Mathématiques et petites voitures

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1 Mathématiques et petites voitures Thomas Lefebvre 10 avril 2015 Résumé Ce document présente diérentes applications des mathématiques dans le domaine du slot-racing. Table des matières 1 Périmètre et circuit 2 2 Proportionnalité et transmission 3 3 Proportionnalité, circonférence et vitesse maximale 4 4 Proportionnalité et vitesse moyenne 5 5 Thalès et pont 6 6 Trigonométrie et pont 7 1

2 1 Périmètre et circuit Les diérents rails utilisés pour composer un circuit se rangent en deux catégories : 1. Les rails droits de diérentes longueurs : Le droit Le demi-droit Le quart de droit Le droit court 2. Les courbes de diérents rayons : La courbe intérieure La courbe standard La courbe extérieure La courbe grande extérieure Ils sont évidement tous de même largeur 15,5575 cm. S'il est évident que la distance parcourue sur un rail droit est égal à la longueur du rail, quelle est la distance parcourue sur un rail courbe standard? Si on assemble 8 rails "courbe standard", on obtient un cercle et on peut mesurer le rayon des pistes intérieure et extérieure. On obtient 25,5 cm et 33,3 cm ( 25,4794 cm et 33,2581 cm selon les données constructeurs). On peut utiliser la formule donnant la circonférence d'un cercle en fonction de son rayon : C = 2 π R Il faudra ensuite diviser le résultat par 8 pour obtenir la distance parcourue sur un rail. D int = 2 π R int 8 2 3, , , 0115 D ext = 2 π R ext 8 2 3, , ,

3 2 Proportionnalité et transmission De l'axe moteur à celui des roues, la transmission se fait par un pignon de 11 dents et une couronne de 34. Sachant que le moteur tourne à une vitesse de rpm, quelle sera la vitesse de rotation de l'axe des roues? Lorsque l'axe moteur fait 34 tours son pignon a avancé de 373 dents. En eet : = 373 Dans le même temps, la couronne de l'axe des roues a aussi avancé de 373 dents donc l'axe des roues a fait 11 tours. En eet : = 11 On peut donc réaliser un tableau de proportionnalité avec ces informations ainsi que le régime du moteur : Axe du moteur Axe des roues 11 En eectuant un produit en croix, on trouve : L'axe des roues tourne à un régime de 5824 rpm. 3

4 3 Proportionnalité, circonférence et vitesse maximale On a vu précédemment que l'on pouvait calculer la vitesse de rotation de l'axe des roues en fonction de celle du moteur et du nombre de dents des diérents éléments de la transmission. Sachant que les roues motrices ont un diamètre de 19 mm et qu'elles tournent à une vitesse de rpm, quelle est la vitesse maximale possible pour la voiture en km/h? Quand la roue fait un tour elle avance de 59,6904 mm. En eet : C = π D 3, , 6904 mm Le moteur fait tours par minutes donc tours par heure = En une heure la roue va avancer de 20,8 km/h. Car , mm 20, 8 km On peut donc espérer une vitesse maximale de 20,8 km/h. En plus Comme il s'agit de voitures au 1/32 e, on peut donc dire que la voiture aura une vitesse maximale de 665,6 km/h en tenant compte de l'échelle , 8 = 665, 6 4

5 4 Proportionnalité et vitesse moyenne Sur un circuit de 29 m de développé, le record du tour est de 7,953 s. Quelle était la vitesse moyenne de la voiture lors du record du tour en km/h? On convertit les 29 m en km et on place les diérentes informations dans un tableau de proportionnalité : Distance (en km) 0,029 Temps (en s) 7, En eectuant un produit en croix, on trouve : 0, , , 13 La vitesse moyenne lors de ce record était de 13,13 km/h. En plus Comme il s'agit de voitures au 1/32 e, on peut donc dire que la voiture avait une vitesse moyenne de 420,16 km/h en tenant compte de l'échelle , 13 = 420, 16 5

6 5 Thalès et pont An d'égaliser la longueur des voies, on réalise un pont sur le circuit. La montée se fera sur 3 rails droits (longueur : 35 cm) et on peut placer les supports 10 cm aux extrémités de chaque rail. Il y aura donc 6 supports. Quelle devra être la hauteur de chaque support pour obtenir une élévation de 7 cm à la n du dernier rail? On suppose le support du circuit horizontal et les supports verticaux. On connait les longueurs suivantes : OH = 3 35 = 105 cm BH = 7 cm H 4 H 5 H H 2 H 3 O H 0 B 0 H 1 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B Les points O, H 0, H et 0, B 0, B sont alignés, les droites (H 0 B 0 ) et (HB) sont parallèles, on applique le théorème de Thalès : OH 0 OH = OB 0 OB = H 0B 0 HB On élimine le quotient central et on utilise les valeurs connues : = H 0B 0 7 H 0 B 0 = , 67 On obtient que le premier support doit mesurer 0,67 cm. De la même manière on obtient la taille des autres supports : H 1 B 1 1, 67 H 2 B 2 = 3 H 3 B 3 = 4 H 4 B 4 5, 33 H 5 B 5 6, 33 6

7 6 Trigonométrie et pont An d'éviter que les voitures frottent sur la piste il faut éviter un angle supérieur à 3 entre deux rails. Quelle peut être l'élévation maximale sur une montée de 3 rails droits? Si la montée fait trois rails on peut incliner les premier et dernier rails de 3 par rapport à l'horizontal et le central de 6. En eet on aura respecté 3 entre les rails et on aura l'élévation maximale. O H 0 H 1 B 0 B 1 H B Dans le triangle OH 0 B 0 triangle en B 0, on utilise un sinus : sin B 0 OH 0 = H 0B 0 OH 0 sin 3 = H 0B 0 35 H 0 B 0 = 35 sin 3 1, 83 Dans le triangle B 1 H 0 H 1 triangle en B 1, on utilise un sinus : sin B1 H 0 H 1 = H 1B 1 H 0 H 1 sin 6 = H 1B 1 35 H 1 B 1 = 35 sin 6 3, 66 Comme H 0 B 0 = HB car les triangles H 0 OB 0 et HH 1 B sont identiques, on obtient une élévation maximale de 7,32 cm. 1, , , 83 = 7, 32 7