Calculer comment se constituer un capitale ; Calculer comment rembourser une dette en effectuant des versements réguliers.

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1 CHAP: 8 Objecifs de ce chpire : Clculer comme se cosiuer u cpile ; Clculer comme rembourser ue dee e effecu des versemes réguliers. RAPPELS : Qu'es-ce qu'ue vleur cquise? Qu'es-ce qu'ue vleur cuelle? Le 6 Mi 214 L vleur cquise es l somme obeue e jou u cpil les iérês produis lors de l période qui sui le verseme. L vleur cuelle es l somme obeue e elev u cpil les iérês dus lors de l période qui précède le verseme. AERTISSEMENT : ds ce chpire, les vleurs cquise e vleurs cuelles se clcule suiv l règle des iérês composés. Iroducio : I) Auié : Défiiio E géérl, u prê es ps remboursé e ue seule fois. Les remboursemes so élés sur plusieurs périodes. De même, u cpil es rreme cosiué e u seul verseme, mis plus souve e ue successio de versemes. Il fu lors svoir clculer les iérês ds ces cs. Défiiio : O ppelle uiés des sommes pybles à iervlles de emps déermiés e fixes (somme d'rge qu'o pie pr ées, u lieu de l pyer e ue fois). Si l période es le mois, le verseme es ue mesulié ; Si l période es le rimesre, le verseme es ue rimesrilié. Les uiés peuve servir à : - cosiuer u cpil : ce so des uiés de cpilisio - rembourser u empru : ce so des uiés d morisseme. Défiiio : O ppelle suie d uiés ue successio de versemes, pour créer ou rembourser u cpil. Ue suie d uiés es crcérisée pr qure élémes : S périodicié ; Le ombre de versemes ; Le mo de chque verseme ; L de de chque verseme

2 II) Cpilisio : leur cquise pr ue suie d'uié coses LIC DE DJIBOUTI C'es le cs lorsque l'o verse à iervlles réguliers l même somme d'rge pour se cosiuer u cpil. L vleur cquise pr l'esemble des versemes coss u mome du derier verseme es doée pr : 1 1 : verseme cos ; : ux pr période ; : ombre de versemes; Exemple 1 : U verseme de 5 es effecué ous les s u débu de l'ée ped 5 s sur u compe éprge à cpilisio uelle, le ux d'iérê es de 4 % l'. Clculer l vleur cquise près le 5 e verseme. Mo de l'uié e euros erseme Durée du plceme e ées leur cquise e euros 5 1 er erseme 4 5 (1 +,4) e erseme 3 5 (1 +,4) e erseme 2 5 (1 +,4) e erseme 1 5 (1 +,4) e erseme 5 (1 +,4) L vleur cquise 5 près le 5 e verseme es : 5 (1 +,4) (1 +,4) (1 +,4) (1 +,4) (1 +,4) 278,16 Remrque : 5 représee l somme des ciq premiers ermes de l suie géomérique de riso 1,4 e 1,4 5 1 de premier erme ,16,4 Pois méhodes 1 : Pour clculer le mo d'ue uié ds l cosiuio d'u cpil ) O uilise l formule de cpilisio : 2 ) O ideifie chcu des élémes de l formule : : vleur cquise d'ue suie d'uiés ; : ux périodique ; : ombre d'uiés ; 3 ) O rsforme l formule pour rouver = [( 1 + ) 1], puis 4 ) O clcul le mo d'ue uié, e uilis s clculrice. Exercice d'pplicio N 1 : 1 1 Afi d'cquérir u cpil de 25, o effecue versemes uels coss, u ux uel de 5 %. Clculer le mo de chque uié. Pois méhodes 2 : Pour clculer le ombre de verseme ds l cosiuio d'u cpil 1 ) O uilise l formule de cpilisio :

3 2 ) O ideifie chcu des élémes de l formule : : vleur cquise d'ue suie d'uiés ; : mo d'ue uié ; : ux périodique ; 3 ) O rsforme l formule pour rouver = [( 1 + ) 1], puis 1 1 e ) O résou l'équio d'icoue : comme es l'expos de ( 1 + ), o uilise les propriéés des logrihmes : log 1 log 1 d'où log ( 1 + ) = log 1. 5 ) O rouve l vleur de e uilis s clculrice, puis o effecue l vérificio. Exercice d'pplicio N 2 : O verse chque rimesre 25. Le ux d'iérê rimesriel es de,75 %. L vleur cquise u mome du derier verseme es de 4 798,68. Clculer le ombre de versemes rimesriels. III) Rembourseme d'ue dee : leur cuelle d'ue suie d'uié coses L somme des vleurs culisées de versemes fis e fi de période e vue du rembourseme d'ue dee, ue période v l premier verseme, es doée pr : 1 1 : correspod u mo de l dee ; : verseme cos ; : ux pr période ; : ombre de versemes ; Exemple 2 : Pour rembourser ue dee, o verse régulièreme 1 ped 5s, le ux d'iérê es de 7,5 % l'. Clculer l vleur cuelle, ue période v le 1 er verseme. Mo de l'uié e euros 1 1 er erseme 1 1 (1 +,75) -1 erseme Durée e ées leur cuelle e euros 1 2 e erseme 2 1 (1 +,75) e erseme 3 1 (1 +,75) e erseme 4 1 (1 +,75) e erseme 5 1 (1 +,75) -5 L vleur cuelle, ue période v le 1 er verseme es : 1 (1 +,75) (1 +,75) (1 +,75) (1 +,75) (1 +,75) 5 445,88-3 -

4 O doc : (1 +,75) 5 = 1 (1 +,75) (1 +,75) (1 +,75) (1 +,75) (1 +,75). Aisi (1 +,75) 5 représee l somme des ciq premiers ermes de l suie géomérique de riso 1,75 e de premier erme 1. (1 +,75) 5 5 1,75 1 = 1,75 = 1, ,88,75 Pois méhodes 3 : Pour clculer le mo d'ue uié ds le rembourseme d'ue dee 11 1 ) O uilise l formule de rembourseme d'u empru : 2 ) O ideifie chcu des élémes de l formule : : vleur cuelle d'ue suie d'uiés ou cpil emprué ; : ux périodique ; : ombre d'uiés ; 3 ) O rsforme l formule pour rouver = [ 1 ( 1 + ) ], puis 4 ) O clcul le mo d'ue uié, e uilis s clculrice. 1 1 Exercice d'pplicio N 3 : Ue persoe s'egge à rembourser ue dee de 2 pr des versemes coss rimesriels sur 18 mois. Le ux rimesriel es de 1 %. Clculer le mo d'ue rimesrilié. Pois méhodes 4 : Pour clculer le ombre de verseme ds le rembourseme d'ue dee 11 1 ) O uilise l formule de rembourseme d'u empru : 2 ) O ideifie chcu des élémes de l formule : : cpil à rembourser ; : ux périodique ; : mo d'ue uié ; 3 ) O rsforme l formule pour rouver = [ 1 ( 1 + ) ], puis 1 ( 1 + ) =, puis ( 1 + ) = 1, efi ( 1 + ) = 1 4 ) O résou l'équio d'icoue : comme es l'expos de ( 1 + ), o uilise les propriéés des logrihmes : l ( 1 + ) = l 1 d'où l ( 1 + ) = l 1. 5 ) O clcul d'bord, puis e uilis s clculrice. O effecue esuie l vérificio. Exercice d'pplicio N 4 : Ue persoe verse chque semesre 772,56 pour rembourser u empru de 5. Le premier verseme es effecué 1 semesre près l'empru e le ux semesriel es de 2 %. Clculer le ombre de versemes semesriels

5 Correcio de l'exercice d'pplicio : Exercice d'pplicio N 1 : ) O uilise l formule : 2 ) O ideifie chcu des élémes : = 25 ; = ; =,5. 3 ) De 25 1,5 1, o rouve 25,5 = 1,5 1,5 25,5, puis 1,5 1 4 ) O effecue le clcul à l clculrice : Le mo de chque uié es de 1 57,64. Exercice d'pplicio N 2 : ) O uilise l formule : 2 ) O ideifie chcu des élémes : = 4 798,68 ; = 25 ; =,75. 3 ) De 1 1, o obie : 1, 75 = 4 798,68,75 1, d'où 1, 75 1, ) O e dédui : log 1, 75 log 1, e log 1, 75 log 1, O peu uiliser ussi l focio l. 5 ) O rouve : log 1, Il y 18 versemes rimesriels. log 1,75 érificio : 18 1, , 68,, 75 Exercice d'pplicio N 3 : ) O uilise l formule : 2 ) O ideifie chcu des élémes : = 2 ; =,1 ; = 18 mois = 6 semesres. 2, 1 3 ) O obie : 2,1 = 11,1 6, puis 6 11,1 4 ) O effecue le clcul à l clculrice : Le mo d'ue rimesrilié es de 345,1. Exercice d'pplicio N 4 : ) O uilise l formule : 2 ) O ideifie chcu des élémes : = 5 ; = 772,56 ; =,2. 3 ) De 1 ( 1 + ) =, o obie : 1 1,2 5,2 =, d'où 1 1,2, ,56 Doc 1,2,944 1 e 1,2,87 56 ce qui doe 1,2, ) O e dédui : l 1,2 l,87 56 e l 1,2 l, ) O rouve : l, d'où = 7. Il y 7 versemes semesriels. l 1,2 érificio : 7 11,2 772,56 5,2-5 -

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