Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa"

Transcription

1 Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots ignorent la complexité. Les pragmatiques en souffrent. Certains parviennent à l éviter. Les génies la suppriment.» Alan J. Perlis Résumé Ce papier présente le corps des nombres complexes qui, avec le corps des entiers réels, constitue le cadre sur lequel sont développées de notions plus avancées en analyse ou en topologie, telles que la limite, la continuité ou la dérivation. Mots clé : corps, nombre complexe. Abstract In this paper, our focus is on complex numbers, one of the frames on which we apply the concepts of limit, continuity and derivative. Introduction Nombre d analyses en économique recourent aux notions de limites, continuité ou dérivation. Ainsi, les développements et définitions rigoureux de celles ci expliquent la transposition de la démarche topologique en sciences économiques. Pour une bonne présentation, l étude de ces notions considère généralement une définition rigoureuse des ensembles comme le point de départ. S inscrivant dans ce cadre, nous présentons les principaux théorèmes caractérisant la construction de l ensemble des nombres complexes qui apparaît comme une extension de l ensemble. Le papier distingue deux principales sections. La première section revient sur les définitions, théorèmes et propriétés sur les nombres complexes. La deuxième section présente brièvement les formules de De Moivre et d Euler et conclut avec une démonstration de l inégalité de Bunyakovski Cauchy Schwarz. Nombres complexes Les travaux des mathématiciens italiens du XVI ième siècle, tels que Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Nicolo Fontana et Ludovico Ferrari, en posant la problématique des nombres imaginaires, ont permis d introduire la notion des nombres complexes. En effet, au début des années 1500, le mathématicien Scipione dal Ferro, proposa une formule solutionnant l'équation du 3ème degré suivant. : 66

2 Parallèlement, à la fin du même siècle, le mathématicien Bombelli applique cette formule à l'équation et obtient littéralement : A l époque, cette expression n'avait, a priori, aucun sens puisqu'on ignorait ce que représente le symbole noté. Cependant, le génie de Bombelli l obligea d aller plus loin. Il remarqua, par la suite, qu en appliquant les règles usuelles de calcul scientifique, on obtenait : si bien qu'il trouva finalement : où, est bien une solution de l équation posée précédemment. D où la genèse de la problématique du calcul des symboles imaginaires comme Notons l ensemble des nombres complexes de la forme tel que avec et des réels. La variable correspond au nombre complexe. On appelle la partie réelle du nombre z, notée ; la partie imaginaire de z, notée ; le nombre complexe, défini par et forme algébrique de z que nous expliciterons dans les lignes qui suivent. Plus formellement, un nombre complexe est défini par un coupe ordonné que : de nombres réels tels Si est dit imaginaire pur. Soit et D après la définition précédente, Considérons, à présent, deux opérations (addition et multiplication) dans et telles que Théorème 1. L ensemble muni des opérations d addition et de multiplication est un corps (commutatif). et jouant respectivement les rôles de et dans Intuition de la démonstration. Par définition, un corps est un ensemble muni de deux opérations addition et multiplication satisfaisant les axiomes suivants. (1:) Axiomes d addition : (1.i) + ; (1.ii) + = +, ; (1.iii) + + = + +, ; (1.iv) 0 tel que 0+ = ; (1.v) (2:) Axiomes de multiplication : (1.i) ; (1.ii) ; (1.iii) ; (1.iv) tel que ; (1.v) (3:) Axiomes de distributivité : Ainsi, pour prouver le théorème 1, il suffit donc de poser 67

3 Théorème 2. Pour tout nombre réel et on vérifie toujours et Démonstration. et Le théorème 2, en consacrant l analogie permet de caractériser comme un sous corps du corps des complexes. Montrons, à présent, que tel que et Théorème 3. Tout complexe tel que peut s écrire comme Démonstration. Cette définition implique que si alors où est le conjugué de Théorème 4. on vérifie : (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v) ; (vi) Partant, pour le module de noté est un nombre réel positif tel que : Et donc : Théorème 5. Soit : (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) et Démonstration. (i) (ii) (iii) Soit et ; (iv) Soit : et (v) Soit et son conjugué : et Avant de présenter les différentes formes d un nombre complexe, établissons un parallélisme entre l ensemble des réels et l ensemble des complexes. Notons que l ensemble correspond à l'ensemble des points sur une droite. Un nombre réel x correspond au point d'abscisse sur la droite d Euclide. Ainsi, on 68

4 peut donc toujours comparer deux nombres réels : si et sont des réels, on a nécessairement ou ; c est à dire le point d'abscisse se trouve sur la droite, "avant" ou "après" le point d'abscisse ). Par contre, le corps ensemble des nombres correspond à l'ensemble des points d'un plan de coordonnées. Le plan complexe, aussi appelé plan d Argand Cauchy Gauss, désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique. Au regard de cette structure, on ne peut pas comparer deux nombres complexes et donc, il n'existe pas de relation d'ordre dans ; c est à dire, on ne peut pas dire qu'un nombre complexe est inférieur ou supérieur à un nombre complexe ou qu'un nombre complexe ou est positif. Soit on distingue trois formes d écriture du nombre (i) Forme algébrique, appelée aussi forme canonique : ; (ii) Forme trigonométrique, ou forme polaire : ; (iii) Forme géométrique : où pour tout plan muni d un repère orthonormé on peut associer à tout nombre complexe, le point Le point est nommé du nombre complexe et le nombre complexe du point : Par définition du nombre il vient qu une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point. Au passage, on peut noter qu on peut également associer à chaque nombre complexe, un vecteur Ce vecteur est appelé du nombre complexe z. Formule de De Moivre, Formule d Euler et Inégalité de Cauchy Schwarz Dans cette section, nous présentons quelques applications courantes sur les nombres complexes. Le calcul de la racine n ième d un complexe nécessite la manipulation des formules développées par les mathématiciens français Abraham de Moivre et suisse Leonhard Euler. Ces formules établissent un lien entre complexes et trigonométrie (par exemple, polynôme de Chebyshev) et furent introduites à l origine par R. Cotes 1. D après la formule de De Moivre, on vérifie : De manière générale, on note : Démonstration. Nous nous servons de l identité remarquable trigonométrique (formules d addition) pour la preuve : On achève la démonstration en appliquant les formules d addition : 1 Roger Cotes ( ) fut un mathématicien anglais qui contribua, notamment, au développement des méthodes de trapèze et de Simpson en calculs intégrales et co auteur de la méthode de Newton Cotes. 69

5 Prouvons à présent la formule de De Moivre. Si : Si : Si : Si tel que : En considérant la racine n ième de la formule de De Moivre, on établit la formule d Euler : En dérivant la fonction on obtient : L application (bien définie) est donc une fonction réelle constante et continue. Ainsi : Partant des considérations précédentes sur les complexes, nous pouvons dès lors dériver l inégalité de Bunyakovski Cauchy Schwarz. Soit les nombres et on vérifie toujours la relation : Démonstration. Posons : 70

6 Si alors La preuve est triviale. Si : Puisque : alors et comme on montre que In fine, on note que l étude des nombres demeure une activité fascinante. Cependant, elle constitue également un défi jusqu à nos jours (par exemple, l étude de la fonction zêta de Riemann). Au delà de cette fascination et de ce défi, elle constitue une boîte à outils tant pour les ingénieurs, mathématiciens ou économistes. Dans la profession de l économiste, une définition rigoureuse des nombres, notamment réels et complexes, rend, d une part, plus aisée l utilisation d outils analytiques plus puissants faisant appel à des domaines purement abstraits tels que la topologie, la théorie de la mesure ou la théorie des ensembles. Et d autre part, une telle approche permet à l économiste de passer, de fois, du monde réel vers le monde abstrait pour résoudre de problèmes concrets et trouver des résultats puissants et applicables dans la société. Ainsi, disposant, à présent, d un exposé rigoureux des réels et des complexes, dans les prochains papiers, le Laboratoire procédera à la présentation de notions préliminaires puis plus avancées de topologie, regroupées dans la série «Topologie pour Économiste». 71

7 Bibliographie AIGNER Martin et Günter M. ZIEGLER, 1998, Raisonnements Divins : Quelques Démonstrations Mathématiques Particulièrement Elégantes, 2 ième édition Springer, Berlin, 270p. ASLANGUL Claude, 2011, Des Mathématiques pour les Sciences. Concepts, Méthodes et Techniques pour la modélisation (Cours et Exercices), édition De Boeck Université, 1252p. BOURBAKI Nicolas, 2007, Eléments d histoire des mathématiques, Springer, Berlin, 374p. MARCO Jen Pierre, 2009, Mathématiques L3. Analyse (Cours complet avec 600 test et Exercices corrigés), avec la collaboration de Hakim BOUMAZA, Benjamin COLLAS, Stéphane COLLION, Marie DELLINGER, Zoé FAGET, Laurent LAZZARINI et Florent SCHAFFA_HAUSER), édition Pearson, Paris, 932p. OK Efe A., 2007, Real Analysis with Economic Applications, Princeton University Press, Princeton, 802p. RUDIN Walter, 1976, Principles of Mathematical Analysis, 3th edition, McGraw Hill, New York, 342p. SUNDARAM Rangarajan K., 2011, A First Course in Optimization Theory, Cambridge University press, Cambridge, 357p. TSASA Jean Paul, (janvier) 2013, «Ensemble R et Extraction de Quelques Théorèmes Fondamentaux», One Pager Laréq, vol. 5, num. 006,

Introduction des nombres complexes en TS

Introduction des nombres complexes en TS Introduction des nombres complexes en TS 1 À la découverte de nouveaux nombres Résoudre : dans, puis dans, l équation 5 + x = 0 ; dans, puis dans, l équation 3x + 2 = 0 ; dans, puis dans, l équation x

Plus en détail

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : affixe d un point, représentation d un point-image dans le plan complexe, argument

Plus en détail

Analyse factorielle des correspondances de Benzécri

Analyse factorielle des correspondances de Benzécri Analyse factorielle des correspondances de Benzécri One Pager Décembre 2013 Vol. 8 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Analyse Factorielle des Correspondances de Benzécri Une illustration

Plus en détail

Théorème de Berge, J Paul Tsasa

Théorème de Berge, J Paul Tsasa Théorème de Berge, J Paul Tsasa One Pager Janvier 2013 Vol. 5 Num. 003 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Théorème du maximum de Berge (1959) Correspondance, Hémicontinuité et Caractérisation Séquentielle

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 9 : Nombres complexes

Cours de mathématiques. Chapitre 9 : Nombres complexes Cours de mathématiques Terminale S1 Chapitre 9 : Nombres complexes Année scolaire 2008-2009 mise à jour 15 février 2009 Fig. 1 Gerolamo Cardano Médecin et mathématicien italien qui ne redoutait pas les

Plus en détail

Équations du troisième degré

Équations du troisième degré par Z, auctore L objet de cet article est d exposer deux méthodes pour trouver des solutions à une équation du troisième degré : la recherche de racines évidentes d une part, et la formule de Cardan d

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

One Pager Juillet 2013 Vol. 7 Num. 003 Copyright Laréq Espaces de Hilbert Jean Paul Kimbambu, Tsasa Vangu

One Pager Juillet 2013 Vol. 7 Num. 003 Copyright Laréq Espaces de Hilbert Jean Paul Kimbambu, Tsasa Vangu Espaces de Hilbert One Pager Juillet 2013 Vol. 7 Num. 003 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Espaces de Hilbert Jean Paul Kimbambu, Tsasa Vangu «Ce n est pas que je suis si intelligent, c est que

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème.

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. Mathématiques - classe de 1ère des séries STI2D et STL. 1. Analyse On dote les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets.

Plus en détail

Nombres complexes. Les Nombres Complexes

Nombres complexes. Les Nombres Complexes Introduction : Historique : Les Nombres Complexes Au début du XVI ème siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule donnant une solution de l'équation du 3 ème degré : A la fin du XVI

Plus en détail

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Définition ( voir animation ) On dit qu'un repère orthonormé (O; i, j) est direct lorsque ( i ; j ) = + []. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point

Plus en détail

Les travaux doivent être remis sous forme papier.

Les travaux doivent être remis sous forme papier. Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances ARITHMETIQUE 1 C B A Numération Ecrire en lettres et en chiffres Poser des questions fermées autour d un document simple (message, consigne, planning ) Connaître le système décimal Déterminer la position

Plus en détail

201-NYC ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE. Introduction

201-NYC ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE. Introduction 201-NYC ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Introduction Algèbre VS Géométrie Algèbre VS Géométrie Algèbre VS Géométrie Pour forger l intuition Le plan Pour forger l intuition Pour forger l intuition

Plus en détail

Introduction. Mathématiques Quantiques Discrètes

Introduction. Mathématiques Quantiques Discrètes Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.

Plus en détail

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Séquence 6 Ensemble des nombres complexes Sommaire Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Cette séquence est une brève introduction à un nouvel ensemble de nombres, ensemble

Plus en détail

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz 1 - INTERPOLATION J-P. Croisille Université Paul Verlaine-Metz Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009 1- INTRODUCTION Théorie de l interpolation: approximation de f(x) par une fonction

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM. Applications des mathématiques. Equations

Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM. Applications des mathématiques. Equations Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM Applications des mathématiques Equations Résolution de l'équation f(x) = 0 par diverses méthodes Version pour Mathematica Edition 2014/2015 Marcel

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan Exo7 Systèmes linéaires Vidéo partie 1. Introduction aux systèmes d'équations linéaires Vidéo partie 2. Théorie des systèmes linéaires Vidéo partie 3. Résolution par la méthode du pivot de Gauss 1. Introduction

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Aire sous une courbe et calcul de primitives

Aire sous une courbe et calcul de primitives Aire sous une courbe et calcul de primitives Le calcul de primitives d une fonction et celui de l aire de la surface bordée par le graphique de cette fonction sont intimement liés. Les exemples qui suivent

Plus en détail

Fiche 17 Nombres complexes

Fiche 17 Nombres complexes Fiche 7 Nombres complexes Objectifs : Connaître les différentes définitions Savoir passer d une notation à l autre Savoir simplifier des nombres et effectuer les opérations élémentaires. Définitions On

Plus en détail

Révisions Maths Terminale S - Cours

Révisions Maths Terminale S - Cours Révisions Maths Terminale S - Cours M. CHATEAU David 24/09/2009 Résumé Les résultats demandés ici sont à connaître parfaitement. Le nombre de réponses attendues est parfois indiqué entre parenthèses. Les

Plus en détail

Primitives Cours maths Terminale S

Primitives Cours maths Terminale S Primitives Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la notion de primitive d une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu une fonction admet une infinité de primitives

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

MATHÉMATIQUES LIAISON 3 ème / 2 nde. Lycée Notre Dame des Minimes Année scolaire 2015-2016 LIVRET DE VACANCES

MATHÉMATIQUES LIAISON 3 ème / 2 nde. Lycée Notre Dame des Minimes Année scolaire 2015-2016 LIVRET DE VACANCES MATHÉMATIQUES LIAISON ème / 2 nde Lycée Notre Dame des Minimes Année scolaire 205-206 LIVRET DE VACANCES L objet du présent livret de vacances est d aborder le programme de mathématiques de seconde générale

Plus en détail

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

Fonctions logiques élémentaires

Fonctions logiques élémentaires Fonctions logiques élémentaires II. Systèmes binaires et algèbre de oole ctuellement, alors que les ordinateurs analogiques sont encore du domaine de la recherche, les informations traitées par les systèmes

Plus en détail

MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE

MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE Titulaire : A.M. Tilkin 8h/semaine 1) MATIERE DE 4 e ANNEE a) ALGEBRE - Rappels algébriques concernant la résolution d équations et d inéquations (fractionnaires

Plus en détail

Nombres complexes. s'écrit alors i

Nombres complexes. s'écrit alors i Nombres complexes préambule : En 1545, dans son ouvrage Artis magnae sive regulis algebraicus, le mathématicien italien Cardan veut résoudre l'équation : x(10 x) 40. Il est confronté à une opération impossible

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais... Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement

Plus en détail

Mini Dictionnaire Encyclopédique Mathématiques. Fonction affine

Mini Dictionnaire Encyclopédique Mathématiques. Fonction affine Fonction affine ) Définition et Propriété caractéristique a) Activité introductive Une agence de location de voiture propose la formule de location suivante : forfait de 50 et 0,80 le km. Quel est le prix

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Chapitre 6 Méthodes de Krylov 611 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Dans le cas où la matrice A n est pas symétrique, comment peut-on retrouver une matrice de corrélation

Plus en détail

Programme de Première

Programme de Première BAC TECHNO STAV 66 I. Algèbre Programme de Première Objectif 1 - Effectuer de manière autonome des calculs numériques ou algébriques, résoudre des équations ou inéquations en vue de résoudre des problèmes

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

Base : une axiomatique

Base : une axiomatique Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Base : une axiomatique a) D après (i), on

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

TABLE DES MATIÈRES. Préface...

TABLE DES MATIÈRES. Préface... TABLE DES MATIÈRES Préface......................................................... iii G. Henniart Représentations linéaires de groupes finis..... 1 1. Caractères des groupes abéliens finis.......................

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini

Plus en détail

Cahier de textes Page 1 sur 9. Cahier de textes

Cahier de textes Page 1 sur 9. Cahier de textes Cahier de textes Page 1 sur 9 Cahier de textes Jeudi 04/09/2014 9h-12h et 13h30-16h30 : Cours sur la logique : - Conjonction, disjonction, implication, équivalence - Quelques formules. - Quantificateurs

Plus en détail

Le principe de moindre action

Le principe de moindre action Le principe de moindre action F. Hérau Laboratoire de Mathématiques Université de Reims Fete de la science novembre 2008 Définition Principe de moindre action : en physique, hypothèse selon laquelle la

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

K W = [H 3 O + ] [OH - ] = 10-14 = K a K b à 25 C. [H 3 O + ] = [OH - ] = 10-7 M Solution neutre. [H 3 O + ] > [OH - ] Solution acide

K W = [H 3 O + ] [OH - ] = 10-14 = K a K b à 25 C. [H 3 O + ] = [OH - ] = 10-7 M Solution neutre. [H 3 O + ] > [OH - ] Solution acide La constante d autoprotolyse de l eau, K W, est égale au produit de K a par K b pour un couple acide/base donné : En passant en échelle logarithmique, on voit donc que la somme du pk a et du pk b d un

Plus en détail

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1 Examen Mathématiques LS TD 04 05 06 Université Paris Nom : Prénom : Durée : heure. Calculatrice interdite. Aucun document autorisé. Chaque question de la partie QCM vaut un point. Identifiez toutes les

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Frédéric Messine Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier une application de la dérivation des fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Multizêtas vs. multitangentes. Séminaire, Université de Clermont-Ferrand

Multizêtas vs. multitangentes. Séminaire, Université de Clermont-Ferrand Multizêtas vs. multitangentes. Séminaire, Université de Clermont-Ferrand Olivier Bouillot 20 janvier 2012 Définitions des multizêtas. On note : S d = {s seq(n ) ; s 1 2}. S df = {s seq(n ) ; s 1 2 et s

Plus en détail

Thème 12: Généralités sur les fonctions

Thème 12: Généralités sur les fonctions GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 69 Thème 12: Généralités sur les fonctions 12.1 Introduction Qu est-ce qu une fonction? Une fonction est une sorte de "machine". On choisit dans un ensemble de départ A un

Plus en détail

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre Recherche opérationnelle Programmation linéaire et recherche opérationnelle Ioan Todinca Ioan.Todinca@univ-orleans.fr tél. 0 38 41 7 93 bureau : en bas à gauche Tentative de définition Ensemble de méthodes

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

FICHE UNITE D ENSEIGNEMENT. Mathématiques. Analyse appliquée. Boris Andreianov. PRESENTIEL EN LIGNE x PRESENTIEL ET EN LIGNE 73 20 35,5 4,5 133

FICHE UNITE D ENSEIGNEMENT. Mathématiques. Analyse appliquée. Boris Andreianov. PRESENTIEL EN LIGNE x PRESENTIEL ET EN LIGNE 73 20 35,5 4,5 133 FICHE UNITE D ENSEIGNEMENT Responsable de l UE Section CNU de l UE Crédits Européens Mode d enseignement Analyse appliquée Boris Andreianov 26 6 PRESENTIEL EN LIGNE x PRESENTIEL ET EN LIGNE Nombre d heures

Plus en détail

ANNEXE 1 BTS AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL Programme de mathématiques

ANNEXE 1 BTS AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL Programme de mathématiques ANNEXE BTS AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL Programme de mathématiques L'enseignement des mathématiques dans les sections de techniciens supérieurs Agencement de l'environnement architectural

Plus en détail

Division de Polynômes

Division de Polynômes LGL Cours de Mathématiques 00 Division de Polynômes A INTRODUCTION Motivations: * Résoudre des équations d un degré supérieur à * Représenter des fonctions algébriques en se basant et sur des fonctions

Plus en détail

( x )= 2 3 ( x 1) f 3 ( x)=( x+1)2 ( x 1) ( x+1) f 4. ( x )=5 x 2 1. ( x)=3 2 x f 2. 212 nom: DS ( 1h) : Sujet A fonctions affines droites

( x )= 2 3 ( x 1) f 3 ( x)=( x+1)2 ( x 1) ( x+1) f 4. ( x )=5 x 2 1. ( x)=3 2 x f 2. 212 nom: DS ( 1h) : Sujet A fonctions affines droites 212 nom: DS ( 1h) : Sujet A fonctions affines droites Exercice 1: 1 ) Dans chacun des cas suivants,: Dire si la fonction est affine ou non. Préciser si elle est linéaire. Si la fonction est affine, donner

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I. Code Unités Devoirs Code Unités Devoirs

Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I. Code Unités Devoirs Code Unités Devoirs 1 re secondaire 2 e secondaire Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I MAT-1005-2 2 3 MAT-2008-2 2 3 (+, -, x, ) dans l ensemble des entiers Z. Ce premier cours portant

Plus en détail

Cours de mathématiques : Equation du second degré

Cours de mathématiques : Equation du second degré Cours de mathématiques : Equation du second degré I ) Formes de l'équation du second degré. L'équation du deuxiéme degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élévé à la puissance de 2, sans y etre

Plus en détail

Stage au LaMME : résoudre x 2 + x = 3 4, à travers les âges.

Stage au LaMME : résoudre x 2 + x = 3 4, à travers les âges. Stage au LaMME : résoudre x 2 + x = 3 4, à travers les âges. 16 au 19 décembre 2014 Table des matières 1 Introduction 2 2 Identités remarquables 3 3 Résoudre x 2 + 2bx = c 6 4 L équation x 2 + x = 3 4

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

LES FONCTIONS : GENERALITES ET VARIATIONS

LES FONCTIONS : GENERALITES ET VARIATIONS 1 sur 10 LES FONCTIONS : GENERALITES ET VARIATIONS Activité conseillée p42 n 1 : Évolution du climat Activité conseillée p22 n 1 : Évolution du climat p61 n 5 p74 n 82 p61 n 7 p43 n 19 p44 n 20 p44 n 21

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

2 Nombres complexes. et trigonométrie CHAPITRE

2 Nombres complexes. et trigonométrie CHAPITRE CHAPITRE Nombres complexes et trigonométrie A Les nombres complexes 66 B Représentation géométrique Affixe Module Argument 67 1 Image d un complexe Affixe d un point, d un vecteur 67 Module 68 3 Nombres

Plus en détail

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme

Plus en détail

Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 22 avril 2014 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. obligatoire SÉRIE S

Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 22 avril 2014 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. obligatoire SÉRIE S Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi avril 014 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Durée de l épreuve : 4 HEURES Les calculatrices sont AUTRISÉES obligatoire Coefficient : 7 Le

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE 2015-2016, Automne N. Débit & J. Bastien Document compilé le 13 novembre 2015 Liste des Travaux Dirigés Avant-propos iii Travaux

Plus en détail

Modèles dichotomiques et Spécification linéaire

Modèles dichotomiques et Spécification linéaire Modèles dichotomiques Spécification linéaire One Pager Novembre 2013 Vol. 8 Num. 006 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Modèles dichotomiques Spécification linéaire 1 «Le véritable travail, c est

Plus en détail

MASTER SC. ET TECHNOLOGIE : MATH. & APPLICATION

MASTER SC. ET TECHNOLOGIE : MATH. & APPLICATION MASTER SC. ET TECHNOLOGIE : MATH. & APPLICATION Résumé de la formation Type de diplôme : MASTER 1 et 2 Domaine ministériel : Sciences Mention : Mathématiques et applications Présentation Le master 1 est

Plus en détail

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe.

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe. Chapitre I INTRODUCTION ATHÉATIQUE I.A. I.A.1. Calcul vectoriel Produit vectoriel Plaçons-nous dans un espace vectoriel euclidien à trois dimensions. En faisant subir des rotations identiques aux trois

Plus en détail