Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

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1 Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence, il s agit d une part de renforcer la vision dans l espace et d autre part de donner tous les outils algébriques et géométriques permettant de traiter les problèmes d intersections de droites et de plans. 1

2 1 Prérequis A Géométrie plane 1. Vecteurs et colinéarité Définition La translation qui transforme A en B est la translation de vecteur AB. Conséquence Un vecteur est donc un «objet mathématique» qui caractérise une translation. Il est donc défini par la donnée : d une direction, ici la droite (AB) ; d un sens, ici de A vers B ; et d une longueur (on dit aussi une norme), ici AB. Définition Soit A, B, C et D quatre points du plan. On a : AB = CD si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu (c est-à-dire si et seulement si ABDC est un parallélogramme). Propriété Les coordonnées du vecteur AB A( x A ; y A ) et B ( xb; yb). sont : AB ( xb xa; yb ya) où Propriété Règle de Chasles Soit A, B et C trois points du plan. On a : AB+ BC = AC. A B C 3

3 Propriété Règle du parallélogramme Soit A, B et C trois points du plan. On a : AB + AC = AD, où D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme. C D A B Définition Deux vecteurs u et v sont colinéaires s il existe un réel k tel que : u = k v ou v = k u. Conséquence Soit u et v deux vecteurs du plan différents du vecteur nul. Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. 2. Décomposition d un vecteur en fonction de deux vecteurs donnés Propriété Deux vecteurs non colinéaires u et v étant fixés, il n y a qu une seule façon de décomposer un vecteur w sous la forme : w = xu+ yv où x et y sont deux nombres réels. Définition On dit que deux vecteurs non colinéaires u et v forment une base uv, du plan. ( ) Lorsque l on décompose, de façon unique, un vecteur w sous la forme : w = xu+ yv, on dit que les nombres x et y sont les coordonnées du vecteur w dans la base uv,. ( ) Lorsque que les vecteurs u et v sont non colinéaires, orthogonaux et de norme 1, on dit que la base uv, ( ) est orthonormée. 4

4 3. Équations cartésiennes de droite Propriété Dans un repère O;i, j ( ) du plan, les vecteurs ua; b ( ) et v( c ; d) ont la même direction si et seulement si ad = bc (c est-à-dire les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles). Définition On dit qu un vecteur non nul u est un vecteur directeur d une droite D si et seulement s il est colinéaire à un vecteur défini à l aide de deux points distincts de cette droite. Propriété Dans un repère O;i, j ( ) du plan, si une droite (non parallèle à l axe des ordonnées) a pour coefficient directeur m (donc cette droite a une équation de la forme y = mx + p ), l un de ses vecteurs directeurs est le vecteur u de coordonnées : u ( 1; m ). Propriété Dans un repère ( O; i, j) du plan, une droite a pour vecteur directeur le vecteur u b ; a si et seulement si elle a une équation cartésienne de la ( ) forme ax + by + c =0, a et b n étant pas nuls tous les deux et c étant un réel quelconque. B Remarque Produit scalaire dans le plan 1. Les différentes expressions du produit scalaire Le produit scalaire est un nombre réel. a) Cas particulier : vecteurs colinéaires Si u et v sont colinéaires de même sens, u v = u v. Si u et v sont colinéaires de sens contraires, u v = u v. Si u =0 ou v =0 alors u v =0. 2 u u = u 2. et se note parfois u 5

5 u 0 H v b) Cas général Avec une projection orthogonale u v = OA OH où OH est le projeté orthogonal de v sur u. Avec cosinus et l angle de vecteurs Si u et v sont deux vecteurs non nuls, u v u v cos u ; v. = ( ) Avec la norme uniquement u 1 v = 2 u 2 + v u 2 v. 2 u 1 v = u 2 + v 2 u 2 v. 2 u 1 v = u 2 + v u 2 v. 4 Expression analytique dans une base orthonormée i, j Si u x y v x ' et y ' alors u v = xx + yy. ( ) 2. Propriétés a) Produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux Propriété Pour tous vecteurs u, v,on a : u v u v =0. Remarque La relation u v signifie soit que u = 0, soit que v = 0, soit que leurs directions sont perpendiculaires. b) Propriétés opératoires Propriété Soit u, v et w trois vecteurs et k réel. Symétrie : u v = v u. Linéarité : u ( v + w)= ( u v) + u w ( ). ( ) et u ( kv)= k u v produit scalaire multiplication dans produit d un vecteur par un réel 6

6 Identités remarquables u+ v = u + v + 2 u v ; ( ) u v = u + v 2 u v ; u+ v ( u v)= u v ( ) ( ) 2 2. c) Applications : calculs de longueurs, d angles... Les deux résultats ci-dessous ne sont pas exigibles! Relation d Al Kashi Soit ABC triangle Alors BC AC AB 2 AC AB cos AC ; AB = + ( ) = + 2 ( ) soit a b c bccos A en notant BC = a, AC =b et AB = c. Démonstration On a : BC = ( BC) = ( BA + AC) = AC AB AC 2 2 = AC + AB 2 AC AB cos AC;AB ( ) = + ( ) 2 AB 2 AC AB ( ) Théorème de la médiane BC Soit ABC triangle et I milieu de [BC]. Alors : AB + AC = 2AI + 2. Démonstration On a : AB + AC = ( AI+ IB) + ( AI+ IC) 2 2 = ( AI+ IB) + ( AI IB ) (IC = IB car I milieu de [BC]) = AI + IB + 2 ( AI IB) AI IB 2 AI IB + + ( ) BC 2 BC = 2 AI + 2 IB = 2AI + 2 2AI 2 =

7 d) Équation d une droite du plan en repère orthonormé Droite D équation cartésienne du type ax + by + c = 0 b u a est un vecteur directeur de D a si b 0, équation réduite du type : y = b x c b Définition Un vecteur normal à une droite D est un vecteur non nul orthogonal aux vecteurs directeurs de D. Propriété Le plan étant muni d un repère orthonormé ( O;i, j), si une droite D a pour équation cartésienne ax + by + c = 0 avec ( a ; b) (0 ;0) alors le vecteur n a b est un vecteur normal à D. Réciproquement, si une droite D a pour vecteur normal n a b alors D admet une équation cartésienne du type ax + by + c = 0. C Perspective cavalière On désire représenter une figure de l espace. Pour cela, on se donne un plan P (qui correspond au plan sur lequel on représente l objet) et une droite D de ce plan. Alors, on définit : les plans frontaux : ce sont les plans parallèles à P ; les droites horizontales : ce sont les droites parallèles à D ; les fuyantes : ce sont les droites perpendiculaires à P. Par exemple, si ABCDEFGH est un cube, si (ABF) est un plan frontal et si (EF) est horizontale alors : le plan (CDG) est un plan frontal ; les droites (AB), (CD) et (GH) sont horizontales ; les droites (AD), (BC), (EH) et (FG) sont des fuyantes. E A H D B F G C 8

8 Les règles de la perspective cavalière sont les suivantes. Définition Les objets des plans frontaux sont représentés en vraie grandeur. Les fuyantes sont représentées par des droites faisant toutes le même angle avec les droites horizontales, cet angle est l angle de fuite de la perspective (FEH ci-dessus). Sur les fuyantes, les longueurs sont réduites (ou agrandies) dans un même rapport, ce rapport est le coefficient de réduction de la perspective (cidessus, le coefficient de réduction est : EH EF ). Propriétés Trois points alignés sont représentés par trois points alignés. Le milieu d un segment est représenté par le milieu du segment dessiné. Deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles. On dit que la perspective cavalière conserve l alignement, le milieu et le parallélisme. 9

9 D Géométrie dans l espace 1. Position relative de deux droites Deux droites de l espace peuvent être : confondues : D = D parallèles coplanaires (dans un même plan) strictement parallèles (comme par exemple (DC) et (AB)) sécantes perpendiculaires (comme par exemple (ED) et (AH)) quelconques (comme par exemple (HD) et (AH)) H G E F non coplanaires (comme par exemple (EH) et (AC)) D C A B Remarque Dans l espace, deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles. Définition Deux droites D et D de l espace sont parallèles si elles vérifient les deux conditions suivantes : elles sont coplanaires ; elles sont confondues ou n ont aucun point commun. On note : D // D. 10

10 Propriétés Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. Il n existe qu une seule droite parallèle à une droite donnée et passant par un point extérieur à cette droite. 2. Les positions relatives d une droite et d un plan D et P sont parallèles Soit D une droite et P un plan, on peut avoir : D P : la droite D est incluse dans le plan P (ex., dans le cube ABC- DEDFGH : (AC) (ABC)) ; D P = : D et P n ont pas de point commun (1) (ex. : ( AC) ( EFG) = ) ; D P = {I} : D et P se coupent en un point (ex. : ED ( ABC) D ). ( ) ={} 3. Les positions relatives de deux plans P et P sont parallèles Soit P et P deux plans, on peut avoir : P et P confondus : P = P ; P et P strictement parallèles : P P = ; P et P sécants suivant une droite : P P =. Propriétés Si deux plans distincts de l espace ont un point commun, ils ont exactement une droite commune passant par ce point. Si une droite D est parallèle à un plan P alors toute droite parallèle à D est parallèle à tout plan parallèle à P. Il n existe qu un seul plan parallèle à un plan donné et passant par un point donné. Si un plan est parallèle à deux plans distincts alors les trois plans sont parallèles entre eux. Théorème Si un plan P contient deux droites sécantes et parallèles à un plan P alors les plans P et P sont parallèles. 11

11 E Sections planes du cube 1. Propriétés utiles pour déterminer l intersection de deux plans quand ils sont sécants suivant une droite Propriété Si une droite D est parallèle à un plan P, tout plan P contenant D et coupant P le coupe suivant une parallèle à D. Propriété Théorème du toit Soit deux droites D et D parallèles. Lorsqu un plan P contenant D est sécant à un plan P contenant D, leur droite d intersection est parallèle à D et à D. Remarque La démonstration de ce théorème est rappelée au chapitre 2. Propriété Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles. À retenir Méthode pour déterminer l intersection de deux plans P et P sécants selon une droite D. On trouve deux points A et B distincts appartenant tous deux à P et P. Alors : D = (AB). On trouve un point A commun aux deux plans et une droite de l un parallèle à l autre. Alors D est la parallèle à passant par A. On trouve un point A commun aux deux plans et une droite intersection de P et d un plan parallèle à P. Alors D est la parallèle à passant par A. 2. Intersection d une droite et d un plan À retenir Méthode pour déterminer l intersection d une droite D et d un plan P. On trouve une droite de P coplanaire et sécante avec D. Alors : D P = D. (Méthode du plan auxiliaire) On trouve un plan P contenant D puis on détermine l intersection (c est une droite ) des plans P et P. Alors : D P = D. On trouve un plan P contenant D puis on détermine l intersection des plans P et P (c est une droite ). On a alors : D P = D. 12

12 2 Calculs A vectoriels dans l espace Objectifs du chapitre On se propose de généraliser à l espace la notion de vecteurs. En particulier, on montre en Première que tout vecteur peut s écrire à partir de deux vecteurs non colinéaires. Nous verrons que, dans l espace, tout vecteur peut s écrire à partir de trois vecteurs non coplanaires. À partir de ces résultats, nous pourrons introduire un repère de l espace. Ce moyen de repérage nous sera utile pour étudier «algébriquement» différentes intersections. B Activité 1 Pour débuter Rappelons que, dans le plan, deux vecteurs AB et DC sont égaux si et seulement si ABCD est un parallélogramme. Sur la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un parallélépipède (c est-à-dire un solide de l espace ayant six faces, les faces opposées étant parallèles deux à deux). H G E F D C A B Quelle est la nature de chacune des faces du parallélépipède? On considère les couples de points (A, B), (D, C), (H, G), (E, F). Que peut-on dire : a) des droites (AB), (DC), (HG), (EF)? b) des sens A vers B, D vers C, H vers G, E vers F? c) des longueurs AB, DC, HG, EF? d) des vecteurs AB et DC dans le plan (ABC)? e) des vecteurs DC et HG du plan (DCG)? 13

13 Pourquoi les points A, B, G et H sont-ils coplanaires? Démontrer que, dans le plan qui contient ces points, les vecteurs AB et HG sont égaux. Trouver de même des vecteurs égaux au vecteur AE. Démontrer que les vecteurs AC et EG sont égaux. Que dire de AC + AE? de AB + AD + AE? C Cours 1. Vecteurs de l espace a) Définition La notion de vecteur vue en géométrie plane se généralise à l espace. Dans l espace, comme dans le plan, étant donné quatre points A, B, C et D, les vecteurs AB et CD sont égaux si la translation qui transforme A en B transforme C en D, ce qui revient à dire que ABDC est un parallélogramme ou encore, si A BetC D, que les trois conditions suivantes sont vérifiées : les vecteurs AB et CD ont la même direction : (AB) // (CD) ; les vecteurs AB et CD ont la même sens ; les vecteurs AB et CD ont la même norme : AB = CD. Exemple Si ABCDEFGH est un parallélépipède (encore appelé pavé) alors : AB = DC = HG = EF. D E H C G F A B Propriété 1 Pour tout point A de l espace et tout vecteur u, il existe un unique point M de l espace tel que : AM = u. On retiendra que les règles de calculs sont les mêmes que dans le plan : addition, relation de Chasles, vecteur nul, multiplication d un vecteur par un réel Exemple Si ABCDEFGH est un parallélépipède, alors : AG = AB + BC + CG = AB + AD + AE. 14

14 b) Colinéarité Définition 1 Soit u et v deux vecteurs de l espace. On dit que u et v sont colinéaires s il existe un réel k tel que u = kv ou v = ku. Définition 2 Soit u un vecteur non nul de l espace et A et B deux points tels que u = AB. On dit que u est un vecteur directeur de la droite (AB). On déduit des résultats de calculs vectoriels de géométrie plane les deux propriétés suivantes. Propriété 2 Soit D une droite, u un vecteur directeur de D et v un vecteur non nul. Alors v est un vecteur directeur de D si et seulement si u et v sont coli - néaires. Propriété 3 Soit A, B, C et D quatre points distincts, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Soit A, B et C trois points distincts, les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. 2. Vecteurs coplanaires Définition 3 Soit u, v etw trois vecteurs de l espace. Soit O un point quelconque et les points A, B et C définis par : OA = u, OB = v et OC = w. Les vecteurs u, v etw sont coplanaires si O, A, B et C sont coplanaires. Remarque Exemple 1 Si deux des vecteurs u, v etw sont colinéaires alors les trois vecteurs sont coplanaires. Dans le cube ABCDEFGH, les vecteurs u, v et w sont-ils coplanaires dans les cas suivants? 15

15 Solution On a : u = AB, v = EG et w = FH. On a : u = AB, v = DG et w = DH. On a : u = AB, v = EG = AC et w = FH = AI où I est le point de (CD) tel que D est le milieu de [IC]. Les points A, B, C et I sont coplanaires (ils appartiennent au plan (ABC)) doncu, v etw sont coplanaires. On a : u = AB = DC, v = DG et w = DH.Les points D, C, G et H sont coplanaires doncu, v etw sont coplanaires. Propriété 4 Soit u et v deux vecteurs non colinéaires. Les vecteurs u, v etw sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que : w = xu+ yv. Démonstration Soit O un point de l espace. On définit les points A, B et C tels que u = OA, v = OB et w = OC. Supposons qu il existe deux réels x et y tels que : w = xu + yv. Alors on a OC = xoa + y OB. Considérons les points A et B définis par : OA = x OA et OB = y OB. Les points O, A et A (resp. O, B et B ) sont alignés donc A (resp. B ) appartient au plan (OAB). De plus, on a : OC = xoa + yob = OA + OB ce qui prouve que OA CB est un parallélogramme. Ainsi le point C appartient au plan (OA B ), c est-à-dire au plan (OAB). Donc u, v etw sont coplanaires. Réciproquement, supposons que u, v etw sont coplanaires. Les vecteurs u et v n étant pas colinéaires, les points O, A et B ne sont pas alignés et définissent donc un plan P dont ( O; u, v) est un repère. Le point C appartient à P. Notons (x ; y) ses coordonnées dans le repère ( O; u, v). On a donc OC = xoa + y OB et ainsi w = xu+ yv. Conséquence Soit A, B, C et D quatre points de l espace. Ces quatre points sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que : AD = xab + yac. Considérons un plan P. Soit A un point de P, u et vdeux vecteurs non colinéaires de directions parallèles à P. 16

16 Soit B et C tels que : u =ABetv = AC. Comme les vecteurs u et v sont non colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés et comme les directions de ces deux vecteurs sont parallèles à P, les points B et C appartiennent à P et donc P = (ABC). Soit M un point de l espace, on a donc : M P A,B,CetMcoplanaires il existe deux réels x et y tels que : AM = xab + y AC il existe deux réels x et y tels que : AM = xu + yv. On en déduit la propriété suivante. Propriété 5 Un plan est caractérisé par un point et par deux vecteurs non colinéaires. Si A est un point du plan P et u et v deux vecteurs non colinéaires de directions respectives parallèles à P alors P est l ensemble des points M de l espace définis par AM = xu + yv où x et y sont réels. On note P = A;u, v. ( ) Exemple 2 Solution Les points A, B, C, D et E vérifient 2EA + 4EB 5EC ED = 0. Montrer que A, B, C et D sont coplanaires. De l égalité 2EA + 4EB 5EC ED = 0 on déduit 2EA + 4EA + 4 AB 5EA 5 AC EA EA AD = 0 soit 4 AB 5 AC AD = 0 ou encore AD = 4 AB 5 AC.. Cette dernière égalité nous prouve bien que A, B, C et D sont coplanaires. Rappelons la propriété suivante. Si un plan P contient deux droites sécantes et parallèles à un plan P alors les plans P et P sont parallèles. On déduit de cette propriété la propriété suivante. Propriété 6 Soit u et v deux vecteurs non colinéaires et A et B deux points de l espace. Les plans A; u, v B; u, v ( ) et ( ) sont parallèles. Application Démonstration du théorème du toit Rappelons l énoncé du théorème. Soit P, P et P trois plans, deux à deux sécants. 17

17 On note : P P = D, P P = D etp P =. Alors si D et D sont parallèles, est parallèle à chacune de ces deux droites. Démontrons ce résultat. Soit u un vecteur directeur de D, c est donc aussi un vecteur directeur de D. Comme la droite D est incluse dans P, le vecteur u a une direction parallèle à P. Considérons un vecteur v non colinéaire à u et de direction parallèle à P. Si A est un point de P, on peut donc écrire P= ( A;u, v). De la même façon, il existe un point B et un vecteur v tel que P =B;u, v. ( ) Soit C un point de. Ce point appartient donc aux plans P et P. Ainsi la droite passant par C de vecteur directeur u est incluse dans les plans P et P. Autrement dit la droite passant par C de vecteur directeur u est. La droite a donc pour vecteur directeur u, ce qui prouve qu elle est parallèle aux droites D et D. 3. Décomposition d un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires Théorème 1 Décomposition d un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires Soit i, j et k trois vecteurs de l espace non coplanaires. Pour tout vecteur u de l espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z ) de réels tels que : u = xi+ yj+ zk. Démonstration Existence Prouvons tout d abord qu il existe un triplet (x ; y ; z ) de réels tels que u = xi+ yj+ zk. Soit O un point du plan et A, B, C et M tels que : OA = i, OB = j, OC = k et OM = u. Les vecteurs i, j et k ne sont pas coplanaires : O, A et B définissent un plan. La droite (OC) et le plan (OAB) sont sécants. k j C B M Ainsi, la parallèle à (OC) passant par M coupe le plan (OAB). On note M le point d intersection. O i A M 18

18 Le point M appartient à (OAB) donc les vecteurs i, j etom sont coplanaires et, d après la propriété 5 ( i et j n étant pas colinéaires), il existe deux réels x et y tels que OM = xi + y j. De plus, (MM ) et (OC) sont parallèles donc les vecteurs MMetOC sont colinéaires. Il existe donc un réel z tel que MM = z OC. On en déduit : u = OM = OM' + M'M = xi + yj + zk. Unicité Prouvons qu il n existe qu un seul triplet (x ; y ; z ) de réels tels que u = xi+y j+z k. Supposons que (x ; y ; z ) et (x ; y ; z ) sont deux triplets qui conviennent. On a : u = xi+y j+z k et u = x i+y j+z k. Alors : ( x x ) i + ( y y ) j + ( z z ) k= u u = 0. Supposons par exemple que z z. x x Alors on a : k z z i y y = z z j, ce qui contredit le fait que les vecteurs i, j et k ne sont pas coplanaires. Cette contradiction nous montre que : z = z. De même : x = x et y = y. Il ne peut donc y avoir deux (ou plus) triplets vérifiant l égalité. Compléments Les notions abordées précédemment constituent les fondements de l algèbre linéaire très largement développés dans l enseignement supérieur. Lorsque trois vecteurs i, j et k ne sont pas coplanaires, aucun de ces trois vecteurs n est combinaison linéaire des deux autres (par exemple, on ne peut pas trouver deux réels x et y tels que k = xi + yj ), on dit que ( i, j, k) est une famille libre. De la même façon, si u et v ne sont pas colinéaires, on dit que ( u, v) est une famille libre. Lorsque trois vecteurs i, j et k ne sont pas coplanaires, tout vecteur w de l espace est combinaison linéaire de i, j et k.on dit que ( i, j, k) est une famille génératrice de l espace. De la même façon, si u et v ne sont pas colinéaires, on dit que ( u, v) est une famille génératrice du plan. Une base est une famille à la fois libre et génératrice. Toutes les bases de l espace contiennent trois éléments non coplanaires (c est pour cela que l on parle de dimension 3) et toutes les bases du plan contiennent deux éléments non colinéaires (d où la dimension 2). Définition 4 Soit i, j et k trois vecteurs de l espace non coplanaires et u un vecteur de l espace. On dit que ( i, j, k)est une base de l espace. Considérons l unique triplet (x ; y ; z ) tel que : u = xi + yj + zk. Les trois réels x, y et z sont les coordonnées de u dans la base ( i, j, k). 19

19 Propriété 7 Soit u( x ; y ; z) et v( x ; y ; z )dans la base ( i, j, k) et k un réel alors : u+ v a pour coordonnées ( x + x ; y + y ; z+ z ) dans la base ( i, j, k) ; ku a pour coordonnées ( k x ; k y ; k z) dans la base ( i, j, k) ; u et v sont colinéaires si et seulement si ( x ; y ; z) et ( x' ; y' ; z' ) sont proportionnels. Exemple 3 Solution Étudier la coplanarité des vecteurs u, v et w dans les cas suivants. u( 1; 1; 1), v( 0 ; 1; 2) etw( 1 ; 0 ; 3). u 1; 1; 1, v 0 ; 1; 2 etw 2 ; 3 ; 0 ( ) ( ) ( ). Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires car et 0 1 ( ; ; ) ( ; ; 2) ne sont pas proportionnels donc u, v etw sont coplanaires si et seulement s il existe deux réels x et y tels que : w = xu+ yv. On a : 1= x x = 1 w = xu+ yv 0 = x + y y = 1. 3= x + 2y 3= 3 Ce système n admet donc pas de solution, ce qui prouve que u, v et w ne sont pas coplanaires. On remarque (on peut aussi procéder comme précédemment) que : w = 2 u+ v. Les vecteurs u, v etw sont donc coplanaires. 4. Repères de l espace Définition 5 On dit que O; i, j, k sont pas coplanaires donc si i, j, k, et ne ( ) est un repère de l espace si les vecteurs i j k ( ) est une base de l espace. 20

20 Définition 6 Soit O; i, j, k existe un unique triplet (x ; y ; z ) tel que : OM = xi + y j + zk. Les trois réels x, y et z sont les coordonnées de M dans le repère O; i, j, k (x : abscisse, y : ordonnée et z : côte). ( ) un repère de l espace. Pour tout point M de l espace, il ( ) Remarques Tous les triplets de réels désignent des coordonnées de points et deux points différents ne peuvent avoir les mêmes coordonnées. Les coordonnées (x ; y ; z ) de OM dans la base ( i, j, k) sont les coordonnées (x ; y ; z ) de M dans le repère ( O; i, j, k). On dit aussi que (x ; y ; z ) sont les coordonnées de OM dans le repère ( O; i, j, k). Propriété 8 ( ) ( ) Pour tous A xa ; ya ; za, B xb ; yb ; zb de l espace, le milieu I de [AB] a pour coordonnées xa + xb ya yb za z ; + ; + B Pour tous A ( xa ; ya ; za), B ( xb ; yb ; zb) de l espace, le vecteur AB a pour coordonnées ( xb xa ; yb ya ; zb za). Démonstration 1 On a pour tout point M de l espace : MI = ( MA + MB) (il peut être utile de retenir cette égalité!). En effet : 2 MA + MB = ( MI+ IA) + ( MI+ IB) = 2MI + IA + IB = 2MI+ 0 = 2MI (I milieu de [AB]). ( ) 1 On en déduit (pour M = O) : OI = ( OA + OB) et donc 2 1 xi I + yij+ zk I = ( xai+ yaj+ zak) + ( xbi+ ybj+ zbk) 2 x + x y + y z + z = A B i + A B j + A B k ce qui prouve bien la propriété. On a : AB = OB OA = ( xbi + ybj + zbk) ( xai + yaj + zak) = ( xb xa) i + ( yb ya) j + ( zb za) k. 21

21 Exemple 4 ( ) ( ) ( ) Montrer que les points A 1; 0 ; 2, B 2 ; 2 ; 1 etc 8 ; 6 ; 7 sont alignés. Solution On a : 3 9 AB 2 et AC 6. Les vecteurs AB et AC 3 9 ( AC = 3 AB ) donc A, B et C sont alignés. sont coplanaires 5. Représentation paramétrique d un plan Soit A ( xa ; ya ; za)un point de l espace, a a' u b et v b' deux vecteurs non colinéaires. c c ' Le point A et les vecteurs u et v définissent donc un plan P. On a : M( x ; y ; z) P il existe deux réels λ et µ tels que : AM = λu+µ v il existe deux réels λ et µ tels que : x x = λa+µ a A y y = λb+µ b A z z = λc +µ c x = xa + λa+µ a il existe deux réels λ et µ tels que : y = ya + λb+µ b. z = za + λc +µ c Définition 7 x = xa + λa+ µ a On dit que y = ya + λb+ µ b, λ R, µ R est une représentation z = z + c+ c A λ µ paramétrique du plan ( A; u, v). A Remarques Exemple 5 À chaque valeur des paramètres λ et µ correspond un point et réciproquement (exemple : à λ = µ = 0 correspond le point A). Un plan admet une infinité de représentations paramétriques. Les représentations paramétriques ci-dessous définissent-elles un plan? Si oui, donner les coordonnées d un point du plan et de deux vecteurs non colinéaires dirigeant le plan. x = 5+ 2λ 6µ x = 7+ 2λ 6µ y = 3λ + 9µ, λ R, µ R y = 3λ + 9µ, λ R, µ R z = 3+ λ 2µ z = 1+ λ 3µ 22

22 Solution Les vecteurs 2 u 3 et 6 v 1 9 ne sont pas colinéaires donc le système caractérise le plan A;u, v µ 0 ) et u et v deux 2 vecteurs dirigeant le plan. ( ) où A(5 ; 0 ; 3) (pour λ = = Les vecteurs 2 u 3 et 6 v sont colinéaires (v = 3 u) donc le système x = 7+ 2λ 6µ y = 3λ + 9µ z = 1+ λ 3µ R R, λ, µ ne caractérise pas un plan. 6. Représentation paramétrique d une droite Soit D une droite de l espace passant par A (x A ; y A ; z A ) et de vecteur directeur a u b. c On a : M( x ; y ; z) D AM et u colinéaires Il existe k de R tel que AM = ku x xa = ka Il existe k de R tel que y ya = kb z za = kc Il existe k de R x = xa + ka tel que y = ya + kb. z = za + kc Définition 8 x = xa + ka Le système S y = ya + kb, k R est une représentation z = za + kc paramétrique de la droite D. Remarques À chaque valeur du paramètre k correspond un point et réciproquement (ex. : à k = 0 correspond le point A). Une droite admet une infinité de représentations paramétriques. 23

23 Exemple 6 Savoir donner la représentation paramétrique d une droite Dans un repère orthonormé ( O; i, j, k), on considère A(1 ; 2 ; 0) et B( 1; 0 ; 2). Donner une représentation paramétrique de la droite (AB). Le point C (1 ; 5 ; 6) appartient-il à (AB)? Trouver un point de (AB) distinct de A et B. Déterminer l intersection de (AB) avec le plan O;i, j. ( ) Solution On a : 11 AB soit 2 AB 2. On a alors AB = 2n où 2 n Ainsi n est un vecteur directeur de (AB) et cette droite est caractérisée par la x = 1+ k représentation paramétrique : y = 2 + k, k R. z = k Si C appartient à (AB) alors son paramètre k pour la précédente représentation paramétrique vérifie : 1+k = 1, 2+k = 5 et k = 6. Aucune valeur de k ne vérifie simultanément les trois égalités précédentes, donc : C (AB). Avec la précédente représentation paramétrique, A a pour paramètre 0 et B pour paramètre 2. ( ) Pour k = 1, on obtient le point D2; 3; 1. Le plan O;i, j (AB) de paramètre k pour la précédente représentation est donc sur O; i, j si et seulement si k = 0. L intersection de la droite (AB) et du plan O;i, j est donc le point A. ( ) est l ensemble des points dont la côte est nulle. Le point de ( ) ( ) 24

24 D Exercice 1 Exercices d apprentissage Soit ABCDEFGH un cube, I le milieu de [AB], J le milieu de [AD] et K défini par AK = 1 AG. 5 H G E F D C J K A I B Exprimer les vecteurs EI, EJ et EK en fonction de EA, EF et EH. En déduire que les points E, I, J et K sont coplanaires. Exercice 2 Exercice 3 Dans un repère O; i, j, k ( ) on considère A(1 ; 1 ; 2), B ( 1 3 0) Montrer que les points A, B et C définissent un plan. Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC). Le point D 3 ; 1; 4 ( ) appartient-il à (ABC)? ; ; et C(0 ; 2 ; 0). Soit ABCD un tétraèdre. On considère les points I et J milieux respectifs de [AC] et [BD]. Les points P, Q, R et S sont définis par : AP = 1 AB, AQ = 1 AD, CR = 1 CB et CS = 1 CD. 3 On considère le repère ( A ; AB, AC, AD). ` Déterminer dans ce repère les coordonnées des points I, J, P, Q, R et S. Déterminer des représentations paramétriques des droites (PS), (QR) et (IJ). Montrer que ces trois droites sont concourantes. 25

25 3 Orthogonalité A Objectifs du chapitre On se propose de généraliser à l espace, la notion d angle droit. B Pour débuter Activité 2 Examinons le cube ci-contre. Remarque La droite (AE) est parallèle à la droite (BF). La droite (BF) est perpendiculaire à la droite (BC). On dit que la droite (AE) est orthogonale à la droite (BC). On peut aussi dire que la droite (BF) et la droite (BC) sont orthogonales. E A D H B F G C Notation : Pour exprimer que deux droites sont orthogonales, on utilise le même symbole que celui qui est utilisé pour exprimer que deux droites sont perpendiculaires. Par exemple, on écrit : (AE) (BC) de même que (BF) (BC). Vrai/Faux? (Justifier.) a) Les droites (AE) et (BC) sont orthogonales. b) Les droites (AE) et (GC) sont orthogonales. c) Les droites (FE) et (GC) sont orthogonales. d) Les droites (FE) et (HE) sont orthogonales. e) Les droites (FE) et (FH) sont orthogonales. f) Les droites (FE) et (BD) sont orthogonales. g) Les droites (FH) et (AC) sont orthogonales. 26

26 Activité 3 On considère quatre points non coplanaires de l espace O, A, B et C. On suppose que, dans le plan (OAB), les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires et que, dans le plan (OAC), les droites (OA) et (OC) sont perpendiculaires. On veut montrer que pour tout point D du plan (OAB) différent de O, les droites (OA) et (OD) sont perpendiculaires dans le plan (OAD). A B 0 D C Soit D un point du plan (OBC) n appartenant ni à (OB), ni à (OC). Montrer qu on peut choisir deux points P et Q tels que : P (OB) et P différent de O ; Q (OC) et Q différent de O ; OP = OQ ; Les droites (PQ) et (OD) sont sécantes. On note R l intersection des droites (PQ) et (OD) et I le milieu de [PQ] PQ Montrer que : AP + AQ = 2AI PQ Montrer que : OP + OQ = 2OI +. 2 En déduire que, dans le triangle (OAI), les droites (OA) et (OI) sont perpendiculaires Montrer que : OI + IR = IR et AI + IR = AR. En déduire que les droites (OA) et (OR) sont perpendiculaires dans le plan (OAR). 27

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