Projet. Courbe de Taux. Daniel HERLEMONT 1

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1 Projet Courbe de Taux Daniel HERLEMONT

2 Objectif Développer une bibliothèque en langage C de fonction relative à la "Courbe de Taux" Valeur Actuelle, Taux de Rendement Interne, Duration, Convexité, Recontitution de la courbe de taux Zéro Coupon par divere méthode: Boottrap, Interpolation linéaire, cubique, et urtout le méthode à Spline Cubique,... Etude de enibilité aux variation Immuniation En utiliant de Donnée réelle Développement Développement en langage C Dan un environnement WNDOWS VISUAL STUDIO ource et référence: Priaulet & L. Martellini et P. Priaulet, «Produit de taux d intérêt: Méthode dynamique d évaluation et de couverture», Economica (), trè ouvent cité dan cette préentation ou l'abréviation MP Daniel HERLEMONT

3 Utiliation de Donnée Réelle Nou travailleron ur la Coubre de Obligation d'etat La courbe Tréor et contruite à partir de obligation émie par l Etat: Le bon à taux fixe (BTF) à échéance normaliée :, 6 et 5 emaine. Le bon du tréor à intérêt annuel (BTAN): à échéance à 5 an, il produient un coupon annuel. Le Obligationn Aimilible du Tréor (OAT): échéance de 7 à 5 an Il agit de la courbe dite an rique dan le pay du G7 dan la meure où le Etat de ce pay ont cené ne jamai faire défaut. Le Etat de ce pay ont noté AAA par le agence de rating, i.e. dipoent de la meilleure notation poible. Source de donnée Bloomberg MTS Bourorama Economagic Future: MATIF, EUREX, Daniel HERLEMONT

4 Bloomberg Daniel HERLEMONT 4

5 Rappel - Yield Daniel HERLEMONT 5

6 Rappel - Yield () Daniel HERLEMONT 6

7 Rappel - Coupon couru (accrued interet) La plupart de obligation claique e cotent en pourcentage de la valeur nominale et au «pied du coupon» (clean price), c'et à dire an coupon couru (accrued interet). L obligataire acquiert le titre en verant le «plein coupon» (full price ou dirty price), c'et à dire le coupon couru en plu du pied de coupon. A la différence de obligation claique, le obligation convertible ont cotée en France en euro et non en pourcentage et en plein coupon. Exemple: un invetieur achète le Décembre, une obligation du tréor, à.5% et maturité le 5 Novembre 6. Le prix du marché et La période du coupon couru et de 6 jour (période du 5 Novembre au Décembre ). Le coupon couru et égal au dernier coupon veré multiplié par 6 jour et divié par le nombre de jour entre la date du dernier coupon (le 5 Novembre ) et la date du prochain coupon (le 5 Novembre ), oit 65 jour. Le coupon couru et donc égal à.5*6/65.49 L'invetieur doit donc payer Daniel HERLEMONT 7

8 Indice Euro MTS (ex CNO Extrix) L indice EuroMTS reproduit la performance du marché de emprunt d Etat de la zone euro en appuyant ur la performance de panier d emprunt «électionné» choii pour repréenter le performance globale de marché conidéré. Il n inclut donc pa tou le emprunt d Etat. La élection 'opère ur de critère de liquidité. Euro MTS (ex CNO Etrix) - an, -5 an, 5-7 an, 7- an, - 5 an, 5 an Daniel HERLEMONT 8

9 EMTX: [Eurozone Government Bond Indice] Date Time Id Decription Price AccruedInteretYield DurationModDuration Convexity /8/8 :: AT8864 RAGB 6.5 5/7/ /8/8 :: AT8498 RAGB 5.5 5// /8/8 :: AT8567 RAGB 5.5 4// /8/8 :: AT8556 RAGB 5. 5/7/ /8/8 :: AT85745 RAGB // /8/8 :: AT8599 RAGB.8 // /8/8 :: AT867 RAGB 4. 5/7/ /8/8 :: AT865 RAGB.9 5/7/ /8/8 :: AT8698 RAGB.5 5/7/ /8/8 :: ATAXRAGB.5 5/9/ /8/8 :: ATAT9 RAGB 4. 5/9/ /8/8 :: ATA4967 RAGB 4.5 5// /8/8 :: BE997 BGB 5.5 8//8 # /8/8 :: BE9549 BGB /9/ # /8/8 :: BE9876 BGB 5. 8/9/ # /8/8 :: BE96 BGB 5.5 8/9/7 # /8/8 :: BE BGB 4.5 8/9/ # /8/8 :: BE4 BGB 4.5 8/9/4 # /8/8 :: BE4 BGB 5. 8//5 # /8/8 :: BE545 BGB. 8// # /8/8 :: BE65 BGB.75 8/9/5 # Exemple d obligation d etat compoant l indice Daniel HERLEMONT 9

10 Courbe de Taux Zéro Coupon but : recontitution de la courbe de taux zéro-coupon au comptant («pot»). Connaître la courbe de taux zéro-coupon au comptant et trè important en pratique car cela permet aux acteur du marché: d évaluer et de couvrir à la date de recontitution le produit de taux délivrant de flux futur connu (obligation à taux fixe, par exemple) autre application : l analye «rich and cheap» (bond picking) qui conite à détecter le produit ur-et ou-évalué par le marché pour tenter d en tirer profit. de dériver le autre courbe implicite: la courbe de taux forward, la courbe de taux de rendement au pair et la courbe de taux de rendement intantané. la courbe pot et le point de de départ pour la mie en place de modèle tochatique de déformation de cette courbe dan le temp. Daniel HERLEMONT

11 Courbe de Taux Zéro Coupon (uite) La recontitution de cette courbe et rendue néceaire par le fait qu il n exite pa uffiamment d obligation zéro-coupon («trip») cotée ur le marché. Par conéquent, il n et pa poible d obtenir le taux zéro-coupon pour un continuum de maturité. En outre, le obligation zéro-coupon ont ouvent une moindre liquidité que le obligation à coupon. Daniel HERLEMONT

12 Courbe de Taux (uite) Sélection de panier Méthode théorique directe et boottrapping Différent type d interpolation Méthode indirecte: modèle de Nelon et Siegel, pline cubique et exponentielle Daniel HERLEMONT

13 Rappel - Taux Zéro Coupon Définition du taux zéro-coupon Il et implicitement défini dan la relation uivante: où: B(, t) [ R(, t) ] t - B(,t): prix de marché à la date d une obligation zéro-coupon délivrant euro à la date t. On appelle aui B(,t), le facteur d actualiation en pour la maturité t. - R(,t): taux de rendement en de l obligation zéro-coupon délivrant euro en t. R(,t) et aui le taux zéro-coupon en de maturité t. Daniel HERLEMONT

14 Rappel - Evaluation d obligation à flux connu Le prix V de l obligation à la date t écrit donc plu jutement V i ( t) m i t F( i) [ R( t, i t) ] i t m i t F( i) B( t, i) Exemple : Soit l obligation de montant nominal $, de maturité an et de taux de coupon %. Le taux zéro-coupon à an, an et an ont de 7%, 9% et %. Le prix P de l obligation et égal à P 7% ( 9% ) ( % ).47$ Daniel HERLEMONT 4

15 Courbe D'état - Sélection de Titre Elle et contruite à partir d obligation d Etat. Il et important de faire une élection rigoureue de titre qui ervent à la recontitution. Il faut éliminer: le titre qui préentent de claue optionnelle car la préence d option rend le prix de ce titre non homogène avec ceux qui n en contiennent pa. le titre qui préentent de erreur de prix, typiquement due à de erreur de aiie. le titre qui ont oit illiquide, oit urliquide, et préentent donc de prix qui ne ont pa dan le marché. Il ne faut pa tracer la courbe de taux ur de egment de maturité où l on ne dipoe pa de titre. Par exemple, ne pa tracer la courbe ur le egment [- an] i l on ne dipoe pa de titre de maturité upérieure à an dan le panier. Exemple de bon candidat : le titre éligible pour l'euromts (Ex CNO Etrix) - un indice de référence ouvent utilié dan le benchmark. Daniel HERLEMONT 5

16 La méthode théorique de recontitution Elle permettent de déduire directement le taux zéro-coupon de obligation à coupon. Elle requièrent le deux condition uivante: elle ont le même date de tombée de coupon elle ont de maturité multiple de la fréquence de tombée de coupon. Cette méthode n et que théorique car dan la pratique il et trè rare de pouvoir trouver un échantillon d obligation ayant ce deux caractéritique. Daniel HERLEMONT 6

17 La méthode théorique de recontitution () Notation et réolution Pt (P t, P t,..., P tn )T le vecteur de prix à l intant t de n obligation à coupon du panier F (F ti (j))i,...,n, j,...,n la matrice n x n correpondant aux flux de n titre. Le date de tombée de flux ont identique pour tou le titre. Bt (B(t,t), B(t,t),,..., B(t,tn))T le vecteur de facteur d actualiation Par AOA, on obtient le vecteur de facteur d actualiation Pt F. Bt oit Bt F -. Pt car F et inverible Daniel HERLEMONT 7

18 La méthode théorique de recontitution () Exemple Coupon Maturité (année) Prix Titre 5 Titre Titre 5 99 Titre On obtient le ytème d équation uivant: 5 B(,) B(,) 5.5 B(,) 99 5 B(,) 5 B(,) 5 B(,) 6 B(,) 6 B(,) 6 B(,) 6 B(,4) oit B(,).969, B(,).99, B(,).856, B(,4).789 et R(,).96%, R(,)4.77%, R(,)5,47%, R(,4)6,% Daniel HERLEMONT 8

19 La méthode du boottrap Il agit d une procédure en pluieur étape qui permet de recontituer une courbe zéro-coupon au comptant «pa à pa» i.e. egment par egment de maturité. - Pour le egment de la courbe inférieur à an: Extraction de taux zéro-coupon grâce aux prix de titre zérocoupon coté ur le marché pui obtention d une courbe continue par interpolation linéaire ou cubique (voir plu loin). Daniel HERLEMONT 9

20 La méthode du boottrap () - Pour le egment de la courbe allant de an à an: Parmi le obligation de maturité comprie entre an et an, on choiit l obligation à l échéance la plu rapprochée. Ce titre vere deux flux. Le facteur d actualiation du premier flux et connu grâce à l étape. Le facteur d actualiation du econd flux et olution de l équation non linéaire P C B(, t) ( C) B(, t) avec t < et < t < On obtient alor un premier point de courbe ur ce egment. On réitère alor le même procédé avec l obligation de maturité immédiatement upérieure mai toujour inférieure à an. - Pour le egment de la courbe allant de an à an: On réitère l opération précédente à partir de titre ayant une maturité comprie entre an et an....etc... Daniel HERLEMONT

21 Exemple de Boottrap Maturité ZC Overnight 4.4% moi 4.5% moi 4.6% moi 4.7% 6 moi 4.9% 9 moi 5.% an 5.% Taux à an et moi oit 5.4% Taux à an et 9 moi oit 5.69% Coupon Maturité (année) Prix Titre 5% an et moi.7 Titre 6% an et 9 moi Titre 5.5% an %) 5 ( x).7 / 6 / 6 ( 6 ( 5%) 6 ( x) 9 / 9 / Taux à an oit 5.79% Taux à an oit 5.9% ( 5.%) ( 5.%) Daniel HERLEMONT 5.5 ( x) 5 ( 5.79%) 5 ( x%)

22 Interpolation Quand on utilie la méthode théorique directe ou le boottrap, il et néceaire de choiir une méthode d interpolation entre deux point. Deux ont particulièrement utiliée: le interpolation linéaire et cubique. Interpolation linéaire: On connaît le taux zero-coupon de maturité t et t. On ouhaite interpoler le taux de maturité t avec t< t <t R(, t) ( t t) R(, t) ( t t ( t t ) ) R(, t ) Exemple: R(,) 5.5% et R(,4)6%.5 5.5%.75x6% R(,.75) 5.875% Daniel HERLEMONT

23 Interpolation cubique: On procède à une interpolation cubique par egment de courbe. On définit un premier egment entre t et t4 où l on dipoe de 4 taux R(, t), R(, t), R(, t), R(, t4). Le taux R(, t) de maturité t et défini par R (, t) at bt ct d ou la contrainte que la courbe pae par le quatre point de marché R(, t), R(, t), R(, t), R(, t4). D où le ytème à réoudre: R(, t) at R(, t) at R(, t) at R(, t4) at 4 bt bt bt bt 4 ct ct ct ct 4 d d d d Daniel HERLEMONT

24 Exemple d interpolation cubique Exemple On e donne le taux uivant : R(, t) 4%, R(, t) 5%, R(, t) 5.5% et R(, t4) 6% Calculer le taux de maturité.5 an? R(,.5) a x.5 b x.5 c x.5 d 5.475% avec a b c d % 5% 5.5% 6% Daniel HERLEMONT 4

25 Comparaion de interpolation linéaire v cubique 6.5% 6.% Linéaire Cubique 5.5% Taux 5.% 4.5% 4.%.5%.% Maturité Daniel HERLEMONT 5

26 Le méthode indirecte Ce ont le méthode le plu utiliée en pratique Principe: Pour un panier d obligation à coupon, il agit de la minimiation de l écart au carré entre le prix de marché et le prix recontitué à l aide d une forme a priori pécifiée de taux zérocoupon ou de la fonction d actualiation. Soit un panier contitué de n titre. On note à la date t: j P t j P t j F : prix de marché du j-ème titre. : prix théorique du j-ème titre : flux futur du j-ème titre tombant à la date ( > t) Daniel HERLEMONT 6

27 Le méthode indirecte - le modèle à pline fondé ur une modéliation de la fonction d actualiation. j t f et une fonction linéaire de paramètre d etimation. Par conéquent, le prix de l obligation et également une fonction linéaire de paramètre d etimation La réolution d un tel problème et donc matricielle. Cf MP p. 9 à 8 et p. 67 à 7 P F B( t, ) F f ( t; β ) j j Daniel HERLEMONT 7

28 Le méthode indirecte () L idée conite à trouver le vecteur de paramètre β tel que n j j Min P t Pt β j On ditingue deux grande clae de modèle: -le modèle type Nelon et Siegel fondé ur une modéliation de taux zéro-coupon (cf MP 8 à 4). - Le modèle à pline. Il ont fondé ur une modéliation de la fonction d actualiation. Le plu célèbre ont le pline polynomiaux (cf Mc Culloch (97,975)) et le pline exponentielle (cf Vaicek et Fong (98)). Leur avantage tient à leur grande flexibilité qui leur permet de recontruire toute le forme de courbe rencontrée ur le marché. Daniel HERLEMONT 8

29 Daniel HERLEMONT 9 Le Modèle NELSON SIEGEL t R t j j j t e F t B F P ) ; ( ). (. ), ( β R et la fonctionnelle de taux zéro-coupon. Le prix de l obligation et une fonction non linéaire de paramètre d etimation. La réolution d un tel problème effectue à l aide d un algorithme de Newton modifié (cf MP p. 7 à 75). t R C ) θ τ θ τ θ τ θ β τ θ τ θ β β θ ) exp( ) exp( ) exp( (

30 Daniel HERLEMONT Nelon Siegel R : taux zéro-coupon de maturité θ β : facteur de niveau; il agit du taux long. β : facteur de rotation; il agit de l écart entre le taux court et le taux long β : facteur de courbure τ: paramètre d échelle detiné à reter fixe au cour du temp t R C ) θ τ θ τ θ τ θ β τ θ τ θ β β θ ) exp( ) exp( ) exp( (

31 NELSON SIEGEL Il et aié d exprimer le dérivée partielle de R par rapport à chacun de paramètre béta, ce que l on appelle le enibilité de taux zéro-coupon aux paramètre béta (cf graphique uivant). Ce enibilité ont trè proche de celle que l on obtient hitoriquement en appliquant la méthode de l ACP aux taux zérocoupon. On retrouve bien le facteur de niveau, pente et courbure. Daniel HERLEMONT

32 Nelon Siegel. Senibilité de taux béta béta béta Maturité de taux Daniel HERLEMONT

33 Nelon Siegel Inconvénient du modèle de Nelon et Siegel Le modèle de Nelon et Siegel ne permet pa de recontituer toute le forme de courbe de taux que l on peut rencontrer ur le marché, en particulier le forme à une boe et un creux (voir lide uivante). En outre, il manque de ouplee d ajutement pour le maturité upérieure à 7 an i bien que le obligation de telle maturité ont parfoi mal évaluée par le modèle. Le premier inconvénient peut être levé en utiliant le modèle de Svenon ou modèle de Nelon-Siegel augmenté. Zero-coupon rate M a t u r i t y Daniel HERLEMONT

34 Concluion ur le modèle de type Nelon et Siegel Le reproche ouvent formulé à l encontre de cette clae de modèle et leur inuffiante flexibilité. En revanche le variable de ce modèle ont interprétable financièrement. Cette clae de modèle et en pratique le plu ouvent utiliée pour l analye et la couverture du rique de taux de portefeuille à flux connu. Nou allon à préent aborder le modèle à pline qui ont beaucoup plu flexible mai préentent au contraire de paramètre qui ne ont pa interprétable d un point de vue financier. Daniel HERLEMONT 4

35 Daniel HERLEMONT 5 Le pline polynomiaux - Modéliation tandard Il et commun de conidérer l écriture tandard comme dan l exemple qui uit: La fonction d actualiation compte ici paramètre. On rajoute de contrainte de régularité ur cette fonction qui garantient la continuité, la continuité de la dérivée première et de la dérivée econde de cette fonction aux point de raccord 5 et. [ ] [ ] [ ],, ) ( 5,, ) (,5, ) ( ) (, 5 a b c d B a b c d B a b c d B B

36 Daniel HERLEMONT 6 Le pline polynomiaux () Pour i, et : Et la contrainte qui porte ur le facteur d actualiation: En utiliant l enemble de ce 7 contrainte, le nombre de paramètre à etimer tombe à 5: () () (5) (5) ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( i i i i B B B B [ ] [ ] [ ],, ) ( ] ) ( 5) [( ] 5) ( [ ) ( 5,, 5) ( ] 5) ( [ ) (,5, ) ( ) (, 5 a a a b c B a a b c B a b c d B B () B

37 Le pline polynomiaux () Le ytème précédent peut être écrit ou la forme uivante: B(, ) c ( a a ) ( a a ).( ) pour [,] b a.( 5) [ (( ) )] où ( θ ) Max θ, puiance. et la fonction dite bornée de Il y a une autre écriture de cette équation dan la bae de B- pline. Cette écriture et devenu extrêmement claique. Daniel HERLEMONT 7

38 Daniel HERLEMONT 8 Le pline polynomiaux (4) - Expreion dan la bae de B-pline Le B-pline ont de fonction linéaire de fonction bornée de puiance. On écrit alor: où le coefficient lambda ont défini comme uit: et ( ) 4 4 ) ( ) (, l l l j j l j i l i j i l l l l c B c B λ λ λ ) ( B l λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ < < < < < < < < < () () (,) l l l l l l B c B c B

39 Le choix du nombre de pline Le nombre de pline influe ur la qualité de réidu et le liage de la courbe. Plu il y a de pline et meilleur ont le réidu. La courbe devient toutefoi moin lie, et peut paer par de point aberrant. Moin il y a de pline et plu on lie la courbe. Mai le écart de prix peuvent devenir important ce qui laie à pener que la courbe et mal rendue. Pour choiir au mieux ce nombre de pline, on peut utilier la règle uivante. Daniel HERLEMONT 9

40 Le choix du nombre de pline () On contitue deux panier. Le premier panier dit de minimiation contient le titre qui ont permi d obtenir le paramètre d etimation. Le deuxième panier dit de vérification contient de titre qui n ont pa ervi lor de la minimiation. Dan la meure du poible, il faut que ce deux panier oient homogène, i.e contiennent à peu prè le même nombre de titre, et le même type de maturité (court, moyen et long). Pour chacun de ce deux panier, l idée conite à calculer l écart de prix moyen: E j n j ( P t j n j t P ) Daniel HERLEMONT 4

41 Le choix du nombre de pline () Ce deux écart ont noté Emin et Everif. La règle et la uivante: - On calcule ce deux écart et on aure qu il ont inférieur à la moyenne de fourchette «bid-ak» (environ centime de prix). S il ne le ont pa, on augmente le nombre de pline juqu à temp qu il le deviennent. - On calcule la différence entre ce deux écart: * i elle et faible, le nombre de pline et bien pécifié. * i elle et forte, le nombre de pline et probablement trop élevé. Il faut donc en retirer juqu à temp que cette différence devienne faible. Daniel HERLEMONT 4

42 La localiation de point de raccord La règle la plu logique conite à localier ce point de telle façon que chaque pline contienne à peu prè le même nombre de titre. Par exemple, ur le marché françai, on définit 5 pline: [- an] : uper court (BTF ou Monétaire BTAN) [- an] : court terme (BTAN) [-7 an] : moyen terme (BTAN OAT) [7- an] : long terme (OAT) [- an] : trè long terme (OAT) Daniel HERLEMONT 4

43 Spot et Forward Y ear Spot 4.% 5.5% 6.% 6.5% 7.5% 8.% 8.% 8.% Yield 4.% 4.75% 5.6% 5.5% 5.89% 6.4% 6.49% 6.68% 6% 4% % -Yr Spot Rate Zero Yield Curve % 8% 6% 4% % % Daniel HERLEMONT 4

44 Spot v Forward () Y ear Yield.5% 9.5% 8.75% 8.% 7.75% 7.75% 7.5% 7.5% Forward.5% 7.54% 7.7% 5.78% 6.76% 7.75% 6.% 5.5% 6% 4% % Forward Rate Zero Yield Curve % 8% 6% 4% % % Daniel HERLEMONT 44

45 Convexité Price Coupon % Duration 9.6 Y ield Maturity 4.5% 5 5 Price % 5% % 5% % 4 Price % 5 Duration 5 5 % 5% % 5% % % 5% % 5% % Daniel HERLEMONT 45

46 Le Prix en fonction du Coupon et de la Maturité Coupon A Coupon B Coupon C Y ield 5.5% 8.%.% 8.% Maturity A 5 5 Maturity B 5 5 Maturity C 5 5 % % 4% 6% 8% % % 4% 6% 8% % Daniel HERLEMONT 46

47 Duration Coupon A Coupon B Coupon C Y ield.% 6.%.%.% Maturity A 8 5 Maturity B 5 5 Maturity C 5 5 % % 4% 6% 8% % % 4% 6% 8% % Toute choe étant égale par ailleur, plu le coupon et faible, plu la duration et élevée Daniel HERLEMONT 47

48 Duration (uite) Coupon A Coupon B Coupon C Y ield 6,% 6,% 6,% 8,% 7,6 9,79,7 Maturity A 5 Maturity B 5 5 Maturity C 5 % % 4% 6% 8% % % 4% 6% 8% % la duration d une obligation augmente, de manière non proportionnelle, avec a durée de vie car la contribution à la duration de année le plu lointaine et réduite par l actualiation. Daniel HERLEMONT 48

49 Immuniation Conidéron une ociété qui ouhaite tenir un engagement de million dan un an Elle ouhaite invetir maintenant pour tenir cet engagement. L'achat d'un zéro coupon pourrait répondre à cet objectif. Cependant, le zéro coupon n'et pa toujour diponible à la maturité ouhaitée. La ociété et donc obligé de choiir de obligation ur le marché qui vont lui permettre de. Répliquer la valeur actuelle, avec un taux et de 9%, la valeur actuelle de l'obligation et Etre immune aux variation de taux d'intérêt > la duration du portefeuille doit être la même que celle de l'obligation (an) Obligation diponible Taux maturité (année) prix Yield (TRA) Duration O 6% %.44 O %. 9% 6.54 O 9% 9% 9.6 Premier contat: on doit choiir au moin une obligation dont de duration > > choix de O Choiion O et O, avec V et V le montant inveti dan ce obligation, on doit vérifier: V V PV D V D V PV Solution V et V lorque le taux pae de 9% à 8%, le portefeuille ne varie que de 56 de 9% à % le portefeuille ne varie que de 6 ce qui rete négligeable ource: exemple Luenberger, p. 64 Il et conviendra de "ré ajuter" le portefeuille périodiquement au fur et à meure de la variation de taux Daniel HERLEMONT 49

50 Exemple de librairie à réalier double cah_flow_pv(int n, double cflow_time[], double cflow_amount[], double r) { // calculate preent value of cah flow, continou dicounting int t; double PV.; for (t; t<n;t) { PV cflow_amount[t] * exp( -r * cflow_time[t]); }; return PV; }; Daniel HERLEMONT 5

51 Taux de rendement interne Avec Ct le cah flow C étant, par exemple, le prix d'une obligation dan ce ca y yield rendement à maturité Algorithme à implementer en C : recherche d'une racine par biection double cah_flow_irr(double[] cflow_time, double[] cflow_amount) { }; A adapter à partir de Numerical Recipe voir le fonction zbrac et rtbi Explication et code C diponible online (google "Numerical Recipe in C") Daniel HERLEMONT 5

52 Numerical Recipe in C Le livre et diponible online en intégralité!!! Plu de O page aperçu du contenu Daniel HERLEMONT 5

53 NR (uite) Daniel HERLEMONT 5

54 NR (uite) Daniel HERLEMONT 54

55 Exemple NR - biection Attention, i le NR contituent une référence incontournable, le code C n'et pa toujour écrit de manière liible!!!! Par exemple l'intruction rtb f <.? (dxx-x,x) : (dxx-x,x); devra être réécrite ou une forme plu liible, par exemple: if (f<.) { rtbx; dxx-x; } ele { rtbx; dxx-x; } Attention Le NR utilient de tableaux indéxé de à n et non pa de à n-!!! Daniel HERLEMONT 55

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