das cet hôpital. Elle a la liste du persoel mais e coaît pas la foctio de chacu. Elle choisit au hasard 40 oms de la liste (e raiso de la taille de la populatio, o cosidère qu il s agit de 40 tirages successifs idépedats avec remise). Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers evoyés, 0 exactemet soiet reçus par des médecis?. 86. Fléchettes, Frace 00 4 poits U carré de côté 0 cm est partagé selo les 0 zoes suivates : - u disque D de rayo cm, - 8 secteurs S, S,..., S 8 de même aire délimités par les frotières du disque D et du disque D de même cetre et de rayo 9 cm, - ue zoe R etre le disque D et le bord du carré. O place u poit aléatoiremet das le carré. La probabilité de placer le poit das ue zoe quelcoque du carré est proportioelle à l aire de cette zoe.. a. Détermier la probabilité p(d) pour que le poit soit placé das le disque D. b. Détermier la probabilité p(s ) pour que le poit soit placé das le secteur S.. Pour cette questio, o utilisera les valeurs approchées suivates : p(d) = 0,008 et pour tout k apparteat à { ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}, p(s k ) = 0,0785. À cette situatio aléatoire est associé le jeu suivat : - u poit placé das le disque D fait gager 0 euros ; - u poit placé das le secteur S k fait gager k euros pour tout k apparteat à { ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} ; - u poit placé das la zoe R fait perdre 4 euros. O ote X la variable alatoire égale au gai algébrique obteu. a. Calculer la probabilité p(r) pour que le poit soit placé das la zoe R. Calculer l espérace de X. b. O joue deux fois de suite. O a doc placé deux poits de maière idépedate das le carré. Calculer la probabilité d obteir u gai total positif ou ul. c. Soit u etier aturel supérieur ou égal à deux. O joue fois de suite. O a doc placé poits de maière idépedate das le carré. Calculer la probabilité p d obteir aumois u poit placé das le disque D. Détermier la plus petite valeur de tel que p 0, Fléchettes, Amérique du Nord poits U jeu de hasard est formé d u dispositif laçat de faço aléatoire ue fléchette das ue cible ayat la forme suivate : La fléchette atteit toujours ue case et ue seule. Termiale S 46 F. Laroche B B B B B B B B B J J J V V R R V V J J J B B B B B B B B B Les trete cases, blaches (B), jaues (J), vertes (V) ou rouges (R), ot toutes la même probabilité d être atteites. Si la fléchette atteit ue case rouge, le joueur gage 8 euros. R S 4 S 5 S 3 S 6 S S 7 S S 8

47 Si la fléchette atteit ue case verte, le joueur gage 5 euros. Si la fléchette atteit ue case jaue, le joueur e gage rie et e perd rie. Si la fléchette atteit ue case blache, le joueur perd a euros, la lettre a désige u ombre réel positif.. O ote X la variable aléatoire représetat le gai algébrique du joueur (compté égativemet quad il perd). a. Doer la loi de probabilité de X. b. Calculer a pour que le jeu soit équitable, c est-à-dire pour que l espérace E(X) soit ulle.. U joueur est cosidéré comme gagat s il a obteu u gai strictemet positif. a. Quelle est la probabilité p qu u joueur gage? b. U joueur joue 5 parties cosécutives idépedates. Quelle est la probabilité qu il gage exactemet fois? exactemet 5 fois? c. Quel est le ombre moye de parties gagates das la situatio décrite e. b.?. 88. Lacer de tétraèdres, Polyésie 003 Partie A Das l espace mui d u repère orthoormé ( O; i, j, k ), o cosidère les poits A, B, C et D de coordoées respectives : A(0 ; 0 ; 3), B( ; 0 ; ), C( ; 6 ; ), D( ; 6 ; ).. Démotrer que ABCD est u tétraèdre régulier, c est-à-dire u tétraèdre dot toutes les arêtes sot de même logueur.. O ote R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; démotrer que RSTU est u parallélogramme de cetre O. 3. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémetaires? Expliquer. Partie B O dispose de trois tétraèdres idetiques au précédet, parfaitemet équilibrés. Chacu d eux a ue face peite e bleu, ue face peite e jaue et deux faces peites e rouge. O lace les trois tétraèdres simultaémet (o remarquera que, lorsqu o lace u tel tétraèdre, ue seule face est cachée et trois faces sot visibles).. Calculer la probabilité pour qu au mois trois faces rouges soiet visibles sur les trois tétraèdres.. Calculer la probabilité pour que la couleur bleue e soit visible sur aucu tétraèdre. 3. Calculer la probabilité de l évèemet E «les six faces rouges sot visibles». 4. O répète fois l expériece qui cosiste à lacer les trois tétraèdres. Calculer la probabilité p pour que l évèemet E soit réalisé au mois ue fois. Calculer lim p. Termiale S 47 F. Laroche Pièces d euro et loi biom., Frace poits U commerce possède u rayo «jouraux» et u rayo «souveirs». À la fi d ue jourée, o trie les pièces de moaie coteues das les caisses de chaque rayo. O costate que la caisse du rayo «jouraux» cotiet 3 fois plus de pièces de que celle du rayo «souveirs». Les pièces ot toutes le côté pile idetique, mais le côté face differe et symbolise u des pays utilisat lamoaie uique. Aisi, 40 % des pièces de das la caisse du rayo «souveirs» et 8 % de celles du rayo «jouraux» portet ue face symbolisat u pays autre que la Frace (o dira «face étragère»).. Le propriétaire du magasi, collectioeur de moaies, recherche les pièces portat ue face étragère. Pour cela il prélève au hasard et avec remise 0 pièces issues de la caisse «souveirs». O ote X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvemet le ombre de pièces portat ue face «étragère». C B A D

48 a. Expliquer pourquoi X suit ue loi biomiale ; détermier les paramètres de cette loi. b. Calculer la probabilité qu exactemet 5 pièces parmi les 0 portet ue face étragère. c. Calculer la probabilité qu au mois pièces parmi les 0 portet ue face étragère.. Les pièces de issues des deux caisses sot maiteat rassemblées das u sac. O prélève au hasard ue pièce du sac. O ote S l évèemet «la pièce proviet de la caisse souveirs» et E l évèemet «la pièce porte ue face étragère». a. Détermier P(S), P S (E) ; e déduire P(S E). b. Démotrer que la probabilité que la pièce porte ue face étragère est égale à 0,6. c. Sachat que cette pièce porte ue face étragère, détermier la probabilité qu elle proviee de la caisse «souveirs». 3. Das la suite, la probabilité qu ue pièce choisie au hasard das le sac porte ue face étragère est égale à 0,6. Le collectioeur prélève pièces ( etier supérieur ou égal à ) du sac au hasard et avec remise. Calculer pour que la probabilité qu il obtiee au mois ue pièce portat ue face étragère soit supérieure ou égale à 0, Promeades avec u guide, Atilles poits Ue associatio orgaise des promeades e motage. Douze guides emmèet chacu, pour la jourée, u groupe de persoes dès le lever du Soleil. L été il y a plus de demades que de guides et chaque groupe doit s iscrire la veille de la promeade. Mais l expériece des derières aées prouve que la probabilité que chacu des groupes iscrits e se présete pas au départ de la promeade est égale à. O admettra que les groupes iscrits se présetet 8 idépedammet les us des autres. Les probabilités demadées serot arrodies au 00 ème le plus proche.. a. Motrer que la probabilité qu u jour doé les groupes iscrits soiet tous présets est comprise etre 0,0 et 0,. b. O désige par X la variable aléatoire égale au ombre de jours où les groupes iscrits se sot tous présetés au départ lors d umois de 30 jours. Motrer que X suit ue loi biomiale dot o précisera les paramètres. Doer la sigificatio des évèemets X = 30 puis X = 0 et calculer la probabilité de ces évèemets. Préciser l espérace mathématique E(X). Quelle sigificatio peut-o doer à ce résultat? c. Ue somme de Crédit (la moaie locale) est demadée à chaque groupe pour la jourée. Cette somme est réglée au départ de la promeade. Das le cas où u groupe e se présete pas au départ, l associatio e gage évidemmet pas le Crédit que ce groupe aurait versé pour la jourée. O omme S la variable aléatoire égale à la somme, e Crédits, perçue par l associatio u jour doé. Calculer la probabilité de l évèemet [S = ]. Préciser l espérace mathématique de S.. a. Agacé par le ombre de guides iemployés, le dirigeat de l associatio décide de predre chaque jour ue réservatio supplémetaire. Évidemmet si les 3 groupes iscrits se présetet, le 3 ème groupe sera dirigé vers ue activité de substitutio. Toutefois, cette activité de remplacemet etraîe ue dépese de Crédits à l associatio. Quelle est a probabilité P 3 qu u jour doé il y ait pas de désistemet, c est-à-dire que les 3 groupes iscrits la veille se présetet au départ de la promeade? b. Soit R la variable aléatoire égale au coût de l activité de substitutio. Préciser la loi de la variable aléatoire R et calculer so espérace mathématique. Termiale S 48 F. Laroche

49 3 k 3 k k 7 c. Motrer que le gai moye obteu pour chaque jour est : k P k= 0 Calculer ce gai. d. La décisio du dirigeat est-elle retable pour l associatio?. 9. Promeades sas guide, Asie 00 Pour rejoidre le sommet S d ue motage des Alpes à partir d u poit de départ D, les radoeurs ot la possibilité d empruter plusieurs parcours. La course état pas faisable e ue jourée, ils doivet passer ue uit das l u des deux refuges se trouvat à la même altitude de 400 mètres sur les parcours existats ; les deux refuges e sot pas situés au même edroit. O les appelle R et R. Le ledemai mati, pour atteidre le sommet qui se trouve à 500 mètres d altitude, ils ot deux possibilités : ils peuvet atteidre le sommet e faisat ue halte au refuge R 3, ou atteidre le sommet directemet. La probabilité que les radoeurs choisisset de passer par R est égale à 3. La probabilité de moter directemet au sommet e partat de R est égale à 3 4. La probabilité de moter directemet au sommet e partat de R est égale à 3.. Tracer u arbre podéré représetat tous les trajets possibles du départ D jusqu au sommet S.. Détermier la probabilité de chacu des évèemets suivats : E : «Les radoeurs ot fait ue halte au refuge R 3 sachat qu ils ot passé la uit au refuge R» ; E : «Les radoeurs ot fait ue halte au refuge R 3» ; E3 : «Les radoeurs ot passé la uit au refuge R sachat qu ils ot fait ue halte au refuge R 3» ; E4 : «Les radoeurs ot passé la uit au refuge R sachat que le deuxième jour ils sot motés directemet au sommet S». 3. O ote d(m, N) la distace, e km, à parcourir pour se redre du poit M au poit N. O doe d(d, R ) = 5 ; d(d, R ) = 4 ; d(r, R 3 ) = 4 ; d(r, R 3 ) = 4,5 ; d(r 3, S) = ; d(r, S) = 5,5 ; d(r, S) = 6. Soit X la variable aléatoire qui représete la distace parcourue par les radoeurs pour aller du départ D au sommet S. a. Détermier la loi de probabilité de X. b. Calculer l espérace mathématique de X. R 5,5 4 R 3 4,5 5 4 D S 6 R Termiale S 49 F. Laroche

50 . 9. Visite de musée, Cetres étragers 00 Le directeur d umusée, dot le pla est fouri ci-dessous, orgaise ue expositio. Afi de prévoir la fréquetatio des salles, il décide d imagier le parcours d u visiteur, pris au hasard, e faisat les hypothèses suivates : Le visiteur passe au hasard d ue salle à ue salle voisie. Pour sortir d ue salle, il frachit de maière équiprobable importe quelle autre porte que celle qu il a utilisée pour etrer. Das le parcours du visiteur, le directeur e s itéresse qu aux quatre premières salles traversées, l etrée E état comprise das celles-ci. U trajet par ces quatre premières salles est codé par u mot de quatre lettres, commeçat par la lettre E. Par exemple : Si le visiteur passe successivemet par les salles E, B, D, F, o codera so trajet par le mot EBDF. Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses choisies.. O cosidère u visiteur, pris au hasard, devat effectuer u trajet selo les hypothèses précédetes. a. Costruire l arbre podéré des différets trajets possibles pour ce visiteur. b. Motrer que la probabilité du parcours codé EBDF est 6. c. Détermier la probabilité p de l évèemet : «La quatrième salle du trajet est F». d. Pour des raisos techiques, le directeur istalle les oeuvres les plus itéressates das la salle T. Détermier la probabilité p de l évèemet «Le trajet passe par la salle T».. Le directeur imagie dix visiteurs pris au hasard, effectuat chacu u trajet, de maière idépedate et selo les hypothèses précédetes. O appelle X la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le ombre de leurs trajets passat par la salle T. a. Calculer la probabilité de l évèemet (X = ). b. Calculer la probabilité que deux visiteurs au mois passet par la salle T. (Doer le résultat arrodi au millième.) c. Le directeur décide d obliger les visiteurs à se diriger, après l etrée, vers la salle A, les hypothèses précédetes demeurat pour la suite des trajets. Il pese aisi augmeter la probabilité que deux visiteurs au mois, sur les dix, passet par la salle T. Prouver qu il a tort Loi de Poisso, Podichéry poits Pour réaliser ue equête, u employé iterroge des persoes prises au hasard das ue galerie commerçate. Il se demade si trois persoes au mois accepterot de répodre.. Das cette questio o suppose que la probabilité qu ue persoe choisie au hasard accepte de répodre est 0,. L employé iterroge au hasard 50 persoes de maière idépedate. O cosidère les évéemets : A : «au mois ue persoe accepte de répodre» ; B :» mois de trois persoes acceptet de répodre» ; C : «trois persoes ou plus acceptet de répodre». Calculer les probabilités des évéemets A, B et C. O arrodira au millième. Termiale S 50 F. Laroche

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.

Plus en détail

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini P : Déombremets / Probabilités e uivers fii Déombremet & Combiatoire P.1 O tire les cartes! O tire 5 cartes das u jeu de 32 cartes usuel. Combie y a-t-il de tirages possibles vérifiat les coditios suivates

Plus en détail

Probabilité 1 - L1 MMIA

Probabilité 1 - L1 MMIA Probabilité 1 - L1 MMIA Tra Viet Chi, vtra@u-paris10fr, Bureau E12(G) Exercice 1 (Pour démarrer) 1 Soiet A et B deux esembles Rappelez les défiitios de l itersectio A B, de l uio A B, de la différece A

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

20. Algorithmique & Mathématiques

20. Algorithmique & Mathématiques L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3... Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages

Plus en détail

Probabilités et statistique pour le CAPES

Probabilités et statistique pour le CAPES Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil. Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces

Plus en détail

Statistique descriptive bidimensionnelle

Statistique descriptive bidimensionnelle 1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets

Plus en détail

2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES

2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul

Plus en détail

Maîtrise de Mathématiques TER Le bandit manchot à deux bras

Maîtrise de Mathématiques TER Le bandit manchot à deux bras Maîtrise de Mathématiques TER Le badit machot à deux bras Deis Cousieau Sous la directio de Jea-Michel Loubes Septembre 2003 Table des matières 1 Présetatio du problème 2 1.1 Exemple de la machie à sous,

Plus en détail

Intérêt simple CHAPITRE. Sommaire

Intérêt simple CHAPITRE. Sommaire HAPTRE térêt simple Sommaire A B D E F G H J K L Notio d itérêt Formule fodametale de l itérêt simple Durée de placemet exprimée e mois Durée de placemet exprimée e jours alculs sur la formule fodametale

Plus en détail

UV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1

UV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1 UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers) Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie

Plus en détail

Chapitre 13. Statistiques et probabilités. Sommaire

Chapitre 13. Statistiques et probabilités. Sommaire 13 Chapitre Chapitre 13 Statistiques et probabilités Les statistiques et les probabilités occupet ue place importate das l eseigemet de certaies classes préparatoires Les pricipales foctios écessaires

Plus en détail

Probabilités. Voir en bibliographie l ouvrage [1], pages 52 et 53.

Probabilités. Voir en bibliographie l ouvrage [1], pages 52 et 53. Probabilités «Pour compredre l actualité, ue formatio à la statistique est aujourd hui idispesable ; c est ue formatio qui développe des capacités d aalyse et de sythèse et exerce le regard critique. Le

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe 1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. 55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4 UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation 1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

HEC. Gilles Mauffrey. METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmation linéaire, programmation dynamique, simulation, statistique élémentaire

HEC. Gilles Mauffrey. METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmation linéaire, programmation dynamique, simulation, statistique élémentaire HEC Gilles Mauffrey METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmatio liéaire, programmatio dyamique, simulatio, statistique élémetaire La Modélisatio LA MODELISATION Modèle et typologie des modèles. La otio

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première

Plus en détail

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester

Plus en détail

Comment utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ

Comment utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ Commet utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ Survol du compte Mauvie U La majorité des Caadies gèret leurs fiaces comme suit : 1. Ils déposet leur reveu et autres actifs à court

Plus en détail

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

Échantillonnage et estimation

Échantillonnage et estimation Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page Échatilloage et estimatio Partie C : Capacités et exercices-types. Rappelos

Plus en détail

Cours de Statistiques inférentielles

Cours de Statistiques inférentielles Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Université de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015

Université de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015 Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir

Plus en détail

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules est à dispositio olie et sera doé aux cadidats lors des exames oraux

Plus en détail

Chapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction

Chapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats

Plus en détail

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local Appretissage: cours 3a Méthodes par moyeage local Guillaume Oboziski 1 er mars 2012 Réferece : chap. 6 of [Hastie et al., 2009] ad chap. 6 of [Devroye et al., 1996]. Algorithmes par moyeage local O cosidère

Plus en détail

Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.

Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2. Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Pla de sodage 2.2.2 Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE

Plus en détail

TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )

TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude

Plus en détail

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars

Plus en détail

Exercices de mathématiques

Exercices de mathématiques MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris

Plus en détail

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie... 1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................

Plus en détail

trouve ton équilibre

trouve ton équilibre trouve to équilibre www.bee-secure.lu FR Trouver so équilibre Es-tu allé à u cocert ou à la piscie récemmet? A quad remote ta derière recotre avec des amis? Combie de temps passes-tu sur les réseaux sociaux?

Plus en détail

4 Approximation des fonctions

4 Approximation des fonctions 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

Chaînes de Markov. Arthur Charpentier

Chaînes de Markov. Arthur Charpentier Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.

Plus en détail

Augmentation de la demande du produit «P» Prévision d accroître la capacité de production (nécessité d investir) Investissement

Augmentation de la demande du produit «P» Prévision d accroître la capacité de production (nécessité d investir) Investissement Augmetatio de la demade du produit «P» Prévisio d accroître la capacité de productio (écessité d ivestir) Ivestissemet Etude de retabilité du produit «P» Jugemet de l opportuité et de la retabilité du

Plus en détail

Une action! Un message!

Une action! Un message! Ue actio! U message! Cotact Master est u service exclusif de relaces automatiques de vos actes vers vos cliets, par SMS, messages vocaux, e-mails, courrier... Il se décleche lorsque vous réalisez ue actio

Plus en détail

La fibre optique arrive chez vous Devenez acteur de la révolution numérique

La fibre optique arrive chez vous Devenez acteur de la révolution numérique 2 e éditio Edité par l Autorité de régulatio des commuicatios électroiques et des postes RÉPUBLIQUE FRANÇAISE DÉCEMBRE 2010 La fibre optique arrive chez vous Deveez acteur de la révolutio umérique Petit

Plus en détail

MUTUELLE D&O MUTUELLE D&O. Copilote de votre santé. Seniors. AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyance CRC CRIS CRPB-AFB

MUTUELLE D&O MUTUELLE D&O. Copilote de votre santé. Seniors. AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyance CRC CRIS CRPB-AFB MUTUELLE D&O pour toute souscriptio (Offre soumise à coditios) MUTUELLE D&O Copilote de votre saté Seiors AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyace CRC CRIS CRPB-AFB DOMISSIMO-Assuraces DOMISSIMO-Services

Plus en détail

RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée

RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée Nous ous occupos d accroître votre clietèle avec le compte Avatage d etreprise Pour trouver des cliets potetiels grâce à u simple compte bacaire Vous cherchez des idées

Plus en détail

Le meilleur scénario pour votre investissement

Le meilleur scénario pour votre investissement ivestir Best Strategy 2012 Le meilleur scéario pour votre ivestissemet U ivestissemet diversifié U coupo uique de 0% à 50% brut* à l échéace Ue courte durée : 4 as et demi Votre capital garati à l échéace

Plus en détail

trouve jamais dans les concepts généraux que ce qu on y met

trouve jamais dans les concepts généraux que ce qu on y met ,QIRUPDWLTXHQRUPHHWWHPSV,VDEHOOH%R\GHQV Présetatio par Marie-Ae Chabi Réuio PIN 15 javier 2004 /HVEDVHVGHGRQQpHVHPSLULTXHV Collectio fiie et structurée de doées codifiées, textuelles ou multimédia, destiées

Plus en détail

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2 Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................

Plus en détail

Etude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT?

Etude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? Etude Spéciale o. 7 Javier 2003 SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? MARK SCHNEIDER Le CGAP vous ivite à lui faire part de vos commetaires, de vos rapports et de toute demade d evoid autres

Plus en détail

MUTUELLE D&O MUTUELLE D&O. Copilote de votre santé. AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyance CRC CRIS CRPB-AFB

MUTUELLE D&O MUTUELLE D&O. Copilote de votre santé. AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyance CRC CRIS CRPB-AFB MUTUELLE D&O MUTUELLE D&O Copilote de votre saté AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyace CRC CRIS CRPB-AFB DOMISSIMO-Assuraces DOMISSIMO-Services FONGECFA-Trasport IPRIAC MUTUELLE D&O OREPA-Prévoyace

Plus en détail

One Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles en un seul pack

One Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles en un seul pack Uique! Exteded Fleet Appels illimités vers les uméros Mobistar et les liges fixes! Oe Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles e u seul pack Commuiquez et travaillez e toute liberté Mobistar offre

Plus en détail

Compte Sélect Banque Manuvie Guide du débutant

Compte Sélect Banque Manuvie Guide du débutant GUIDE DU DÉBUTANT Compte Sélect Baque Mauvie Guide du débutat Besoi d aide? Preez quelques miutes pour lire attetivemet votre Guide du cliet. Le préset Guide du débutat vous facilitera l utilisatio de

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1 Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques

Plus en détail

Université Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME

Université Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par

Plus en détail

PROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales

PROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières

Plus en détail

Statistique Numérique et Analyse des Données

Statistique Numérique et Analyse des Données Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques

Plus en détail

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................

Plus en détail

Principes et Méthodes Statistiques

Principes et Méthodes Statistiques Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009 Bcclurét S Nouvelle - Clédoie Mrs 009 Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) r r Le pl est rpporté à u repère orthoorml direct ( O, u, v) d uité grphique cm O cosidère les poits et B d ffixes respectives

Plus en détail

Le marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.

Le marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble. II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café

Plus en détail

Mobile Business. Communiquez efficacement avec vos relations commerciales 09/2012

Mobile Business. Communiquez efficacement avec vos relations commerciales 09/2012 Mobile Busiess Commuiquez efficacemet avec vos relatios commerciales 9040412 09/2012 U choix capital pour mes affaires Pour gérer efficacemet ses affaires, il y a pas de secret : il faut savoir predre

Plus en détail

Sommaire Chapitre 1 - L interface de Windows 7 9

Sommaire Chapitre 1 - L interface de Windows 7 9 Sommaire Chapitre 1 - L iterface de Widows 7 9 1.1. Utiliser le meu Démarrer et la barre des tâches de Widows 7...11 Démarrer et arrêter des programmes...15 Épigler u programme das la barre des tâches...18

Plus en détail

Faites prospérer vos affaires grâce aux solutions d épargne et de gestion des dettes

Faites prospérer vos affaires grâce aux solutions d épargne et de gestion des dettes Faites prospérer vos affaires grâce aux solutios d éparge et de gestio des dettes Quelques excelletes raisos d offrir des produits bacaires et de fiducie à vos cliets Vous avez la compétece écessaire pour

Plus en détail

Neolane Leads. Neolane v6.0

Neolane Leads. Neolane v6.0 Neolae Leads Neolae v6.0 Ce documet, aisi que le logiciel qu'il décrit, est fouri das le cadre d'u accord de licece et e peut être utilisé ou copié que das les coditios prévues par cet accord. Cette publicatio

Plus en détail