Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

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1 Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même milieu Le point M est unique, il est l image de M par la translation. Le point M est l antécédent de M par cette translation. Par une translation tout point du plan a un unique antécédent. ABM M est un parallélogramme. Cas particulier : Si les points A, B et M sont alignés, le parallélogramme est aplati. 2. Caractéristiques d une translation : La translation qui transforme A en B est caractérisée (définie) par trois renseignements : La direction donnée par la droite (AB). La droite (MM ) a la même direction que (est parallèle à) la droite (AB) Le sens de A vers B. On va de M vers M dans le même sens que de A vers B. La longueur AB. MM = AB. 3. Image d un polygone par une translation : Image du polygone ABCD par la translation qui transforme A en A. 1

2 II Vecteurs Un couple (A, B) de deux points distinct du plan définit un vecteur noté ÄAB caractérisé par : Une direction celle de la droite (AB) Un sens de A vers B Une longueur (ou norme) AB. A est l origine et B l extrémité du vecteur. Par convention le vecteur ÄAA est le vecteur nul, il est noté ÄAA = Å0. Il a une longueur nulle pas de direction ni de sens. On peut appeler la translation qui transforme A en B, translation de vecteur u = AB et on peut la note t Ä AB. La translation de vecteur nul est appelée identité, Tout point du plan a lui-même pour image, les points sont invariants. 2. Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs ÄAB et ÄCD sont égaux s ils définissent la même translation. Ils ont même direction, même sens et même norme ou longueur. On pourra noter ÄAB = ÄCD = Åu AB = CD = Åu (seule écriture possible pour la norme d un vecteur nommé par une lettre. 3. Propriétés : Propriété 1 : ÄAB = ÄCD équivaut à «[AD] et [CB] on le même milieu. Propriété 2 : ÄAB = ÄCD équivaut à «ABDC est un parallélogramme. Propriété 3 : Si ÄAB=ÄCD alors (AB)//(CD) et AB = CD. (pourquoi pas équivaut à?) Propriété 4 : Soit Åu un vecteur, donné du plan, pour tout point M du plan il existe un point unique N tel que ÄMN = Åu 2

3 III Composée de deux translations. Somme de vecteurs La somme de deux vecteurs Åu et Åv est le vecteur Åw qui caractérise la translation résultant la composition de la translations de vecteur Åu suivi de la translation de vecteur Åv, noté Åw = Åu+Åv. 2. Construction : Relation de Chasles ÄAB = Åu et ÄBC = Åv ÄAB+ÄBC = ÄAC ÄAC = Åu + Åv Åw = Åu + Åv Règle du parallélogramme ÄAB = Åu et ÄAD= Åv ÄAB+ÄAD = ÄAC C étant le quatrième sommet du parallélogramme ABCD. Åw = Åu + Åv 4. Propriétés : Pour tous vecteurs Åu, Åv, Åw du plan on a : Åu + Åv = Åv + Åu Åu + Å0 = Å0 + Åu = Åu (Åu + Åv) + Åw = Åu + (Åv + Åw) = Åu + Åv + Åw 3

4 5. Vecteurs opposés : On appelle vecteurs opposés deux vecteurs dont la somme est le vecteur nul. Ils ont donc la même direction, la même longueur et un sens contraire. Notation Åu + Åv = Å0 ñ Åu = - Åv. Soustraire un vecteur c est ajouter son opposé. IV Multiplication d un vecteur par un nombre réel Soit Åu= ÄAB un vecteur et k un nombre réel, le produit du vecteur Åu par le nombre réel k est le vecteur Åv = ÄCD avec ÄCD = k ÄAB, ou Åv = k Åu, tel que : Si Åu = Å0 ou k =0 alors Åv = Å0. Si Åu Å0 et k 0 alors Åu et Åv ont : la même direction si k > 0 le même sens et CD = k AB. kåu = k Åu si k < 0 un sens contraire et CD = k AB. kåu = - k Åu 2. Propriétés admises: Le produit du vecteur Åu par un nombre réel k est le vecteur Å0 si et seulement si Åu = Å0 ou k = 0 donc k u = 0 k = 0 ou u = 0 pour tous vecteurs Åu et Åv, et tous nombres réels a et b : a( Åu + Åv) = a Åu + a Åv et (a+b) Åu = k Åu + b Åu 4

5 V Vecteurs colinéaires Deux vecteurs Åu et Åv non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que Åv = k Åu. Les vecteurs Åu et Åv ont alors la même direction. Par convention le vecteur nul Å0 est colinéaire à tous les vecteurs. 2. Vecteur directeur d une droite : Soit une droite (d), un vecteur Åu non nul. Le vecteur Åu est un vecteur directeur de la droite (d) si et seulement si pour tous points A et B distincts de (d), les vecteurs ÄAB et Åu sont colinéaires. 3. Propriétés : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ÄAB et ÄCD sont colinéaires donc il existe un réel k tel que ÄCD = k ÄAB. Trois points A, B, distincts, et M sont alignés si et seulement si les vecteurs ÄAB et ÄAM sont colinéaires donc il existe un réel k tel que ÄAM = k ÄAB. 5