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1 par un nombre entier I La division euclidienne : le quotient est entier Faire l activité division. Exemple Sur une étagère de 4mm de large, combien peut on ranger de livres de mm d épaisseur? La question est : dans 4 combien de fois. L opération est donc la division. Le dividende 4 9 Le diviseur Le quotient 7 Le reste Le reste doit être inférieur au diviseur ici < On se dit (tout haut ou dans sa tête) : Dans 4 combien de fois? réponse fois. est le premier chiffre du quotient. x = ôté de 4 égal à (ou 4 =) On abaisse le zéro Dans combien de fois? réponse 9 fois. 9 est le ème chiffre du quotient. 9 x = 7 ôté de égal à (ou 7 = ) La réponse est : on peut ranger 9 livres et qu il restera mm d espace. La situation peut se schématiser ainsi AB est la largeur de l étagère soit 4mm. mm mm mm mm. 4mm mm C est l espace qui reste il y a 9 fois mm dans 4mm La division peut s écrire en ligne ainsi 4 = ( x 9) + Et plus généralement Dividende = (diviseur x quotient) + reste. Exemple Le CDI dispose de 6 pour acheter des dictionnaires qui coutent 6 l un. Combien peutil en acheter? On se pose la question : combien de fois 6 dans 6 et on pose une division.

2 6 6 En ligne 6 = (6 x ) + La réponse est : on peut acheter dictionnaires et tout l argent a été dépensé car le reste est égal à On dit que la division «tombe juste». Le reste étant nul, on peut dire les phrases suivantes 6 est un multiple de 6 6 = 6 x 6 est divisible par 6 6 : 6 = 6 est un diviseur de 6. Critères de divisibilité. Par exemple, tous les nombres de la table de sont divisibles par (,6,9,, ) De même tous les nombres de la table de 7 sont divisibles par 7 (7,4,,,.) Pour des nombres plus grands, on peut reconnaître facilement qu ils sont divisibles par,, ou 9 sans poser la division. Voici les règles : Un nombre entier est divisible par s il se termine par,, 4, 6 ou Un nombre entier est divisible par s il se termine par ou 6 est divisible par car il est se termine par est divisible par car il se termine par. 97 est divisible par et par car il se termine par. 77 est divisible par car il se termine par. 7 n est pas divisible par ni par à cause de sa terminaison 7 Un nombre est divisible par si la somme de ses chiffres est divisible par Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 On doit donc faire une addition avec tous les chiffres du nombre. Les nombres suivants sont ils divisibles par ou 9?, 99, 47, 67 Pour, on calcule + + = 6 qui est dans la table de donc divisible par. est divisible par (ce qui veut dire que la division : va tomber juste). Pour 99, = 7 (mais on peut ignorer les 9 et faire + = 9) 99 est divisible par et par 9 car la somme 7 (ou 9) est dans les tables de et de 9 Pour 47, = 6 n est pas dans la table de ni de n est pas divisible par ni par 9 Pour 67, = est divisible par et par 9 67 est divisible par et par 9 4. Exercices : Trouver les chiffres manquants sachant que le nombre 4.. est divisible par et par 9. (Il y a possibilités) Avec uniquement les touches + x et : de la calculatrice, retrouver le reste de la division de 4 par

3 Dans une division par 7, quels sont les restes possibles?. Exercices résolus : Retrouver les nombres manquants dans ces divisions. Ils sont remplacés par une lettre. a 7 9 Il manque le dividende (lettre a) et on sait que dividende = (diviseur x quotient) + reste On peut donc calculer a = (7 x 9) + a = 6 + = 66. Le dividende manquant est 66 9 b 7 On peut retenir que Il manque le diviseur (lettre b). La division en ligne peut s écrire 9 = b x 7 9 est donc un multiple de 7 et 9 : 7 = b b = 9 : 7 =. Le diviseur manquant est Si le reste d une division est alors diviseur = dividende : quotient 4 b Pour que le reste soit comme dans l exemple précédent, il faut enlever au dividende donc 4 = 6 et la division devient On termine comme précédemment 6 b b = 6 : = Vérification : 4 6 On peut retenir que Pour toutes les divisions euclidiennes diviseur = (dividende reste) : quotient III La division décimale : le quotient n est pas entier. Exemple : On a payé 4 pour un lot de chaises. Quel est le prix d une chaise? On se dit qu il faut partager 4 en parts égales puisque les chaises ont le même prix. C est la division de 4 par. On commence la division comme dans les exemples précédents mais la réponse 9 ne convient pas car il reste. On place une virgule au dividende et au quotient et on continue la division

4 4, 7 4 9, 4 La division en ligne s écrit 4 = x 9, ou 4 : = 9, 9, est le quotient décimal exact de 4 par. Chaque chaise coûte 9,. Exemple : Une ficelle de,m est partagée en 6 morceaux de la même longueur. Quelle est la longueur de chaque morceau? On fait le partage de, en 6 parts égales d où la division :, 6,.. On s aperçoit qu en abaissant des, il y a toujours le même reste. Cette division ne tombe jamais juste., est le quotient décimal approché de, par 6 et on peut écrire, : 6, Chaque morceau de ficelle mesure environ,m ou,m ou,m IV Encadrementarronditroncature Appelons q le quotient de 7 par 7, 7, 9 On a q,. On voit qu il y a toujours les mêmes restes, tantôt tantôt 9 et que cette division ne se termine jamais. 9 Lorsqu un quotient n est pas exact, il y a plusieurs façons d exprimer sa valeur décimale approchée : par un encadrement par un arrondi par une troncature

5 Nombre entier q, Encadrement Arrondi Troncature Quotient à l unité près < q < 6 Quotient au dixième près, < q <,,, chiffre après la virgule Quotient au centième près, < q <,9,, chiffres après la virgule quotient par défaut quotient par excès On lit q est compris entre. et. On a coupé les chiffres qui dépassent : tronquer = couper C est le quotient le plus proche

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