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1 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de la rédaction et à la présentation ; Exercice n 1 ; 2 et 3 : 1 point par question. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point Exercice n 5 : Hypothèses : 0,5 points Nom du Théorème : 0,5 points Egalité des rapports : 1 point Calcul : 1 point Exercice n 6 : 1 ) 3 points 2 ) 3 points 3 ) 2 points Exercice n 7 : 1 ) a) 1 point 1 ) b) 0,5 points 2 ) a) 1 point 2 ) b) 0,5 points 3 ) 0,5 points 4 ) 2,5 points 5 ) à 8 ) 0,5 point par question Brevet Blanc 2013 Epreuve de Mathématiques Collège Oasis 1

2 Exercice n 1 : (5 points) Quelle est l expression développée de : 4x x 2 8x +1 4x 2 8x +1 ( 4x 1) Quelle est l expression factorisée de : 25x 2 81 Le PGCD de 364 et 156 est : Si on remplace x par 1 dans l expression A x ( ) = 3x 2 3x 1, on obtient : (IJK) est rectangle en I tel que : IK = 2,7cm et KJ = 4,5 cm. Quelle est la longueur du côté [IJ]? ( 5x 9) ( 5x + 9) 25x( x 9) ( 5x 9) ,6 cm 5,2 cm 12,96 cm Exercice n 2 : (4 points) On considère les programmes de calculs suivants : Programme A 1 ) Choisir un nombre ; 2 ) Lui ajouter 1 ; 3 ) Calculer le carré de la somme obtenue ; 4 ) Soustraire au résultat le carré du nombre de départ. Programme B 1 ) Choisir un nombre ; 2 ) Ajouter 1 au double de ce nombre. 1 ) On choisit 5 comme nombre de départ. Montrer que l on obtient 11 avec les deux programmes. Programme A Programme B ( 5 +1) = = 11 Brevet Blanc 2013 Epreuve de Mathématiques Collège Oasis 2

3 2 ) On choisit maintenant 2 comme nombre de départ. Quel résultat obtient-on avec chacun des deux programmes? Programme A Programme B ( 2 +1) 2 ( 2) 2 = = 3 3 ) Démontrer que, quel que soit le nombre x choisi, les résultats obtenus avec les deux programmes sont toujours égaux. Programme A Programme B ( x +1) 2 x 2 = x 2 + 2x +1 x 2 = 2x +1 x 2 +1 = 2x +1 On obtient ainsi la même expression, pour n importe quel nombre x choisi au départ. 4 ) Avec quel nombre de départ obtient-on 17? 1 ère méthode : Soit x le nombre de départ. Alors : 2x +1 = 17 x = = 8 2 e méthode : Algorithme de remontée. apple On a le résultat 17 ; apple 17 1 = 16; apple 16 2 = 8. Exercice n 3 : (4 points) Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : «Découpe dans ces plaques des carrés tous identiques, dont les longueurs des côtés sont un nombre entier de cm, et de façon à ne pas avoir de perte.» 1 ) Peut-il choisir de découper des plaques de 10 cm de côté? Justifier. 88 = 8,8 n est pas entier, donc : il ne peut pas découper des plaques de 10 cm de côté ) Peut-il choisir de découper des plaques de 11 cm de côté? Justifier = 8 Donc : il peut découper des plaques de 11 cm de côté = 10 Brevet Blanc 2013 Epreuve de Mathématiques Collège Oasis 3

4 3 ) On lui impose désormais de découper des carrés les plus grands possibles. a) Quelle sera la longueur du côté d un carré? Algorithme d Euclide : 110 = = Donc : PGCD(110 ;88) = 22 et : la longueur maximale du côté d un carré est 22 cm. b) Combien y aura-t-il de carrés par plaque? = = 20 Il y aura 20 carrés par plaque = 5 Exercice n 4 : (4 points) On considère les expressions : 1 ) Calculer E et F pour :. 2 ) Développer F. Les résultats obtenus à la question 1 ) sont-ils surprenants? F = ( 2x 7) ( x 2) ( x 3) 2 F = 2x 2 4x 7x +14 x 2 + 6x 9 F = x 2 5x + 5 F = E D où : les résultats du 1 ). Brevet Blanc 2013 Epreuve de Mathématiques Collège Oasis 4

5 3 ) Avec un tableur, on veut calculer, en colonne B, les valeurs prises par l expression E, pour les valeurs de x, inscrites en colonne A. Quelle formule faut-il rentrer dans la cellule B2 pour faire effectuer le calcul souhaité? (la formule devra pouvoir être étendue aux cellules situées en dessous) Voici la formule à rentrer dans la cellule B2 : = A2*A2-5*A2+5 Puis on utilise la poignée de recopie. Exercice n 5 : (3 points) On a modélisé géométriquement un tabouret pliant par les segments [CB] et [AD], pour l armature métallique, et le segment [CD], pour l assise en toile. On a CG = DG = 30 cm ; AG = BG = 45 cm et AB = 51 cm (G représentant le point d intersection des segments [CB] et [AD]). Pour des raisons de confort, l assise [CD] est supposée parallèle au sol représenté par la droite (AB). Déterminer la longueur CD de l assise. Vous laisserez apparentes toutes vos recherches. Même si le travail n est pas terminé : il en sera tenu compte dans la notation. On a : apple (CB) et (AD) deux droites sécantes en G. apple Donc : d après le Théorème de Thalès : Brevet Blanc 2013 Epreuve de Mathématiques Collège Oasis 5

6 Exercice n 6 : (8 points) On considère la figure ci-dessous où l unité est le centimètre. Les points T, I, U et L sont alignés ainsi que R, I, O et C. Le triangle TIR est rectangle en T. Les droites (CL) et (OU) sont parallèles. 1 ) On a : (TRI) un triangle rectangle en T. Donc : d après le Théorème de Pythagore : RI 2 = TR 2 + TI = TR 2 + 3,6 2 TR 2 = 6 2 3,6 2 = 23,04 TR = 23,04cm = 4,8cm 2 ) On a : apple (IC) et (IL) deux droites sécantes en I. apple (OU) / /(CL). Donc : d après le Théorème de Thalès : IO IC = IU IL = OU CL 3,9 4,5 = 6,5 IC IC = 6,5 4,5 3,9 = 7,5cm 3 ) On a : apple (TU) et (RO) deux droites sécantes en I. apple T, I, U et R, I, O alignés dans le même ordre. IT IU = 3,6 3,9 0,92 IR IO = 6 IT 6,5 0,92 IU = IR IO Donc : d après la réciproque du Théorème de Thalès : (TR) / /(OU). Brevet Blanc 2013 Epreuve de Mathématiques Collège Oasis 6

7 Exercice n 7 : (8 points) On compare trois forfaits mensuels pour Forfait A : fixe de 20 quel que soit le nombre de SMS envoyés ; Forfait B : 0,15 par SMS ; Forfait C : 0,05 par SMS et 12 fixe. 1 ) a) Dans le cas du forfait B, calculer le prix à payer pour l envoi de 4 SMS, de 10 SMS, de 15 SMS. apple Prix pour l envoi de 4 4 0,15 = 0,60 apple Prix pour l envoi de ,15 = 1,50 apple Prix pour l envoi de ,15 = 2,25 b) On désigne par g(x), le prix à payer pour l envoi de x SMS. Exprimer ce prix g(x) en fonction de x. g(x) = 0,15x 2 ) a) Dans le cas du forfait C, calculer le prix à payer pour l envoi de 5 SMS, de 8 SMS, de 14 SMS. apple Prix pour l envoi de 5 5 0, = 12,25 apple Prix pour l envoi de 8 8 0, = 12,40 apple Prix pour l envoi de , = 12,70 b) On désigne par h(x), le prix à payer pour l envoi de x SMS. Exprimer ce prix h(x) en fonction de x. h(x) = 0,05x ) On désigne par f(x), le prix à payer pour l envoi de x SMS. Exprimer ce prix f(x) en fonction de x, dans le cas du forfait A. f (x) = 20 Brevet Blanc 2013 Epreuve de Mathématiques Collège Oasis 7

8 4 ) Représenter alors ces trois fonctions dans un même repère orthogonal (on pourra prendre pour unités : 1 cm pour 20 SMS en abscisse et 1cm pour 1 en ordonnée). 5 ) Par simple lecture graphique, déterminer le nombre de SMS pour lequel le prix à payer est le même dans le cas des forfaits A et B. Le nombre de SMS à envoyer est 133 (tolérance De ± 2). 6 ) Même question pour les forfaits A et C. Le nombre de SMS à envoyer est 160 (tolérance De ± 2). 7 ) Même question pour les forfaits B et C. Le nombre de SMS à envoyer est 120 (tolérance De ± 2). 8 ) Quel forfait est le plus avantageux pour l envoie de plus de 160 SMS? Justifier. Par lecture graphique, c est le forfait C qui est le plus avantageux, pour l envoie de plus de 160 SMS. Brevet Blanc 2013 Epreuve de Mathématiques Collège Oasis 8

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