Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau

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1 i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours de cette année, vous allez essayer d atteindre, en mathématiques le niveau de fin de première pour un élève de section scientifique. Ce cours est là pour vous aider dans cet objectif. 1. Programme Le travail demandé couvre toute l année universitaire, et n est sanctionné par aucun examen. Vous aurez juste à rendre, si vous le pouvez, les devoirs demandés. Selon votre niveau, il serait bien de réussir à travailler les mathématiques comme un élève de première S, c est-à-dire environ 10 heures par semaine, tout compris. Si vous le pouvez, faites l effort de venir en tutorat, c est vraiment très efficace. Voici les différents chapitres que nous étudierons : Calculs numériques et algébriques. Équations du premier degré. Systèmes d équations. Équations du second degré. Inéquations. Généralités sur les fonctions. Dérivation. Étude de fonctions élémentaires. Repérage dans le plan, droites, vecteurs, produit scalaire. Introduction aux statistiques et aux probabilités. Ce cours est en construction. Vous allez recevoir une version provisoire des chapitres 2 à 8, qui seront remplacés au fur et à mesure, en ligne, par la dernière version retapée et améliorée. Mais cette version provisoire est d excellente qualité, et vous permet néanmoins tout à fait de vous avancer et de travailler.

2 ii D A E U B Année de remise à niveau 2. Suggestion de méthode pour étudier le cours Surtout, surtout, ne vous contentez pas de lire le cours. Les mathématiques ne se comprennent qu en faisant des exercices. Donc lisez les exemples du cours et faites les exercices! Ne regardez pas les solutions des exercices avant d avoir essayé de les résoudre. Une utilisation intelligente des exercices corrigés consiste à vérifier dans les corrigés si ce qu on a trouvé est correct. Si votre réponse n était pas bonne, essayez de comprendre où est votre erreur, puis repérez cet exercice et essayez d y revenir quelques jours après : l idéal est que la deuxième fois vous y arriviez! Si vous n arrivez pas à comprendre votre erreur, ou si vous avez des questions, n hésitez pas à m interroger lors du prochain devoir, ou à tout moment en m envoyant un courrier électronique, par exemple. 3. Devoirs Il y a un devoir à rédiger à la fin de chaque chapitre. Si vous venez en tutorat, donnez-moi votre devoir lors des séances, sinon envoyez-le au CTU qui me le fera parvenir. N hésitez pas à m envoyer des devoirs incomplets, imparfaits, ou en retard. Ils seront toujours lus, annotés, corrigés, et notés, (mais cette note éventuelle n a pas vraiment d importance). 4. MOODLE. Hélas, il est impossible d utiliser Moodle en DAEU-B. Rendez-vous sur ma page personnelle pour y trouver mon cours. L intérêt d un cours en ligne est d une part de pouvoir consulter une version interactive de mon cours (nombreux liens hypertexte envoyant aux explications, aux références...) et de mes exercices, mais aussi cela vous permet d avoir à votre disposition la dernière version de mon cours, dans lequel j intègre au fur et à mesure les corrections des erreurs que je découvre ou qu on me signale, des indications supplémentaires, des réponses aux questions qu on m a posées... et bien sûr les corrigés des devoirs. 5. Conseils N hésitez pas à me contacter surtout si vous ne pouvez pas venir en tutorat en particulier par courrier électronique pour toute question sur le cours, les devoirs ou les exercices. J apprécie beaucoup quand on me signale les nombreuses erreurs, coquilles et autres fautes d orthographe que certainement ce cours comporte encore, malgré de nombreuses relectures. Adressez vos copies, vos questions ou vos remarques sur le cours au CTU qui me les transmettra ou par courrier électronique : Dialoguer à travers les devoirs ou par courrier ou par courrier électronique ou par forum vous aidera à vous sentir moins isolés et vous évitera peut-être de perdre pied...

3 iii Bon courage! Bruno AEBISCHER

4 iv D A E U B Année de remise à niveau

5 v Table des matières I Calculs numériques et algébriques 1 I.1 Expressions ne comportant que des additions et soustraction ou que des multiplications et divisions I.1.1 Calculs sans parenthèses I.1.2 Calculs avec parenthèses I.2 Expressions avec additions (ou soustractions) et multiplications ou avec additions (ou soustractions) et divisions I.3 Fractions, rapports, quotients I.3.1 Présentation I.3.2 Égalité de fractions I.3.3 Additions et soustractions de fractions I.3.4 Multiplications de fractions I.3.5 Inverser des fractions I.3.6 Divisions de fractions I.4 Calculs sur des puissances I.4.1 Puissances à exposants positifs I.4.2 Puissances d exposants négatifs I.4.3 Règles de calcul I.4.4 Quotients de deux puissances d un même nombre I.4.5 Puissance d un produit ou d un quotient I.4.6 Puissance d une puissance I.5 Polynômes I.5.1 Monômes, polynômes, principes de base I.5.2 Factorisation de polynômes I.6 Corrigé des exercices du premier chapitre II Équations du premier degré 39 II.1 Introduction II.1.1 Définition II.1.2 Vocabulaire II.2 Règles de transformation des équations II.2.1 Illustration sur un exemple II.2.2 Règle d addition-soustraction II.2.3 Règle de multiplication-division II.3 Équations du premier degré à une inconnue II.3.1 Définition

6 vi D A E U B Année de remise à niveau II.3.2 Récapitulation II.4 Équations se ramenant à des équations du premier degré II.4.1 Équations produit sans second membre II.4.2 Équations avec des fractions où l inconnue est au dénominateur II.5 Problèmes conduisant à la résolution d équations du premier degré II.6 Corrigé des exercices du deuxième chapitre III Résolution de systèmes 61 IV Équations du second degré 63 V Inéquations 65 VI Généralités sur les fonctions. Dérivation 67 VIIÉtude de fonctions élémentaires : polynômes 69 VIIIÉtude de fonctions élémentaires : fractions rationnelles 71

7 Chapitre I Calculs numériques et algébriques Nous rappellerons dans ce chapitre les principales règles, conventions d écritures et de priorités utilisées dans les calculs usuels. I.1 Expressions ne comportant que des additions et soustraction ou que des multiplications et divisions I.1.1 Calculs sans parenthèses R1 Si, dans un calcul, il faut uniquement additionner ou soustraire, les opérations s effectuent de la gauche vers la droite après avoir changé si besoin l ordre des termes pour faciliter le calcul. Exemple 1 : calculer 24, ,3 30. on peut calculer de gauche à droite : 24,1 7 = 17,1 puis 17,1 + 5,3 = 22,4 puis 22,4 30 = 7,6 (pour faire ce dernier calcul, on peut imaginer un crédit de 22,4 suivi par un débit de 30 : il en résulte un débit de 7,6). on peut changer l ordre avant de calculer : 24, ,3 30 = 24,1 + 5, = 29,4 37 = 7,6. Exemple 2 : réduire x + 7 a 9 + x a (dans une telle écriture, la lettre a désigne n importe quel nombre ; il en est de même pour x). En changeant l ordre, on obtient x + x + a a ; or x + x = 2x. 1 De plus +a a = a a = a + a = 0. L expression donnée est donc égale, finalement, à 2x + 9. R 1 On a une règle analogue lorsqu il faut seulement multiplier ou diviser. Exemple 3 : le calcul de (qu on écrit aussi ) s effectue ainsi : 12 4 = 48 puis 48 3 = On préfère 2x plutôt que 2 x ou que 2 x ou que x 2 ; dans le même genre, on préfère écrire xy plutôt que x y ou que x y ; ainsi plutôt que a 3 + b 4 c a, on préfère en général 3a + 4b ac ; par ailleurs, 1 x ou 1x est égal à x. 1

8 2 D A E U B Année de remise à niveau I.1.2 Calculs avec parenthèses Dans certaines expressions, les calculs sont placés entre parenthèses ; ce sont des «boites à calcul» ( pour lesquelles, par commodité typographique, on ne conserverait que ) les extrémités ; la première parenthèse s appelle parenthèse ouvrante, la seconde parenthèse est la parenthèse fermante associée. Une première méthode de calcul consiste, lorsque cela est possible, à calculer dans chaque «boite» : Exemple 4 : calculer 3 (7 4) + (9 11). Reconstituons les «boites»(en pratique ce n est bien sûr pas nécessaire) : Calculons maintenant à l intérieur de chaque boite : 7 4 = 3 et 9 11 = 2. Notons que ce dernier résultat 2 doit se mettre aussi entre parenthèses. On obtient ( 2) et finalement on peut conclure : 3 (7 4) + (9 11) = 2. Une seconde méthode consiste à supprimer les parenthèses en respectant les règles énoncées ci- dessous : R2 Lorsqu une parenthèse ouvrante se trouve derrière un signe + : 1 on rétablit, s il est absent, le signe + devant le terme venant immédiatement derrière cette parenthèse ; 2 on supprime la parenthèse ouvrante et le signe qui la précède, ainsi que la parenthèse fermante associée ; on recopie l intérieur des ex-parenthèses. Exemple 5 : soit A l expression 3 + (x 2). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe +. Appliquons cette règle R2 : A = 3 + (+x 2) on rétablit le signe + devant le premier terme à l intérieur des parenthèses. A = 3 + (+x 2) les éléments marqués seront supprimés On termine en recopiant l intérieur des parenthèses : A = 3 + x 2 = x c est-à-dire A = 1 + x. Exemple 6 : soit B = y + ( 2 + y). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe +. Appliquons cette règle R2 : Ici le terme qui suit la parenthèse ouvrante possède un signe explicite ( ) : il n y a donc pas à faire la première étape. B = y + ( 2 + y) les éléments marqués seront supprimés On termine en recopiant l intérieur des parenthèses : B = y 2 + y = y + y 2 c est-à-dire B = 2y 2. R3 Lorsqu une parenthèse ouvrante se trouve derrière un signe : 1) on rétablit, s il est absent, le signe + devant le terme venant immédiatement derrière cette parenthèse ; 2) on supprime la parenthèse ouvrante et le signe qui la précède, ainsi que la parenthèse fermante associée ; on recopie l intérieur des ex-parenthèses en

9 3 changeant tous les signes + en et les signes en +. Exemple 7 : soit C = 5 (2 3y). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe. Appliquons cette règle R3 : C = 5 (+2 3y) on rétablit le signe + devant le premier terme à C = 5 (+2 3y) l intérieur des parenthèses. les éléments marqués seront supprimés ; les signes à l intérieur de la parenthèses seront changés. On obtient : C = y (le signe + qui précédait 2 a été changé en, le signe qui était devant 3y est devenu +) et donc C = 3 + 3y. Exemple 8 : soit D = 7 ( 4 + 6a). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe. Appliquons cette règle R3 ; ici le terme qui suit la parenthèse ouvrante possède un signe explicite ( ) : il n y a donc pas à faire la première étape. D = 7 ( 4 + 6a) les éléments marqués seront supprimés ; les signes à l intérieur de la parenthèses seront changés. On obtient : D = a (le signe qui précédait 4 a été changé en +, le signe + qui était devant 6a est devenu ) et donc D = 11 6a. R4 Lorsqu une parenthèse se trouve au début d une expression et n est précédée d aucun signe, on la considère comme étant précédée du signe +. Exemple 9 : Soit à calculer E = ( 7 + x) (x + 4). On écrit E = +( 7 + x) (x + 4) et on peut maintenant appliquer les règles R2 et R3 : on obtient E = +( 7 + x) (+x + 4), donc E = 7 + x x 4 = x x = 11. On a donc E = 11. Si vous avez déjà l habitude de faire des suppressions de parenthèses, vous pouvez omettre des étapes intermédiaires ; l essentiel est d obtenir la bonne réponse, peu importe le nombre de lignes de calculs! Exercice I.1 1 Calculer de deux façons : (i) en calculant dans les parenthèses ; (ii) en supprimant les parenthèses : a) a = (14 7) ( ) ; b) b = ( ) + ( ) c) c = ( 7 11) + (24 12) ; d) d = ( ) + ( 17 23). 2 Supprimer les parenthèses et réduire : e) e = (a + b) (b 5) ; f) f = a 2 (b + 2) g) g = a (3 b) + 3 ; h) h = ( a + b) + ( c + d) i) i = 9 ( 3 + x) + (x y) + ( 3 + y) ; j) j = 19 (x 13 y) + (y 13) k) k = 29 (23 x y) (x 23) ; l) l = [ (3 x) (x + 2) ] [ (x + 2) + ( x 3) ] 3 Mettre une paire de parenthèses aux endroits indiqués de telle sorte que l expression T soit inchangée (il faudra donc procéder éventuellement à certains changements de signes) : m) T = a b + 4 c (mettre la première entre + et 4 et l autre après c) ; n) T = a b + 4 c (mettre la première entre et b et l autre après 4) ;

10 4 D A E U B Année de remise à niveau o) T = a b + 4 c (mettre la première entre et a et l autre après 4). R5 Les parenthèses peuvent être emboîtées ; les «super-parenthèses» extérieures sont souvent notées par des crochets. Dans ce cas, on peut soit supprimer d abord les parenthèses intérieures avec les règles ci-dessus, les crochets devenant alors de simples parenthèses, puis on supprime ces parenthèses, soit on commence par supprimer les crochets extérieurs, en gardant les parenthèses intérieures, et en changeant s il faut le signe, puis on supprime les parenthèses intérieures, toujours en appliquant correctement les règles. Exemple 10 : Supprimer les parenthèses et les crochets pour réduire e = 1 [ a (1 b + a) ]. Désignons par k l expression entre les crochets : k = a (1 b + a) ; supprimons les parenthèses dans k : k = a 1 + b a = a a 1 + b = 1 + b. On reporte alors cette expression de k simplifiée dans e : e = 1 ( 1 + b) (les crochets peuvent devenir de simples parenthèses). Supprimons les parenthèses pour terminer : e = b, soit finalement e = 2 b. L autre méthode se serait déroulée ainsi : e = 1 [ a (1 b + a) ] = 1 a + (1 b a) (en supprimant le crochet, précédé du signe, on change les signes intérieurs), e = 1 a + 1 b + a = a + a b = 2 b. On trouve le même résultat, en général plus rapidement, avec cette seconde méthode. Exercice I.2 Supprimer les parenthèses et les crochets, et réduire les expressions suivantes : 1 n = a [ (1 c) + 1 ] ; 2 w = [ (b 1) c ] 1 ; 3 v = [ (a c) (a b) ] [ (b c) (a + c) ]. I.2 Expressions avec additions (ou soustractions) et multiplications ou avec additions (ou soustractions) et divisions R6 Règle dite de priorité (première version) : En l absence de parenthèses, on effectue en priorité les multiplications et divisions puis ensuite les additions et soustractions. Exemple 11 : calculer On effectue d abord 5 7 = 35, puis en suite = 38. On a donc : = 38. C est la dernière opération à effectuer qui donne la «nature»de l expression : ainsi est une somme. Remarquons que l expression ne serait pas changée si on l écrivait 3+(5 7) mais les parenthèses sont superflues quand on connaît la règle de priorité R6. calculer , puis 3 (2 + 4) 8, puis ( ) 8. Nous faisons ici une rédaction courte : = = 38 ; cette expression est donc une somme.

11 5 3 (2 + 4) 8 = = 18 8 = 144 ; cette expression est un produit. ( ) 8 = (6 + 4) 8 = 10 8 = 80 ; cette expression est aussi un produit. calculer puis (12 3 8) 2. On a = 4 4 = 0 (on effectue d abord les divisions) ; cette expression est donc une différence. (12 3 8) 2 = (4 8) 2 = ( 4) 2 = 2 ; cette expression est un quotient. Remarques (i) s écrit aussi classiquement De même, (12 3 8) 2 s écrit (ii) pour le calcul de ( 4) 2, rappelons que le quotient de deux nombres est un nombre dont la partie numérique est le rapport des parties numériques, et dont le signe est + si les deux nombres sont de même signe, et sinon (c est la même règle des signes que pour le signe d un produit). Exercice I.3 1 Calculer 3x 7 quand a) x = 5 (ceci signifie que l on attribue à x la valeur 5) puis b) quand x = 4 et enfin c) quand x = 0. 2 Calculer 5x 4y quand a) x = 4 et y = 3, puis b) quand x = 2 et y = 5. R7 Règle de distribution : Introduction A x E 2 B L aire du rectangle ABCD peut se calculer de plusieurs façons : AD AB = 3 (x + 2) ; ou en ajoutant les aires des rectangles AEF D 3 et EBCF : D F C AE AD + EB BC = 3 x On a donc : 3 (x + 2) = 3 x + 3 2, soit 3(x + 2) = 3x + 6. On dit que la multiplication par 3 est distribuée à chacun des termes de la somme x + 2 : 3(x + 2) = 3 (x + 2) = 3 x = 3x + 6. Lorsqu on procède ainsi, on dit qu on développe le produit 3(x + 2) : on transforme ce produit en une somme 3x + 6. Généralisation Pour n importe quelles expressions désignées par k, u et v, on a : k(u + v) = ku + kv et k(u v) = ku kv Une façon plus visuelle de se représenter cette règle est d utiliser des «boites» : ( + ) = +

12 6 D A E U B Année de remise à niveau Ces symboles (ovale, rond, carré) sont des boites vides ; dans chaque forme de boite, on met toujours la même expression (le signe de multiplication est à adapter selon les cas). Ainsi, si on veut développer le produit 7(a + 5), on pourra écrire : ( 7 a + 5 Ainsi on a 7(a + 5) = 7a ) = 7 a + 7 5! La présentation avec des boites n est à utiliser éventuellement qu au brouillon. Exemple 12 : Développer et réduire si possible E = 2(a + 3) 5(b 4). Cette expression est une différence, car, règle de priorité oblige, on calcule d abord les produits avant de faire la soustraction. Ainsi, on ne changerait pas la valeur de l expression si on mettait des crochets ainsi : [ 2(a + 3) ] [ 5(b 4) ]. Développons les produits : 2(a + 3) = 2 a = 2a + 6 ; 5(b 4) = 5 b 5 4 = 5b 20. Donc E = (2a + 6) (5b 20) = 2a + 6 5b + 20 et finalement E = 2a 5b Exercice I.4 Développer et réduire si possible : 1 A = 3(x + 5) 4(x 2) ; 2 B = (2x + 1) + 10(5 + 3x) ; 3 C = 3(3 a) 4(3 b) ; 4 D = (2a 3) 2( 5 + b). R8 Double distribution (cette règle est une application répétée de la règle 7). Introduction Soit à développer le produit (x + 2)(y + 3). Appliquons la méthode des boites : ( x + 2 y + 3 ) = x + 2 y + x Mais on a vu qu on a (x + 2)y = xy + 2y et aussi (x + 2)3 = 3x + 6, d où : (x + 2)(y + 3) = xy + 3x + 2y + 6 ; on observe qu on a multiplié chaque terme de x + 2 par chaque terme de y +3 et qu on a ajouté les résultats obtenus. On dit aussi, dans ce cas, qu on a développé le produit. Généralisation : On a les égalités (a + b)(u + v) = au + av + bu + bv (a + b)(u v) = au av + bu bv (a b)(u + v) = au + av bu bv (a b)(u v) = au av bu + bv Heureusement, il n est nullement besoin de mémoriser toutes ces formules : il suffit de connaître leur fonctionnement : On multiplie chaque terme de la première somme par chaque terme de la seconde somme ; si les deux termes sont précédés du même signe, leur produit est précédé du signe + ; sinon, leur produit est précédé du signe. Cette règle s applique aussi lorsque l une ou l autre des sommes concernées ont plus de deux termes.

13 7 Exemple 13 : Développer P = (2a 5)(3b + 4). Commençons par écrire tous les produits possibles de termes de la première somme par des termes de la deuxième somme : 2a 3b, 5 3b, 2a 4 et 5 4. Installons devant chaque produit le signe qui convient : devant 2a 3b, il faut un signe +, car 2a et 3b sont précédés d un + (en fait ces + sont «invisibles» : ils sont implicites, mais on pourrait les rajouter et écrire P = (+2a 5)(+3b + 4) ;) devant 5 3b, il faut un signe car 5 est précédé de et 3b est précédé de + (c est la règle des signes : + = ) devant 2a 4, il faut un signe + car 2a et 4 sont tous les deux précédés de + ; devant 5 4, il faut un signe car 5 est précédé de et 4 est précédé de +. Par ailleurs, souvenons-nous que 2a 3b = 2 a 3 b = 2 3 a b = 6ab ; de même, on a 5 3b = 15b et 2a 4 = 8a, donc : P = 6ab 15b + 8a 20 ; il n est guère possible de réduire mieux que ça. Développer Q = ( x y + 2)(a b). Les produits sont ax, bx, ay, by, 2a et 2b ; installons les signes en respectant la règle des signes : Q = ax + bx ay + by + 2a 2b. Remarquons qu on a écrit ax au lieu de xa, etc. L usage est en effet d écrire les produits de lettres en respectant l ordre alphabétique, ceci permet de regrouper les produits analogues plus facilement. Bien sûr, avec l habitude, vous arriverez à écrire directement le résultat développé. Exercice I.5 Développer et réduire si possible : 1 A = (x 3)( 4y + 7) ; 3 K = (x + 2)(a 3) (x 2)(a + 3) (ax + 6) 2 B = (2t + 1)(5u 4) ; 4 L = 5 [ x + 3(y 2) ] 2 [ x + 5(y 3) ]. I.3 Fractions, rapports, quotients I.3.1 Exemples Présentation Nous avons déjà signalé dans la partie I.1.1 que le nombre 12 3 s écrit aussi 12 3 On écrira ainsi 12 = 4 ou 9 = 4,5. On dit que 12 est une écriture fractionnaire de 4 et que est une écriture fractionnaire de 4,5 ; 9 est une fraction, le nombre qui se trouve «au dessus» 2 de la barre (le «trait de fraction») est le numérateur, le nombre qui se trouve sous le trait de fraction est le dénominateur. Lorsqu on divise un entier par un autre entier, deux cas peuvent se présenter : La division «se termine» : c est par exemple le cas pour = 0,75 pour = 2,325 6 ou pour = 1,875 ( 15 s écrit aussi 15) Dans ces exemples, lorsqu on pose la division et qu on la prolonge éventuellement «après la virgule», à un certain moment le reste devient nul, et la division s arrête. On dit dans ce cas que la fraction que l on calcule représente un décimal. La division continue indéfiniment : examinons le cas de la fraction 22 ; la division de 22 par 7 7 s écrit :

14 8 D A E U B Année de remise à niveau , En observant les restes successifs, on devine qu ils se répètent indéfiniment dans l ordre 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2... et on ne trouvera donc jamais de reste nul. Pour ce qui concerne le quotient, il y aura donc répétition à l infini de séquences On ne peut donc pas trouver de valeur décimale exacte pour 22, 7 seulement des valeurs approchées avec une précision aussi grande 30 que l on veut. On pourra par exemple écrire 22 3,14 ou aussi , Notons au passage que cette fraction 22 est une valeur approchée historique du célèbre nombre 7 π qui intervient dans les calculs de longueur d un cercle et de surface d un disque ; cependant il a été démontré que π n est pas un nombre qui peut se mettre sous la forme d une fraction (on a donc en particulier π 22). 7 Généralisation a et b étant deux nombres, si en plus on suppose que b est non nul (c est-à-dire que b est différent de zéro), alors on définit la fraction a comme étant le rapport de a à b, ou le quotient de a par b b. On lit cette fraction en général «a sur b» ; en général on considère surtout des fractions d entiers, mais ce n est pas obligatoire. a est le numérateur, b est le dénominateur de la fraction a b On peut trouver des valeurs approchées (ou parfois la valeur exacte) de a en faisant la division b de a par b. Résultats «évidents» Pour n importe quelle valeur de a, on a toujours : a 1 = a ; a a = 1 ; 0 a = 0. (ces deux dernières formules ne sont valables que si a est non nul). Attention! On ne doit jamais diviser par zéro. C est toujours une erreur d écrire une fraction dont le dénominateur est nul. I.3.2 Égalité de fractions R9 Soit F = a une fraction ; on obtient une fraction qui représente le même nombre b (ou, qui lui est égale, si on préfère) en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur de F par le même nombre non nul. Cette règle permet d obtenir d autres écritures, si possible plus simples. pour un nombre écrit sous forme de fraction. Exemples 14 : Soit F = 1,8 ; en multipliant le numérateur et le dénominateur par 10, on obtient que 4,2 F = 1,8 4,2 = 18 42

15 9 Maintenant on peut diviser par 6 le numérateur et le dénominateur de la fraction qu on vient d obtenir (qui est toujours égale à F ) ; on obtient F = 1,8 4,2 = = 3 7 Cette technique est à utiliser pour simplifier des fractions comme ce que l on vient de faire : = = = = Souvent, on se permet de barrer les termes que l on va supprimer à l étape suivante. Personnellement, je n aime pas beaucoup, mais si vous avez besoin de barrer, essayez de le faire proprement. Par exemple, on pourrait écrire, pour le calcul précédent : \ = \ = \ = \ = Cette dernière fraction, 14 ne peut plus être simplifiée, on dit qu elle est irréductible. 11 On peut aussi utiliser cette méthode pour obtenir des fractions de même dénominateur (on pourrait aussi obtenir des fractions de même numérateur, mais en pratique c est beaucoup moins intéressants. Considérons les fractions 4 et 3 ; on souhaiterait, par exemple pour savoir celle qui représente 7 5 le plus grand nombre sans faire la division, obtenir des fractions égales, mais ayant le même dénominateur. On écrit 4 7 = = et 3 5 = = On a ainsi réduit au même dénominateur les fractions 4 et 3. Puisque 4 = 20 < 21 = 3, on peut affirmer que 4 est plus petite que 3 (on pourrait, en faisant les divisions, confirmer ces résultats : 7 5 on trouve 4 0,571 < 0,6 = 3). 7 5 Cette technique de réduction au même dénominateur sera aussi utilisée au suivant pour additionner ou soustraire des fractions. I.3.3 Additions et soustractions de fractions R10 Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, il suffit d additionner ou soustraire les numérateurs, en gardant ce dénominateur commun pour le résultat. 3 Par exemple : = = D une façon générale, on a (pour a, b quelconques, et d un nombre non nul) : a d + b d = a + b d a d b d = a b d Notons bien qu on ne peut additionner ou soustraire que des fractions de même dénominateur. Et si deux fractions n ont pas le même dénominateur? Et bien dans ce cas, on commence par appliquer la règle R9 pour réduire ces fractions au même dénominateur, comme expliqué ci-dessus.

16 10 D A E U B Année de remise à niveau Exemples 15 : Calculer Ces fractions ayant le même dénominateur, il suffit d additionner leurs numérateurs. On a donc = Calculer = 24 7 : ici aussi, il suffit de soustraire les numérateurs = = 7 ; notons que cette dernière fraction n est pas irréductible : on peut «simplifier par 7» ; mais nous allons voir ici le danger de «barrer». On risque un grosse erreur en écrivant 7 21 = 7\ 3 7\ = En effet, que mettre à la place du 7 barré au numérateur? Certainement pas «rien» : la fraction sans numérateur 3 n aurait aucun sens! 7 Il est donc plus sage d écrire : 21 = = 1 7\ 3 7\ = 1 3 Finalement, on a prouvé que = 1 3 (cette fois on pouvait barrer sans danger) Soit b un nombre non nul ; calculer 23 b + 18 ; ces fractions ont le même dénominateur, donc on a b tout simplement : 23 b + 18 b = b = 41 b Calculer a 5 + b 5 c (a, b, c sont des nombres quelconques). Comme ces trois fractions ont le même 5 dénominateur, on écrit simplement : a 5 + b 5 c 5 = a + b c 5 Écrire sous forme d une fraction d entiers la différence : 9,9 14 1,5 14 Ici encore, on remarque le dénominateur commun aux deux fractions qu il faut soustraire, donc on écrit simplement : 9,9 14 1,5 9,9 1,5 = = 8,4 ; le travail n est pas terminé, car il est demandé d écrire le résultat comme une fraction d entiers, et ici le numérateur n est pas un entier. Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par 10 pour obtenir ce que l on veut : 8,4 8,4 10 = = 84 ; cette fois, le résultat est bien une fraction d entier, et on a tout à fait le 140 droit de s arrêter là et de conclure : 9,7 14 1,5 14 = Les mathématiciens aiment bien en général présenter leurs résultats sous forme d une fraction irréductible, mais ce n est pas obligatoire. Nous allons quand même simplifier cette dernière fraction = = = = = = 3 5 Finalement, on a prouvé : 9,7 14 1,5 14 = 3 5 Calculer ; ici, les fractions n ont pas le même dénominateur. Nous allons commencer par les 5 réduire au même dénominateur, ensuite nous pourrons les additionner. Le dénominateur commun qu il est logique de choisir est 3 5 = 5 3 = 15. En fait ce n est pas le seul : voici le début de la liste des multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,...

17 11 voici la liste des multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,... On s aperçoit que 15 est bien un multiple commun de 3 et de 5 (c est le plus petit multiple commun, qu on abrège en ppcm), mais 30 est aussi un multiple commun, ainsi que, plus loin, 45 et 60 (en fait il y a une infinité de multiples communs). On pourrait travailler avec n importe quel multiple commun de 3 et de 5, mais c est avec le ppcm que les calculs sont les plus faciles. On écrit = = = Si on avait utilisé (maladroitement) le multiple commun 30 comme dénominateur commun, il suffisait d écrire 30 = 3 10 = 5 6 et on obtenait : = = = ; ce résultat est juste, mais la fraction 38 reste à simplifier (par 2), pour retrouver alors le même 30 résultat. Calculer a 4 b 6 Cherchons un multiple commun de 4 et de 6, en écrivant les multiples de ces deux nombres : multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24,... multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30,... Choisissons le ppcm de 4 et de 6 : c est 12 = 4 3 = 6 2. On a donc a 4 b 6 = a b = 3a 12 2b 3a 2b = On ne peut guère pousser plus loin le calcul. Calculer Pour pouvoir appliquer la règle R10, il faut écrire 5 comme une fraction, ce qui est toujours possible puisque 5 = 1 5 on peut ensuite réduire au même dénominateur comme on l a fait plus haut. Donc = = = = = 4 7 = 4 7 Remarque : on a vu que a + b = a d d + b ; cela signifie que pour diviser une somme par un d nombre, il faut diviser tous les termes de la somme par ce nombre. Exercice I.6 Écrire sous forme d une fraction (si possible simplifiée au maximum) chacune des expressions suivantes : 1 a = e = b = f = c = g = 5 b + 5 2b 4 d = h = a 6 b 10 9 i = 2a 3 3x 4 10 j = 3 2b 2 3b 11 k = 2 x + 3 y 12 l = I.3.4 Multiplications de fractions R11 Le produit de deux fractions est une fraction dont le numérateur est égal au produit des numérateurs, et dont le dénominateur est égal au produit des dénominateurs.

18 12 D A E U B Année de remise à niveau En d autres termes, pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs et on multiplie les dénominateurs. Donc si b et d sont des nombres non nuls, pour tous nombres a et c, on a : a b c d = a c b d = ac bd Notons que si des signes apparaissent dans un calcul de produits de fractions, on détermine d abord le signe du résultat en application de la règle des signes, et ensuite on s occupe des autres calculs. Exemples 16 : Calculer a = 4 ( 5 7 ). 3 Il y a un seul signe, donc le résultat sera négatif, et pour le reste, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs : a = = Calculer et réduire b = Pas de problème de signe, tout est positif. b = 8 3 ; il faut toujours essayer de voir si on peut simplifier avant d effectuer les multiplications 3 14 des numérateurs et dénominateurs : il serait particulièrement maladroit (mais pas faux), d écrire maintenant b = 24, car on aurait maintenant plus de mal à simplifier, alors qu on devrait écrire 42 directement : b = 8 3\ 3\ 14 = 8 14 = = 4 7 Calculer a b c Pour pouvoir appliquer la règle R15, il suffit de penser à écrire a sous la forme a = a ; 1 a b c = a 1 b c = a b 1 c = ab c Une remarque concernant ce dernier calcul : nous avons montré que a b = a b ; on montrerait c c de même que a c b = a b c En d autres termes, on peut retenir que pour diviser un produit par un nombre, il ne faut diviser qu un seul des facteurs du produit par ce nombre. On peut choisir n importe quel facteur, mais contrairement au cas d une somme, on ne doit surtout pas diviser tous les facteurs. Le non-respect de cette règle est la cause de nombreuses erreurs en calcul. Par exemple, si on rencontre la fraction 4x 2, on pourra écrire 4x 2 = 4 2 x = 2x. Pour illustrer la différence entre ce qu on doit faire lorsqu on divise une somme et lorsqu on divise un produit : 4x + 6y = 4x y (on divise tous les termes de la somme) 2 = 4 2 x + 6 y = 2x + 3y (on n a divisé qu un seul des deux facteurs de 4x et un seul 2 des deux facteurs de 6y). Calculer A = a x On écrit a sous forme de fraction a = a, donc : 1

19 13 A = a 1 x + 5 = a x + 5 = 2a 2 2 x + 5 ; avant de continuer, une remarque très importante : 2 normalement, la division a priorité sur l addition ; mais dans x+5, c est la somme x + 5 qui est 2 divisée par 2, donc il faut procéder comme si cette somme était entourée de parenthèses (l oubli des parenthèses est une erreur fréquente dans ce genre de situation). A = 2a (x + 5) 2a (x + 5) = = 2a x Ceci est l expression de A sous forme d une fraction, mais dans certains cas, on préfère écrire une telle expression sous forme d une somme. Si c est le cas, on divise tous les termes par 2, de sorte qu on a : A = 2a 2 x = a x Exercice I.7 Calculer( et réduire au maximum les nombres suivants : 1 A = 2 1 ) ( ) ( 1 20 ; 2 B = 2 2 ) ( ) ,2. I.3.5 Inverser des fractions On dit que deux nombres sont inverses l un de l autre lorsque leur produit vaut 1. Comme on a a b b a = ab = 1, on peut en déduire le principe suivant : ba L inverse de la fraction a b est la fraction b a On retient donc que pour inverser une fraction, il suffit d échanger le numérateur et le dénominateur. Par exemple, l inverse de 2 est la fraction 3 ; l inverse de 7 est 5 ; l inverse du nombre non nul x est, puisqu on peut écrire x = x, le nombre 1 1 x Une conséquence spectaculaire de ce dernier résultat s obtient en l appliquant à une fraction x = a : on peut écrire l inverse b de cette fraction aussi sous la forme 1 b a x = 1 a b On a donc 1 a b = b a allons approfondir au suivant. I.3.6 C est le début des règles de calcul sur les «fractions à étages» que nous Divisions de fractions R12 Pour diviser un nombre x par un nombre non nul y, il suffit de multiplier x par 1 y En effet, on a x y = x 1 1 y = x 1 1 y = x 1 y On peut appliquer cette règle lorsque x et y sont des fractions : Pour diviser par une fraction, il suffit de multiplier par son inverse. En particulier, on a, lorsque b, c, d sont trois nombres non nuls : a b c d = a b d c

20 14 D A E U B Année de remise à niveau De même, si on veut calculer (bien sûr pour b, c non nuls) la fraction à étages : diviser a b par c, donc de multiplier par son inverse. On a donc : a b c, il s agit de De la même façon, voici le calcul de donc qu on multiplie par son inverse : a b c = a b 1 c = a 1 b c = a bc a c d, en considérant bien qu on divise a par la fraction c d, a c d = a d c = a 1 d c = a d 1 c = ad c Une dernière remarque : lorsqu on écrit à la main une fraction à étages, il faut être très attentif a à savoir se faire lire correctement : par exemple, une fraction écrite b c est incompréhensible! S agit-il de a b c ou de a b c ligne du texte, et surtout de l allonger : évitez? Il faut essayer de mettre le trait de fraction principal au milieu de la a b ou même a b c d en écriture manuscrite, allongez c, a b c bien le trait de fraction principal, car vous ne pourrez pas facilement «diminuer la police de caractères», comme avec un traitement de texte scientifique. Exercice I.8 Calculer et réduire au maximum les expression suivantes : 1 a = d = b = e = a 2 3 2a 5 3 c = f = I.4 Calculs sur des puissances I.4.1 Puissances à exposants positifs Introduction géométrique Considérons un carré dont la mesure de la longueur d un côté est le réel a ; l aire de ce carré est a a. On note ce produit de a par lui-même a 2 (on lit «a exposant 2»ou encore «a au carré»ou «a puissance 2»). On dit que a 2 est une puissance de a. Considérons maintenant un cube de côté a ; son volume est a a a. On note se produit de a par lui-même et encore une fois par lui-même a 3 (on lit «a exposant 3»ou encore «a au cube»ou «a puissance 3»). a 3 est aussi une puissance de a.

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