Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

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1 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche à soulever un nombre minimale de dalles Trouver une solution minimale par la programmation linéaire. ( Indication: poser x i = 0 ou 1, i = 1,.,8;si on ne soulève pas ou on soulève la dalle i ) Ecrire un programme linéaire avec les contraintes d intégrité. Remplacer les contraintes par 0 x i 1, i = 1,, 8. Appliquer l algorithme du simplexe, puis justifier ce changement de contraintes. 76. Résoudre par la méthode des deux phases les problème linéaires suivant : a) min z = 2 x 1 - x 2 + x 3 x 1 + x 2 - x 3 = x 1 - x 2 + x 4 = 1 x x 2 - x 4 = 2 x 1 0,, x 4 0 b) min z = x 1 + x 2 - x 3 2 x 5 x x 2 + x 4 = 3 3 x 2 - x 4 + x 5 5 x 2 + x 5 3 x 1 0,, x En utilisant la forme produit de l inverse, déterminer A -1 si : a) A = b) A = ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 29

2 78. Par la méthode révisée du simplexe ( forme matricielle de la méthode du simplexe), résoudre les problèmes: a) min z = - 2 x 1 + x 2-3x 3 x 4 x 5 x 1 + x x x 4 2 x x 1-2 x x 3-2 x 4 + 3x 5 10 x 1 0,, x 5 0 b) max z = 9 x x 2 10 x x x x ,5 x x 2 81 x 1 0, x 2 0 c) min z = - 6 x 2-5x 3 x x 2 + x 3 + x 4 = 10 2 x x x x 4 = 21 x 1 0,, x 4 0 d) max z = x 1 - x 2 + x x 4 x 1 + x 2 + x x 4 = 7 x 2 + x 3 + x 4 = 5 x 3 - x 4 = 9 x 1 0,, x Par la méthode révisée du simplexe ou méthode matricielle, résoudre le problème suivant : MinZ = - 5 x 1-6 x 2 2 x x 2 + x 3 = 10 x x 2 + x 4 = 6 x 1 0 ;.. ; x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 30

3 80. On considère les problèmes de programmation linéaire : a) min z = - 3/4 x x 2 1/50 x x 4 1 / 4 x 1-60 x 2 1 / 25 x x 4 + x 5 = 0 1 / 2 x 1 90 x 2-1/ 50 x x 4 + x 5 = 0 x 3 + x 7 = 1 x j 0, j = 1,,7. b) max z = x 3 - x 4 + x 5 - x 6 x 1 + x 3 2 x 4-3 x x 6 = 0 x x 3-3 x 4-2 x 5 + x 6 = 0 x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x7 = 1 x j 0, j = 1,,7. 1) Résoudre ces problèmes par l algorithme du simplexe et montrer que dans ces exemples, le phénomène de cycles se produit. 2) En appliquant la méthode lexicographique, éviter le cycle et obtenir la solution optimale de chaque problème. 81. On considère les problèmes de programmation linéaire a) minx z = 3x 1 - x x 3 2 x 1 - x 2 - x 3 + x 4-1 x 2 + x 4 2 x j 0, j = 1,,4. b) max z = 2x x 2 - x 3 x 1 + x x 1 - x 2 + x 3 7 x 2 - x 3 0 x 1 - x 3 10 x j 0, j = 1,,3. c) max z = - 2 x 2 + x x 5 x 1 2 x x 4 + x 5 = 8 x 2 + x 3 + x 4-2 x 5 = 6 x j 0, j = 1,,5. Déterminer les problèmes duaux correspondants. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 31

4 82. Donner les problèmes duaux pour les problèmes suivants : a) min z = x 1-2 x 2 +x 3 - x 4 + x 5 x 1 2 x 2 + x 3 3 x 4-2 x 5 = 6 2 x x 2-2 x 3 - x 4 + x 5 4 x x 3-4 x 5 8 x 1 0, x 2 0, x 3 et x 4 sont quelconques. b) max z = 2 x 1 - x 3 x 1 + x 2 + x x x 3 = 5 - x 1 + x 2 0 x 2 - x 3 = 2 x 1 - x 2 - x 3-2 x 1 0, x 3 0, x 2 est quelconque. c) minz = c x + d y A 1 x + A 2 y a B 1 x + B 2 y = b x 0, y quelconque. 83. Par l algorithme du simplexe, résoudre les problèmes : a) max z = 2 x x 2 - x x 2 6 x 1-4 x 2 2 x 1 - x 2 5 x 1 0, x 2 0. b) max z = 2 x 1 - x x 3 2 x 4 + x 5 - x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 - x 2 + x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 5 = 2 x i 0, i = 1,,5. Déterminer les solutions optimales des problèmes duaux correspondants. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 32

5 84. Soit le programme linéaire suivant : MinZ = 2 x 1 + x 3 x 1 + x 2 - x 3 5 x 1-2 x x 3 8 x 1 0 ;.. ; x 3 0 Ecrire son dual. Le résoudre géométriquement. Déterminer une solution optimale du problème primal. Conclure. 85. On considère le programme linéaire : max z = 4 x x 2 - x x 2 6 x 1 + x x 1 - x 2 15 x 1 0, x 2 0. En utilisant l interprétation géométrique, trouver la solution optimale. En utilisant le théorème fondamental de la dualité, déterminer la solution optimale du programme dual correspondant. 86. On considère le programme linéaire suivant : min z = x x x 3 3 x 1 2 x 2 + x 3 5 x 1 + x x x x 2 - x 3 2 x 1 0, x 2 0. Par la méthode du simplexe, résoudre le problème dual correspondant et déterminer la solution optimale du problème primal. 87. Résoudre le programme linéaire : min z = x x n x n x 1 + x x i i ( i = 1,, n ) x j 0, j = 1,, n. ( Indication : considérer le problème dual correspondant) 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 33

6 88. Soit le programme linéaire suivant : min z = 2 x x 2 + x 3 x 1 + x 2 - x 3 1/2 x 2 + x 3 1 x i 0, i = 1,,3 Ecrire et résoudre le programme dual. Retrouver une solution du problème initial appelé primal en utilisant le théorème des écarts complémentaires. 89. En utilisant le théorème des écarts complémentaires, vérifier si x = (3, 0, 1, 3) est une solution optimale des problèmes suivants : a) max z = - 2 x 1 - x 2 + x 3 + x 4 2 x 1 + x 2-3 x 3 + x 4 = 6 x 1 - x x 3 - x 4 = 2 x 1-3 x 2-2 x 3 x 4 = - 2 x i 0, i = 1,,4. b) max z = 2 x 1 - x x 3-6 x 4 3 x 1 - x x 4 15 x x 2 - x 3-2 x 4-4 x x 3 x 4 0 x i 0, i = 1,,4. c) max z = 2 x 1 - x x 3-6 x 4 2 x 1 - x x 4 = 10 x 1 + x 2 - x 4 = 0 2 x 1-2 x x 4 = 13 x i 0, i = 1,, Soit le problème linéaire max. W = ½ x 1 + x 2 x 1 2 (P) x 1 + x x 1 + x 2 1 x 1 0, x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 34

7 a) Déterminer une solution de ce problème. b) Ecrire le dual de (P). En utilisant les résultats du théorème des écarts complémentaires, déterminer une solution du dual. 91. On considère le problème de la PL max z = ( 3 m )x 1 + ( m 3 ) x 2 + x 3 x x x x 1 + x 2 + x 3 7 x i 0, i = 1,,3. a) résoudre ce problème selon les valeurs de «m». b) Pour m = 0, déterminer une solution optimale du problème dual si elle existe. 92. Par la méthode duale du simplexe, résoudre le problème suivant : min z = 2 x 1 + x 3 x 1 + x 2 - x 3 5 x 1-2 x x 3 8 x i 0, i = 1,, a) Soit un couple de problèmes duaux sous forme standard min z = cx max w = ud ( I ) Ax = d et (II) ua c x 0 u quelconque c n, x n, A : m x n, d m, u m. 1) Montrer que si x est une solution réalisable de (I) et u est une solution du dual (II) alors on a : c x u d. 2) Montrer que si x est une solution réalisable du (I) et u est une solution du dual (II) et si c x = u d alors x et u sont des solutions optimales respectivement de (I) et (II). b) Soit un couple de problèmes duaux sous forme canonique min z = cx ( I ) Ax d et (II) x 0 max w = ud ua c u 0 3) Montrer qu une condition nécessaire et suffisante pour que x et u soient des solutions optimales de (I) et (II) est que : u ( A x - d ) = 0 et (c- u A) x = 0. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 35

8 4) Que deviennent ces conditions si les problèmes sont mis sous la forme standard? 5) On appelle «Lagrangien» associé à ces problèmes la fonction des variables x et u définie par : (x, u) = c x + u d u A x. On dit que le couple ( x, u ), x 0, u 0, constitue un col ou «point selle» si pour tout x 0, u 0 on a : ( x, u) ( x, u ) ( x, u ). 6) Montrer qu une condition nécessaire et suffisante pour que ( x, u ) soient deux solutions optimales du problème primal (I) et du dual (II) est que le couple ( x, u ) constitue le col du Lagrangien ( x, u). La valeur commune des fonctions objectives de (I) et (II) est égale à ( x, u ). max z = cx 94. Soit le problème linéaire suivant (P) Ax b x 0 Montrer que la variation de la valeur optimum de la fonction objective du problème linéaire pour une variation δb suffisamment faible pour que la base optimale (P) soit max z = cx encore la base optimale de (P δ ) Ax b + δ b x 0 solution optimale du dual de (P). est égale à yδ b où y est une 95. Par la méthode du grand M, résoudre le problème de la programmation linéaire suivant : min Z = - 2 x 1 - x 2 - x 3 4 x x x x x 2 - x x x 2-5 x 3 4 x 1 0, x 2 0 et x Résoudre par la méthode du problème augmenté le problème de la programmation linéaire suivant : min Z = - x 1-2 x 2 3 x 1 + x 2 + x 3 = 6 x x 2 - x 4 = 10 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 36

9 x 1 0,, x Résoudre le problème suivant : min Z = x 1 + x 2 - x 3 2 x 5 x x 2 + x 4 = 3 x 3-2 x 4 = 2 3 x 2 - x 4 + x 5 5 x 2 + x 5 3 x 1 0, x 2 0,, x Enoncer l algorithme de transport. Résoudre le problème de transport donné par le tableau suivant : b j a i Où a i et b j représentent respectivement les quantités d un produit disponible au site i et la quantité demandée par le lieu de vente j. Les éléments du tableau sont les coûts de transport du site i au lieu de vente j. Ecrire le problème dual correspondant. 99. Résoudre le problème de transport donné par le tableau suivant : b j a i Où a i et b j représentent respectivement les quantités d un produit disponible au site i et la quantité demandée par le lieu de vente j. Les éléments du tableau sont les coûts de transport du site i au lieu de vente j. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 37

10 100. Soit un problème de transport donné par le tableau ci dessous : b j a i où a i et b j représentent respectivement les quantités d un produit disponible au site i et la quantité demandée par le lieu de vente j. Les éléments du tableau sont les coûts de transport du site i au lieu de vente j. a. Ecrire le programme linéaire correspondant à ce problème de transport et lui associer son dual. b. par la règle du produit minimum, déterminer une solution de base réalisable. c. par la règle de Houthaker, déterminer une solution de base réalisable. d. Est-elle optimale? Sinon déterminer une solution optimale. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 38

11 Annexe 1 : La méthode Lexicographique Un vecteur a n est dit lexicographiquement positif si sa première composante non nulle est positif ( ou 1-positif ). Un vecteur a n est 1-supérieur à un vecteur b n est si a b > 0 ( a > b lexicographiquement ). Cette relation définit un ordre total sur les vecteurs de n ( par analogie avec l ordre dans lequel sont rangés les mots d un dictionnaire ). Etant donné une suite finie de vecteurs de n, on peut définir 1-max ou 1-min de cette suite finie. Soit le problème (P) min z = cx Ax = b x 0, b 0 On suppose que rang A = rang (A, b) = m. On suppose que A est rangée de façon que les «m» premières colonnes forment une base initiale A B = ( a 1, a 2,, a m ) Formons ( b, A B ) = Avec α i = ( a i0, a i1,, a im ). a10 a11... a1m a20 a21... a2m am0 am1... amm Supposons que chaque α i ( i = 1,,m) soit l-positif. α1 α2 =... αm La méthode de simplexe est basée sur un changement de base pour améliorer la fonction objectif. Si x = = ( a 10, a 20,, a i0,, a m0, 0,,0 ) n est pas optimale, pour déterminer la colonne pivot, on utilise { min c j, c j < 0 }= c s Le critère de sortie à la même forme que la méthode de simplexe, mais le minimum doit être pris lexicographiquement. αr a rs αi = l min a a is > 0 is ai0 On calcule min, I ensemble des indices de vecteurs ( des variables de bases). i I ais Si ce minimum est unique et a lieu pour i = r, on fait sortir a r ai0 ai1 si min est atteint en plusieurs points, on calcule min, I 1 I et on répète i I ais i I a 1 is air l opération sur I r avec min i I a r is. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 39

12 Si rg(a) = m, deux lignes de A ne peuvent pas être proportionnelles et donc au plus tard à ( m + 1 ) étapes d application de cette procédure on a un minimum unique. Montrons que dans ce nouveau tableau a) Chaque ligne est l-positive b) La ligne a augmenté lexicographiquement c est à dire ai0 ai1 aim ain,,...,,... > ais ais ais ais ar0 ar1 arm arn,,...,,... (*) ars ars ars ars Si a is > 0 alors pour obtenir la ième ligne du nouveau tableau, il suffit de retrancher ( a r0, a r1,, a r n ) multiplié par ais de ( a i0, a i1,, a i n ). ars Soit ( a i0, a i1,, a i n ) - ( a r0, a r1,, a r n ) x D après (*) la ième ligne est l-positive. ais > 0. ars Si a is < 0, ( a i0, a i1,, a i n ) - ( a r0, a r1,, a r n ) x l-positifs est l-positive. ais est la somme de deux vecteurs ars ais Pour obtenir la ligne de z, il faut ajouter v = ( a r0, a r1,, a r n ) multiplié par à ars la ligne de z. Puisque v est l-positif, - z augmente lexicographiquement. La ligne de z sert à ordonner les bases du problème de la programmation linéaire. Dans le cas de dégénèrescence, la valeur de z est la somme d un tableau du simplexe à un nouveau tableau mais la ligne de z augmente. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 40

13 Annexe 2 : Indications sur la résolution de quelques exercices de modélisation Réponse 01. Soient x i la quantité de P livrée au détaillant D i ( i = 1, 2, 3). Les contraintes sont: x 1 + x 2 + x 3 = 24 x 2 9, x 3 9 x 1 2 x x 1 0, x 2 0 et x 3 0. Minz = 4 x x x 3 Réponse 2. Si on note x j le nombre de gâteaux de type G j, le problème s écrit : Maxz = 2 x x x 3 x 1 + x x 3 20 x x 2 + x x 1 + x 2 + x 3 20 x x 2 20 x x 2 + 2x 3 10 x 1 0, x 2 0, x 3 0. Réponse 3. Une plaque de 200 cm de largeur peut être coupée de cinq façons : 1. une plaque de 75 cm et deux plaques de 60 cm. Les déchets seront de 05 cm. 2. une plaque de 110 cm et une plaque de 75 cm. Les déchets seront de 15 cm. 3. une plaque de 110 cm et une plaque de 60 cm. Les déchets seront de 30 cm. 4. trois plaques de 60 cm. Les déchets seront de 20 cm. 5. deux plaques de 75 cm. Les déchets seront de 50 cm. Soit x i : le nombre de plaques à découper par la façon i, le problème s écrit : Min z = 5 x x x x x 5 x 2 + x 3 30 x 1 + x 2 + x x 1 + x x x 1 0,, x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 41

14 Réponse 4. Soit x et y respectivement le nombre d assiettes de type 1 et du type 2 à offrir. Le problème est de maximiser la fonction 80 x y sous les contraintes: 5 x + 3 y 30 2 x + 3 y 24 x + 3 y 18 x 0 et y 0. Réponse 5. Soient x 1 le nombre de bouteilles de type boisson_a et x 2 le nombre de bouteilles de type boisson_b. Le problème est de : Max z = 3 x x 2 2 x 1 + x x 1 + x x x x 1 0 et x 2 0. Réponse 6. Soient x 1 et x 2 respectivement le nombre d inspecteurs de 1 er et du 2 nd catégorie à affecter à l inspection. Chaque inspecteur de 1 er catégorie inspecte 25 x 8 pièces par jour, soit 200 pièces. S il commette 2% d erreur, cela représentera 4 pièces qui coûteront 4 x 50 DA. Chaque inspecteur de 2 nd catégorie inspecte 15 x 8 pièces par jour, soit 120 pièces. S il commette 5% d erreur, cela représentera 6 pièces qui coûteront 6 x 50 DA. Le problème est de : Minz = ( 100 x ) x 1 + ( 70 x ) x x x x 1 12 x 2 17 x 1 0, x 2 0. Réponse 7. Le problème de transport est un problème particulier de la programmation linéaire. Sa formulation mathématiques est : 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 42

15 Minz = m n 1 c ij x ij i= 1 j= 1 m a i i= 1 n 1 b j j= 1. Cette équation traduit que la demande doit être satisfaite. n 1 x ij j= 1 a i, i = 1,, m. m x ij = b j, j = 1,, n - 1. i= 1 x ij 0, i = 1,, m et j = 1,, n 1. a i 0, i = 1,, m, b j 0, j = 1,, n 1, c ij 0, i = 1,, m et j = 1,, n 1. n Réponse 8. Il s écrit, Max z = c j x j j= 1 n a ij x j j= 1 b i i = 1,, m. x j 0, j = 1,, n. Réponse 09. Soient x 1 et x 2 le nombre de mètres cubes de carburant de type 1 et 2 à produire. Max z = 6000 x x 2 20 % x % x % x % x % x % x % x % x x 1 0, x 2 0. Réponse 10. Si x 1, x 2, x 3 représentent les nombres de pièces de type p 1, p 2, p 3 à fabriquer, le profit total est: max Z = 50 x x x 3 2 x x x x x x x 1 0, x 2 0, x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 43

16 Réponse 11. Soient x 1, x 2 et x 3 le nombre de produits à fabriquer respectivement de type A, B et C Max Z = ( ) x 1 + ( ) x 2 + ( )x 3 x x x x 1 + x x x x 2 + x x x 2 + x x 1 0, x 2 0, x 3 0 Réponse 12. Soient x 1, x 2 et x 3 le nombre de produits à fabriquer respectivement de type A, B et C Max Z = ( ) x 1 + ( ) x 2 + ( )x 3 x x x x x 2 30 x 2 / 3 x 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 Réponse13. Soient x 1, x 2 et x 3 le nombre de m 3 à fabriquer respectivement du 1 er, 2 nd et du 3 ième gaz. Min Z = 100 x x x x x x x x x x 1 0, x 2 0, x 3 0 Réponse 14. Soit x 1 le nombre de pain introduit dans la ration de 100g x 2 le nombre de beurre introduit dans la ration de 100g x 3 le nombre de fromage introduit dans la ration de 100g x 4 le nombre de pois introduit dans la ration de 100g x 5 le nombre d épinards introduit dans la ration de 100g 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 44

17 Max Z = 3 x x x x x 5 10 x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5 12 x i 0, i = 1,, 5 Réponse 15. Soit x ij le nombre de pièces i à fabriquer sur la machine j. On aura 12 variables. Le problème s écrit : Minz = 3x x x x x 12 + x 22 + x x x x x x 43 Sous les contraintes : 3x x x x x 12 + x 22 + x x x x x x x 11 +x 12 + x 13 = 10 x 21 + x 22 + x 23 = 40 x 31 + x 32 + x 33 = 50 x 41 + x 42 + x 43 = 20 x ij 0, i = 1,, 4 et j = 1, 2, 3. Réponse 16. Soient x 1 le nombre de bureau A, x 2 le nombre de bureau B, x 3 le nombre de bureaux C, x 4 le nombre de bureau D à fabriquer. Max z = 900 x x x x 4 x x 2 + x 3 + x x 1 + x x 3 + x x x 3 + x x i 0, i = 1,, 4. Réponse 17. Soit x 1 le nombre d autos à construire et x 2 le nombre de camions. 4/3 x 1 + 4/3 x 2 représente le nombre d heures de travail dans l atelier I ½ x x 2 représente le ««««««I I 8/7 x 1 + 5/2 x 2 ««««««««I I I 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 45

18 Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Pr. Ali DERBALA 4/ 3x1 + 4/ 3x 2 = 200 1), x 1 = 100 et x 2 = 50. 1/ 2 x 1 + 3x 2 = 200 2) 8/7 x /2 x 50 = 239, 28. La production en 1) n est pas possible. x1+ x2 200 (I) 3) et 4) x1 + 6 x2 400 (II) 8/ 7x 1 + 5/ 2x ( III) L intersection de (I) et (II) donne l optimum et qui est le point B = ( 128,94; 21,05) et Z(B) = DA. Réponse 18. Soit x ij le nombre de tonnes de métal qui sont acheminés chaque semaine depuis le port i vers l usine j ( i = 1, 2 et j = 1, 2, 3). Le programme s écrit : minz = 500 x x x x x x 23 x 11 + x x 12 + x x 13 + x x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x ij 0 ( i = 1, 2 et j = 1, 2, 3 ) Réponse 19. Réponse 20. Soient x ij : le nombre de tonnes de déchets à transporter de la ville i ( i = 1, 2 ) à l incinérateur j ( j = 1, 2 ) et y jk le nombre de tonnes de débris à transporter de l incinérateur j au terrain-vague k ( k = 1, 2 ) min Z = 40 (x 11 + x 21 ) + 30 (x 12 + x 22 ) + 3 ( 30 x x x x y y y y 22 ) x 11 + x 12 = 500 x 21 + x 22 = 400 y 11 + y 12 = 0.2 ( x 11 + x 21 ) y 21 + y 22 = 0.2 (x 12 + x 22 ) x 11 + x x 12 + x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 46

19 y 11 + y y 12 + y x ij 0, y jk 0 ( i, j, k = 1, 2 ) La programmation linéaire est notamment très utilisée dans l industrie du pétrole. Réponse 21. Appelons respectivement x 1, x 2 et x 3 les quantités de brut, en millions de tonnes, traitées annuellement par la raffinerie. Le tableau des rendements ci-dessus montre que la production de gaz et gaz liquéfiés correspondant à 1 million de tonnes de pétrole brut atteint : 0.02 million de tonnes quand on traite du brut n million de tonnes quand on traite du brut n 3 Comme la fabrication de cette catégorie de produit est limitée à tonnes, soit 0.3 million de tonnes, la contrainte correspondante s écrit : 0.2 x x Soit encore : x x 3 15 On obtient de même : - pour la limitation de production d essences : 0.20 x x x soit encore : 4 x x x pour la limitation de production de pétrole : 0.08 x x soit encore : 4 x x pour la limitation de production de gasoil : 0.40 x x x qui est équivalent à l équation : 8 x x x pour la limitation de production de fuel-oil : 0.30 x x x Soit encore : 3 x x x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 47

20 Le problème est de maximiser le bénéfice en millions de DA, qui s écrit : Sous les contraintes : Max z = 40 x x x 3 x x x x x x x x x x x x x 3 18 x 1 0, x 2 0, x 3 0. Réponse 22. 1) a) Pour assurer une production hebdomadaire de 400 téléviseurs et 600 magnétoscopes il faut : 400 x 0, x 1 = 800 heures de main d œuvre. L entreprise dispose de 20 x 39 = 780 heures de main d œuvre. Elle ne dispose donc pas de la main d œuvre suffisante pour assurer cette production. b) Une production de 600 téléviseurs et 400 magnétoscopes nécessite 3000 x x 400 = DA de composants. Comme elle ne peut consacrer que DA par semaine au financement de ses approvisionnements en composants, elle ne peut donc assurer cette production. 3000x+ 200y x+ 2y 256 0, 5x+ y 780 0, 5x+ y 780 c) x 600 x 600 y 600 y 600 x 0, y 0 x 0, y 0 La représentation est facile. 2) Le bénéfice est 1500 x y. Si le bénéfice réalisé est DA, alors 1500 x y = , soit 3 x + 4 y = Les couples qui réalisent cette équation sont à l extérieur du polyèdre de réalisabilité. L entreprise ne peut assurer une telle production. ( 400, 570 ) ; ( 450, 550) sont les points qui assurent un bénéfice supérieur ou égal à DA. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 48

21 Réponse 23. Si le gérant achète x lots A et y lots B ( x 0, y 0 ) Le nombre de draps de bain est 2 x + 3 y. Il doit être supérieur ou égale à 90 d où la condition 2 x + 3 y 90. Le nombre de serviettes est 4 x + 12 y. Il doit être supérieur ou égal à 240 d où la condition 4 x + 12 y 240. Le nombre de gants de toilette est 8 x + 6 y. Il doit être supérieur ou égal à 240 d où la condition 8 x + 6 y 240. Le système des contraintes est donc: 2x+ 3y 90 4x+ 12y 240 8x+ 6y 240 x 0 ety 0 équivalent à 2x+ 3y 90 x+ 3y 60 4x+ 3y 120 x 0 ety 0 Réponse 24. Définissons les variables de décision par : X 1 : le nombre de verres à café produits pendant la semaine à venir ; X 2 : le nombre de verres à thé produits pendant la semaine à venir ; X 3 : le nombre de verres à eau produits pendant la semaine à venir ; Le plan de production maximisant le chiffre d'affaires est solution du programme linéaire : Max z = 8 X X X 3 4 X X X X 1 + X X ,1 X 1 + 0,15 X 2 + 0,1 X X 1 0, X 2 0 et X ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 49

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