MPI Activité.10 : Logique binaire Portes logiques

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1 MPI Activité.10 : Logique binaire Portes logiques I. Introduction De nombreux domaines font appel aux circuits logiques de commutation : non seulement l'informatique, mais aussi les technologies de l'asservissement et de la régulation, l'électronique industrielle, domestique et musicale. Il s'agit de circuits qui se distinguent par deux types de propriétés : Ils utilisent des signaux qui ne peuvent prendre que deux états, désignés par 1 ou 0 (haut et bas), ou simplement vrai ou faux. L'état en sortie de tels circuits dépend de l'état d'une ou de plusieurs entrées. Des circuits logiques simples peuvent être combinés pour donner des unités fonctionnelles de plus en plus complexes. Pour nous, l'étude se bornera au principe de base des unités élémentaires : les éléments de base des circuits logiques de commutation sont les fameuses portes. Il s'agit de commutateurs admettant souvent deux entrées, dont les états influent, de manière logique, directement sur la sortie. II. Quelques mots brefs de l histoire de la logique binaire 1. Naissance de l analyse logique : Georges Boole est né le 4 novembre 1815 et grâce à son père passionné de sciences, il va recevoir les fondements de ses connaissances en mathématique. Il les approfondira ensuite seul. En 1842, Boole rencontre Augustus de Morgan alors en pleine désaccord avec ir William Hamilton, philosophe et mathématicien qui se moque de ses théories sur l'analyse logique. Hamilton est persuadé que les mathématiques ne pourront jamais rivaliser avec la philosophie. Mais Boole adhère aux théories de Morgan et en 1854, il publie "les Lois de la Pensée" dans lequel il démontre que le raisonnement logique peut être formalisé en une suite d'opérations algébriques. 2. L'algèbre de Boole : Georges Boole (voir site pour la biographie) prend le soin de limiter son algèbre à deux valeurs numériques 0 si la propriété est fausse, 1 si elle est vraie. Puis il introduit des opérateurs qui sont calqués sur le raisonnement logique. Ces opérateurs seront les outils de base du raisonnement (, et le ) et seront appelés "opérateurs booléens" ou opérateurs logiques. 3. Exemple d opérateur logique : L'opérateur donne une propriété contraire. i la propriété A est vrai alors A est fausse et réciproquement. E : Entrée : ortie 0 E E On peut donc établir des tables de vérité de l'algèbre de Boole. Table de vérité pour l opérateur : E i E = 0 alors = 1 i E = 1 alors = 0 III. Les autres opérateurs logiques de base 1. Variables et fonctions logiques Une variable «logique» est une grandeur binaire : elle vaut soit 0 (faux) soit 1 (vrai). Une fonction «logique» est un opérateur qui associe un résultat logique (une valeur de "sortie" valant 0 ou 1) à des données logiques (une ou plusieurs entrées valant elles aussi 0 ou 1). Elle est représentée par sa table de vérité qui permet, à partir de la (ou des) valeur(s) introduite(s) à l'entrée du dispositif (notées E1 et E2), d en déduire la valeur de sortie. MPI 1/6

2 2. L opérateur logique : La fonction donne E 1 E 2 est une propriété vraie si A est vraie et B est vraie : E 1 E 2 E 1 E 2 Table de vérité de l opérateur logique 2. L opérateur logique : La fonction donne E 1 E 2 est une propriété vraie si A ou B est vrai, ou les deux. E 1 E 2 E 1 E 2 Table de vérité de l opérateur logique 3. Portes logiques de base et symboles électroniques normalisés En électronique, on utilise des symboles normalisés pour les portes logiques. Porte logique ymbole normalisé Logiciel Crocodile et portes logiques : Ouvrir le logiciel A l aide de la barre d outils des symboles électroniques choisir le sous-menu << Porte logiques >> En cliquant sur l outil << Affichage >>, basculer en symboles logiques CEI Choisir la porte logique à étudier et l insérer Utiliser l outil << Ajout >> et dans le menu déroulant, choisir << Electronique >> puis portes logiques et enfin << Entrée logique >> Faites de même pour insérer << ortie logique >> Connecter l entrée ou les entrées logiques à l entrée ou aux entrées de la porte logique choisie Connecter la sortie logique à la sortie de la porte. A l aide de l outil << Affichage >> choisir << ignaux logiques >> pour afficher les valeurs aux entrées et à la sortie de la porte. Vérifier les trois tables de vérités ci-dessus pour les trois portes logiques de base. MPI 2/6

3 III. Les différentes portes logiques : 1. chémas et tables de vérités Voici les noms, schémas et tables de vérité des portes logiques les plus importantes (et que vous devrez donc connaître) : inversion NOT somme OR produit AND - NAND - NOR exclusif EXOR E Pour chacune des sept portes logiques schématisées ci-dessus, décrire le plus simplement possible (par une phrase) son mode de fonctionnement (c est à dire à quelle condition la sortie répond «vrai» ou «faux») 2. Conventions d écriture des fonctions logiques : ortie des portes Entrées (AND) (OR) - (NAND) - (NOR) EXCLUIF (XOR) a b = a = a * b = a + b = a * b = a b = a b 3. Modélisation à l aide de circuits électriques On suppose que l on dispose d un circuit électrique contenant un générateur de tension continue, une lampe et une résistance montés en série. La lampe peut être allumée ou éteinte (états logiques 1 ou 0). On dispose également de 2 interrupteurs qui peuvent être fermés ou ouverts (états logiques 1 ou 0). Insérer le (ou les) interrupteur(s) dans le circuit électrique initial de manière à ce que le montage final modélise le comportement d une porte (les grandeurs d entrée sont les états des deux interrupteurs, la grandeur de sortie étant l état de la lampe). Même question en ce qui concerne les portes,, - et -. IV. Combinaisons des fonctions logiques et propriétés : 1. La fonction. Définition : La fonction est la composée de la fonction suivie de la fonction. Au couple de variables (a,b) la fonction fait correspondre : (a,b) a * b Compléter le tableau de vérité suivant : a b a * b MPI 3/6

4 2. Le circuit : Ce circuit possède deux entrées et une sortie. on symbole est a) Vérifie le tableau de vérité ci-dessus à l aide du logiciel de simulation crocodile. Enregistre ton travail nommé <<Travail n 1>>, imprime-le et le joindre à ton polycopié. b) Propriétés : 1. Complète les égalités et les tableaux de vérité qui suivent : a * a = s = a a s = a * a a * b = s = a b s = a * b 2. Représente ci-dessous les schémas correspondant à chaque propriété : a * a = s = a * b = s = 3. imule à l aide de crocodile les circuits schématisés ci-dessus, et vérifie les deux propriétés. Enregistre ton travail n 2, imprime-le et le joindre à ton polycopié. 3. Vérification de quelques propriétés à l aide de Crocodile : Compléter le tableau suivant en représentant le schéma correspondant à chaque propriété, simuler les circuits à l aide du logiciel Crocodile, et en déduire les propriétés. Propriété chéma a + a = a + a = a + 0 = a + 1 = MPI 4/6

5 Compléter le tableau suivant en représentant le schéma correspondant à chaque propriété, simuler les circuits à l aide du logiciel Crocodile, et en déduire les propriétés. Propriété chéma a * a = a * a = a * 0 = a * 1 = 4. Applications : Exercice 1 : Dessine le schéma correspondant à : s 1 = a+(b*c) Dessine le schéma correspondant à : s 2 = (a+b)*(a+c) Réalise ces circuits avec crocodile, puis remplir le tableau de vérité suivant à l aide du logiciel. a b c s 1 s 2 En déduire une conclusion : MPI 5/6

6 Exercice 2 : Dessine le schéma correspondant à : s 1 = a*(b + c) Dessine le schéma correspondant à : s 2 = (a*b) + (a*c) Réalise ces circuits avec crocodile, puis remplir le tableau de vérité suivant à l aide du logiciel. a b c s 1 s 2 En déduire une conclusion : Exercice 3 : Exprime s en fonction de a et b, complète le tableau de vérité. a b 1 s a b s 1 Vérifie les résultats du tableau en simulant le circuit à l aide de crocodile. Exercice 4 : Exprime s en fonction de a et b, complète le tableau de vérité. a b 1 s a b s 1 Vérifie les résultats du tableau en simulant le circuit à l aide de crocodile MPI 6/6

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