Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA"

Transcription

1 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche à soulever un nombre minimale de dalles Trouver une solution minimale par la programmation linéaire. ( Indication: poser x i = 0 ou 1, i = 1,.,8;si on ne soulève pas ou on soulève la dalle i ) Ecrire un programme linéaire avec les contraintes d intégrité. Remplacer les contraintes par 0 x i 1, i = 1,, 8. Appliquer l algorithme du simplexe, puis justifier ce changement de contraintes. 76. Résoudre par la méthode des deux phases les problème linéaires suivant : a) min z = 2 x 1 - x 2 + x 3 x 1 + x 2 - x 3 = x 1 - x 2 + x 4 = 1 x x 2 - x 4 = 2 x 1 0,, x 4 0 b) min z = x 1 + x 2 - x 3 2 x 5 x x 2 + x 4 = 3 3 x 2 - x 4 + x 5 5 x 2 + x 5 3 x 1 0,, x En utilisant la forme produit de l inverse, déterminer A -1 si : a) A = b) A = ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 29

2 78. Par la méthode révisée du simplexe ( forme matricielle de la méthode du simplexe), résoudre les problèmes: a) min z = - 2 x 1 + x 2-3x 3 x 4 x 5 x 1 + x x x 4 2 x x 1-2 x x 3-2 x 4 + 3x 5 10 x 1 0,, x 5 0 b) max z = 9 x x 2 10 x x x x ,5 x x 2 81 x 1 0, x 2 0 c) min z = - 6 x 2-5x 3 x x 2 + x 3 + x 4 = 10 2 x x x x 4 = 21 x 1 0,, x 4 0 d) max z = x 1 - x 2 + x x 4 x 1 + x 2 + x x 4 = 7 x 2 + x 3 + x 4 = 5 x 3 - x 4 = 9 x 1 0,, x Par la méthode révisée du simplexe ou méthode matricielle, résoudre le problème suivant : MinZ = - 5 x 1-6 x 2 2 x x 2 + x 3 = 10 x x 2 + x 4 = 6 x 1 0 ;.. ; x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 30

3 80. On considère les problèmes de programmation linéaire : a) min z = - 3/4 x x 2 1/50 x x 4 1 / 4 x 1-60 x 2 1 / 25 x x 4 + x 5 = 0 1 / 2 x 1 90 x 2-1/ 50 x x 4 + x 5 = 0 x 3 + x 7 = 1 x j 0, j = 1,,7. b) max z = x 3 - x 4 + x 5 - x 6 x 1 + x 3 2 x 4-3 x x 6 = 0 x x 3-3 x 4-2 x 5 + x 6 = 0 x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x7 = 1 x j 0, j = 1,,7. 1) Résoudre ces problèmes par l algorithme du simplexe et montrer que dans ces exemples, le phénomène de cycles se produit. 2) En appliquant la méthode lexicographique, éviter le cycle et obtenir la solution optimale de chaque problème. 81. On considère les problèmes de programmation linéaire a) minx z = 3x 1 - x x 3 2 x 1 - x 2 - x 3 + x 4-1 x 2 + x 4 2 x j 0, j = 1,,4. b) max z = 2x x 2 - x 3 x 1 + x x 1 - x 2 + x 3 7 x 2 - x 3 0 x 1 - x 3 10 x j 0, j = 1,,3. c) max z = - 2 x 2 + x x 5 x 1 2 x x 4 + x 5 = 8 x 2 + x 3 + x 4-2 x 5 = 6 x j 0, j = 1,,5. Déterminer les problèmes duaux correspondants. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 31

4 82. Donner les problèmes duaux pour les problèmes suivants : a) min z = x 1-2 x 2 +x 3 - x 4 + x 5 x 1 2 x 2 + x 3 3 x 4-2 x 5 = 6 2 x x 2-2 x 3 - x 4 + x 5 4 x x 3-4 x 5 8 x 1 0, x 2 0, x 3 et x 4 sont quelconques. b) max z = 2 x 1 - x 3 x 1 + x 2 + x x x 3 = 5 - x 1 + x 2 0 x 2 - x 3 = 2 x 1 - x 2 - x 3-2 x 1 0, x 3 0, x 2 est quelconque. c) minz = c x + d y A 1 x + A 2 y a B 1 x + B 2 y = b x 0, y quelconque. 83. Par l algorithme du simplexe, résoudre les problèmes : a) max z = 2 x x 2 - x x 2 6 x 1-4 x 2 2 x 1 - x 2 5 x 1 0, x 2 0. b) max z = 2 x 1 - x x 3 2 x 4 + x 5 - x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 - x 2 + x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 5 = 2 x i 0, i = 1,,5. Déterminer les solutions optimales des problèmes duaux correspondants. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 32

5 84. Soit le programme linéaire suivant : MinZ = 2 x 1 + x 3 x 1 + x 2 - x 3 5 x 1-2 x x 3 8 x 1 0 ;.. ; x 3 0 Ecrire son dual. Le résoudre géométriquement. Déterminer une solution optimale du problème primal. Conclure. 85. On considère le programme linéaire : max z = 4 x x 2 - x x 2 6 x 1 + x x 1 - x 2 15 x 1 0, x 2 0. En utilisant l interprétation géométrique, trouver la solution optimale. En utilisant le théorème fondamental de la dualité, déterminer la solution optimale du programme dual correspondant. 86. On considère le programme linéaire suivant : min z = x x x 3 3 x 1 2 x 2 + x 3 5 x 1 + x x x x 2 - x 3 2 x 1 0, x 2 0. Par la méthode du simplexe, résoudre le problème dual correspondant et déterminer la solution optimale du problème primal. 87. Résoudre le programme linéaire : min z = x x n x n x 1 + x x i i ( i = 1,, n ) x j 0, j = 1,, n. ( Indication : considérer le problème dual correspondant) 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 33

6 88. Soit le programme linéaire suivant : min z = 2 x x 2 + x 3 x 1 + x 2 - x 3 1/2 x 2 + x 3 1 x i 0, i = 1,,3 Ecrire et résoudre le programme dual. Retrouver une solution du problème initial appelé primal en utilisant le théorème des écarts complémentaires. 89. En utilisant le théorème des écarts complémentaires, vérifier si x = (3, 0, 1, 3) est une solution optimale des problèmes suivants : a) max z = - 2 x 1 - x 2 + x 3 + x 4 2 x 1 + x 2-3 x 3 + x 4 = 6 x 1 - x x 3 - x 4 = 2 x 1-3 x 2-2 x 3 x 4 = - 2 x i 0, i = 1,,4. b) max z = 2 x 1 - x x 3-6 x 4 3 x 1 - x x 4 15 x x 2 - x 3-2 x 4-4 x x 3 x 4 0 x i 0, i = 1,,4. c) max z = 2 x 1 - x x 3-6 x 4 2 x 1 - x x 4 = 10 x 1 + x 2 - x 4 = 0 2 x 1-2 x x 4 = 13 x i 0, i = 1,, Soit le problème linéaire max. W = ½ x 1 + x 2 x 1 2 (P) x 1 + x x 1 + x 2 1 x 1 0, x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 34

7 a) Déterminer une solution de ce problème. b) Ecrire le dual de (P). En utilisant les résultats du théorème des écarts complémentaires, déterminer une solution du dual. 91. On considère le problème de la PL max z = ( 3 m )x 1 + ( m 3 ) x 2 + x 3 x x x x 1 + x 2 + x 3 7 x i 0, i = 1,,3. a) résoudre ce problème selon les valeurs de «m». b) Pour m = 0, déterminer une solution optimale du problème dual si elle existe. 92. Par la méthode duale du simplexe, résoudre le problème suivant : min z = 2 x 1 + x 3 x 1 + x 2 - x 3 5 x 1-2 x x 3 8 x i 0, i = 1,, a) Soit un couple de problèmes duaux sous forme standard min z = cx max w = ud ( I ) Ax = d et (II) ua c x 0 u quelconque c n, x n, A : m x n, d m, u m. 1) Montrer que si x est une solution réalisable de (I) et u est une solution du dual (II) alors on a : c x u d. 2) Montrer que si x est une solution réalisable du (I) et u est une solution du dual (II) et si c x = u d alors x et u sont des solutions optimales respectivement de (I) et (II). b) Soit un couple de problèmes duaux sous forme canonique min z = cx ( I ) Ax d et (II) x 0 max w = ud ua c u 0 3) Montrer qu une condition nécessaire et suffisante pour que x et u soient des solutions optimales de (I) et (II) est que : u ( A x - d ) = 0 et (c- u A) x = 0. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 35

8 4) Que deviennent ces conditions si les problèmes sont mis sous la forme standard? 5) On appelle «Lagrangien» associé à ces problèmes la fonction des variables x et u définie par : (x, u) = c x + u d u A x. On dit que le couple ( x, u ), x 0, u 0, constitue un col ou «point selle» si pour tout x 0, u 0 on a : ( x, u) ( x, u ) ( x, u ). 6) Montrer qu une condition nécessaire et suffisante pour que ( x, u ) soient deux solutions optimales du problème primal (I) et du dual (II) est que le couple ( x, u ) constitue le col du Lagrangien ( x, u). La valeur commune des fonctions objectives de (I) et (II) est égale à ( x, u ). max z = cx 94. Soit le problème linéaire suivant (P) Ax b x 0 Montrer que la variation de la valeur optimum de la fonction objective du problème linéaire pour une variation δb suffisamment faible pour que la base optimale (P) soit max z = cx encore la base optimale de (P δ ) Ax b + δ b x 0 solution optimale du dual de (P). est égale à yδ b où y est une 95. Par la méthode du grand M, résoudre le problème de la programmation linéaire suivant : min Z = - 2 x 1 - x 2 - x 3 4 x x x x x 2 - x x x 2-5 x 3 4 x 1 0, x 2 0 et x Résoudre par la méthode du problème augmenté le problème de la programmation linéaire suivant : min Z = - x 1-2 x 2 3 x 1 + x 2 + x 3 = 6 x x 2 - x 4 = 10 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 36

9 x 1 0,, x Résoudre le problème suivant : min Z = x 1 + x 2 - x 3 2 x 5 x x 2 + x 4 = 3 x 3-2 x 4 = 2 3 x 2 - x 4 + x 5 5 x 2 + x 5 3 x 1 0, x 2 0,, x Enoncer l algorithme de transport. Résoudre le problème de transport donné par le tableau suivant : b j a i Où a i et b j représentent respectivement les quantités d un produit disponible au site i et la quantité demandée par le lieu de vente j. Les éléments du tableau sont les coûts de transport du site i au lieu de vente j. Ecrire le problème dual correspondant. 99. Résoudre le problème de transport donné par le tableau suivant : b j a i Où a i et b j représentent respectivement les quantités d un produit disponible au site i et la quantité demandée par le lieu de vente j. Les éléments du tableau sont les coûts de transport du site i au lieu de vente j. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 37

10 100. Soit un problème de transport donné par le tableau ci dessous : b j a i où a i et b j représentent respectivement les quantités d un produit disponible au site i et la quantité demandée par le lieu de vente j. Les éléments du tableau sont les coûts de transport du site i au lieu de vente j. a. Ecrire le programme linéaire correspondant à ce problème de transport et lui associer son dual. b. par la règle du produit minimum, déterminer une solution de base réalisable. c. par la règle de Houthaker, déterminer une solution de base réalisable. d. Est-elle optimale? Sinon déterminer une solution optimale. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 38

11 Annexe 1 : La méthode Lexicographique Un vecteur a n est dit lexicographiquement positif si sa première composante non nulle est positif ( ou 1-positif ). Un vecteur a n est 1-supérieur à un vecteur b n est si a b > 0 ( a > b lexicographiquement ). Cette relation définit un ordre total sur les vecteurs de n ( par analogie avec l ordre dans lequel sont rangés les mots d un dictionnaire ). Etant donné une suite finie de vecteurs de n, on peut définir 1-max ou 1-min de cette suite finie. Soit le problème (P) min z = cx Ax = b x 0, b 0 On suppose que rang A = rang (A, b) = m. On suppose que A est rangée de façon que les «m» premières colonnes forment une base initiale A B = ( a 1, a 2,, a m ) Formons ( b, A B ) = Avec α i = ( a i0, a i1,, a im ). a10 a11... a1m a20 a21... a2m am0 am1... amm Supposons que chaque α i ( i = 1,,m) soit l-positif. α1 α2 =... αm La méthode de simplexe est basée sur un changement de base pour améliorer la fonction objectif. Si x = = ( a 10, a 20,, a i0,, a m0, 0,,0 ) n est pas optimale, pour déterminer la colonne pivot, on utilise { min c j, c j < 0 }= c s Le critère de sortie à la même forme que la méthode de simplexe, mais le minimum doit être pris lexicographiquement. αr a rs αi = l min a a is > 0 is ai0 On calcule min, I ensemble des indices de vecteurs ( des variables de bases). i I ais Si ce minimum est unique et a lieu pour i = r, on fait sortir a r ai0 ai1 si min est atteint en plusieurs points, on calcule min, I 1 I et on répète i I ais i I a 1 is air l opération sur I r avec min i I a r is. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 39

12 Si rg(a) = m, deux lignes de A ne peuvent pas être proportionnelles et donc au plus tard à ( m + 1 ) étapes d application de cette procédure on a un minimum unique. Montrons que dans ce nouveau tableau a) Chaque ligne est l-positive b) La ligne a augmenté lexicographiquement c est à dire ai0 ai1 aim ain,,...,,... > ais ais ais ais ar0 ar1 arm arn,,...,,... (*) ars ars ars ars Si a is > 0 alors pour obtenir la ième ligne du nouveau tableau, il suffit de retrancher ( a r0, a r1,, a r n ) multiplié par ais de ( a i0, a i1,, a i n ). ars Soit ( a i0, a i1,, a i n ) - ( a r0, a r1,, a r n ) x D après (*) la ième ligne est l-positive. ais > 0. ars Si a is < 0, ( a i0, a i1,, a i n ) - ( a r0, a r1,, a r n ) x l-positifs est l-positive. ais est la somme de deux vecteurs ars ais Pour obtenir la ligne de z, il faut ajouter v = ( a r0, a r1,, a r n ) multiplié par à ars la ligne de z. Puisque v est l-positif, - z augmente lexicographiquement. La ligne de z sert à ordonner les bases du problème de la programmation linéaire. Dans le cas de dégénèrescence, la valeur de z est la somme d un tableau du simplexe à un nouveau tableau mais la ligne de z augmente. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 40

13 Annexe 2 : Indications sur la résolution de quelques exercices de modélisation Réponse 01. Soient x i la quantité de P livrée au détaillant D i ( i = 1, 2, 3). Les contraintes sont: x 1 + x 2 + x 3 = 24 x 2 9, x 3 9 x 1 2 x x 1 0, x 2 0 et x 3 0. Minz = 4 x x x 3 Réponse 2. Si on note x j le nombre de gâteaux de type G j, le problème s écrit : Maxz = 2 x x x 3 x 1 + x x 3 20 x x 2 + x x 1 + x 2 + x 3 20 x x 2 20 x x 2 + 2x 3 10 x 1 0, x 2 0, x 3 0. Réponse 3. Une plaque de 200 cm de largeur peut être coupée de cinq façons : 1. une plaque de 75 cm et deux plaques de 60 cm. Les déchets seront de 05 cm. 2. une plaque de 110 cm et une plaque de 75 cm. Les déchets seront de 15 cm. 3. une plaque de 110 cm et une plaque de 60 cm. Les déchets seront de 30 cm. 4. trois plaques de 60 cm. Les déchets seront de 20 cm. 5. deux plaques de 75 cm. Les déchets seront de 50 cm. Soit x i : le nombre de plaques à découper par la façon i, le problème s écrit : Min z = 5 x x x x x 5 x 2 + x 3 30 x 1 + x 2 + x x 1 + x x x 1 0,, x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 41

14 Réponse 4. Soit x et y respectivement le nombre d assiettes de type 1 et du type 2 à offrir. Le problème est de maximiser la fonction 80 x y sous les contraintes: 5 x + 3 y 30 2 x + 3 y 24 x + 3 y 18 x 0 et y 0. Réponse 5. Soient x 1 le nombre de bouteilles de type boisson_a et x 2 le nombre de bouteilles de type boisson_b. Le problème est de : Max z = 3 x x 2 2 x 1 + x x 1 + x x x x 1 0 et x 2 0. Réponse 6. Soient x 1 et x 2 respectivement le nombre d inspecteurs de 1 er et du 2 nd catégorie à affecter à l inspection. Chaque inspecteur de 1 er catégorie inspecte 25 x 8 pièces par jour, soit 200 pièces. S il commette 2% d erreur, cela représentera 4 pièces qui coûteront 4 x 50 DA. Chaque inspecteur de 2 nd catégorie inspecte 15 x 8 pièces par jour, soit 120 pièces. S il commette 5% d erreur, cela représentera 6 pièces qui coûteront 6 x 50 DA. Le problème est de : Minz = ( 100 x ) x 1 + ( 70 x ) x x x x 1 12 x 2 17 x 1 0, x 2 0. Réponse 7. Le problème de transport est un problème particulier de la programmation linéaire. Sa formulation mathématiques est : 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 42

15 Minz = m n 1 c ij x ij i= 1 j= 1 m a i i= 1 n 1 b j j= 1. Cette équation traduit que la demande doit être satisfaite. n 1 x ij j= 1 a i, i = 1,, m. m x ij = b j, j = 1,, n - 1. i= 1 x ij 0, i = 1,, m et j = 1,, n 1. a i 0, i = 1,, m, b j 0, j = 1,, n 1, c ij 0, i = 1,, m et j = 1,, n 1. n Réponse 8. Il s écrit, Max z = c j x j j= 1 n a ij x j j= 1 b i i = 1,, m. x j 0, j = 1,, n. Réponse 09. Soient x 1 et x 2 le nombre de mètres cubes de carburant de type 1 et 2 à produire. Max z = 6000 x x 2 20 % x % x % x % x % x % x % x % x x 1 0, x 2 0. Réponse 10. Si x 1, x 2, x 3 représentent les nombres de pièces de type p 1, p 2, p 3 à fabriquer, le profit total est: max Z = 50 x x x 3 2 x x x x x x x 1 0, x 2 0, x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 43

16 Réponse 11. Soient x 1, x 2 et x 3 le nombre de produits à fabriquer respectivement de type A, B et C Max Z = ( ) x 1 + ( ) x 2 + ( )x 3 x x x x 1 + x x x x 2 + x x x 2 + x x 1 0, x 2 0, x 3 0 Réponse 12. Soient x 1, x 2 et x 3 le nombre de produits à fabriquer respectivement de type A, B et C Max Z = ( ) x 1 + ( ) x 2 + ( )x 3 x x x x x 2 30 x 2 / 3 x 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 Réponse13. Soient x 1, x 2 et x 3 le nombre de m 3 à fabriquer respectivement du 1 er, 2 nd et du 3 ième gaz. Min Z = 100 x x x x x x x x x x 1 0, x 2 0, x 3 0 Réponse 14. Soit x 1 le nombre de pain introduit dans la ration de 100g x 2 le nombre de beurre introduit dans la ration de 100g x 3 le nombre de fromage introduit dans la ration de 100g x 4 le nombre de pois introduit dans la ration de 100g x 5 le nombre d épinards introduit dans la ration de 100g 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 44

17 Max Z = 3 x x x x x 5 10 x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5 12 x i 0, i = 1,, 5 Réponse 15. Soit x ij le nombre de pièces i à fabriquer sur la machine j. On aura 12 variables. Le problème s écrit : Minz = 3x x x x x 12 + x 22 + x x x x x x 43 Sous les contraintes : 3x x x x x 12 + x 22 + x x x x x x x 11 +x 12 + x 13 = 10 x 21 + x 22 + x 23 = 40 x 31 + x 32 + x 33 = 50 x 41 + x 42 + x 43 = 20 x ij 0, i = 1,, 4 et j = 1, 2, 3. Réponse 16. Soient x 1 le nombre de bureau A, x 2 le nombre de bureau B, x 3 le nombre de bureaux C, x 4 le nombre de bureau D à fabriquer. Max z = 900 x x x x 4 x x 2 + x 3 + x x 1 + x x 3 + x x x 3 + x x i 0, i = 1,, 4. Réponse 17. Soit x 1 le nombre d autos à construire et x 2 le nombre de camions. 4/3 x 1 + 4/3 x 2 représente le nombre d heures de travail dans l atelier I ½ x x 2 représente le ««««««I I 8/7 x 1 + 5/2 x 2 ««««««««I I I 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 45

18 Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Pr. Ali DERBALA 4/ 3x1 + 4/ 3x 2 = 200 1), x 1 = 100 et x 2 = 50. 1/ 2 x 1 + 3x 2 = 200 2) 8/7 x /2 x 50 = 239, 28. La production en 1) n est pas possible. x1+ x2 200 (I) 3) et 4) x1 + 6 x2 400 (II) 8/ 7x 1 + 5/ 2x ( III) L intersection de (I) et (II) donne l optimum et qui est le point B = ( 128,94; 21,05) et Z(B) = DA. Réponse 18. Soit x ij le nombre de tonnes de métal qui sont acheminés chaque semaine depuis le port i vers l usine j ( i = 1, 2 et j = 1, 2, 3). Le programme s écrit : minz = 500 x x x x x x 23 x 11 + x x 12 + x x 13 + x x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x ij 0 ( i = 1, 2 et j = 1, 2, 3 ) Réponse 19. Réponse 20. Soient x ij : le nombre de tonnes de déchets à transporter de la ville i ( i = 1, 2 ) à l incinérateur j ( j = 1, 2 ) et y jk le nombre de tonnes de débris à transporter de l incinérateur j au terrain-vague k ( k = 1, 2 ) min Z = 40 (x 11 + x 21 ) + 30 (x 12 + x 22 ) + 3 ( 30 x x x x y y y y 22 ) x 11 + x 12 = 500 x 21 + x 22 = 400 y 11 + y 12 = 0.2 ( x 11 + x 21 ) y 21 + y 22 = 0.2 (x 12 + x 22 ) x 11 + x x 12 + x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 46

19 y 11 + y y 12 + y x ij 0, y jk 0 ( i, j, k = 1, 2 ) La programmation linéaire est notamment très utilisée dans l industrie du pétrole. Réponse 21. Appelons respectivement x 1, x 2 et x 3 les quantités de brut, en millions de tonnes, traitées annuellement par la raffinerie. Le tableau des rendements ci-dessus montre que la production de gaz et gaz liquéfiés correspondant à 1 million de tonnes de pétrole brut atteint : 0.02 million de tonnes quand on traite du brut n million de tonnes quand on traite du brut n 3 Comme la fabrication de cette catégorie de produit est limitée à tonnes, soit 0.3 million de tonnes, la contrainte correspondante s écrit : 0.2 x x Soit encore : x x 3 15 On obtient de même : - pour la limitation de production d essences : 0.20 x x x soit encore : 4 x x x pour la limitation de production de pétrole : 0.08 x x soit encore : 4 x x pour la limitation de production de gasoil : 0.40 x x x qui est équivalent à l équation : 8 x x x pour la limitation de production de fuel-oil : 0.30 x x x Soit encore : 3 x x x ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 47

20 Le problème est de maximiser le bénéfice en millions de DA, qui s écrit : Sous les contraintes : Max z = 40 x x x 3 x x x x x x x x x x x x x 3 18 x 1 0, x 2 0, x 3 0. Réponse 22. 1) a) Pour assurer une production hebdomadaire de 400 téléviseurs et 600 magnétoscopes il faut : 400 x 0, x 1 = 800 heures de main d œuvre. L entreprise dispose de 20 x 39 = 780 heures de main d œuvre. Elle ne dispose donc pas de la main d œuvre suffisante pour assurer cette production. b) Une production de 600 téléviseurs et 400 magnétoscopes nécessite 3000 x x 400 = DA de composants. Comme elle ne peut consacrer que DA par semaine au financement de ses approvisionnements en composants, elle ne peut donc assurer cette production. 3000x+ 200y x+ 2y 256 0, 5x+ y 780 0, 5x+ y 780 c) x 600 x 600 y 600 y 600 x 0, y 0 x 0, y 0 La représentation est facile. 2) Le bénéfice est 1500 x y. Si le bénéfice réalisé est DA, alors 1500 x y = , soit 3 x + 4 y = Les couples qui réalisent cette équation sont à l extérieur du polyèdre de réalisabilité. L entreprise ne peut assurer une telle production. ( 400, 570 ) ; ( 450, 550) sont les points qui assurent un bénéfice supérieur ou égal à DA. 3 ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 48

21 Réponse 23. Si le gérant achète x lots A et y lots B ( x 0, y 0 ) Le nombre de draps de bain est 2 x + 3 y. Il doit être supérieur ou égale à 90 d où la condition 2 x + 3 y 90. Le nombre de serviettes est 4 x + 12 y. Il doit être supérieur ou égal à 240 d où la condition 4 x + 12 y 240. Le nombre de gants de toilette est 8 x + 6 y. Il doit être supérieur ou égal à 240 d où la condition 8 x + 6 y 240. Le système des contraintes est donc: 2x+ 3y 90 4x+ 12y 240 8x+ 6y 240 x 0 ety 0 équivalent à 2x+ 3y 90 x+ 3y 60 4x+ 3y 120 x 0 ety 0 Réponse 24. Définissons les variables de décision par : X 1 : le nombre de verres à café produits pendant la semaine à venir ; X 2 : le nombre de verres à thé produits pendant la semaine à venir ; X 3 : le nombre de verres à eau produits pendant la semaine à venir ; Le plan de production maximisant le chiffre d'affaires est solution du programme linéaire : Max z = 8 X X X 3 4 X X X X 1 + X X ,1 X 1 + 0,15 X 2 + 0,1 X X 1 0, X 2 0 et X ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 49

Première partie. Modélisation des problèmes en programmes linéaires notés PL

Première partie. Modélisation des problèmes en programmes linéaires notés PL Première partie Modélisation des problèmes en programmes linéaires notés PL ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida 0. Un grossiste doit livrer unités d un produit déterminé P à trois détaillants

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 1

Programmation Linéaire - Cours 1 Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle

Plus en détail

Travaux dirigés n 1. Programmation linéaire

Travaux dirigés n 1. Programmation linéaire Université de Reims Champagne Ardenne U.F.R. de Sciences Exactes et Naturelles MASTER 1 Informatique - 2014/2015 Pierre Delisle Travaux dirigés n 1 Programmation linéaire Exercice 1 (Résolution d'un programme

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Théorèmes de Point Fixe et Applications 1

Théorèmes de Point Fixe et Applications 1 Théorèmes de Point Fixe et Applications 1 Victor Ginsburgh Université Libre de Bruxelles et CORE, Louvain-la-Neuve Janvier 1999 Published in C. Jessua, C. Labrousse et D. Vitry, eds., Dictionnaire des

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain

Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain Philippe Bernard Ingénierie Economique & Financière Université Paris-Dauphine Février 0 On considère un univers de titres constitué

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2 22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

RECHERCHE OPERATIONNELLE

RECHERCHE OPERATIONNELLE RECHERCHE OPERATIONNELLE 0. Introduction. Ce cours a été enseigné jusqu en 2002, en année de licence, à la MIAGE de NANCY. L objectif principal de ce cours est d acquérir une connaissance approfondie de

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..

1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble.. 1 Définition GÉNÉRALITÉS Statique 1 2 Systèmes matériels et solides Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..une pièce mais aussi un liquide ou un gaz Le solide : Il est supposé

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées

Plus en détail

Formules d inclusion-exclusion

Formules d inclusion-exclusion Université de Rouen L1 M.I.EEA 2011 2012 Mathématiques discrètes Formules d inclusion-exclusion Je présente ici une correction détaillée de l Exercice 5 de la Feuille d exercices 1, en reprenant le problème

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ

F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ Auteur : S.& S. Etienne F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ TI-Nspire CAS Mots-clés : représentation graphique, fonction dérivée, nombre dérivé, pente, tableau de valeurs, maximum, minimum. Fichiers associés

Plus en détail

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très

Plus en détail

Introduction à l Algorithmique

Introduction à l Algorithmique Introduction à l Algorithmique N. Jacon 1 Définition et exemples Un algorithme est une procédure de calcul qui prend en entier une valeur ou un ensemble de valeurs et qui donne en sortie une valeur ou

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle

Plus en détail

LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1

LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 Chapitre XIII LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 XIII.1 Introduction Nous débutons par un rappel de la formulation standard d un problème d optimisation 2 linéaire et donnons un bref aperçu des différences

Plus en détail

Chapitre 3. Les distributions à deux variables

Chapitre 3. Les distributions à deux variables Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 25 et 26 mai 2004 SÉRIE COLLÈGE

Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 25 et 26 mai 2004 SÉRIE COLLÈGE Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 5 et 6 mai 004 SÉRIE COLLÈGE Durée heures MATHEMATIQUES Rédaction, présentation, orthographe (4 points) PARTIE I : ACTIVITES NUMERIQUES (1 points) Dans

Plus en détail

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

Que faire en algorithmique en classe de seconde? ElHassan FADILI Lycée Salvador Allende

Que faire en algorithmique en classe de seconde? ElHassan FADILI Lycée Salvador Allende Que faire en algorithmique en classe de seconde? BEGIN Que dit le programme? Algorithmique (objectifs pour le lycée) La démarche algorithmique est, depuis les origines, une composante essentielle de l

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Correction du bac blanc CFE Mercatique

Correction du bac blanc CFE Mercatique Correction du bac blanc CFE Mercatique Exercice 1 (4,5 points) Le tableau suivant donne l évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers : Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

CUEEP Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 1/27

CUEEP Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 1/27 Problèmes du premier degré à une ou deux inconnues Rappel Méthodologique Problèmes qui se ramènent à une équation à une inconnue Soit l énoncé suivant : Monsieur Duval a 4 fois l âge de son garçon et sa

Plus en détail

Cours de Recherche Opérationnelle IUT d Orsay. Nicolas M. THIÉRY. E-mail address: Nicolas.Thiery@u-psud.fr URL: http://nicolas.thiery.

Cours de Recherche Opérationnelle IUT d Orsay. Nicolas M. THIÉRY. E-mail address: Nicolas.Thiery@u-psud.fr URL: http://nicolas.thiery. Cours de Recherche Opérationnelle IUT d Orsay Nicolas M. THIÉRY E-mail address: Nicolas.Thiery@u-psud.fr URL: http://nicolas.thiery.name/ CHAPTER 1 Introduction à l optimisation 1.1. TD: Ordonnancement

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

TROISI` EME PARTIE L ALG` EBRE

TROISI` EME PARTIE L ALG` EBRE TROISIÈME PARTIE L ALGÈBRE Chapitre 8 L algèbre babylonienne Sommaire 8.1 Présentation..................... 135 8.2 Résolution d équations du second degré..... 135 8.3 Bibliographie.....................

Plus en détail

Ensimag 2A. Rapport de TER. Application de la Recherche Opérationnelle à la Finance

Ensimag 2A. Rapport de TER. Application de la Recherche Opérationnelle à la Finance Ensimag 2A Rapport de TER Application de la Recherche Opérationnelle à la Finance Elève : Yuefei HUANG Tuteur : Zoltán SZIGETI Mai, 2010 2 Sommaire 1. Introduction... 3 2. Le marché des changes et arbitrage...

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Cours de recherche opérationnelle I

Cours de recherche opérationnelle I 1 Cours de recherche opérationnelle I Nadia Brauner Nadia.Brauner@imag.fr Grenoble, 2014-2015 Auteurs Ont participé à la rédaction de ce cours (par ordre d arrivée) Nadia Brauner Christophe Rapine Julien

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Lecture graphique. Table des matières

Lecture graphique. Table des matières Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Communications collectives et ordonnancement en régime permanent pour plates-formes hétérogènes

Communications collectives et ordonnancement en régime permanent pour plates-formes hétérogènes Loris MARCHAL Laboratoire de l Informatique du Parallélisme Équipe Graal Communications collectives et ordonnancement en régime permanent pour plates-formes hétérogènes Thèse réalisée sous la direction

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Thème 12: Généralités sur les fonctions

Thème 12: Généralités sur les fonctions GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 69 Thème 12: Généralités sur les fonctions 12.1 Introduction Qu est-ce qu une fonction? Une fonction est une sorte de "machine". On choisit dans un ensemble de départ A un

Plus en détail

Mathématiques financières

Mathématiques financières Mathématiques financières Arnaud Triay Table des matières 1 Introduction Position du problème.1 Pricing des options........................................... Formalisme..............................................

Plus en détail

Mouvement et vitesse . A A B

Mouvement et vitesse . A A B Chapitre 1 Mouvement et vitesse I/ Caractère relatif d'un mouvement Le mouvement d'un objet est décrit par rapport à un autre objet qui sert de référence ( le référentiel) exemple : assis dans une voiture

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

La demande Du consommateur. Contrainte budgétaire Préférences Choix optimal

La demande Du consommateur. Contrainte budgétaire Préférences Choix optimal La demande Du consommateur Contrainte budgétaire Préférences Choix optimal Plan du cours Préambule : Rationalité du consommateur I II III IV V La contrainte budgétaire Les préférences Le choix optimal

Plus en détail

LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )

LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» ) SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

Cours de Data Mining PageRank et HITS

Cours de Data Mining PageRank et HITS Cours de Data Mining PageRank et HITS Andreea Dragut Univ. Aix-Marseille, IUT d Aix-en-Provence Andreea Dragut Cours de Data Mining PageRank et HITS 1 / 48 Plan du cours Présentation Andreea Dragut Cours

Plus en détail

Reconstruction d images binaires par l estimation moindres carrés et l optimisation valeur propre

Reconstruction d images binaires par l estimation moindres carrés et l optimisation valeur propre Reconstruction d images binaires par l estimation moindres carrés et l optimisation valeur propre Stéphane Chrétien & Franck Corset Université de Franche-Comté, UMR6623, Département Mathématiques 16 route

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail