3- Les taux d'intérêt

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1 3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents instruments de crédit (qui diffèrent pr les flux de piements) pr l vleur ctulisée 1.1- L vleur ctulisée 1 ujourd'hui moins de vleur que 1 dns un n... cr il peut être plcé... Exemple : prêt simple (l'emprunteur reçoit un montnt, le principl, qu'il doit rembourser à l dte dite d'échénce, ugmenté d'un intérêt) tux d ' intérêt intérêt principl intérêt simple Vleur future de 100 dns 1 n u tux i : 100(1+i) Vleur future de 100 dns n n u tux i : 100(1+i) n Vleur ctuelle de 100 dns 1 n u tux i : 100/(1+i) Vleur ctuelle de 100 dns n n u tux i : 100/(1+i) n VA VF 1i n exemple : le ggnnt du loto ggne 20 M pyés à rison de 1 M pr n pendnt 20 ns. Si le tux d'intérêt est de 10%, l somme ctulisée des piements vut 9,4 M Qutre instruments de crédit se distinguent pr l mnière dont les flux de piements se réprtissent dns le temps 1- le prêt simple : prêt d'un principl, remboursé à l'échénce d'un intérêt (cf. l cigle et l fourmi). 2- le crédit à versements constnts (à mensulités, ou nnuité, fixes) : des montnts constnts inclunt à l fois le remboursement du principl et les intérêts, sont versés pr l'emprunteur. Exemple : 1000 remboursés en 25 nnuités de

2 3- l'obligtion clssique : piement nnuel d'un intérêt jusqu'à l mturité du prêt, dte à lquelle est effectué le remboursement. Vleur fcile ou nominle (le pir) = montnt de l dette nominle Coupon = piement nnuel Tux nominl, ou tux du coupon = coupon/vleur fcile en % Prime de remboursement = différence entre montnt pyé à mturité et vleur fcile Prime d'émission = différence entre vleur fcile et montnt effectivement versé à l'emprunteur u moment de l'émission. 3 informtions identifient l'obligtion : l'émetteur, l dte d'échénce, le tux nominl emprunts à MLT des entreprises et collectivités 4- l'obligtion zéro-coupon : émise à un prix inférieur à l vleur fcile, ne verse ps de coupon, et est remboursée à l'échénce à s vleur fcile. Bons du Trésor à CT, obligtions à LT pour tous ces instruments : piements à des moments différents comprer en construisnt un tux d'intérêt vlble pour tous ces instruments (le tux cturiel) 1.3- Le tux cturiel Tux d'intérêt cturiel = tux de rendement cturiel = tux de rentbilité cturiel (titre finncier) = tux de rendement interne (investissement industriel) = tux d'intérêt qui église l VA des flux de piements futurs imposés pr un instrument finncier et s vleur cournte = tux d'ctulistion qui nnule l VA 1- le prêt simple : dns ce cs tux cturiel = tux nominl exemple : prêt simple de 100 remboursé pr un versement de 110 à l'échénce tux cturiel = r tel que soit 10% 1r tux nominl = i = soit 10% le crédit à versements constnts : Exemple : 1000 remboursés en 25 nnuités de 126. tux cturiel = r tel que r soit 12%. 1r 1r 1r 25 de l forme : V 1r V 1r 2 V 1r 3... V 1r i1 V 1r i 2

3 or : 1x x i xx 2...x n x 2...x n1 x x n1 x1 x n i1 d'où : x i x 1xn i1 1x soit, vec x = 1/(1+r) : i1 1 1r r i r n (Utiliser l fonction TAUX() dns MS Excel ou OpenOffice). 3- l'obligtion clssique : Le prix d'une obligtion clssique est P C 1r C 1r 2... C 1r V 1r vec P le prix, C le coupon d'intérêt nnuel, le nombre d'nnées vnt l dte de mturité et V l vleur de remboursement. Exemple : obligtion de vleur nominle 1000, u coupon de 100, à 10 ns de mturité, remboursble u pir (1000 ) prix de l'obligtion tux cturiel 7,13% 8,48% 10,00% 11,75% 13,81% (Utiliser l fonction TAUX() dns MS Excel ou OpenOffice). Trois observtions (pour toute obligtion clssique) : Si prix ctuel = remboursement finl = vleur nominle, lors tux cturiel = tux nominl Prix ctuel et rendement cturiel vrient en sens inverse tux cturiel > tux nominl qund prix ctuel < vleur fcile Cs prticulier des obligtions perpétuelles (émises surtout u XIX e siècle pr les gouvernements, connues en Frnce sous le nom de rentes perpétuelles) : mturité infinie, ps de remboursement. Prix de l rente : P C 1r C 1r 2... C 1r 1 or : i1 1r i1 d'où : P = C/r. r Tux cturiel : r = C/P. L'Ett émet une «rente 4%» dont le coupon est de 1 frnc cours = 25 frncs L'Ett émet une «rente 5%» le cours de l rente 4% psse à 20 frncs 4- l'obligtion zéro-coupon : exemple : obligtion zéro-coupon remboursble 1000 dns 1 n, u prix cournt de 900 tux cturiel = r tel que r soit r ,11%

4 obligtion zéro-coupon remboursble F dns nnées, u prix cournt de P : tux cturiel = r tel que P F 1 1 1r soit r F P expliction des tux d'intérêt négtifs u Jpon à l fin des nnées 1998 (les tux sur les Bons du Trésor à 6 mois sont devenus négtifs à 0,004% en novembre 1998). tux d'intérêt très bs à cuse de l «dépression» économique préférence pour l détention de liquidités sous forme de BT plutôt qu'voir en dépôts dns les bnques (à cuse du risque de fillite des bnques) : P > F Tux d'intérêt pprent Tux cturiel = meilleure mesure (mesure l plus cohérente) du tux d'intérêt u sens économique. Problème : difficile à clculer Autre mesure du tux d'intérêt : tux d ' intérêt pprent couponnnuel prix soit i = C / P. pour les rentes perpétuelles : tux pprent = tux cturiel pour obligtions très éloignées de l'échénce (20 ns) perpétuelles : tux pprent tux cturiel pour obligtions proches du pir (si pir = vleur de remboursement, ce qui est générlement le cs) : tux cturiel tux nominl tux pprent B : tux pprent et tux cturiel vrient en sens inverse du prix Tux cturiel et choix d'investissement Critère de décision d'cht ou vente Tux de rentbilité cturiel du titre > tux de rentbilité exigé cheter le titre Tux de rentbilité cturiel du titre < tux de rentbilité exigé vendre le titre A l'équilibre, tux de rentbilité cturiel du titre = tux de rentbilité exigé = tux de mrché (VA = 0). Limite du tux de rentbilité cturiel (TRA) : VA et TRA même critère de décision d'cht ou vente conclusions éventuellement différentes dns l comprison entre opportunités 2- Tux d'intérêt et tux de rendement 2.1- le tux de rendement rendement = revenus versés + gin en cpitl 4

5 exemple : détention d'une obligtion tux de rendement = résultt posteriori du plcement tux cturiel = résultt priori d'une détention jusqu'à échénce tux de rendement résultnt de l détention d'un ctif de t à t+1 : R C P t1p t P t soit : R C P P t1 t i P g t P t i = tux d'intérêt pprent g = tux de gin en cpitle ou plus-vlue (en %) le rendement peut différer du tux d'intérêt (pprent ou cturiel) si des vritions du prix (dues pr exemple à des vritions des tux d'intérêt de mrché) produisent des gins (ou pertes) en cpitl. Quelques remrques : en cs de husse du tux cturiel une obligtion peut produire un rendement négtif même si le tux pprent est élevé plus l mturité est longue (échénce éloignée), plus l sensibilité du prix de l'obligtion u tux d'intérêt (cturiel) est élevée plus l mturité est longue (échénce éloignée), plus le rendement, sur une période de détention donnée où lieu une husse du tux d'intérêt, est fible. On peut éviter de réliser les pertes en cpitl en conservnt l'obligtion jusqu'à l mturité (mis on les subit qund même, comprtivement à une détention de dépôts bncires sns risque de perte en cpitl) Mturité et voltilité du prix des obligtions Conséquence de ce qui précède : l voltilité des cours des obligtions à LT est plus élevées que celle des titres à plus court terme les obligtions à LT sont soumises à un risque de tux d'intérêt (fortes pertes en cpitl en cs de husse des tux d'intérêt), plcements risqués pour des périodes brèves. les obligtions à CT ont peu de risque de tux (les obligtions zéro-coupon dont l durée de détention est égles à l mturité n'en comportent ucun ; les obligtion versnt un coupon sont soumises à un risque de tux sur le coupon versé) MAIS il existe un risque de réinvestissement si l'éprgne est plcée en titres à CT (mturité inférieure à l durée du plcement) : le tux uquel le plcement ser effectué à l période suivnte n'est ps encore connu Tux équivlent et tux proportionnel Clculer des tux d'intérêt sur des périodes infr-nnuelles tux proportionnel : considère que les intérêts ne se cpitlisent ps u sein de l'nnée nombre de jours de l période tux proportionneltux nnuel nombre de jours dnsl ' nnée i n 365 5

6 tux équivlent : considère que les intérêts se cpitlisent u sein de l'nnée 1tux équivlent 1tux nnuel n 365 Deux tux se rpportnt à des périodes différentes sont dits «équivlents» si l vleur future à une même dte d'une même somme est l même vec chcun des deux tux. Si le tux pprent i implique des versements fois dns l'nnée, le tux cturiel équivlent r e s'obtient en cpitlisnt fois ce tux pprent : 1r e 1 i où i / est le tux proportionnel sur 1/-ième d'nnée. Tux composé en continu : tend vers l'infini 2.4- Conclusion rendement tux d'intérêt lim 1 i e i prendre en compte l'infltion définir le tux d'intérêt réel : 1i r 1i n 1 infltion nticipée = tux des OAT non indexées tux des OAT indexées (émises prendre en compte l fisclité tux d'intérêt net d'impôts et prélèvements sociux (CRDS et CSG)... pour une entreprise, les intérêts sont déductibles du résultt imposble : une entreprise bénéficiire endettée pye moins d'impôts (sur les bénéfices) qu'une entreprise bénéficiire non endettées. On toujours une reltion inverse entre cours des obligtions et tux d'intérêt (ou de rendement). Vrition des quntités offertes ou demndées => vrition des cours => vrition des tux 6

7 3- L structure pr risque des tux d'intérêt Il existe des différences entre les tux d'intérêt cturiels des obligtions de même mturité émises pr des emprunteurs de ctégories différentes : risque de défut, liquidité, fisclité Risque de défut défut l'emprunteur ne peut ps pyer les intérêts et/ou rembourser le principl Générlement, les BT sont considérées comme «sns risque de défut»... le gouvernement peut toujours pyer en crént de l monnie... obligtions sns risque, tux sns risque prime de risque = écrt entre tux des obligtions à risque de défut et tux des obligtions sns risque (spred de tux) Exemple : choix de prêter 1 u gouvernement u tux r f ou à une entreprise qui «réussit» vec une probbilité P et rembourse le prêt u tux convenu r e, ou «échoue» vec une probbilité 1 P et rembourse 1 + r d (r d < 0, éventuellement r d = 1). rentbilité exigée (en cs de neutrlité u risque) : r f rentbilité moyenne du prêt à l'entreprise : P r e + (1 P) r d rbitrge r e r f 1P1r f r d Rôle des gences de nottion (de rting) : Moody's, Stndrd & Poor's, Fitch obligtion «à hut rendement» = junk bond (obligtion pourrie) 3.2- Liquidité Actif liquide = ctif possible à convertir en monnie (instrument de piement) rpidement et à fible coût. L liquidité provient : de l quntité de titres disponible ( obligtions d'étt + liquides que obligtions privées.), de l'ctivité du mrché (sur certins mrchés finnciers, l liquidité est orgnisée pr les mrket mkers) Plus un ctif est liquide, plus il est désirble toutes choses égles pr illeurs. son tux d'intérêt est plus bs que celui d'un titre moins liquide (qui comprend une prime d'illiquidité). On peut considérer que l «prime de risque» qui explique l'écrt entre tux des obligtions privées et tux des obligtions d'étt est une prime de risque et de liquidité (de risque et d'illiquidité). 7

8 3.3- Fisclité Pour un éprgnnt, c'est le revenu d'intérêt net d'impôt qui compte. Les intérêts pyés pr certines obligtions sont exemptés d'impôts sur le revenu (les municipl bonds ux USA pr exemple). ceteris pribus (défut, liquidité, échénce) leur demnde est plus élevée (cours plus élevé) et le tux d'intérêt plus bs. 4- L structure pr terme des tux d'intérêt 4.1- L courbe des tux l représenttion des tux d'intérêt de diverses obligtions en fonction de leur mturité (ceteris pribus, pr exemple pour une ctégorie donnée, typiquement obligtions d'étt). courbe des tux «croissnte» : tux longs > tux courts (structure hbituelle, normle) courbe des tux «plte» : tux longs = tux courts courbe des tux «décroissnte» ou «inversée» : tux longs < tux courts. Expliquer l forme, l vrition conjointe des tux d'intérêt dns le temps, l structure hbituellement croissnte (d'utnt plus probble que les tux courts sont bs) L théories explique-telle le fit stylisé observé? théorie des nticiptions théorie des mrchés segmentés théorie de l prime de liquidité vrition conjointe des tux d'intérêt dns le temps courbe des tux hbituellement croissnte structure croissnte plus probble qund les tux courts sont bs oui non oui non oui non oui oui oui 4.2- L théorie des nticiptions Théorie des nticiptions : «tux d'intérêt à LT = moyenne des tux courts futurs nticipés» Hypothèse : prfite substitubilité des obligtions de mturité différentes indifférence de l'cheteur à l mturité neutrlité u risque de réinvestissement Exemple : plcer à deux ns option 1 : cheter des obligtions à deux (tux nnuel r 2,t ) option 2 : cheter des obligtions à un n (tux nnuel r 1,t ) et plcer les cpitl et les intérêts à nouveu pendnt 1 n (tux nnuel nticipé r 1,t1 ) 8

9 A l'équilibre, les deux options doivent être équivlentes, donc donner le même rendement nticipé : 1r 2,t 2 1r 1,t 1r 1,t1 soit 1r 2,t 1r 1, t 1 2 1r 1,t r 2,t est l moyenne géométrique de 1 + r 1,t et 1 + r 1,t1 pproximtion logrithmique : r 2,t 1 2 r 1,t 1 2 r 1,t1 r 2,t est l moyenne rithmétique de r 1,t et r 1,t1 Plus générlement : r n, t 1 n i1 n r 1,t r 1,t1...r 1,tn1.. Expliction... des formes de l courbe des tux : croissnte si nticiption de husse des tux, inversée si nticiption de bisse, plte si nticiption de stbilité... des chngements conjoints des tux de mturités différentes : une husse des tux courts entrîne celle des tux longs à nticiptions inchngées d'une structure croissnte plus probble qund les tux courts sont bs : tux bs nticiption de husse tux longs > tux courts. (nticiption de retour vers l moyenne). Remrque : les tux longs étnt une «moyenne» de tux courts sont moins voltils (que les tux courts). n r n, t 1 n i1 r 1,t r 1,t1...r 1,tn1 Vrr n,t 2 n 2 Mis cette théorie n'explique l courbe des tux hbituellement croissnte L théorie des mrchés segmentés Théorie des mrchés segmentés : «les mrchés obligtires sont segmentés selon l mturité, les prix et les tux d'intérêt sont déterminés pr les offres et les demndes sur chque segment». les obligtions de mturités différentes ne sont ps substitubles ( théorie des nticiptions), les tux d'intérêts sont déterminés indépendmment les uns des utres, pr les conditions d'offre et de demnde sur chque segment. Si les emprunteurs ont besoin de finncements à long terme, les éprgnnts de plcements à court terme, lors l courbe des tux est croissnte. Mis ps d'expliction des chngements conjoints des tux de mturités différentes, ni d'une structure croissnte plus probble qund les tux courts sont bs Les théories de l prime de liquidité et de l'hbitt préféré Théorie de l prime de liquidité : «tux d'intérêt à LT = moyenne des tux courts futurs nticipés + prime de liquidité» L prime de liquidité dépend des conditions d'offre et de demnde de l'obligtion. 9

10 les obligtions de mturités différentes sont imprfitement substitubles (risque de tux d'intérêt sur les obligtions à long terme devnt être compensé pr prime). Théorie de l'hbitt préféré : «les investisseurs ont une préférence pour pour des obligtions d'une certine mturité (leur hbitt préféré)» ils n'cceptent de détenir des mturités différentes (générlement plus longues) si leur rendement nticipé est supérieur. Expliction: deux théories voisines qui expliquent formes de l courbe des tux : croissnte si nticiption de husse des tux, inversée si nticiption de bisse, plte si nticiption de stbilité (comme l théorie des nticiptions)... courbe hbituellement croissnte : à cuse de l prime de liquidité (et de l'hbitt préféré). des chngements conjoints des tux de mturités différentes : une husse des tux courts entrîne celle des tux longs à nticiptions inchngées (comme l théorie des nticiptions)... d'une structure croissnte plus probble qund les tux courts sont bs (comme l théorie des nticiptions) Observtions empiriques de l structure pr terme des tux d'intérêt Etudes sttistiques méricines des nnées Le spred tux long-tux court permet-il de prédire l'évolution des tux courts? des informtions sur l'évolution à court terme (quelques mois) et à long terme (quelques nnées) indictions peu fibles de l'évolution à moyen terme (1 à 3 ns) Appliction : L courbe des tux européenne... méricine, nglise... Voir les sites des bnques centrles. 10

11 11

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