PHYSIQUE NON-LINÉAIRE

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1 Université d Orléans Faculté des Sciences Licence de physique 3ème année PHYSIQUE NON-LINÉAIRE Thierry Dudok de Wit Université d Orléans Janvier 2012 Table des matières 1 Introduction 2 2 Les systèmes dynamiques 5 3 Adimensionnement 6 4 Systèmes à une variable 8 5 Systèmes à deux variables 10 6 Etude d un cas : modèle de compétition entre espèces animales 17 7 Périodicité et cycles limite 19 8 Bifurcations 24 9 Le chaos déterministe 31

2 Quelques références utiles Les livres ci-dessous sont disponibles à la bibliothèque des sciences. Y. Pomeau, M. Dubois Gance & P. Bergé, Des rythmes au chaos, Odile Jacob (1994 : ouvrage de vulgarisation sur les systèmes périodiques et la manifestation du chaos dans la vie quotidienne. P. Bergé, Y. Pomeau, & C. Vidal, L ordre dans le chaos, Hermann (1998 : plus technique que le précédent, c est un des livres qui a lancé la mode du chaos. H. Abarbanel, M. Rabinovich & M. Suschik, Introduction to nonlinear dynamics for physicists, World Scientific (1993 : un véritable concentré de physique non-linéaire hélas non disponible à la BU ; F. Lurcat, La chaos, Presses Univ. de France (2007 : l essentiel sur le chaos. J. Hubbard & B. West, Equations différentielles et systèmes dynamiques, Cassini (1999 : excellent livre, qui met l accent sur la résolution d équations différentielles. P. Manneville, Instabilités, chaos et turbulence, Editions de l Ecole Polytechnique (2004 : excellent livre sur le systèmes non-linéaires, avec un accent sur les fluides non disponible à la BU ; Ce cours-ci ainsi que les sujets de TD sont disponibles à l adresse ou encore avec le code 1 Introduction 1.1 Qu est-ce que la linéarité? Dans la modélisation d un phénomène, on cherche généralement à construire un modèle, dont on étudie ensuite la ou les solutions x(t. On dit que ce modèle est linéaire si les multiples de cette fonction (ou toute combinaison linéaire des solutions sont aussi solution x(t est solution λx(t est aussi solution λ Exemple : L équation de l oscillateur harmonique en une dimension s écrit 1 ẍ+ ω 2 0 x = 0 La solution générale de ce système est x(t= A sin(ω 0 t+ φ 0. Tout multiple de cette fonction reste une solution du système. En revanche, l équation du pendule oscillant θ+ ω 2 0 sinθ= 0 n est pas linéaire. En effet, si x(t= A sin(ω 0 t+φ 0 est solution pour de petites amplitudes A π/2, elle ne l est plus pour des amplitudes moyennes ou grandes. Pour un système linéaire, l amplification de la cause implique une amplification de l effet. On dira encore que le tout peut être décrit comme la somme des parties. Ce principe de superposition joue un rôle crucial en physique puisqu il simplifie considérablement la résolution des problèmes. C est en vertu de ce principe, par exemple, que le champ magnétique généré par plusieurs conducteurs peut s écrire comme étant la somme des champs générés par chacun des conducteurs pris isolément. Ce principe de superposition explique pourquoi la grande majorité des problèmes abordés dans le programme de licence de physique sont des problèmes linéaires. Or la linéarité est souvent l exception dans notre monde. 1. J adopterai dorénavant la notation ẋ = d x d t, ẍ = d 2 x d t 2, etc. 2

3 Si les systèmes linéaires sont apparemment si fréquents, c est uniquement parce qu ils sont plus faciles à étudier! De fait, beaucoup de systèmes d apparence linéaire ne sont en réalité qu une approximation d un système non-linéaire plus complexe. Exemple : L énergie potentielle acquise par une masse m qu on élève d une hauteur h au-dessus de la surface de la Terre se note E p = mg h. Or cette expression est une approximation, qui n est valable que pour h R (avec R, le rayon de la Terre. Dans le cas plus général, il faut définir l énergie potentielle à partir de la force d attraction gravitationnelle R+h E p = R GmM r 2 dr = GmM GmM R R+ h (1 où M est la masse de la Terre et G la constante de gravitation. On vérifie que pour h R, on retrouve bien E p GM R 2 mh = 9.80[m/s2 ]mh Or notre expression (eq. 1 de la force gravitationnelle est à son tour la forme simplifiée d une expression plus générale, qui fait intervenir la courbure de l espace-temps... De nombreuses expressions que nous croyons linéaires sont ainsi en réalité la linéarisation d expressions non-linéaires bien plus complexes. La non-linéarité joue un rôle essentiel dans les lois de la physique car elle apporte fréquemment une compensation qui empêche les rétro-actions positives de diverger. 1.2 Origine des comportements non-linéaires Géométrie La non-linéarité d un phénomène peut avoir plusieurs origines. Elle résulte souvent de la géométrie. Pour l oscillateur harmonique et pour le pendule oscillant, nous avons respectivement ẍ ẍ = ω 2 0 x = ω 2 0 sin x Les deux modèles sont équivalents dans le cas où x π/2. Que peut-on dire des solutions du pendule lorsque x est grand? Sont-elles toujours périodiques ou vont-elles s atténuer? Comment leur période varie-t-elle avec l amplitude? Pour répondre à ces questions, on ne peut plus se contenter de faire un développement limité à partir d une solution analytique ; il faut avoir une vision globale des solutions. Or dans la plupart des systèmes nonlinéaires la solution analytique n existe pas, et ne peut parfois même pas être approchée par un développement limité. Par ailleurs, même si cette solution analytique existait, elle ne nous apprendrait pas grand chose sur les propriétés du système. Par conséquent, avant de chercher une solution, il est bien plus instructif de se faire une idée préalable du comportement global du système il faut démarrer par une étude plus qualitative, à caractère géométrique. Exemple : Dans l interaction gravitationnelle entre deux corps (Terre-Soleil, Terre-Lune,..., la solution des équations du mouvement en coordonnées réduites s écrit r (θ= a ε2 1 1+εcosθ, θ= L µr 2 où a, ε, µ et L sont des constantes. Or ceci ne nous apprend pas grand chose sur la nature des solutions. Il est souvent bien plus utile de constater que ces solutions sont des coniques, qu elles se déroulent dans un plan, avec conservation de l énergie et en vérifiant les lois de Kepler Changements de régime La présence d un seuil ou d un point critique peut rendre la dynamique non-linéaire. 3

4 Dans l exemple du vase de Tantale, le remplissage d un vase est compensé par la vidange par un siphon. Or ce dernier ne se met en route que lorsque le niveau de l eau dans le vase dépasse un seuil critique (la hauteur H. On obtient un régime périodique non-linéaire, qui est composé d une suite de croissances linéaires et de décroissances exponentielles. La périodicité n est pas due à une force de rappel (comme dans le ressort, mais à la présence d un seuil. Ce même mécanisme permet d expliquer l activité périodique d un geyser et nous verrons qu il est apparenté au mécanisme responsable du rythme cardiaque Couplages Les couplages (entre atomes, entre spins,... sont souvent à l origine des non-linéarités. De même, les rétroactions sont de nature à introduire des non-linéarités. Exemple : La dynamique d un laser : le nombre de photons n émis par un laser vaut ṅ= gain pertes= G n N k n (2 où G est le gain du laser, k décrit le taux de pertes et N (t est le nombre d atomes excités. Or plus il y a de photons émis, moins il y a d atomes excitables, et par conséquent N = N 0 a n. Cela donne enfin ṅ= g n(n 0 a n k n= αn βn 2 (3 Nous verrons que cette équation fait apparaître un seuil critique au-delà duquel le processus d amplification stimulée se met en route Processus de chaîne Dans le processus de réaction en chaîne, chaque réaction est sensible aux réactions qui le précèdent. Cette dépendance peut engendrer une sensibilité aux conditions initiales et donc un comportement non-linéaire. Exemple : réaction nucléaire, avalanche, effondrement du marché boursier, etc Représentation En hydrodynamique, à pression constante, nous avons ρ d v = ν v d t qui est linéaire en v. Si nous passons maintenant en représentation d Euler, il apparaît un terme quadratique ( ρ t + v v = ν v Si v 0 est solution, alors λ v 0 ne l est généralement pas. Le simple fait de changer de référentiel modifie complètement la dynamique. Pourtant la physique doit rester la même. 4

5 2 Les systèmes dynamiques Il existe un cadre unificateur pour décrire les systèmes non-linéaires, qu on appelle la théorie des systèmes dynamiques. Cette dernière est une discipline récents de la physique, qui se situe à l interface entre la physique et les mathématiques appliquées. Elle a révolutionné notre conception de la physique au même titre que la physique statistique de la fin du XIXème ou de la relativité du début du XXème. Un des intérêts majeurs de la théorie des systèmes dynamiques réside dans son caractère pluridisciplinaire. En effet, des problèmes apparemment très différents tels que des insectes en interaction, des réactions chimiques et des circuits électroniques possèdent exactement les mêmes solutions. Il y a là une universalité qui transcende des nombreuses disciplines scientifiques et qui offre une occasion bienvenue pour les décloisonner. On appelle système dynamique un système dont l évolution temporelle peut être décrite par l équation (très générale x 1 (t x 2 (t x = f ( x où x(t=. x n (t Connaissant l état initial du système, on peut donc prédire son évolution future en tout instant. Un tel système est donc parfaitement déterministe : il n y a point de hasard en lui. Par mi les exemples, citons la trajectoire d une masse, l évolution du nombre d insectes d une population donnée, l intensité d un faisceau laser,... (4 2.1 Classification des systèmes On distingue différents types de systèmes en fonction du nombre de variables qui entrent en jeu. En général, plus il y a de variables, plus la dynamique pourra être complexe. systèmes à 1 variable : par exemple, la décroissance d une source radioactive : Ṅ = λn ou l équation du mouvement d un objet en chute libre dans de l air m v = mg cv 2. systèmes à 2 variables : par exemple, un modèle d interaction entre une population de x proies et de y prédateurs ẋ = ax by ẏ = c y d x ou un pendule amorti θ+λ θ+ω 2 0 sinθ= 0. Ce dernier ne fait apparaître que la variable θ, mais se comporte en réalité comme un système à 2 variables. L explication sera donnée dans le chapitre 5.1. systèmes à 3 variables : les systèmes à n 3 variables sont susceptibles de générer une dynamique nettement plus complexe, appelée chaos déterministe, que nous aurons l occasion de voir plus tard. Un exemple souvent cité est celui du modèle de Lorenz ẋ ẏ ż = σ(x y = r x y xz = x y bz qui est une version très simplifiée d un modèle qui décrit les rouleaux de convection dans l atmosphère. Ce même modèle apparaît dans la description de lasers et du champ magnétique terrestre. Un autre exemple de système à 3 variables est le pendule oscillant entraîné par une force externe F (t. La troisième variable est ici le temps qui apparaît explicitement dans l équation. ml θ= mg sinθ+ F (t systèmes à un nombre variables : les équations aux dérivées partielles sont des systèmes faisant intervenir un nombre infini de variables. Exemple : l équation de propagation du champ onde magnétique dans le vide 2 B( x, t=µ 0 ǫ 2 0 B( x, t (une équation linéaire ou l équation de Navier-Stokes ρ v t 2 t + µρ( v v = p+ η 2 v (non-linéaire. 5

6 Pour résoudre ces équations, il faut autant de conditions initiales qu il y a de variables. On voit qu avec des dérivées partielles, le nombre de variables tend vers l infini ; la condition initiale est alors une fonction. Nous nous focaliserons ici sur les systèmes à 1 ou 2 variables, qui sont plus simples à traiter. Une classification sommaire de quelques phénomènes est donnée dans le tableau ci-dessous, dans lequel n désigne le nombre de degrés de libertés. linéaire non-linéaire n= 1 n= 2 n 3 n 1 n= croissance, décroissance ou équilibre oscillations phénomènes collectifs ondes et structures circuit RC, décroissance radioactive bifurcations, relaxations circuit RLC, pendule simple, système Terre-Lune pendule, cycles limite, cycles prédateur-proie, oscillateur de van der Pol chaos attracteur étranges, problèmes à plusieurs corps (Soleil-Terre- Lune, cinétique chimique, fractales oscillateurs élasticité, électromagnétisme, couplés, dynamique acoustique, chaleur, moléculaire, mécanique statistique diffusion complexité spatio-temporelle oscillateurs non-linéaires couplés, lasers, optique non-linéaire, écosystèmes, économie, réseaux de neurones ondes nonlinéaires (solitons, turbulence, plasmas, tremblements de terre, relativité générale, épilepsie 2.2 Existence et unicité des solutions Les systèmes dynamiques linéaires admettent toujours une solution, qui est unique. Ceci n est plus forcément le cas pour les systèmes dynamiques non-linéaires. Exemple : Soit le système ẋ = x, avec la condition initiale x(0=0. On veut des solutions positives. L intégration donne 2 3 x3/2 = t t 0 mais il faut que x 0. On impose donc { x(t= 0 t t0 x(t= [ 3 2 (t t 0 2/3] t t 0 Mais si t 0 est indéterminé positif, on aura une infinité de solutions! Notons qu en inversant le temps (t t la condition initiale devient une condition finale et dans ce cas la solution devient unique. Il y a donc une profonde asymétrie dans le temps, qui se rencontre dans de nombreux systèmes physiques. La propagation de vagues constitue un exemple courant de non-unicité. Considérons un front d onde légèrement déformé. La vitesse du front étant partout identique et perpendiculaire au front, la déformation va s amplifier jusqu à la formation de singularités (caustiques ou pire, de recoupements (déferlements 3 Adimensionnement La première étape essentielle dans l étude d un modèle est son adimensionnement. Cela consiste à réduire le nombre de paramètres du modèle en vue de son étude numérique ou analytique. L adimensionnement peut être effectué de différentes manières, l objectif étant de simplifier au maximum les équations. 6

7 FIGURE 1 Trois étapes successives (de haut en bas d un front d onde. Chaque portion se déplace perpendiculairement au front. Très vite, des fronts vont se croiser et des singularités apparaîtront. 3.1 Adimensionnement par simplification des paramètres L équation décrivant le mouvement d un pendule de masse m, de longueur l et soumis à un frottement visqueux est ml θ+ µl θ+ mg sinθ= 0 (5 Cette équation fait apparaître 4 paramètres (m, l, g, et µ qui sont a priori tous susceptibles de changer. Or il serait bien trop fastidieux d étudier séparément l effet de chaque paramètre sur les solutions. La première étape consiste donc à les regrouper. On peut réécrire l équation 5 θ+ µ θ+ g m l sinθ= 0 Nous voyons alors qu il existe au plus deux paramètres indépendants : a= µ/m et b= g /l. L équation à étudier devient θ+a θ+ b sinθ= Adimensionnement par substitution de variable Reprenons l exemple du nombre de photons n(t émis par un laser (eq. 3 ṅ= αn βn 2 (6 Cette équation possède deux paramètres : α>0 et β>0. Il faudrait donc a priori varier ces deux paramètres pour étudier toutes les solutions. Définissons alors une nouvelle variable x(t = n(t/c et insérons-la dans l équation 6. Le paramètre c est quelconque mais non nul. Nous obtenons ẋ= αx cβx 2 Il suffit dès lors de poser c = α/β > 0 pour obtenir l équation simplifiée ẋ = αx(1 x (7 Evidemment, 0 x 1, sans quoi l émission risque d être négative. Il suffit désormais d étudier les solutions de l équation 7 en fonction du seul paramètre c. Pour ensuite retrouver les solutions sous forme initiale, il faut utiliser la relation n(t = x(tc. 3.3 Adimensionnement par changement de base de temps Il arrive parfois qu un changement de variable ne modifie en rien une équation. Ainsi, dans le modèle ẋ = αx, on ne gagne rien à changer de variable. En revanche, on peut tenter de changer de base de temps, en posant 7

8 τ = ct. Il faut évidemment que c > 0, sans quoi il y a inversion du temps et le système devient non-causal. Comme ẋ = d x d t = d x dτ dτ d t = c d x dτ on obtient alors et il suffit de poser c = α, à condition d avoir α>0. d x dτ = α c x Chaque changement de variable permet au mieux de réduire d une unité le nombre de paramètres. Attention : l ordre dans lequel les simplifications sont effectuées est important. Il est conseillé d effectuer simultanément les changements de variable et le changement de base de temps, afin d éliminer le maximum de paramètres. 4 Systèmes à une variable Pour étudier les systèmes dynamiques, Nous nous concentrerons d abord sur les modèles continus, dans lesquels les variables sont des fonctions continues du temps et de l espace. Les applications discrètes (par exemple x k+1 = αx k (1 x k, k Z, constituent un chapitre important de la théorie des systèmes dynamique mais dépassent le cadre de ce cours. Commençons par étudier des modèles continus à une variable (ou un degré de liberté pour illustrer les propriétés de base des systèmes dynamiques. Ces modèles sont tous basés sur une équation différentielle ordinaire d ordre 1. Les modèles continus à plusieurs variables (faisant intervenir des dérivées d ordre supérieur seront abordés plus loin. 4.1 L espace de phase L exemple ci-dessus du laser (équation 7 avait conduit à une équation adimensionnée ẋ = αx(1 x (8 Cette équation, dite logistique, surgit dans des contextes très divers : en biologie, en chimie, en physique,.... Sa solution analytique est log x x 1 log x 0 x 0 1 = c(t t 0 mais cela ne nous apprend rien sur la nature des solutions : vont-elles diverger ou au contraire converger? sont-elles périodiques?.... La solution analytique renseigne sur des propriétés locales, dans le voisinage des conditions initiales, mais n est généralement guère utile pour comprendre les propriétés globales d un système. Nous allons voir comment l espace de phase nous renseigne au contraire sur les propriétés globales. L équation 7 possède comme variables x(t et ẋ(t : ses solutions peuvent donc être entièrement décrites dans un espace à deux dimensions, appelé espace de phase (ou espace des phases, dans lequel nous traçons ẋ(t en fonction de x(t pour différentes valeurs du temps t (et pour différentes valeurs du paramètre c. Cette succession de points définit une trajectoire appelée orbite, qui décrit de façon univoque la solution du système. Tracer cette orbite équivaut donc à connaître la solution. La figure 2a représente l orbite correspondant à l équation 8. A chaque condition initiale x 0 = x(t = 0 correspond un point unique situé sur la parabole. Comme la dérivée temporelle en ce point est connue, on peut aisément intégrer l équation (avec un algorithme de type Runge-Kutta ou autre et ainsi tracer l orbite entière. Cette figure peut être affinée (figure 2b. En effet les valeurs x(t<0 n ont pas de sens physique, et peuvent donc être éliminées les points de l orbite pour lesquels ẋ > 0 sont ceux pour lesquels x croît. Cela signifie que l orbite possède un sens. Idem lorsque ẋ < 0. 8

9 FIGURE 2 Espace de phase du laser, avec l orbite seule (à gauche et l orbite détaillée (à droite. Cette dernière fait apparaître le sens ainsi que les points fixes (cercles. 4.2 Points fixes Les orbites situées dans le demi-plan supérieur sont toujours orientées vers la droite (x croissants alors que celles situées dans le demi-plan inférieur sont orientées vers la gauche (x décroissants. Les points où l orbite croise l axe des abscisses sont donc particuliers, car les orbites y changent de sens. Ce sont des points d équilibre du système (la dérivée ẋ s y annule. On les nomme points fixes : x est un point fixe de ẋ = f (x ẋ = f (x =0 Dans l exemple du laser, nous avons deux points fixes : x = 0 et x = 1. Or l orbite s éloigne du premier et converge vers le second. Le premier point fixe correspond donc à un équilibre instable, car les solutions s en éloignent. Le second correspond au contraire à un équilibre stable. Dans le contexte du laser, cela signifie que : un nombre de photons x initialement compris dans l intervalle x ]0,1] va croître et tendre vers la valeur x = 1 pour x [1, [ ce nombre va décroître et tendre vers x = 1 Le laser évolue donc naturellement vers un état asymptotique x = 1, quel que soit le nombre initial de photons x > 0. Les points fixes jouent un rôle capital dans l étude des systèmes dynamiques. Henri Poincaré ( montra que pour caractériser un système dynamique à plusieurs variables, il n est point nécessaire de calculer les solutions détaillées ; il suffit en effet de connaître les points fixes et leur stabilité. Ce résultat de grande importance simplifie considérablement l étude des système non-linéaires. 4.3 Stabilité des points fixes Pour déterminer la stabilité d un point fixe, il faut étudier le comportement des orbites dans un petit voisinage de celui-ci. Supposons que x soit le point fixe d un système ẋ = f (x dont la fonction f (x est continûment dérivable. Considérons un faible écart ǫ(t= x(t x par rapport au point fixe. Alors ǫ = ẋ = f (x + ǫ = f (x +ǫf (x +O(ǫ 2 = ǫf (x +O(ǫ 2 Si f (x 0 et si les termes en O(ǫ 2 sont négligeables, alors on peut écrire ǫ(t= f (x ǫ(t 9

10 dont la solution croît exponentiellement si f (x > 0 et décroît exponentiellement si f (x <0. Nous avons ici linéarisé le système dans le voisinage du point fixe. Il suffit de connaître la dérivée de f (x en ce point pour statuer sur la stabilité. Dans le cas particulier où f (x = 0, il faut pousser le développement limité jusqu au terme d ordre deux, et refaire la même analyse. 5 Systèmes à deux variables Le passage de 1 à 2 dimensions apporte plusieurs nouveautés. La dynamique beaucoup plus riche offre notamment la possibilité d avoir des oscillations. La notion de stabilité sera élargie. Enfin, une nouvelle représentation des orbites sera introduite. Les systèmes autonomes à deux variables surgissent surtout dans des modèles qui possèdent des dérivées secondes. Ils se mettent sous la forme ẋ = f (x, y ẏ = g (x, y 5.1 Les dérivées d ordre supérieur Il existe une transformation simple qui permet de décomposer tout système avec des dérivées d ordre n> 1 en un ensemble d équations qui ne font intervenir que des dérivées premières. Exemple : Prenons le cas du pendule oscillant amorti, qui est décrit par une équation différentielle d ordre 2 : θ+ λ θ+ ω 2 0 sinθ= 0 Définissons deux nouvelles variables x 1 et x 2 : x 1 = θ x 2 = θ = ẋ 1 L équation différentielle peut se décomposer en deux équations différentielles du premier ordre ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = λx 2 ω 2 0 sin x 1 La variable x 1 n est autre que l angle et x 2 est la vitesse angulaire. Comme on a deux équations différentielles du premier ordre à résoudre, il faut deux conditions initiales, comme pour l équation initiale. De manière générale, tout système d équations différentielles ordinaires peut se mettre sous la forme x(t = x 1 (t x 2 (t. x n (t, x = f 1 (x 1, x 2,..., x n f 2 (x 1, x 2,..., x n. f n (x 1, x 2,..., x n A une équation différentielle d ordre n on peut donc associer n variables intermédiaires qui sont chacune décrites par une équation différentielle d ordre 1. Ce résultat joue un rôle important dans la simulation numérique des systèmes dynamiques car les algorithmes d intégration numérique sont généralement conçus pour résoudre des équations du premier ordre. Ce même résultat s applique aux systèmes non autonomes, dans lesquels le temps intervient explicitement comme variable supplémentaire. 10

11 Exemple : Prenons le cas de l oscillateur forcé mẍ+ kx = A cosωt On peut considérer le temps comme une variable au même titre que la position, en posant x 3 = t. Le système équivalent possède alors trois variables ẋ 1 = x ẋ 2 = 1 m ( kx 1+A cosωx 3 ẋ 3 = 1 On peut donc toujours transformer une équation non autonome en une équation autonome à condition de lui adjoindre une variable supplémentaire x n+1 vérifiant d x n+1 /d t = 1. Toutefois, l analyse de tels systèmes est rendue plus difficile pour différentes raisons. D abord, il faut une dimension de plus dans le portrait de phase. Ensuite, dans l interprétation, il faudra se souvenir du rôle que joue la nouvelle variable. Les systèmes non autonomes ne seront pas abordés ici. 5.2 Points fixes La détermination des points fixes se fait comme pour un système à une variable. Les points fixes sont définis comme ( x ( ( ẋ = f (x, y y est un point fixe de ẋ = 0 ẏ = g (x, y ẏ = 0 Dans l exemple du pendule non-amorti, ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ω 2 0 sin x 1 nous avons les points fixes (x 1 = θ = kπ, x 2 = θ = 0, k Z. Il s agit des points où le pendule est vertical et immobile. Parmi ces points, certains sont stables (quand le pendule est en bas et d autres instables (quand le pendule est en haut. Il faut donc effectuer une analyse de stabilité. Etudions auparavant les orbites. 5.3 Le portrait de phase Le passage d un système à 1 variable à un système à 2 variables pose un problème : l orbite se situe désormais dans un espace de phase à 4 dimensions : (x 1 (t, x 2 (t, ẋ 1 (t, ẋ 2 (t. Or on ne peut représenter plus deux variables dans un plan. Une méthode simple nous permet de contourner cette difficulté. On appelle portrait de phase l ensemble des projections dans le plan de phase des solutions d un système. C est une représentation géométrique des orbites qui fournit des informations essentielles sur les propriétés des systèmes autonomes. Considérons l oscillateur harmonique sans dissipation ẋ ẏ = y = ω 2 0 x Le portrait de phase de ce système est le plan dont les axes sont x(t et y(t. Chaque point de ce plan correspond à un état possible de l oscillateur. Prenons un temps t 0, pour lequel l orbite passe par le point (x(t = t 0, y(t = t 0. Au temps t 0 + δt, le système se trouvera au point ( x(t0 + δt y(t 0 + δt ( x(t0 +δt ẋ(t 0 y(t 0 +δt ẏ(t 0 = ( x(t0 y(t 0 ( ẋ(t0 + δt ẏ(t 0 11

12 L orbite s éloigne du point de départ (x(t = t 0, y(t = t 0 dans une direction qui est donnée par la "vitesse" (ẋ(t = t 0, ẏ(t = t 0. A chaque point du portrait de phase nous pouvons donc associer un vecteur (ẋ, ẏ, sachant que l orbite est tangente à ce vecteur. Grâce à l ensemble de ces vecteurs, on peut construire l orbite de proche en proche. La figure 5a représente le champ de vecteurs associé à un réseau de points qui couvrent le plan (x, y. Aux conditions initiales (x 0, y 0 correspond un vecteur particulier qui montre comment l orbite s éloigne de ce point. Des orbites associées à différentes conditions initiales sont représentées à la figure 5b. FIGURE 3 Portait de phase de l oscillateur non amorti Quelques propriétés générales à connaître : Il existe une infinité d orbites dans le portrait de phase, mais on se contente de ne tracer que les plus représentatives. L ensemble de ces orbites définit le flot. Toutes les orbites de l oscillateur harmonique sont fermées (figure 5. Cela signifie le système repasse périodiquement par le même état. A une orbite fermée correspond un régime périodique. Deux orbites ne peuvent jamais se croiser, sauf en un point fixe En effet, un croisement signifie que pour un même point (x 0, y 0 le système pourrait avoir deux vitesses (ẋ 0, ẏ 0 différentes, ce qui est impossible. La figure à droite représente le flot associé à un oscillateur harmonique amorti. Contrairement à l exemple précédent, où les orbites étaient fermées, les orbites sont ici ouvertes. Cela traduit le mouvement non-périodique, avec amortissement progressif et évolution vers le point fixe (x, y = (0, 0. FIGURE 4 Portait de phase de l oscillateur amorti 5.4 Pour tracer un portrait de phase La représentation d un portrait de phase est rarement difficile si on prend soin d appliquer quelques règles simples. 12

13 1. En premier lieu, déterminer la plage de valeurs pour les variables x et y. Vérifiez en particulier si certaines variables ne prennent que des valeurs positives. 2. Représenter tous les points fixes. La connaissance de leur stabilité (cf. chapitre 5.5 facilitera encore davantage le tracé des orbites. 3. Représenter toutes les isoclines, qui sont les lieux géométriques où le pentes sont les mêmes. Dans l exemple qui précède, l axe des abscisses est une isocline car la composante horizontale du champ de vecteurs y est nulle. Idem pour l ordonnée, où le champ de vecteurs est horizontal. Cela signifie que toutes les orbites seront verticales sur l axe des abscisses et horizontales sur l axes des ordonnées. 4. Compléter ensuite le reste du plan en définissant un maillage régulier et en calculant la pente en chaque point. Il est conseillé de progresser en s éloignant progressivement d une isocline ou d un point fixe. FIGURE 5 Début du portait de phase de l oscillateur non amorti : les isoclines et le point fixe Les figures 6a et 6b représentent le flot associé à un pendule d équation θ+ λ θ+ sinθ = 0, respectivement sans (λ = 0 et avec (λ = 0.2 amortissement. Contrairement à l oscillateur harmonique, qui lui ressemble, la variable θ du pendule est cyclique, puisqu elle est définie modulo 2π. Cela signifie que le champ de vecteurs est invariant par rapport à une translation de 2π dans la direction θ (x dans la figure. Nous observons plusieurs types d orbites dans la figure 6a 1. des orbites ouvertes : le pendule tourne toujours dans le même sens, sans s interrompre 2. des orbites fermées : elles correspondent au mouvement oscillatoire habituel du pendule. Plus l amplitude est petite, plus les orbites tendent vers des ellipses, comme pour l oscillateur harmonique. 3. une orbite particulière, appelée séparatrice, qui marque la frontière entre le mouvement oscillant et le mouvement de rotation. 4. des orbites ouvertes correspondant à une rotation continue. Notons que les orbites ne se croisent jamais, sauf en un point particulier : les séparatrices se coupent en (x = π+2kπ, y = 0, k Z. On vérifie qu il s agit bien de points fixes. Ces points fixes correspondent à un pendule dont le balancier se trouve au sommet. Il s agit donc de point d équilibre instable, contrairement au points fixes définis par (x = 2kπ, y = 0, k Z, qui sont stables. Le calcul de la stabilité sera présenté dans le chapitre Stabilité des points fixes L analyse de stabilité s effectue exactement comme pour un système à une variable (chapitre 4.3. Dans un proche voisinage des points fixes, on pose ( x(t y(t ( x = y ( u(t + v(t ce qui conduit au système linéarisé ( u v ( u =J v avec J= f f (x, y x g g (x, y x (x, y y (x, y y x,y (9 13

14 FIGURE 6 Portrait de phase du pendule non-amorti (gauche et du pendule faiblement amorti (droite. On reconnaît dans ce système la matrice JacobienneJ, évaluée au point fixe. Soient ( U1 V 1 et ( U2 les deux vecteurs propres de la matrice Jacobienne. Par définition ( U1 J V 1 = λ 1 ( U1 V 1 et V 2 ( U2 J V 2 = λ 2 ( U2 V 2 (10 (11 Or, si les vecteurs propres sont distincts, il forment une base complète et on peut alors exprimer la solution comme leur combinaison linéaire ( ( ( u(t U1 U2 = α(t + β(t (12 v(t V 1 V 2 En insérant l équation 12 dans l équation 9, nous obtenons ce qui donne enfin ( u(t v(t α(t=λ 1 α(t et β(t= λ2 β(t ( = α 0 e λ 1t U1 V 1 ( + β 0 e λ 2t U2 V 2 où α 0 et β 0 sont deux constantes d intégration. Les valeurs propres nous renseignent donc sur le type de stabilité, alors que les vecteurs propres indiquent l orientation des orbites au voisinage du point fixe. A des valeurs propres réelles positives (respectivement négatives correspondent des solutions qui s écartent (respectivement se rapprochent exponentiellement vite du point fixe. Considérons ces différents cas. ( Deux valeurs propres réelles distinctes Les solutions linéarisées sont données par l équation 13. On peut distinguer deux cas : 1. si les deux valeurs propres λ k sont de même signe, les orbites sont des paraboles qui convergent vers le point fixe, qui est appelé nœud. Ce dernier est stable si les valeurs propres sont négatives et instable sinon. Un nœud stable est représenté à la figure 7a. 2. si les valeurs propres sont de signes opposés, le point fixe est appelé col ou point selle. Ce dernier possède une direction stable (selon la valeur propre négative et une direction instable (selon la valeur propre positive. Un col est représenté à la figure 7b. 14

15 5.5.2 Deux valeurs propres complexes conjuguées Les valeurs propres peuvent se mettre sous la forme λ=σ±iω. Les solutions linéarisées s écrivent ( ( u(t = e σt a cosωt+ b sinωt v(t b cosωt a sinωt où a et b sont réels. Les orbites s enroulent en spirale autour du point fixe, qui est appelé foyer. Ce dernier est stable (respectivement instable si σ est négatif (positif. Un tel foyer est illustré à la figure 7c. Dans le cas où les valeurs propres sont imaginaires (σ = 0, le foyer se transforme en centre. Un centre est représenté à la figure 7d Deux valeurs propres réelles identiques Ce cas est particulier, car il y a dégénérescence des valeurs propres. On peut montrer qu il existe une direction selon laquelle u(t=u 0 e λt et une autre selon laquelle v(t=(v 0 + v 1 te λt, où apparaît un terme dit séculaire v 1. On aboutit alors à un nœud impropre qui est soit stable (λ< 0 soit instable (λ> 0. Un nœud impropre est représenté à la figure 7e. Le nœud de la figure 7f correspond à un terme séculaire nul. FIGURE 7 Différents types d orbites dans le voisinage d un point fixe : a nœud stable avec deux valeurs propres négatives différentes, b col avec une deux valeurs propres de signe opposé, c foyer avec spirales (valeurs propres complexes, partie réelle positive ou négative, d centre avec spirales (valeurs propres imaginaires, e nœud impropre avec valeur propre négative, f nœud impropre sans terme séculaire. 5.6 Exemple : étude du pendule amorti Les équations du pendule amorti sont ẋ ẏ = y = µy sin x 15

16 Ses points fixes sont (x, y =(2kπ,0, k Z. Le Jacobien vaut ( 0 1 J= 1 µ ( dont les valeurs propres sont λ= 1 2 µ± µ 2 4. On peut distinguer trois cas, qui sont représentés à la figure 8 : 1. µ < 2 (deux valeurs propres complexes conjuguées : le mouvement est oscillatoire amorti. Les orbites convergent vers le point fixe, en s enroulant autour de lui comme des spirales. 2. µ = 2 (une valeur propre réelle double : l amortissement est critique. Les orbites tendent rapidement vers le point fixe. 3. µ > 2 (deux valeurs propres réelles négatives : le pendule est si fortement amorti, qu il tend lentement vers le point fixe. Notons que le mouvement comprend alors généralement deux phases : une première phase courte pendant laquelle le pendule est brusquement ralenti (orbites quasi-verticales, suivie d une phase où le pendule tend lentement vers l équilibre (orbites quasi-horizontales. FIGURE 8 Portrait de phase d un pendule amorti pour µ = 0.5 (à gauche, µ = 2 (milieu et µ = 4 (à droite. 5.7 Solution générale De façon plus générale, si un système dynamique linéarisé s exprime dans le voisinage d un point fixe par l équation ( ( ( ẋ x a11 a =A 12, avec A= ẏ y a 21 a 22 alors les valeurs propres sont solution du polynôme caractéristique de la matricea λ 2 tr(aλ+det(a=0 où nous avons introduit le déterminant det(a= a 11 a 22 a 12 a 21 et la trace tr(a= a 11 + a 22. Dans le plan tr(a et det(a, les axes correspondent aux cas det(a = 0 et det(a=0. La parabole correspond au cas où le discriminant =(tr(a 2 4det(A est nul. Ces différentes courbes délimitent des régions où les les trajectoires ont la même allure. Sur les frontières entre ces régions, les solutions sont particulières : sur la parabole = 0, par exemple, les deux valeurs propres sont dégénérées. 5.8 Exemple : portrait de phase La figure 10 représente une portion du portrait de phase du système ẋ = x y x y (14 ẏ = 0.2y x+ x 3 Ce système possède 6 points fixes où le champ de vecteurs s annule. On les appelle plus généralement points critiques ou points singuliers. Suite à ce qui précède, nous pouvons dire qu il s agit de : 16

17 FIGURE 9 Représentation condensée des types de solutions dans le plan (tr(a,det(a (extrait de J. Hubbard & B. West, Equations différentielles. A B C D E F nœud répulsif col foyer répulsif col foyer attractif col FIGURE 10 Portrait de phase du système (14. 6 Etude d un cas : modèle de compétition entre espèces animales Un exemple classique de modèle à deux variables est le modèle de Lotka-Volterra de compétition entre espèces animales. Considérons une population de x(t lapins et de y(t moutons qui occupent le même territoire et entrent donc en compétition pour l approvisionnement en herbe, qui est limité. Dans ce modèle simplifié sont ignorés les effets extérieurs tels que la présence de prédateurs (que nous verrons dans le chapitre suivant, les effets saisonniers, etc. Dans un monde avec une nourriture abondante, la dynamique des lapins suit un modèle malthusien ẋ = ax. Dans un monde réel, le taux de croissance a est limité par le nombre de lapins (moins de nourriture si beaucoup de lapins et le nombre de moutons. Nous avons donc ẋ = ax(1 bx c y. De la même façon, l évolution de la population de moutons est gouvernée par ẏ = d y(1 ex f y. Nous obtenons donc le modèle ẋ = ax(1 bx c y 17

18 ẏ = d y(1 ex f y 6.1 Adimensionnement Le modèle ci-dessus possède 6 paramètres (a,b,c,d,e, f positifs. Or ces six paramètres ne sont pas indépendants, et peuvent se réduire à trois (cf. section 3. Effectuons les changements de variable suivants Il vient alors τ= at, u(τ=bx(t, v(τ= f y(t, ρ= d/a, α=c/f, β=e/b u = u(1 u αv = F (u, v v = ρv(1 v βu = G(u, v où nous avons posé u= du dτ, etc. Ce système ne possède plus que trois paramètres indépendants et sans dimension. Pour obtenir les solutions réelles x(t et y(t, il suffit de multiplier u(t et v(t par les coefficients donnés ci-dessus. On peut donc se contenter d étudier les solutions de u(t et de v(t. L étude de ce nouveau système s en trouve considérablement simplifiée. 6.2 Recherche des points fixes Pour comprendre la dynamique de ce système, il faut d abord connaître ses points fixes. Il y en a quatre. En chacun d eux, la stabilité est donnée par les valeurs propres du Jacobien ( 1 2u αv αu J= ρβv ρ(1 2v βu Cela nous donne : 1. (u, v =(0,0 : point fixe sans intérêt, puisqu il correspond au cas trivial où il n y a ni lapins ni moutons. Les valeurs propres sont (λ 1,λ 2 =(1,ρ. Ces deux valeurs étant toujours positives, nous avons un nœud instable. 2. (u, v =(1,0 : point fixe correspondant à une éradication totale des moutons. Les valeurs propres sont (λ 1,λ 2 =( 1,ρ(1 β. Il y a stabilité si β>1 (nœud et instabilité (col sinon. 3. (u, v = (0,1 : point fixe correspondant à une éradication totale des lapins. Les valeurs propres sont (λ 1,λ 2 =( ρ,1 α. Il y a stabilité si α>1 (nœud et instabilité (col sinon. 4. (u, v =( 1 α 1 αβ, 1 β 1 αβ : point fixe correspondant à une coexistence de lapins et de moutons ; il peut être stable ou instable. Les valeurs propres en ce point sont u,v λ= (β 1(1+ρ± (β 1 2 (1+ρ 2 4ρ(1 αβ(α 1(β 1 2(1 αβ 6.3 Portrait de phase L étude de la stabilité du modèle de Lotka-Volterra est un exercice intéressant, qui a des conséquences écologiques importantes. De nombreux travaux lui ont été consacrés. Nous nous concentrerons ici sur le cas le plus réaliste, dans lequel les moutons mangent davantage que les lapins (c > b et le taux de croissance des lapins est plus fort que celui des moutons (a> d. Cela nous donne typiquement Et la stabilité des points fixes peut être résumée ainsi ρ= 2 3, α= 4 3, β= 3 2 (u, v =(0,0 nœud instable (u, v =(1,0 nœud stable (u, v =(0,1 nœud stable (u, v =( 1 3, 1 2 col ou selle 18

19 Notons en plus que les axes u= 0 et v = 0 jouent un rôle particulier puisque u= 0 u= 0 et v = 0 v = 0. Plus exactement, nous avons ( u= 0, v > 0 sur l axe u= 0 pour v < 1 et ( u> 0, v = 0 sur l axe v = 0 pour u< 1. Avec toutes ces données, nous sommes maintenant en mesure d esquisser les traits saillants du portrait de phase (figure 11a puis les solutions détaillées (figure 11b obtenues par intégration numérique de quelques orbites. Notons que toutes les solutions conduisent à terme à l éradication d une des deux espèces. Suivant les conditions initiales, ce seront les lapins ou les moutons qui survivront. Ce principe d exclusion a été beaucoup étudié pour d autres valeurs des paramètres du modèle. FIGURE 11 Portrait de phase du modèle de compétition entre espèces. A gauche, le portrait esquissé avec les points fixes et leur stabilité. A droite, le même portrait, avec quelques solutions exactes. 7 Périodicité et cycles limite Les oscillations jouent un rôle important dans de nombreux phénomènes et la périodicité est un concept-clé des systèmes dynamiques. Nous allons voir que la périodicité peut surgir de deux façons très différentes : oscillations linéaires : l oscillation est due à une force de rappel, par exemple un ressort ou un pendule. Si on change l amplitude initiale de l oscillation, ce changement persistera pendant toute la durée du mouvement. Les oscillations linéaires sont donc sensibles aux conditions initiales, dans la mesure où celles-ci auront un effet à long terme. Si x(t est une solution périodique, alors λx(t le sera généralement aussi λ. cycles limite : les cycles limite n apparaissent que dans des systèmes non-linéaires, et évoluent toujours vers le même régime périodique, quelles que soient les conditions initiales. Si x(t est une solution périodique, alors λx(t ne sera pas généralement pas solution. Le cycle cardiaque en est un exemple. Pour faire la distinction entre ces deux types de régimes, il faut travailler dans l espace des phases et introduire la notion de cycle limite. 7.1 Un exemple simple de cycle limite Le rayon possède deux points fixes : r1 = 0 et r 2 = 1. L étude de stabilité donne : d f dr (r 1 =+1 r 1 d f dr (r 2 = 2 r 2 est un point fixe instable est un point fixe stable On en conclut que les trajectoires s éloignent de r1 = 0 pour converger de façon monotone vers r 2 = 1 par valeurs inférieures ou supérieures, toujours avec θ= 1. Les orbites sont donc des spirales qui convergent toutes vers un cercle de rayon unité, qui qu on appelle cycle limite. Ces orbites sont illustrées ci-dessous pour deux 19

20 Considérons le système suivant, en coordonnées polaires (r 0 ṙ = r (1 r 2 θ = 1 Comme les dynamique radiale et angulaire sont découplées, on peut se contenter de les étudier séparément. C est ici le rayon qui nous intéresse (cf. figure. 2 1 x(t t FIGURE 12 A gauche : portrait de phase du système. A droite : évolution temporelle de la projection de l orbite sur l axe des abscisses x. Deux conditions initiales différentes conduisent rapidement au même régime périodique. conditions initiales différentes (r (0=0.01,θ(0 = 0 et (r (0=2,θ(0 = 0. Nous voyons que dans les deux cas, les orbites convergent rapidement vers le même cycle limite. Les cycles limite possèdent une propriété importante que les systèmes linéaires n ont pas : ils sont robustes. Cela signifie que des orbites dont les conditions initiales pas trop éloignées du cycle limite vont toujours finir par converger vers ce dernier (dans l exemple ci-dessus, toutes les conditions initiales convergent vers le cycle limite, sauf le point r (0 = 0, qui est un point d équilibre instable. Le système évolue donc spontanément vers un régime périodique dont l amplitude et la période ne dépendent pas des conditions initiales. Exemple : Le cœur humain est un bon exemple de système non-linéaire qui possède son propre cycle limite (le rythme cardiaque. Lorsque le cœur est perturbé (par exemple sous l effet d un effort, son rythme s accélère, mais il finit cependant toujours par revenir au même cycle. La variabilité du rythme cardiaque est donc un signe de santé, puisque cela traduit la capacité du coeur à s adapter à des efforts plus ou moins intenses. Les cœurs malades se comportent davantage comme un oscillateur linéaire, dont le symptôme le plus évident est un rythme très stable qui ne varie presque pas. Nous avons ici une application importante où la théorie des systèmes dynamiques rejoint la médecine. 7.2 Exemple : modèle de Lotka-Volterra Le modèle de prédateurs et proies de Lotka-Volterra a été abondamment étudié et commenté. Il décrit l interaction entre une population de x(t proies et de y(t prédateurs. En l absence de prédateurs, le nombre de proies croît de façon malthusienne ẋ = ax, où le taux de croissance a > 0 tient compte de la natalité et de la mortalité naturelles. S il y a des prédateurs, ce taux de croissance décroît avec le nombre de prédateurs et peut même devenir négatif. On doit donc remplacer a a by. La population de prédateurs ne peut que décroître, ce qui devrait donner ẏ = c y, avec c > 0. Toutefois, si les proies sont nombreuses, la mortalité peut être compensée par la natalité, qui est proportionnelle au nombre 20

21 de proies. On doit donc remplacer c c+ d x. Cela nous donne enfin le système à deux degrés de liberté d x d t d y d t = ax bx y = c y+ d x y Adimensionnement Le modèle ci-dessus possède quatre paramètres (a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, qui peuvent être réduits à un seul en effectuant les changements de variable Il vient alors où nous avons posé u = du dτ est α>0. τ= at, α=d/a, u(τ=x(t d/c, v(τ= y(t b/a u = u(1 v v = αv(u 1 d v et v = dτ. Ce système ne possède plus qu un seul paramètre sans dimension, qui Recherche des points fixes Les points fixes de ce système sont (u1 = 0, v 1 = 0 et (u 2 = 1, v 2 = 1. Le Jacobien en ces deux points vaut respectivement ( ( J 1 = et J 0 α 2 = α 0 Les valeurs propres du premier sont (λ 1 = α,λ 2 = 1, et pour le second (λ = ±i α. Le premier point fixe correspond donc à un col, avec une direction instable et une autre, qui est stable. Le second point fixe est un centre autour duquel gravitent des orbites de période T = 2π/ α Orbites Le tracé des orbites de ce système est illustré à droite, pour le cas où α = 1. Quatre orbites différentes sont représentées. Toutes sont périodiques et ont à peu près la même période. Ces orbites sont typiques d un système oscillant. Ainsi, ce n est pas seulement dans le voisinage immédiat du point fixe (u = 1, v = 1 que les solutions sont périodiques, mais dans le plan tout entier. L étude de ces orbites révèle que le nombre de proies u(t et le nombre de prédateurs v(t sont toujours déphasés : le maximum de proies est suivi d un maximum de prédateurs, qui précède un minimum de proies, etc. Le modèle de Lotka-Volterra décrit relativement bien certains cas où des proies et des prédateurs sont confinés dans une même espace isolé. L exemple le plus célèbre est celui des lynx et des lièvres dans le Nord canadien. Les effectifs de ces deux populations ont pu être estimés à partir de la quantité de fourrures vendues par les chasseurs. Notons qu on ne peut parler ici cycle limite, puisqu il existe une infinité d orbites fermées. En fait, ce modèle n est pas réaliste car les solutions ne sont pas structurellement stables : si u ou v est perturbé par une cause 21

22 FIGURE 13 Evolution approximative de la population de lynx et de lièvres, d après le nombre de peaux vendues par la Hudson Bay Company. L ordonnée représente le nombre de peaux en milliers. On note un cycle de 10 ans environ. externe, alors le système évolue vers une nouvelle orbite fermée et y reste. On préfère donc à ce modèle des systèmes plus complexes. En revanche, le modèle de Lotka-Volterra illustre bien comment l apparition d un comportement oscillant entretenu. 7.3 Stabilité des cycles limite Les cycles limite, tout comme les points fixes, peuvent avoir différents types de stabilité. Ils sont stables si les orbites convergent vers le cycle limite depuis l extérieur et depuis l intérieur. Ils sont instables dans le cas contraire. Un cas particulier, dit métastable, est obtenu, si les orbites convergent vers le cycle limite d un coté et s en éloignent de l autre. FIGURE 14 Les trois types de stabilité que peut offrir un cycle limite. 7.4 Exemple : oscillateur de van der Pol L oscillateur de van der Pol est un modèle simple qui présente un cycle limite. On obtient un tel oscillateur en branchant en parallèle une self d inductance L, un condensateur chargé de capacité C et une diode à effet tunnel. Sans la diode, le circuit serait parfaitement linéaire, et engendrerait une oscillation non amortie de période T = 2π/ LC. La diode à effet tunnel se comporte à basse et haute tension comme une résistance ; pour des tensions intermédiaires, il présente une résistance négative. La caractéristique de la diode dans la région de résistance négative (cf. figure est bien décrite par le modèle i d (u = i 0 g (u u 0 +b(u u 0 3. Dans la plage de tensions où la résistance est négative, la tension sera amplifiée par la diode, alors qu ailleurs, la diode aura un effet atténuateur. 22

23 D après la loi des nœuds avec i L = 1 L i L + i d (u+i C = 0 u d t, i C = C u et i d (u=i 0 g (u u 0 +b(u u 0 3 En dérivant cela, on obtient ü+ 1 ( g + 3b(u u0 2 u+ 1 C LC u= 0 Introduisons la nouvelle variable sans dimension En posant x = u u 0 u 0 µ= g, ω 0 = 1, β= 3bCu2 0 Cω 0 LC g et en introduisant une nouvelle base de temps, on obtient l équation simplifiée de l oscillateur de van der Pol ou encore ẍ µ ( 1 βx 2 ẋ+ x = 0 (15 ẋ ẏ = y = µ(1 βx 2 y x Points fixes Le système de van der Pol possède un unique point fixe (x, y =(0,0. Les valeurs propres du Jacobien en ce point sont λ= 1 2 (µ± µ 2 4. Or les régimes les plus réalistes correspondent au cas où 0<µ 1 et β 1. Dans ce cas, les valeurs propres sont deux nombres complexes conjugués λ= µ 2 ± i 4 µ 2 La partie réelle étant strictement positive, ces valeurs propres correspondent à une spirale instable qui se déroule autour d un foyer. Ceci montre que l oscillateur de van de Pol se comporte très différemment d un circuit RLC. Contrairement à ce dernier, la tension croît spontanément lorsque le condensateur est initialement chargé à u= u 0. Nous ne pouvons rien dire à ce stade sur l existence éventuelle d un cycle limite, pour lequel il faut soit étudier le portrait de phase, soit faire une étude analytique. Commençons par cette dernière Développement en série de la solution L équation du mouvement de l oscillateur en régime linéaire (µ = β = 0 est ẍ + x = 0, dont la solution générale s écrit x(t= ae i t + a e i t Le terme a est le conjugué de a (à ne pas confondre avec un point fixe, afin de garantir que la solution soit réelle. Nous faisons l hypothèse que la solution du système non-linéaire peut s écrire sous la même forme, mais avec a = a(t qui varie lentement dans le temps. Insérant cette solution dans l équation 15, on trouve après plusieurs lignes de calculs ȧ= µ ( 2i [1 β(a2 e 2i t + 2 a 2 + a 2 e 2i t ] i ae i t i a e i t e i t L hypothèse de la lente évolution de a(t signifie ici que ce terme varie peu sur une période d oscillation T = 2π. Il ne devrait donc pas y avoir de grande différence entre la valeur instantanée ȧ, et la valeur ȧ(t moyennée sur une période. Calculons cette dernière ȧ ȧ(t = 1 T t0 +T t 0 ȧ d t 23

24 Dans cette intégrale, toutes les exponentielles complexes s annulent par moyennage, et il ne subsiste que les constantes. Cela nous donne ȧ= µ ( 1 3β a 2 a 2 Cette équation est celle d un système dynamique qui possède deux points fixes : le point fixe a 1 = 0 correspond à la tension x= 0 : c est un point fixe instable, comme nous l avons déjà vu précédemment ; le point fixe a 2 =1/ 3β correspond à une tension positive : c est un point fixe stable. Comme a est l amplitude d une oscillation, nous en déduisons que le système évolue vers un cycle limite de tension x= 1 3β On s assurera en passant que les hypothèses sont correctes. Dans le voisinage des deux points fixes, nous avons ȧ = µ 2 ( 1 3β a 2 a < µ a a 2 et par conséquent ȧ/a 1. Ceci prouve bien que la variation de a est plus lente que le temps d oscillation du système. FIGURE 15 Portrait de phase de l oscillateur de van der Pol pour µ = β = 1 (à gauche et évolution temporelle de la tension normalisée x(t (à droite. 8 Bifurcations Les bifurcations sont une des manifestations les plus intéressantes et les plus surprenantes des systèmes nonlinéaires. On dit qu un système possède une bifurcation si une variation infinitésimale d un de ses paramètres provoque un brusque changement de régime. Dans certains cas, le système aura le choix entre plusieurs régimes ; il apparaîtra alors un caractère aléatoire que l existence d un modèle pourtant bien déterministe ne laissait pas présager. Dans beaucoup de systèmes, les bifurcations sont aussi intimement liées à la notion de symétrie. 8.1 Bifurcation transcritique Reprenons l exemple du laser (cf. chapitres pour lequel le nombre de photons est décrit par le modèle phénoménologique adimensionné ṅ= c n(1 n où c exprime le gain effectif du système (le gain moins les pertes ; il peut être positif (bon rendement ou négatif (mauvais rendement. Les points fixes de ce système sont n = 0 et n = 1 Le critère de stabilité est donné par le Jacobien, qui vaut J = c pour le premier point fixe et J = 1 pour le second. Trois cas se présentent : 24

25 1. c < 0 : le laser possède un seul point fixe (n = 0, qui est stable. Il n y a donc pas d émission spontanée. 2. c = 0 : le laser possède un seul point fixe (n = 0, qui est marginalement stable. Il n y a pas d émission spontanée. 3. c > 0 : le laser possède deux points fixes (n = 0 et n = 1, dont le premier est instable et le second stable. Le laser évolue donc spontanément vers le second et l émission spontanée peut démarrer, puisque n est non nul. La bifurcation se manifeste ici par le démarrage soudain de l émission spontanée dès que le paramètre de contrôle c devient positif. La transition d un régime à l autre est abrupte, alors que le modèle sous-jacent est continu et régulier. Ce genre de bifurcation est appelé bifurcation transcritique. FIGURE 16 Illustration de la bifurcation transcritique 8.2 Bifurcation fourche super-critique Considérons une lame souple verticale, au sommet de laquelle est placée une bille de masse m. Cette lame est immergée dans un fluide visqueux. Tant que la longueur l de la lame reste en-dessous d une valeur critique, la lame reste verticale. Dès que cette longueur dépasse le seuil, la force de rappel devient insuffisante et la lame s infléchit dans un sens ou dans l autre. On montre dans ce cas que mg γ θ= kθ+ sinθ l En supposons un faible fléchissement de la lame, cela conduit au développement limité θ= αθ βθ 3 +O(θ 5 Ce genre de modèle se rencontre aussi fréquemment en physique statistique (dans les transitions de phase du second ordre, et peut se mettre sous la forme générale ẋ= αx x 3 Les points fixes et le Jacobien de ce système sont respectivement x = 0 et J = α x =+ α et J = 2α x = α et J = 2α 25

26 Trois cas se présentent, cf. figure 17 : 1. α<0 : il n y a qu un seul point fixe (x = 0, qui est stable. Le système ne connaît donc qu un seul état. 2. α=0 : il n y a toujours qu un seul point fixe (x = 0, qui est métastable. Le système connaît un seul état. 3. α>0 : trois points fixes apparaissent (x = 0 et x =± α, dont le premier est instable et deux autres sont stables. Si le système est parfaitement symétrique, il n y a pas de raison pour préférer un point fixe plutôt que l autre. Il choisira alors arbitrairement l un ou l autre. Ceci est une bifurcation fourche super-critique (ou bifurcation normale, dans laquelle un système parfaitement déterministe peut basculer de façon aléatoire dans un régime ou dans l autre lorsque le paramètre de contrôle α augmente. Ce genre de bifurcation décrit par exemple des des transitions de phase dans des solides, lorsque la température (à comparer avec le paramètre α varie. FIGURE 17 Illustration de la bifurcation fourche super-critique 8.3 Bifurcation fourche sous-critique Ce genre de bifurcation se manifeste dans les transitions de phase de premier ordre, par exemple lorsqu un matériau ferromagnétique en cours de refroidissement bascule spontanément dans un état où il devient magnétisé. Considérons le système ẋ= αx+ x 3 Ses points fixes et le Jacobien sont respectivement x = 0 et J = α x =+ α et J = 2α x = α et J = 2α Ce système ne possède qu un seul point fixe stable, qui est x = 0 pour α<0, cf. figure 18. Contrairement au système précédent, il existe ici un régime (α>0 dans lequel le système ne possède pas de point fixe. Cela signifie que x diverge jusqu à l infini. Une telle instabilité explosive est irréaliste ; en général, il existe toujours des termes d ordre supérieur qui vont s opposer à une croissance sans limite de x(t. On s attend donc à avoir un modèle du genre ẋ = αx+ x 3 βx 4. Or on notera que notre système possède une symétrie, puisqu il est invariant par rapport à la transformation x x. On s attend donc à ce que les termes d ordre supérieur conservent cette symétrie. Il faudrait donc plutôt avoir ẋ = αx+ x 3 βx 5. Sans perte de généralité, on peut ramener celui-ci à ẋ = αx+ x 3 x 5 26

27 FIGURE 18 Illustration de la bifurcation fourche sous-critique L analyse de ce système montre qu il peut exister jusqu à cinq points fixes, dont un au moins est toujours stable. On s en rend plus vite compte en traçant x en fonction de α. Ce système est évidemment plus complexe que le précédent. Un nouvel élément apparaît, qui sont les discontinuités. FIGURE 19 Illustration de la bifurcation fourche sous-critique avec hystérèse Si on varie progressivement le paramètre de contrôle α, la valeur de x(t suit d abord le point fixe x = 0 jusqu à ce que α = 0 (cf. figure 19. Elle passe ensuite brusquement à la valeur ±x 0 pour continuer à croître à nouveau régulièrement. Si on diminue ensuite le paramètre de contrôle, le chemin parcouru ne sera pas le chemin inverse. En effet, le point fixe reste sur une des deux branches jusqu à ce que α α 0 < 0 et passe ensuite brusquement à x = 0. Le système possède donc de l hystérèse. 27

28 Exemples La bifurcation fourche sous-critique est particulièrement brutale, car le système bascule brusquement d un état dans un autre, contrairement à la bifurcation super-critique, où la transition est progressive, et les deux états peuvent coexister au point de bifurcation. Les bifurcations sous-critiques se rencontrent dans divers systèmes : dans la dynamique de populations d insectes en interaction, où elle explique par exemple l apparition soudaine d épidémies, avec l explosion d une population (cf. chapitre 8.6. dans le paramagnétisme, où il y a compétition entre alignement des dipôles magnétiques et les fluctuations thermiques. En dessous d une température critique T c, dite température de Curie, des matériaux tels que le fer passent brusquement d un état démagnétisé à un état magnétisé. On montre dans ce cas que les points fixes de l aimantation M satisfont 0= T c T T de contrôle est ici la température normalisée T c T T. M+αM βm 5 +O(M 7. Le paramètre 8.4 Autres bifurcations Il existe d autres bifurcations. Celles que nous venons de voir peuvent se généraliser à deux dimensions et plus, et peuvent alors se décliner sous diverses formes. On n en abordera qu une, qui est appelée bifurcation d Andronov-Hopf supercritique (ou bifurcation de Hopf supercritique. Cette bifurcation se manifeste par l apparition d un terme imaginaire dans la stabilité d un point fixe. Considérons le système suivant, en variables polaires ṙ = µr r 3 θ = ω+br 2 La variable r manifeste une bifurcation super-critique en µ=0. On distingue dès lors trois régimes µ<0 r = 0 et θ= ω : le système possède un unique point fixe à l origine. C est un foyer, vers lequel convergent des spirales. µ=0 r = 0 et θ = ω : le système possède toujours un unique point fixe à l origine, qui est métastable. Les orbites dans ce voisinage sont des cercles. µ>0 r =± µ et θ= ω+b(r 2 : le système possède un cycle limite de rayon r. La bifurcation de d Andronov-Hopf se manifeste donc par l apparition spontanée d un cycle limite, ce qui sur le plan macroscopique se traduit pas une oscillation du système. On l observe dans des réactions chimiques, dans des interactions entre populations d insectes, dans des fluides, etc. Cette bifurcation est illustrée dans la figure 20b, qui représente un plan d eau de faible épaisseur, sous lequel tourne lentement un disque. A partir d un rayon critique, la vitesse de rotation du disque est telle que le fluide passe par une bifurcation d Andronov- Hopf, qui se reconnaît à l apparition spontanée d oscillations (ondes en forme de spirale. 8.5 Exemple : bille fixée sur un anneau Simplifions d abord l équation, en introduisant un temps caractéristique τ= t/t. Il vient (avec désormais θ= dθ dτ etc. mr θ T 2 = λ θ mg sinθ+ mr ω 2 sinθ cosθ T ou encore ( r g T 2 ( λ θ= mg T θ sinθ+ ( r ω 2 g sinθ cosθ Chaque expression entre parenthèses est sans dimension. Sans perte de généralité, posons T = λ mg, ce qui donne ( m 2 ( r g r ω 2 λ 2 θ= θ sinθ+ g sinθ cosθ 28

29 FIGURE 20 A gauche : Orbites associées à des bifurcations d Andronov-Hopf sous- et supercritique. A droite : apparition d ondes à la surface d une faible épaisseur d eau, sous laquelle tourne un disque (P. Le Gal, IRPHE. Considérons le cas d une bille de masse m qui peut se déplacer librement sur un anneau (cf. figure. L anneau est mis en rotation autour d un axe vertical avec une vitesse angulaire ω, et le glissement de la bille se fait avec friction. L équation du mouvement devient alors mr θ= λ θ mg sinθ+ mr ω 2 sinθ cosθ On se placera ici dans le cas où la friction est importante. On s intéresse au cas où l amortissement λ est tel que m2 r g 1. On peut dans ce cas négliger le premier terme λ 2 de l équation et il reste avec µ= r ω2 g θ ( r ω 2 = sinθ+ sinθ cosθ g = sinθ+ µsinθ cosθ = sinθ(µcosθ 1 > 0. Les points fixes de cette équation sont θ = 0 avec le Jacobien J = µ 1 : ce point fixe est stable tant que µ<1 et instable sinon. Il correspond au cas où la bille se trouve au point le plus bas. θ = π avec le Jacobien J = µ+1 : ce point fixe est toujours instable. La bille se trouve en haut de l anneau. θ = ±arccos(g /r ω 2 avec le Jacobien J = µ+1 : ce point fixe n existe pas forcément. Son existence dépend de la valeur de g /r ω 2. Une étude graphique de la solution de cosθ = 1/µ (cf. figure 21a montre que pour µ<1 il n y a point de solution, pour µ=1 il y a une solution double et pour µ>1 il y a deux solutions stables distinctes. La bille peut donc prendre deux positions, qui sont résumées dans la figure 21b si µ 1 il y a une seule position stable en θ = 0. La bille reste au point le plus bas de l anneau. si µ>1 il y a deux positions stables en θ =±arccos(1/µ. La bille remonte progressivement les bords de l anneau et se stabilise. Nous avons donc une bifurcation fourche supercritique qui se manifeste par un brusque décollage de la bille au-delà d une valeur critique du paramètre de contrôle, qui est ici µ= r ω2 g. 29

30 FIGURE 21 Diagramme de bifurcation de la bille 8.6 Exemple : épidémie d insectes La notion de bifurcation est intéressante pour étudier la dynamique de populations d insectes. Le modèle suivant décrit fidèlement la dynamique de la population de la tordeuse du pin (Choristoneura fumiferana, un insecte qui s attaque aux pins et dont la population subit de fortes fluctuations ( ṅ= ρn 1 n βn2 κ α 2 + n 2 où le premier terme de droite décrit la croissance selon un modèle logistique et le second la prédation par les oiseaux. Après adimensionnement, on obtient ( ẋ= r x 1 x x2 k 1+ x 2 Ce modèle possède un point fixe en x = 0 qui est toujours instable. Les autres points fixes peuvent être obtenus graphiquement, sachant que l équation ( ẋ = 0 = r x 1 x x2 k 1+ x 2 décrit l intersection entre une droite et la courbe x2. Suivant les valeurs que prennent r et k, il peut y avoir 1+x 2 une, deux ou trois intersections (cf. figure 22a. Or le nombre d intersections a une incidence directe sur la valeur des points fixes. Les solutions sont résumées dans la figure 22b, dans laquelle la valeur du point fixe stable x est tracée en fonction des paramètres de contrôle k et r. FIGURE 22 Espace de phase (à gauche et position des points fixes (à droite en fonction des paramètres du modèle de la tordeuse du pin. Si k est petit (peu de nourriture disponible et que le r (le taux de natalité augmente, la population croît progressivement avec ce dernier. En revanche, si la nourriture est abondante (k grand et que la natalité augmente, le nombre d insectes peut brusquement passer d une valeur faible à une valeur plus élevée. Cette discontinuité se traduit par une explosion de la population d insectes, que la régularité des équations ne laissait pas présager. 30

31 9 Le chaos déterministe Nous n avons étudié jusqu ici que des systèmes dont l espace de phase était à un ou à deux dimensions. La dynamique dans un espace de phase à une dimension est triviale car les seuls états d équilibre sont les points fixes stables et instables. En deux dimensions, nous voyons apparaître en plus les cycles limite ainsi que diverses formes de stabilité. Tous ces systèmes gardent un comportement "simple" dans la mesure où il est possible de prédire leur état futur à partir de conditions initiales. Tout portrait de phase en deux dimensions peut s exprimer par une orbite en trois dimensions, en y ajoutant comme troisième axe celui du temps. Un tel système n admet que trois types de solutions : 1. Soit le système reste confiné sur une orbite fermée, dans lequel cas sont évolution est périodique et donc prévisible. 2. Soit le système évolue vers un point fixe stable. Dans ce cas l état final est trivial, puisqu il correspond à l immobilité. 3. Soit il se trouve à proximité d un point fixe instable et alors l orbite diverge. Supposons que les conditions initiales d un système ne soient connues qu avec une précision limitée. Représentons cela par une petite région grisée de l espace des phase, à l intérieur se trouvent toutes les conditions initiales voisines. Chaque condition initiale donne naissance à une orbite différente. Après un temps t > 0 donné, toutes ces orbites aboutissent dans une région donnée, marquée en gris sur la figure 23. On dira qu un système dynamique est imprévisible à long terme si toutes ces orbites finissent par se séparer, c est-à-dire, si la taille de la région grisée croît. FIGURE 23 Evolution des conditions initiales pour des orbites qui convergent vers un point fixe stable (a ou qui divergent à partir d un point fixe instable (b. La région grisée représente l ensemble des points de l orbite dont les conditions initiales se situent dans la même région. Lorsque les orbites convergent vers un point fixe stable ou vers un cycle limite, la région grisée sur la figure 23 rétrécit et l état futur est donc relativement bien connu. Si au contraire les orbites divergent à partir d un point fixe, la région grossit. Toutefois, la région grisée ne peut pas croître indéfiniment puisque la taille réelle de l espace de phase ne peut pas être infinie. Les orbites ne peuvent pas se croiser et finissent donc toujours par se rejoindre. Dans ce cas encore, on dira que l état futur du système reste relativement bien connu. Les choses changent radicalement lorsqu on passe de deux à trois dimensions. Dans un tel cas, la région grisée peut croître indéfiniment en taille. Ceci est illustré dans la figure 24 pour le modèle dit de Roessler ẋ = y z ẏ = x+ 0.2y ż = 0.2+ zx 5.7z La non-linéarité réside ici dans la variable z. Certaines orbites de ce modèle peuvent effectuer plusieurs tours du plan x y avant de voir z croître brusquement et d être réinjectées par le milieu. Un toute petite erreur dans les conditions initiales peut alors croître indéfiniment, rendant le comportement imprévisible. On peut montrer qu un petit écart ǫ entre deux orbites croît en moyenne de façon exponentielle ǫ(t=ǫ 0 e λt, où λ>0. On parlera dès lors de sensibilité aux conditions initiales et le paramètre λ est appelé exposant de Lyapunov. (16 31