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1 Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani

2 Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits logiques 3. Circuits combinatoires 4. Circuits séquentiels Algèbre de Boole Chapitre George Boole (85-864) est un mathématicien autodidacte anglais qui voulait faire un lien entre la logique (étude de la validité du raisonnement) et la représentation smbolique utilisée en mathématique. Algèbre binaire Il a écrit Écriture deu ouvrages et simplification sur le sujet : des fonctions Mathematical logiques Analsis of Logic (847) An Investigation of the Laws of Thought (854) Ces travau n ont pas connu d intérêt particulier auprès de la communauté mathématique et scientifique de son époque, mis à part che les logiciens

3 Algèbre de Boole C est 7 ans plus tard que les travau de Boole gagnent l intérêt de tous, lorsque Claude Shannon fait le lien entre l algèbre de Boole et la conception des circuits. Claude Shannon montre que l algèbre de Boole peut-être utilisée pour optimiser les circuits. Cette nouvelle avenue de recherche va ouvrir la voie à l ère numérique. «En utilisant l algèbre de Boole avec le sstème binaire, on peut concevoir des circuits capables d effectuer des opérations arithmétiques et logiques Boole repose sur des aiomes, des postulats et des théorèmes qu il faut connaître par coeur! Algèbre de Boole Propositions vraie ou fausses et opérateurs sur ces préposition Algèbre de Boole Sstèmes binaires: Vrai=, Fau= C est le cas des sstèmes numériques (circuits logiques) 2

4 L ordinateur est constitué de circuits logiques Élément de base est le transistor, deu états: Bloqué=, Conducteur=. Transistor Porte logique Circuit logique Unité d un sstème informatique Algèbre binaire Définitions: États logiques : et, Vrai et Fau Variable logique : Smbole pouvant prendre comme valeur des états logiques (A, b, c,...) Opérateurs logiques: Or, And, Not,... Fonction logique Fonction logique : Epression de variables et d opérateurs logiques. ( f = not(a) or (b OR c and d) 3

5 Éléments de base Variables d entrd entrée Les variables d entrée sont celles sur lesquelles on peut agir directement. Ce sont des variables logiques indépendantes. Variable de sortie Variable contenant l état de la fonction après l évaluation des opérateurs logiques sur les variables d entrée. Simplification d une d fonction logique Trouver la représentation (l écriture) la plus simple de la fonction réalisée: Algèbre de Boole Algèbre de Boole sur [,] = algèbre binaire Structure d algèbre de boole 2 lois de composition interne (Or, And) application unaire (Not) 2 Lois de Composition Interne : ET, OU Somme (OU, Réunion) s = a b = a or b Produit (ET, intersection) s = a. b = ab = a and b Nb: ab se lit «a OU b» pas «a PLUS b» Application unaire : Not (complémentation, inversion) s = a = not(a) NB: a se lit «a barre» ou «non a» 4

6 Fonctions logiques Fonction logique à n variables f(a,b,c,d,...,n) [,] n [,] - Une fonction logique ne peut prendre que deu valeurs (, ) - Les cas possibles forment un ensemble fini (card = 2 n ) La table de fonction logique = table de vérité Définition : (a, b, c,..., n) = vecteur d entrée Table de vérité Table de vérité: Enumération ligne par ligne des valeurs prises par f en fonction des valeurs de ses paramètres. Or s = a b S est vrai si a OU b est vrai. a b s And s = a. b S est vrai si a ET b sont vrais. a b s Not s = a S est vrai si a est fau a s 5

7 Notes sur les tables de vérité f (a, c, d,.., n) fonction logique à N entrées sera représentée par : une table à2 N lignes a b c f(a,b,c) Propriétés Commutativité ab = ba a.b = b.a Associativité a(bc) = (ab)c a.(b.c) = (a.b).c Distributivité a.(bc) = a.ba.c a(b.c) = (ab).(ac) Idempotence aa = a a.a = a Absorption aa.b = a a.(ab) = a 6

8 Démonstration distributivité? a.(bc) = a.ba.c a b c bc a.(bc) a.b a.c a.ba.c =? Propriétés (2) Élément neutre a = a a. = a Élément absorbant a = a. = Inverse Théorème de DE Morgan ab = a. b aa = a.a = a.b = a b 7

9 Équations logiques On eprime f(a, b, c,...) par une epression en a, b, c.. et des opérateurs logiques. Eemple: f = ab.c.(de) Principe de dualité: Une epression reste vraie si on interverti les par des et les ET par des OU Eemple: si ab= alors a.b= Je suis riche si je suis bien paé et que je ne dépense pas tout mon argent = Je suis pauvre si je ne suis pas bien paé ou que je dépense tout mon argent Les opérateurs NAND, NOR a b s s = a.b a b s s = ab S est vrai si a OU b est fau. NAND (No-AND) S est vrai si ni a, ni b ne sont vrais. NOR (No-OR ou NI) 8

10 L opérateur : XOR a b s s = a b = a.b a.b S est vrai si a OU b est vrai mais pas les deu. XOR (Ou-Eclusif) vaut si a est différent de b Opérateur de différence (disjonction) Propriétés du XOR XOR est associatif s = a b c... n vaut si le nombre de variable à est impaire. s = a b= a b= a b= a XNOR b XNOR = XOR vaut si a= b a = a a = a Propriétés a c= b c a= b a = b = a b 9

11 Écriture des équations logiques Définitions: Apparition d une variable = Lettre Produit de variables sous forme simple ou complémentées = Monôme Somme de monômes = Polnôme = a b.c.(d e) Epression algébrique = a b c (d e) Développement = a b c d. e Polnôme de 4 monômes de et 2 lettres Fonctions logiques et formes canoniques f fonction logique de n variables On appelle «minterme» de n variables, l un des produits de ces variables ou de leurs complémentaires. { a b c d} eemple n = 4 variables,,, m= abcd m= a b c d est un minterme est un autre minterme m= a b c n'est pas un minterme On appelle «materme» de n variables, l une des sommes de ces variables ou de leurs complémentaires. M = a b c d M = a b c d est un materme est un autre materme M = a b c n'est pas un materme

12 Formes canoniques Une fonction est sous forme canonique (ou normale) si chaque terme contient toutes les variables. L écriture sous forme canonique est unique. Eemples : f(,, ) = Minterme Première forme canonique ou forme normale disjonctive f (,, ) = ( ).( ) Materme Deuième forme canonique ou forme normale conjonctive Formes canoniques Si la fonction n est pas sous forme normale i.e. une des variables (au moins) ne figure pas dans un des termes La fonction est sous une forme simplifiée f (,, ) = = ( ) = ( ) = ( ) Première forme canonique Forme simplifiée Forme simplifiée Forme simplifiée

13 Formes canoniques: Choi Première forme canonique = epression des de la fonction Deuième forme canonique = epression des de la fonction Les deu formes canoniques sont équivalentes On choisit celle qui donne le résultat le plus simple peu de => deuième forme / peu de => première forme Simplification des fonctions Objectif : Fabriquer un sstème à moindre coût Méthodes : Algébriques rapide Graphiques fiable Programmables peu consommateur Résultat : on cherche la forme minimale d une fonction nombre minimal de monômes/nombre minimal de lettre par monôme Possibilité de plusieurs formes minimales: formes équivalentes 2

14 Simplification algébrique Applications des principes et propriétés de l algèbre de Boole Identités remarquables : 2 3 a. b a. b = b (ab).(ab)=b a a.b = a a.(ab) = a a a.b = ab a.(a b) = a. b Démonstrations : et 2 trivial 3 : a a. b = a. a a. b a. a a. b = ( a a).( a b) = a b a Simplification algébrique Règles de simplification : (Mintermes adjacents = seule variable qui change) : Deu mintermes adjacents Il reste l intersection commune : Deu matermes adjacents Il reste la réunion commune abc.. abc.. = ab..( c c) = ab. ( a b c).( a b c) = ( a b)( c c) = a b 2: On peut ajouter un terme déjà eistant à une epression logique. pas de coefficient en algèbre de Boole. 3: On ne change pas le résultat en multipliant l'un des termes par ou en ajoutant. Méthode algébrique toujours possible mais démarche intuitive qui dépend de l habileté et de l epérience. 3

15 4 Eercice Remplisse la table de vérité suivante pour prouver le théorème de DeMorgan : Considérons la fonction F définie par la table de vérité suivante : F F = Mintermes ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( F = = = = Eercice 2

16 Eercice 3 On désire concevoir un circuit qui permet de gérer les notes des eamens, on donne: Eamen final (45 %), Eamen Partiel (35 %), TPs (2 %). Un étudiant est admis s il dispose d un pourcentage >= 55 %). Eemple: Final=, Partiel=8, Tps= F=, P=, T= Pourcentage = 65 % R= (étudiant admis). Donner la table de vérité. Donner la fonction logique correspondante. Simplifier le fonction obtenue. Simplification graphique: Karnaugh La méthode de Karnaugh permet de visualiser une fonction et d en tirer naturellement une écriture simplifiée. L élément de base de cette méthode est la table de Karnaugh qui représente toutes les combinaisons d états possibles pour un nombre de variables donné. La table de Karnaugh est un outil graphique qui permet de simplifier de manière méthodique des epressions booléennes. La construction des tables de Karnaugh eploite le codage de l information et la notion d adjacence 5

17 Karnaugh simplification graphique Principe: Mettre en évidence sur un graphique les mintermes (ou matermes) adjacents. Transformer les adjacences logiques en adjacences «géométriques». Trois phases: Transcrire la fonction dans un tableau codé, recherche des adjacents pour simplification équations des groupements effectués Description: Table de vérité vs Tableau de Karnaugh ligne case n variables 2 n cases Diagrammes de Karnaugh Avec n = 2: Entrées A et B 4 cases 6

18 Diagrammes de Karnaugh Avec n = 3: Entrées C, B et A 8 cases Remarque: Une seule variable change d état entre 2 cases adjacentes Diagrammes de Karnaugh Avec n = 4: Entrées D, C, B et A 6 cases 7

19 Diagrammes de Karnaugh Avec n = 5: Entrées,,, t et u 32 cases Simplification graphique Eemple: Depuis une table de vérité a b c f a bc 8

20 Eemple (Karnaugh) Entrées Sortie C B A S TABLE DE VÉRITÉ BA C DIAGRAMME DE KARNAUGH Simplification graphique Eemple 2: Par une première forme canonique (Par les ) a bc f( abc,, ) = abc.. abc.. abc.. 9

21 Simplification graphique Eemple 2: Par une deuième forme canonique (Par les ) a bc f ( a, b, c) = ( a b c).( a b c).( a b c) Simplification graphique Règles de simplification : Les groupements comportent une puissance de deu cases, 2 : Les 2 k cases forment un rectangle, 3 : On élimine variable(s) qui change(nt) d état Groupement de 2 k cases On élimine k variables 2 cases on élimine variable; 4 cases on élimine 2 variables; 8 cases on élimine 3 variables; 4 : Il faut utiliser au moins une fois chaque, le résultat est donné par la réunion logique de chaque groupement, 5 : Epression minimale si : les groupements les plus grands possibles utiliser les un minimum de fois 2

22 Eemple S = AB AB, simplification algébrique S = A (B B) = A Karnaught: Groupement de 2 cases: on élimine variable qui change d état (B) S=A Eemple 2 A B S Premier groupement: On élimine B Deuième groupement: On élimine A S = A B 2

23 Eemple 3 Tous les sont groupés! a bc Equation : Fabc (,, ) = ab. c Eemple 4 Par les a bc Equation : F( a, b, c) = ( a c).( b c) 22

24 23 Eemple 5 Z X S = Z S t Eemple 6 t

25 Eercice Eercice 2 24

26 Circuits logiques Circuit logique = Ensemble de portes logiques reliées entre elles correspondant à une epression algébrique. Porte logique (correspond à un opérateur logique) Porte Or Porte And Porte Not A B Y A B Y A Y Y = A B Y = A. B Y = A Portes dérivées Porte Nor Porte Nand A B Y A B Y Y = A B Y = A. B Porte Xor A B Y Y = A B 25

27 Conception d un circuit logique. Identifier les entrées et les sorties de la fonction. 2. Construire la table de vérité. 3. Identifier la fonction à partir de la table de vérité. 4. Simplifier la fonction. 5. Dessiner le schéma du circuit. Réalisation de circuits logiques Eemple: Circuit logique correspondant à l epression algébrique: (AB).(AC) Eercice Donner le circuit (Eercice 3, simplification algébrique). 26

28 Eercice 2 Pompe Niveau 2 C2 Niveau C Électrovanne Lorsque le niveau d eau est inférieure au niveau (Capteur C), on déclenche la pompe pour remplir le réservoir. Lorsque Niveau d eau > Niveau 2, on commande l électrovanne pour vider le réservoir.. Donner le circuit équivalent (sans simplification) 2. Donner le circuit simplifié. 27

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