Suites et séries de fonctions

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1 [ édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de foctios de I vers R covees est covee. Eercice 7 [ 894 ] [correctio] Soiet f : R R ue foctio cotiue et P ) ue suite de foctios polyomiales covergeat uiformémet vers f. a) Justifier qu il eiste u etier aturel N tel que pour tout supérieur ou égal à N, o ait pour tout réel, P ) P N ). Que peut-o e déduire quat au degré des foctios polyômes P P N lorsque N? b) Coclure que f est écessairemet ue foctio polyomiale. Eercice [ 885 ] [correctio] Soiet f ) ue suite de foctios covergeat uiformémet vers ue foctio f et g ue foctio uiformémet cotiue. Motrer que la suite de foctios g f ) coverge uiformémet. Eercice 3 [ 884 ] [correctio] Soiet f ) et g ) deu suites de foctios covergeat uiformémet vers des foctios f et g supposées borées. Motrer que la suite de foctios f g ) coverge uiformémet vers fg. Eercice 4 [ 886 ] [correctio] Motrer que la limite uiforme d ue suite de foctios uiformémet cotiues d u itervalle I de R vers R est elle-même ue foctio uiformémet cotiue. Eercice 5 [ 878 ] [correctio] Soit f ) ue suite de foctios réelles cotiues et défiies sur [a, b]. O suppose que f coverge uiformémet vers ue foctio f. Motrer if f if f [a,b] [a,b] Eercice 6 [ 879 ] [correctio] O suppose qu ue suite de foctios f ) de [a, b] vers R coverge uiformémet vers f : [a, b] R cotiue et o cosidère ue suite ) d élémets de [a, b] covergeat vers. Motrer f ) f) Eercice 8 [ 346 ] [correctio] Soit P ) ue suite de foctios polyômes de R das R. O suppose que cette suite coverge uiformémet vers ue foctio f sur R. Motrer que la foctio f est polyomiale. Etude pratique de la covergece d ue suite de foctios Eercice 9 [ 87 ] [correctio] O pose u ) = l avec ], ] et u ) = Etudier la covergece uiforme de la suite de foctios u ) sur [, ]. Eercice [ 87 ] [correctio] Etudier la covergece uiforme de f : [, + [ R défiie par f ) = + ) Eercice [ 87 ] [correctio] O pose u ) = e si) avec R + a) Etudier la covergece simple de la suite de foctios u ) sur [, + [. b) Etudier la covergece uiforme sur [a, + [ avec a >. c) Etudier la covergece uiforme sur [, + [. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [ édité le 3 avril 5 Eocés Eercice [ 873 ] [correctio] O pose f ) = e avec R + Etudier la covergece uiforme de f ) sur R + puis sur [a, + [ avec a >. Eercice 8 [ 876 ] [correctio] O pose f ) = + pour R Sur quels itervalles y a-t-il covergece uiforme? Eercice 3 [ 874 ] [correctio] O pose f ) = + ) avec R Etudier la covergece uiforme de f ) sur R puis sur ], a] [a, + [ avec a >. Eercice 4 [ 875 ] [correctio] O pose ) f ) = si pour > et f ) = Etudier la covergece uiforme de f ) sur R + puis sur [ a, a] avec a >. Eercice 5 [ 57 ] [correctio] Etudier la covergece simple et uiforme sur R de la suite de foctios f ) doée par f ) = si ) cos) Eercice 6 [ 58 ] [correctio] Etudier la suite de foctios f ) défiie par Eercice 7 [ 83 ] [correctio] O pose, pour, f ) = e e f p ) = + ) +/p Etudier la covergece simple puis uiforme de la suite de foctios f p ) p N. Eercice 9 [ 877 ] [correctio] O pose f ) = 4 + ) pour [, ] Sur quels itervalles y a-t-il covergece uiforme? Eercice [ 88 ] [correctio] Soiet α R et f : [, ] R défiie par f ) = α ) a) Etudier la limite simple de la suite f ). b) Pour quels α R, y a-t-il covergece uiforme? Eercice [ 97 ] [correctio] Soit, pour N, f la foctio défiie sur R + par f ) = ) si [, [ et f ) = si Etudier le mode de covergece de f ). Eercice [ 89 ] [correctio] Soit f : R + R défiie par f ) = + ) a) Etudier la limite simple de f ) et motrer que R +, f ) lim f ) b) E partat de l ecadremet suivat valable pour tout t R +, t t l + t) t justifier que la suite f ) coverge uiformémet sur tout itervalle [, a] avec a > ). c) Etablir qu e fait, la suite de foctios f ) coverge uiformémet sur R +. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [ édité le 3 avril 5 Eocés 3 Eercice 3 [ 89 ] [correctio] Soit f : [, ] R défiie par f ) = ) si [, /] et f ) = sio a) Etudier la limite simple de la suite f ). b) Calculer f t) dt Y a-t-il covergece uiforme de la suite de foctio f )? c) Etudier la covergece uiforme sur [a, ] avec a >. Eercice 4 [ 89 ] [correctio] Pour [, π/], o pose f ) = si cos. a) Détermier la limite simple de la suite de foctios f ). b) Calculer I = π/ f )d La suite f ) coverge-t-elle uiformémet? c) Justifier qu il y a covergece uiforme sur tout segmet iclus das ], π/]. Eercice 5 [ 53 ] [correctio] a) Motrer que la suite de foctios f ) = + α e ) défiies sur R + pour α R et N coverge simplemet vers ue foctio f à détermier. b) Détermier les valeurs de α pour lesquelles il y a covergece uiforme. c) Calculer lim + + e )d Eercice 7 [ 83 ] [correctio] Soit f : [, ] [, ] doée par f) = ) Etudier la covergece de f ) où f est l itéré -ième de f. Eercice 8 [ 97 ] [correctio] O ote E l esemble des foctios f : [, ] R + cotiues. O pose Φf)) = ft) dt pour toute f E. O pose f = puis f + = Φf ) pour tout N. a) Etudier la suite f ). b) Soit f = limf ). Trouvez ue équatio différetielle dot f est solutio. Y a-t-il uicité de la solutio ulle e? Etude théorique de la covergece d ue suite de foctios Eercice 9 [ 883 ] [correctio] Soit f : R + R défiie par f ) = + / Motrer que la suite de foctios f ) coverge uiformémet mais pas f ). Eercice 6 [ 86 ] [correctio] Soit f ) la suite de foctio défiie sur R + par f ) = et f + ) = + f ) pour N Etudier la covergece simple et uiforme de la suite f ) sur R +. Eercice 3 [ 869 ] [correctio] Soit f : R R défiie par f ) = + / Motrer que chaque f est de classe C et que la suite f ) coverge uiformémet sur R vers ue foctio f qui est pas de classe C. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [ édité le 3 avril 5 Eocés 4 Eercice 3 [ 887 ] [correctio] Soit f : R R ue foctio deu fois dérivable de dérivée secode borée. Motrer que la suite des foctios coverge uiformémet vers f. g : f + /) f)) Eercice 3 [ 888 ] [correctio] Soit f : [, ] R décroissate et cotiue telle que f ) coverge simplemet vers la foctio ulle. Motrer que cette covergece est uiforme. Eercice 33 [ 889 ] [correctio] [Théorème de Dii] Soiet des foctios f : [a, b] R cotiues telles que la suite de foctios f ) coverge simplemet vers la foctio ulle. O suppose que pour tout [a, b], la suite réelle f )) est décroissate. O désire motrer que la covergece de la suite f ) est uiforme. a) Justifier l eistece de lim + f b) Justifier que pour tout N, il eiste [a, b] tel que f = f ). c) E observat que pour tout p, motrer que f et coclure. f ) f p ) Eercice 34 [ 969 ] [correctio] Soit I u itervalle ouvert ; soit pour N, f : I R ue foctio covee. O suppose que f ) coverge simplemet. Motrer que f ) coverge uiformémet sur tout segmet iclus das I. Eercice 35 [ 833 ] [correctio] O ote U l esemble des complees de module et o cosidère ω u complee de module. Eprimer ue coditio écessaire et suffisate pour que la foctio z z ω soit limite uiforme sur U d ue suite de foctios polyomiales. Eercice 36 [ 39 ] [correctio] Soit f : R R de classe C. Pour tout N, o pose u t) = f t + /) ft)) Motrer que la suite de foctios u ) coverge uiformémet sur tout segmet de R vers ue foctio à préciser. Foctio solutio d équatios foctioelles Eercice 37 [ 893 ] [correctio] O défiit u ) suite de foctios de [, ] vers R par u ) = et N, u + ) = + a) Motrer que pour tout [, ], u + ) u ) + + )! u t t ) dt b) E déduire la covergece pour tout [, ] de la suite u )). c) Etablir que la suite u ) coverge uiformémet vers ue foctio u o ulle vérifiat u ) = u ) Eercice 38 [ 389 ] [correctio] Soit γ [, [. O défiit u ) suite de foctios de R + vers R par u ) = et N, u + ) = + a) Motrer que pour tout R +, u + ) u ) + + )! u γt) dt b) E déduire la covergece pour tout R + de la suite u )). c) Etablir que la suite de foctios u ) coverge vers ue foctio u o ulle vérifiat u ) = uγ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [ édité le 3 avril 5 Eocés 5 Eercice 39 [ 93 ] [correctio] Pour >, o pose S) = ) + a) Justifier que S est défiie et de classe C sur R +. b) Préciser le ses de variatio de S. c) Etablir >, S + ) + S) = / d) Doer u équivalet de S e. e) Doer u équivalet de S e +. Eercice 4 [ 3777 ] [correctio] Pour >, o pose F ) = ) + a) Motrer que F est bie défiie. b) Motrer que F est de classe C, de classe C. c) Simplifier F ) + F + ) d) Motrer que pour > F ) = e) Doer u équivalet de F e et e +. Eercice 4 [ 93 ] [correctio] Pour >, o pose S) = k= t + t dt + k) a) Justifier que S est défiie et cotiue sur ], + [. b) Former ue relatio liat S) et S + ). c) Détermier u équivalet de S) e + et e. Eercice 4 [ 94 ] [correctio] Pour tout N et tout R +, o pose f ) = th + ) th a) Etablir la covergece de la série de foctios f. b) Justifier que la foctio somme S = + f est cotiue et strictemet croissate sur R +. c) Motrer que d) Etudier la covergece de S e +. R +, S + ) S) = th Eercice 43 [ 3754 ] [correctio] Soit f : R + R cotiue décroissate et itégrable. Motrer l eistece d ue foctio g : R + R cotiue vérifiat Eercice 44 [ 9 ] [correctio] O rappelle que et o pose pour >, R +, g + ) g) = f) R, S) =! = e )! + ) a) Justifier que S est défiie et de classe C sur R +. b) Préciser le ses de variatio de S. c) Etablir que d) Doer u équivalet de S e +. e) Doer u équivalet de S e. S) S + ) = e Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [ édité le 3 avril 5 Eocés 6 Eercice 45 [ 898 ] [correctio] Justifier l eistece de f) = + + = + + pour tout R\Z. Motrer que f est -périodique et qu o a ) ) + f + f = f) pour tout R\Z. Eercice 46 [ 974 ] [correctio] a) Etudier la covergece de la série de foctios = ) pour R\Z. b) Soit u réel c >. Soit f ue foctio cotiue de R das R telle que, pour tout réel, ) ) + f + f = cf) Motrer que f =. c) Motrer que pour tout réel o etier, = ) = π si π Eercice 48 [ 3978 ] [correctio] a) Motrer qu il eiste ue uique foctio f : ], + [ R de limite ulle e + et vérifiat >, f) + f + ) = b) Motrer que f est cotiue et itégrable sur [, + [. c) Calculer ft) dt Etude de la covergece d ue série de foctios Eercice 49 [ 895 ] [correctio] Etudier la covergece simple, uiforme et ormale de la série des foctios f ) = avec et R + Eercice 5 [ 896 ] [correctio] Etudier la covergece simple, uiforme et ormale de la série des foctios f ) = ) avec et R + Eercice 5 [ 897 ] [correctio] O ote I la foctio caractéristique d u itervalle I : { si I I ) = sio Etudier la covergece simple, uiforme et ormale sur [, + [ de la série des foctios u ) = + [,+[) Eercice 47 [ 973 ] [correctio] Trouver les foctios f C [, ], R) telles que [, ], f) = = f ) Eercice 5 [ 377 ] [correctio] O cosidère la série des foctios f ) = e défiies sur R +. Etudier sa covergece simple, sa covergece ormale et sa covergece uiforme. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [ édité le 3 avril 5 Eocés 7 Eercice 53 [ 3785 ] [correctio] O itroduit l applicatio sur [, + [ f : e a) Etudier les covergeces de la suite de foctios f ). b) Etudier les covergeces de la série de foctios f. Eercice 54 [ 838 ] [correctio] Soiet α R et si N,! u : [, ] α ) R Etudier le mode covergece de la suite de foctios u ), puis de la série de foctios u. Eercice 55 [ 88 ] [correctio] Soiet f : [, ] R cotiue et f : [, ] R défiie par f ) = f) a) Former ue coditio écessaire et suffisate sur f pour que la suite de foctio f ) coverge uiformémet sur [, ]. b) Motrer que la série de foctios f coverge uiformémet sur [, ] si, et seulemet si, f) = et f dérivable e avec f ) =. Eercice 56 [ 395 ] [correctio] Soit a ) N ue suite réelle positive et décroissate. Pour tout N, o pose u ) = a ) avec [, ] a) Motrer la covergece simple de la série de foctios u. b) Motrer que cette série coverge ormalemet si, et seulemet si, il y a covergece de la série a /. c) Motrer que la série de foctios u coverge uiformémet si, et seulemet si, a. Eercice 57 [ 839 ] [correctio] O pose u ) = et u + ) = u t t ) dt pour tout réel [, ] et tout etier aturel. Motrer que la série de terme gééral u est ormalemet covergete. Eercice 58 [ 3988 ] [correctio] Soit u : R + + ) avec N. Etudier la covergece simple et la covergece uiforme de u et u. Foctios zêta Eercice 59 [ 97 ] [correctio] O pose ζ) = a) Motrer que la foctio ζ est défiie et de classe C sur ], + [. b) Etudier mootoie et coveité de la foctio ζ. c) Détermier la limite de la foctio ζ e +. d) Détermier u équivalet de la foctio ζ e +. e) E eploitat l iégalité de Cauchy-Schwarz établir que lζ)) est covee. Eercice 6 [ 834 ] [correctio] Si >, o pose ζ) = = = a) Quelle est la limite de ζ) quad +? b) Pour quels réels la série ζ) coverge-t-elle? c) Si F ) = = ζ) motrer que F est cotiue sur [, [ et de classe C sur ], [. d) Doer ue epressio plus simple de F ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [ édité le 3 avril 5 Eocés 8 Eercice 6 [ 98 ] [correctio] O pose ζ ) = = ) Motrer que la foctio ζ est défiie et de classe C sur ], + [. Eercice 6 [ 99 ] [correctio] O pose ζ ) = = ) Motrer que ζ est défiie et de classe C sur ], + [. Eercice 66 [ 9 ] [correctio] O pose u ) = ) + + l pour ], ] et u ) = a) Calculer u ) b) Motrer que la série des u coverge uiformémet sur [, ]. c) E déduire l égalité l + d = ) + + ) Eercice 63 [ 3853 ] [correctio] Détermier la limite quad + de ζ ) = = ) + Eercice 64 [ 899 ] [correctio] Soiet ζ) = et ζ ) ) = = = a) Détermier les domaies de défiitio des foctios ζ et ζ. b) Justifier que les foctios ζ et ζ sot cotiues. c) Etablir la relatio ζ ) = )ζ) pour tout >. Itégratio de la somme d ue série de foctios Eercice 65 [ 9 ] [correctio] Soit ψ) = = ) + Justifier et calculer ψ) d Eercice 67 [ 9 ] [correctio] O doe α [, ], = prologée par cotiuité e ). E itégrat sur [, ], e déduire la valeur de + = α α + = π chπα shπα α + ) Limite et comportemet asymptotique de la somme de série de foctios Eercice 68 [ 558 ] [correctio] Esemble de défiitio et cotiuité de f) = e E trouver la limite e + et u équivalet e +. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [ édité le 3 avril 5 Eocés 9 Eercice 69 [ 39 ] [correctio] Pour t >, o pose St) = Détermier la limite de St) quad t +. Eercice 7 [ 9 ] [correctio] Pour et R, o pose ) t + u ) = ) ) l + + ) a) Etudier la covergece uiforme de la série de foctios u. b) Détermier la limite de sa somme e +. O pourra eploiter la formule de Stirlig Eercice 7 [ 97 ] [correctio] Détermier la limite de Eercice 7 [ 98 ] [correctio] Motrer que pour tout α >, k= u = k= ) k ) k α e α + e α O pourra eploiter le théorème d iterversio limite/somme ifiie. Eercice 73 [ 99 ] [correctio] Par ue iterversio série-limite, motrer que pour tout z C + z p p) epz) p + Etude pratique de foctios somme de série Eercice 74 [ 9 ] [correctio] Pour >, o pose S) = = + a) Motrer que S est bie défiie sur R +. b) Motrer que S est cotiue. c) Etudier la mootoie de S. d) Détermier la limite e + de S puis u équivalet de S e +. e) Détermier u équivalet à S e. Eercice 75 [ 9 ] [correctio] Sur I = ], + [, o pose S) = = + a) Motrer que S est défiie et cotiue sur I. b) Etudier la mootoie de S. c) Calculer S + ) S) d) Détermier u équivalet de S) e +. e) Etablir N, S) = f) E déduire u équivalet de S) e +. Eercice 76 [ 96 ] [correctio] Soit f) = k= e = a) Quel est le domaie de défiitio de f? Etudier la cotiuité de f sur celui-ci. b) Motrer que f est strictemet décroissate. c) Etudier la limite de f e +. d) Détermier u équivalet simple de f) quad +. k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [ édité le 3 avril 5 Eocés Eercice 77 [ 95 ] [correctio] Pour, o pose S) = = + a) Pour quelles valeurs de das R +, S) est défiie? b) Former ue relatio etre S) et S/) pour. c) Etudier la cotiuité de S sur [, [ puis sur ], + [. d) Dresser le tableau de variatio de S. Eercice 78 [ 837 ] [correctio] O pose S) = + Etudier le domaie de défiitio, la cotiuité, la dérivabilité de S. Doer u équivalet de S e et e. Eercice 79 [ 33 ] [correctio] Défiitio, cotiuité et dérivabilité de S : Eercice 8 [ 59 ] [correctio] Motrer que f) = = = est cotiue sur R et de classe C sur R. + ) arcta) Eercice 8 [ 3797 ] [correctio] O étudie f) = = + a) Motrer que f est défiie et de classe C sur R. b) Doer, à l aide d ue comparaiso itégrale, u équivalet de f au voisiage de +. c) Doer u développemet limité à l ordre de f e. O doe = Eercice 83 [ 394 ] [correctio] Défiitio, cotiuité et classe C de = π + 6 et 4 = π4 9 Eercice 84 [ 94 ] [correctio] Pour t >, o pose ) = St) = = si ) ) + t a) Justifier que S est défiie et cotiue sur ], + [. b) Etudier la limite de S e +. c) Etablir que S est de classe C sur ], + [. Eercice 8 [ 347 ] [correctio] Pour N et R +, o pose u ) = arcta + arcta a) Etudier l eistece et la cotiuité de la foctio S défiie sur R + par la relatio S) = b) Détermier la limite de S e +. u ) Eercice 85 [ 3644 ] [correctio] Pour R, o pose S) = = ) + a) Motrer que la foctio S est bie défiie et étudier sa parité. b) Motrer que la foctio S est cotiue. c) Détermier la limite de S e +. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

11 [ édité le 3 avril 5 Eocés Eercice 86 [ 96 ] [correctio] Pour tout R\ { } et N o pose u ) = ) + a) Justifier que la foctio f : + u ) est défiie sur R\ { }. b) Etablir que pour tout, = f) + f/) = = ) c) Etablir que f est cotiue sur ], [ puis que f est cotiue sur ], [ et ], + [. d) Etablir la cotiuité de f e. Eercice 87 [ 835 ] [correctio] Si > et N, soit f ) =! + k) k= a) Motrer l eistece de Γ) = lim f ). + b) Motrer l Γ) = l γ + l + )) = c) Motrer que Γ est ue foctio de classe C. Eercice 88 [ 95 ] [correctio] O fie α > et o pose a) Domaie de défiitio de f? b) Cotiuité de f? c) Etudier lim + f). f ) = e α et f) = f ) Eercice 89 [ 836 ] [correctio] Soit α u réel. Pour tout etier > et tout réel, o pose O ote I le domaie de défiitio de u ) = α e + S : a) Détermier I. b) Motrer que S est cotiue sur R +. c) A-t-o covergece ormale sur R +? d) O suppose α. Motrer que k=+ u ) u k /) e ted pas vers quad ted vers +. La covergece de la série de foctios u est-elle uiforme sur I? e) Etudier la cotiuité de S sur I. Eercice 9 [ 97 ] [correctio] Soit des suites réelles a ) et ) avec a > pour tout. O suppose que la série de terme gééral a + ) coverge. O pose f : R R, a Etudier la cotiuité et la dérivabilité de f. Eercice 9 [ 47 ] [correctio] Pour N et R +, o pose u ) = arcta + ) arcta ) a) Etudier l eistece et la cotiuité de la foctio S défiie sur R + par la relatio S) = b) Détermier la limite de S e +. u ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

12 [ édité le 3 avril 5 Correctios Correctios Eercice : [éocé] Supposos que la suite f ) coverge simplemet vers f sur I avec chaque f covee. Pour tout a, b I e λ [, ] o a N, f λa + λ)b) λf a) + λ)f b) A la limite quad +, o obtiet ce qui fourit la coveité de f. Eercice : [éocé] Par uiforme cotiuité, o a Pour assez grad, o a et doc fλa + λ)b) λfa) + λ)fb) ε >, α >, y α g) gy) ε I, f ) f) α I, gf )) gf)) ε Aisi, il y a covergece uiforme de g f ) vers g f. Eercice 3 : [éocé] O peut écrire f g fg f g g + g f f Or f f et doc la suite f ) est borée car covergete. Par opératio sur les limites, o obtiet alors f g fg f g g + g f f car f f et g g. Eercice 4 : [éocé] Soit f ) ue suite de foctios uiformémet cotiue de I vers R covergeat uiformémet vers f : I R. Soit ε >. Il eiste N vérifiat f f ε. La foctio f état uiformémet cotiue, il eiste α > vérifiat : Or doc, y I, y α f ) f y) ε f) fy) f) f ) + f ) f y) + f y) fy) Aisi f est uiformémet cotiue. Eercice 5 : [éocé] Posos, y I, y α f) fy) 3ε m = if f t) t [a,b] Puisque la foctio f est cotiue sur le segmet [a, b], cet ifimum est ue valeur prise par f et doc il eiste t [a, b] tel que Motros que m m avec m = f t ) m = if f t [a,b] La foctio f est cotiue car limite uiforme d ue suite de foctios cotiues et doc il eiste t [a, b] pour lequel m = ft ) Pour tout ε >, o a pour assez grad, et doc et Aisi O peut alors affirmer m m. f f ε m = f t ) ft ) ε m ε m = ft ) f t ) ε m ε m m ε Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

13 [ édité le 3 avril 5 Correctios 3 Eercice 6 : [éocé] O a f ) f) f ) f ) + f ) f) Soit ε >. Il eiste N tel que et il eiste N tel que, f f,[a,b] ε, f ) f) ε car f ) f) e vertu de la cotiuité de f. Pour = ma, ), o a Eercice 7 : [éocé] a) Pour ε = /, il eiste N N tel que, f ) f) ε N, P f / et doc P P N. Seules les foctios polyomiales costates sot borées sur R doc P P N est ue foctio polyomiale costate. Posos λ la valeur de celle-ci. b) O a λ = P ) P N ) f) P N ) = λ et doc P ) = P N + P P N ) coverge simplemet vers P N + λ. Par uicité de limite f = P N + λ est ue foctio polyomiale. Eercice 9 : [éocé] Les foctios u sot cotiues sur [, ] pour et dérivables sur ], ] avec Le tableau de variatio de u doe u ) = + l ) sup u = u e / ) = [,] e La suite de foctios coverge doc uiformémet sur [, ] vers la foctio ulle. Eercice : [éocé] Pour [, + [, f ) car f ). O a f ) = + ) + ) + ) = + ) Posos = / ). doc f = M = f ) = + f ) M / ) + ) = e Il y a doc covergece uiforme vers la foctio ulle. l ) Eercice 8 : [éocé] Pour ε =, il eiste u rag N N tel que N, P f est borée et P f Pour tout N, o peut alors affirmer que le polyôme P P N = P f) P N f) est boré et doc costat. Puisque la suite P ) coverge uiformémet vers f, la suite P P N ) N coverge uiformémet vers f P N. Or cette suite état formée de foctios costates, sa covergece équivaut à la covergece de la suite de ces costates. E posat C la limite de cette suite, o obtiet f = P N + C et doc f est ue foctio polyôme. Eercice : [éocé] a) Soit [, + [. Si = alors u ) =. Si > alors u ) car e. La suite de foctios u ) coverge doc simplemet vers la foctio ulle sur R +. b) O a sup u ) e a [a,+ [ doc il y a covergece uiforme sur [a, + [ avec a >. c) Puisque u u π/) = e π/ il y a pas covergece uiforme sur R +. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

14 [ édité le 3 avril 5 Correctios 4 Eercice : [éocé] f ) = )e, le tableau de variatio de f doe sup R + f = f /) = 4 e doc il y a covergece uiforme sur R et doc a fortiori sur [a, + [. Eercice 3 : [éocé] f ) et f ) pour. La foctio limite état pas cotiue, il y a pas covergece uiforme sur R. E revache si a alors f ) + a ) doc il y a covergece uiforme sur ], a] [a, + [ avec a >. Eercice 4 : [éocé] Pour tout R, f ) : il y a covergece simple vers la foctio ulle. f ) = si/ ), il y a doc pas covergece uiforme sur R. Sur [ a, a], f ) = a via si t t. Par suite il y a covergece uiforme sur [ a, a]. Eercice 5 : [éocé] Pour π [π] o a si < et doc f ). Pour = π [π], cos = et doc f ) =. Aisi f ) coverge simplemet vers la foctio ulle. Par π périodicité et parité o e poursuit l étude qu avec [, π]. La foctio f est dérivable avec f ) = si ) + ) cos ) ) O peut dresser le tableau de variatio de f sur [, π] et o obtiet sup f = R f arccos ) = + ) / + ) + La suite de foctio f ) coverge doc uiformémet vers la foctio ulle. Les premières foctios de la suite f ) Eercice 6 : [éocé] f est défiie sur R et peut être prologée par cotiuité e e posat sur f ) =. Pour, f ) +. Pour >, f ). Aisi f ) coverge simplemet vers la foctio ulle sur R +. Il e peut y avoir coverge uiformémet sur R + car alors par le théorème de la double limite : lim lim f ) = lim lim f ) doe = +. Pour a >, sur [a, + [, f ) e e a et par étude foctioelle e 4 e maimum e = /) doc f,[a,+ [ qui doe la coverge uiformémet sur [a, + [. 4e e a ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

15 [ édité le 3 avril 5 Correctios 5 Eercice 7 : [éocé] Quad p +, O a f p ) = + ) +/p + = f) f) f p ) = + )/p + ) +/p Or, pour α ], ], la foctio + ) α est cocave ce qui permet d affirmer pour tout et doc + ) α + α f) f p ) p + ) +/p p + p Puisque f f p,r + p, la covergece est uiforme sur R+. Eercice 8 : [éocé] La suite f ) coverge simplemet vers la foctio ulle et sup f ) = f ±/ ) = R + il y a doc pas covergece uiforme sur R. Or ±/ et doc d après le tableau de variatio de f, pour tout a >, o a, pour assez grad, sup f ) = f a) a Aisi, il y a covergece uiforme sur [a, + [ et de même sur ], a]. E revache, il y aura pas covergece uiforme sur les itervalles o siguliers coteat. Eercice 9 : [éocé] O a ) sup f ) = f / = 4 + [,] il y a doc pas covergece uiforme sur [, ]. Or / et doc d après le tableau de variatio de f, pour tout a [, [, o a, pour assez grad, sup f ) = f a) [,a] Aisi il y a covergece uiforme sur [, a]. E revache il y aura pas covergece uiforme sur les itervalles o siguliers coteat. Eercice : [éocé] a) Si = alors f ) =. Si ], ] alors f ) par comparaiso des suites de référece. b) f ) = α ) α+ ) = α ) + )). Après étude des variatios ) f = f + = α ) + + Or + et ) = e l + ) = e +o) e + doc f α e. Il y a covergece uiforme si, et seulemet si, α <. Eercice : [éocé] Soit R +. Pour assez grad f ) = /) = ep l /)) + La suite f ) coverge simplemet vers f : e avec f f. Etudios δ = f f. Pour [, + [, δ ) = e e. Pour [, [, δ ) = e /) et δ ) = e + /). Posos ϕ ) = ) l /) + O a ϕ ) = / + = e Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

16 [ édité le 3 avril 5 Correctios 6 est du sige de. Par étude des variatios de ϕ, o obtiet l eistece de [, [ tel que ϕ ) pour et ϕ ) pour. O e déduit que pour, δ ) et pour, δ ). Aisi δ,[,[ = δ ) = ) ) = e Puisque la foctio e est borée par u certai M sur R +, o obtiet Fialemet δ,[,[ M ) M δ,[,+ [ ma, e O peut doc affirmer que la suite f ) coverge uiformémet sur R + vers f. Eercice : [éocé] a) f ) = ep l + )) = ep + o)) e = f). O sait l + t) t doc par opératios : f ) e b) O sait doc puis t t l + t) t l + ) e + f ) e = e e Sur [, a] o a e e a. Pour ε >, il eiste N N tel que pour tout N, e a / ε. O a alors pour tout [, a], ) f ) f) e e / e a / ε CU Par suite f f. [,a] c) Les foctios f sot décroissates doc a, f ) f a) Soit ε >. Puisque e a a +, il eiste a R+ tel que a, e ε/3 Puisque f a) e a, il eiste N N tel que N, f a) e a ε/3 Mais alors a, f ) e f ) + e f a) + e f a) e a) + e a + e ε De plus, f Fialemet Aisi f CU f doc il eiste N N tel que [,a] CU R + f. N, [, a] f ) e ε man, N ), R +, f ) e ε Eercice 3 : [éocé] a) Pour =, f ) = et pour >, o a aussi f ) = pour assez grad. Par suite f ) coverge simplemet vers la foctio ulle. b) O a f t) dt = / t t) dt = Il y a pas covergece uiforme de la suite f ) puisque f t) dt dt u u) du = 6 c) Pour assez grad, sup f ) = doc f ) coverge uiformémet vers sur [a,] [a, ]. Eercice 4 : [éocé] a) Pour =, f ) =. Pour ], π/], cos [, [ doc f ). Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

17 [ édité le 3 avril 5 Correctios 7 b) Directemet [ I = + cos+ ] π/ = + doc I π/.d et il y a pas covergece uiforme. c) O a π/ f f ) avec = arccos + et f ) = + /) +)/ e + Soit [a, b] ], π/]. O a a > doc à partir d u certai rag < a et alors f = f a) doc il y a covergece uiforme sur [a, b]. sup [a,b] Eercice 5 : [éocé] II) a) E distiguat le cas = du cas gééral, o obtiet que la suite de foctio f ) coverge simplemet vers la foctio f doée par f) =. b) Par étude des variatios de f ) f), o obtiet qu il y a covergece uiforme si, et seulemet si, α <. c) Par u argumet de covergece uiforme, o peut échager limite et itégrale Eercice 6 : [éocé] lim + + e )d = d = Pour, la suite umérique f )) est ue suite homographique. L équatio r = +r possède deu solutios r = + et r = +. Posos g ) = f ) r f ) r O a avec g + ) = +f ) +r +f = f ) r + r ) +r f ) r ρ = + r + r = r r + r = ρg ) Puisque ρ <, la suite géométrique g )) coverge vers. Or après résolutio de l équatio o obtiet g ) = f ) r f ) r f ) = r g )r g ) et o e déduit que la suite umérique f )) coverge vers r = +. Fialemet, la suite de foctios f ) coverge simplemet vers la foctio f : +. Puisque les foctios f sot ratioelles de degrés alterativemet et, la foctio f f e peut-être borée sur R + car de limite + e + ; il y a doc par covergece uiforme sur R +. E revache, o peut motrer que la suite de foctios f ) coverge uiformémet vers f sur [, a] pour tout a. E effet f ) f ) = g ) g ) + D ue part, la foctio + est borée sur [, a]. D autre part, [ ] + g ) = g ) + + Sur [, a], la foctio admet u maimum de valeur < et puisque la foctio cotiue g est borée sur [, a], o peut motrer que la suite de foctios g ) coverge uiformémet vers la foctio ulle sur [, a]. La relatio f ) f ) = g ) g ) + permet alors d établir que la suite de foctios f ) coverge uiformémet vers f sur [, a]. Eercice 7 : [éocé] O remarque que la foctio f est bie défiie et même qu elle pred ses valeurs das [, /] plutôt que [, ]. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

18 [ édité le 3 avril 5 Correctios 8 O remarque aussi que f ) = f). Pour étudier le comportemet de la suite f a)) = f a)), o peut se limiter au cas où a [, /]. Etudier le comportemet de la suite des itérés f a)) équivaut à étudier la suite récurrete défiie par u = a et u + = fu ) O observe u + u = u u ) La suite u ) est doc croissate. Si a =, cette suite est e fait costate. Si a > cette suite coverge vers ue limite l vérifiat fl) = l. Après résolutio de cette équatio, o obtiet que cette limite e peut qu être /. O peut alors affirmer qu il y a covergece simple de la suite de foctios f ) vers la foctio { / si ], [ f : si = ou Par o cotiuité, il y a o covergece uiforme sur [, ]. E revache la croissace de f sur [, /] permet d assurer que a ], /], [a, /], f ) f a) ce qui permet de justifier la covergece uiforme de la suite de foctios f ) sur [a, a] pour tout a ], /]. et, pour, O a Or doe doc α + = α 4 α + α + = α α + α α 4 α+ α ) Puisque α = α, o obtiet alors par récurrece que la suite α ) est décroissate. Etat aussi miorée par, elle coverge et e passat la relatio de récurrece à la limite, o obtiet α /4 O e déduit que la suite de foctios f ) coverge simplemet vers la foctio ) f : Eercice 8 : [éocé] a) O vérifie sas peie que la suite f ) est bie défiie. De plus f ) f) = α β ) + α ) 4 Si f) = α β alors f ) =, f ) = 3 3/,... Puisque β, o a pour tout [, ] et e eploitat e u + u ) β = e β ) l β ) l Aisi f ) = α β avec Φf)) = α t β/ dt = α β + β/+ α + = α β + et β + = β + Puisque la foctio l est miorée par /e sur [, ], et aisi β = β β e f ) f) = α β ) + α ) 4 O a β = et ce majorat uiforme ted vers. Il y a doc covergece uiforme de la suite de foctios f ) vers f. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

19 [ édité le 3 avril 5 Correctios 9 b) La relatio doe à la limite f + ) = f) = f t) dt ft) dt d où l o tire f dérivable et f ) = f). Pour l équatio différetielle y = y, il y a pas uicité de la solutio ulle e, car outre la foctio ulle, la foctio y : /) est justemet solutio. Eercice 9 : [éocé] Pour tout R, f ) et f ) = / La suite de foctios f ) coverge uiformémet vers la foctio idetité. Pour tout R, f ) et f ) = + / Il y a pas covergece uiforme de la suite f ). Eercice 3 : [éocé] Par opératios, les foctios f sot de classe C car. est de classe C sur R +. La suite f ) coverge simplemet vers f avec f) = qui est pas dérivable e. E multipliat par la quatité cojuguée : f ) f) = / + / + Par suite f ) f) / = / puis f f. Aisi la suite f ) coverge uiformémet vers ue foctio f qui est pas de classe C. avec M = sup f. Par suite et doc Eercice 3 : [éocé] O a doc g ) f ) M g ) f ),R [, ], f ) f ) f ) f = maf ), f )) ma f ), f ) ) f ) + f ) Eercice 33 : [éocé] a) f est positive car f ) lim f p) = p + Puisque f + ) f ), e passat à la bore supérieure, o obtiet f + f. La suite f est décroissate et miorée doc covergete. b) f = f état cotiue sur u segmet, elle y admet u maimum e u certai. c) La propriété f ) f p ) proviet de la décroissace de la suite f p )) p N. La suite ) état borée, o peut e etraire ue sous-suite covergete ϕ) ) de limite. Comme f ϕ) ϕ) ) f p ϕ) ) o a la limite quad + lim f + f p ) E passat cette relatio à la limite quad p +, o obtiet Eercice 3 : [éocé] Par la formule de Taylor Lagrage : f + ) f) f ) M d où lim f + lim f + = Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

20 [ édité le 3 avril 5 Correctios Eercice 34 : [éocé] Notos f la limite simple de la suite f ). Cette foctio f est évidemmet covee. Par l absurde, supposos la covergece o uiforme sur u segmet [a, b] iclus das I. Il eiste alors ε > et ue suite ) d élémets de [a, b] tels que f ) f) ε pour tout aturel. Par compacité, o peut etraire de ) ue suite covergete et, quitte à supprimer certaies des foctios f, o peut supposer que ) coverge. Posos sa limite. Soit α > tel que [a α, b + α] I ce qui est possible car l itervalle I est ouvert). Pour tout foctio covee ϕ, la croissace des petes doe : y [a, b], ϕa) ϕa α) α ϕy) ϕ) y Par covergece simple, f ) f ). Pour assez grad, f ) f ) ε doc ϕb + α) ϕb) α ) Si ω <, o peut remarquer que pour k N, π e ikθ + e iθ ω dθ = π ω e i+k+))θ dθ = Si z P z) est ue suite de foctios polyomiales covergeat uiformémet sur U vers z z ω alors π P e iθ ) e iθ ω dθ + Or par le calcul précédet, o peut affirmer π O coclut à ue absurdité. La coditio cherchée est ω >. π P e iθ ) e iθ ω dθ = dθ e iθ ω f ) f ) + f ) f ) ε puis Or la suite aussi puis f ) f ) + f ) f ) ε ) f ) f ) est borée e vertu de ) et la suite f a) f a α) α et les termes ecadrat coverget. O obtiet aisi ue absurdité. f ) f ) + + f b + α) f b) α ) f ) f ) Eercice 35 : [éocé] Si ω > alors z ω = z ω ω et la covergece ormale sur U de la série assure la covergece uiforme d ue suite de polyômes vers z z ω Eercice 36 : [éocé] Pour t R, o a u t) = f t + /) ft) / + f t) La suite de foctios u ) coverge simplemet vers f sur R. Soiet [a, b] R et ε >. La foctio f est cotiue sur le compact [a, b + ] dot uiformémet cotiue. Il eiste alors α > vérifiat s, t) [a, b + ], s t α f s) f t) ε Pour assez grad de sorte que / α et t [a, b]. O peut écrire et doc ft + /) ft)) f t) = u t) f t) t+/ t t+/ t f s) f t) ds f s) f t) dt ε Aisi, la covergece de u ) est uiforme sur tout segmet de R. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

21 [ édité le 3 avril 5 Correctios Eercice 37 : [éocé] a) Par récurrece sur N. Pour = : u ) = et u ) = + dt = + doc u ) u ) =. Supposos la propriété établie au rag. u + ) u + ) = u + t t ) u t t ) dt or u + t t ) u t t ) doc u + ) u + ) et puis u + t t ) u t t ) t t ) + t+ + )! + )! u + ) u + ) + + )! Récurrece établie. b) Pour tout R, o sait qu il y a covergece de la série epoetielle Par comparaiso de série à termes positifs, il y a covergece de la série télescopique u+) u ) et doc covergece de la suite u )). c) Pour tout [, ], u) u ) = doc u) u ) k=+! k=+ u k ) u k )) k + k! k=+ k! + Aisi u ) coverge uiformémet vers u. O e déduit que u est cotiue et, toujours par covergece uiforme Par coséquet [, ], u t t ) dt + [, ], u) = + ut t ) dt ut t ) dt La foctio est doc ue foctio o ulle car u) = ) et dérivable avec u ) = u ) Eercice 38 : [éocé] a) Par récurrece sur N. Pour = : u ) = et u ) = + dt = + doc u ) u ) = Supposos la propriété établie au rag. Soit R +. u + ) u + ) = Par hypothèse de récurrece, o a pour tout t [, ] puis e itégrat u + γt) u γt) dt u + γt) u γt) γt)+ + )! t+ + )! u + ) u + ) + + )! Récurrece établie. b) Pour tout R, o sait qu il y a covergece de la série epoetielle Par comparaiso de série à termes positifs, il y a covergece de la série télescopique u+) u ) et doc covergece de la suite u )). c) Soit a R +. Pour tout [, a], u) u ) = doc u) u ) k=+! k=+ u k ) u k )) k + k! k=+ a k k! + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

22 [ édité le 3 avril 5 Correctios Aisi u ) coverge uiformémet vers u sur [, a]. O e déduit que u est cotiue et, toujours par covergece uiforme Par coséquet R +, u γt) dt + [, ], u) = + uγt) dt uγt) dt La foctio est doc ue foctio o ulle car u) = ) et dérivable avec u ) = uγ) Par le critère spécial des séries alterées, f ) coverge simplemet sur ], + [ vers S. Soi a >. Sur [a, + [, f,[a,+ [ + + a) et + a) < + doc f coverge ormalemet sur [a, + [ puis coverge uiformémet sur tout segmet de [a, + [. Par théorème, S est défiie et de classe C sur ], + [ et S ) = ) + + ) b) O peut appliquer le critère spécial des séries alterées à la série de somme ) + +). Celle-ci est doc du sige de so premier terme. Aisi S ) et la foctio S est décroissate. c) S + ) + S) = ) ) + + = = ) d) Quad, S) = S + ) et S + ) S) doc ) + = e) Quad +, S) S) + S + )) S) S) + S )) Eercice 39 : [éocé] a) Les foctios f : ) + Les premiers élémets de la suite quad γ = /3 sot de classe C et f ) = )+ + ) avec doe S) Eercice 4 : [éocé] Posos u : ], + [ R doée par u ) = ) + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

23 [ édité le 3 avril 5 Correctios 3 a) Par le critère spécial, u ) coverge pour chaque >. Il y a covergece simple de la série de foctios défiissat F. b) Les foctios u sot de classe C et pour O a u ) = )+ + ) u = Il y a covergece ormale u pour. Il y a doc covergece uiforme de u pour ) et l o peut doc coclure que F est de classe C. De la même maière, o obtiet F de classe C. c) Par décalage d idice et doc d) Posos F + ) = = ) = F ) + F + ) = G) = t + t dt = L itégrale est bie défiie pour > et l o remarque ) + e) Quad, F + ) F ) par cotiuité et doc F ) = F + ) O vérifie aisémet que F est décroissate et puisque o obtiet = F ) + F + ) F ) F ) + F ) = F ) + Eercice 4 : [éocé] a) f : +k), f est cotiue sur ], + [. k= Soit a >. Sur [a, + [, f a! La série de foctios f coverge ormalemet sur [a, + [ doc coverge uiformémet sur tout segmet de ], + [. Par théorème, la somme S de la série f est cotiue sur ], + [. b) S) = + = k= + k) = + c) Par coverge uiformémet sur [a, + [ k= + + k) = + S + ) G) + G + ) = Posos H = F G. La foctio H est -périodique, motros qu elle ted vers e +. Par applicatio du critère spécial, o a doc >, F ) F ) F ) + F + ) = + et par ecadremet F ted vers e +. Le même raisoemet se traspose à G. O peut coclure que H ted vers e + puis fialemet H est ulle. Quad +, Quad, par cotiuité et lim S) = + lim f ) = + + S) = + S + ) = ) + o S) = k= S + ) S) + k + = + )! = e Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

24 [ édité le 3 avril 5 Correctios 4 doc S) = + S + ) Eercice 4 : [éocé] a) Par le théorème des accroissemets fiis, o peut écrire f ) = th) c) avec c ], + [.Puisque th) c) = ch c), o a e f ) ch ) 4 e Par suite f ) doc f ) est absolumet covergete doc + covergete. Aisi f coverge simplemet. b) Pour a R +, l étude qui précède doe f,[,a] a ch ) doc f coverge ormalemet sur [, a]. Par covergece uiforme sur tout segmet d ue série de foctio cotiue, o peut affirmer que S est cotiue. De plus, les foctios sommées état toutes strictemet croissates, la somme S l est aussi. E effet, pour < y, f k ) < f k y) doe à la limite k= k= f k ) et puisque f ) < f y), o parviet à c) S+) = th + + ) th)) = k= k= S) < Sy) avec covergece des deu séries itroduites. Par décalage d idice f k y) th + + ) th + )) = S) th Il reste à motrer que cette foctio est bie défiie et cotiue ce qui sera obteu th + + ) th + ))+ th + ) par th) u argumet de covergece ormale. Soit R +. O a pour k et par étude la limite des sommes partielles th + ) th) = O coclut à la relatio proposée. d) S admet ue limite e + car c est ue foctio mootoe. Pour détermier celle-ci, étudios la limite de la suite S)). La ature de la suite S) est celle de la série de terme gééral Or th = S + ) S) = th ch sh ch = e ch e est terme gééral d ue série absolumet covergete. O e déduit que la suite S)) coverge et doc que la foctio S coverge. Eercice 43 : [éocé] Puisque la foctio f est décroissate, elle admet ue limite e +. Puisque la foctio f est aussi itégrable cette limite est écessairemet ulle. E particulier, la foctio f est positive. Par télescopage, o observe g + N) g) = N k= f + k) et s il l o s adjoit la cotraite d ue limite ulle à g e +, o est teté de poser g) = f + k) doc k= f + k) fk) k k ft) dt k sup f + k) ft) dt R + k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

25 [ édité le 3 avril 5 Correctios 5 Par itégrabilité de f, il y a covergece de la série k k ft) dt et doc covergece ormale de la série de foctios f + k) k L adjoctio du terme d idice k = e chage rie et l o peut coclure. O viet aisi de trouver ue solutio au problème posé, d autres solutios s e déduiset par ajout d ue costate. Eercice 44 : [éocé] a) f : )!+) est défiie et de classe C sur R + et f ) = )+! + ) f ) coverge simplemet sur ], + [ vers S. a >, f,[a,+ [ =! + a) et! + a) coverge doc f coverge ormalemet sur [a, + [ puis coverge uiformémet sur tout segmet de ], + [. Par théorème S est de classe C sur ], + [. b) O peut appliquer le critère spécial des séries alterées à la série de somme ) +! + ) Celle-ci est doc du sige de so premier terme. Aisi S ) et S est décroissate. c) d) S) S + ) = ) +! + ) + ) + )! + ) = + ) =! e = S) = e + S + ) et S) = + = ) + )! = e Quad +, S) d où S) e) Par le critère spécial des séries alterées, ) k R ) = k! + k) + )! + + ) + )! doc k=+ R Par coverge uiformémet sur ], + [, Quad +, d où Eercice 45 : [éocé] O a d où l eistece de la somme. Or + )! lim S) = + lim f ) = + + S) = e + S + ) e S) e + + ) = O N k= N f) = lim N N + k= N N+ + + k = k= N+ + k + k doc à la limite quad N +, o obtiet f + ) = f). N k= N + k + N k= N + + k = N+ k= N+ + k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

26 [ édité le 3 avril 5 Correctios 6 doe à la limite f ) + f ) + = f) Eercice 46 : [éocé] a) La série de foctios cosidérée coverge uiformémet sur tout segmet iclus das R\Z. Sa somme est doc cotiue et de plus -périodique. b) Soit α. Pour tout [ α, α], / et + )/ appartieet à [ α, α]. Posos M α = f,[ α,α]. La relatio f) = c [ ) f + f )] + doe f) c M α pour tout [ α, α]. O e déduit M α c M α puis M α = puisque c >. Aisi f est ulle sur [ α, α] et puisque ceci vaut pour tout α, f est la foctio ulle. c) Posos h : π si π) défiie sur R\Z. La foctio g = f h est défiie sur R\Z, -périodique et cotiue. O peut écrire f) = + f) avec f) = = ) ) + + ) Par covergece uiforme sur [ /, /], la foctio f est cotiue e. O peut aussi écrire h) = + h) avec h cotiue e. La foctio g = f h se prologe doc par cotiuité e. Par périodicité, g se prologe e ue foctio cotiue sur R. Pour R\Z, o remarque que et O e déduit f ) + f ) + = 4f) ) ) + h + h = 4h) ) g + g ) + = 4g) pour R\Z mais aussi pour Z par cotiuité. E vertu de b), o peut affirmer g = et doc f = h. Eercice 47 : [éocé] Les foctios costates sot solutios et les solutios formet u sous-espace vectoriel. Soit f ue solutio. Quitte à ajouter ue foctio costate, o peut supposer f) =. O a doc f) = f) = f) = + = f ) = + = f ) f + ) Posos h) = sup f. [,] Pour >, o a + [, ] pour tout. O e déduit f) = h ) = h ) Aisi h) h ) puis e itérat h) h ) pour tout N. Or pour [, [, et lim h = car f) = ) doc h) = sur [, [. + Fialemet f est ulle sur [, [ puis e par cotiuité. Eercice 48 : [éocé] a) Aalyse : supposos f solutio. Pour >, o a puis par récurrece f) = f + ) = + f + ) + ) f) = k= ) k + k) + )+ f + + ) Sachat que f est de limite ulle e +, o obtiet f) = ) + ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

27 [ édité le 3 avril 5 Correctios 7 Sythèse : o vérifie aisémet la covergece de la série de foctios défiissat f par applicatio du critère spécial. De plus + ) f) assure que f est de limite ulle à l ifii. Efi f) + f + ) = + + = ) + + ) + ) + + ) = b) O vérifie la covergece ormale de la série de foctios défiie f sur [a, + [ par ) + ) a + ) Les foctios sommées état cotiues, la foctio f est cotiue sur ], + [. Elle est aussi itégrable e vertu de l ecadremet + ) f) c) O e peut directemet appliquer de théorèmes d itégratio terme à terme, o raisoe alors par les sommes partielles Or N ) N t + ) dt = N+ ) dt t + ) = ) ft) dt N ) t + ) dt = et par applicatio du critère spécial N ) ft) dt t + ) dt E passat à la limite quad N +, o obtiet ft) dt = = =N+ ) = l = ) t + ) dt dt t + N + ) = N + ) Eercice 49 : [éocé] O a R, f ) / Puisque / coverge, il y a covergece ormale, doc uiforme, doc simple sur R. Eercice 5 : [éocé] O a f = / or / diverge doc il y a pas covergece ormale sur R. Pour R, la série umérique f ) satisfait le critère de Leibiz, il y a doc covergece simple sur R et f ) N + + N + =N+ doc R N N+. Il y a doc covergece uiforme sur R. Eercice 5 : [éocé] Pour tout [, + [, itroduisosk =. Pour N k +, o a N u ) = k + et doc la série de foctios coverge simplemet sur [, + [ vers S avec Pour tout [, + [, o a et doc S) S) = k + N u ) = pour [k, k + [ { si < + S) si + N S) u ) N + N + Il y a doc covergece uiforme sur [, + [. Efi u = / + ) est pas sommable, il y a pas covergece ormale. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

28 [ édité le 3 avril 5 Correctios 8 Eercice 5 : [éocé] Pour =, f ) = est sommable. Pour, f ) par croissace comparée et doc la série umérique + f ) coverge. O peut doc affirmer que la série de foctios f coverge simplemet sur R +. L étude des variatios des foctios f doe f = f / ) = 4 e Il y a doc par covergece ormale de la série de foctios f sur R +. E revache, pour a > et assez grad de sorte que / a, o a f,[a,+ [ = f a) et doc f coverge ormalemet sur [a, + [ car la série umérique f a) coverge. A fortiori, il y a aussi covergece uiforme de f sur chaque [a, + [ avec a >. Motros qu il y a cepedat pas covergece uiforme sur [, + [. Par l absurde, s il y avait covergece uiforme sur [, + [, la foctio somme de la série f serait cotiue car chaque f est cotiue. Soit N N. Par positivité des foctios sommées ) ) f f N = 4 N N e et doc la foctio somme e ted par vers e. Ceci cotredit sa cotiuité. Eercice 53 : [éocé] a) Par croissace comparée, la suite de foctios f ) coverge simplemet vers la foctio ulle. La foctio f est de classe C et f ) =! ) e O peut alors dresser le tableau de variatios de f et affirmer sup f ) = f ) = [a,+ [! e Par la formule de Stirlig doc! ) π e f ) π O e déduit que la suite de foctios f ) coverge uiformémet sur [, + [. b) Par référece à la série epoetielle, la série de foctios f coverge simplemet sur R et sa somme est égale à. Il e peut y avoir covergece ormale sur [a, + [ car f ) est pas sommable. E revache sur [, a], il y a covergece ormale car pour assez grad de sorte que a, o a sup f ) = f a) [,a] Il y a aussi a fortiori covergece uiforme sur [, a]. Par l absurde, s il y a covergece uiforme sur ue voisiage de +, o obtiet par le théorème de la double limite lim + f ) = ce qui doe l absurdité =. Il y a doc pas covergece uiforme sur [, + [. lim f ) + Eercice 54 : [éocé] Si = alors u ) =. Si ], ] alors u ). La suite u ) coverge simplemet vers la foctio ulle. u ) = α α+ ) = α + )). ) u = u + = α ) + + ) Or + et + = e l + ) = e +o) /e doc u α /e Il y a covergece uiforme sur [, ] si, et seulemet si, α <. Pour tout [, ], u ) coverge, u e α, il y a doc covergece ormale sur [, ] si, et seulemet si, α <. Pour α, u ) ) = v ). Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

29 [ édité le 3 avril 5 Correctios 9 Or doc k= ) v k + k=+ k= ) v k + ) v k + = + k=+ v k ) + k= ) k + e La série v e coverge doc pas uiformémet vers [, ] et par suite u o plus. Efi pour a <, o a u,[,a] = u a) et doc u ) coverge uiformémet sur [, a] et u coverge ormalemet sur [, a] pour tout α R. Eercice 55 : [éocé] a) La suite de foctios f ) coverge simplemet vers la foctio { si [, [ f) si = Puisque les foctios f sot cotiues, pour qu il y ait covergece uiforme, il est écessaire que la foctio limite soit cotiue et doc que f) =. Iversemet, supposos f) =. Pour tout ε >, il eiste α > tel que [, ], α f) ε Sur [, α], f ) α) f et sur [ α, ], f ) f) ε Puisque α), il eiste N N tel que N, α) f ε O a alors pour tout N et tout [, ], f ) ε doc f ε. CU Aisi f. b) Supposos que f coverge uiformémet sur [, ]. Puisqu il y a pas divergece grossière, o a f ) et doc f) =. Notos S la somme sur [, ] de la série de foctios f. Pour [, [, et S) = S) = f) = f) f) = Or la foctio S est cotiue comme somme uiformémet covergete d ue série de foctios cotiues. Par suite lim S) = ce qui doe f) f) lim = Aisi f est dérivable e et f ) =. Iversemet, supposos f) =, f dérivable e et f ) =. Posos S ) la suite des sommes partielles de la série f. Pour, S ) = + f) Posos g : [, [ f) prologée par cotiuité e par la valeur g) =. La foctio g est cotiue sur [, ] et g) = doc la suite g ) défiie par g : g) coverge uiformémet vers sur [, ]. Or CU S ) = g) g + ) doc S g et la série f coverge uiformémet. [,] Eercice 56 : [éocé] a) Pour =, u ) = et la série umérique u ) est covergete. Pour [, [, o peut écrire u ) a ) = λ. Or il y a covergece de la série umérique et doc, par comparaiso de séries à termes positifs, la série u ) coverge. b) Après étude de foctio, o obtiet u = sup u ) = a ) a [,] + + e Par équivalece de séries à termes positifs, la covergece ormale de u équivaut à la covergece de a /. c) Cosidéros le reste R ) = Par la décroissace de la suite a ) k=+ R ) a + + a k k ) k=+ k ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

30 [ édité le 3 avril 5 Correctios 3 Aisi, pour [, [ ou =, o obtiet R ) a + Par cette majoratio uiforme, o peut affirmer que, si a ) ted vers, alors la série de foctios u coverge uiformémet. Iversemet, supposos la série u uiformémet covergete. La suite a ) état décroissate et positive, elle admet écessairemet ue limite l. O a alors O obtiet doc E faisat, [, [, R ) k=+ l k ) = l + [, [, l + R l R et ceci valat pour tout N, o coclut l = Eercice 58 : [éocé] La foctio u est dérivable avec u ) = Les variatios de u sur [, + [ fourisset + ) 3 u = u / ) = 4 La série de foctios u coverge ormalemet sur [, + [, a fortiori uiformémet et simplemet. Soit a >. Pour a, u ) + + ) 3 = + a) a 4 La série de foctios u coverge ormalemet sur [a, + [. E revache, il y a pas covergece e, i covergece uiforme sur ], a] car le théorème de la double limite e peut s appliquer e. Eercice 57 : [éocé] Remarquos que pour tout t [, ], Pour [, /4], t t [, /4] u + ) u,[,/4] 4 u,[,/4] Par ue récurrece facile doc aisémet u,[,/4] 4 Par la remarque iitiale, pour tout [, ], u + ) u,[,/4] 4 doc u +,[,] 4 O peut coclure que la série u est ormalemet covergete. Eercice 59 : [éocé] a) ζ est bie défiie sur ], + [. Les foctios f : ], + [ et f p) l )p ) = Pour tout a > sur [a, + [, doc Pour ρ ], a[, doc f p) f p) f p) ),[a,+ [ ρ f p) l )p a l )p a,[a,+ [ sot de classe C sur coverge puis f p) coverge ormalemet sur [a, + [.,[a,+ [ Il e découle que la série de foctios f p) coverge simplemet sur ], + [ et p) f coverge uiformémet sur tout segmet iclus das ], + [. Par théorème o peut coclure ζ est de classe C sur ], + [. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

31 [ édité le 3 avril 5 Correctios 3 b) doc ζ est décroissate. ζ ) = ζ ) = = = l ) l ) doc ζ est covee. c) La série de foctios f coverge uiformémet sur [, + [ et lim f ) = si = et sio. Par le théorème de la double limite + d) La foctio t t E sommat, o obtiet ζ) + est décroissate doc + dt t dt t dt + t ζ) + dt t avec dt t = O e déduit ζ) + e) Le sige de lζ)) est celui de Or N = ζ)ζ ) ζ ) l = doc par l iégalité de Cauchy-Schwarz N ) l puis quad N +, = N = N = l / / N l ) = ζ ) ζ)ζ ) Eercice 6 : [éocé] a) Posos u ) = / défiie sur ], + [. La série de foctios u coverge simplemet sur ], + [ ce qui assure la boe défiitio de ζ). Plus précisémet, pour a >, o a sup u ) = u a) avec u a) covergete [a,+ [ et il y a doc covergece ormale et doc uiforme) de la série de foctios u sur [a, + [. Puisque u ) + { si = si o peut appliquer le théorème de la double limite et affirmer que ζ ted e + vers la somme covergete des limites ζ) + b) Posos v ) = ζ) /. Pour, o a v + ) v ) + Par le critère de d Alembert, la série coverge pour < et diverge pour > e fait le rayo de covergece de cette série etière vaut ). Pour =, il y a divergece car ζ) Pour =, il y a covergece e vertu du critère spécial des séries alterées. E effet, la suite ) ζ)/) est alterée et décroît e valeur absolue vers otammet car ζ + ) ζ). c) E tat que somme de série etière, la foctio F est de classe C sur ], [. Puisque F est aussi défiie e, e filière PC, o peut affirmer directemet que F est cotiue e e vertu d u théorème du cours. E filière MP et PSI, il faut justifier cette cotiuité... Les foctios v sot cotiues sur [, ] et l o vérifie que la série v ) satisfait le critère spécial des séries alterées pour tout [, ]. O peut alors majorer le reste de cette série par so premier terme v k ) v +) ζ) k=+ Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

32 [ édité le 3 avril 5 Correctios 3 Ce derier majorat état uiforme de limite ulle, o peut affirmer qu il y a covergece uiforme de la série de foctios v sur [, ] et sa somme F est doc cotiue. d) Par dérivatio de la somme d ue série etière, o obtiet pour ], [, F ) = = ζ + ) = = p= p + O peut permuter les deu sommes par le théorème de Fubii car il y a covergece des séries p + et p + p p= O e déduit après sommatio géométrique F ) = p= = et o e peut faire plus simple. + p + = p= + pp ) = Eercice 6 : [éocé] Chaque f : ) est de classe C sur ], + [ et f ) + l = ) p= p ) p Par le critère spécial des séries alterées, la série de foctios f coverge simplemet vers ζ sur ], + [. La suite f )) N est alterée. Etudios O a ϕ : t l t t ϕ t) = l t t + Pour l t /, ϕ t) doc ϕ décroissate sur [ e /, + [. Aisi f )) est décroissate à partir du rag e / + et ted vers. O peut appliquer le critère spécial des séries alterées. Pour a > et pour e /a + o a pour tout [a, + [, R ) = k=+ ) + l l + ) l + ) + ) + ) a doc R,[a,+ [ l + ) + ) a f coverge uiformémet sur [a, + [ doc coverge uiformémet sur tout segmet de ], + [. O peut alors coclure que la foctio ζ est de classe C sur ], + [. Eercice 6 : [éocé] Par le critère spécial des séries alterées, ζ est bie défiie sur ], + [. f : ) est C sur ], + [ et f p) +p l )p ) = ) La suite f p) )) N est alterée. Etudios O a ϕ : t l t)p t ϕ t) = lt)p p l t) t + Pour l t p/, ϕ t) doc ϕ décroissate sur [ e p/, + [. Aisi f p) )) est décroissate à partir du rag Ee p/ ) + et ted vers. O peut doc appliquer le critère spécial des séries alterées. Pour a > et pour Ee p/a ) + o a pour tout [a, + [, doc R ) = k=+ ) +p l ) p R,[a,+ [ l + ))p l + ))p + ) + ) a l + ))p + ) a p) f coverge uiformémet sur [a, + [ pour tout a > ) doc coverge simplemet sur ], + [ et coverge uiformémet sur tout segmet de ], + [. Par théorème o peut alors coclure que ζ est C sur ], + [. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

33 [ édité le 3 avril 5 Correctios 33 Eercice 63 : [éocé] La covergece pour > de la série défiissat ζ ) est acquise par le critère spécial des séries alterées. O peut combier les termes d idices impairs avec les termes d idices pairs qui suivet ζ ) = p ) ) p) p= Cosidéros alors la foctio f : [, + [ R défiie par ft) = La foctio f est décroissate et doc + puis e sommat ces ecadremets t ) t) ft) dt f) ft) dt ζ ) f) + ft) dt ft) dt Or ft) dt = [t ) t) ] + ) avec t ) t) = t) ) ) )t) t t + et doc ft) dt = ) ) + De plus et doc par ecadremet f) = + ζ ) + Eercice 64 : [éocé] a) ζ est défiie sur ], + [ et ζ est défiie sur ], + [ via le critère spécial des séries alterées) b) f : est cotiue. Pour tout a >, a doc f,[a,+ [ a or coverge doc f a coverge ormalemet sur [a, + [ puis coverge uiformémet sur tout segmet iclus das ], + [. Par théorème, o obtiet que la foctio ζ est cotiue. g : ) est cotiue. Par le critère spécial des séries alterées ) N + ) Pour tout a >, =N+ =N+ ) N + ) N + ) a doc g coverge uiformémet sur [a, + [ puis coverge uiformémet sur tout segmet iclus das ], + [. Par théorème o obtiet que la foctio ζ est cotiue sur ], + [. c) Pour > ζ ) = Eercice 65 : [éocé] O peut écrire = + k) = ζ) ζ) k= ψ) = avec covergece ormale sur [, ] doc ψ) d = = = + d Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

34 [ édité le 3 avril 5 Correctios 34 Or et e trasitat par les sommes partielles N = d = l + l + N + d = N l l + = = Aisi ψ) d = l Eercice 66 : [éocé] a) Pour ], [, o obtiet par sommatio géométrique u ) = l + Cette relatio vaut aussi pour = ou =. b) O peut appliquer le critère spécial des séries alterées et doc R ) = ) k+ k+ l +) l k=+ Eercice 67 : [éocé] α α +,[,] est le terme géérale d ue série covergete. Par covergece ormale sur le = l N ln+)+l l segmet [, ] : N + Or doc O e déduit que = α + α + dα = = = = αdα + α + = l + ) α α + = π chπα shπα α = [ α α + dα = l shπα ] = l shπ α π + = + ) = shπ π L étude de ϕ : +) l doe doc c) O a [, ], +) l R l + d = e + ) e + ) l l d + d et o peut calculer la derière itégrale par itégratio terme à terme car coverge uiformémet sur [, ]. Cela doe puis le résultat. l + d = + ) + 3) Eercice 68 : [éocé] Pour, il y a divergece grossière. Pour >, e = e + l doc e est absolumet covergete. Aisi f est défiie sur ], + [. Pour a >, sur [a, + [, e e a. Cela permet d établir la covergece ormale de la série de foctios sur [a, + [. Par covergece uiforme sur tout segmet d ue série de foctios cotiues, o peut affirmer que f est cotiue sur ], + [. Par covergece uiforme sur [, + [, o peut appliquer le théorème de la double limite et affirmer lim f = + lim + + e = Pour > fié, la foctio t e t est décroissate doc + e t dt e e t dt Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

35 [ édité le 3 avril 5 Correctios 35 E sommat avec = à part pour la majoratio) o obtiet e t dt f) + avec e t dt = O e déduit quad +. f) e t dt Eercice 69 : [éocé] Par le critère spécial des séries alterées, il est immédiate de justifier que St) est défiie pour tout t >. O peut réorgaiser l epressio de St) de la faço suivate : St) = p= ) p pt + + t t+)+)t+) ) )p+ = p + )t + p= La foctio f t : est décroissate. Par comparaiso avec ue itégrale, o obtiet l ecadremet Puisque par les calculs précédets O obtiet et f t ) d St) t pt + ) [p + )t + ] f t ) d t t + ) + )t + ) = t + + )t + t t + ) + )t + ) d = [ ] + t l t + ) l + t) = + )t + ) t [ ] + t t + ) + )t + ) d = t l t + ) = + )t + ) Quad t +, o obtiet par ecadremet St) /. l + 3t) l + t) t Eercice 7 : [éocé] a) Pour tout R, la série umérique u ) satisfait le critère spécial des séries alterées doc la série de foctios u coverge simplemet sur R. De plus u =N+ l + ) N + ) + l + ) ) N + doc la série de foctios u coverge uiformémet sur R. b) u ) l + /). Par coverge uiformémet + = u ) + + l = ) l + /) Pour calculer cette somme, maipulos les sommes partielles et séparos les termes d idice pair de ceu d idice impair doc Or doc N = O e déduit ) l + ) = N = Eercice 7 : [éocé] E réorgaisat la somme = = N N l + ) l) + l ) l) = ) l + ) ) N)! = l N N!) N + )) N = u = N! πnn N e N ) l + /) l /π) k= l = l /π) ) k = f k ) k= Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

36 [ édité le 3 avril 5 Correctios 36 avec f k : N R défiie par f k ) = k/) si k et f k ) = sio Pour k N fié, f k ) e k. Pour k, f k ) = ep l k/)) ep k) et cette majoratio vaut aussi pour k >. Aisi f k,n e k et doc la série f k coverge ormalemet sur A = N. Par iterversio limite/somme ifiie, o obtiet Eercice 7 : [éocé] Posos Pour k N fié, Pour k f k ) = u + k= e k = /e k ) α pour k et f k ) = sio f k ) ep kα) f k ) = epα l k/)) e kα et cette majoratio vaut aussi pour k >. Aisi f k,n e kα et doc la série f k coverge ormalemet sur A = N. Par iterversio limite/somme ifiie Aisi lim + k= Eercice 73 : [éocé] Par la formule du biôme lim f k ) = + k= k= + z p) p = lim f k) = + k ) α = eα e α ) p p z k k p k k= e kα k= Cosidéros f k : [, + [ C défiies par f k ) = E tout p N, )... k + ) k! k= f k p) = k= z k k si k et f k) = sio ) p p z k k p k = + z ) p p La série de foctios f k coverge simplemet vers + ) z e tout k N p N. De plus, puisque f k ) z k k!, la covergece est ormale sur R+. Pour k fié, quad +, f k ) = Par le théorème de la double limite i.e. Eercice 74 : [éocé] Posos )... k + ) z k k k! zk k! lim + k= f k ) = k= lim + z ) = e z + f ) = z k k! + avec > a) Soit ], + [. O a f ) / doc f ) coverge absolumet. O e déduit que la série f coverge simplemet sur ], + [ et doc la foctio S = + f est bie défiie. b) Les f sot cotiues sur R +. Soit a >, f,[a,+ [ ) + a = O La série de foctios f coverge ormalemet sur [a, + [ doc coverge uiformémet sur tout segmet de ], + [. O peut doc coclure que S est cotiue. c) Chaque f est décroissate doc la foctio S l est aussi. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

37 [ édité le 3 avril 5 Correctios 37 d) Par covergece ormale sur [, + [, O remarque Posos g : lim + = f ) = = f ) + lim f ) = + +). La foctio g croît de à / sur R + doc g,[,+ [ = La série de foctios g coverge ormalemet sur R + doc lim + = Par suite S) + e) La foctio t t+t) itégrale dt Or dt t + t) = doc g ) = π 6 puis = S) lim g ) = + + π 6 = = π 6 est décroissate doc par comparaiso avec ue t + t) + Eercice 75 : [éocé] a) f : + = Soiet < a b. t +) = u ) + + dt t + t) ) [ dt = l + t S) l) ] + t = l + ) l) + t est défiie et cotiue sur ], + [ f,[a,b] b + a) La série de foctio f coverge ormalemet sur [a, b] et doc coverge uiformémet sur tout segmet iclus das ], + [. b) Chaque f est croissate doc par sommatio de mootoie, S est croissate. c) doc S + ) S) = S + ) S) = = = d) Quad, S + ) S) = puis e) S) = et S + ) S) = + f) O sait k= + + = = + S) = + S + ) + + S) = doc pour tout N, k= k k l et o sait l + ) l. Puisque SE)) S) SE) + ) o obtiet S) l E) l Eercice 76 : [éocé] a) Posos f ) = e Pour, la série e diverge grossièremet. Pour >, f ) doc e coverge absolumet. La foctio f est doc défiie sur ], + [. Pour a >, f,[a,+ [ = f a) et f a) coverge doc f coverge ormalemet sur [a, + [. Comme somme de série de foctios cotiues covergeat uiformémet sur tout segmet, o peut affirmer que f est cotiue sur ], + [. b) f est somme de foctio strictemet décroissate, elle doc elle-même strictemet décroissate. c) Par covergece uiforme sur [a, + [, o peut itervertir limite e + et somme ifiie. Aisi lim f) = lim f ) =. + + = Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

38 [ édité le 3 avril 5 Correctios 38 d) Par mootoie de t e t, + e t dt e e t dt E sommat e t dt f) e t dt. Or e t dt = et e t dt doc f). Eercice 77 : [éocé] a) Notos : f : +. Pour =, f ) = doc S) est bie défiie. Pour ], [ : f+) f ) < et S) est bie défiie. Pour = : f ) = / et S) est pas défiie. Pour ], + [ : f+) f ) < doc S) est bie défiie. Fialemet S est défiie sur [, [ ], + [ par covergece simplemet de f sur ce domaie. b) / + ], [ ], + [, S/) = + / = = S) + c) Soit < a <. Sur [, a], = f,[,a] a et = a < doc f coverge ormalemet sur [, a] et doc coverge uiformémet sur tout segmet de [, [. Par théorème S est cotiue sur [, [. Par compositio de foctios cotiues S : S/) est aussi cotiue sur ], + [. d) f ) = + ) 3 + ) = ) + ) Chaque f est croissate sur [, [ et décroissate sur ], + [. Par sommatio de mootoie, la foctio S est croissate sur [, [ et décroissate sur ], + [. S) =. Quad, S) = + doc lim S) = +. = = Puisque S/) = S), o obtiet par compositio de limites, lim et lim S) =. + + S) = + Eercice 78 : [éocé] Pour, la série est grossièremet divergete. Pour <, + et doc la série est absolumet covergete. La foctio S est défiie sur ], [. Posos u ) = +. u est de classe C, u coverge simplemet, doc pour a [, [, u ) = + ) u,[ a,a] a a a ce qui assure la covergece ormale de u sur tout segmet de ], [. Par suite la foctio S est de classe C. Pour [, [, S) = S) = + + doc S) = p= Puisque ) p p+) coverge et p permuter les deu sommes et affirmer O a alors S) = + + p= )S) = ) p p+) p= ) p p+) aussi, o peut ) p p+ p+ + p= ) p u p ) avec u p ) = p+ pour [, [. p+ La foctio u p est cotiue sur [, [ et prologe par cotiuité e e posat u p ) = /p + ). Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

39 [ édité le 3 avril 5 Correctios 39 Le critère spécial des séries alterées s applique à la série ) p u p ) et doc k=p+ ) k u k ) u p+ ) et ue étude de variatio permet d affirmer u p+ ) p+. Aisi, la série u coverge uiformémet sur [, ] et doc sa somme est cotiue e. Cela permet d affirmer et fialemet )S) p= l S) ) p p + = l Motros que la foctio S est pas dérivable e. Par comparaiso avec ue itégrale + S) S)) = + ) S) S)) Par le chagemet de variable u = t S) S)) = dt t + t ) dt u + u ) + + car la foctio positive u /u + u ) est pas itégrable sur ], ]. Eercice 79 : [éocé] Posos Sachat o a f : + ) + f ) O e déduit que la série de foctios f coverge ormalemet sur R. Les foctios f état cotiue, la somme S est défiie et cotiue sur R. Les foctios f sot de classe C et Soit a >. Pour a, f ) = + ) f ) + + ) = + ) + a ) O e déduit que la série de foctios f coverge ormalemet sur tout segmet de R. La somme S est doc ue foctio de classe C sur R. Eercice 8 : [éocé] Posos f ) = arcta) π Chaque f est cotiue et f = est terme gééral d ue série covergete. Par covergece ormale, o peut affirmer que f est défiie et cotiue sur R. Chaque f est de classe C et f ) = Pour a >, sur [a, + [ ou ], a], f + ) ) + a) ) ce qui doe la covergece ormale de la série des dérivées. Aisi, par covergece uiforme sur tout segmet, o obtiet f de classe C sur R. Eercice 8 : [éocé] a) E vertu du théorème des accroissemets fiis u ) + ) sup arcta) = [, +] + + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

40 [ édité le 3 avril 5 Correctios 4 doc u ) ) + ) + + ) + ) = O 3/ O e déduit que la série de foctios u coverge simplemet et doc la foctio S est bie défiie. Les foctios u sot cotiue et pour tout a R +, [, a], u ) a + ) O peut doc affirmer la covergece uiforme sur tout segmet de la série u ce qui assure la cotiuité de S. b) Motros que S ted vers + e +. Remarquos que par le théorème des accroissemets fiis u ) = arcta arcta + et il y a doc divergece vers + de la série u ). Soit A R +. Il eiste u rag N N tel que Pour N, S) O peut doc affirmer Eercice 8 : [éocé] a) Posos N u ) A N u ) N u N) S) + + u ) = + N u ) A Les foctios u sot défiies et de classe C sur R. La série de foctios u coverge simplemet sur R car u ) /. O a u ) = + ) doc sur [ a, a], u a 4 et la série de foctios u coverge ormalemet et doc uiformémet sur tout segmet de R. O peut coclure que la foctio f est de classe C. b) La foctio t /t + ) est décroissate doc dt + t + f) dt t + Or doc c) O peut écrire dt t + = π et + = f) + et par covergece des sommes itroduites Or doc f) = Eercice 83 : [éocé] Posos dt t + = π arcta π ) + / = ) = = + = = = 4 + ) ) 6 < + f) = π 6 π4 9 + O 4 ) si ) f : ) Puisque les foctios f sot toutes impaires, o limite l étude à [, + [. A partir d u certai rag N, o a / π/ et alors si /) [, ] Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

41 [ édité le 3 avril 5 Correctios 4 La série umérique f ) vérifie alors les hypothèses du critère spécial des séries alterées à partir du rag N et par coséquet cette série coverge. Aisi la série de foctios f coverge simplemet sur R et doc sa foctio somme, que ous oteros S, est défiie sur R. Les foctios f sot de classe C et de sorte que f ) = ) ) cos f,r = O e déduit que la série de foctios f coverge ormalemet sur R et doc la foctio S est de classe C sur R, a fortiori cette foctio est cotiue. Eercice 84 : [éocé] a) Posos f t) = ) +t pour t >. Par applicatio du critère spécial des séries alterées, f coverge simplemet sur ], + [ et R,[a,+ [ + a pour tout a >. Par coverge uiformémet sur tout segmet d ue série de foctios cotiue, S est défiie et cotiue sur ], + [. b) Par coverge uiformémet sur [a, + [, lim St) = + + lim t + ) + t = Par applicatio du critère spécial des séries alterées + t St) c) Les foctios f sot de classe C et la série de foctios f coverge simplemet. f t) = )+ + t) La série f t) est alterée avec f t) = Puisque f t) f +t) = +t). + )t + t) + + )t) la suite f t) ) décroît vers à partir d u certai rag. Soit a >. A partir d u certai rag, + )a et alors pour tout t a, o peut appliquer le critère spécial des séries alterées à partir du rag. O a alors R t) + t) + a) doc R,[a,+ [ + a) Aisi la série de foctios f coverge uiformémet sur [a, + [. Par théorème, o peut alors coclure que S est de classe C. Eercice 85 : [éocé] O pose pour tout R et N u ) = ) + a) Pour tout R, u ) satisfait le critère spécial des séries alterées et doc u coverge simplemet. La foctio S est doc bie défiie, elle est évidemmet impaire. b) Soit a >. Par le critère spécial des séries alterées et doc R ) + ) + a + R,[ a,a] a pour [ a, a] Il y a covergece uiforme sur [ a, a] pour tout a > et doc covergece uiforme sur tout segmet de R. De plus chaque foctio u est cotiue doc S est cotiue. c) Par le critère spécial des séries alterées, o peut ecadrer S par deu sommes partielles cosécutives et o peut doc affirmer S) S) + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

42 [ édité le 3 avril 5 Correctios 4 Eercice 86 : [éocé] a) Pour ], [, u ) = o ) doc u ) est absolumet covergete doc covergete. Pour =, u ) = ) doc u ) coverge e vertu du critère spécial des séries alterées. Pour ], [ ], + [, u ) = ) ) ) + = ) + o doc u ) est somme d ue série covergete et d ue série absolumet covergete. b) f) + f/) = c) Soit a [, [. = ) f,[ a,a] + + / + / a a a a ) = = ) doc f coverge ormalemet sur [ a, a]. Par covergece uiforme d ue série de foctios cotiues sur tout segmet de ], [, o peut affirmer que f est cotiue sur ], [. Puisque f) = C te f/), f est aussi cotiue sur ], [ et sur ], + [ par compositio de foctios cotiues. d) Pour [, ], la série u ) est alterée et la suite + ) décroît vers après étude o détaillée ici) doc le critère spécial des séries alterées s applique et u k ) puis k=+ R,[,] + La série de foctios cotiues u coverge uiformémet sur [, ] doc f est cotiue sur [, ] et doc cotiue à gauche e. Par la relatio du b) o obtiet aussi f cotiue à droite e. Eercice 87 : [éocé] a) l f + ) l f ) = l + ) ) + l + ) l + + ) = O La série l f + ) l f ) coverge doc la suite l f )) coverge puis f )) coverge vers u réel strictemet positif. b) ) l Γ) = lim + l + l k k= l + k) avec l + l k l + k) = l l l ) + k. k= k= Or la série l + )) est absolumet covergete car de terme gééral e O / ) et doc k= k l + )) k l Γ) = l γ + k= k= = l + γ + o) = k= l + )) l + ) k c) Posos f ) = l + ) pour > et. f est C, f coverge simplemet et f ) = +) ce qui permet d affirmer f coverge ormalemet sur tout segmet[a, b] R +. Eercice 88 : [éocé] a) Si, la série umérique f ) diverge grossièremet. Si > alors l α f ) = e doc f ) est absolumet covergete. Aisi f coverge simplemet sur ], + [. f est défiie sur ], + [. b) Les foctios f sot cotiues. Pour a >, f,[a,+ [ = f a) et f a) coverge doc f coverge ormalemet sur [a, + [. Par covergece uiforme sur tout segmet, o peut affirmer que f est cotiue. c) Par covergece uiforme sur [a, + [, o peut itervertir limite e + et somme ifiie. Aisi lim f) = lim f ) =. + + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

43 [ édité le 3 avril 5 Correctios 43 Eercice 89 : [éocé] a) Pour <, u ) doc u ) diverge grossièremet. + Pour =, u ) = doc u ) coverge Pour >, u ) = o/ ) par croissace comparée et doc u ) coverge absolumet. O coclut I = R + b) Pour [a, b] R +, u,[a,b] = sup u ) α be a [a,b] + doc u est ue série de foctios cotiues covergeat ormalemet sur tout segmet de R +. Sa somme est alors cotiue sur R +. c) Après étude des variatios de la foctio, u,r + = sup R + u ) = u /) 3 α Il y a covergece ormale si, et seulemet si, α <. d) O peut écrire k=+ u k /) = k=+ Or par sommatio géométrique doc k=+ k α e k/ k + k=+ k=+ k k + e k/ e +)/ e k/ = e / e u k /) e peut tedre vers quad +. S il y avait covergece uiforme sur R + alors u k /) sup k=+ R + k=+ u k ) ce qui viet d être eclu. e) Si S est cotiue e alors par sommatio de terme positif ce qui est ecore à eclure. k=+ u k /) S/) S) = k=+ e k/ Eercice 9 : [éocé] Puisque a > et a + ) coverge, les séries a et a sot absolumet covergetes. Posos f ) = a. Comme a a + a, la série des foctios f coverge simplemet sur R. Les foctios f sot cotiues et sur [ M, M], f Ma + a. Par covergece ormale sur tout segmet d ue série de foctios cotiues, o peut affirmer que la somme f est cotiue. Soit [α, β] R tel que / [α, β] pour tout N. Les foctios f sot de classe C sur [α, β] et f ) = εa avec ε =. Par covergece ormale de la série des dérivées sur [α, β], o peut affirmer que f est de classe C sur tout itervalle ouvert ]a, b[ vérifiat N, / ]a, b[. Soit a R tel qu il eiste N vérifiat = a. E cosidérat A = { N/ = a}, o peut écrire par absolue covergece f) = a a + a = α a + g) A avec α >. N\A Puisque la série a coverge, pour N assez grad, O peut alors écrire f) = α a + La foctio N\A, N Cepedat, la foctio N\A, N+ a + k=n+ N\A, N a α. a a est dérivable au voisiage de a. ϕ : α a + est quad à elle pas dérivable e a. E effet, pour h >, alors que pour h <, N\A, N+ a h ϕa + h) ϕa)) α α α h ϕa + h) ϕa)) α + α = α Aisi, les évetuels ombres dérivés à droite et à gauche e peuvet pas coïcider. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

44 [ édité le 3 avril 5 Correctios 44 Eercice 9 : [éocé] a) E vertu du théorème des accroissemets fiis u ) sup arcta) = [,+] + O e déduit que la série de foctios u coverge simplemet et doc la foctio S est bie défiie. Les foctios u sot cotiue et pour tout a R +, [, a], u ) a + O peut doc affirmer la covergece uiforme sur tout segmet de la série u ce qui assure la cotiuité de S. b) Motros que S ted vers + e +. Sachat >, arcta) + arcta/) = π o peut réécrire S) = arcta + = arcta ) arcta + ) Les termes sommés état tous positifs N S) arcta + arcta ) arcta + ) = = Or, quad + N arcta + arcta ) arcta π N + ) + + arcta Puisque la série arcta est ue série à termes positifs divergete, pour A R quelcoque, il eiste N N tel que et alors, pour assez grad puis arcta + N = N arcta A = = arcta ) arcta A + ) S) A Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd