Représentation géométrique d un nombre complexe

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Représentation géométrique d un nombre complexe"

Transcription

1 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres qui s écrivent a + ib où a et b sont des nombres réels.. Représentation géométrique d un nombre complexe Dans le plan muni d un repère orthonormé ( O ; u, v), à tout point M de coordonnées ( a, b), on associe le nombre complexe tel que = a + ib. On dit que M est l image du nombre complexe et que le nombre est l affixe du point M. De même, le vecteur OM est l image de et est l affixe de OM. L écriture a + ib est l écriture algébrique du nombre complexe L abscisse du point M est la partie réelle de notée Re( ). L ordonnée du point M est la partie imaginaire de notée Im( ). Remarque : Les parties réelle et imaginaire d un nombre complexe sont des nombres réels Conséquences M( a, b) et M ( a, b ) confondus a = a et b = b = a+ ib et = a + ib égaux M = O a = 0 et b = 0 = 0. M ( O, u ) b = 0 Im( ) = 0. L axe ( O, u ) est appelé l axe réel. M ( O, v ) a = 0 Re( ) = 0 i. Dans ce cas on dit que est un imaginaire pur et que l axe ( O, v ) des imaginaires ou l axe des imaginaires purs. est l axe

2 cours savoir-faire exercices corrigés Les points M( a, b) et M ( a, b) sont symétriques par rapport à O, leurs affixes sont opposées. Le point N( a, b) est l image du nombre complexe appelé conjugué de et noté. Les points M( a, b) et N( a, b) sont symétriques par rapport à l axe réel. b M( ) axe réel v O u a M ( ) axe imaginaire N( ) exemple d application 1. Écrire les nombres complexes, affixes respectives des points : A(0 ; ) ; B( ; 0) ; C(3 ; ) ; D(3 ; ) et E(0 ; ).. Reconnaître s il y a lieu des nombres conjugués. 1. L affixe du point A est = i ; l affixe du point B est B = ; A celle de C est C = 3 i ; celle de D est D = 3+ i et celle de E est E = i.. = et C = D. A E 11

3 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES Formes trigonométriques 1. Formes trigonométriques Soit un repère ( O ; u, v) orthonormé du plan. Un point M distinct de O est repéré de deux façons, soit par ses coordonnées cartésiennes ( a, b) soit par ses coordonnées polaires ( r, θ). Soit M l image du nombre complexe tel que = a + ib. On pose OM = r avec r 0. Le nombre positif r est appelé module de et noté. Le nombre réel θ est une mesure de l angle ( u, OM). Cette mesure est définie à k près avec k et est appelée argument de et on écrit : arg = θ ( ). Remarque : La notion d angle de vecteurs nécessite une orientation du plan (l orientation trigonométrique est la plus souvent utilisée.) + b M En projetant M sur chacun des axes, on obtient : a = rcosq et b = rsinq r d où = r( cosθ + i sinθ) et d après le théorème de v Pythagore = a + b θ O a ( r = OM = OM = ). u Sachant que r 0, on appelle forme trigonométrique du nombre complexe l écriture r( cosθ + i sinθ).. Propriétés du module et d un argument d un nombre complexe = 0 = 0. = = =, quel que soit. L argument de éro n est pas déterminé. Si 0, Si 0, arg( ) arg( ) = = arg + arg. ( ). = r = r r( cosθ + i sinθ) = r ( cosθ + i sinθ ) θ = θ ( ). 1

4 cours savoir-faire exercices corrigés 3. Passage de l écriture algébrique à une forme trigonométrique = a+ ib avec a b a b = +, d où = i a + b a + b Soit θ le nombre exprimé en radians tel que : a cosθ = a + b alors = ( cosθ + i sinθ). b sinθ = a + b Remarque : Il est nécessaire d avoir en tête les sinus et cosinus des valeurs particulières des angles. exemple d application Placer dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O ; u, v) les points M, N et R définis par OM = et ( u, OM) = -- [] ; ON = 1 et 4 ( u, ON) = -- [] et OR = 3 et ( u, OR) = []. 3 Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon et à la bissectrice du premier quadrant. Le point N appartient au cercle trigonométrique et à la demi-droite [Oy ). Sur le cercle de centre O et de rayon 3, on reporte deux fois le rayon à partir de A(3 ; 0) dans le sens trigonométrique, on obtient ainsi le point R. R v O y N u y M A 13

5 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 3 Opérations dans 1. Addition des nombres complexes L addition des nombres complexes possède les mêmes propriétés que l addition dans. L ensemble est contenu dans. Tout nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle. Soit les vecteurs OM et OM d affixes respectives a + ib et a + ib. Le vecteur ( OM + OM ) a pour coordonnées ( a+ a, b+ b ) donc si = a+ ib et = a + ib, le nombre complexe + est tel que Re( + ) = a+ a et Im( + ) = b+ b d où + = ( a+ a ) + i( b+ b ). OS est l image de +. b+ b S MM. est l image de b M b v M O u a a a+ a + = + ; + = Re( ) ; = i Im( ).. Multiplication des nombres complexes La multiplication des nombres complexes possède les mêmes propriétés que la multiplication dans. = ( a + ib) ( a + ib ) = aa bb + i( ba + ab ). Remarque : aye toujours à l esprit que i = 1 et que i ne doit pas figurer dans un résultat ni aucune autre puissance de i. = ; = a + b = 14

6 cours savoir-faire exercices corrigés Si 0 et 0 et = r( cosθ + i sinθ) et = r ( cosθ + i sinθ ), alors = rr ( cos( θ + θ ) + i sin( θ + θ )). Donc : = et arg( ) = arg+ arg ( ) 3. Division de deux nombres complexes La division de deux nombres complexes a les mêmes propriétés que la division dans. 1 Tout nombre complexe non nul admet un inverse -- tel que : 1 1 a b -- = = i a + ib a + b a + b Remarque : cette écriture algébrique s obtient en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. Si 0, = --- = aa + bb a b ab i a + b a + b Si 0, --- = donc, si 0, 1 -- et arg --- = arg arg ( ), 1 1 = ---- et arg -- = arg ( ). --- = --- Exemple d application 4 3i Soit Z le nombre complexe tel que Z = i Calculer Z et donner l écriture algébrique de Z. Indication : On applique la propriété --- = i 4 Z = = = = d où : Z = i Indication : On applique la propriété ---. = i 4+ 3i 4+ 3i ( 4+ 3i) ( 1 i) 7 Z = = = = d où : Z = i. i + i 1 ( + i) 4 4 Conseil : N oublie pas que = donc que ( 1+ i) ( 1 i) s écrit sans calcul. On pouvait aussi mettre Z sous forme algébrique et écrire ensuite Z. 15

7 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 4 Formes exponentielles 1. Formes exponentielles Soit la fonction f : θ cosθ + i sinθ. f( θ) f( θ ) = ( cosθ + i sinθ) ( cosθ + i sinθ ) f( θ) f( θ ) = ( cosθcosθ sinθ sinθ ) + i( sinθ sinθ + cosθ cosθ ) f( θ) f( θ ) = cos( θ + θ ) + i sin( θ + θ ). Donc f( θ) f( θ ) = f( θ + θ ). Cette relation fonctionnelle étant caractéristique des fonctions exponentielles on pose : Tout nombre complexe non nul de module r est tel que = r( sinθ + i sinθ). re iθ L écriture est une forme exponentielle du nombre complexe. Remarques : Cette écriture est à privilégier dans des calculs de quotients ou de puissances de nombres complexes. Tous les nombres complexes e iθ ont pour module un et pour images des points du cercle trigonométrique. De part l introduction de l écriture exponentielle : e iθ e iθ = e i( θ + θ ) ; = e i( θ θ ) ; ( e iθ ) n = e inθ avec n. Formules d Euler : e iθ e iθ e iθ = sinθ + i sinθ cosθ e iθ e iθ + e iθ e = ; sinθ = iθ. i re iθ = r e iθ r = r θ = θ ( ).. Résolution d une équation de type n = a Si n avec n, et a, on écrit et a sous forme exponentielle. 16

8 cours savoir-faire exercices corrigés Soit = re iθ et a = ρe iα. n = a r n e inθ = ρe iα r n = ρ nθ = α + k avec k r n = ρ soit α θ = -- + k avec k. n n L équation admet alors n solutions en donnant à k, n valeurs consécutives. exemple d application Résoudre dans l équation 3 = 8i. Donner les solutions sous forme algébrique. On pose = re iθ avec r 0 et i = e i = 8i r 3 e i3θ = 8e i -- r 3 = 8 3θ = -- + k avec k r = soit θ = -- + k , k. 6 3 Pour k = 0, e i 6 -- = = cos -- + i sin = 3+ i ; pour k = 1, e i = = cos i sin = 3 + i ; 6 6 pour k =, e i = = cos i sin = i. S = { i ; 3+ i ; 3 + i}. 17

9 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 5 Résolutions d équations dans 1. Équations du premier degré Toute équation du premier degré d inconnue se ramène à a + b = 0 avec a et b. b Cette équation a pour solution = --. a Remarque : Il est souvent inutile de poser = x+ iy et de déterminer ensuite x et y par identification des parties réelles et imaginaires. Donner la solution sous une des trois formes algébrique, trigonométrique ou exponentielle.. Équations du second degré à coefficients réels Toute équation du second degré d inconnue se ramène à avec a, b et c. a + b + c = 0 Discriminant Solutions 0 = 0 0 b + x = x = a x = x = b a b x = x = a b + i a b i a Remarques : Si 0, les solutions sont des nombres complexes conjugués non réels. Veille à ne pas introduire le nombre complexe i sous un radical. existe si 0, on peut aussi écrire Équations dont le degré est strictement supérieur à Les méthodes de résolution sont souvent les mêmes que dans : il faut d abord essayer de factoriser, voir s il y a une identité remarquable, chercher une racine évidente. On désire donc se ramener à des produits de facteurs du premier degré ou du second degré. Remarque : il faut penser que 1 = i et donc que + 1 est factorisable dans alors qu il ne l est pas dans.

10 cours savoir-faire exercices corrigés Résoudre dans l équation exemples d application On regroupe les termes faisant intervenir : Indication : on calcule on peut écrire ( 1 i) + 3 = + i. ( 1 i)+ = 3 + i soit ( i) = 3 + i 3 + i ( 3 + i) ( + i) 7 1 d où = = = -- --i. i S = -- --i 5. 5 Résoudre dans l équation + 1 = 0. = 3i. = b 4ac = 1 4 = 3, 0 ; Indication : on sait alors que les solutions de l équation sont deux nombres complexes conjugués. Conseil : ne pas oublier la valeur absolue. 1 b + i 1+ i 3 = = a 1 i 3 = 1 = i 3 S ; 1 i 3 =

11 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 6 Transformations ponctuelles 1. Transformation et application associée Soit f une application définie par : f( ). Le point M étant l image de et M l image de tel que = f ( ), on définit dans le plan la transformation T associée à f, qui à M fait correspondre M.. Transformations usuelles Soit un repère orthonormé ( O ; u, v) direct. Transformation T Éléments caractéristiques Définitions de T avec M = T( M) Écritures complexes de T avec M( ) et M ( ) Translation Un vecteur non nul d affixe u u MM = u = + u Homothétie Un point Ω d affixe ω et un réel k 0 ΩM = kωm ω = k ( ω) ou bien = k + b avec b Rotation Un point Ω d affixe ω et un angle de mesure θ à près ΩM = ΩM ( ΩM, ΩM ) = θ ω = e iθ ( ω) ou bien = e iθ + b avec b. Symétrie d axe réel L axe réel OM = OM ( u, OM) = ( u, OM ) = 0

12 cours savoir-faire exercices corrigés exemple d application Parmi les écritures complexes suivantes, reconnaître les transformations et donner pour chacune d elles les éléments caractéristiques Indication : comme le coefficient de est 6, alors la transformation associée est une homothétie de rapport 6. Pour trouver son centre, qui est le seul point invariant de la transformation, on résout «l équation aux points fixes» c est-à-dire celle traduisant M = M donc =. Par suite = 6 + 3i soit 7 = 3i, 3 d où = -- --i L homothétie est celle de rapport 6 et de centre W d affixe -- --i Indication : comme le coefficient de est le nombre complexe i dont l écriture exponentielle est e i 6 --, alors la transformation associée à l écriture complexe est une rotation d angle Pour trouver son centre, on résout «l équation aux points fixes». = e i i soit i 4 + i = 4 + i d où = , i soit d où = 6 + 3i. 3 1 = i 4 + i. ( 4 + i) i = = i , = 4 3 i ( 3+ 3). La rotation est celle de centre Ω d affixe 4 3 i ( 3+ 3) et d angle

13 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 7 Interprétations géométriques On se place dans un repère orthonormal ( O ; u, v). 1. Interprétation géométrique d une égalité de modules Soit A, B et M trois points d affixes respectives a, b et m. Si m a = m b, alors AM = MB ce qui signifie que le point M appartient à la médiatrice du segment [ AB]. Si m a = r, avec r +, AM = r donc le point M appartient au cercle de centre A et de rayon r.. Interprétation géométrique du quotient de deux nombres complexes Les points M et M ont pour affixes respectives et. Soit Z = --- avec 0 et 0. argz = arg arg = ( u, OM) ( u, OM ) () argz = ( u, OM) + ( OM, u ) = ( OM, OM) (). Remarque : un argument d un quotient de deux nombres complexes non nuls est un angle de vecteurs. Soit les points A( A ), B( B ), C( C ) et D( D ) avec A B et C D. Alors : A C arg B D = ( DC, BA) ( ) 3. Figures particulières (ABC est un triangle rectangle et isocèle direct en B) A B C B = e i -- = i. (ABC est un triangle équilatéral) B A = C B = C A. (ABC est un triangle équilatéral direct) C A B A = e i (ABC est un triangle équilatéral direct) C A arg = -- et A B arg = --. B A 3 C B 3 (ABCD est un parallélogramme) AB = DC B A = C D.

14 cours savoir-faire exercices corrigés exemples d application Quelle est la nature du triangle ABO sachant que les points A et B ont pour affixes respectives 3+ i et i? 0 A Indication : on explicite le complexe Z tel que Z = , puis on en détermine son module et un argument. B A Indication : les nombres complexes 3 i et 3 + i sont conjugués donc leurs modules sont égaux et leurs arguments opposés, donc Z = 1 soit : 0 A = B A OA = OB. arg( 3 i) i 5 = arg = (), 6 or argz = arg( 3 i) arg( 3 + i) = arg( 3 i), soit argz 5 = () d où argz = -- (). 6 3 soit argz = ( u, AO) ( u, AB) = ( AB, AO) d où ( AB, AO) = -- (). 3 Par suite le triangle AOB est équilatéral. Soit A, B et C les points d affixes respectives 1 + i, + i et 1 i. Quelle est la nature du triangle ABC? AO AB 3 i 3 i Z = = i 3 i 3 + i De plus argz = arg = arg( ) arg( ) AO AB Il est souhaitable de placer les points dans un repère pour bien poser le problème. BA On calcule le nombre complexe Z tel que Z = BC 1+ i ( + i) 3+ i ( 3+ i) ( 1+ 3i) Z = = = , 1 i ( + i) 1 3i 10 10i d où = = i ; on en déduit que ( BC, BA) = -- (). 10 De plus i = 1 BA = BC BA = BC. Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en B. 3

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : affixe d un point, représentation d un point-image dans le plan complexe, argument

Plus en détail

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Séquence 6 Ensemble des nombres complexes Sommaire Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Cette séquence est une brève introduction à un nouvel ensemble de nombres, ensemble

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 9 : Nombres complexes

Cours de mathématiques. Chapitre 9 : Nombres complexes Cours de mathématiques Terminale S1 Chapitre 9 : Nombres complexes Année scolaire 2008-2009 mise à jour 15 février 2009 Fig. 1 Gerolamo Cardano Médecin et mathématicien italien qui ne redoutait pas les

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Fiche 17 Nombres complexes

Fiche 17 Nombres complexes Fiche 7 Nombres complexes Objectifs : Connaître les différentes définitions Savoir passer d une notation à l autre Savoir simplifier des nombres et effectuer les opérations élémentaires. Définitions On

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes 8 novembre 009 Table des matières Définitions Forme algébrique Représentation graphique Opérations sur les nombres complexes Addition et multiplication Inverse d un nombre complexe

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Nombres complexes

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Nombres complexes Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin 1, Olivier Hervé 2 Dernière révision : 22 mai 2008 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini

Plus en détail

Nombres complexes et géométrie euclidienne

Nombres complexes et géométrie euclidienne 19 Nombres complexes et géométrie euclidienne Le corps C des nombres complexes est supposé construit voir le chapitre 7. On rappelle que C est un corps commutatif et un R-espace vectoriel de dimension,

Plus en détail

Chapitre 9 Les nombres complexes

Chapitre 9 Les nombres complexes Chapitre 9 Les nombres complexes Vocabulaire-représentation Définition des nombres complexes Définition Nombres complexes, partie réelle, partie imaginaire) On introduit i, un nombre qui vérifie i = On

Plus en détail

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec 1/Les Nombres Complexes Chapitre 4 Les Nombres Complexes. I. Définitions Objectif : On veut «construire» un ensemble de nombres contenant l ensemble des nombres réels, muni de deux opérations qui généralisent

Plus en détail

2 Nombres complexes. et trigonométrie CHAPITRE

2 Nombres complexes. et trigonométrie CHAPITRE CHAPITRE Nombres complexes et trigonométrie A Les nombres complexes 66 B Représentation géométrique Affixe Module Argument 67 1 Image d un complexe Affixe d un point, d un vecteur 67 Module 68 3 Nombres

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2 NOMBRES COMPLEXES Ph DEPRESLE janvier 06 Table des matières Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe Opérations dans l ensemble C. Addition dans C...........................................

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des nombres complexes 1.1 Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes + et de la manière suivante. Pour (a, b, c, d) R 4, on pose (a, b) + (c, d) =

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Chapitre 7. Les nombres complexes. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. forme algébrique d un nombre complexe

Chapitre 7. Les nombres complexes. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. forme algébrique d un nombre complexe Chapitre 7 Les nombres complexes Objectifs du chapitre : item références auto évaluation forme algébrique d un nombre complexe résolution d équation du second degré dans C forme exponentielle d un nombre

Plus en détail

Module et Argument d un nombre complexe

Module et Argument d un nombre complexe I Module et Argument d un nombre complexe Tout point M du plan peut être repéré par un couple de coordonnées polaires (r, θ) (r > 0, θ réel) M r est la distance OM ; θ est une mesure de l angle ( u, OM).

Plus en détail

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3 I Forme algébrique d un nombre complexe 1 Il existe un ensemble noté et appelé ensemble des nombres complexes qui vérifie les propriétés suivantes : " ; L'ensemble est muni d'une addition et d'une multiplication

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Cours de terminale S Les nombres complexes

Cours de terminale S Les nombres complexes Cours de terminale S Les nombres complexes V. B. et S. B. Lycée des EK 20 décembre 2014 Définition Vocabulaire Conséquences Définition Il existe un ensemble, noté C, d éléments appelés nombres complexes,

Plus en détail

Annexe D: Les nombres complexes

Annexe D: Les nombres complexes Annexe D: Les nombres complexes L'équation t + 1 = 0 n'a pas de solution dans les nombres réels. Pourtant, vous verrez lors de vos études qu'il est très pratique de pouvoir résoudre des équations de ce

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7

Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7 Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7 Exercice 1 : ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) 1. (3x + 5)² = (3x) 2 + 2 3x 5 + 5 2 = 9x² + 30x + 25 2. 4(4 + 1) = 20 (4 + 1)(4 2) = 10 (4 + 1)² =

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes DERNIÈRE IMPRESSION LE 17 février 016 à 15:35 Les nombres complexes Table des matières 1 Introduction 1.1 Un problème historique......................... 1. Création d un nouvel ensemble.....................

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi eponentielle de paramètre λ ;

Plus en détail

Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER. D. Poquillon, C. Mijoule et P. Floquet

Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER. D. Poquillon, C. Mijoule et P. Floquet Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER D Poquillon, C Mijoule et P Floquet SEPTEMBRE 005 Cours semaine 1 :Introduction, définitions, résolution d équations 1-1 Introduction

Plus en détail

Cours de Terminale S /Nombres complexes. E. Dostal

Cours de Terminale S /Nombres complexes. E. Dostal Cours de Terminale S /Nombres complexes E. Dostal aout 01 Table des matières 8 Nombres complexes 8.1 Introduction............................................ 8. Le plan complexe.........................................

Plus en détail

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes CHAPITRE 4 : Les nombres complexes 1 Définition... 1.1 Théorème... 1. Définitions... 1.3 Théorème... Nombre complexe conjugué... 3.1 Définition... 3. Théorème 1... 3.3 Théorème... 3.4 Théorème 3... 5 3

Plus en détail

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS . Les fonctions JUIN : EXERCICES DE REVISIONS y 30 0 0-8 -7-6 - - 0 3 4 6 7 8 x -0 - -0 0 Fonction n : f(x) = y = 30x Fonction n : f(x) = y = -x³ + 3x² + x - 3 Fonction n 3 : f3(x) = y = -x + 30 Fonction

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Chapitre 1 Les nombres complexes

Chapitre 1 Les nombres complexes Chapitre 1 Les nombres complexes A) Définition et propriétés de base (rappels) 1) Définition a) On appelle C l'ensemble des nombres complexes. Un nombre complexe s'écrit z a bi, où a et b sont des réels

Plus en détail

Ecritures des nombres complexes

Ecritures des nombres complexes Ecritures des nombres complexes I. Rappel sur les nombres complexes Le nombre i est un nombre dont le carré vaut 1. Donc : i² = 1 De plus, son opposé i a aussi pour carré 1. ( i)² = i² = 1 Les deux racines

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Lycée Paul Doumer 0-04 TS Cours Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Contents Équation du second degré. Racines carrées..................................... Équation du second degré à

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 1 I.1 Le nombre i... 1 I.2 L ensemble des nombres complexes... 1

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 1 I.1 Le nombre i... 1 I.2 L ensemble des nombres complexes... 1 re STI Ch03 : Nombres complexes 006/007 NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction I. Le nombre i............................................ I. L ensemble des nombres complexes...............................

Plus en détail

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME MATHEMATIQUES Premier Cycle TROISIEME 79 INTRODUCTION Le programme de la classe de troisième, dernier niveau de l enseignement moyen, vise à doter l élève de savoirs faire pratiques par une intégration

Plus en détail

Cours de mathématiques (Terminale S)

Cours de mathématiques (Terminale S) Cours de mathématiques (Terminale S) II. Chapitre 00 : La trigonométrie. Les angles orientés A. Les radians DÉFINITION Le radian est une unité de mesure angulaire, notée rad définie par : REMARQUE A partir

Plus en détail

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES TRANSFORATIONS ET NOBRES COPLEXES Table des matières Applications géométriques des nombres complexes. Arguments d un nombre complexe........................................... Ensemble de points du plan.

Plus en détail

LES NOMBRES COMPLEXES

LES NOMBRES COMPLEXES LES NMBRES CMPLEXES Table des matières Écriture algébrique d un nombre complee Définitions Propriétés 3 Somme, produit et inverse 4 Équation dans C Représentation géométrique d un nombre complee 4 Définitions

Plus en détail

Nombres complexes, cours, Terminale S

Nombres complexes, cours, Terminale S Nombres complexes, cours, Terminale S F.Gaudon 18 décembre 2013 Table des matières 1 Notion de nombre complexe 2 2 Opérations sur les nombres complexes 3 3 Représentation géométrique des nombres complexes

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Nombres complexes et application à la géométrie

Nombres complexes et application à la géométrie Nombres complexes et application à la géométrie I) Représentation graphique d un nombre complexe Le plan est muni d un repère orthonormé (O,u,v). 1) Affixe d un point a) Définition Si M est le point de

Plus en détail

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 Université de Tours Année 2015-2016 Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES (12 h) 1 Nombres complexes 1.1 Introduction

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Rappels de trigonométrie tanα sinα π 2 M(α) π α cosα 0 3π 2 Figure 2.1 Sinus, cosinus, tangente Définition 2.1 La tangente d un nombre réel x, notée tan

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Nombres complexes. I. Conventions

Nombres complexes. I. Conventions Nombres complexes I. Conventions On admet qu il existe un ensemble, noté que : d éléments appelés nombres complexes tel contient Les opérations dans prolongent celles dans avec des propriétés analogues

Plus en détail

Cours Chapitre 1 : Nombres complexes

Cours Chapitre 1 : Nombres complexes Mr Arfaoui.O Tél : 563334 4 éme année sc & tech Cours Chapitre : Nombres complexes Forme cartésienne (algébrique) : Définition : La forme algébrique d un nombre complexe zεc est : z = a + ib avec a et

Plus en détail

Nombres complexes - Partie 2

Nombres complexes - Partie 2 Chapitre F Nombres complexes - Partie 2 Contenus Capacités attendues Commentaires Forme trigonométrique : module et argument, interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct ; notation exponentielle.

Plus en détail

Géométrie dans l Espace

Géométrie dans l Espace Géométrie dans l Espace Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Vecteurs de l Espace 1.1 Extension de la notion de vecteur à l Espace............................. 1. Calcul vectoriel dans l Espace......................................

Plus en détail

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation 1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES (Partie 3)

NOMBRES COMPLEXES (Partie 3) NOMBRES COMPLEXES (Partie 3) 1 Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct ( O; u! ; v! ). I. Forme exponentielle d un nombre complexe 1) Définition Posons f (θ) = cosθ + isinθ.

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes BTS Mécanique et Automatismes Industriels, Année scolaire 006 007 Table des matières. Les différentes écritures. - Forme algébrique d un nombre complexe. - Représentation géométrique d un nombre complexe.3

Plus en détail

Chap. 5 : Ensemble C 1. L ensemble C. Pour généraliser la notion de racine d une équation on introduit l ensemble C := {a + i.

Chap. 5 : Ensemble C 1. L ensemble C. Pour généraliser la notion de racine d une équation on introduit l ensemble C := {a + i. Chap 5 : Ensemble C 1 Arthur LANNUZEL le 1 Octobre 005 L ensemble C 1 Définition de C 11 Rappels Pour généraliser la notion de racine d une équation on introduit l ensemble C := {a + ib, a, b R} où i =

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

CHAPITRE I TRIGONOMETRIE

CHAPITRE I TRIGONOMETRIE CHAPITRE I TRIGONOMETRIE ) Le cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle C de rayon qui est orienté, ce qui veut dire qu on a choisi un sens positif (celui des ronds-points) et un sens

Plus en détail

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page sur 9 I) Forme exponentielle ) Argument du produit Propriété : Soient deux nombres complexes et d'arguments respectifs θ et θ. A B A B Alors un

Plus en détail

Exercices : Nombres complexes

Exercices : Nombres complexes Exercices : Nombres complexes Exercice Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants: z = i, z = e iθ + e iθ, z = i ( + i) Exercice Soit z le complexe défini par. Mettre z sous forme

Plus en détail

Angles orientés. exercices corrigés. 21 février 2014

Angles orientés. exercices corrigés. 21 février 2014 exercices corrigés 21 février 2014 Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Exercice 9 Exercice 1 Enoncé Soit A et B deux points du plan tels que AB = 4 cm.

Plus en détail

4 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes d un nombre complexe quelconque...

4 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes d un nombre complexe quelconque... Le corps C des nombres complexes Table des matières 1 Définitions algébrique et géométrique de C 1 1.1 Définition de C............................................. 1 1. Structure algébrique de C.......................................

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2 MON CAHIER DE VACANCES n 1 MATHEMATIQUES 3 ème 2 Ce cahier appartient à. Ce cahier est à rapporter le vendredi 6 Novembre 201, à Mme Viault. Les exercices sont à rédiger, sur ce livret, le plus sérieusement

Plus en détail

Terminale STI-GE

Terminale STI-GE Le programme : Les premiers éléments de l'étude des nombres complexes ont été mis en place en première. L'objectif est de compléter cet acquis pour fournir des outils utilisés en algèbre, en trigonométrie

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Propriété : Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. Si un point est

Plus en détail

II ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS

II ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS Terminale S (3-4) I GÉNÉRALITÉS I. Présentation des nombres complexes Définition - Théorème : (admis) Il existe un ensemble noté C, contenant R, vérifiant les conditions suivantes : C est muni d une addition

Plus en détail

TS - Maths - Révisions Nombres complexes

TS - Maths - Révisions Nombres complexes TS - Maths - Révisions Nombres complexes Exercice 1 LIBAN 01 On considère la suite de nombres complexes z n définie par z 0 = i et pour tout entier naturel n : z n+1 = 1 + iz n. Les parties A et B peuvent

Plus en détail

1.1 Nombres complexes

1.1 Nombres complexes Université de Provence 011 01 Mathématiques Générales I Parcours PEIP Cours : Nombres complexes 1 Définitions 11 Nombres complexes Définition 1 On appelle nombre complexe tout élément z de la forme z a

Plus en détail

() Compléments de géométrie 1 / 33

() Compléments de géométrie 1 / 33 Compléments de géométrie () Compléments de géométrie 1 / 33 1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 2 / 33

Plus en détail

Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I. Code Unités Devoirs Code Unités Devoirs

Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I. Code Unités Devoirs Code Unités Devoirs 1 re secondaire 2 e secondaire Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I MAT-1005-2 2 3 MAT-2008-2 2 3 (+, -, x, ) dans l ensemble des entiers Z. Ce premier cours portant

Plus en détail

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes 1 Corps C des nombres complexes Théorème 1. Il existe un ensemble C des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : C contient R. C est muni d une addition et d une multiplication qui suivent

Plus en détail

Exercices 2. Trigonométrie et nombres complexes... Rappels de trigonométrie et de géométrie, nombres complexes et équations algébriques.

Exercices 2. Trigonométrie et nombres complexes... Rappels de trigonométrie et de géométrie, nombres complexes et équations algébriques. Exercices Trigonométrie et nombres complexes Rappels de trigonométrie et de géométrie, nombres complexes et équations algébriques. Trigonométrie et nombres complexes....................................................

Plus en détail

Bac Mathématiques. Série S Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 20/20. alainpiller. fr

Bac Mathématiques. Série S Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 20/20. alainpiller. fr Bac Mathématiques Série S - 017 Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 0/0 alainpiller fr SAVOIR I A Définition de l ensemble des nombres complexes : L ensemble des nombres complexes est un

Plus en détail

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit..

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit.. Correction-Exercices sur les droites remarquables 1. Construire un triangle ABC tel que AB = 5cm, BC = 6cm et AC= 8 cm et le cercle circonscrit à ce triangle Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir

Plus en détail

Systèmes de coordonnées

Systèmes de coordonnées 29 septembre 2009 Définition Dans( le plan ) muni d un repère orthonormal O ; i, j les coordonnées polaires d un point M(x, y) sont les nombres ρ et θ tels que : { ρ = ( OM θ = i, ) OM Théorème Si x 0

Plus en détail

CHAPITRE 6 Les vecteurs

CHAPITRE 6 Les vecteurs A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"

Plus en détail

Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie

Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie A) Définition et propriétés de base 1) Historique Les nombre complexes ont été inventés au départ en 1545 par le mathématicien italien Jérôme Cardan (Girolamo

Plus en détail

Nombres complexes. Chapitre 1

Nombres complexes. Chapitre 1 Chapitre 1 Nombres complexes Les nombres complexes sont apparus en Italie au XVI e siècle. Niccolo Tartaglia le premier résout des équations du troisième degré. Il révèle sa formule à Jérôme Cardan qui

Plus en détail

1 Forme cartésienne, forme polaire

1 Forme cartésienne, forme polaire AMU 015-016 Licence MI 1ère année-s1 GÉOMÉTRIE ET ARITHMÉTIQUE Planche : Nombres complexes 1 Forme cartésienne, forme polaire EXERCICE 1 ( 3+6i Mettre sous la forme a+ib (a,b R) les nombres : 3 4i, 1+i

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini

Plus en détail

13. Géométrie analytique

13. Géométrie analytique 13. Géométrie analytique La géométrie analytique permet de résoudre par le calcul des problèmes de géométrie. Il convient toutefois de ne pas perdre de vue que la géométrie analytique est d abord de la

Plus en détail

Les nombres complexes : forme algébrique

Les nombres complexes : forme algébrique Isabelle orel-ts-cours complexes forme algébrique Les nombres complexes : forme algébrique Introduction. Le problème L histoire des nombres complexes commence en pleine Renaissance italienne avec les algébristes

Plus en détail

Une bien jolie curiosité

Une bien jolie curiosité Une bien jolie curiosité Roland Dassonval et Catherine Combelles Tracez un polygone régulier à n sommets inscrit dans un cercle de rayon 1, puis les cordes qui joignent un sommet donné aux n-1 autres.

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 01-014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Complexes 1 Le Plan complexe 1.1 Introduction Dans tout ce chapitre,

Plus en détail

PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE ET PROFESSIONNEL

PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE ET PROFESSIONNEL MINISTÈRE DE L ÉDUCATION DE L ALPHABÉTISATION ET DES LANGUES NATIONALES RÉPUBLIQUE DU MALI Un Peuple Un But Une Foi PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE

Plus en détail

et z B alors le vecteur AB a pour affixe le iy B. Alors par définition les coordonnées = x B, z B, z C et z D, z C = z B

et z B alors le vecteur AB a pour affixe le iy B. Alors par définition les coordonnées = x B, z B, z C et z D, z C = z B Chapitre 9 Nombres complexes et géométrie Dans tout ce chapitre on se place dans un repère orthonormal direct du plan complexe O ; i ; j. 1. Affixe d un vecteur Définitions et conséquences Définition :

Plus en détail

CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 2009

CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 2009 CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 009 A. LAATAOUI I. INTRODUCTION ET DEFINITION Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et 3 et a pour racine et

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

TRIGONOMETRIE - EXERCICES CORRIGES

TRIGONOMETRIE - EXERCICES CORRIGES Cours et eercices de mathématiques TRIGONOMETRIE - EXERCICES CORRIGES Trigonométrie rectangle Eercice n. Compléter les égalités en respectant bien les notations de l énoncé cos ABC = sin ABC = tan ABC

Plus en détail

Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année 2010-2011

Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année 2010-2011 Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année 010-011 novembre 010 I Définition d une conique en terme d équation cartésienne On se place dans le repère orthonormé direct (0, i, j ).

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 11 septembre 2006 2 Chapitre 1 Rappels sur les nombres complexes Dans ces notes de cours, on travaillera essentiellement à l aide de nombres réels, dont les propriétés

Plus en détail

un repère orthonormé de l espace.

un repère orthonormé de l espace. Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble

Plus en détail

Fiche d exercices 8 : Nombres complexes

Fiche d exercices 8 : Nombres complexes Fiche d exercices 8 : Nombres complexes Ecriture algébrique Exercice 1 1. Donner l écriture algébrique des nombres complexes ci-dessous : i a. z = 1+ 1 + i 1 b. z = c. z3 = i 1 i + i. On considère les

Plus en détail

Révisions Maths Terminale S - Cours

Révisions Maths Terminale S - Cours Révisions Maths Terminale S - Cours M. CHATEAU David 24/09/2009 Résumé Les résultats demandés ici sont à connaître parfaitement. Le nombre de réponses attendues est parfois indiqué entre parenthèses. Les

Plus en détail

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme

Plus en détail