Chapitre VI Contraintes holonomiques

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1 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce chpitre, nous voyons utres conitions sur cet espce. On se plce ici sur l espce e fonctions C 1 n[,t 1 ] = { q : [,t 1 ] R n k,q k C 1 [,t 1 ] } Les contrintes holonomiques sont es contrintes e l forme gt,qt, t [,t 1 ] où g est une fonction lisse en n+1 vribles. Remrque VI.0.2. Lorsque n = 1, une contrinte holonomique g, y onne irectement une éqution implicite pour l fonction y. Dns le cs générique, l ensemble es fonctions y est onc réuit à un point. Donc ns toute l suite, on supposer n 2. VI.1. Multiplicteur e Lgrnge. Soit J une fonctionnelle e l forme : J[q] = Lt,q, qt Et une contrinte e l forme gt,q. On fie églement les conitions u bor q = Q 0 et qt 1 = Q 1. De fçon informelle, l éqution gt, q permet eprimer e fçon implicite une es fonction q k en fonction es n 1 utres fonctions. Cel nous permettrit e nous rmener à un problème vec vec n 1 fonctions et ucune contrinte. En prtique, on utilise encore l méthoe qui consiste à jouter une inconnue ici, ce ser une fonction et e résoure un système équtions ynt le même nombre e vribles et inconnues. Eplicitement, on le résultt suivnt : Théorème VI.1.1. Supposons que q est une etrémle e J sous l contrinte gt,q. Supposons utre prt que pour tout t [,t 1 ] on it gt,q 0. Alors il eiste une fonction λt telle que les fonctions q 1,...,q n stisfont les équtions pour tout 1 k n. L q k t L q k +λt g q k

2 56 Remrque VI.1.2. Si on pose Et,q, q = Lt,q, q + λtgt,q, lors les équtions s écrivent pout tout 1 k n : E E q k t q k On ppelle encore ces équtions eqution Euler-Lgrnge Proof. On ne prouve entièrement que le cs n = 2. L générlistion u cs n > 2 est fcile mis les nottions sont un peu loure. Soit y = y 1,y 2 une etrémle u problème vec g t,yt, g t,yt 0,0, t [,t 1 ] q 1 Supposons sns perte e générlité que g t,yt 0 pour tout t. Il est clir qu on peut lors éfinir une fonction λt pr VI.1 λt = 1 g t,yt L t L L fonction λt qui pprit ns le théorème est onc forcément celle éfinie ci-essus. L seule chose qui reste à vérifier est que l même fonction λt correspon églement à l euième éqution. Cel nécessite quelques résultts interméiires. Soit η 1 une fonction C 1 [,b] telle que η 1 = η 1 b. Soit T [,t 1 ]. On consière l fonction e eu vribles q 2 ω T u,v = gt,y 1 T+u η 1 T,y 2 +v Il est clir que ω T 0,0 = gt,yt. D utre prt ω T v = g T,yT 0 0,0 Donc près le théorème es fonctions implicites, il eiste une fonction v T u éfinie pour u < ε telle que ω T u,v T u, et v T 0. On sit églement que l érivée e v T en 0 est onnée pr g v T0 q = 1 T,yT g T,yT η 1T On peut onc écrire v T u = u η 2 u,t où η 2 est l unique fonction e eu vribles éfinie pr cette formule. Il est clir que l fonction η 2 u,t épen continuement e u et t. On rrive onc à l propriété suivnte : pour tout u < ε, l fonction y+h u t = y 1 t+u η 1 t,y 2 +u η 2 u,t

3 stisfit bien l éqution gt,y+h u. Autrement it h u est une vrition missible. Clculons mintennt pour un t fié u ω t u,v t u = u gt,y 1 t+uη 1 t,y 2 t+uη 2 u,t = g t,ytη 1 t+ g q 1 u uη 2 u,t = g t,ytη 1 t+ g η 2 0,t+ g 0 q 1 u η 2 u,t = g t,ytη 1 t+ g η 2 0,t q 1 Or on sit que ω t u,v t u pour tout u < ε. On en éuit onc l ientité suivnte VI.2 η 2 0,t = g/ q 1 g/ η 1 t 57 Posons mintennt l fonction suivnte éfinie pour tout u < ε. fu = J[y+h u ] L fonction y étnt un etrémum et h u étnt une vrition missible pour tout u, on en éuit que f met un etrémum u point u. On en éuit onc que f 0. Clculons f 0 à prtir e J. u J[y+h u ] = = = u Lt,y+h u,ẏ+ h u t L η 1 t+ L η q 1 q 1t+ L η 1 2 0,t+ L t η 20,t t L L L η 1 t+ + L η 2 0,t t q 1 t t En utilisnt les ientifictions VI.1 et VI.2 on en éuit irectement L f 0 = L +λt g η 1 tt q 1 t q 1 q 1 q 1 Le risonnement s pplique à n importe quelle fonction η 1. On utilise onc le lemme fonmentl u clcul es vritions IV.2.1 pour en éuire le résultt voulu : L L +λt g q 1 t q 1 q 1 q 2

4 58 Remrque VI.1.3. On peut fire une nlogie entre un problème vec une contrinte holonomique et un problème vec une infinité e contrintes isopérimétriques. Imginons le problème suivnt. On fie un T [,t 1 ] et on regre les etremles e l fonctionnelle J soumis à l contrinte gt,qt On peut lors consiérer l fonctionnelle K T [q] = gt,qt, et fire une nlogie vec un problème isopérimétrique. En effet, L contrinte evient K T [q] ce qui ressemble à une contrinte isopérimétrique. Alors il eiste un multiplicteur e Lgrnge λ T tel que q est une etrémle e l fonctionnelle J +λ T K T. Imginons mintennt que l conition oit être stisfite en n points istincts T 1,...,T n. On peut lors construire n fonctionnelles éfinies pr K i [q] = gt i,qt i. Le problème posé evient un problème isopérimétrique vec n contrintes. Alors pour toute etrémle q il eiste n multiplicteurs e Lgrnge λ 1,...,λ n tels que q est une etrémle e l fonctionnelle J +λ 1 K 1 + +λ n K n. Mintennt, si l contrinte oit être stisfite pour tout t [,t 1 ] lors on peut fire une nlogie vec un problème isopérimétrique vec une infinité e contrintes. Dns ce cs, on une infinité e multiplicteurs e Lgrnge, un pour chque réel e l intervlle [,t 1 ], ce qui revient à éterminer une fonction λt pour t [,t 1 ]. VI.2. Eemples et Applctions. VI.2.1. Géoésiques sur un cylinre. Le problème posé est e éterminer l forme es géoésiques sur un cylinre en utilisnt les contrintes holonomiques. Ici une fonction ser un chemin ns R 3 onné pr une fonction qt = t,yt,zt éfinie sur l intervlle [0,1]. On les conitions initiles q0 = Q 0 et q1 = Q 1. L longueur une courbe est onnée pr l fonctionnelle J[q] = 1 0 +y +z t L contrinte est ici que l courbe oit rester sur le cylinre ont l éqution est : gt,q = 2 +y 2 1 Cel nous onne une contrinte holonomique. 1 On emne éviemment que Q 0 et Q 1 soient es points u cylinre Il est clir que si pour tout point e l surfce gt,q le grient g ne s nnule ps. On peut onc ppliquer le théorème. Soit λt : [0,1] R. Alors tout etrémum q e J sous l contrinte holonomique g stisfit les équtions Euler-Lgrnge suivnte 1 Remrquons qu ici l contrinte ne épen ps u temps. Ce type e contrintes est prfois ppelée scléronomique.

5 59 0 t 0 t 0 t +y +z +2λt y +y +z +2λty z +y +z L ernière éqution nous permet ffirmer qu il eiste une constnte k R telle que z = k +y L fonction t +y correspon à l istnce prcourue pr l projection e l trjectoire sur le pln z. On en éuit que l huteur e l courbe vrie e fçon linéire pr rpport à l istnce prcourue sur le cercle corresponnt à l section u cylinre. Autrement it, les trjectoire sont es hélices. VI.2.2. Géoésiques sur les surfces. Plus générlement, les contrintes holonomiques sont bien ptées u problèmes concernnt l recherche e géoésiques sur une surfce éfinie e fçon implicite. En effet une éqution u type g,y,z éfinit une surfce Σ. Une géoésique sur l surfce Σ ser un minimum e l fonctionnelle J éfinie ns l eercice précéent, soumis à l contrinte holonomique g corresponnt àlsurfce. LesgéoésiquessurΣsontonclescourbesqt = t,yt,ztstisfisnt : t t t +λt g +y +z y +λt g +y +z y z +λt g +y +z z VI.3. Hors-Progrmme : Contrintes non-holonomiques. Les contrintes nonholonomiques sont es contrintes e l forme gt,q, q L résolution e ces problèmes ressemble beucoup à celle es problèmes vec contrintes holonomiques. Cepennt les complictions techniques sont nombreuses et nous onnons

6 60 simplement ici un théorème sns l émonstrtion pour montrer que les méthoes sont les mêmes. Théorème VI.3.1. Supposons que q est une etrémle e J sous l contrinte gt,q, q = 0. Supposons utre prt que pour un certin j, on g 0 pour tout t [,t 1 ]. Alors il eiste une fonction λt et une constnte λ 0 non toutes les eu nulles telle que les fonctions q 1,...,q n stisfont les équtions pour tout 1 k n : E E q k t vec l fonction E onnée pr : q k q i Et,q, q = λ 0 Lt,q, q λtgt,q, q Notons que contrirement u contrintes holonomiques, les équtions ci-essus font ppritre le terme λ t. Ainsi l résolution es problèmes vec contrintes holonomiques revient à résoure un système e n + 1 équtions ifférentielles. Une es risons pour lesquelles nous prlons es contrintes holonomiques ici, est que presque tous les problèmes vritionnels rencontrés ns les chpitres précéents peuvent s interpréter comme es problèmes vec contrintes non-holonomiques. VI.3.1. Fonctionnelles vec es érivées orre supérieur. Prenons un problème vritionnel simple vec une fonctionnelle e l forme J[y] = F,y,y,y L iée est introuire eu fonctions q 1 et q 2 qui vont corresponre à y = q 1 et y = q 2. Dns ce cs, l érivée secone y = q 2. L nouvelle fonctionnelle est L fonction L éfinissnt l fonctionnelle I[q] est onnée pr I[q] = Ft,q 1,q 2,q 2t L contrinte non-holonomique correspon à l reltion voulue entre q 1 et q 2 c est à ire : gt,q, q = q 2 q 1 On voit que les solution u problème initil sont en corresponnce vec les solutions u problème vec contrintes non-holonomiques.

7 VI.3.2. Problèmes isopérimétriques. On consière un problème isopérimétrique vec les eu fonctionnelles J[y] = F,y,y, K[y] = G,y,y = L et les conitions u bor y et yb. L iée est ici introuire eu fonctions q 1 et q 2 qui vont corresponre à L fonctionnelle à minimiser est q 1 = y, q 2 = Gt,y,y I[q] = et l contrinte non-holonomique onnée pr Ft,q 1,q 1t gt,q, q = q 2 Gt,y,y On voit que l contrinte isopérimétrique u problème initil se truit pr q 2 t = L = qb q C est à ire que l contrinte isopérimétrique est evenue une conition u bor u problème vec contrinte non-holonomique. VI.3.3. Eemples. Soit l fonctionnelle J onnée pr J[q] = et l contrinte holonomique onnée pr q 2 1 +q 2 2t gt,q, q = q 1 +q 1 +q 2 Soit une etrémle q u problème. Soit une fonction λt. Posons Alors les équtions Euler-Lgrnge sont E = q 2 1 +q 2 2 +λtq 1 +q 1 +q 2 2q 1 +λ λ 2q 2 +λ On en éuit irectement que λ = 2q 2 onc on 2q 1 + 2q 2 +2q 2 D utreprtlcontrintenon-holonomiqueonneq 2 = q 1 q 1 onconrriveàl éqution que l on peut résoure fcilement. q 1 2q 1 61

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