Chapitre 10 Arithmétique réelle

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1 Chapitre 10 Arithmétique réelle Jean Privat Université du Québec à Montréal INF2170 Organisation des ordinateurs et assembleur Automne 2013 Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

2 Plan 1 Arithmétique informatique 2 Norme IEEE Valeurs spéciales IEEE Perte de précision Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

3 Plan 1 Arithmétique informatique 2 Norme IEEE Valeurs spéciales IEEE Perte de précision Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

4 Binaire rationnels Nombres à virgule Avant la virgule : des puissances positives de la base Après la virgule : des puissances négatives Exemples 10, = , 01 2 = Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

5 Représentation des nombres Entiers Entiers en point fixe Signés ou non signés Flottants La place de la virgule n est pas fixe Autres Binaire codé décimal (historique) Gros entiers (langages évoluées, logiciels spécialisés) Représentation symbolique (idem) Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

6 Représentation des flottants Forme décimale des rationnels Un signe Une partie entière Une partie fractionnaire Exemple : 12.9, , Forme normalisée Un signe La partie entière est nulle Une partie fractionnaire dont le premier chiffre 0 Une puissance de la base Exemples : , , Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

7 Plan 1 Arithmétique informatique 2 Norme IEEE Valeurs spéciales IEEE Perte de précision Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

8 Norme IEEE 754 Forme normalisés en base 2 Forme normalisé selon 1.f 2 e f est la partie fractionnaire (ou mantisse) e est l exposant de la puissance de 2 Attention Le premier 1 n est pas stocké mais est présent Un bit supplémentaire stocke le signe (pas de représentation en complément) Deux représentations : simple précision et double précision Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

9 Simple précision (32 bits) Signe (1 bit) 0 = positif 1 = négatif Exposant (8 bits) et FF 16 : spécial (plus tard) à FE 16 : à F 16 : 2 0 = 1 (on appelle ça le pôle) Mantisse (23 bits) Représentation traditionnelle Ne pas oublier le «1,» implicite devant Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

10 Décimal vers simple précision Exemple = = Soit Exercices Convertir Convertir 0.2 Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

11 Simple précision vers décimal Exemple signe = 0 positif exposant = = 3 mantisse = résultat = = = Exercice Convertir Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

12 Plan 1 Arithmétique informatique 2 Norme IEEE Valeurs spéciales IEEE Perte de précision Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

13 Valeurs spéciales Cas particuliers Zéro Valeurs négatives trop petites Valeurs négatives trop proches de zéro Valeurs positives trop grandes Valeurs positives trop proches de zéro Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

14 Valeur zéro Pas de représentation normalisée On ne peut écrire 0 avec un "1," implicite Représentation dénormalisée Si la mantisse et l exposant sont tous à zéro, le nombre vaut zéro Deux zéro +0 et -0 ont des représentations différentes Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

15 Infini Utilisé pour les valeurs extrêmes Mantisse à 0 Exposant à FF 16 Le signe indique + ou Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

16 Nombres dénormalisés Nombres proches de 0 La mantisse n a plus un "1," implicite mais un "0," L exposant est à (vaut ) Exemple vaut +0, (soit 2 149, de l ordre de ) Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

17 Pas des nombres NaN (not a number) Représente des résultats erronées Racine carré d un négatif Codage Signe quelconque Exposant à FF 16 Mantisse 0 Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

18 Table récapitulative Type Exposant Mantisse Zéros 0 0 Dénormalisés 0 0 Normalisés à FE 16 libre Infinis FF 16 0 NaN FF 16 0 Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

19 Double précision (64 bits) Pareil mais plus grand Signe : 1 bit Exposant : 11 bits Pôle : 1023 (3FF 16 ) Mantisse : 52 bits Aujourd hui Personne n utilise les simple précision (float) Tout le monde utilise des double précision (double) Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

20 Plan 1 Arithmétique informatique 2 Norme IEEE Valeurs spéciales IEEE Perte de précision Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

21 Perte de précision Problème On ne peut représenter tous les rationnels Il y a donc des valeurs non représentables Contrairement aux entiers, ces valeurs ne sont pas qu aux extrémitées Travailler avec des flottants Savoir que les flottants ne sont pas précis Savoir comment minimiser l impact de cette imprécision Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

22 Représentation infinie Rationnels infinis Certains rationnels ont une représentation finie en décimal mais infinie en binaire Exemple : Tronquage On tronque la mantisse Exemple : 0.2 sera représenté par Cette perte d information se combine =? Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

23 Valeurs incommensurables Les gros mangent les petits Additionner (soustraire) deux flottants de magnitudes très différentes n est pas une bonne idée Exemple 1E15 + 1E-15 =? Solution Traiter les nombres par groupe de magnitude Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

24 Comparaison Comparer c est se tromper La comparer par l égalité de deux flottants n est pas robuste == 0? Solution Comparer les distance Math.abs( ) < epsilon où epsilon est une constante (petite) sémantique au programme Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

25 Variations architecturales Processeurs Des processeurs ne respectent pas IEEE 754 Exemple : les processeurs Intel stockent les flottants sur 80 bits (plus de précision) Effet En fonction du processeur, un programme peut avoir des résultats différents Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

26 Utiliser la bonne représentation Entiers exacts Utiliser des entiers processeur si les entiers sont petits Utiliser des bibliothèques si les entiers sont grands Décimaux exacts Utiliser des entiers aussi Exemple : stocker les prix en cents avec un entier Décimaux larges Utiliser des doubles Prudence vis-à-vis de la perte de précision Ne faire confiance à personne Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne / 26

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