Intégrales généralisées

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Intégrales généralisées"

Transcription

1 3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle de Riem sur u segme so supposées cquises. Ces iégrles de Riem sur u segme so ussi ppelées iégrles défiies. 3. Défiiios e eemples d iégrles géérlisées Ds u premier emps, o se doe u iervlle réel I = [, b[ vec < < b + e ue focio f : [, b[ R ou C coiue pr morceu. O rppelle ou d bord l défiiio d ue focio coiue pr morceu sur l iervlle I. Défiiio 3. O di qu ue focio f défiie sur l iervlle I es coiue pr morceu sur ce iervlle s il eise ue subdivisio = < < < p < p+ = b elle que l focio f soi coiue chcu des iervlle ] k, k+ [ k p e dmee ue limie à droie e e des limies à droie e à guche e chcu des pois k k p. Avec les oios de cee défiiio, l resricio de l focio f à l iervlle ] p, b[ se prologe e ue focio coiue sur [ p, b[ e pour ou eier k compris ere e p, l resricio de l focio f à l iervlle ] k, k+ [ se prologe e ue focio coiue sur [ k, k+ ]. Ue focio coiue pr morceu sur I es doc e priculier locleme iégrble sur ce iervlle, ce qui sigifie qu elle es iégrble sur ou segme [α, β] I. Si f es coiue pr morceu sur I, o peu défiir s primiive F ulle e, c es-à-dire l focio défiie sur [, b[ pr : Préciséme, pour [, [, o : [, b[, F = F = f d f d. 45

2 46 Iégrles géérlisées e pour [ k, k+ [ vec k compris ere e p, o : k F = j= j+ j f d + k f d. Défiiio 3. Avec les oios qui précède o di que l iégrle de f sur [, b[ es covergee, si l focio F dme ue limie fiie qud ed vers b ds I. Ds ce cs o oe f d cee limie. Le sclire isi défii es ppelé l iégrle géérlisée ou impropre de f sur [, b[. Ds le cs où F ps de limie fiie e b o di que l iégrle de f sur [, b[ es divergee. O doc, e cs de covergece : f d = lim b f d. Remrque 3. Si f : [, b[ R ou C es ue focio coiue pr morceu e si c [, b[ lors l iégrle de f es covergee sur [, b[ si, e seuleme si, l iégrle de f es covergee sur [c, b[ le problème de l covergece se pose e b e ds ce cs, o : f d = c f d + c f d. Cel résule immédieme de l relio de Chsles pour les iégrles défiies : ], b[, f d = c f d + c f d. O défii de mière logue l iégrle d ue focio f à vleurs réelles ou complees défiie sur u iervlle ], b] vec < b < + e coiue pr morceu sur ce iervlle pr : f d = lim f d qud cee derière limie eise. Ds le cs d ue focio f défiie sur u iervlle ], b[ vec < b + e oujours coiue pr morceu, o di que l iégrle de f es covergee sur ], b[ si pour ou c ds ], b[ chcue des iégrles c f d e c f d es covergee. Ds ce cs l somme de ces iégrles impropres e déped ps de c, ce qui perme de défiir l iégrle géérlisée de f sur ], b[ pr : f d = c = lim f d + c f d y f d + lim f d. y b Le lemme qui sui jusifie l ffirmio précédee e ous di ussi qu il suffi de vérifier l covergece des iégrles c f d e c f d pour ue vleur de c.

3 Défiiios e eemples d iégrles géérlisées 47 Lemme 3. Si, vec les oios qui précède, il eise u réel c ], b[ el que les iégrles c f d e c pour ou réel d ], b[, o : f d soie covergees, lors l iégrle de f sur ], b[ es covergee e d f d + d f d = c f d + c f d. Démosrio. Il suffi d uiliser l relio de Chsles pour les iégrles défiies. Pr bus de lgge, l epressio «éudier l ure de f d», ss svoir si cee iégrle coverge ou o es u rccourci pour «éudier l covergece de l iégrle de f sur ], b[». Remrque 3. Il fu bie oer que l divergece de l ue des deu iégrles c f d équivu à l divergece de f d. Remrque 3.3 Ds le cs où = e b = + l eisece de c lim + lim + f d e f d e prouve ps l covergece de l iégrle de f sur ], + [. Pr eemple pour f = o f d = pour ou > e pour l iégrle diverge. E effe f d = +. Pour prouver l covergece de l iégrle de f sur ], + [ o doi prouver idépedmme l covergece de lim + f d e lim + f d. Eercice 3. Morer que l iégrle de f : e e d =. Soluio 3. Pour ou > o : F = e d = e es covergee sur [, + [ e que. + Eercice 3. Morer que l iégrle de f : es covergee sur [, + [ e + d + = π. Soluio 3. Pour ou > o : F = d = rc + + π. Eercice 3.3 Morer que l iégrle de f : es covergee sur ], ] e Soluio 3.3 Pour ou ], ] o : d =. F = d =.

4 48 Iégrles géérlisées Eercice 3.4 Morer que l iégrle de f : es divergee sur ], ]. Soluio 3.4 Pour ou ], ] o : F = d = +. + Eercice 3.5 Morer que l iégrle de f : si es divergee sur [, + [. Soluio 3.5 Pour ou > o : F = e l focio cos ps de limie à l ifii. si d = cos Eercice 3.6 Morer que l iégrle de f : l es covergee sur ], ] e. l d = Soluio 3.6 O : l d = l +. Eercice 3.7 Morer que l iégrle de f : sur ], + [ e f d =. e + l Soluio 3.7 Ue primiive de f = e e e l + e es : F = l e e e l = l + l e e o : ce qui doe f d =. lim F = e lim F = + Eercice 3.8 Morer que l iégrle de f : d = π. Soluio 3.8 Pour ou [, [ o : F = e pr prié, pour y ], ] : G y = ce qui doe le résul océ. y y d = d = rcsi e es covergee es covergee sur ], [ e π du = rcsi y u y π

5 Défiiios e eemples d iégrles géérlisées 49 L rgume de prié uilisé vec l eercice précéde es géérl. Préciséme, o le résul suiv. Théorème 3. Soi f ue focio à vleurs réelles ou complees défiie e coiue pr morceu sur u iervlle ], [ vec < +. Si f es pire [resp. impire], lors f d es covergee si, e seuleme si, pour f pire : e pour f es impire : f d = f d =. f d l es. E cs de covergece, o f d. Démosrio. Supposos ou d bord f pire. L codiio écessire es ue coséquece immédie des défiiios. Si f d coverge, lors l focio F défiie sur ], [ pr F = f d ue limie fiie e. Noos l cee limie. Pour y ], [, le chgeme de vrible u = doe : e le résul océ. G y = y f d = y f u d = F y l y Pour f impire, o G y = F y l e f d =. y Ds le cs où l focio f, défiie sur [, b[ vec b fii, dme ue limie fiie l e b, le problème de covergece de l iégrle es u fu problème. E effe, e pos f b = l l focio f se prologe pr coiuié e b e désig pr F l primiive ulle e de l focio coiue pr morceu f sur [, b], l focio F es coiue e b e o : lim b f d = lim b F F = F b F = l derière iégrle é ue iégrle de Riem. f d Eercice 3.9 Soi λ u ombre complee. Éudier l ure de l iégrle précis s vleur e cs de covergece. e λ d e Soluio 3.9 Soi F l primiive de f défiie sur ], + [ pr : si λ = F = e λ d = e λ si λ λ Pour λ =, o lim F = + e l iégrle diverge. + Pour R λ >, o : F = e λ λ e λ e Rλ = λ e λ λ e λ e Rλ + +

6 5 Iégrles géérlisées e l iégrle diverge. Pour R λ <, o : e λ λ = erλ λ + e l iégrle coverge vers λ. Il rese à cosidérer le cs où R λ =, soi le cs où λ = iy vec y R λ = es déjà éudié. Ds ce cs l iégrle diverge puisque l focio ϕ : e iy ps de limie à π l ifii l suie ϕ = e iπ y = es divergee. Eercice 3. Soi f C R; R elle que. Eisece e clcul de. Clcul de Soluio 3.. E o F = fiis, o : f + f d. rc + rc d. lim f = l e lim + f = l. f d pour > e e uilis le héorème des ccroissemes f + f d = [F + F ] = F + F F = f c F où c ], + [. E fis edre vers +, o e dédui que : De mière logue, o vérifie que : f + f d = l F. f + f d = F l e : f + f d = l l.. Avec f = rc ± π, o dédui que : ± rc + rc d = π.

7 Les iégrles de Riem 5 3. Les iégrles de Riem Ue fmille impore d iégrles géérlisées es doée pr celle des iégrles de Riem. Théorème 3. Soie α u réel e f l focio défiie sur ], + [ pr : f : α.. L iégrle de f sur [, + [ es covergee si, e seuleme si, α > vec : α >, d = α α.. L iégrle de f sur ], ] es covergee si, e seuleme si, α < vec : Démosrio.. Pour > o : e e coséquece : d α = α <,. De même pour < < o : d = α e : α d = α α. α si α, l si α =. { d lim + = si α >, α α + si α. α α si α, l si α =. { d lim + = si α <, α α + si α. Remrque 3.4 O pourr oer l logie ere les iégrles de Riem sur [, + [ e les séries de Riem. Remrque 3.5 L iégrle d es divergee quel que soi le réel α. α O peu morer de mière logue ou e effecu le chgeme de vrible u = b [resp. u = ] que pour < b e α ds R l iégrle de f : b α [resp. f : α ] sur [, b[ es covergee si, e seuleme si, α < vec : α <, d b d b α = α = α b α.

8 5 Iégrles géérlisées Pr eemple, pour =, b = e α =, o : d =. 3.3 Opérios sur les iégrles géérlisées O se plce sur I = [, b[ e se doe deu focios f e g coiues pr morceu sur ce iervlle. Théorème 3.3 Si les iégrles de f e g sur I so covergees, il e es lors de même de l iégrle des focio f e f + λg pour ou ombre complee λ e o : f d = f d Si f d coverge e f + λg d = g d diverge, lors f d + λ g d. f + g d diverge. Démosrio. Résule immédieme des résuls relifs u opérios sur les limies. Pour ce qui es de l somme de deu iégrles divergees, o e peu rie dire priori comme le more l eemple des focios f =, f = e f =, f = sur ], ]. Pour ce qui es du produi des deu focios f e g d iégrles covergees, o e peu rie dire priori comme le more l eemple des focios f =, g = e f =, g = sur ], ]. Corollire 3. Si f es à vleurs complees, lors si, les iégrles o : R f d e f d = f d es covergee si, e seuleme I f d so covergees e e cs de covergece, R f d + i I f d. Démosrio. Résule de f = R f + ii f e de R f = f + f Eercice 3. Soie, b deu ombres réels. Éudier l ure de l iégrle e précis s vleur e cs de covergece., I f = f f. i e cos b d

9 Opérios sur les iégrles géérlisées 53 Soluio 3. Pour b =, l eercice 3.9 ous di que cee iégrle coverge si, e seuleme si <. Pour b, le chgeme de vrible = u π ous di que cee iégrle coverge si, e b seuleme l iégrle e π b e cos bu π du coverge, ce qui es ecore équivle à dire que l iégrle E o λ = + ib, o : π b e si b d coverge. e cos b = R e λ, e si b = I e λ e uilis le résul de l eercice 3.9, o dédui que l iégrle si, e seuleme si <. Pour < e b R, o lors : e cos b d = R e λ d = R = λ + b. e cos b d coverge L uilisio du héorème d iégrio pr pries ou du héorème de chgeme de vrible pour les iégrles défiies es prfois uile pour jusifier l covergece d ue iégrle. Théorème 3.4 Iégrio pr pries Si f, g so de clsse C sur I e si lim f g b eise, lors les iégrles de covergece, o : f g d e f g d = lim b f g f g f g d so de même ure e e cs f g d. Démosrio. Le héorème usuel d iégrio pr pries ous perme d écrire pour ou I : f g d = f g f g f g d e vec l hypohèse lim b f g = l, o dédui le résul océ. Ds l prique il es préférble de repredre l démosrio de ce héorème sur l iégrle éudiée e effecu ue iégrio pries sur [, ] puis e pss à l limie. Eercice 3. Morer que N. e d es covergee e clculer s vleur I pour ou Soluio 3. O I = e d =. e ue iégrio pr pries ous more que I + = + I, ce qui doe I =!. Eercice 3.3 Morer que l iégrle l d coverge e clculer s vleur. +

10 54 Iégrles géérlisées Soluio 3.3 Ue iégrio pr pries ous doe pour ], ] : [ ] l F = + d = l d [ ] l = l + + l = l l l. Eercice 3.4 Morer que l iégrle rc d coverge e clculer s vleur. rc Soluio 3.4 Avec lim =, o prologe pr coiuié e l focio à iégrer e le seul problème de covergece es à l ifii. Ue iégrio pr pries ous doe pour > : [ rc F = d = rc ] d = rc + d + 4 l focio g : rc se prologe ussi pr coiuié e vec g = e l décomposiio e élémes simples de + = 4 + doe I = π les déils so lissés u leceur. Théorème 3.5 Chgeme de vrible Soie ϕ u C -difféomorphisme croiss de J = [α, β[ sur I = [, b[ e f ue pplicio coiue sur l iervlle I à vleurs réelles ou complees. Les iégrles covergece, o : β α f ϕ ϕ d e f d = β α f d so de même ure e e cs de f ϕ ϕ d. Démosrio. O désige respeciveme pr F e G, l primiive de f sur I ulle e e l primiive de f ϕ ϕ sur J ulle e α. Avec F ϕ = f ϕ ϕ = G e F ϕ α = F = = G α, o dédui que G = F ϕ. Dire que f d coverge équivu à dire que F ue limie fiie e b e vec lim ϕ = β b, o dédui que : ce qui sigifie que β α Réciproqueme si G = F ϕ = F ϕ f ϕ ϕ d coverge vers β α β f d. f d f ϕ ϕ d coverge, lors G ue limie fiie e β e vec lim b ϕ = β ϕ es u homéomorphisme, o dédui que : F = G ϕ = G ϕ b β α f ϕ ϕ d

11 Opérios sur les iégrles géérlisées 55 ce qui sigifie que f d coverge vers β α f ϕ ϕ d. Ds l prique, o effecue le chgeme de vrible sur l iégrle défiie o psse à l limie esuie. f d e Eercice 3.5 Morer que l iégrle d coverge e clculer s vleur. + Soluio 3.5 Le chgeme de vrible = u du doe I = e ue décomposi- + u3 io e élémes simples doe I = 4 9 3π. Eercice 3.6 Prouver l covergece e clculer l si d. Soluio 3.6 Pour >, o : si f = l si = l + l si si vec lim l = l =, doc l se prologe pr coiuié e + e comme l d es covergee eercice 3.6, o e dédui que covergee. Noos I l vleur de cee iégrle. Le chgeme de vrible u = π ous doe pour < < π : l si d es ce qui sigifie que O peu lors écrire que : = l si d = l cos d = I. I = si l d = Le chgeme de vrible u = ous di que l cos d l si d + l si d = I + l cos d l si d π l. l si d es covergee e : l si d De même, le chgeme de vrible u = π ous doe : π l si d = l cos d = I.

12 56 Iégrles géérlisées O doc e défiiive : I = e I = π l. l si d π l = I π l Eercice 3.7 Soi f : [, + [ R coiue elle que l iégrle Pour < < b e < < y o pose : f d coverge.. Morer que : O oe G =. Morer que lim H y =. y + 3. Morer que F, y = F, y = y f d e H y = G = 4. Morer que lim G = f l 5. Morer que : Soluio 3.7 b f f b d y f d y f d. y y f d f f d + f l. b f f b b d = f l. Les chgeme de vribles u = e v = b vec > e b > doe : F, y = = y. Avec l covergece de I = H y = f y d f u u du + y = y b f b y d = f u u du f d f d, o : f y d y b y y f d f u by u du f v v dv b y y f v v dv f v v dv f d = G H y I I =. y +

13 Opérios sur les iégrles géérlisées O pour >, b > e > : G = f d = f f = = f f + f d d + f [l ] b f f d + f l 4. Comme f es coiue e, pour ou réel ε >, o peu rouver u réel η > el que : < < η f f < ε e pour < < η, o [, b] ], η[ de sore que : b b f f ce qui prouve que lim 5. Pre = e y >, o : F, y = d f f y b f f b d d ε d = e lim G = f l b = ε l b. f f b d = G H y G y + f f b ce qui prouve que l iégrle d coverge vers G. Puis pre y = e < <, o : f f b b F, y = d = G H f l H ce qui prouve que l iégrle Il e résule que vec : O doc bie : Pr eemple pour f = o e pre = e b = : ou ecore : f f b d coverge vers f l f f b d coverge vers : f l b + G H G H = F, =. f f b b d = f l. si qui es bie coiue e vec si si d = l si cos d = l, b H. si d covergee,

14 58 Iégrles géérlisées Eercice 3.8 Soi f : ], + [ R coiue elle que lim f = α e s ispir de l eercice précéde, morer que pour < < b o : f f b b d = α β l. Soluio 3.8 Pour < < y o pose : e o : F, y = F, y = Avec lim f = α, o dédui que : e vec lim f = β, o dédui que : + y f by d y f f b d b lim G = α l lim H y = β l y + f d = G H y b lim f = β. E + Fisos le pour l deuième limie : pour ou réel ε >, o peu rouver u réel M > el que : > M f β < ε e pour y > M, o [y, by] ]M, + [ de sore que : y y f β y d y f β by d d ε y = ε l b, ce qui prouve que lim y + y y f β d = e vec : y f β b H y = d + β l y b o e dédui que lim H y = β l. y + O coclu lors comme pour l eercice précéde. Pre f = rc, =, b =, o obie : rc rc d = π l. Eercice 3.9 O cosidère pour r, s R, l iégrle : s I r, s = l r d, où ], [.

15 Opérios sur les iégrles géérlisées 59 s. Clculer l limie lim r l suiv les vleurs de r e s. + s. Morer que l iégrle l r d si, e seuleme si, r > e s >. O oer I r, s cee iégrle géérlisée pour r > e s >. 3. Si r > e s >, morer que : I r, s = e r+ s d = 4. Morer que pour s >, I, s = si, s. 5. E déduire l vleur de I r, pour ou r > e N. Soluio 3.9. Le chgeme de vrible = ous doe : s l s lim r l = lim = + r s+ I, s. r + si r > e s R si r = e s < si r = s = + si r = e s > + si r < e s R. L iégrle s e l r e d d = r l s es ue iégrle de Berrd e o si qu elle coverge si, e seuleme si r < e s R ou r = e s >. Le chgeme de vrible = l ous more que l iégrle de même ure que l iégrle e d r l s es d, cee derière é de même ure que e r+ s d l iégrle de Riem, doc covergee uiqueme pour s <. s s E coclusio, l iégrle l r d coverge si, e seuleme si, r > e s >. 3. E effecu le chgeme de vrible = l, o, pour r > e s > : s + I r, s = l r d = e r+ s d e le chgeme de vrible u = r +, ous doe : I r, s = e u u s du r + s 4. Pour s >, ue iégrio pr pries doe : I, s = [ s e ] + + s r + = s+ I, s. r + s e d = si, s

16 6 Iégrles géérlisées 5. Avec I, = I, pour ou eier, o dédui pr récurrece que I, =!I, =!. Il e résule que : I r, = pour ou eier urel e ou réel r >. r + + I, =! r Ue codiio écessire de covergece de f d O si qu ue codiio écessire de covergece d ue série umérique es que so erme géérl ede vers. Ds le cs des focios coiues, l covergece de f d implique ps écessireme que f soi ulle à l ifii comme le more l eemple de l eercice qui sui. Eercice 3. Soi f l focio f ffie pr morceu e coiue sur [, + [ elle que :, f + = e : Morer que, f = f + = f + + = f + =. f d es covergee e que f es ps ulle à l ifii Fig. 3. y = f

17 Ue codiio écessire de covergece de f d 6 Soluio 3. Pour ou réel, o, e o [] l prie eière de : F = f d []+ f d = [] k= =. k [] L focio F es doc croisse mjoré sur R + e e coséquece dme ue limie fiie e +, ce qui sigifie que l iégrle f d es covergee. Comme lim f + = +, l focio f ps de limie fiie e +. + Avec l eercice 3.3, o doe u ure eemple de elle siuio. Ds le cs où l focio f es uiforméme coiue sur R +, l codiio lim f = + es ue codiio écessire de covergece de l iégrle. Théorème 3.6 Soi f ue focio uiforméme coiue sur I = [, + [. Si l iégrle f d coverge, o lors lim f =. + Démosrio. Il suffi de cosidérer le cs d ue focio f à vleurs réelles. Dire que f e ed ps vers à l ifii sigifie qu o peu rouver u réel ε > el que :, f ε. Si o suppose de plus que f es uiforméme coiue sur I, il eise u réel η > el que :, y I e y η f f y ε. E priculier, o pour ou : [, + η] ε f f ε. Pour f > comme f ε, f es o ul, o : [, + η] f f ε ε > e pour f <, o : [, + η] f f + ε ε < soi f ε pour ou [, + η] vec f de sige cos sur [, + η] ds ous les cs e : +η +η f d = f d ηε de sore que F : diverge. f d e peu voir de limie fiie à l ifii e l iégrle f d

18 6 Iégrles géérlisées 3.5 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees O se plce sur I = [, b[ vec < < b + e se doe ue focio f coiue pr morceu sur ce iervlle. O désige oujours pr F : ulle e. Théorème 3.7 Si f es à vleurs posiives e si Ds le cs où f es coiue sur I, l églié es ideiqueme ulle. f d coverge, lors f d l primiive de f f d. f d = es rélisée si, e seuleme si, f Démosrio. Se dédui de l défiiio, des propriéés des limies e du résul logue sur les iégrles de Riem des focios coiues. O rppelle que si F es ue focio croisse de I = [, b[ ds R, elle dme lors ue limie fiie e b si, e seuleme si, elle es mjorée. Ds le cs où elle es mjorée, o : lim F = sup F b [,b[ e ds le cs corire, o lim b F = +. Comme coséquece de ce résul, o le suiv. Théorème 3.8 Si f es à vleurs posiives, lors l iégrle de f sur [, b[ es covergee si, e seuleme si, l focio F es mjorée. Démosrio. Comme f es posiive, l primiive F es ue focio croisse e elle ue limie fiie e b si, e seuleme si, elle es mjorée. Si F es ps mjorée, o lors F = +. lim + Pour f à vleurs posiives : e cs de divergece o cs de covergece, o oer urelleme f d < +. f d = lim F = + e e + Le cs d ue focio f à vleurs posiives se rmèe à celui d ue focio posiive e éudi g = f. O dédui du résul précéde u héorème de compriso logue à celui obeu pour les séries umériques. Théorème 3.9 Soie f, g deu focios défiies, coiues pr morceu sur [, b[, à vleurs réelles posiives e elles que : [, b[, f g.. L covergece de l iégrle de g sur [, b[ erîe l covergece de l iégrle de f sur [, b[ vec : f d g d.

19 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 63. L divergece de l iégrle de f sur [, b[ erîe l divergece de l iégrle de g sur [, b[. Démosrio. E o F = f d e G = g d pour ou ds [, b[, o F G pour ou ds [, b[. Si l iégrle de g sur [, b[ es covergee l focio G es lors borée e il e es de même de l focio F de sore que l iégrle de f sur [, b[ es covergee. Si l iégrle de f sur [, b[ diverge lors lim F = + e lim G = + de sore que b b l iégrle de g sur [, b[ es ussi divergee. Eercice 3. Éudier l ure de l iégrle d. Soluio 3. Pour ], ], o : = k k = k= k= doc < e l iégrle diverge comme d. Eercice 3. Morer que l iégrle de f : e es covergee sur ], + [. Soluio 3. L focio é pire, il suffi d éudier l covergece e +. Pour ou o e : F = e d = e d + e d e d + e d e d +. L focio f é posiive, il e résule que F es croisse e mjorée, elle dme doc ue limie e +. O morer plus loi que : e d = π. Défiiio 3.3 O di que l iégrle de f sur [, b[ à vleurs réelles ou complees es bsolume covergee si f d < +. Comme pour les séries umérique, o dispose du résul suiv. Théorème 3. Soi f ue focio coiue pr morceu sur [, b[ vec < < b +. Si l iégrle de f sur [, b[ es bsolume covergee elle es lors covergee e o : f d f d.

20 64 Iégrles géérlisées Démosrio. O cosidère ou d bord le cs d ue focio f à vleurs réelles d iégrle bsolume covergee. De f f f, o dédui que g = f + f f, ce qui implique l covergece de g d e celle de f d puisque f = g f. Ds le cs d ue focio f à vleurs complees d iégrle géérlisée bsolume covergee, o écri que f = u + iv, où u = R f, v = I f e vec u f, v f, o dédui que les iégrles de u e v so bsolume covergees, doc covergees e l covergece de f d sui. Ce résul peu ussi se morer e uilis le crière de Cuchy pour les limies de focios à vleurs réelles ou complees. Tou d bord voyos comme le crière de Cuchy pour les focios ous fouri u crière de covergece des iégrles géérlisées. Théorème 3. Soie < < b + e f ue focio coiue pr morceu sur [, b[. L iégrle de f es covergee sur [, b[ si e seuleme si pour ou réel ε > il eise u réel c ], b[ el que : y c < < y < b f d < ε. Démosrio. Il s gi simpleme du crière de Cuchy pour l focio F qui ous ssure de l eisece de l limie e b. Le héorème 3. peu lors se morer comme sui. Pour ous < y ds [, b[ o : y y f d f d. De l covergece de f d o dédui que pour ou ε > o peu rouver u réel c ε y y ds [, b[ el que pour c ε < < y < b o i f d < ε ce qui erîe f d < ε. Le crière de Cuchy perme lors de coclure. Eercice 3.3 Morer que les iégrles coverge e clculer leur vleur. l + d e d ch l Soluio 3.3 Au voisige de l ifii, o f, doc l première iégrle 3 coverge coverge. Ue iégrio pr pries ous doe pour > : [ ] l F = + d = l d [ ] l = + + [ = l + + l + d ]

21 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 65 e : lim F = l = + l. Au voisige de l ifii, o f, doc l deuième iégrle coverge. Le chgeme e de vrible u = e ous doe : I = du + u = π. Eercice 3.4 Morer que pour ou réel α > les iégrles so bsolume covergees. cos d e α si d α Soluio 3.4 Résule immédieme de l covergece des iégrles de Riem à l ifii pour α > e de :, cos α e si α α. α Eercice 3.5 Morer que pour ou réel α > les iégrles so covergees. Soluio 3.5 O rie le cs de si d. Ue iégrio pr pries doe, pour ou réel > : α si cos d = cos + α α α O coclu lors vec l bsolue covergece de o α + >. cos α α cos d. α+ cos d e vec : α+ + cos d e α si d α Eercice 3.6 Nure de si cos + d. Soluio 3.6 L focio f es coiue sur [, + [. U développeme limié ous doe pour : = f = si + cos si cos + cos + ε

22 66 Iégrles géérlisées vec lim ε =. Soi : + vec si cos covergee. si f = si + si cos + ε + ε pour ssez grd. Il e résule que f d es Eercice 3.7 Soi f ue focio coiue sur [, + [ elle que l focio F : f f d soi borée. Éudier l covergece de d. Soluio 3.7 O désige pr M es u mjor de F. Ue iégrio pr pries doe pour ou réel > : [ ] f F F d = + d vec : F M + e F M, ce qui erîe l covergece bsolue de F d e : f d = F d F. Défiiio 3.4 O di que l iégrle de f sur [, b[ es semi-covergee si elle es covergee e o bsolume covergee. Nous verros plus loi eercice 3.35 que pour < α l iégrle semi-covergee. si d es α Eercice 3.8 Morer que les iégrles géérlisées covergees e que : si d = si d. si d e si d so si Soluio 3.8 Comme lim =, il y ps de problème de covergece e e l eercice précéde ous di que d es covergee. si Avec si si, o dédui que d es covergee. Pour ous réel > ε >, ue iégrio pr pries fie e pos : { u =, u = v = si, v = cos

23 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 67 doe : ε ε si d = [ cos e e uilis l relio cos = si [ si si d = Le chgeme de vrible y = ous doe : [ si si d = ε si ε Efi vec lim si ε ε ε = e lim + si d = ] cos + d ε ε, o obie : ] ε ] si ε L eercice qui sui décri ue méhode de clcul de Eercice ε ε si d. si y dy y, o dédui que : si d. si d.. Morer que si f es ue focio de clsse C de [, b] ds R, lors lim +.. Morer que l pplicio f défiie sur [ focio de clsse C sur, π ]. 3. Clculer, pour ou N, J = 4. O pose K = 5. Déduire de ce qui précède que Soluio 3.9 ], π ] pr f = si si + d. si si + d. Morer que si d = π. lim K = +. Ue iégrio pr pries ous doe pour ou : [ ] b cos I = f si d = f + f f si d = se prologe e ue si d. cos d e e pos M = sup f, M = sup f ces focios so coiues sur le [,b] [,b] segme [, b], o e dédui que : I M + b M. +

24 68 Iégrles géérlisées. U développeme limié u voisige de ous doe : f = si si = = 3 3! + o 4 3 3! + o 4 3! + o 3! + o ce qui perme de prologer f pr coiuié e e pos f =. O lors : f f 3! + o 3! + o 3! ce qui prouve que f es dérivble e de dérivée f = ] 6. Pr illeurs f es de clsse C sur, π ] vec : f cos = si = cos si si + o 3 3 3! + o 4 = 3 3! + o 4 + o 3 3! + o 3 = 3 3! + o 4 + o o 3 = 3 + o 3 = 6 + o 3 = 3 + o o + o 6 ce qui prouve que f es coiue e. [ E défiiive, f se prologe e ue focio de clsse C sur, π ]. 3. Avec : e : si + = si cos + cos si si + + si = si cos

25 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 69 o dédui que pour, o : e : J = si si cos d + = si si cos d cos d si J + J = cos d = J si soi J = J e pr récurrece J = J = π pour ou. si 4. O si déjà que d e uilis ue iégrio pr pries. Le chgeme de vrible = + ous doe : 5. E remrqu que : vec = K = + π K = si d si + d + si + f + = si d si d si + f d + J lim si + f d quesios. e. e J = π, o dédui que : + si d = lim K = π +. L eercice qui sui ous doe u eemple de focio elle que f d covergee voir le prgrphe 3.4. Eercice 3.3 O cosidère l focio f défiie sur [, + [ pr : où 3 es u eier. Morer que [, + [, f = e i f d es covergee vec lim f = +. + Soluio 3.3 Avec f =, o dédui que lim f = +. + O peu écrire que f = u v vec u = i ei e v =. Comme : u v = + lim f = + vec +

26 7 Iégrles géérlisées o 3, o dédui du héorème d iégrio pr pries que les iégrles e i d e Comme e i = u v d = i o e dédui lors que l iégrle e i u v d = d so de même ure. e i vec, l iégrle d es bsolume covergee e e i d es covergee. Du héorème 3.9, o dédui u premier résul sur l compriso d ue iégrle géérlisée à ue iégrle de Riem. Théorème 3. Soi f ue focio défiie e coiue pr morceu sur [, + [. S il eise u réel α > e u réel posiif λ els que pour ssez grd, o i f λ, lors l iégrle α géérlisée f d es covergee. Démosrio. Du héorème 3.9, o dédui qu il eise u réel c > el que es bsolume covergee, elle es doc covergee e ussi f d. c f d De même si f défiie sur ], b] vec b > es elle que f λ pour > voisi de α vec < α <, lors l iégrle géérlisée Priqueme, o peu uiliser les résuls suiv. f d es covergee. Théorème 3.3 Soi f ue focio défiie e coiue pr morceu sur [, + [. S il eise u réel α > els que lim + α f =, lors l iégrle géérlisée covergee. Démosrio. Si e l coclusio sui. Eemple 3. De géérlisée f d es bsolume lim + α f =, il eise u réel c > el que f pour c α lim + P e P e d es bsolume covergee. = pour ou polyôme P, o dédui que l iégrle Théorème 3.4 Soi f ue focio à vleurs réels défiie e coiue pr morceu sur [, + [. S il eise u réel α els que lim + α f = l >, lors l iégrle géérlisée f d es divergee. Démosrio. Si lim + α f = l >, il eise u réel c > el que f l pour α c e l coclusio sui.

27 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 7 De même si f défiie sur ], b] vec b > es elle que lim α f = vec α < [resp. lim α f = l > vec α ] lors l iégrle géérlisée f d es bsolume covergee [resp. divergee]. O rppelle qu o di que f es égligeble dev g [resp. domiée pr g] u voisige de b s il eise ue focio ε défiie sur u iervlle [α, b[ [, b[ elle que : lim ε = b [resp. ue focio ε défiie e borée u voisige de b] e : [α, b[, f = ε g, O oe lors f = o g [resp. f = O g]. b b Ds le cs où l focio g e s ule ps u voisige de b, u crière prique pour f morer que f = o g es doé pr lim b b g =. Le résul qui sui es logue à celui obeu pour les séries à ermes posiifs. Théorème 3.5 Soie f, g deu focios défiies, coiue pr morceu sur [, b[, à vleurs réelles posiives e elles que f = O g [resp. f = o g]. b b. Si l iégrle de g sur [, b[ es covergee, il e es lors de même de celle de f e : [resp. f d = O b g d f d = o g d b. Si l iégrle de f sur [, b[ es divergee, il e es lors de même de celle de g e : f d = O g d b [resp. f d = o g d ] b Démosrio. Si f = O g, o peu lors rouver u réel α [, b[ e u réel M > b els que : [α, b[, f M g.. Si l iégrle de g sur [, b[ es covergee, il e es lors de même de e de [α, b[ : ce qui sigifie que f d pour ou [α, b[, doc f d M ] M g d f d coverge. De plus, o pour ou f d = O g d. b g d

28 7 Iégrles géérlisées. Si l iégrle de f sur [, b[ es divergee, il e es lors de même de M g d pour ou [α, b[, doc [α, b[ : e comme lim b f d = α α f d + g d = +, o ur α α f d f d e de g d diverge. De plus, o pour ou α f d f d M + ce qui sigifie que f d = o g d. b Le cs où f = o g se rie de fço logue. b α f d + M α g d α g d g d pour voisi de b e : O rppelle qu o di que les focios f e g, défiies sur [, b[, so équivlees qud ed vers b s il eise ue focio ε défiie sur u iervlle [α, b[ [, b[ elle que : [α, b[, f = + ε g, lim ε =. b O oe lors f g. b O peu remrque que f g es équivle à dire que f g = o g. b b Ds le cs où l focio g e s ule ps u voisige de b, u crière prique d équivlece es doé pr lim f b g =. L uilisio de développemes limiés perme prfois d obeir des équivles. Théorème 3.6 Soie f, g deu focios défiies, coiue pr morceu sur [, b[, à vleurs réelles posiives e elles que f g. Les iégrles de f e g sur [, b[ so de même b ure, c es-à-dire que l iégrle de f sur [, b[ es covergee si, e seuleme si, l iégrle de g sur [, b[ es covergee. E cs de covergece, o : e e cs de divergece : f d f d b b g d g d Démosrio. Comme f g il eise ue focio ε défiie sur u iervlle [α, b[ b [, b[ elle que lim ε = e f = + ε g pour ou ds [α, b[. O peu lors b rouver u réel β ds [α, b[ el que : [β, b[, < ε <.

29 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 73 Il e résule lors, puisque f e g so à vleurs posiives, que : [β, b[, g < f < 3 g. O coclu, pour ce qui es de l ure des iégrles, vec le héorème 3.9. O peu ussi dire que si f g, o lors f = O g e g = O f, ce qui perme de b b b rerouver le fi que les iégrles so de même ure. De plus vec f g = o g, o dédui b que f g = o g e e cs de covergece des iégrles : b f g d = o g d b soi u voisige de b : vec lim ε =. Puis vec : b f g d = ε g d f g d f g d g d, ce qui équivu à o dédui que f g d = o b Le cs où les deu iégrles diverge se rie de mière logue. f d b g d. Remrque 3.6 Si f b g vec g de sige cos u voisige de b i. e. sriceme posiif ou sriceme égif, lors l focio f es égleme de sige cos u voisige de b, ce sige é celui de g. Eemple 3. Si f = P, où P e Q so des focios polyomiles o ulles, il eise u Q réel el que Q pour ou > e o : P Q + où p, q so les degrés e p, b q les coefficies domis de P e Q respeciveme. Il e résule que l focio f u sige cos sur [, + [ e q p +. Eercice 3.3 Éudier l ure des iégrles p b q q p si d, f d coverge si, e seuleme si, rc d e si si Soluio 3.3 O > pour ], ] e, doc l iégrle diverge. + O rc > pour e rc, doc l iégrle diverge. + U développeme limié ous doe : e cos = + o + o = + o + doc l iégrle coverge. e cos

CAPES EXTERNE. Partie I : Première approche de la constante d Euler

CAPES EXTERNE. Partie I : Première approche de la constante d Euler SESSION 2 CAPES EXTERNE MATHÉMATIQUES Prie I : Preière roche de l cose d Euler Soi N L focio es coiue e décroisse sur ],+ [ e doc sur [,+] Doc our ou réel de [,+], o + D rès l iéglié, o O e dédui que +

Plus en détail

Intégration SUP/ESC MPSI/PCSI/ESC. x dx C

Intégration SUP/ESC MPSI/PCSI/ESC. x dx C MPS/PCS/ESC égraio SUP/ESC Méhodes d iégraio - : égrale immédiae - : Somme ou différece de focios - : Composée de focio -4 : Décomposiio e fracios raioelles -5 : Par subsiuio (chageme de variable) -6 :

Plus en détail

Concours des Grandes Ecoles INTEGRALES-Correction. PARTIE A. SUJET INTEGRAL Année universitaire 2009/2010

Concours des Grandes Ecoles INTEGRALES-Correction. PARTIE A. SUJET INTEGRAL Année universitaire 2009/2010 SUJET NTEGRAL Aée uiversiaire 9/ PARTE A. Cocours des Grades Ecoles NTEGRALES-Correcio..La focio f défiie par f : f ( ) ( )cos( ) es bie coiue sur l iervalle fermé boré [ ; ]. Les focios si( ) so de classe

Plus en détail

Intégrales dépendant d un paramètre

Intégrales dépendant d un paramètre [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4

Plus en détail

Calculer comment se constituer un capitale ; Calculer comment rembourser une dette en effectuant des versements réguliers.

Calculer comment se constituer un capitale ; Calculer comment rembourser une dette en effectuant des versements réguliers. CHAP: 8 Objecifs de ce chpire : Clculer comme se cosiuer u cpile ; Clculer comme rembourser ue dee e effecu des versemes réguliers. RAPPELS : Qu'es-ce qu'ue vleur cquise? Qu'es-ce qu'ue vleur cuelle? Le

Plus en détail

[ Aire ] représente l aire algébrique comprise entre la courbe et l axe des temps sur un intervalle d une période. T : période en secondes (s)

[ Aire ] représente l aire algébrique comprise entre la courbe et l axe des temps sur un intervalle d une période. T : période en secondes (s) AIDE-MEMOIRE REGIME PERIODIQE Grdeur périodique : e grdeur périodique es ue grdeur qui se répèe ideiqueme à elle même e régulièreme ds le emps. Période : durée cose oée, exprimée e secode (s) qui sépre

Plus en détail

Cours (Terminale S) Limite d une fonction

Cours (Terminale S) Limite d une fonction Cours (Termile S) Limite d ue octio Limite d ue octio e + ou Foctio déiie u voisige de + (resp ) Soit ue octio d esemble de déiitio D O dir que «l octio est déiie u voisige de + (resp )» s il eiste u réel

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie. Mardi 19 Mars 2013 Durée : 3 heures DTL N 4

Lycée Fénelon Sainte-Marie. Mardi 19 Mars 2013 Durée : 3 heures DTL N 4 Lycée Féelo Saie-Marie Termiale ES Aée 0-0 Mahémaiques Mardi 9 Mars 0 Durée : heures DTL N La calcularice es auorisée. Le suje compore u oal de exercices. Le barème es fouri à ire idicaif. EXERCICE (6

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

S euls les flux de fonds (dépenses et recettes) définis s ent l investissement.

S euls les flux de fonds (dépenses et recettes) définis s ent l investissement. Choix d ives i s s eme e cer iude 1 Chapire 1 Choix d ivesissemes e ceriude. Défiiio L es décisios d ivesissemes fo parie des décisios sraégiques de l erepris e. Le choix ere différes projes d ivesisseme

Plus en détail

Exercices de révision

Exercices de révision Exercices de révisio Exercice U ivesisseur souscri à l émissio d u bille de résorerie do les caracérisiques so les suivaes : - Nomial : 5 M - Taux facial : 3,2% - Durée de vie : 9 mois L ivesisseur doi

Plus en détail

10 Chapitre 10. Alfred Logarithme, un arrondi catastrophique

10 Chapitre 10. Alfred Logarithme, un arrondi catastrophique Chapire 0 Chapire 0. Alfred Logarihme, u arrodi caasrophique Das cerais calculs, les erreurs d'arrodis peuve deveir si imporaes qu'elles ôe ou ses aux résulas obeus : cela ie à la représeaio des ombres-machie

Plus en détail

Centrale PSI 1 un corrigé

Centrale PSI 1 un corrigé Cetrle PSI u corrigé L foctio Γ. I.A. f : t t e t est cotiue sur R + ; les seuls problèmes d itégrbilité sot u voisiges de et de +. - Au voisige de, f (t) t est itégrble si et seulemet si < (foctios de

Plus en détail

Développement en Série de Fourier

Développement en Série de Fourier F-IRIS-5.ex Développeme e Série de Fourier Développer e série de Fourier les focios de période T défiies aisi : a b { f impaire T = f = si ] ; { f paire T = f = si ; ] Faire das chaque cas ue représeaio

Plus en détail

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a Intégrtion Les fonctions considérées ci-dessous sont des fonctions définies sur un intervlle réel I, à vleurs réelles ou complees ou, plus générlement, à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension

Plus en détail

1. Limites. Les limites dans la vie courante. Vitesse instantanée. Pente d'une courbe en un point LIMITES

1. Limites. Les limites dans la vie courante. Vitesse instantanée. Pente d'une courbe en un point LIMITES LIMITES. Limites.. Les ites ds l vie courte Vitesse isttée L otio de vitesse, et e prticulier l vitesse d'u objet à u istt précis, est, étommet, subtile et difficile à défiir précisémet. Cosidérez cette

Plus en détail

Intégration et calcul de primitives

Intégration et calcul de primitives École polytechique Itégrtio et clcul de primitives Tble des mtières Les foctios usuelles. Foctios primitives et foctios réciproques................... Les foctios logrithme et epoetielle......................3

Plus en détail

c.jossin J:\TRAVAIL\AUTOM\Algèbre_de_Boole\_Algèbre_de_Boole.doc Algèbre de BOOLE

c.jossin J:\TRAVAIL\AUTOM\Algèbre_de_Boole\_Algèbre_de_Boole.doc Algèbre de BOOLE cjossin J:\TRAVAIL\AUTOM\Algère_de_Boole\_Algère_de_Booledoc Algère de BOOLE SOMMAIRE : 1 Présenion, hisorique 2 Propriéés; 21 Ideniés remrqules; 22 Théorèmes de DE MORGAN 3 Représenions grphiques : 31

Plus en détail

Chapitre 1 Calculs algébriques dans... 3. Chapitre 2 Logique... 27. Chapitre 3 Fonctions numériques... 41. Chapitre 4 Calcul intégral...

Chapitre 1 Calculs algébriques dans... 3. Chapitre 2 Logique... 27. Chapitre 3 Fonctions numériques... 41. Chapitre 4 Calcul intégral... Avt-propos Cet ouvrge est coçu pour permettre u étudits des clsses préprtoires ECE d order leur première ée ds les meilleures coditios e fcilitt l trsitio vec l eseigemet secodire Aisi, l ojectif est i

Plus en détail

Le navire tout électrique

Le navire tout électrique Le vire ou élecrique Vous lle éudier ds ce suje le sysème de producio d'éergie d'u vire ou élecrique qui es coçu pour rviller e eux profodes (300m) fi de réliser des forges jusqu'à 6500m. ser imuhig hruser

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI

Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI UV Cour Répoe emporelle de yème dyamique coiu LI ASI 3 Coeu! Iroducio! Eude de yème du premier ordre " Iégraeur " Syème du er ordre! Eude de yème du ème ordre " Syème du ème ordre avec répoe apériodique

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

2009/2010. Elaboré par : ALI AKIR

2009/2010. Elaboré par : ALI AKIR BAC MATHS 9/ Cors et 8 eercices Elboré pr : ALI AKIR Doe des cors prticliers e mthémtiqes por tos les ive Pls d iformtios : Cotcter à GSM : 4 96 4 Emil : kircm@gmilcom Site Web : http://mths-kirmidiblogscom/

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

7 Fonctions d une variable réelle

7 Fonctions d une variable réelle 7 Foctios d ue vrile réelle 7.1 Cotiuité Pour ce chpitre les référeces clssiques ([Liret Mrtiis, Lelog-Ferrd Arudiès, Moier Alyse, Rmis Deschmps Odou] etc. ) 7.1.1 Défiitios des limites et cotiuité O défiit

Plus en détail

n 1 LES GRANDS THÈMES DE L ITB > 2009 Les intérêts simples et les intérêts composés ( ) C T D ( en mois)

n 1 LES GRANDS THÈMES DE L ITB > 2009 Les intérêts simples et les intérêts composés ( ) C T D ( en mois) LES GRANDS THÈMES DE L ITB Les iérês simples e les iérês composés RAPPELS THÉORIQUES Les iérês simples : l'iérê «I» es focio de la durée «D» (jour, quizaie, mois, rimesre, semesre, aée) de l'opéraio (placeme

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

3 Illusrios Iiérire de l bore 5 à l bore 6. PRÉSENTATION Le lc des Breoières de l ville de Joué-lèsTours qui s éed sur 40 hecres. Il offre ue grde vriéé de presios. Poi d que Poubelle LAC DES BRETONNIÈRES

Plus en détail

Intégration et primitives

Intégration et primitives DERNIÈRE IMPRESSIN LE 8 mrs 24 à 4:2 Itégrtio et primitives Tle des mtières Notio d itégrle 2. Défiitio................................. 2.2 Exemple de clcul d itégrle : l qudrture de l prole.... 3.3 Itégrle

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Planche 2. z ), où γ = 1 µ/σ2 ; ou encore :

Planche 2. z ), où γ = 1 µ/σ2 ; ou encore : Plnche Exercice 1 On considère un mrché nncier de ux d'inérê r e une cion de dynmique risque neure ds = S µd + σdw, S = x Soi une brrière hue ; on considère une opion brrière Up In qui délivre l'cion S

Plus en détail

Etude des micros de guitare électrique.

Etude des micros de guitare électrique. Emmuel Serié Chrisophe Combe Eude des micros de guire élecrique. Sge rélisé du 3 jui u 2 juille u Lboroire d'acousique Musicle (L.A.M.: UMR 764 du CNRS) UFR N 39 de l'uiversié Pris 6 rue de Lourmel 755

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Intégration sur un intervalle compact de IR

Intégration sur un intervalle compact de IR PREMIERE PARTIE Itégrtio sur u itervlle compct de IR CHAPITRE I PSEUDO-MESURES, MESURES, FONCTIONNELLES SOMMABLES SUR [,b] Comme océ ds l itroductio, ce premier chpitre pour objectif de fourir le plus

Plus en détail

Intégration sur un intervalle quelconque MP

Intégration sur un intervalle quelconque MP ntégrtion sur un intervlle quelconque MP 9 décembre 22 Dns ce chpitre, on définit l notion de fonction continue pr morceu et intégrble sur un intervlle quelconque. Cel nous permettr de donner un sens à

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral Cours de mthémtiques Terminle S1 Chpitre 12 : Clcul Intégrl Année scolire 2008-2009 mise à jour 5 mi 2009 Fig. 1 Henri-Léon Leesgue et Bernhrd Riemnn n les confond prfois 1 Tle des mtières I Chpitre 12

Plus en détail

, où E est un espace vectoriel réel de dimension finie et φ une forme bilinéaire symétrique sur E définie positive : φ (i)

, où E est un espace vectoriel réel de dimension finie et φ une forme bilinéaire symétrique sur E définie positive : φ (i) Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS GROUPE ORTHOGONAL Produ scalare Défo O aelle esace euclde ou coule ( E, φ, où E es u esace vecorel réel de dmeso fe e φ ue forme bléare

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

COURS DE TERMINALE S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE PROGRAMME 2002. Demaria Philippe : mademi-4@scs-net.org

COURS DE TERMINALE S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE PROGRAMME 2002. Demaria Philippe : mademi-4@scs-net.org COURS DE TERMINALE S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE PROGRAMME 2002 Demri Philippe : mdemi-4@scs-et.org Avt - Propos Ce cours de Termile S s ppuie sur le progrmme de 200 de l eseigemet obligtoire. Il s dresse

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n 1.

MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n. 6 8 4 On considère l mrice A = 0 7 3. 7 0, 8 ) Donner le form de A ) Donner l vleur de chcun des élémens 4, 3, 33 3 3) Ecrire l mrice rnsposée A de A donner son

Plus en détail

Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261) Janvier-Juin 2015. Devoir Maison n o 1. ln 1 sh 1 sh t t sin(1/t 2 ) 1 +

Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261) Janvier-Juin 2015. Devoir Maison n o 1. ln 1 sh 1 sh t t sin(1/t 2 ) 1 + Universié Pierre e Marie Curie Licence de Mahéaiques Séries e inégrales généralisées - Approfondisseen (2M26) Janvier-Juin 25. Devoir Maison n o Exercice : Convergence e calcul d inégrales. Éudier la naure

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Développements limités. Motivation. Exo7

Développements limités. Motivation. Exo7 Eo7 Développements limités Vidéo prtie. Formules de Tlor Vidéo prtie 2. Développements limités u voisinge d'un point Vidéo prtie 3. Opértions sur les DL Vidéo prtie 4. Applictions Eercices Développements

Plus en détail

Augmentation de capital - Comptabilisation

Augmentation de capital - Comptabilisation Ctluppi & Hug AG Softwre d Augmettio de cpitl - Comptbilistio Descriptio Ue ugmettio de cpitl est ue ugmettio du cpitl ctio d'ue société oyme pr émissio de ouvelles ctios. Il existe différetes formes d'ugmettio

Plus en détail

Chapitre 3 Dérivées et Primitives

Chapitre 3 Dérivées et Primitives Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Chpitre Dérivées et Primitives A) Rppels de première et compléments ) Dérivées usuelles Fonction définie sur Fonction f() =

Plus en détail

Rentabilité et financement d un investissement

Rentabilité et financement d un investissement REFI01 : Reabilié e fiaceme COURS Jui 2000 Reabilié e fiaceme d u ivesisseme 1 OBJECTIFS O cherche : à assurer la compéiivié de l ereprise sur plusieurs aées ; après avoir examié l opporuié d u ivesisseme

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers l dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chpitre Chpitre 20 Intégrtion Sommire 20.1 Continuité uniforme.................................

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn)

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn) Chpitre 7 Primitives et Intégrles 7. Primitive d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle K de R. On ppelle primitive de f, une fonction F dont l dérivée est f : F (x) = f(x). On note

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Les puissances à exposants négatifs

Les puissances à exposants négatifs CHAPITRE Les puissces à exposts égtifs. Itroductio : les puissces de Nous coissos bie l ottio où est u etier positif : E géérl : ( ) 0 8 6 N... fcteurs Rerquos qu'il y ue reltio évidete etre deux puissces

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

Université de Picardie Jules Verne 2013-2014 UFR des Sciences

Université de Picardie Jules Verne 2013-2014 UFR des Sciences Uiversié de Picardie Jles Vere 13-14 UFR des Scieces Licece meio Mahémaiqes - Semesre 3 Saisiqe Exame de ldi 7 javier 14 Drée h To docme ierdi - Calclarices aorisées Exercice 1 1) Das e poplaio doée, o

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009 Bcclurét S Nouvelle - Clédoie Mrs 009 Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) r r Le pl est rpporté à u repère orthoorml direct ( O, u, v) d uité grphique cm O cosidère les poits et B d ffixes respectives

Plus en détail

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie. MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie. MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie VARIABLES ALÉATOIRES déo oco de réro vrble léore dscrèe moyee - vrce - écr ye esérce mhémque vrble léore coue oco d ue vrble léore : rsormo combso lére de vrbles léores Déo E : eérece léore S : esce échllol

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

Chapitre 9: Primitives et intégrales

Chapitre 9: Primitives et intégrales PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Chpitre 9: Primitives et intégrles Prérequis: Limites, dérivées Requis pour: Emen de mturité 9. «À quoi ç sert?» Un peu d histoire Isc Newton (64-77) Les clculs d ire de figures

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

COMPARAISON DE PROPORTIONS. Éric Taillard, Ph. Wälti, J. Zuber EIVD. Haute École spécialisée de Suisse occidentale, Yverdon-les-Bains, Suisse

COMPARAISON DE PROPORTIONS. Éric Taillard, Ph. Wälti, J. Zuber EIVD. Haute École spécialisée de Suisse occidentale, Yverdon-les-Bains, Suisse UN NOUVEAU TEST STATISTIQUE POUR LA COMPARAISON DE PROPORTIONS Éric Tillrd, Ph. Wälti, J. Zuber EIVD Hute École spécilisée de Suisse occidetle, Yverdo-les-Bis, Suisse FRANCORO04, Fribourg, Suisse, 8.2004

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de maths spé MP

Résumé du cours d analyse de maths spé MP 1 TOPOLOGE Résumé du cours d nlyse de mths spé MP 1 Topologie 1) Normes, normes équivlentes Une norme sur l espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x). x E, (N(x) = x = ) (xiome

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

H HACHETTE Supérieur

H HACHETTE Supérieur H HACHETTE Supérieur Créditsphotogrphiques Toutes lesphotogrphies de cet ouvrge provieet de l photothèque HACHETTE LIVRE. Compositio, mise e pge et schéms :Publilog Mquette itérieure :SG CrétioetPscl

Plus en détail

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL UNE ÉTUDE EMPIRIQUE DE L INTERVENTION DE LA BANQUE CENTRALE SUR LE MARCHÉ DES CHANGES

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL UNE ÉTUDE EMPIRIQUE DE L INTERVENTION DE LA BANQUE CENTRALE SUR LE MARCHÉ DES CHANGES UNIVERSIÉ DU QUÉBEC À MONRÉAL UNE ÉUDE EMPIRIQUE DE L INERVENION DE LA BANQUE CENRALE SUR LE MARCHÉ DES CHANGES MÉMOIRE PRÉSENÉ COMME EXIGENCE PARIELLE DE LA MAIRÎSE EN ÉCONOMIQUE CONCENRAION EN ÉCONOMIE

Plus en détail

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours

Plus en détail

Simulation de trajectoires de processus continus

Simulation de trajectoires de processus continus Simulaio de rajecoires de processus coius - Frédéric PLANCHET (Uiversié Lyo, Laboraoire SAF, JWA - Acuaires) - Pierre THEROND (Uiversié Lyo, Laboraoire SAF, JWA - Acuaires) 005.6 (WP 04) Laboraoire SAF

Plus en détail

Simulation de trajectoires de processus continus

Simulation de trajectoires de processus continus Simulaio de rajecoires de processus coius F. Plache 1 ad P.-E. Thérod Résumé. Les processus sochasiques coius so des ouils largeme employés e fiace e e assurace, oamme pour modéliser aux d iérês e cours

Plus en détail

ISFA Université Lyon 1 β WINTER & Associés γ RÉSUMÉ

ISFA Université Lyon 1 β WINTER & Associés γ RÉSUMÉ Allocaio d acifs selo le crière de maximisaio des fods propres écoomiques e assurace o-vie : préseaio e mise e œuvre das la réglemeaio fraçaise e das u référeiel de ype Solvabilié Frédéric PLANCHET Pierre-E

Plus en détail

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien Universié Paris VI Maser : Modèles sochasiques, applicaions à la finance (MM065) TD 20-2 : Modèles de marchés - Mouvemen brownien. Taux de change. Soi (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini non redondan

Plus en détail

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4 BTS DOMOTIQUE Clcul intégrl 8- Clcul intégrl Tble des mtières I Primitives I. Définitions............................................... I. Clculs de primitives.........................................

Plus en détail

Corrigé CNC MP 2003, Math 1

Corrigé CNC MP 2003, Math 1 Corrigé CNC MP 3, Mah Parie I. a La foncion e es coninue sur ], α] prolongeable par coninuié en, elle es donc inégrable sur ],α] b La foncion e e es coninue sur [,+ [ e. + donc elle es inégrable sur [,

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre. 1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6%

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

H. Ait Ader, M. Hamizi, NE. Hannachi

H. Ait Ader, M. Hamizi, NE. Hannachi 20 ème Cogrès Fraçais de Mécaique Besaço, 29 aoû au 2 sepembre 2011 Evaluaio de l effor d arracheme e des déformaios moyees das les boulos d acrage des assemblages de pieds de poeaux sous chargeme saique

Plus en détail

Exercices sur les forces, 2 e partie Module 3 : Des phénomènes mécaniques Objectif terminal 4 : La dynamique

Exercices sur les forces, 2 e partie Module 3 : Des phénomènes mécaniques Objectif terminal 4 : La dynamique Dte : No : Groupe : Résultt : / 76 Exercices sur les orces, e prtie Module 3 : Des phéoèes éciques Objecti teril 4 : L dyique. Quelle est l ccélértio de cet objet tiré obliqueet, si o élie le rotteet?

Plus en détail

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët Université de Mrseille Licence de Mthémtiques, ere nnée, Anlyse (limites, continuité, dérivées, intégrtion) T. Gllouët July 29, 205 Tble des mtières Limites 3. Définition et propriétés......................................

Plus en détail

Présentation groupe de travail

Présentation groupe de travail Présenaion groupe de ravail Sofiane Saadane jeudi 23 mai 2013 Résumé L aricle sur lequel on ravaille [LP09] présene un problème de bandi à deux bras comporan une pénalié. Nous commencerons par présener

Plus en détail

Chimie Avancement d une réaction chimique Chap.8

Chimie Avancement d une réaction chimique Chap.8 ère S Thème : Couleurs et imges TP n 6 Chimie Avncement d une réction chimique Chp.8 Notions et contenus Réction chimique réctif limitnt stœchiométrie notion d vncement Compétences eigiles Identifier le

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail