Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

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1 N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux droites sont perpendiculaires à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) 3 deux angles sont correspondants et de même les droites coupées par la sécante sont parallèles (d) // (d) 4 deux angles sont alternes internes et de même les droites coupées par la sécante sont parallèles (d) // (d) 5 dans un triangle ABC, A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre AM et deux des rapports, AB les droites (MN) et (BC) sont parallèles AN MN et sont égaux AC BC Exemples de cas de figure Réciproque de Thalès 6 dans un triangle ABC, A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre AM et deux des rapports, AB les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles Contraposée de Thalès. AN MN et sont différents AC BC Exemples de cas de figure 7 passe par les milieux de deux côtés elle est parallèle au troisième côté 8 une droite est l image d une autre droite par une symétrie centrale elles sont parallèles

2 9 deux droites sont les images de deux droites parallèles par une ces deux droites sont parallèles le parallélisme 0 AC AB + BC les points A, B et C sont alignés (les droites (AB) et (BC) sont confondues) (AB) // (BC) les droites (AB) et (BC) sont parallèles elles sont confondues et donc les points A, B et C sont alignés trois points sont les images de trois points alignés par une les trois points sont alignés l alignement 3 un angle ABˆ C 80 les points A, B et C sont alignés II) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont perpendiculaires 4 (d) // (d) deux droites sont parallèles entre elles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une d elles la troisième droite est perpendiculaire à l autre 5 deux droites sont les images de deux droites perpendiculaires par une symétrie centrale ces deux droites sont perpendiculaires On dit que la symétrie centrale conserve l orthogonalité 6 deux points sont équidistants des extrémités d un segment la droite qui passe par ces deux points est la médiatrice du segment 7 un point est à égale distance (équidistant) des extrémités d un segment ce point appartient à la médiatrice du segment 8 passe par un sommet et par l orthocentre cette droite est une hauteur et est donc perpendiculaire au côté opposé 9 une droite est tangente à un cercle en un point cette droite est perpendiculaire au rayon d extrémité ce point.

3 0 un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l un de ses côtés le triangle est rectangle (en le sommet opposé à ce côté) un triangle est inscriptible dans un cercle de diamètre l un de ses côtés le triangle est rectangle (en le sommet opposé à ce côté) 5² 5 et 3² + 4² 5 dans un triangle, le carré d un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés le triangle est rectangle Réciproque de Pythagore 3 7² 49 et 4² + 5² 4 dans un triangle, le carré du plus grand côté est différent de la somme des carrés des deux autres côtés le triangle n est pas rectangle Contraposée de Pythagore III) Pour démontrer qu un point est le milieu d un segment Certains résultats qui démontrent qu un point est milieu d un segment ont déjà été abordés avec la médiatrice (voir ci-dessus). D autres sont rédigés plus bas dans les propriétés des quadrilatères particuliers. 4 un point M est l image d un point M par une symétrie de centre O O est le milieu du segment [MM ] 5 passe par un sommet et par le centre de gravité cette droite est une médiane et passe donc par le milieu du côté opposé 6 passe par le milieu d un côté et est parallèle à un deuxième elle passe par le milieu du troisième côté 7 OM OM et les points O, M et M sont alignés O est le milieu du segment [MM ] 8 un point est l image du milieu d un segment par une ce point est le milieu du segment image les milieux

4 IV) Pour démontrer que deux segments ont même 9 deux points sont sur un cercle ils sont équidistants (à égale distance) du centre du cercle 30 un point appartient à la médiatrice d un segment ce point est équidistant (à égale distance) des extrémités du segment 3 un segment est l image d un autre segment par une ils sont tous les deux de même les s V) Propriétés des quadrilatères particuliers 3 parallélogramme un quadrilatère est un parallélogramme ses côtés opposés sont parallèles ses côtés opposés sont de même ses diagonales se coupent en leur milieu ses angles opposés sont de même 33 losange un quadrilatère est un losange ses quatre côtés sont de même ses côtés opposés sont parallèles ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires ses angles opposés sont de même 34 rectangle un quadrilatère est un rectangle ses côtés opposés sont parallèles ses côtés opposés sont de même ses diagonales se coupent en leur milieu ses diagonales sont de même 35 un quadrilatère est un carré il a toutes les propriétés du rectangle ET du losange carré

5 VI) Pour démontrer que des angles sont de même 36 d // d deux angles sont correspondants et déterminés par deux droites parallèles ils sont de même 37 d // d deux angles sont alternes internes et déterminés par deux droites parallèles ils sont de même 38 deux angles sont opposés par le sommet ils sont de même 39 triangle isocèle un triangle est isocèle les deux angles à la base sont de même 40 triangle équilatéral un triangle est équilatéral ses trois angles sont de même (60 ) 4 passe par un sommet et par le centre du cercle inscrit cette droite est une bissectrice et partage donc l angle associé en deux angles de même 4 triangle isocèle un triangle est isocèle la médiane issue du sommet principal est aussi hauteur, médiatrice et bissectrice 43 un angle est l image d un autre angle par une ils ont tous les deux la même les s d angles

6 Géométrie calculatoire. 44 un triangle est rectangle le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés BC AB + AC Théorème de Pythagore Remarque importante 45 dans un triangle ABC, M (AB), N (AC) et (MN) // (BC) AM AB AN AC MN BC k (une constante) k <, le triangle AMN est une réduction du triangle ABC k >, le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC Exemples de cas de figure Théorème de Thalès 46 un triangle est rectangle la de la médiane issue de l angle droit est égale à la moitié de la de l hypoténuse 47 dans un triangle, un segment relie les milieux de deux côtés sa est égale à la moitié de la du troisième côté IK AC 48 un point est le centre de gravité d un triangle il est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet AG AK BG BJ CG CI 3 49 A, B et C sont trois points alignés l angle ABˆ C Dans un triangle, la somme des s de ses trois angles est égale à 80 Définitions des objets géométriques Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois cotés de même Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles Un rectangle est un quadrilatère qui a trois angles droits Un carré est à la fois un rectangle et un losange Un cercle est l ensemble des points situés à égale distance d un point fixé Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé Une bissectrice est une droite qui partage un angle en deux angles de même Une médiatrice est une droite qui coupe un segment en son milieu et qui lui est perpendiculaire