VIBRATIONS COUPLEES AVEC LE VENT

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1 VIBRATIONS OPLEES AVE LE VENT Pscl Hémon Lbortoire d Hydrodynmique, LdHyX Ecole Polytechnique, Pliseu Octobre 00

2 Vibrtions couplées vec le vent Si vous pense que j i révélé des secrets, je m en ecuse. Si vous pense que tout cel n est qu un tissu d bsurdité, Prene-y plisir Drugp ünleg (55-570) Pscl Hémon LdHyX, Déprtement de écnique Ecole Polytechnique -98 PALAISEA EDEX él :

3 Avnt-propos L objectif de ce cours est d introduire les phénomènes mécniques produisnt les vibrtions de structures sous l ction du vent. Le point de vue dopté est phénoménologique et restreint l eposé à des structures bidimensionnelles telles que le profil d ile, le tblier de pont ou un hubn. Il s dresse à un public d ingénieurs ou d élèves ingénieur possédnt une culture de bse en mécnique et souhitnt ppréhender ces problèmes du point de vue physique. Le premier chpitre epose quelques notions d érodynmique de bse et pose les définitions qui sont utilisées ensuite. e chpitre constitue principlement une description qulittive des écoulements et de leurs effets. Le chpitre est le cœur de ce cours. Il introduit les différents mécnismes générteurs de vibrtion, notmment pr l notion de dérivées de flottement. L hypothèse qusi-sttique employée permet d étudier les différents types d ecittion sns mettre en œuvre des clculs complees. Dns le chpitre 3 on s ffrnchit de l hypothèse qusi-sttique pour générliser le domine d ppliction. Les résultts clssiques de l théorie de l éroélsticité sont présentés et discutés sur le profil d ile, puis sur une structure de type tblier. Enfin le chpitre présente succinctement quelques phénomènes spécifiques rencontrés essentiellement sur les câbles de hubn. e document s est enrichi des remrques d Emmnuel de Lngre, écile Lemitre et hrlotte Py du LdHyX que je remercie pour le temps qu ils y ont conscré. 3

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5 Sommire. Notions d érodynmique Rppels de mécnique des fluides Equtions de Nvier-Stokes Equtions d Euler Eqution de Bernoulli Prmètres dimensionnels lssifiction des écoulements..... Les chrges érodynmiques Définition des ctions de pression et coefficient de pression Définition des efforts et des moments érodynmiques Le centre de poussée Le foyer érodynmique Influence du nombre de Reynolds et de l turbulence Le détchement tourbillonnire Description générle Le nombre de Strouhl Influence de l écoulement mont Le vent turbulent Spectres de turbulence onctions de cohérence et de corréltion.... Phénomènes éroélstiques Introduction L fréquence réduite Le flottement clssique ise en éqution Stbilité et vitesse critique s de l ile d vion

6 Vibrtions couplées vec le vent.3.. s d un tblier profilé Les flottements à un degré de liberté L divergence en torsion Le glop Le flottement de décrochge en torsion Ecittion pr l turbulence Ecittion pr détchement tourbillonnire Approche linéire Limite de l pproche linéire Aéroélsticité Limite de l hypothèse qusi-sttique s du profil d ile mince ouplge fleion-torsion omprison vec l théorie qusi-sttique Le décrochge dynmique Effet de l turbulence s des corps non profilés Les dérivées de flottement Problème de l mortissement en torsion Admittnces...5. Phénomènes prticuliers L crise de trînée Le glop de sillge L ecittion conjointe vent-pluie Bibliogrphie...59 Annee : Rppel sur l oscillteur à un degré de liberté...60 Annee : Nombres de Strouhl de sections usuelles...6 Annee 3 : Dérivées des efforts de quelques sections usuelles...6 6

7 . Notions d érodynmique e chpitre ne constitue ps une présenttion générle de l'érodynmique. Il s'ttche seulement à en présenter les principu concepts qui interviennent dns l'étude du comportement des structures soumises u ctions du vent... Rppels de mécnique des fluides... Equtions de Nvier-Stokes L mécnique des fluides est régie u pln mcroscopique pr les équtions de Nvier-Stokes issues des principes de conservtion hbituels de l mécnique : conservtion de l msse et de l quntité de mouvement. Dns le contete érodynmique et du vent à bsse ltitude, ces équtions se simplifient : les vitesses rencontrées sont lrgement inférieures à l vitesse du son et l msse volumique de l'ir est supposée constnte. 'est l'hypothèse d'incompressibilité ; l tempérture de l'ir est constnte ; l'ir est un g léger dont l poids propre est négligé devnt les utres forces. es équtions sont complétées pr une loi d'étt et de comportement du fluide. L'ir est normlement considéré comme un g prfit et un fluide newtonien. ette loi de comportement suppose une reltion linéire entre les contrintes de cisillement et le grdient de vitesse, vi l viscosité µ qui trduit les effets de frottement interne u fluide. Toutes ces hypothèses permettent d obtenir les équtions de l'érodynmique bsse vitesse. Les équtions de Nvier-Stokes sont réduites lors à l'éqution de continuité et de l quntité de mouvement. u u 0 ; ρ ρ ( u u) p µ u ρ f (.) t

8 Vibrtions couplées vec le vent où u est l vitesse, p l pression, ρ l msse volumique, f l'ccélértion due u forces de volume et de surfce et t le temps. e système doit être nturellement muni de conditions u limites, notmment sur les prois solides, et initiles. Dns l'éqution de l quntité de mouvement, le premier membre constitue l dérivée prticulire de l vitesse représentnt l'ccélértion d'une prticule de fluide qui se déplce. Le second membre trduit l'effet des contrintes internes et se décompose en un terme de pression hydrosttique, un terme de viscosité dû u frottement interne et un terme d'ccélértion dû u forces de volume et de surfce. Le terme visqueu constitue un élément importnt de l'érodynmique cr on ne peut ps le négliger dns un écoulement à proimité d'une proi solide à cuse de l couche limite qui s'y développe. e système non linéire reste très difficile à résoudre numériquement pour les écoulements complees rencontrés dns l prtique.... Equtions d Euler Les équtions d'euler sont une simplifiction des équtions de Nvier-Stokes pour lesquelles on négligé le terme dû à l viscosité. Elles sont utilisées en prtique pour clculer les écoulements loin de prois solides et sse souvent dns le domine éronutique pour les écoulements compressibles à grnde vitesse. Elles sont générlement munies de modèles empiriques de prois fin de rendre compte de l'effet de couche limite. p 0 p igure.. Définition des pressions totle p 0 et sttique p sur un tube de Prndtl...3. Eqution de Bernoulli L'éqution de Bernoulli est très utile en érodynmique et peut s'obtenir à prtir des équtions d'euler prises sous forme intégrle. Nturellement elle contient les hypothèses des équtions d'euler uquelles s'joute celle d'un écoulement irrottionnel, c'est-à-dire u 0. Son usge est très cournt dns le cs d'un écoulement sttionnire incompressible. Elle permet le long d une ligne de cournt de relier directement l pression sttique p et l pression totle p 0 pr : ρ u p p0 (.) ette reltion est lrgement utilisée en soufflerie pour clculer l vitesse moyenne à prtir de l mesure des pressions sttique et totle à l'ide d'un tube de Prndtl (souvent ppelé à tort un tube de Pitot double, cf. figure.). L pression sttique est l pression mesurée pr un orifice plcé perpendiculirement à l'écoulement moyen, tndis que l pression totle est mesurée dns l'e de l 8

9 Notions d érodynmique vitesse moyenne. A noter que l pression totle est justement ppelée prfois l pression d'rrêt du fit qu'il s'git d'une pression obtenue à vitesse nulle dns l'e de l'écoulement. On définit pr illeurs l pression dynmique q ρ u.... Prmètres dimensionnels Nous vons mentionné l difficulté à résoudre les équtions de Nvier-Stokes pour l'érodynmique. Aussi les essis en soufflerie représentent un moyen d'obtenir des informtions fibles sur les écoulements et leurs effets sur les structures. Or il convient de respecter des règles de similitudes fin que le problème simulé en soufflerie sur mquette à échelle réduite, soit bien représenttif du cs réel. L trnsformtion de l'éqution de l quntité de mouvement en une éqution lint des grndeurs sns dimension permet de mettre en évidence une prtie des prmètres dimensionnels. On définit donc une liste de grndeurs physiques de référence, pr eemple l lrgeur B du tblier d un pont en tnt que longueur de référence. Soit ~ ~ / B, f f / g, où g est l'ccélértion de l grvité, lors en remplçnt dns l'éqution de l quntité de mouvement (.), on boutit à ~ St ~ u ~ ρ ~ ρ t γ Re r ( ~ ~ ) ~ u u p u ~ ~ ρ f ~ (.3) où les tildes indiquent des grndeurs sns dimension. Le coefficient dibtique γ vut, pour l'ir considéré comme un g prfit. Le nombre de ch est le rpport de l vitesse du vent vec l célérité du son : ref (.) c Il trduit les effets de compressibilité. Selon les hypothèses prises plus hut, ce nombre est petit devnt. A titre indictif, il est d'usge cournt de tenir compte de l compressibilité à prtir des nombres de ch supérieurs à 0,3, soit des vitesses de référence supérieures à 360 km/h. Négliger l compressibilité de l'ir pour l'effet du vent sur les structures s'vère tout à fit légitime. Le nombre de Strouhl St est un prmètre fondmentl cr il représente le rpport de l longueur de référence vec l longueur prcourue pr une prticule fluide à l vitesse de référence pendnt une durée de référence de l'écoulement, soit B St (.5) ref T ref L significtion physique de ce prmètre reltive u détchement tourbillonnire ser détillée plus loin. Pr essence, le nombre de Strouhl est un prmètre lié à l écoulement ne tennt ps compte de l structure. 9

10 Vibrtions couplées vec le vent Il ne fut surtout ps le confondre vec l fréquence réduite qui s utilise dès que l'on considère une structure en oscilltion. Le phénomène trité est très différent bien que l epression lgébrique de l fréquence réduite soit l même que pour le nombre de Strouhl, en remplçnt l durée T ref liée à l écoulement pr l période des oscilltions T. L fréquence réduite permet de déterminer dns quelle mesure le mouvement du solide peut modifier l écoulement. Lorsque s vleur est petite devnt, l distnce prcourue pr une prticule fluide pendnt une période d'oscilltion est grnde devnt l lrgeur de l structure. L'écoulement se comporte comme si les oscilltions n'eistient ps et on dit qu'il est qusi-sttionnire, c'est à dire qu'à chque instnt on peut le considérer sttionnire pour chque position instntnée de l structure. Le nombre de Reynolds Re constitue le prmètre déterminnt pour l'effet d'échelle. Il représente physiquement le rpport des forces d'inertie et des forces visqueuses eercées sur une prticule fluide, soit : ρ ref B ref B Re (.6) µ ν Pour mesurer un effort sur une structure, respecter l'nlogie de Reynolds revient insi à respecter l proportion entre les forces de cisillement liées à l viscosité, et les forces de pression résultnt de l vitesse du fluide. De fit, l'nlogie de Reynolds introduit l similitude sur les couches limites où s'eercent notmment les efforts de viscosité et d'utres phénomènes plus complees comme les décollements. Il permet en quelque sorte de grntir que les efforts mesurés sur une mquette pourront s'etrpoler à l structure réelle. A titre indictif, en prennt un pont de 30 mètres de lrge ynt une période propre de 5 secondes, et soumis à un vent de 97 km/h (7 m/s), lors l fréquence réduite vudr 0. et le nombre de Reynolds En règle générl, l'effet du vent sur les ouvrges s'étudie donc dns des conditions de très grnd nombre de Reynolds (en diine de millions) et des fréquences réduites sse fibles (utour de l'unité). Le nombre de roude r est le rpport des forces d'inertie vec les forces de grvité. L similitude qu'il étblit est souvent négligée suf pour les ponts suspendus où les forces de pesnteurs jouent un rôle importnt. ref r (.7) B g Nturellement, il eiste d'utres contrintes de similitude pour des essis en soufflerie : en prticulier les prmètres liés à l turbulence et l couche limite tmosphérique doivent être correctement reproduits. 0

11 Notions d érodynmique L intensité de turbulence I u est le rpport entre l moyenne qudrtique des fluctutions de l vitesse u et l vitesse moyenne de référence ref. L intensité est générlement donnée en pourcentge. I u σ u T, vec u ( ) u t ref T 0 σ dt (.8) On définit de mnière identique les intensités de turbulence pour les composntes v et w de l vitesse...5. lssifiction des écoulements Les écoulements utour des structures se clssent en deu ctégories principles qui sont conditionnées pr l forme générle des structures : profilées ou non profilées. ne structure profilée se crctérise pr des formes rrondies, sns rrête vive, et une dimension longitudinle très supérieure à son épisseur trnsversle. Le bord de fuite, qui est l prtie rrière, est formé de mnière à produire une terminison sns surfce perpendiculire à l'e longitudinl. L'rchétype en est le profil d'ile d'vion à fible incidence. L'écoulement utour des prois et dns le sillge reste peu perturbé pr l présence de l structure comme schémtisé figure.. On dit dns ce cs que l'écoulement est non décollé, c'est à dire que l vitesse du fluide u voisinge des prois tend à leur rester globlement prllèle. igure.. Eemple d'un écoulement non décollé utour d'un profil d'ile. Dns le cs des ouvrges soumis u vent, les formes ne sont priori ps spécilement dessinées selon des critères liés u écoulements. Elles comportent souvent des rrêtes vives et leur forme générle s'éloigne du profil d'ile idél. En prticulier, le bord de fuite comporte un culot produisnt un sillge importnt comme schémtisé figure.3. Au voisinge des prois, l vitesse peut subir de très fortes perturbtions jusqu'à présenter une inversion de sens sous l forme de tourbillons. On dit dns ce cs que l couche limite est décollée prce que l'écoulement principl ne semble plus dhérer à l proi. ette notion de décollement est fondmentle pour ppréhender certins phénomènes tels que le détchement de tourbillons ou bien le décrochge. Le décollement de couche limite produit en outre des efforts de trînée qui sont beucoup plus importnts que lorsque l'écoulement reste ttché. On peut clsser les décollements de couche limite en deu ctégories, selon que l proi est à surfce courbe ou bien à rrêtes vives (figure.). Pour les prois rrondies, le point de décollement est situé à une position qui est souvent instble dns le temps et l'espce.

12 Vibrtions couplées vec le vent Dns le cs d'une forme nguleuse, le décollement v u contrire se produire invriblement sur l'rrête. Notons ussi qu une imperfection de surfce plcée sur une forme courbe git comme une rrête en fint le point de décollement sur cette imperfection. igure.3. Eemple d'un écoulement décollé utour d'un cylindre crré (distribution de vorticité et iso-contours de pression). En résumé, on peut donc clsser les structures en deu ctégories érodynmiques sse distinctes : les formes profilées, utour desquelles les écoulements restent ttchés, mis qui sont eceptionnelles dns le domine des ouvrges et sont principlement utilisées en éronutique. les structures non profilées qui produisent à leur voisinge des écoulements très perturbés à cuse des décollements. Elles représentent l très grnde mjorité des ouvrges. ouche limite point de décollement souvent instble ouche limite point de décollement fie igure.. Deu types de décollement de couche limite... Les chrges érodynmiques Les chrges érodynmiques peuvent s'évluer loclement sur une structure à l'ide de l distribution de pression à l proi, ou bien globlement grâce à un torseur d'efforts.... Définition des ctions de pression et coefficient de pression L'ction de l pression s'effectue en vertu du principe de uchy selon l normle à l proi et proportionnellement à l pression sttique p. Aussi, l'effort élémentire d eercé sur un élément de surfce ds de vecteur norml unitire N s'écrit simplement : d p ds N (.9) Le signe moins est conventionnel et dépend du sens choisi pour le vecteur N.

13 Notions d érodynmique ependnt, l'ction de l pression sttique ne représente ps tout l'effort eercé loclement. En effet, l'écoulement d'un fluide visqueu produit une couche limite crctérisée pr un grdient de vitesse à l proi. e grdient est selon l'hypothèse d'un fluide newtonien linéire vec les contrintes de cisillement qui en découlent. Il s'joute donc à l'effort de pression un terme de frottement qui est dû à l viscosité du fluide. En prtique pour les structures non profilées, ce terme de frottement est négligeble devnt l'ction de l pression. Pour les structures profilées comme une ile d'vion, le terme de frottement contribue u contrire de mnière équivlente à l'effort de trînée de sorte qu il n est ps possible de le négliger. En prtique l pression est rendue dimensionnelle. omme elle dépend de l vitesse de l'écoulement, on coutume de l présenter sous l forme d'un coefficient de pression noté p p donné pr : p pref (.0) ρ ref Les vleurs de référence utilisées sont des grndeurs moyennes générlement prélevées à l'mont de l mquette pr eemple à l'ide d'un tube de Prndtl. L pression de référence choisie en prtique est souvent l pression sttique en mont. Ainsi, un coefficient de pression ne pourr jmis voir une vleur supérieure à cr en ppliqunt le théorème de Bernoulli en sttionnire, l vleur mimle possible de p est l pression d'rrêt p 0 ce qui donne bien un coefficient u mimum égl à. A l rrière d une structure non profilée, le coefficient de pression est négtif, sns borne inférieure en théorie. L trînée de ce type de structure est principlement occsionnée pr cette forte dépression que l on ppelle l effet de culot. Le coefficient de pression est un prmètre générlement indépendnt de l vitesse de l'écoulement et lié uniquement à l géométrie de l structure. Il peut dépendre du nombre de Reynolds à cuse notmment des vritions de position des points de décollement et de recollement de couche limite sur les structures non profilées.... Définition des efforts et des moments érodynmiques onnissnt l distribution de pression priétle, il est sse isé d'en réliser l'intégrtion fin d'obtenir des efforts globu. is on peut églement être mené à mesurer directement ces efforts à l'ide de blnces érodynmiques. Dns ce cs, il est indispensble de définir u prélble le référentiel dns lequel est représenté le torseur. Les érodynmiciens ont coutume d'eprimer les efforts dns le trièdre lié u vent (pr trdition le trièdre Eiffel), mis pour le clcul des ouvrges, il est souvent plus commode de trviller dns le trièdre lié à l structure (dit le trièdre Lilienthl). En employnt les nottions de l figure.5 le trièdre lié u vent d'es (O, D) et (O, L) est obtenu pr rottion d'ngle α vec le trièdre lié à l structure d'es (O, ) et (O, ). Dns le cs tridimensionnel, 3

14 Vibrtions couplées vec le vent on peut jouter l'e (O, y) perpendiculire u pln de l figure. Dns tous les cs, les trièdres sont directs. L'ngle α est l'ngle d'incidence. Le torseur d'efforts tridimensionnel dns le trièdre structure est constitué de 3 forces et de 3 moments : l force de trînée le moment de roulis, l force de dérive, le moment de tngge y, l force de portnce, y et le moment de lcet. L D α V B O igure.5. Nottions pour les trièdres de référence bidimensionnels. Dns le cs bidimensionnel, en considérnt le pln verticl, seuls les forces de trînée et de portnce et le moment de tngge sont significtifs. Les efforts érodynmiques sont générlement donnés sous forme de coefficients sns dimension, ce qui permet fcilement de trnsposer un effort mesuré sur une mquette à un effort sur l'ouvrge réel. On définit donc les coefficients de force pr : ; ρ ref S y y ; ρ ref S (.) ρ ref S où S est une surfce de référence, pr eemple l surfce du tblier d'un pont. Lorsque les efforts sont donnés dns un contete bidimensionnel, on risonne sur des efforts pr unité de longueur et l surfce de référence S est remplcée hbituellement pr l lrgeur B de l structure. ependnt, on doit porter une ttention toute prticulière à l longueur effectivement prise comme référence pour le clcul des coefficients sns dimension. Il rrive prfois que le coefficient de trînée soit défini à l'ide de l'épisseur ce qui peut représenter une source d'erreur importnte. Les coefficients de trînée et de portnce en es vent seront notés Les coefficients de moment sont donnés pr ; ρ ref S B y ; ρ ref S B En deu dimensions, seul le coefficient de tngge N D et L respectivement. (.) ρ ref S B est utilisé et crctérise le moment de torsion pr unité de longueur. En générl, on choisir l'e pssnt pr le milieu de l structure pour définir le moment de tngge. De même que pour les forces, l longueur de référence choisie pour les coefficients de moment peut être différente de l lrgeur B, en prticulier on trouve prfois des coefficients bsés sur l demi

15 Notions d érodynmique lrgeur. Il fut en prtique systémtiquement contrôler les grndeurs de référence vnt d'utiliser des coefficients dns un clcul. En résumé, pour une section bidimensionnelle de lrgeur B, le torseur des coefficients pr unité de longueur ser donc dns le repère de l structure : cosα sinα ρ D L ; sinα cosα ref B ρ D L ref B y (.3) ρ ref B Dns ce contete bidimensionnel, il convient de présenter quelques remrques sur différents points qui seront utilisés pr l suite. En effet, l grnde prt des notions bordées ici est issue du milieu éronutique et ppliquée hbituellement u profil d'ile ; leur etension u tbliers de pont notmment nécessite des précutions...3. Le centre de poussée Le centre de poussée se définit hbituellement comme le point d'ppliction de l force de portnce, c'est à dire qu'il est lié à l fçon dont l pression priétle se réprtit de prt et d'utre de l'e longitudinl de l'ile ou du tblier. Il s'git en quelque sorte d'un point nlogue u centre de grvité mis où l réprtition de l msse serit remplcée pr l réprtition de l pression érodynmique. S position se déduit fcilement à l'ide du moment de tngge et de l portnce, où p est l distnce entre le centre de poussée et le point de référence du moment de tngge. L position de ce point n'est ps fie en fonction de l'ngle d'incidence. En générl pour un profil d'ile, s position pr rpport u bord d'ttque est environ u 3/ de corde à incidence nulle, et tend à se déplcer vers l'vnt jusqu'à / lorsque l'incidence ugmente. Lorsque l portnce s'nnule, il n'eiste plus à proprement prler de centre de poussée, lors que dns le même temps le moment de tngge n'est ps nécessirement nul. En rélité, le centre de poussée doit être considéré comme un point de référence lié u efforts érodynmiques sttiques. p... Le foyer érodynmique L'idée consiste à trouver un point fie de référence, le foyer érodynmique, qui n'entrîne ps de modifiction du moment de tngge lorsque l'ngle d'incidence vrie. Le coefficient de moment de tngge pris pr rpport u foyer s'écrit où B B représente l distnce reltive entre le foyer et le point de référence choisi pour le coefficient de moment de tngge, générlement le milieu du tblier. L dérivée de cette epression pr rpport à l'ngle d'incidence doit être nulle pr définition du foyer, ce qui conduit à 5

16 Vibrtions couplées vec le vent B α α (.) à l condition impértive que l position du foyer soit fie ou vrie très peu, c'est-à-dire 0. En α fit cette dernière condition est rbitrire, mis l'epérience montre en prtique qu'elle est vérifiée tnt que l'incidence ne vrie ps trop. Du reste, il est toujours possible de réévluer systémtiquement l position du foyer à l'ide des grdients de portnce et de tngge pris à l'incidence de trvil. Pour un profil d'ile mince, le foyer se situe environ u / de corde pr rpport u bord d'ttque et reste à cette position tnt que le régime d'écoulement n'est ps décroché. Pour un tblier de pont, on ne peut ps prédire priori s position, mis connissnt les évolutions des coefficients érodynmiques vec l'incidence, on peut toujours clculer l position d'un foyer pour une incidence donnée. Dns un contete de stbilité éroélstique, le foyer constitue le point de référence dominnt cr on montre qu il est le point d ppliction de vritions des efforts (de portnce notmment) utour de leur composnte sttique...5. Influence du nombre de Reynolds et de l turbulence L'influence du nombre de Reynolds et de l turbulence de l'écoulement mont est très importnte sur l distribution des pressions à l surfce des structures et pr conséquent sur les efforts. Les prmètres de l turbulence et le nombre de Reynolds ne sont ps indépendnts et provoquent des effets, d une prt sur l couche limite et d utre prt sur les points de recollement. Lorsque le nombre de Reynolds est sse bs, et que l turbulence mont est fible, l couche limite reste lminire. Si on ugmente le nombre de Reynolds, ou bien si l turbulence mont est forte, cette couche limite devient turbulente. Pour un corps non profilé, le décollement de couche limite est inévitble. Or une couche limite turbulente possède l propriété d'dhérer plus longtemps sur les prois qu'une couche limite lminire. Sur une surfce convee, comme illustré figure.6 le décollement d une couche limite lminire se produir vnt le sommet de l surfce, tndis qu une couche limite turbulente se séprer plus loin, cr elle résiste mieu u grdient de pression dverse. ouche limite lminire Décollement ouche limite turbulente Décollement igure.6. Décollement d'une couche limite lminire ou turbulente. Nous vons déjà mentionné le fit que l trînée des corps non profilés étit principlement produite pr l'effet de culot. Aussi l trînée produite pr le décollement de l couche limite lminire ser plus forte, puisque l one de séprtion est plus grnde, que pour une couche limite turbulente. 6

17 Notions d érodynmique En générl, l couche limite qui se développe à l surfce d'une proi est d'bord lminire, puis devient turbulente. L position de l one de trnsition est fortement influencée pr le nombre de Reynolds ou pr l présence de rugosités à l surfce des prois qui gissent lors comme des déclencheurs de l turbulence (effet «blle de golf»). ette propriété est lrgement utilisée en soufflerie pour prer à l'effet d'échelle sur les mquettes. () (b) point de séprtion couche de cisillement point de séprtion point de recollement couche de cisillement igure.7. ylindre rectngulire en écoulement fiblement () ou fortement (b) turbulent smooth I 5% I % Alph (deg.) igure.8. Effet de l turbulence sur le coefficient de portnce d un rectngle de rpport : Enfin le nombre de Reynolds et l turbulence ont églement une influence sur l'emplcement du point de recollement des couches de cisillement. Les conséquences sont très importntes en éroélsticité. Pr eemple, pour un rectngle de fible llongement figure.7() en écoulement fiblement turbulent, les lignes de séprtion ne recollent ps sur l'rrière du rectngle. ette configurtion conduit notmment à un grdient de portnce négtif, un élément importnt dns l stbilité éroélstique. Si pour le même rectngle on ugmente le tu de turbulence mont, figure.7(b), les lignes de séprtion rejoignent l'rrière du rectngle en crént un point de recollement. Dns ce cs, l dérivée de l portnce pr rpport à l ngle d incidence chnge de signe, comme illustré figure.8. (cf. ussi nnee 3). En résumé, il fut retenir que le nombre de Reynolds et les crctéristiques turbulentes gissent principlement dns l couche limite sur les points de trnsition lminire/turbulent et sur l position des décollements et des recollements. 7

18 Vibrtions couplées vec le vent.3. Le détchement tourbillonnire.3.. Description générle L'eistence d'un détchement, ou d'un échppement de tourbillons à l'rrière d'un obstcle plcé dns un écoulement est reltivement connue du public. Sur un pln historique, le phénomène été étudié u début du siècle epérimentlement pr Henri Bénrd en rnce et théoriquement pr Theodor Von ármán en Allemgne. Aussi, le nom de tourbillons de Bénrd-ármán est lrgement utilisé. Bien qu'à l'origine l'obstcle employé étit une plque plne plcée perpendiculirement à l'écoulement, ces tourbillons ont été lrgement étudiés à l'rrière du cylindre circulire (figure.9). igure.9. Tourbillons lternés derrière un cylindre circulire à fible Re En prtique, les tourbillons se détchent lterntivement de chque coté de l'obstcle pour former une rue de tourbillons lternés. e phénomène dépend du nombre de Reynolds cr il prend nissnce u sein de l couche limite, ou dns l couche de cisillement pour les formes nguleuses. D'une mnière générle, les obstcles non profilés présentnt une symétrie plus ou moins forte sont sujets à l'échppement tourbillonnire. Sur des surfces courbes, comme un cylindre circulire, il eiste une instbilité sptio-temporelle du point de décollement de l couche limite de prt et d'utre du cylindre. Lorsque les formes sont nguleuses, le point de décollement est fié sur l'rrête mis l couche de cisillement subit églement des instbilités qui induisent le déclenchement des tourbillons. Dns le cs du dimensionnement des structures, le prmètre le plus importnt de ce phénomène est l fréquence à lquelle se détchent les tourbillons cr ils génèrent sur l'obstcle des forces de portnce et de trînée fluctuntes qusi sinusoïdles..3.. Le nombre de Strouhl On note X l distnce entre tourbillons d'une même rngée et c l vitesse d'vncement à lquelle ils sont convectés pr l'écoulement mont de vitesse (figure.0). L fréquence f t du détchement tourbillonnire est le nombre de tourbillons lâchés pendnt une seconde, soit 8

19 Notions d érodynmique f t c X (.5) L'obstcle possédnt une dimension trnsversle D (le dimètre d un cylindre circulire), l fréquence sns dimension du détchement tourbillonnire est le nombre de Strouhl tel que ft D c D St (.6) X En prtique, le rpport entre l vitesse de convection des tourbillons et l vitesse de l'écoulement mont est une constnte de l'ordre de 0.5, vleur qui reste vlble quelque soit l forme de l'obstcle. En revnche, l distnce X vrie en fonction du nombre de Reynolds et de l forme de l'obstcle. Pour un cylindre circulire, cette distnce est de l'ordre de,5 fois le dimètre et il s'ensuit donc d'près l'epression (6) que le nombre de Strouhl est proche de 0,. L nnee donne des vleurs de nombre de Strouhl pour différentes sections d'obstcle. c X igure.0. orphologie des tourbillons lternés Influence de l écoulement mont Pour une section donnée, le nombre de Strouhl dépend de l'écoulement mont et notmment de l direction du vent. Générlement les chngements de fréquence de l'échppement des tourbillons sont ssociés u modifictions de l morphologie de l'écoulement. On rencontre trois types de tourbillons lternés (figure.) en fonction du rpport longueur sur épisseur : Pour des formes proches du crré, les tourbillons sont produits u bord d'ttque et se développent dns le sillge. 'est l'llée tourbillonnire clssique de Bénrd-ármán qui induit les efforts les plus élevés. Lorsque l dimension longitudinle de l'obstcle ugmente les tourbillons précédents vont lterntivement recoller directement l'rrière de l'obstcle ou le sillge proche. ette morphologie conduit générlement à des efforts inférieurs u tourbillons de Bénrd-ármán. Enfin si l'obstcle est nettement plus lrge que son épisseur, ce qui est souvent le cs des tbliers, lors on constte hbituellement l génértion d'une seconde série de tourbillons u bord de fuite, les tourbillons de bord d'ttque étnt qunt à eu recollés ltérlement à l'intérieur de l one cisillée. Les efforts induits sont générlement fibles. 9

20 Vibrtions couplées vec le vent n utre point importnt de l'échppement tourbillonnire est son spect tridimensionnel. En effet, toutes les descriptions et remrques précédentes sont reltives à des sections cylindriques bidimensionnelles. Or, pour le dimensionnement des structures il importe de connître l longueur de corréltion de ces tourbillons le long de l'e longitudinl des cylindres, c'est à dire l longueur moyenne le long du cylindre sur lquelle les tourbillons sont en phse. L'epérience montre qu'en prtique, tnt que l structure reste immobile dns l'écoulement, l longueur de corréltion de l'échppement tourbillonnire est de l'ordre de deu à trois fois le dimètre (ou l dimension trnsversle). ne forte intensité de turbulence mont ur tendnce à diminuer l longueur de corréltion, ce qui diminue d'utnt les efforts induits sur les structures. tourbillons de bord d ttque () recollement des tourbillons de bord d ttque (b) tourbillons de bord de fuite (c) igure.. Les trois types de tourbillons lternés.. Le vent turbulent Pour l étude de l effet du vent sur les structures, il convient de connître les propriétés du vent uquel ser soumis l ouvrge. Or l vitesse du vent dns les bsses couches tmosphériques vrie en temps et en espce et il fut donc en tenir compte pour le clcul de l structure. Dns ce prgrphe on présente les concepts principu utilisés plus loin et le lecteur est invité à se reporter à l littérture spécilisée pour pprofondir ces notions. Le profil de vitesse moyenne dns l bsse couche limite tmosphérique est générlement pris sous forme logrithmique : ( ) k ( ) 0 ln ref t (.7) 0 où l huteur de rugosité 0 et le coefficient de rugosité k t dépendent de l nture du terrin et des obstcles qui s y trouvent. En prtique, l huteur de rugosité vrie de 5 mm u dessus de plns d eu à m dns les ones de forte urbnistion. Dns le même temps le coefficient k t vrie respectivement entre 0.6 et

21 Notions d érodynmique L turbulence du vent est décrite hbituellement pr un petit nombre de prmètres dont l mbition première est d être prgmtique en donnnt des epressions simples à utiliser pour les clculs des effets du vent. Dns l prtique, les données de référence fondmentles comme l intensité de turbulence sont fiées pr chier des chrges, le plus souvent à l ide d évlutions météorologiques.... Spectres de turbulence Le spectre de turbulence permet de décrire l réprtition de l énergie des fluctutions (dont l intégrle est fiée pr l intensité de turbulence) en fonction de l fréquence f. Il eiste différentes formultions empiriques comme pr eemple celle de iml, mis l plus employée est l formultion de Von ármán ynt une meilleure représenttion u bsses fréquences. Le spectre de l vitesse longitudinle u s eprime pr S ( f ) u σ u u ( ) 70.7 f u ( ) 5 6 (.8) où u est l composnte en de l échelle de turbulence longitudinle. ette échelle est obtenue en justnt le spectre ci-dessus u mesures. Elle est différente de l échelle de turbulence clssique définie à prtir des fonctions de corréltion. Les échelles de turbulence font générlement prtie des données fournies pr le chier des chrges Su Sw requency (H) igure.. Spectres typiques de Von ármán Pour les deu utres composntes ltérle et verticle, le spectre de Von ármán s écrit S ( f ) k σ k k ( ) f 88. f 70.7 ( ) ( ) k k 6 (.9)

22 Vibrtions couplées vec le vent vec k v ou w. Pour illustrtion on donne figure. les spectres longitudinu et verticu pour des échelles de 50 et 30 m respectivement (vent de mer, cf. tbleu.).... onctions de cohérence et de corréltion Les fonctions de cohérence permettent dns le domine fréquentiel de tenir compte de l dimension sptile des rfles de vent cr celles-ci ont une tille limitée. Dns le cs de grnds ouvrges, une rfle ne peut envelopper toute l structure simultnément ce qui limite les efforts ssociés. Dns l couche limite tmosphérique, l tille des rfles de vent est vrible selon l composnte de vitesse, les directions sptiles et l fréquence. Le modèle le plus utilisé et le plus simple pour tenir compte de toutes ses vritions est l fonction de cohérence eponentielle i k i i f γ k ( f ) ep (.0) ( ) où l indice k u, v, w et i, y,. Le coefficient de décroissnce eponentielle est réel positif, générlement donné pr le chier des chrges. i k (9 coefficients) i désigne l distnce entre deu points sur l coordonnée i. Les tbleu. donnent des vleurs de prmètres typiques pour des vents de mer et de montgne. composnte σ y (m) y composnte σ y (m) y u v w u v w Tbleu.. Prmètres typiques d un vent de mer et en montgne Les équivlents des fonctions de cohérence dns le domine temporel sont les fonctions de corréltion. Pour l effet du vent sur les structures on s intéresse principlement u coefficients de corréltion verticle (en ) et ltérle (en y) de l vitesse longitudinle u u même instnt. On les modélise à l issue des observtions à l ide d eponentielles décroissntes i i u i Lu R ep (.) où les échelles sptiles de l turbulence sont i L u. Dns l prtique on résout hbituellement les problèmes d ecittion pr l turbulence dns le domine fréquentiel ce qui fit que les fonctions de corréltion sont peu utilisées, contrirement u fonctions de cohérence. On peut mentionner toutefois l émergence de méthode de clcul temporel nécessitnt l emploi des fonctions de corréltion.

23 . Phénomènes éroélstiques.. Introduction On dmet générlement que les forces fluctuntes eercées pr un écoulement fluide sur une structure qui vibre sont de trois types fondmentu : Les efforts qusi-périodiques produits pr le détchement tourbillonnire lterné sont qusiment indépendnts du mouvement de l structure lorsque les fréquences sont différentes. En cs de résonnce, il eiste un couplge entre le détchement des tourbillons et les oscilltions, c est l'ccrochge. Lorsque l'écoulement est turbulent, les fluctutions de vitesse peuvent provoquer des vibrtions de fible mplitude. Le couplge de ces forces induites pr l turbulence vec le mouvement de l structure est fible, voire nul. omme l structure bouge, y compris pr rpport à ses voisines, elle modifie l écoulement utour d elle, qui en retour modifie les efforts sur l structure. Il eiste donc des forces de couplge éroélstiques induites pr le mouvement qui peuvent devenir très importntes. e chpitre présente les différents phénomènes énoncés ci-dessus. En ce qui concerne les efforts couplés vec le mouvement, l usge consiste à étudier des efforts érodynmiques eprimés comme des combinisons linéires des composntes du mouvement et de leur vitesse : pour l force de portnce et le moment de tngge couplés vec le mouvement de trnsltion et de l ngle de torsion α on donc ρ c O ρ c ( H H α H α H ) ( A A α A α A ) 3 3. (.) ette modélistion introduit les séries de coefficients éroélstiques H i et A i qui sont des coefficients de linéristion. es séries de coefficients sont ppelées les dérivées de flottement, à juste titre

24 Vibrtions couplées vec le vent puisqu elles sont issues d une pproimtion des efforts érodynmiques pr un développement de Tylor à l ordre. Elles sont souvent eprimées sous forme dimensionnelle en écrivnt ρ c O ρ c cα H H H 3 α cα α A A A 3 H A c c. (.) Dns ce chpitre on v principlement utiliser l modélistion (.) pour étudier les différents cs de flottement rencontrés en prtique. Il ne s'git en premier lieu que d'eposer les spects physiques et l on se restreindr à des corps rigides en mouvement de petite mplitude. Le chpitre se termine ensuite sur l étude de l ecittion pr l turbulence et le détchement tourbillonnire... L fréquence réduite L fréquence réduite f r constitue un prmètre très importnt puisqu'il v conditionner le mode opértoire pour l'étude des phénomènes d'interction fluide-structure en présence d'écoulement. e nombre est défini comme le rpport de deu durées liées u système étudié : l première est le temps de blyge de l structure pr une prticule fluide (T f ), tndis que l seconde est l période de vibrtion propre de l structure ( T f ). Nous vons donc : f s s T f B B f s (.3) T T r s s L'inverse de l fréquence réduite est ppelé l vitesse réduite. Il rrive églement que l'on rencontre une définition de f r bsée sur l pulstion propre u lieu de l fréquence propre. Il s'ensuit un rpport π vec l'epression (). Elle est générlement notée éroélstique, il eiste 3 régimes qui sont différenciés pr l fréquence réduite : π f dns l littérture. Au pln Si f r est très supérieure à, l structure vibre à une fréquence élevée et une prticule fluide qui l blye ur le temps de "voir" plusieurs périodes du mouvement. Aussi, les prmètres érodynmiques doivent être clculés ou mesurés en tennt compte des fluctutions engendrées pr le mouvement du corps. Dns l prtique, ce régime est souvent développé pour des fréquences propres élevées, dns le domine de l'coustique : cette gmme d'interctions fluide-structure relève de l vibrocoustique. Si f r est proche de, un véritble couplge fluide-structure se produit, puisque le temps de blyge pr le fluide correspond à l période de vibrtion propre de l'obstcle. e régime trditionnellement dénommé interction fluide-structure constitue un problème etrêmement complee sur le pln de l mécnique des fluides. En prticulier les mplitudes des mouvements peuvent devenir très grndes et les effets non linéires prépondérnts. r

25 Phénomènes éroélstiques Lorsque f r est très inférieure à, le fluide n' ps le temps d'être influencé pr le mouvement de l'obstcle. Tout se psse donc comme si l structure étit qusiment immobile, et les crctéristiques érodynmiques n'évoluent ps u cours du temps (on ne considère ps ici les effets dus à l turbulence). e mode d'interction fluide-structure relève de l'éroélsticité. En prtique, il fut ssocier une vitesse importnte et des vibrtions bsse fréquence pour se situer dns cette plge : c est le cs de l'effet du vent sur les constructions et de l mécnique du vol. Dns ce cours on s intéresse u régime de fible fréquence réduite. Lorsque celle-ci est prticulièrement fible, il est légitime de considérer que les oscilltions n influencent ps du tout l écoulement utour de l structure, et qu un chngement lié u mouvement du solide s pplique instntnément à l écoulement et l effort produit. ette théorie qusi-sttique (QST, qusi-stedy theory) ser discutée plus en détil u chpitre suivnt, mis en ttendnt elle permet d utiliser des coefficients érodynmiques sttiques, c'est-à-dire évlués sur une structure immobile, pour clculer les dérivées de flottement..3. Le flottement clssique Le flottement clssique du profil d ile est ppru lorsque les vions de type monopln ont commencé à tteindre des vitesses élevées. Pr trdition le flottement clssique est un phénomène de couplge entre les mouvements de fleion verticle et de torsion d une voilure. Il s git donc d un couplge à deu degrés de liberté..3.. ise en éqution Le profil d ile bidimensionel présenté figure. peut osciller en trnsltion verticle sur l e et en rottion d ngle α utour du point O. Le centre de grvité G est éloigné du centre de torsion O de l distnce d GO. Le foyer érodynmique est et supposé fié u qurt de l corde c. Les équtions du mouvement, en négligent les termes d mortissement, s écrivent pour de petits mouvements m k m d α J α k α m d O α O où le couplge entre les deu mouvements est présent à cuse du déclge entre le centre de torsion et le centre de grvité. Les forces érodynmiques sont l portnce et le moment de tngge O. L msse du profil est m et son moment d inertie pr rpport à O est J O. Les deu rideurs de chque degré de liberté sont les termes k et k α. Les vleurs propres découplées de chque mouvement sont données pr λ ω α λ ω α ( π fα ) ( π f ) k k α m J O (.). (.5) 5

26 Vibrtions couplées vec le vent 6 Le système étnt couplé, il est intéressnt de le qulifier dns un premier temps sns ecittion etérieure, c'est-à-dire de rechercher les vleurs propres λ et λ de 0 0 J m d d O α λ α α λ α. (.6) el revient à résoudre det 0 λ α λ λ λ λ λ O J md d, (.7) qui conduit notmment à l reltion λ λ λ λ α J O md. G α c d c/ O igure.. onfigurtion d un profil d ile en couplge fleion-torsion Les deu efforts érodynmiques sont priori des fonctions du mouvement. En négligent les termes d mortissement, on écrit insi ( ) ( ) A A c H H c O 3 3 α ρ α ρ. (.8) Dns le cs présent, il n eiste ucune rison pour que les efforts sur le profil d ile vrient en fonction du mouvement de trnsltion verticle. En revnche leur vrition en fonction de l ngle α correspond de mnière évidente à une vrition de l ngle d incidence, ce qui mène 0 ; 0 ; 3 3 A A H H α α. (.9) inlement le système couplé initil (.6) s écrit sous l forme linérisée

27 Phénomènes éroélstiques ρ c λ d α m α λ α α m d J O α ρ c J O α (.0) dont on étudie mintennt l stbilité en fonction de l vitesse du vent..3.. Stbilité et vitesse critique Etudier l stbilité du mouvement consiste en fit à trouver l vitesse critique c u-delà de lquelle le mouvement est mplifié. On est donc conduit à chercher les vleurs propres du système (.0) et résoudre λ λ O λmd J ρ c λd m ρ c λ λα J O 0 (.) On suppose ici que l divergence en torsion pure (cf..3.) n lieu que pour des vitesses de vent plus élevée que l instbilité de flottement pr couplge de mode, c'est-à-dire que λ α > ρ c J O. Le système (.) correspond donc à une éqution du second degré en λ, soit λ G λ H 0, vec G λ H λ md J O λ ρ c d c α J O (.) λ ρ c α En rppelnt que le grdient de portnce d un profil mince est positif (égl à π en écoulement potentiel) lors on constte que les trois termes, G et H sont tous positifs. Si les solutions de (.) sont réelles, elles seront donc de même signe et négtives. Or le mouvement cherché doit être soit du type sinusoïdl morti vec deu solutions réelles négtives, soit mplifié vec des solutions complees conjuguées, où l une des prties imginires est négtive et crctérise donc un mode instble. J O L instbilité de flottement se produir à l limite de ces deu régimes lorsque les vleurs propres deviennent identiques. Le flottement clssique est donc une instbilité pr confusion de fréquence, c'est-à-dire que les deu fréquences initiles du système, comme illustré figure., évoluent vec l vitesse pour se confondre à l vitesse critique. Au delà du point critique, l un des deu mouvements est instble, c'est-à-dire qu il prélève de l énergie à l écoulement. 7

28 Vibrtions couplées vec le vent Rechercher l vitesse de flottement consiste à clculer l vitesse pour lquelle le discriminnt de l éqution (.) devient nul. On note p l distnce du centre de torsion O u foyer. Pr définition on (cf...) p c. (.3) En écrivnt que le discriminnt de (.) est nul il vient près rrngement Y G Y H 0, vec ( d p) G H où Y ρ c J. L vitesse critique s écrit lors O ( d p) ( λ λ ) p λ ( md J O ) ( λ λ ) λ λ ( md J ) α α (.) α O c J O G ± ρ c G H (.5) Evidemment on suppose qu une solution positive eiste et que le terme sous l rcine est positif. ette condition n est respectée que dns certines configurtions à cuse des signes respectifs des distnces lgébriques d et p, c'est-à-dire pour des positions reltives spécifiques des différents points remrqubles, G et O du profil d ile. L epression (.5) est reltivement compliquée à nlyser du point de vue mécnique. Afin de poursuivre le risonnement on s intéresse mintennt à des configurtions prticulières rencontrées dns l prtique. λ λ c λ c igure.. Evolution des vleurs propres vec l vitesse du vent.3.3. s de l ile d vion Pour des risons de mnoeuvrbilité de l ppreil, on s rrnge en générl pour que le centre de torsion de l voilure soit positionné u foyer, c'est-à-dire u qurt de corde. el nous conduit à p 0, et permet de simplifier l epression de l vitesse critique : c J O ρ c d md ( λ λ ) λ λ α α (.6) J O 8

29 Phénomènes éroélstiques en supposnt que le centre de grvité est plcé derrière le foyer, i.e. d < 0 comme sur l figure.. Dns ce cs l fréquence de flottement est donnée pr l solution double de l éqution u vleurs propres (.), soit f c md λα λ. (.7) ( π ) J O Si le foyer est en rrière du centre de grvité, il n est ps possible de déclencher un flottement clssique sur un profil d ile. is cel implique de concevoir l voilure en plçnt le centre de grvité très en mont, vnt le qurt de corde..3.. s d un tblier profilé Dns le cs d un tblier de pont profilé, les llures des dérivées de flottement diffèrent sse peu de ceu d un profil d ile et l on peut risonnblement utiliser les résultts précédents. n tblier étnt construit symétriquement, le centre de torsion et le centre de grvité sont lors confondus et situés u milieu, i.e. d 0. L vitesse critique s écrit lors c J O ρ c p ( λ λ ) α. (.8) L eistence d une solution physique impose des conditions sur le rpport des fréquences de torsion et de fleion en reltion vec l position reltive du foyer pr rpport u centre de grvité (signe de p). En posnt c r λ λα, l vitesse critique devient J O λ α ( r) c. (.9) ρ L nlyse de cette epression en fonction de r montre qu il eiste une vitesse critique dns deu cs : si r < et p < 0, c'est-à-dire si l fréquence de fleion est plus petite que l fréquence de torsion et si le foyer est en vnt du centre de grvité (c'est-à-dire > 0 ), si r > et p > 0. α p O, G c igure.3. Tblier profilé en couplge fleion-torsion 9

30 Vibrtions couplées vec le vent En prtique le foyer d un tblier profilé se situe générlement en vnt du centre de grvité. On constte insi que le risque de flottement eiste en présence d une fible fréquence de fleion. lheureusement l epérience montre que cette condition est vérifiée dns l pluprt des cs cr l fréquence de fleion décroît nturellement lorsque l longueur d un pont ugmente. Si pr illeurs les fréquences de fleion et de torsion sont identiques (r ), l vitesse critique est nulle. e cs de figure etrême est l justifiction d une règle de conception bien connue qui consiste à décler le plus possible les fréquences de fleion de celles de torsion. Eemple : tblier du pont de Normndie Le pont de Normndie possède un tblier très bien profilé. Ses crctéristiques pproimtives sont : B. m ; m9830 kg/m ; J O kg.m ; f 0.06 H ; f α 0.63 H ;. 58 ;.. On remrquer que l position du foyer se situe prtiquement u qurt de l lrgeur B, confirmnt insi son crctère profilé. L ppliction directe de l formule (.9) donne c 9 m/s, (65 km/h) soit une vitesse critique bien supérieure à l vitesse du vent que l on peut rencontrer... Les flottements à un degré de liberté Les flottements à un degré de liberté, bien qu ppremment plus simples que le flottement pr couplge de mode, ont cependnt des propriétés plus délictes à étudier cr ils sont principlement présents sur des structures non profilées, donc u propriétés érodynmiques non linéires.... L divergence en torsion L divergence en torsion est le mécnisme le plus simple à ppréhender. En prennt l éqution du mouvement de torsion pure du système (.0) u prgrphe précédent, soit α ρ c λα α J O α, (.0) il suffit de l rérrnger pour fire pprître l rideur érodynmique joutée : ρ c λ α 0. (.) J α α O On constte qu une instbilité pr rideur négtive est théoriquement possible dont l vitesse critique vut c J O λ α. (.) ρ c en dmettnt que l pente du coefficient de moment de tngge est positive. Si elle est négtive, il ne peut y voir de divergence en torsion. En prtique, cette possibilité théorique d instbilité est très rre, 30

31 Phénomènes éroélstiques à cuse de l vleur très élevée de l vitesse critique, générlement u-delà du domine d utilistion de l structure. ort heureusement, cr le mouvement engendré, comme son nom l indique serit une divergence eponentielle, très rpide donc et destructrice. Eemple : tblier du pont de Normndie Pour continuer sur cet eemple, l vitesse critique de divergence en torsion donnée pr (.) est lors de m/s (506 km/h).... Le glop Le glop est une instbilité sur un mouvement de trnsltion des cylindres élncés. Le mouvement introduit des efforts de couplge de type mortissement jouté. On suppose donc que le cylindre présenté figure. oscille en trnsltion dns le pln (, ). S vitesse vibrtoire est u. On suppose ici que l fréquence réduite est fible, et que l hypothèse qusisttique s pplique. Dns le principe il n est ps nécessire de supposer des mouvements découplés sur les deu es du pln (, ), mis cel permet de conserver un crctère générl à l démrche. Les équtions du mouvement s écrivent m m ω η mω ρ m m ω η mω ρ D D ( α ) ( α ). (.3) L mortissement structurl réduit est η. Les coefficients érodynmiques sttiques sont et et sont fonction de l direction pprente du vent α qui est réellement perçue pr le cylindre lors des oscilltions. Les coefficients érodynmiques sont présumés définis dns le repère de l structure (, ). est l vitesse pprente du vent perçue pr le cylindre qui résulte de l combinison de l vitesse du vent et de l vitesse de l structure u (, ) telle que - u. α u -u α α igure.. ylindre oscillnt en trnsltion et tringle des vitesses correspondnt On linérise les efforts érodynmiques sous l forme 3

32 && && &! " & Vibrtions couplées vec le vent ρ ρ D P. (.) D H où P et H sont les dérivées de flottement d mortissement pur en trînée et en portnce respectivement. Ils sont obtenus pr dérivtion des efforts pr rpport à l vitesse du mouvement de l structure et évlués pour une vitesse u nulle conformément à l'hypothèse qusi-sttique. D près l figure. nous vons cosα sinα Après clcul on obtient P H ; α Arctg cosα sinα ( α ) sinα ( α ) ( α ) cosα ( α ) sinα cosα. (.5). (.6) Or les mortissements érodynmiques sont des mortissements joutés qui se retrnchent à l mortissement structurl, d où un risque d instbilité. Lorsque l ngle d incidence moyen α est nul, on obtient l formultion hbituelle du phénomène de glop, vec 0 0 P ; H. (.7) En remplçnt ces coefficients dns les équtions du mouvement, soit m [ m ω η ρ D ] 0 $% m m ω η ρ D 0 mω mω 0, (.8) 0 on fit pprître les mortissements résultnts. onsidérons mintennt chque mouvement de mnière indépendnte. Sur l e, reltif à l trînée, le mouvement de blnçoire (longitudinl, prllèle u vent) ser toujours morti, cr l mortissement jouté qui est proportionnel u coefficient de trînée est toujours positif. En fit le vent contribue même à mieu mortir ce mouvement. Pr contre, sur l e de l portnce, le mouvement de pilonnement (verticl, trnsverse u vent) peut devenir négtif u-delà d une vitesse critique c m ω η. (.9) ρ D 0 à condition que le grdient de portnce soit négtif. ette vitesse critique s eprime ussi sous forme dimensionnelle 3

33 Phénomènes éroélstiques r c c m η π S fd ρ D 0 c π. (.30) 0 où S c est le nombre de Scruton, ppelé prfois le prmètre de msse-mortissement. e nombre sns dimension est très lrgement utilisé dns les problèmes de couplge fluide-structure. L condition de grdient de portnce négtif s écrit églement à l ide des coefficients érodynmiques eprimés en es vent (cf...) < 0. (.3) 0 D L e critère, trduisnt l condition nécessire pour qu une instbilité de glop eiste, est très connu sous le nom de critère de Den Hrtog. el nécessite que l courbe de portnce soit décroissnte en fonction de l ngle d incidence. Le critère de Den Hrtog s pplique donc u structures non profilées qui possède une portnce décroissnte ou bien u profils d ile à grnde incidence comme présenté figure.5. De fit, le phénomène de glop constitue physiquement une instbilité de flottement de décrochge sur un mouvement de trnsltion. Il eiste une instbilité similire sur le mouvement de torsion. one de décrochge sttique igure.5. Evolution du coefficient de portnce d un profil d ile α Eemple : psserelle piéton hubnnée Les psserelles pour piétons sont générlement des ouvrges légers de fible lrgeur. L écoulement décollé englobe complètement l section de tblier et l rend sensible u glop. B m ; m 000 kg/m ; J O 500 kg.m ; f.375 H ; f α 5.6 H ;. 37 ; 0. 7, η %. Le nombre de Scruton vut insi.0. L vitesse critique de glop clculée pr (.30) est 30 m/s (0 km/h). Dns ce cs un tritement est nécessire, pr eemple en ugmentnt l mortissement structurl...3. Le flottement de décrochge en torsion On considère mintennt une structure de type tblier de pont pouvnt osciller en torsion seulement, et dont le phénomène de divergence en torsion est bsent ou bien se produit pour une vitesse très élevée. En tennt compte mintennt des termes d mortissement, l éqution du mouvement s écrit 33

34 Vibrtions couplées vec le vent α ηωαα λα α ρ c ( α ), (.3) J O Le moment de tngge dépend donc d une vitesse pprente et de l ngle d incidence pprent qui doivent être évlués u foyer érodynmique de l section. α p O, G α p α igure.6. Section de tblier oscillnt en torsion et tringle des vitesses correspondnt En suivnt le tringle des vitesses figure.6, il vient ( pα) ; ( α ) sin pα. (.33) On linérise ensuite le moment de tngge sous l forme hbituelle en fonction de l ngle d incidence et de l vitesse ngulire, soit ρ c α ηω α λα α A J [ A α α] α 3 O où les dérivées de flottement s écrivent près clculs, (.3) p ; A. (.35) A 3 omme pour le glop, une instbilité pr mortissement jouté peut eister, de vitesse critique c J ρ c O ω α η. (.36) p A noter que le foyer est supposé en vnt du centre de torsion, ce qui est générlement le cs (p < 0). ette instbilité est lors du même type que le glop, c'est-à-dire un flottement de décrochge, cr pour eister il est nécessire que le grdient de moment de tngge soit négtif. eci ne se produit priori que sur des structures non profilées, dont certins tbliers de pont. Eemple : psserelle piéton hubnnée De même que l psserelle précédente est sensible u glop, elle est instble ussi en torsion. S vitesse critique clculée pr (.36) vut m/s (50 km/h) ce qui est supérieure à l vitesse critique de glop. 3

35 Phénomènes éroélstiques.5. Ecittion pr l turbulence L ecittion des structures telles que les ponts pr l turbulence du vent est générlement considérée découplée du mouvement. el n est évidemment vlble qu en petite mplitude. Les vritions des efforts ne proviennent donc que des fluctutions de l vitesse incidente, induisnt une vrition du module de l vitesse et un ngle d incidence pprent. w u O, G igure.7. Section de tblier soumise à l turbulence On considère donc une section soumise à une vitesse turbulente comme illustré figure.7. Les termes turbulents u et w dépendent nturellement du temps. L vitesse pprente et l incidence pprente sont données pr ( u) w ; sin w ( u) α. (.37) En dmettnt que l vitesse moyenne est grnde devnt les termes turbulents, on linérise, soit u; α w. (.38) es reltions permettent donc d écrire les efforts dus à l turbulence ρb ρb y ρb u w u w u w. (.39) Il est très difficile d utiliser ces reltions cr elles nécessitent de connître les évolutions temporelles de u et w simultnément, ce qui est en prtique qusiment impossible. est pourquoi, on leur préfère générlement une formultion dns le domine spectrl, à l ide des éléments définis u chpitre précédent (.), soit u u w ( f ) ρ B I S ( f ) I S ( f ) ( f ) ρ B I u Su ( f ) I w Sw ( f ) y ( f ) ρ B I u Su ( f ) I w Sw ( f ) w. (.0) 35

36 Vibrtions couplées vec le vent Lorsque le problème trité est tridimensionnel, il convient en plus de tenir compte des dimensions sptiles des rfles de vent à l ide des fonctions de cohérence déqutes (cf...). Rppelons toutefois que cette pproche est qusi-sttionnire, ce qui sous-entend que toute l lrgeur du tblier est soumise simultnément u mim de l vitesse turbulente. Eemple : tblier du pont de Normndie lculons à l ide de (.0) l portnce supplémentire due à l turbulence qui s pplique à l fréquence de fleion de 0.06 H. On le coefficient de portnce qui ser nturellement pris en vleur bsolue dns l formule (.0), s gissnt d une force fluctunte. Les données d un vent de mer présentées tbleu. sont utilisées pour une vitesse moyenne etrême à l huteur du tblier de 0 m/s. On constte lors de l ppliction numérique que le premier terme u u ( ) est négligeble devnt le second terme S ( f ) w w I S f vut I qui vut L effet de l turbulence longitudinle est effectivement générlement moindre que celui de l turbulence verticle (ou ltérle si l on ffire à une structure verticle). Tous clculs fits, l portnce pr mètre de longueur de tblier tteint 0 N/m à l fréquence de fleion. ette vleur peut prître petite, mis elle n est mécniquement pondérée que pr l mortissement structurl qui est générlement petit. Ainsi, en négligent complètement les effets tridimensionnels du vent liés à s corréltion sptile et ceu liés à l dmittnce (cf. chpitre 3, 3.3.3) cette portnce induit un déplcement verticl miml du tblier de l ordre de 3.70 m pour un mortissement structurl de %. ort heureusement les effets négligés de corréltion sptile et d dmittnce sont pondérteurs et rendent cette pproche très conservtrice..6. Ecittion pr détchement tourbillonnire L ecittion pr détchement tourbillonnire se distingue de celle de l turbulence pr son crctère hrmonique à l fréquence de détchement des tourbillons. ette ecittion peut poser des problèmes de dimensionnement lorsque cette fréquence coïncide vec une fréquence propre de l structure. Dns ce cs l résonnce induit un phénomène de couplge qui est encore sse ml mîtrisé du point de vue modélistion prédictive..6.. Approche linéire On considère le cylindre oscillnt en trnsltion trnsverse u vent moyen de l figure.8. L éqution du mouvement s écrit m mηω ω ρ D ( t) (.) 36

37 Phénomènes éroélstiques où l fluctution du coefficient de portnce est due u détchement des tourbillons. En première pproimtion on l considère sinusoïdle à l fréquence du détchement ( t) cos( ω t) (.) m t Lorsqu il y résonnce, c'est-à-dire lorsque ω ω, l mplitude de vibrtion est mimle et m ( t) sin( ω t) t ρ D (.3) mηω en dmettnt un mortissement structurl fible (η << ). ette reltion sous forme dimensionnelle devient ( t) D m sin( ω t) (.) π S St c en fisnt pprître le nombre de Scruton et le nombre de Strouhl (égl à l fréquence réduite pour l résonnce). En fit, on trouve souvent dns l littérture spécilisée un nombre sns dimension que l on peut interpréter comme le prmètre crctérisnt l réponse (linéire) du cylindre, le nombre de Skop-Griffin qui représente le dénominteur du second membre de (.), soit S G π S St. (.5) c e nombre étnt fié, l réponse du cylindre à l résonnce ne semble donc dépendre que de l mplitude de l portnce fluctunte est de l ordre de 0.35 à m. Estimé sur un cylindre circulire immobile, cette portnce (t) igure.8. ylindre ecité pr détchement tourbillonnire..6.. Limite de l pproche linéire lheureusement, l epérience montre que cette portnce fluctunte est modifiée vec le mouvement du cylindre et dépend de l mplitude. En fit lorsque le cylindre oscille à l résonnce, l portnce est mplifiée pr rpport à celle que l on mesure pour un cylindre fie. ette mplifiction peut tteindre.5 pour des mplitudes de l ordre du dimètre. e mécnisme s eplique prtiellement pr une etension de l longueur de corréltion du détchement tourbillonnire sur l e du cylindre lorsque ce dernier oscille à une mplitude suffisnte. De plus, à très grnde mplitude de vibrtion, on constte ensuite une réduction de l portnce, ce qui conduit à un cycle limite d oscilltion dont l mplitude est effectivement fiée pr cette mplifiction non linéire de portnce. 37

38 Vibrtions couplées vec le vent D utre prt il eiste un phénomène d hystérésis utour de l résonnce que l on ppelle l ccrochge. e phénomène se crctérise pr une etension de l résonnce sur une certine gmme de vitesse de l écoulement. Lorsque l résonnce lieu, le fit de modifier l vitesse du vent, en l ugmentnt ou en l diminunt, n nnule ps imméditement l résonnce entre le lâcher de tourbillons et le mouvement. Plus précisément, sur un digrmme vitesse-fréquence, figure.9, l fréquence du détchement de tourbillons devrit constituer une droite croissnte puisque le nombre de Strouhl est constnt. De même l fréquence de l structure est une droite horiontle cr elle ne dépend ps de l vitesse du vent. L vitesse de résonnce est obtenue u croisement de ces deu droites. Or en prtique lorsque l vitesse du vent se rpproche de l vitesse de résonnce, l fréquence du détchement effectue un sut pour se fier à l fréquence de l structure oscillnte. est l ccrochge ou «lock-in». e dernier n est ps symétrique selon que l on pproche l résonnce à vitesse croissnte ou décroissnte. f one d ccrochge Stte f structure vitesse de résonnce igure.9. Accrochge entre l fréquence du détchement tourbillonnire et celle de l structure. m /D S G igure.0. Amplitude de l réponse d un cylindre circulire en fonction de S G. Enfin, troisième et dernier mécnisme limitnt l pproche linéire, l epérience montre que l réponse du cylindre dépend églement du nombre de Skop-Griffin comme présenté figure.0 pour le cylindre circulire. Si le prmètre de réponse est trop importnt, l ecittion pr détchement tourbillonnire est prtiquement nulle. Or dns le cs des effets du vent, cette limite implique que seules les structures très légères peuvent être concernées pr ce type d ecittion. 38

39 Phénomènes éroélstiques Pr eemple, cherchons l msse volumique d un cylindre circulire ynt un prmètre de réponse SG m égl à 5, vleur u-delà de lquelle ucune ecittion pr détchement tourbillonnire n eiste. Pr définition on insi S G m 3 ρ s ρ. (.6) π η St En ppliqunt cette reltion à un cylindre circulire (St0.) en ir (ρ.) et choisissnt un mortissement réduit stndrd de %, on obtient une msse volumique de 0 kg/m 3, soit une vleur près de fois inférieure à celle de l luminium. De ce fit, il est évident que le détchement tourbillonnire lterné ne pourr concerner que des structures prticulières, pr eemple des cheminées élncées ou bien des hubns de pont qui ont un mortissement structurl très fible (0. % vnt tritement n est ps eceptionnel). L ensemble de ces phénomènes conduit les chercheurs à s intéresser u modélistions non linéires, seules cpble de reproduire u moins qulittivement ces mécnismes. Leurs cpcités prédictives sont encore limitées et le lecteur est invité à se référer à l littérture spécilisée. Il eiste une reltion empirique simple due à Griffin (98) qui s écrit m D.9 (.7) [ 0.3 ] S G vlble pour un cylindre circulire rigide à l résonnce. Eemple : hubn de pont Les hubns sont des câbles circulires d un dimètre de l ordre de 0 cm. Leur mortissement structurl peut être très fible, de l ordre de 0. %. En prennt un hubn de msse linéire 50 kg/m, on obtient un nombre de Scruton de. Le nombre de Strouhl vlnt 0. pour un cylindre circulire, lors le nombre de Skop-Griffin tteint 3.3. En ppliqunt directement l reltion empirique (.7) on clcule une mplitude de 0.07 D soit. cm à l résonnce. On constte effectivement que le détchement tourbillonnire lterné reste peu gênnt pour ce type de structure. 39

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41 Aéroélsticité 3. Aéroélsticité On s intéresse dns ce chpitre à des structures élncées bidimensionelles dont les fréquences d oscilltion sont trop élevées pour que l hypothèse qusi-sttique puisse s ppliquer sns erreur importnte. On reste nénmoins dns le domine des fréquences réduites fibles, où c est toujours l écoulement qui pilote les vibrtions de l structure. 3.. Limite de l hypothèse qusi-sttique L hypothèse qusi-sttique employée u chpitre précédent suppose que le mouvement de l structure est très lent devnt le déplcement des prticules fluides. Elle constitue une limite symptotique pour lquelle on ssimile une fréquence réduite fible à une fréquence réduite égle à éro. el permet effectivement de considérer comme vlbles les coefficients érodynmiques évlués sur une structure immobile. α τ t igure 3.. ise en évidence du déphsge entre effort et mouvement. ne conséquence très importnte de cette hypothèse est que l écoulement est censé s dpter instntnément u mouvement de l structure. Autrement dit on néglige le retrd de phse qui eiste entre le mouvement et l effort érodynmique. Schémtiquement on peut imginer pr eemple un profil d ile uquel on pplique subitement un échelon d ngle d incidence, figure 3.. el induit en

42 Vibrtions couplées vec le vent prllèle une vrition du moment de tngge mis l epérience montre que celui-ci ne ser étbli qu près un certin déli τ lors que sous l hypothèse qusi-sttique ce déli est nul. En etrpolnt ce mécnisme à un mouvement sinusoïdl d oscilltion, le déli τ correspondrit à un déphsge φ entre l effort et le mouvement soit α ~ ~ α cosω t ; cos t ( ω φ ) Or le trvil du moment de tngge sur un cycle d oscilltion est vec φ ω τ > 0. (3.) T ~ W α α π ~ d dt α sinφ (3.) cycle 0 où T π ω est l période du mouvement. Pour des vleurs de τ inférieures à une demi-période, le trvil W est négtif, indiqunt un échnge d énergie du fluide vers l structure, c'est-à-dire un mouvement instble. Si τ > T le trvil est positif, le mouvement est stble. On constte donc que l connissnce du temps d étblissement de l écoulement, donc de l effort érodynmique insttionnire est très importnte pour l stbilité éroélstique. L hypothèse qusisttique ne permet ps priori d évluer correctement les échnges d énergie cr on ssimile le fit que τ T 0 à τ T 0, induisnt insi une erreur sur le trvil W. Dns ce chpitre, on v s ffrnchir de cette simplifiction, d bord pour un profil d ile puis pour une structure non profilée. 3.. s du profil d ile mince 3... ouplge fleion-torsion On reprends ici le cs du profil d ile mince D en couplge fleion-torsion du prgrphe.3 tel que présenté figure.. ette configurtion été étudiée initilement pr Wgner (95), Theodorsen (935), üssner (936) et Sers (9). On utiliser principlement les résultts fournis pr l pproche de Theodorsen qui est l plus connue. On s intéresse de nouveu u dérivées de flottement telles que ρ c O ρ c cα H H H 3 α cα A A A α 3 en supposnt toujours des mplitude de mouvement petites et des incidences fibles. Dns ce cs, on peut dmettre que l vitesse de l ir utour du profil se linérise sous l forme u u ; v v (3.) où les termes u et v sont des perturbtions dépendnt du temps. ette vitesse doit nturellement respecter l condition de utt u bord de fuite. En considérnt un fluide non visqueu, incompressible et irrottionnel, on peut utiliser l notion de potentiel complee et l trnsformtion H A c c (3.3)

43 Aéroélsticité conforme de Joukowsky lors de l résolution du problème. ette théorie est souvent ppelée l théorie du profil d ile insttionnire (AT, nstedy Airfoil Theory). Après clculs, il est possible de trouver des epressions nlytiques des dérivées de flottement lorsque le mouvement du profil d ile est hrmonique de l forme iωt 0 e ; α α0 iωt e. (3.5) Pour cel on introduit l fonction de Theodorsen ( ) dépendnt de l pulstion réduite π f c. ette fonction ppelée églement l fonction de circultion de Theodorsen s eprime à l ide des fonctions de Bessel modifiées 0 et d ordre 0 et respectivement, soit ( ) ( ) ig( ) ( i ) ( i ) ( i ). (3.6) 0 En prtique il est plus commode d eprimer les prties réelle et imginire à l ide de fonctions de Bessel de première et seconde espèce J et Y, c'est-à-dire ( Y0 J) Y( J 0 Y ) ( Y J ) ( J Y ) 0 0 J( J 0 Y ) Y ( Y0 J) ( Y J ) ( J Y ) J ; G. (3.7) 0 es fonctions sont présentées figure 3. en fonction de. Lorsque tend vers 0 (qusi-sttique), tend vers et G tend vers 0. A l inverse, pour grnd, tend vers ½ et G lentement vers 0. Il eiste des pproimtions de l fonction de Theodorsen dont notmment celle due à Jones (95) ( ) ( ) ig( ) (3.8) i 0.3 i qui engendre cependnt une erreur non négligeble sur l prtie imginire G () G() igure 3.. Prtie réelle et imginire de l fonction de Theodorsen. Après clculs, les dérivées de flottements pour le mouvement de trnsltion verticle sont données pr 3

44 Vibrtions couplées vec le vent 3 ; ; G H G H G H H π π π π (3.9) et pour le mouvement de torsion 3 ; ; G A G A G A A π π π π.(3.0) Dns ces epressions, est l distnce dimensionnée pr rpport à l corde entre le milieu du profil et le centre de torsion O, cf. figure 3.3. Lorsque le centre de torsion est positionné u foyer, c'est-àdire u qurt de corde, lors -/, s il est u milieu du profil, 0. c c/ O c/ igure 3.3. Position du foyer pr rpport u centre de torsion sur l corde du profil En rppelnt que pr définition vec π, on peut rrnger les reltions précédentes pour donner! " $%! " $%! " $%! " $%! " $% 8 ; ; ; 3 3 G A G A G A A G H G H G H H (3.) Les termes les plus importnts sont dus à l circultion utour du profil stisfisnt l condition de utt. Ils sont dossés à l fonction de Theodorsen. L force de portnce ssociée s pplique u ¼ de corde (u foyer) où s nnule. Les utres termes sont des effets de msse joutée induisnt

45 Aéroélsticité une portnce s ppliqunt à l ½ corde, ynt donc un brs de levier égl à ; un effet centrifuge dû à l torsion, produisnt une portnce u ¾ de corde, soit d un brs de levier ; un couple pur. Rppelons que cette théorie potentielle insttionnire résulte d une linéristion sur des mouvements de fible mplitude dns un écoulement non visqueu. L estimtion de l vitesse critique de flottement nécessite l emploi d une méthode numérique itértive dns lquelle on ugmente ps à ps l vitesse du vent, fin de clculer les dérivées de flottement correspondntes, en regrdnt pour chque vitesse l stbilité ou non du système omprison vec l théorie qusi-sttique Dns le chpitre précédent, nous vions supposé une très fible fréquence réduite, ce qui nous vit permis d obtenir des epressions pour les dérivées de flottement que nous pouvons comprer mintennt vec celles tennt compte des effets insttionnires. Pour cel, on doit remrquer que les dérivées de flottement peuvent s eprimer générlement comme des polynômes du second degré u mimum en. En qusi-sttique, seule l constnte de ce polynôme peut être estimée cr il s git de s limite symptotique pour 0. Schnt que cel donne : 0 lim H 0 lim A 3 0 lim A ; ; ; 0 lim H 0 lim A 0 lim A 0 G ; G lim H 3 0 ; ; 0 lim H 0. (3.) Dns un premier temps on se concentre sur les termes de rideurs. Pour l trnsltion, on constte que les epressions de H et A n ont ps de constnte, ce qui indique que ces termes sont uniquement dus u effets insttionnires, non modélisés en qusi-sttique. Pour le tngge les termes H 3 et sont très importnts dns le problème du flottement couplé et comportent chcun des termes constnts. En fit on constte que l équivlence vec l théorie sttique est globlement obtenue lorsque 0, suf pour les termes d mortissement en tngge H et Pour mieu ppréhender ces différences, on compre les dérivées de flottement lorsque 0, c'est-àdire lorsque le centre de torsion est plcé u milieu du profil. ette configurtion n est ps réliste pour un profil d ile mis représente l mjorité des tbliers de ponts. Les dérivées de flottement se simplifient en A. A 3 5

46 Vibrtions couplées vec le vent H H 3 A A 3 ; ; G G ; H H ; 8 G G A A G G 6. (3.3) L comprison vec l théorie qusi-sttique (QST) est présentée figure 3. en fonction de. H A H A H A 3.5 H igure 3.. Dérivées de flottement pour 0 en AT ( ) et QST ( ). L nlyse des composntes d mortissement en tngge montre que les fortes différences u fibles fréquences réduites sont reliées directement u terme en G/ intervennt dns leur définition. En effet, cette fonction tend très lentement vers pour 0 ce qui constitue une singulrité lorsque est pris rigoureusement nul. En fit l estimtion de ces deu coefficients d mortissement en torsion pure et couplée constitue un problème récurrent dns les problèmes éroélstiques. A 6

47 Aéroélsticité En prtique l théorie qusi-sttique néglige ces effets ce qui l rend inefficce lorsque l configurtion du problème rend ces coefficients primordiu Le décrochge dynmique L notion de décrochge dynmique d un profil d ile est une bonne introduction à l étude des flottements des corps non profilés. En effet, lorsque l ngle d incidence moyen du profil est situé dns l one de décrochge sttique, il se produit un décrochge dynmique. elui-ci diffère de l simple oscilltion en torsion à fible incidence du prgrphe précédent pr le fit que l vitesse du vent utour du profil ne reste ps prllèle à l vitesse mont. En d utres termes, l hypothèse de bse servnt u développement de l théorie potentielle insttionnire n est ps respectée (linéristion de l vitesse, éqution (3.)). Globlement le décrochge dynmique est un mécnisme physique comportnt une hystérésis dns l étblissement d un cycle du mouvement. On peut l illustrer sur un digrmme portnce-ngle d incidence comme l figure 3.5. Lorsque le cycle d oscilltion en incidence d mplitude α empiète sur l one de décrochge sttique, le comportement non linéire intervient et se trduit pr : une ugmenttion de l portnce mimle pr rpport à l courbe sttique, comme si le décrochge se produisit pour une incidence plus grnde, suivi en retour d un recollement plus trdif, vec une sitution de décrochge qui perdure ussi plus longtemps. m dynmique m sttique courbe sttique α α α cycle dynmique igure 3.5. ycle de décrochge dynmique d un profil d ile es deu phénomènes combinés conduisent u cycle d hystérésis du décrochge dynmique : celui-ci est prcouru dns le sens horire et son ire, qui représente le trvil de l force de portnce, est négtive : elle indique donc un trnsfert d énergie du fluide vers l structure. ette énergie doit être dissipée pr l structure, générlement pr mortissement structurl fin d éviter une instbilité. Evidemment en prtique l forme du cycle dépend de l fréquence réduite, de l mplitude α, et de l vleur de α. Le même type de comportement est observé pour le moment de tngge, vec éventuellement des cycles comportnt plusieurs boucles. 7

48 Vibrtions couplées vec le vent L modélistion mécnique de ce phénomène reste sse complee, plus ou moins empirique et fit encore l objet de recherches. Le lecteur est invité à consulter l littérture spécilisée. Le décrochge dynmique d un profil d ile concerne des domines importnts comme l conception des pâles d hélicoptères ou plus récemment les grndes pâles d éoliennes régulées u décrochge Effet de l turbulence L effet de l turbulence sur un profil d ile été étudié initilement pr Sers (9). L idée repose sur le fit que l turbulence peut se modéliser comme un trin d onde qui se propge le long du profil à l vitesse moyenne de l écoulement. On suppose donc une vitesse turbulente verticle de l forme (, t) w~ ep [ i ( t )] w ω / (3.) où l pulstion ω π / est bsée sur l longueur d onde des perturbtions turbulentes. Dns ce cs, Sers montré que l portnce résultnte sur un profil à incidence petite étit donnée pr w~ (3.5) ( ) π S( ) ep[ iω t] où l fonction de Sers S ( ) est donnée à l ide de l fonction de Theodorsen pr ( ) [ J ( ) i J ( )] ( ) i J ( ) S 0. (3.6) ette portnce résultnt de l circultion git u ¼ de corde (u foyer). Elle n induit donc ps de moment de tngge u foyer de l ile. En prtique on utilise plutôt le module de l fonction de Sers pour évluer l mplitude de l force induite pr l turbulence, soit S ( ) ( J J )( G ) J J J G J. (3.7) 0 qui est présenté figure 3.6. Il en eiste une pproimtion reltivement précise due à ung (955) S ( ) (3.8) π Revenons sur l epression (3.5) de l portnce induite pr l turbulence. Dns cette epression l fonction de Sers trduit le fit que l turbulence est convectée longitudinlement et que le profil n est ps soumis u mim de l vitesse w simultnément. L fonction de Sers git donc comme une fonction de pondértion, son mimum étnt égl à pour une fréquence réduite nulle, c'est-à-dire pour l limite qusi-sttique. Pour des fréquences élevées, les échelles de turbulence correspondntes sont plus fibles que l corde du profil, d où une décroissnce rpide en fonction de. e type de fonction de pondértion s ppelle une dmittnce érodynmique. Elle est intrinsèquement liée à l composnte de l force et à l structure considérée et il convient d obtenir des dmittnces pour les utres composntes des efforts, notmment l trînée, ce qu évidemment l théorie potentielle insttionnire ne permet ps d obtenir. 8

49 Aéroélsticité On peut fire l comprison vec l portnce obtenue en qusi-sttique u chpitre précédent, éqution (.0). ette dernière se récrit en négligent l composnte de turbulence longitudinle w~ w. (3.9) ( f ) S ( f ) ette epression est bien cohérente vec celle obtenue mintennt en se rppelnt que le terme en eponentielle de (3.5) contient l pulstion ω bsée sur l longueur d onde de l turbulence. e terme joue ici le rôle d un modèle du spectre de w, simplifié, mis permettnt le déroulement du clcul nlytique S ( ) S() igure 3.6. odule de l fonction de Sers 3.3. s des corps non profilés Pour les corps non profilés l vitesse de l écoulement utour de l obstcle ne suit ps les hypothèses (3.) prises précédemment à cuse des ones décrochées. On ne peut donc ps ppliquer l théorie potentielle précédente. Pr illeurs, l hypothèse qusi-sttique employée u chpitre précédent est encore moins vlide. En effet l notion globle de fible fréquence réduite, fisnt référence à l vitesse à l mont, doit être remise en cuse cr l vitesse moyenne dns l one décollée u droit d une telle structure est nettement plus fible. Loclement l fréquence réduite ugmente et invlide l hypothèse qusisttique Les dérivées de flottement Pour pllier à l bsence d une théorie générle, il s est donc véré nécessire d utiliser des coefficients issus de mesures en soufflerie sur mquette mobile. Différentes formultions eistent de prt le monde mis l plus utilisée est certinement celle de Scnln (97) dns le domine fréquentiel. elle-ci est formellement donnée pr 9

50 Vibrtions couplées vec le vent ρ B O ρ B * * Bα * H H H 3 α * * Bα * A A A 3 α H * A * B B (3.0) où les dérivées de flottement sont des fonctions de l fréquence réduite. L lrgeur B de l structure, pr eemple l lrgeur d un tblier, prend ici l plce de l corde c du profil d ile. Pr comprison vec le modèle utilisé u prgrphes précédents, cf. éqution (3.3), on constte que le modèle de Scnln reste proche, introduisnt sns conséquence prtique un rpport sur les coefficients d mortissement et sur les coefficients de rideur. Dns ce document on conserve l nottion des dérivées de flottement introduite pr le modèle (3.3). es coefficients doivent être évlués en soufflerie, sur mquette mobile, en fonction de l fréquence réduite. En prtique les phénomènes rencontrés diffèrent selon que l structure étudiée est à grnd ou petit llongement. Pour les petits llongements, c est le cs des pylônes, le phénomène instble qund il eiste est générlement un glop, lié à un mortissement érodynmique négtif c'est-à-dire lorsque H 0. Hbituellement l pproche qusi-sttique présentée u.. reste sse fible pour déterminer l vitesse critique, l mesure sur mquette mobile ne fisnt qu étblir une correction. Dns le cs des tbliers, d llongement grnd, l écoulement l possibilité de recoller ou non sur l rrière de l obstcle, ce qui conduit à diverses possibilités d instbilités. Si le tblier est bien profilé, le flottement clssique pr couplge de mode constitue générlement le risque principl. e mécnisme est piloté principlement pr les termes H 3 et > A 3 dont l évolution en fonction de l fréquence réduite est générlement similire à celle d un profil d ile. On peut risonnblement déterminer l vitesse critique telle que clculée u chpitre (.3.) en remplçnt les dérivées de flottement qusi-sttique pr celles évluées en soufflerie. En conservnt les nottions, cel donne c J O λ α ( r). (3.) ρ B A Rppelons toutefois que nécessire pour résoudre cette éqution. 3 A 3 dépend de l vitesse du vent et qu une méthode numérique itértive est Lorsque le tblier n est ps profilé, les risques d instbilité proviennent générlement des mortissements mortissement négtif. H et surtout A, conduisnt à des flottements à un degré de liberté pr Problème de l mortissement en torsion Le cs de l instbilité pr mortissement en torsion constitue un phénomène remrquble pour les tbliers de pont. Scnln (97) montré qu il est à l origine de l destruction du pont de Tcom en 50

51 Aéroélsticité décembre 90 u SA. Dns ce type de problème l pproche qusi-sttique n est ps vlide pour les fréquences réduites rencontrées en prtique. L figure 3.7 compre l llure du coefficient d mortissement en torsion du profil d ile et celle d un tblier non profilé comme celui du pont de Tcom. e dernier devient positif pour des fréquences fibles indiqunt bien une instbilité pr mortissement en torsion. e phénomène est tout à fit impossible à prédire vi l théorie qusi-sttique ou l théorie du profil d ile insttionnire, le crctère non profilé étnt ici dominnt. Le pssge pr éro de ce coefficient donne l vleur pproimtive de l vitesse d instbilité (en négligent l effet de l mortissement structurl). ette vitesse peut s vérer très petite, bien en deçà de celle du dimensionnement sttique. A titre indictif, l destruction du pont de Tcom s est produite pour une vitesse de vent moyen de l ordre de 68 km/h. 8 A A* 0 igure 3.7. oefficient A pour un profil d ile (trit continu) et un tblier non profilé (tirets) Admittnces Pour les mêmes risons que précédemment, les effets de l turbulence sur un corps non profilés sont très différents de ceu d un profil d ile. Il n est donc ps possible d employer l fonction de Sers. omme pour les dérivées de flottement, l évlution rigoureuse doit se fire en soufflerie vec les difficultés que cel comporte. Les études ont montré que l pondértion due à l dmittnce étit nettement moindre pour un corps non profilé que pour une ile, d où le dnger d etrpoler rbitrirement l fonction de Sers à un tblier de pont. Pour l composnte de portnce, il eiste une epression empirique due à Dvenport (96) S ( ) ep. (3.) π π π 5

52 Vibrtions couplées vec le vent qui est comprée vec l fonction de Sers figure 3.8. On constte effectivement que l dmittnce d un tblier reste nettement supérieure sur une gmme étendue de fréquence réduite. est pourquoi l pproche qusi-sttique qui mimise l dmittnce est souvent utilisée pr sécurité S ( ) S() igure 3.8. Admittnce en portnce, fonction de Sers (trit continu), reltion de Dvenport (tirets). ne utre epression due à Irwin est donnée pr S η η ( ) ( η ep( η ))( η ep( η )) B η 0.95 L u Lu πb ; H η 0.75 L u Lu πb. (3.3) Elle est très employée cr elle tient compte des rpports entre les dimensions longitudinle B et verticle H du tblier vec les échelles de turbulence correspondntes. Rppelons que l dmittnce utilisée jusqu à présent concerne l effet de l turbulence verticle sur l portnce. On l note dns l suite S w ( ). En l bsence d une epression similire pour le moment de tngge, on pourrit penser w w risonnblement que S ( ) S ( ) pour un tblier de pont, dns l mesure où le moment en torsion est principlement dû à l mnière dont se réprtit l portnce de prt et d utre du milieu du tblier. En fit cette hypothèse ne v ps dns le sens de l sécurité cr des études ont montré que l dmittnce en torsion pouvit être supérieure à. Dns un cs etrême, il est possible en effet qu un trin d onde turbulent it une contribution de signe différent sur chque moitié du tblier, ce qui eciterit l torsion. Les études montrent que cet effet proche d une résonnce se produit essentiellement sur des tbliers non profilés à bsse fréquence. ette crctéristique est propre à l obstcle et il n eiste à ce jour ps d epression nlytique. Dns le cs générl d évlution des efforts dus à l turbulence sur un tblier de pont, on doit églement disposer de l effet de l turbulence longitudinle sur les composntes de portnce et de 5

53 Aéroélsticité tngge. Scnln (993) suggéré de les estimer à l ide des dérivées de flottement, estimnt que les effets de l turbulence longitudinle s pprentient à des mouvements de torsion de l structure. Aussi, il obtient S S u u ( ) ( H ) ( H ) ( ) ( A ) ( A ) 3 3. (3.) En conséquence, les efforts dus à l turbulence peuvent donc s eprimer dns le domine fréquentiel pr u w ( ) ρb I u Su ( f ) S ( ) I w Sw ( f ) S ( ) u w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ρb I u Su f S I w S w f S. (3.5) Il ne s git en fit que des epressions qusi-sttiques étblies u chpitre précédent et pondérées pr les dmittnces correspondntes. En générl on besoin du module des forces dus à l turbulence, et ce sont donc les modules des dmittnces qui sont utilisées. 53

54

55 Phénomènes prticuliers. Phénomènes prticuliers On présente dns ce chpitre quelques phénomènes de vibrtion induite pr le vent survennt sur les câbles circulires comme les hubns... L crise de trînée L instbilité pr crise de trînée est un mécnisme sse rre de vibrtion dns l direction du vent. Elle est liée à une gmme de nombre de Reynolds sse restreinte, utour de 0 5. Autour de cette vleur, l couche limite utour du cylindre psse d un régime lminire à un régime turbulent. omme mentionné u chpitre,..5., l conséquence principle est une bisse sse forte de l trînée pour une petite ugmenttion du nombre de Reynolds. ette sensibilité du coefficient de trînée peut entrîner une instbilité pr mortissement négtif. Le mouvement d un cylindre sur l e est décrit pr m m ω η mω ρ D ( Re), (.) est l vitesse pprente du vent perçue pr le cylindre et le coefficient de trînée dépend du nombre de Reynolds pprent. On donc ; Re Re0. (.) Après linéristion de l force de trînée, l éqution du mouvement devient m m ω η mω ρ D Re0 (.3) Re où l on constte qu il eiste une instbilité lorsque l mortissement totl devient négtif, i.e. Re0 m ω η ρ D < 0. (.) Re 55

56 Vibrtions couplées vec le vent 56 eci peut se produire lorsque 0 Re Re <. (.5) En prtique cette condition ne peut être stisfite qu utour de l vleur critique du nombre de Reynolds pour le cylindre considéré, de l ordre de 0 5 à 0 5 pour un cylindre lisse. ette instbilité est donc restreinte à une gmme étroite de vitesse d où s rreté. En outre l mortissement jouté doit être suffisnt pour nnuler l mortissement structurl, ce qui fit que cette possibilité théorique reste necdotique pour les écoulements en ir... Le glop de sillge Le glop de sillge d'un corps fleible est une instbilité cusée pr l perturbtion de l'écoulement due à l présence d'un utre corps plcé en mont. Il s'git d'un phénomène d'interférence érodynmique qui est obligtoirement lié à l présence de plusieurs structures. En fonction de l position reltive des deu corps, il peut pprître des ecittions éroélstiques conduisnt à des mouvements de grnde mplitude. Dns le cs de cylindres circulires, le détchement tourbillonnire peut se coupler u phénomène du glop de sillge. es vibrtions ont fit l'objet de nombreuses études dns les domines les plus divers, de l tenue des tubes d'échngeurs, u structures off-shore, u groupes de cheminées et nturellement u câbles de hubns ou de lignes électriques sur lesquelles il été initilement observé. Le glop de sillge concerne les cs où les écrtements des cylindres sont grnds, de 3 à 5 dimètres. n modèle qusi-sttique été proposé pr Simpson (97). On peut l'écrire sous l forme d'un oscillteur à degrés de liberté, ( ) ( ) y B B y B B D k y k y c y m y A A y A A D y k k c m y y y y 3 3 ρ ρ. (.6) où les coefficients A i et B i (pour i à ), nlogues u dérivées de flottement, sont tirés de coefficients qusi-sttiques d'effort et de vitesses moyennes dns le sillge : s s y y y s y s B B y B B A A y A A ; ; ; ; ; ;. (.7) vec et s l vitesse du vent vnt le premier obstcle et l vitesse moyenne près le premier obstcle respectivement.

57 Phénomènes prticuliers e modèle est qusi-sttique et linéire. Il peut donc seulement donner des informtions sur le risque d'instbilité et ne peut prédire le comportement instble, en prticulier le cycle limite. Son domine de vlidité est confiné à des écrtements de l ordre de 3 à 5 dimètres et pour des cylindres non lignés. y s igure.. ouvement du cylindre vl dû u glop de sillge En outre, il est nécessire de connître le profil de vitesse derrière le premier cylindre. Dns le cs de cylindres circulires, Blevins (990) proposé un modèle empirique ynt l forme d'une gussienne et issu d'epériences. Il permet de clculer l perte de vitesse d dns le sillge à l'ide des reltions d vec b 0.3 s D. e 6D D ( 6D) 0.69 y b. (.8) où est le coefficient de trînée d'un cylindre circulire isolé, de l'ordre de à, ; et y sont les coordonnées du second cylindre rpportées à l'e du premier. L fermeture du modèle de Simpson ne nécessite lors que les coefficients d'efforts des cylindres et leurs dérivées. Toutefois le crctère qusi-sttique du modèle de Simpson contribue à limiter son domine de vlidité. Lorsque les corps sont plus rpprochés et bien lignés l'un derrière l'utre, l'hypothèse qusisttique doit être remise en cuse cr elle peut conduire à prédire l stbilité, en contrdiction vec les observtions epérimentles. Dns ce cs en effet, le second cylindre est plongé dns le sillge du premier et l vitesse s qu'il subit réellement est beucoup plus fible, ce qui conduit à une vitesse réduite effective d'utnt plus petite..3. L ecittion conjointe vent-pluie L ecittion conjointe sous l ction du vent et de l pluie concerne les câbles inclinés comme les hubns lorsqu ils sont munis d une gine etérieure de protection rendnt leur surfce lisse. e phénomène est ppru récemment et été observé initilement u Jpon. Les câbles concernés ont un dimètre de 5 à 0 cm. Les vitesses de vent sont fibles, entre 5 et 5 m/s, pour des nombres de Reynolds utour de 0 5. L prticulrité de ce phénomène est qu il est du type «gmme de vitesse restreinte», ce qui signifie qu il ne se produit que dns une gmme bornée de vitesses de vent. 57

58 Vibrtions couplées vec le vent Son origine fit encore l objet de discussion prmi les chercheurs. Il est vrisemblble que cette instbilité it des cuses multiples. L diversité des configurtions rencontrées en prtique (ngle d inclinison, vitesse et direction du vent) provoque des interpréttions très différentes de l prt des spécilistes. On distingue grossièrement qutre tendnces : Le glop sec : certins chercheurs, consttnt qu un cylindre incliné présente une section trnsversle u vent de forme elliptique, considèrent que cette forme est de nture à induire un glop, clssique sur un pln phénoménologique, mis dns un référentiel géométrique tridimensionnel plus complee. L présence de pluie n est ps requise pr cette interpréttion. Le détchement tourbillonnire tridimensionnel : l écoulement sur le câble incliné se décompose en un écoulement il et un écoulement trnsversl, produisnt chcun leur échppement tourbillonnire. Les deu types de détchement peuvent se coupler et conduire à une instbilité. ette interpréttion ne fit cependnt ps l unnimité prmi les spécilistes. Le glop mouillé : certins chercheurs ont remrqué que l présence de l pluie contribuit à former des filets d eu s écoulnt le long de l e du hubn. es filets formés utour des points de séprtion constituent une protubérnce locle qui suffit à modifier globlement l effort trnsversl de l section. ne instbilité de glop clssique est lors possible. Des essis de soufflerie sur une configurtion équivlente sttique (cf. figure.) ont montré que cette interpréttion est plusible. Le couplge vent-pluie : cette interpréttion s ppuie sur celle du glop mouillé pour lquelle on dmet en plus que les filets d eu sont soumis à un mouvement d oscilltion couplé vec l vibrtion du hubn. L nlyse mécnique montre que le mouvement d un filet d eu contribue effectivement à fvoriser ou tténuer l vibrtion du câble en fonction notmment des différentes phses des oscilltions. équivlent sttique film mince dynmique igure.. Différents scénrio de formtion de filets d eu sur un cylindre. Les études les plus récentes montrent que l notion de filet d eu est incomplète dns certins cs et que le hubn est en rélité mouillé sur toute s circonférence pr un film mince. Les filets s pprentent lors à des surépisseurs de ce film, figure. qui peuvent osciller vec le mouvement du câble. L spect «gmme de vitesse restreinte» pourrit être dû u fit qu à vitesse du vent élevée, ce dernier chsserit le film de l surfce du cylindre. 58

59 Bibliogrphie écnique des fluides et érodynmique OOLET R. écnique epérimentle des fluides ; Tome II. sson, Pris, 99 HOERNER S.. Résistnce à l'vncement dns les fluides. Guthiers-Villrd, Pris, 965. ERODE A.. écnique du vol. odulo éditeur, Québec, 98 RYHING I. L. Dynmique des fluides. Presses Polytechniques et niv. Romndes, 985 Vibrtions GÉRADIN. & RIXEN D. Théorie des vibrtions. sson, Pris, 993 DEN HARTOG J.P. echnicl Vibrtions. Dover, New York, 985 Vibrtions sous écoulement BLEVINS R.D. low-induced Vibrtion. Vn Nostrnd Reinhold, New-York, 990 DE LANGRE E. luides et Solides. Editions de l Ecole Polytechnique, 00. GIBERT R. J. Vibrtions des structures. Interctions vec les fluides - Sources d'ecittion létoires. ollection de l DER d'ed, Eyrolles, Pris, 988 NADASHER E. & ROWELL D. low-induced Vibrtions. Blkem, Rotterdm, 99. Aéroélsticité et effets du vent AG (Assocition rnçise de Génie ivil) omportement u vent des ponts. Presses de l Ecole Ntionle des Ponts et hussées, 00 BISPLINGHO R.L. & ASHLEY H. Principles of Aeroelsticity. Dover, New York, 975 E (onvention Européenne de l onstruction étllique) Recommndtions pour le clcul des effets du vent sur les constructions. onstruction étllique, Vol., rs 989 DOWELL E. H., RTISS H.. Jr., SANLAN R. H. & SISTO. A modern course in eroelsticity. luwer Acdemic Publishers, The Netherlnds, 989 NG Y.. An Introduction to the Theory of Aeroelsticity. Dover, New York, 993 SII E. & SANLAN R.H. Wind Effects on Structures. 3rd edition. Wiley & Sons, New York, 996

60 Annee : Rppel sur l oscillteur à un degré de liberté L éqution d un système à degré de liberté s écrit m ( ) (, ) c k. (A.) 0 où m est l msse, c l mortissement, k l rideur et l force etérieure d ecittion supposée couplée en position et en vitesse. Dns un premier temps on considère le système sns ecittion etérieure. L mortissement critique est celui pour lequel l solution ( t) psse d une sinusoïde décroissnte à une eponentielle décroissnte. et mortissement critique vut c c km. L mortissement d une structure est générlement donné sous l forme d un mortissement réduit qui est le rpport de l mortissement réel vec l mortissement critique, soit c η. (A.) km et mortissement réduit souvent eprimé en pourcentge est générlement de l ordre de quelques pourcents, voire quelques diièmes de pourcents pour des hubns. L mortissement étnt petit, l fréquence propre f du système est donnée pr ω f vec ω λ π k m (A.3) où ω est l pulstion propre et λ l vleur propre. L éqution du mouvement peut se récrire lors sous l forme m ηω m mω,. (A.) 0 ( ) ( ) Lorsqu on linérise l force etérieure d ecittion utour d une position d équilibre fie 0, c est à dire 0 0 (, ) 0. (A.5) et que l on remplce dns l éqution du mouvement, lors on obtient 0 0 m ηω m mω 0. (A.6) Le terme 0 s ppelle l mortissement jouté, le terme peuvent nître lorsque l un ou l utre de ces termes est négtif. 0 l rideur joutée. Des instbilités

61 Annee : Nombres de Strouhl de sections usuelles Section et direction du vent St circulire Re < circulire Re > crré 0.3 rectngle : 0.09 rectngle 5: 0. plque 0.6 tringle 0.7 H crré 0.0 H rectngle 5: 0.08 crré droit 0.6 crré couché 0.5 section en I 0.5 T droit 0.6 T couché 0.5 cornière 0. cornière à 5 0.7

62 Annee 3 : Dérivées des efforts de quelques sections usuelles Section et direction du vent sns turbulence turbulence 0% demi cercle demi cercle crré rectngle : rectngle : 0 - plque rectngle : Section et direction du vent pr rpport u centre crré -0.8 rectngle : -0.6 rectngle : -8 rectngle 5: -6

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