Proposition de programmes de calculs en mise en train

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1 Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve. Programme 2 : Je choisis un nombre Je lui ajoute 3 Je multiplie le résultat par 5 je soustrais le nombre choisi Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 35, si j'obtiens 25, si j'obtiens 28? Programme 3 : Je choisis un nombre commun pour les deux programmes Programme A : je le multiplie par 2 puis j'ajoute 1 Je calcule le carré du résultat Programme B Je le multiplie par 2 puis j'ajoute 3 Je calcule le carré du résultat Je soustrais 8 et huit fois le nombre de départ. Essai-conjecture-preuve Programme 4 : Je choisis un nombre Je le multiplie par 3 J'ajoute 5 au résultat Je choisis un nombre Je lui ajoute 5 Je multiplie le résultat par 3 Tester ce programme pour plusieurs valeurs, que peut-on remarquer? Ou : Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 24, si j'obtiens 26? Programme 5 : - on choisit trois nombres consécutifs - on calcule le carré de celui du milieu - on lui soustrait le produit du plus petit par le plus grand. Essai-conjecture-preuve

2 Programme 6 : Effectue le produit de 3 nombres consécutifs, que remarques tu? Prouve le. Programme 7 : Choisis un nombre entier, multiplie le par son suivant puis retranche au résultat le nombre choisi au départ, que remarques-tu? Prouve le. Programme 8 : On choisit trois nombres consécutifs, on calcule le carré du plus grand et le carré du plus petit, on calcule la différence des deux carrés. Essai-conjecture-preuve Programme 9 : Trouver x tel que si je le multiplie par 5 et que j'ajoute 2, je trouve le même résultat que si je le multiplie par 3 et que j'ajoute 6 (solution entière, trouvée souvent par tâtonnement) Programme 10 : Trouver x tel que si je le multiplie par 6 et que j'ajoute 5, je trouve le même résultat que si je le multiplie par 3 et que j'ajoute 7 (solution fractionnaire nécessitant d'avoir mis au point des stratégies) Programme 11 : Trouver x tel que si je le multiplie par 5 et que j'ajoute 5, je trouve le même résultat que si je le multiplie par 2 et que j'ajoute 7 (solution id. à la précédente, remarquer une relation entre les équations) Programme 12 : Je cherche le nombre qui lorsqu'on le multiple par 5 et qu'on ajoute 21 au résultat donne le même résultat que lorsqu'on le multiplie par 3 et qu'on ajoute 7 au résultat. Programme 13 : Nina et Nino choisissent un nombre, Nina lui ajoute 3 et multiplie le résultat par 5 et Nino le multiplie par 6 et retranche 10. Ils trouvent le même résultat. Quel est ce nombre? Ou avec la procédure calculette : Nina et Nino ont chacun une calculatrice. Ils ont «tapé» le même nombre. Ensuite, Nina a appuyé sur les touches : + 3 = X 5 = et, Nino a appuyé sur les touches : X 6 10 = Surprise! Ils obtiennent aussi le même résultat! Quel nombre ont-ils bien pu choisir?

3 Programme 14 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 4, je multiplie le résultat par 5 puis je retranche 20.Calculer le résultat obtenu. Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 25, 12? Programme 15 : Choisir deux nombres quelconques Calculer la somme de leurs carrés Ajouter au résultat le double du produit des nombres de départ essai-conjecture-preuve (on peut proposer 6,1 et 0,9 ; ou 4 et 3 ; ou 1,6 et 3,4) Programme 16 : choisir un nombre ajouter 4 au nombre choisi soustraire 4 au nombre choisi multiplier les 2 résultats précédents ajouter 16 au résultat précédent essai-conjecture-preuve Programme 17 : Choisir un nombre Le mettre au cube Enlever au résultat le nombre de départ Essai-conjecture-preuve (on trouve un multiple de 6) Programme 18 : Prendre un nombre,lui ajouter 3, multiplier le résultat par -2 puis ajouter le double du nombre de départ. essai-conjecture-preuve Programme 19 : Choisis un nombre entier Multiplie le par son suivant Et soustrais le carré du nombre choisi au départ. essai-conjecture-preuve

4 Programme 20 : Choisis un nombre Multiplie le par 2 et ajoute 3 Multiplie le résultat par 5 Enlève 10 fois le nombre de départ essai-conjecture-preuve Programme 21 : Choisir un nombre. Calculer la somme de son double, de son triple et de sa moitié. Diviser ce résultat par 11. Quelle conjecture peut-on faire? La démontrer. Programme 22 : Je choisis un nombre je lui ajoute 5, je multiplie le résultat par -5 puis j'ajoute le double du nombre de départ. Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 11, -4? Programme 23 : on choisit un nombre on soustrait 1 à ce nombre on multiplie le résultat par 10 au résultat on soustrait le triple du nombre de départ puis on ajoute 3. essai-conjecture-preuve Programme 24 : on choisit un nombre, on calcule la somme de son carré, de son double et de 1. Quel(s) nombre(s) a-t-on choisi si on obtient 0,25? Programme 25 : Choisir un nombre lui ajouter 4 Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi Ajouter 4 à ce produit Écrire le résultat obtenu. Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 1?

5 Chevallard, 2007 (cours aux professeurs stagiaires) Les grands types de tâches en algèbre : Passage de la formulation «en mots» à la formulation littérale (expression algébrique du programme de calcul). Rechercher une écriture «mieux adaptée» à un certain travail mathématique (p )

6 Deux exemples d'utilisation des programmes de calculs : Pré équations Preuve

7 Une activité de preuve Au tableau : Programme de calcul : Choisir 3 entiers consécutifs Calculer leur somme Faire plusieurs essais Quelle conjecture peut-on écrire? prouver la conjecture

8 Objectifs : Notion de preuve (exemples / cas général, propriétés) Outils (réinvestissement ) : Démarche Essai / conjecture / preuve Propriétés d'algèbre (distributivité, commutativité) Écriture des nombres consécutifs, des multiples Institutionnalisation : On ne prouve pas la conjecture avec des exemples, il faut utiliser des lettres et des propriétés. La preuve peut être plus facile ou plus difficile suivant le choix de l'écriture des nombres consécutifs.

9 Copies d'élèves La conjecture n'est pas vraiment écrite mais indiquée en rouge Plusieurs conjectures

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12 Pré-équation : Programme de calcul à remonter, 2ème séance Au tableau : Je choisis un nombre Je lui ajoute 3 Je multiplie le résultat par 5 je soustrais le nombre choisi Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 35, si j'obtiens 25, si j'obtiens 28?

13 Objectifs : Montrer la nécessité de transformer le programme de calcul pour pouvoir le remonter Outils (réinvestissement ) : Opérations réciproques Distributivité Expression littérale <-->représentation ou langage naturel Institutionnalisation : On ne peut pas remonter un programme de calcul si on utilise de nombre choisi à la dernière étape On peut faire des essais organisés On peut alors écrire l'expression du programme de calcul et utiliser la distributivité pour le transformer en un programme que l'on peut remonter

14 Copies d'élèves Écriture sous forme d'opération à trou

15 Essai / erreur

16 L'élève essaye de remonter le calcul

17 Tentative de simplifier le programme

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19 TRAIN : Travail de Recherche ou d Approfondissement avec prise d INitiative DES EXEMPLES D'UTILISATION DE LA MISE EN TRAIN deux premières semaines de cette année de cinquième. MET Objectif Activité Bilan possible 1 Calcul mental Proposer des calculs : suite d'additions et suite de multiplications (compléments à 10, ) 2 Programme de calcul Je cherche le nombre qui lorsque je le multiplie par 3 donne Calcul mental 98 x x 2 27 x Programme de calcul Je cherche le nombre qui lorsque je le multiplie par 3 et que j'ajoute 10 au résultat donne 73 5 Calcul mental 104 x x 4 27 x 98 6 Programme de calcul Je choisis un nombre Je lui ajoute 5 Je multiplie le résultat par 2 Je retranche 10 Quel nombre ai-je choisi si je trouve 32? 55? Rappel des règles de calcul mental, commutativité, associativité. Opération réciproque Première approche de la distributivité avec des nombres. Opération réciproque Distributivité avec des nombres. Opération réciproque Émettre une conjecture Réfléchir à la preuve, à un codage pour le nombre choisi. (les élèves peuvent remonter le calcul ou remarquer que le résultat est le double du nombre choisi) 7 Calcul mental 106 x x x x x x 28 8 Production de formule Avec des allumettes, je construis des triangles selon le modèle cidessous Distributivité avec des nombres, objectif d'écrire la formule avec des moules. Introduction de la lettre Combien faut-il d allumettes pour construire 1 triangle? 2 triangles? 5 triangles? 10 triangles? 100 triangles? 265 triangles? Trouver une formule pour dire le nombre d allumettes nécessaires en fonction du nombre de triangles construits.

20 TRAIN : Travail de Recherche ou d Approfondissement avec prise d INitiative EXEMPLES D'UTILISATION DE LA MISE EN TRAIN : deux premières semaines de troisième. MET Objectif Activité Bilan possible 1 Réviser le calcul fractionnaire Proposer deux calculs sur les fractions avec des priorités opératoires (sans division) Rappel concernant les règles de calcul sur les fractions et sur la présentation. 2 Réviser la géométrie? C Rappel des théorèmes sur le triangle rectangle A B AB = 5 cm et BC = 4 cm 3 Réviser le calcul fractionnaire Proposer deux ou trois calculs sur les fractions avec les priorités opératoires et des divisions. Rappel concernant la division de fractions 4 Réviser la géométrie 2 C 3 D Rappel du théorème de Thalès B 1 E A (AE) // (BD) Combien mesure [CE] 5 Réviser le calcul fractionnaire Problèmes sur les fractions Fraction d'une quantité, fraction d'une fraction, traduction du problème en opérations. 6 Réviser la géométrie Rappel des théorèmes sur le triangle rectangle et les aires. AB = 8 cm, AD = 4 cm Calculer l'aire du triangle ADB 7 Réviser le calcul fractionnaire Problèmes sur les fractions Fraction d'une quantité, fraction d'une fraction, traduction du problème en opérations. 8 Réviser la géométrie Tracer le triangle EFG tel que EF=3,6cm, EG=6cm, FG=4,8cm. Quelle est la mesure de l'angle ÊGF 9 Utiliser l'arithmétique Le nombre de marches d un escalier est compris entre 40 et 80. Si on compte ces marches deux par deux, il en reste une. Si on les compte trois par trois, il en reste deux. Si on les compte cinq par cinq, il en reste quatre. Quel est le nombre de marches de cet escalier? Rappel sur la rédaction de la propriété de Pythagore, le cosinus Comment résoudre un problème : exposé des différentes stratégies des élèves

21 Progression 3ème Cours principal Mise en TRAIN Arithmétique (et fractions) et nombres Boite mystère dans laquelle les élèves doivent trouver le 1. Savoir différencier un décimal d'un rationnel nombre caché pour le premier jour puis on réinvestira non décimal régulièrement cette activité. 2. Savoir reconnaître multiple et diviseur 3. Savoir calculer le PGCD de deux nombres en écrire un nombre non rationnel (pour introduire les utilisant un algorithme irrationnels en leur donnant du sens) il s'agit de 4. Savoir rendre une fraction irréductible déterminer une partie décimale infinie qui ne soit pas 5. Savoir résoudre des problèmes relevant de périodique. la division ou du PGCD Géométrie : revenir sur triangle rectangle et cercle, cosinus, Thalès, Pythagore, mini démonstrations qui seront prises dans le livre pages 203, 204, 183 et 184 En profiter pour redonner les fiches outils. Calcul fractionnaires : Revenir sur les règles de calcul, priorités, problèmes avec des fractions Exercices sur la division euclidienne (problème des yaourts, des escaliers, des DVD )

22 Reprise géométrie Thales direct 1. Réactiver les connaissances de géométrie 2. Quadrilatères 3. Triangles : droites remarquables, Pythagore, Cercle, Thalès 4. Revoir les règles de la démonstration 5. Savoir calculer des longueurs en particulier à l aide du théorème de Thalès Penser un peu avant un contrôle à mettre en place l activité : «A votre avis, où se situera la moyenne de la classe au prochain devoir? Justifier votre réponse» cf travail à faire en amont du chapitre Probabilité. Trouve x : des «trouve x» parlé ( je pense à un nombre, je le multiplie par 4 et j ajoute 7, je trouve 5 moins le produit de 3 par le nombre auquel je pense. Quel est le nombre en question?) et des «trouve x» exprimés sous forme littérale ( résoudre l équation 5x 7 = 6 + 8x). Expressions égales ou non : des trouve x avec des expressions factorisées qu il faudra développer avec la distributivité simple puis des expressions factorisées qu il faudra développer avec la distributivité double. Objectifs : les élèves se re-familiarisent avec développements et réductions. Une même expression peut avoir plusieurs écritures équivalentes, ce qui permettra avec les équations-produit de légitimer la recherche de factorisation et les IR. 5x + 2 =? 2 ( x + 2) Vrai pour x=2? Vrai pour tout x? 4(x+2)-2(x+5) =? 6(x+5)+7(4-x)+3x Vrai pour x=2? Vrai pour tout x? (8x-3)(5x+7)+(8x-3)(2x-5)=?(8x-3)(7x+2) Essais-conjecture-preuve Problèmes nécessitant la mise en équations pb de point qui se déplace sur un segment résolution d'équations : 2 rectangles, même périmètre puis même aire, triangle et carré pgmes de calcul(reprise multiple, suivant, pair impair)...

23 Equations équ. produit 1. Déterminer si un nombre est solution d une équation. 2. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue 3. Résoudre une équation produit 4. Résoudre un problème menant à une équation-produit Statistiques 1. série statistique donnée, savoir passer d une représentation sous forme de liste à la construction d un tableau, ou d un diagramme 2. Savoir déterminer la valeur médiane d une série et en donner la signification 3. Savoir déterminer des valeurs pour les premiers et troisièmes quartiles et savoir en donner la signification. 4. Savoir déterminer l étendue d une série 5. Prendre l habitude de s interroger sur la signification des nombres utilisés et l interprétation qu on peut faire à partir d un résumé statistique 6. Calculs de moyennes, de moyennes pondérées et moyenne pour une série répartie en classes de même amplitude. 7. Calculer des fréquences. Continuer à travailler le calcul fractionnaire Puissances (uniquement en mise en TRAIN) En amont Fonctions Lire et interpréter des graphiques : choix entre Fanion, espace vert, course, récipients Et raisonnement réciproque : Temp en fonction du temps, balade en vélo Vacances de Toussaint Les statistiques seront étudiées sur 4h en bloc et 4h réparties dans l'année (par ex exploiter les résultats des BB) Exo de dénombrement: (c'est une préparation aux probabilités) S6,6 trouver tous les nombres entiers entre 100 et 1000 qui s'écrivent avec les chiffres 2,5, et 8 et dont les trois chiffres sont différents ou S6,4 Ex 13 Lyon Voir toutes les fiches PE1, dénombrement et arithmétique Continuer à travailler des petits pb d'algèbre. Puissances Espace/Volumes : n 1 p223 ( Reconnaissance de différents solides, dans le b) rappel du vocabulaire sommet, arête...se limiter à 1 ou 2 exemples en profiter pour faire rechercher dans le livre les formules de volume et lors de la correction pour faire tracer les solide en perspective), n 4 p224 (Calcul de volumes de différents solides) + 12 p 231

24 Réciproque du th de Thales 1. Savoir démontrer que deux droites sont parallèles ou ne le sont pas Identités remarquables des outils pour factoriser 1. Connaître et utiliser les trois identités remarquables 2. Factoriser une expression littérale 3. Développer une expression littérale 4. Calculer une expression numérique en utilisant les identités remarquables 5. Calculer la valeur d'une expression littérale pour une valeur donnée 6. Résoudre des problèmes nécessitant l'emploi d'expressions littérales Les deux programmes de calcul avant IR En amont Fonctions : Les boîtes noires Stage en entreprise Exercices de trigo reprenant le cosinus + En informatique : Conjecturer le lien entre la mesure d'un angle et les rapports donnant la tangente et le sinus à l'aide d'un logiciel de GD Montrer que x 3 -x est un multiple de 6 Résolution de problèmes comme par exemple les tours de Fibonacci Calculs astucieux sous forme de calcul mental En amont Fonctions : Les sept familles Vacances de Noël

25 Trigonométrie 1. Utiliser les formules liant les côtés d'un triangle rectangle au cosinus, sinus et à la tangente d'un angle aigu de ce triangle 2. Calculer la mesure d'un angle 3. Calculer la longueur d'un segment 4. Utiliser les touches cos, sin cos-1, sin-1. de la calculatrice en mode degré 5. Utiliser les formules liant le sinus et le cosinus d'un angle et liant sa tangente, son sinus et son cosinus 6. Résoudre des problèmes où intervient la trigonométrie Racines carrées 1. Donner un résultat exact ou approché d'un calcul avec des racines carrées (SOCLE) 2. Réduire des expressions en utilisant les propriétés 3. Résoudre des problèmes dont les calculs comportent des racines Exercices de bachotage «type brevet» Les 4 activités de préparation du chapitre racines : Act1 : approche visuelle en traçant des carrés Act2 : Racine de 2 est-il irrationnel? montrer le Ppt sur les nombres Act3 : le rectangle RAIN pour les propriétés Act4 : les nombres intéressants Exercices de bachotage «type brevet» En amont Fonctions : correspondance graphique / tableau de valeurs 1 er Brevet Blanc

26 Probabilité 1. Connaître et utiliser le vocabulaire spécifique aux probabilités 2. Connaître quelques définitions et propriétés 3. Savoir calculer des probabilités dans le cas d expériences à une ou deux épreuves. 4. Savoir utiliser un arbre dans le cas d expériences à deux épreuves simples 5. Approcher les probabilités comme un modèle permettant de décrire des situations de la vie courante dans lesquelles la probabilité doit être approchée par des calculs de fréquences établies lors de simulations. (franc carreau ou punaises par exemple) En amont Fonctions : traduction : lien verbal / machine / expression fonctionnelle Vacances de Février

27 Espace : 1. Calculer le volume d'une boule et l'aire d'une sphère connaissant son rayon 2. Connaître la nature des sections planes d'un cube, d'un pavé par un plan parallèle à une face ou une arête 3. Connaître la nature des sections d'un cylindre par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe 4. Déterminer et représenter les sections d'un cône ou d'une pyramide par un plan parallèle à la base. 5. Placer sur la représentation d'une sphère le centre du cercle de section de cette sphère par un plan et calculer le rayon de ce cercle 6. Calculer le coefficient de réduction ou d'agrandissement ou les dimensions, aires, volumes après un agrandissement ou une réduction. (sera plutôt abordé dans le chapitre de proportionnalité) Optimisation : resolution d un problème type «maitre chien» avec le tableur

28 Proportionnalité 1. Reconnaître et appliquer une situation de proportionnalité dans un tableau, un graphique, une formule 2. Utiliser les pourcentages (augmentation ou diminution, augmentations ou diminutions successives) 3. Interpréter les grandeurs composées et convertir leurs unités 4. Utiliser les effets d'une réduction ou d'un agrandissement sur une aire ou un volume 5. Résoudre des problèmes où intervient la proportionnalité Préparer chapitre inéquation : travailler sur ordre et opérations 4 p Règle 21 p et 25 p 137 travailler sur solution ou non d'une inéquation 6 p 131 et 43 p 138 Avoir même solution ou non 7 p 131 et 44 p 138 Présenter les solutions d'une inéquation 8 p p 138 Changer de cadre : triangle sur rectangle, comparer les périmètres Ordre et Inéquations 1. L effet de l addition sur l ordre 2. L effet de la multiplication par un nombre relatif sur l ordre 3. Déterminer si un nombre est solution d une inéquation 4. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue 5. Représenter graphiquement les solutions d une telle inéquation 6. Résoudre un problème menant à une inéquation Prévoir une séance info : angles inscrits/au centre Vacances de Pâques 2 ème Brevet Blanc + Epreuve histoire de l art Angles inscrits, angles au centre Déterminer l expression d une fonction affine ou linéaire

29 Fonctions 1. Faire émerger la notion de fonction comme processus faisant correspondre, à un nombre un autre nombre. 2. Étudier les variations d'une grandeur en fonction d'une autre 3. Savoir repérer les variables dans une situation 4. Maitriser les différentes formes 5. Maitriser les notations et le vocabulaire Systèmes 1. Dans une équation à deux inconnues exprimer une variable en fonction de l'autre 2. Savoir si un couple est solution d'un système 3. Savoir résoudre un système qui a une unique solution 4. Savoir interpréter graphiquement les solutions d'un système 5. Savoir mettre en équation et résoudre des problèmes conduisant à des systèmes Polygônes réguliers Construire des polygones réguliers Reprise du programme pour la préparation du brevet