Modélisation d une section de poutre fissurée en flexion

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1 Moéliation une ection e poutre fiurée en flexion Prie en compte e effort tranchant Chritophe Varé* Stéphane Anrieux** * EDF R&D, Département AMA 1, av. u Général e Gaulle, Clamart ceex ** Laboratoire e Mécanique e Structure Inutrielle et Durable UMR CNRS-EDF 2832, 1, av. u Général e Gaulle, Clamart ceex RÉSUMÉ. La moéliation numérique et couramment emploée pour étuier le comportement namique e rotor fiuré e machine tournante an la meure où cet aléa et rare et ne permet onc pa la contitution un retour expérience inutriel exploitable. Une méthoe originale e calcul e la loi e comportement en flexion une ection e poutre fiurée a été préentée précéemment. L objectif u préent article conite à compléter cette première moéliation en intégrant le effet e effort tranchant. Pour certaine géométrie e fiure, on contate que e implification peuvent être apportée an la meure où le relation elon le moment e flexion une part et le effort tranchant autre part ont écouplée et an la meure où le comportement elon le effort tranchant et linéaire. Le éveloppement ont été mené à leur terme an ce ca et on pu faire l objet une première valiation qui et préentée. ABSTRACT. Numerical proceing i wiel ue to tu the namical behaviour of turbine cracke haft a thi event i rare an then oen t enable to have a ueful inutrial feeback. A new metho, which enable to calculate the contitutive law of a cracke beam ubjecte to bening wa previoul propoe. The aim of thi paper i to complete thi firt moel b aing hear effect. For ome crack geometr, it can be poible to implif the propoe beam moel ince bening moment an hear force are uncouple an the behaviour law aociate with the hear force i linear. Development were one in thi cae an ome reult of the valiation are hown. MOTS-CLÉS : fiure, rotor, turbine, effort tranchant, contact unilatéral, anale convexe KEYWORDS: crack, rotor, turbine, hear effect, unilateral contact, convex anali Gien 2005, page 1 à 6

2 2 Gien Introuction Une méthoe originale e calcul e la loi e comportement en flexion une poutre fiurée a été propoée an (Varé et al., 2000) et (Anrieux et al., 2002). Elle conite à éfinir, à partir e calcul 3D tenant compte u contact unilatéral entre le lèvre e la fiure, une relation e comportement non linéaire entre le moment e flexion appliqué à la ection fiurée et le champ e éplacement réultant, compatible avec la théorie e poutre afin en permettre l introuction an un moèle filaire. Cette émarche a été valiée expérimentalement (Auebert et al., 2002). Pui elle a été mie en œuvre avec uccè ur pluieur ca inutriel, en particulier e turbine. L apport e la émarche par rapport aux moèle éjà exitant (Wauer, 1991, Gah, 1993, Dimarogona, 1996) et ouble : elle autorie la prie en compte e fiure plane e forme et e nombre quelconque an la ection fiurée et elle tient compte e façon exacte e conition e contact unilatéral et e fermeture partielle e la fiure ou certain chargement. Par ailleur, le propriété e la olution triimenionnelle permettent e réuire coniérablement le nombre e calcul néceaire à la contruction e la loi e comportement. L anale menée ur autre machine telle que le pompe à axe e rotor vertical (Bachchmi et al., 2004) a néanmoin montré que le toreur effort appliquant aux ection uceptible e fiurer préentait une compoante e ciaillement ignificative néceitant intégrer le effort tranchant au moèle. 2. Obervation iue e calcul élément fini triimenionnel Le moèle retenu et celui une poutre fiurée en on milieu, e longueur 2L, e raon R, e moule Young E et inertie quaratique I. La poutre et encatrée en on extrémité gauche et ollicitée en on extrémité roite. De conition e contact unilatéral ont coniérée ur le lèvre e la fiure. T (2L) M (2L) Zone fiurée M (2L) x T (2L)

3 Moéliation une ection e poutre fiurée en flexion 3 Figure 1. Moèle e rotor fiuré retenu Dan la continuité e étue menée précéemment, la ection fiurée et repréentée par un élément noal ont on cherche à ientifier la loi e comportement. L élément noal porte 4 egré e liberté : [ q( L) = [ u ( L) [ u ( L) [ θ ( L) [ θ ( L) u u = θ θ + ( L ) u ( L ) + ( L ) u ( L ) + ( L ) θ ( L ) Saut e rotation elon + ( L ) θ ( L ) Saut e rotation elon Saut e éplacement elon Saut e éplacement elon Ientifier la loi e comportement e l élément noal revient onc à établir la loi qui relie le vecteur [q(l) aux effort interne à la poutre à l abcie x=l. Dan l étue e (El-arem et al., 2003) appliquée à l anale u comportement en flexion plane une poutre, le auteur ont obervé eux propriété uceptible e implifier coniérablement le moèle. Il et aini apparu que le relation e la loi e comportement e la ection fiurée, elon le moment e flexion une part et l effort tranchant autre part, étaient écouplée et que le comportement e la ection fiurée elon l effort tranchant était linéaire bien que l on tienne compte e conition e contact entre le lèvre e la fiure. Dan cette partie, on préente onc e imulation numérique 3D ont l objectif et oberver i ce propriété ont encore vraie lorque le éplacement e la poutre fiurée n et plu contenu an un plan. Pour le interpréter ce calcul, on retient en première approximation le relation cinématique implifiée uivante : [ ( ) ( 2L) [ ( ) ( ) SF SS - Saut e rotation au roit e la fiure : θ ( L) = θ 2L θ SF SS - Saut e éplacement : u ( L) = u 2L L[ θ L u (2L) où l expoant SF éigne le réultat obtenu ur la tructure fiurée et l expoant SS ceux obtenu ur la tructure aine. Ce formulation correponent à la repréentation graphique uivante : [1 [u (L) L l [θ (L) 2L x Poutr l e aine [u (L) L[θ (L)

4 4 Gien 2005 Figure 2. Relation cinématique implifiée utiliée pour la vérification e propriété e écouplage e effort tranchant et e moment fléchiant On préente ici un ca e chargement pour lequel la ection fiurée et oumie à un moment e flexion et à un effort tranchant. Le chargement à l extrémité e la poutre et e la forme : F(2L) = (T x, T, T, M x, M, M ) = (0, inφ, coφ, 0, 0, 0) Soit : F(L) = (T x, T, T, M x, M, M ) = (0, inφ, coφ, 0, -2 coφ, 2 inφ) On obtient alor l évolution e aut e éplacement et e rotation uivante : 1,5E-11 1,0E-11 5,0E-12 [ [ 1,0E-10 0,0E+00-1,0E-10 (m) 0,0E+00-5,0E-12-2,0E-10-3,0E-10 [r [r -1,0E-11-4,0E-10-1,5E-11-5,0E-10 Figure 3. Comportement local e la ection fiurée en fonction e Φ On contate que le aut e éplacement uivent une évolution inuoïale conformément à l effort appliqué. La linéarité e la répone elon la irection e ciaillement et onc bien confirmée. Pour le aut e rotation, on retrouve préciément l évolution qui avait été mie en évience an l étue (Varé et al., 2000). L inépenance e comportement elon l effort tranchant une part et le ciaillement autre part et onc bien confirmée. Ce propriété ne ont pa généraliable à toute géométrie e fiure. On peut néanmoin contruire e critère portant ur le éplacement à l extrémité e la poutre, qui permettent e vérifier leur valiité a poteriori ur le olution 3D. Aini, le écouplage et rigoureuement vérifié lorque le olution élémentaire u problème unilatéral ou effort tranchant eul au roit e la fiure, c et-à-ire : u T correponant au toreur impoé en x = 2L : F ut (2L) = (0, 1, 0, 0, 0, -L) u T correponant au toreur impoé en x = 2L : F ut (2L) = (0, 0, 1, 0, L, 0) atifont :

5 Moéliation une ection e poutre fiurée en flexion 5 u T U u T U F ( 2L). q (2L) = 0 et F ( 2L). q (2L) = 0 U 1 où q (2L) olution u problème unilatéral pour F U 1 (2L) =(1, 0, 0, 0, 0, 0) T u T u 2. u x (2L) = u x (2L) = 0 où ux et la compoante elon x 3. Expreion e l énergie e éformation et loi e comportement aociée Le propriété ci-eu étant retenue, l énergie e éformation e la ection fiurée en fonction e effort interne pren la forme uivante : ( T,T,M,M ) W( M,M ) + T + T TT élément fiuré W = + [2 2 2 où W(M,M ) et l énergie e éformation exprimée an (Varé et al., 2000, Anrieux et al., 2002)., et ont le ouplee apportée par la fiure, ientifiée à partir e calcul unitaire : W(1,0,0,0), W(0,1,0,0) et W(1,1,0,0). Pour ipoer une relation en rigiité et non pa en ouplee, on calcule l énergie e éformation en fonction e icontinuité w. Cette ernière et reliée à W par la relation e Legenre-Fenchel : w ([ u[, ) = Sup( T[ u + M[ θ W( T, M) θ ) [3 T T T, M où : T =, M =, [ M M [ u [ θ u = [ u et [ θ = θ [ La fonction énergie en effort étant écouplée, W(T,M)=W(T,0)+W(0,M), on montre que on expreion en fonction e icontinuité l et également : w ([ u[, θ ) = w ([ u,0) + w ( 0, [ θ ) La tranformée w ([u,0) a été onnée an (Varé et al., 2000, et Anrieux et al., 2002). Le terme aocié à l effort tranchant pren la forme claique : w ([ u,0) = k [ u + k [ u + k [ u [ u [5 2 2 où : k =, k = et k = Finalement, la loi e comportement e la ection fiurée et éterminée par érivation e la fonction énergie. Soit, en reprenant l expreion en fonction e moment e flexion éterminée an (Varé et al., 2000) et (Anrieux et al., 2002) : [4

6 6 Gien 2005 EI EI k( ϕ) k' ( ϕ) 0 0 M θ 4L 8L M EI EI k' ( ) k( ) 0 0 [ θ ϕ ϕ T = 8L 4L u T 0 0 k k 0 0 k [ u k où [ θ ϕ = Arc tan [ θ [6 4. Mie en œuvre et valiation Le éveloppement ci-eu ont été implanté an le logiciel Caac (EDF) e calcul namique e rotor. Dan le ca u rotor préenté Figure 1, en rotation lente et oumi à un effort e irection et amplitue contante en on extrémité, on obtient un excellent accor entre le réultat obtenu en moéliation 3D et 1D : 1,0E-09 4,E-12 7,5E-10 1D 3D 2,E-12 1D 3D (m) 5,0E-10 (m) 0,E+00 2,5E-10-2,E-12 0,0E+00-4,E-12 Figure 4 gauche. Comparaion 1D-3D chargement en flexion et ciaillement Figure 4 roite. Comparaion 1D-3D chargement en ciaillement pur 5. Bibliographie Anrieux S., Varé C., «A 3D cracke beam moel with unilateral contact Application to rotor», European Journal of Mechanic, A/ Soli, n 21, 2002, p Auebert S., Voini Ph., «Comportement namique e rotor avec fiuration tranvere : moéliation et valiation expérimentale», 13 ème colloque vibration, choc et bruit. Bachchmi N., Pennacchi P., Tani E., Verrier P., Hanaoui F., Aabai K., «Crack etectabilit in vertical axi cooling pump uring operation», International Journal of Rotating Machiner, n 10, 2004, p Dimarogona A.D., «Vibration of cracke tructure : a tate of the art review», Engeenering Fracture Mechanic, vol. 55, n 5, 1996, p

7 Moéliation une ection e poutre fiurée en flexion 7 El-Arem S., Anrieux S., Varé C., Verrier P., «Loi e comportement en flexion une ection e poutre fiurée avec prie en compte e effet e ciaillement», 7 ème colloque national en calcul e tructure, Gien, Gah R. «A urve of the namic behaviour of a imple rotating haft with a tranvere crack», Revue of Soun an Vibration, n 160, 1993, p Varé C., Anrieux S., «Moéliation une ection e poutre fiurée Application aux rotor e turbine», Revue Françaie e Mécanique, n , p Wauer J., «On the namic of cracke rotor A literature urve», Applie Mechanic Revue, n 43, 1990, p

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