STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES"

Transcription

1 STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée Jea-Jacques Ruch

2

3 Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie 6 2.b. Hypothèse ulle - hypothèse alterative 6 2.c. Statistique et iveau de sigificatio 6 3. Risques d erreur 7 4. Puissace d u test 8 Chapitre II. Foctio de répartitio empirique 9. Itroductio 9 2. Théorème de Gliveko-Catelli 0 3. Test de Kolmogorov 4. Test de Kolmogorov-Smirov 2

4

5 CHAPITRE I Gééralités sur les tests. Itroductio U test d hypothèse est u procédé d iférece permettat de cotrôler (accepter ou rejeter) à partir de l étude d u ou plusieurs échatillos aléatoires, la validité d hypothèses relatives à ue ou plusieurs populatios. Les méthodes de l iférece statistique ous permettet de détermier, avec ue probabilité doée, si les différeces costatées au iveau des échatillos peuvet être imputables au hasard ou si elles sot suffisammet importates pour sigifier que les échatillos provieet de populatios vraisemblablemet différetes. O distiguera deux classes de tests : - Les tests paramétriques requieret u modèle à fortes cotraites (ormalité des distributios ou approximatio ormale pour des grads échatillos). Ces hypothèses sot d autat plus difficiles à vérifier que les effectifs étudiés sot plus réduits. - Les tests o paramétriques sot des tests dot le modèle e précise pas les coditios que doivet remplir les paramètres de la populatio dot a été extrait l échatillo. Il y a pas d hypothèse de ormalité au préalable. Les tests paramétriques, quad leurs coditios sot remplies, sot les plus puissats que les tests o paramétriques. Les tests o paramétriques s emploiet lorsque les coditios d applicatios des autres méthodes e sot pas satisfaites, même après d évetuelles trasformatio de variables. Ils peuvet s utiliser même pour des échatillos de taille très faible. O ditigue les tests suivat : - Le test de coformité cosiste à cofroter u paramètre calculé sur l échatillo à ue valeur pré-établie. Les plus cous sot certaiemet les tests portat sur la moyee, la variace ou sur les proportios. O coaît la loi théorique e gééral la loi ormale. Par exemple, das u jeu de dés à 6 faces, o sait que la face 3 a ue probabilité de /6 d apparaître. O demade à u joueur de lacer (sas précautios particulières) 00 fois le dé, o teste alors si la fréquece d apparitio de la face 3 est compatible avec la probabilité /6. Si ce est pas le cas, o peut se poser des questios sur l itégrité du dé. - Le test d ajustemet ou d adéquatio cosiste à vérifier la compatibilité des doées avec ue distributio choisie a priori. Le test le plus utilisé das cette optique est le test d ajustemet à la loi ormale, qui permet esuite d appliquer u test paramétrique. - Le test d homogééité ou de comparaiso cosiste à vérifier que K(K 2) échatillos (groupes) provieet de la même populatio ou, cela reviet à la même chose, que la distributio de la variable d itérêt est la même das les K échatillos. Y a-t-il ue différece etre le taux de glucose moye mesuré pour deux échatillos d idividus ayat reçu des traitemets différets? - Le test d idépedace ou d associatio cosiste à éprouver l existece d ue liaiso etre 2 variables. Les techiques utilisées diffèret selo que les variables sot qualitatives omiales, ordiales ou quatitatives. Est-ce que la distributio de la couleur des yeux observée das la populatio fraçaise fréqueces est idépedate du sexe des idividus?

6 6 Chapitre I. Gééralités sur les tests 2.a. Méthodologie. 2. Pricipe des tests Le pricipe des tests d hypothèse est de poser ue hypothèse de travail et de prédire les coséqueces de cette hypothèse pour la populatio ou l échatillo. O compare ces prédictios avec les observatios et l o coclut e acceptat ou e rejetat l hypothèse de travail à partir de règles de décisios objectives. Défiir les hypothèses de travail, costitue u élémet essetiel des tests d hypothèses de même que vérifier les coditios d applicatio de ces derières. Différetes étapes doivet être suivies pour tester ue hypothèse : () défiir l hypothèse ulle, otée H 0, à cotrôler ; (2) choisir ue statistique pour cotrôler H 0 ; (3) défiir la distributio de la statistique sous l hypothèse «H 0 est réalisée» ; (4) défiir le iveau de sigificatio du test α et la régio critique associée ; (5) calculer, à partir des doées fouries par l échatillo, la valeur de la statistique ; (6) predre ue décisio cocerat l hypothèse posée. 2.b. Hypothèse ulle - hypothèse alterative. L hypothèse ulle otée H 0 est l hypothèse que l o désire cotrôler : elle cosiste à dire qu il existe pas de différece etre les paramètres comparés ou que la différece observée est pas sigificative et est due aux fluctuatios d échatilloage. Cette hypothèse est formulée das le but d être rejetée. L hypothèse alterative otée H est la "égatio" de H 0, elle est équivalete à dire «H 0 est fausse». La décisio de rejeter H 0 sigifie que H est réalisée ou H est vraie. Remarque : Il existe ue dissymétrie importate das les coclusios des tests. E effet, la décisio d accepter H 0 est pas équivalete à «H 0 est vraie et H est fausse». Cela traduit seulemet l opiio selo laquelle, il y a pas d évidece ette pour que H 0 soit fausse. U test coduit à rejeter ou à e pas rejeter ue hypothèse ulle jamais à l accepter d emblée. La ature de H 0 détermie la faço de formuler H et par coséquet la ature uilatérale ou bilatérale du test. O parle de test bilatéral lorsque l hypothèse alterative se "décompose e deux parties". Par exemple si H 0 cosiste à dire que la populatio estudiatie avec ue fréquece de fumeurs p est représetative de la populatio globale avec ue fréquece de fumeurs p 0, o pose alors : H 0 : p = p 0 et H : p p 0. Le test sera bilatéral car o cosidère que la fréquece p peut être supérieure ou iférieure à la fréquece p 0. O parle de test uilatéral lorsque l hypothèse alterative se "compose d ue seule partie". Par exemple si l o fait l hypothèse que la fréquece de fumeurs das la populatio estudiatie p est supérieure à la fréquece de fumeurs das la populatio p 0, o pose alors H 0 : p = p 0 et H : p > p 0. Le test sera uilatéral car o cosidère que la fréquece p e peut être que supérieure à la fréquece p 0. Il aurait été possible égalemet d avoir : H 0 : p = p 0 et H : p < p 0 2.c. Statistique et iveau de sigificatio. Ue statistique est ue foctio des variables aléatoires représetat l échatillo. Le choix de la statistique déped de la ature des doées, du type d hypothèse que l o désire cotrôler, des affirmatios que l o peut admettre cocerat la ature des populatios étudiées.... La valeur umérique de la statistique obteue pour l échatillo cosidéré permet de distiguer etre H 0 vraie et H 0 fausse. Coaissat la loi de probabilité suivie par la statistique S sous l hypothèse H 0, il est possible d établir ue valeur seuil, S seuil de la statistique pour ue probabilité doée appelée le iveau de sigificatio α du test. La régio critique R c = f(s seuil ) correspod à l esemble des valeurs telles que : P(S R c ) = α. Selo la ature uilatérale ou bilatérale du test, la défiitio de la régio critique varie. Test Uilatéral Bilatéral H 0 : t = t 0 H 0 : t = t 0 Hypothèse alterative H : t > t 0 H : t < t 0 H : t t 0 Niveau de sigificatio P(S > S seuil ) = α P(S < S seuil ) = α P( S > S seuil ) = α

7 3. Risques d erreur 7 Il existe deux stratégies pour predre ue décisio e ce qui cocere u test d hypothèse : la première stratégie fixe à priori la valeur du seuil de sigificatio α et la secode établit la valeur de la probabilité critique α obs à posteriori. Règle de décisio : Sous l hypothèse «H 0 est vraie» et pour u seuil de sigificatio α fixé - si la valeur de la statistique S obs calculée appartiet à la régio critique alors l hypothèse H 0 est rejetée au risque d erreur α et l hypothèse H est acceptée ; - si la valeur de la statistique S obs appartiet pas à la régio critique alors l hypothèse H 0 e peut être rejetée. Remarque : Le choix du iveau de sigificatio ou risque α est lié aux coséqueces pratiques de la décisio ; e gééral o choisira α = 0, 05, 0, 0 ou 0, 00. Règle de décisio 2 : La probabilité critique α telle que P (S S obs ) = α obs est évaluée - si α obs α l hypothèse H 0 est acceptée car le risque d erreur de rejeter H 0 alors qu elle est vrai est trop importat ; - si α obs < α l hypothèse H 0 est rejetée car le risque d erreur de rejeter H 0 alors qu elle est vrai est très faible. 3. Risques d erreur Défiitio. O appelle risque d erreur de première espèce la probabilité de rejeter H 0 et d accepter H alors que H 0 est vraie. Ceci se produit si la valeur de la statistique de test tombe das la régio de rejet alors que l hypothèse H 0 est vraie. La probabilité de cet évèemet est le iveau de sigifiatio α. O dit aussi que le iveau de sigificatio est la probabilité de rejeter l hypothèse ulle à tort. Remarque : La valeur du risque α doit être fixée a priori par l expérimetateur et jamais e foctio des doées. C est u compromis etre le risque de coclure à tort et la faculté de coclure. La régio critique dimiue lorsque α décroît (voir itervalle de cofiace) et doc o rejette mois fréquemmet H 0. A vouloir commettre mois d erreurs, o coclut plus raremet. Exemple : Si l o cherche à tester l hypothèse qu ue pièce de moaie est pas «truquée», ous allos adopter la règle de décisio suivate : H 0 : la pièce est pas truquée est acceptée si X [40, 60] rejetée si X [40, 60] doc soit X < 40 ou X > 60 avec X «ombre de faces» obteus e laçat 00 fois la pièce. Le risque d erreur de première espèce est α = P(B(00, /2) [40, 60]). Défiitio 2. O appelle risque d erreur de secode espèce, otée β la probabilité de rejeter H et d accepter H 0 alors que H est vraie. Ceci se produit si la valeur de la statistique de test e tombe pas das la régio de rejet alors que l hypothèse H est vraie. Remarque : : Pour quatifier le risque β, il faut coaître la loi de probabilité de la statistique sous l hypothèse H. Exemple : Si l o repred l exemple précédet de la pièce de moaie, et que l o suppose la probabilité d obteir face est de 0, 6 pour ue pièce truquée. E adoptat toujours la même règle de décisio : H 0 : la pièce est pas truquée

8 8 Chapitre I. Gééralités sur les tests est acceptée si X [40, 60] rejetée si X [40, 60] doc soit X < 40 ou X > 60 avec X «ombre de faces» obteues e laçat 00 fois la pièce. Le risque de secode espèce est β = P(B(00, 0, 6) [40, 60]). 4. Puissace d u test Rappelos que les tests e sot pas faits pour «démotrer» H 0 mais pour «rejeter» H 0. L aptitude d u test à rejeter H 0 alors qu elle est fausse costitue la puissace du test. Défiitio 3. O appelle puissace d u test, la probabilité de rejeter H 0 et d accepter H alors que H est vraie. Sa valeur est β La puissace d u test est foctio de la ature de H, u test uilatéral est plus puissat qu u test bilatéral. Elle augmete avec taille de l échatillo N étudié, et dimiue lorsque α dimiue. La robustesse d ue techique statistique représete sa sesibilité à des écarts aux hypothèses faites. Les différetes situatios que l o peut recotrer das le cadre des tests d hypothèse sot résumées das le tableau suivat : Décisio Réalité H 0 vraie H vraie H 0 acceptée correct maque de puissace risque de secode espèce β H acceptée rejet à tort puissace du test risque de premières espèce α β O peut aussi voir cela sur le graphique suivat :

9 CHAPITRE II Foctio de répartitio empirique Das ce chapitre, o s itéresse à l estimatio de la loi d ue variable aléatoire aisi qu aux problèmes de tests associés. Pour traiter ces questios, ous allos chercher à estimer la foctio de répartitio de cette variable. Nous sommes doc cofrotés à u problème de statistique o-paramétrique. Pour traiter ce problème, o utilisera la otio de foctio de répartitio empirique.. Itroductio O cosidère u échatillo (X,..., X ) d ue variable aléatoire X. O ote F la foctio de répartitio de X, c est-à-dire : t R, F (t) = P(X t) = P(X i t) C est cette foctio F que ous allos chercher à estimer e itroduisat la foctio de répartitio empirique. Défiitio. La foctio de répartitio empirique associée à cet échatillo est la foctio : R [0, ] t F (t) = {X i t} Remarque Pour tout t R, la variable aléatoire F (t) suit la loi biomiale B(, F (t)). Pour représeter la foctio F, o itroduit la statistique d ordre (X (),..., X () ) associée à l échatillo (X,..., X ) défiie par O a alors : O e déduit le résultat suivat. {X (),..., X () } = {X,..., X } et X () X (). t R, F (t) = {X(i) t} Propositio 2. La foctio F est ue foctio e escalier, croissate, cotiue à droite et admettat ue limite à gauche. Elle est discotiue aux poits (X (i) ) i et costate sur [X (i), X (i+) [ pour i {,..., }. La foctio F (t) est u estimateur aturel de F (t), comme ous allos le voir das le résultat suivat. Propositio 3. O a pour tout t R, F (t) est u estimateur sas biais et fortemet cosistat de F (t). Par ailleurs, o a L t R, (F (t) F (t)) N (0, F (t)( F (t)). + Démostratio. Le calcul de l espérace motre que l estimateur est sas biais. De plus, la loi forte des grads ombres appliquée aux variables aléatoires i.i.d. {Xi t} (borées doc itégrable) tels que E[ {Xi t}] = P(X i t) = F (t) etraîe la covergece presque sûre. Le derier poit découle du théorème cetral limite.

10 0 Chapitre II. Foctio de répartitio empirique Das les sectios suivates, ous allos ous itéresser o pas à la covergece poctuelle simple de F vers F mais à la covergece uiforme. Notos que la discotiuité de F présete des icovéiets théoriques évidets das l optique d estimer F. Néamois, comme elle est costate par morceaux, elle est simple à costruire e pratique. Das les sectios suivates, ous auros besoi de l outil de la foctio iverse gééralisée : x ]0, [, F (x) = if {t R : F (t) x}. Propositio 4. (Ouvrard p. 29) La foctio iverse gééralisée se cofod avec l iverse de F quad F est bijective. Elle possède les propriétés suivates : - La mootoie de F etraîe t R, x ]0, [, F (t) x t F (x) - Si U U([0, ]) alors F (U) est ue variable aléatoire dot la foctio de répartitio est F. - Si Z est ue variable aléatoire de foctio de répartitio F cotiue alors F (Z) U([0, ]) 2. Théorème de Gliveko-Catelli Le résultat de cette sectio reforce le théorème de la loi forte des grads ombres. Théorème 5. Théorème de Gliveko-Catelli Soit (X i ) i ue suite de variables aléatoires i.i.d. de foctio de répartitio F. O pose : t R, F (t) = {Xi t}. Alors o a : sup F (t) F (t) 0 p.s. Démostratio. D après la loi forte des grads ombres (comme das la propositio 3), o a pour tout t R fixé, F (t)(ω) F (t)(ω) pour presque tout ω. Il reste à voir que la covergece est uiforme e t. Si o pose : V = sup {Xi t} F (t). Soit (U k ) k ue suite de variable aléatoires idépedates idetiquemet distribuées de loi U([0, ]). O a alors les égalités e loi suivates : V = sup {Xi t} F (t) = sup {F (U i) t} F (t) = sup {Ui F (t)} F (t) Si o pose s = F (t), il viet : sup {Ui F (t)} F (t) = sup s F (R) {Ui s} s sup s [0,] {Ui s} s Aisi il suffit de motrer que le théorème est vrai das le cas particulier où les variables X i = (U i ) suivet des lois uiformes sur [0, ]. Grâce à la loi des grads ombres, o sait que pour tout s R, il existe u esemble égligeable N s Ω vérifiat : ω Ω\N s, {Ui s} s.

11 3. Test de Kolmogorov Comme ue réuio déombrable d esembles égligeables est ecore égligeable, o e déduit l existece d ue partie égligeable N Ω telle que : ω Ω\N, s [0, ] Q, {Ui s} s. E fait la croissace de s Pour chaque ω Ω\N, {Ui s} fait que l o a : ω Ω\N, s [0, ], {Ui s} s. {Ui s} coverge doc simplemet vers s sur [0, ]. Le théorème de Dii ous permet alors de coclure que la covergece est uiforme. 3. Test de Kolmogorov Le théorème de Gliveko-Catelli est ue gééralisatio de la loi forte des grads ombres au cas oparamétrique. La gééralisatio du TCL est doée par le théorème qui suit. La statistique itroduite das ce théorème ous permettra de costruire u test d ajustemet à ue loi (test de Kolmogorov). Das le même esprit, ous costruiros aussi u test d homogééité (test de Kolmogorov - Smirov). Propositio 6. Soit (X (),..., X () ) u -échatillo issu de X. O ote F la foctio de répartitio de X et F la foctio de répartitio empirique. Si F est cotiue alors la loi de e déped pas de F. D(F, F ) = sup F (t) F (t) Démostratio. O a, e posat x = F (t), D(F, F ) = sup F (t) F (t) = sup {Xi t} F (t) = sup {F (Xi) F (t)} F (t) = sup {Ui x} x d où le résultat. x [0,] Le résultat pricipal de cette sectio est le suivat. Théorème 7. O suppose que l o a les mêmes hypothèses que ci-dessus. Alors la variable aléatoire D(F, F ) coverge e loi, vers ue loi limite qui e déped pas de F et dot la foctio de répartitio est égale à : O a doc, pour λ > 0, + t 0, F KS (t) = + 2 ( ) k exp ( 2k 2 t 2 ) k= P( + D(F, F ) λ) + 2 ( ) k exp ( 2k 2 λ 2 ) k= Ce théorème est admis. Nous pouvos doc costruire u test d ajustemet à ue loi, dit test de Kolmogorov. O peut d abord

12 2 Chapitre II. Foctio de répartitio empirique remarquer que si o réordoe de maière croissate l échatillo, (X (),..., X () ) alors F (X (j) ) = j/ et ( D(F, F ) = max max j j F (X (j)), F (X (j) ) j ) Si o veut tester que la loi de l échatillo a pour foctio de répartitio F 0, c est-à-dire H 0 : F = F 0 cotre H : F = F, o commece par réordoer l échatillo. Puis o calcule D(F, F ), e remarquat que sous H 0, o a D(F, F ) = D(F, F 0 ). Puis o cherche (das ue table) le quatile k α de la loi de Kolmogorov. O accepte alors H 0 si D(F, F 0 ) < D(F, F 0 ). Ce test est asymptotiquemet de iveau α et sa puissace ted vers quad ted vers Test de Kolmogorov-Smirov Das le même esprit, ous allos costruire u test d homogééité. O observe deux échatillos de taille respective et m, (X,..., X ) et (Y,..., Y m ). O veut tester si les deux échatillos sot issus d ue même loi (évetuellemet icoue). O ote F la foctio de répartitio de chacue des variables X i et G la foctio de répartitio de chacue des variables Y i. O veut tester H 0 : F = G cotre H : F G. Pour cela, o itroduit : t R, F (t) = {Xi t} et G m (t) = m {Yi t} m et o pose O a le résultat suivat. Théorème 8. D m, = sup F (t) G m (t). Avec les hypothèses doées ci-dessus o a, sous "H 0 : F = G" : m + P( + m D m, λ) + 2 ( ) k exp ( 2k 2 λ 2 ) k= Ceci permet alors de costruire u test sur le même modèle que ci-dessus.

13 Idex foctio de répartitio empirique, 9 foctio iverse gééralisée, 0 hypothèse alterative, 6 hypothèse ulle, 6 iveau de sigificatio, 6 puissace d u test, 8 risque d erreur de première espèce, 7 risque d erreur de secode espèce, 7 statistique, 6 test bilatéral, 6 test bilatérale, 6 test d ajustemet ou d adéquatio, 5 test d homogééité ou de comparaiso, 5 test d hypothèse, 5 test d idépedace ou d associatio, 5 test de coformité, 5 test de Kolmogorov, test uilatéral, 6 test uilatérale, 6 tests o paramétriques, 5 tests paramétriques, 5 Théorème de Gliveko-Catelli, 0

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 0-03 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5. Pricipe des tests 6.a. Méthodologie

Plus en détail

Test de validité et d'hypothèse

Test de validité et d'hypothèse Test de validité et d'hypothèse 1 Vocabulaire Problème: Il s'agit à partir de l'étude d'u ou plusieurs échatillos de predre des décisios cocerat l'esemble de la populatio. O est alors ameé à émettre des

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours Aée 2013/2014 TS Itervalle de fluctuatio et estimatio Cours est u etier aturel o ul et p est u réel de l itervalle 0 ; 1. I Itervalle de fluctuatio Cotexte : Das ue populatio, la proportio d idividus présetat

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

Chapitre 7. Tests d hypothèse. Sommaire. 1. Introduction Principe des tests...3

Chapitre 7. Tests d hypothèse. Sommaire. 1. Introduction Principe des tests...3 Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (8/0/003) Chapitre 7 Tests d hypothèse Sommaire. Itroductio.. 3. Pricipe des tests......3.. Choix de l hypothèse à tester.4... Hypothèse

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles BTS Mécaique et Automatismes Idustriels Statistiques iféretielles, Aée scolaire 2005 2006 Statistiques iféretielles 1. Itroductio vocabulaire Pour étudier ue populatio statistique, o a recours à deux méthodes

Plus en détail

1 Introduction. 2 Probabilités : Variables Aléatoires Continues. 3 Estimation. 4 Tests. 5 Régression

1 Introduction. 2 Probabilités : Variables Aléatoires Continues. 3 Estimation. 4 Tests. 5 Régression Pla du cours Méthodes de statistique iféretielle. A. Philippe Laboratoire de mathématiques Jea Leray Uiversité de Nates Ae.Philippe@uiv-ates.fr 1 Itroductio 2 Probabilités : Variables Aléatoires Cotiues

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Tests. Chapitre 2. 1 Principe d un test Définitions Méthode générale... 3

Tests. Chapitre 2. 1 Principe d un test Définitions Méthode générale... 3 Tests Chapitre Table des matières 1 Pricipe d u test 1 11 Défiitios 1 Méthode géérale 3 Test de coformité à u paramètre 3 1 Test de coformité à ue moyee 3 Test de coformité à ue proportio 4 3 Test d homogééité

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont :

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont : Estimatio Objectifs Estimer poctuellemet ue proportio, ue moyee ou u écart type d ue populatio à l aide de la calculatrice ou d u logiciel, à partir d u échatillo Détermier u itervalle de cofiace à u iveau

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Cours de Statistiques inférentielles

Cours de Statistiques inférentielles Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f.

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f. Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques Agrégatio extere de mathématiques, sessio 2008 Épreuve de modélisatio, optio (public 2008) Mots clefs : Loi des grads ombres, espace des polyômes, estimatio o-paramétrique Il est rappelé que le jury exige

Plus en détail

Cours de méthodes de simulation

Cours de méthodes de simulation ECOLE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D ANALYSE DE L INFORMATION ( ESSAIT) Cours de méthodes de simulatio Préparé par Hasse MATHLOUTHI Aée uiversitaire 2014-2015 AVANT PROPOS Ce documet propose u cours sur

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

La classification de données quantitatives avec SPAD

La classification de données quantitatives avec SPAD La classificatio de doées quatitatives avec SPAD SPAD effectue toujours ue ACP de la matrice des doées quatitatives X " p avat de faire la classificatio des idividus. Les méthodes de classificatio s appliquet

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Statistique descriptive bidimensionnelle

Statistique descriptive bidimensionnelle 1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets

Plus en détail

PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jean-Marie MARION

PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jean-Marie MARION Des PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jea-Marie MARION 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE (décrire ue populatio à l aide de caractéristiques et graphiques) STATISTIQUE INFERENTIELLE (étedre des résultats

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage Aexe : Leço 10 - Échatilloage Clémet BOULONNE pour la sessio 01 I Niveau, prérequis, référeces Niveau BTS Prérequis Probabilités, lois discrètes et cotiues Référeces [1,,, 4, 5] II Coteu de la leço 1 Approximatio

Plus en détail

Questions Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1

Questions Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1 Questios Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1 Expliquer la otio de variable et défiir les différets types de variables Décrire les échelles de classificatio et trasformer les doées pour passer

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

Estimation par vraisemblance

Estimation par vraisemblance Chapitre 4 Estimatio par vraisemblace Le procédé de costructio des estimateurs par isertio a été itroduit das le chapitre 2. L objectif de ce chapitre est d étudier ue autre méthode de costructio, basée

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

Méthodes basiques en statistiques sous R

Méthodes basiques en statistiques sous R Méthodes basiques e statistiques sous R Master II Modélisatio Aléatoire - Paris VII Eseigat : Mme Picard Sébastie Le Berre 12 mai 2011 R est u logiciel de calcul largemet utilisé par la commuauté scietifique

Plus en détail

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquece 9 Itervalles de fluctuatio, estimatio Objectifs de la séquece Das le chapitre 2, o étudie des itervalles de fluctuatio des variables aléatoires X F =, fréqueces des variables aléatoires biomiales

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Aide Mémoire de Statistique

Aide Mémoire de Statistique Aide Mémoire de Statistique (E, E, P) modèle statistique (E, E, P) modèle probabiliste E probabilité, o coaît la loi P et o fait des calculs E statistique, o e coaît pas la loi (seulemet ue famille de

Plus en détail

Chapitre 13. Statistiques et probabilités. Sommaire

Chapitre 13. Statistiques et probabilités. Sommaire 13 Chapitre Chapitre 13 Statistiques et probabilités Les statistiques et les probabilités occupet ue place importate das l eseigemet de certaies classes préparatoires Les pricipales foctios écessaires

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Estimation non-paramétrique 1. Estimateurs empiriques

CHAPITRE 2 : Estimation non-paramétrique 1. Estimateurs empiriques CHAPITRE 2 : Estimatio o-paramétrique 1. Estimateurs empiriques Soit u échatillo i.i.d. de durées T i i1,..., de foctio de survie S Défiitio: L estimateur empirique de la foctio de survie est S x 1 i1

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

CONVERGENCE ET APPROXIMATION

CONVERGENCE ET APPROXIMATION 11-2- 2010 J.F.C. Cov. p. 1 CONVERGENCE ET APPROXIMATION I CONVERGENCE EN PROBABILITÉ 1. Défiitio 2. Ue coditio suffisate de covergece e probabilité 3. La loi faible des grads ombres 4. Ue coséquece de

Plus en détail

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4 UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»

Plus en détail

TP R : méthodes statistiques élémentaires

TP R : méthodes statistiques élémentaires M2 IFMA et MPE TP R : méthodes statistiques élémetaires À la fi de la séace vous déposerez vos scripts R das la boîte de dépôt de votre espace Sakai : http://australe.upmc.fr/portal. 1 Importatio des doées

Plus en détail

Intervalles de fluctuations et intervalles de confiance

Intervalles de fluctuations et intervalles de confiance Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees 1. 2015. Complémets e Statistique Préparatio au Capes Uiversité de Rees 1 Itervalles de fluctuatios et itervalles de cofiace Table des matières

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

IREM Martine Quinio. 5 février 2013

IREM Martine Quinio. 5 février 2013 : 1 IREM 2013 Martie Quiio 5 février 2013 1 La loi de Gauss, ou loi ormale Itroductio : Lire court article C.Villai das Le Mode du 14-15/12 : il compare le traitemet médiatique boso de Higgs et rats OGM

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

Intervalles de fluctuation et de confiance

Intervalles de fluctuation et de confiance Chapitre 9 Itervalles de fluctuatio et de cofiace Sommaire 9.1 Itervalle de fluctuatio................................... 157 9.1.1 Quelques rappels..................................... 157 9.1.2 Itervalle

Plus en détail

B) CHAÎNES DE SOLIDES

B) CHAÎNES DE SOLIDES Chaîes de solides B) CHAÎNES DE SOLIDES Objectifs Cette théorie a pour but d'aalyser les comportemets statique et ciématique d'u mécaisme à partir d'u modèle défii par le schéma ciématique du mécaisme.

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites Opératios sur les variables aléatoires Lois limites A. Idépedace de deux variables aléatoires. Exemple 1. Pour améliorer le stockage d u produit u supermarché fait ue étude sur la vete de packs de 6 bouteilles

Plus en détail

Mathématiques. Statistiques. Stéphane Perret. Version 3.001

Mathématiques. Statistiques. Stéphane Perret. Version 3.001 Mathématiques Statistiques Stéphae Perret Versio 3.001 Table des matières Itroductio 1 1 Variables aléatoires 3 1.1 Variables aléatoires discrètes......................... 3 1.1.1 Jets d ue pièce bie

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points)

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points) INSA Toulouse, STPI, IMACS 2 mercredi 18 décembre 212 Correctio exame d'aalyse I (coquilles probables) Exercice 1 (Séries etières - 5 poits) Calculer le rayo de covergece et le domaie de covergece simple

Plus en détail

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences.

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences. Pierre Veuillez Statistiques iféretielle Sources, et pour e savoir plus : http://www.math-ifo.uiv-paris5.fr/smel 1 Problématique : Exemple ue ure cotiet des boules rouges et blaches dot o e coaît pas la

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Formulaire de statistiques

Formulaire de statistiques Formulaire de statistiques E. Depiereux G. Vicke B. De Hertogh Javier 009 Formulaire de statistiques I. Statistiques descriptives : Moyee arithmétique : (populatio: m x = µ) (échatillo = x = M x ) 1 i

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS

PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS INTRODUCTION De ombreuses situatios pratiques peuvet être modélisées à l aide de variables aléatoires qui sot régies par des lois spécifiques. Il importe doc d

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

CHAPITRE 22. Machines à sous

CHAPITRE 22. Machines à sous CHAPITRE 22 Machies à sous 22. Corrigé possible du texte 22.. Eocé du problème et défiitio du modèle statistique associé O étudie ici u modèle statistique avec observatios icomplètes : o dispose d observatios

Plus en détail

Notions de base pour l analyse d un tableau de contingence

Notions de base pour l analyse d un tableau de contingence Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Notios de base pour l aalyse d u tableau de cotigece Marie Chavet http://wwwmathu-bordeauxfr/ machave/ 204-205 Notatios et défiitios U tableau de cotigece

Plus en détail

Texte Filtre de Kalman-Bucy

Texte Filtre de Kalman-Bucy Page 1. Texte Filtre de Kalma-Bucy 1 e modèle U avio se déplace etre Paris et odres. Il suit ue trajectoire théorique appelée trajectoire omiale dot les coordoées sot coues de tous. a trajectoire de l

Plus en détail

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6 Corrigés TD Chapitre : Variables aléatoires sur u uivers fii Exercice : Soit X la VAR défiie par le tableau suivat : x i - - 0 p 6 4 6 4 6 i O ote Y = X ) Détermier la loi cooite de X et Y ) Détermier

Plus en détail

ÉCHANTILLONNAGE ESTIMATION

ÉCHANTILLONNAGE ESTIMATION Chapitre 16 ÉCHANTILLONNAGE ESTIMATION Vous vous ferez estimer e supportat les ijustices. Cicéro 1 ÉCHANTILLONNAGE 1.1 Itroductio O cosidère ue populatio (par exemple la populatio fraçaise) et u certai

Plus en détail

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers) Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie

Plus en détail

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé www.almohadiss.com Exercice - Avio - L2/Prépa Hec - O ote X la variable aléatoire du ombre de moteurs de A qui tombet e pae, et Y la variable aléatoire du ombre de moteurs de B qui tombet e pae. X suit

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques (François Delarue) MÉTHODE DE MONTE-CARLO

Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques (François Delarue) MÉTHODE DE MONTE-CARLO Uiversité Paris VII - Agrégatio de Mathématiques Fraçois Delarue) MÉTHODE DE MONTE-CARLO Ce texte vise à préseter l utilisatio de la méthode de Mote-Carlo das le calcul du prix d ue optio. 1. Positio du

Plus en détail

VARIABLES ALEATOIRES

VARIABLES ALEATOIRES VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES. Loi de probabilité.. Exemple... Calcul de probabilités sur u uivers Ω... Variable aléatoire à valeurs réelles...3. Probabilité image défiie par ue variable aléatoire..4.

Plus en détail

ANOVA avec un facteur aléatoire

ANOVA avec un facteur aléatoire Chapitre 7 ANOVA avec u facteur aléatoire Jusqu à maiteat, o a supposé que les modalités du facteur étudié ot été choisies parce qu elles étaiet itrisèquemet itéressates. Le modèle à effets fixes porte

Plus en détail

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-

Plus en détail

Chapitre 6 Théorèmes de convergence

Chapitre 6 Théorèmes de convergence Chapitre 6 Théorèmes de covergece 1. La covergece e loi O a déjà recotré ue covergece e loi lors de l approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso. Ce problème se place das u cadre plus gééral où

Plus en détail

Cours VII. Tests de randomisation - Tests de contingence P. Coquillard 2015

Cours VII. Tests de randomisation - Tests de contingence P. Coquillard 2015 1 TESTS DE RANDOMISATION Cours VII. Tests de radomisatio - Tests de cotigece P. Couillard 2015 Das ue majorité de cas e biologie o cosidèrera certaies hyothèses comme des alteratives à l hyothèse ulle.

Plus en détail

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

Bio-Statistique. 1 ère partie. Discipline : Bio-statistique, Bio-mathématique et Sciences de l Information

Bio-Statistique. 1 ère partie. Discipline : Bio-statistique, Bio-mathématique et Sciences de l Information Bio-Statistique 1 ère partie Disciplie : Bio-statistique, Bio-mathématique et Scieces de l Iformatio OBJECTIFS PEDAGOGIQUES Réaliser l importace du problème de la variabilité ihérete au doées médicales,

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

Séance 5 : Exercices récapitulatifs sur l estimation ponctuelle

Séance 5 : Exercices récapitulatifs sur l estimation ponctuelle Math-F-207 Corrigé Séace 5 Exercice 1 Séace 5 : Exercices récapitulatifs sur l estimatio poctuelle Les élémets d ue populatio possèdet u caractère X qui suit ue loi de desité f (x e x2 /2 2π où > 0. Pour

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

FLUCTUATION ET ESTIMATION

FLUCTUATION ET ESTIMATION 1 FLUCTUATION ET ESTIMATION Le mathématicie d'origie russe Jerzy Neyma (1894 ; 1981), ci-cotre, pose les fodemets d'ue approche ouvelle des statistiques. Avec l'aglais Ego Pearso, il développe la théorie

Plus en détail

Statistiques inférentielles

Statistiques inférentielles Statistiques iféretielles LI323 Hugues Richard (otes de cours: Pierre-Heri Wuillemi) Uiversité Pierre et Marie Curie (UPMC) Laboratoire géomique des microorgaismes (LGM) Itroductio Soit ue populatio de

Plus en détail

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local Appretissage: cours 3a Méthodes par moyeage local Guillaume Oboziski 1 er mars 2012 Réferece : chap. 6 of [Hastie et al., 2009] ad chap. 6 of [Devroye et al., 1996]. Algorithmes par moyeage local O cosidère

Plus en détail