Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Vecteurs. I Translation. 1. Définition :"

Transcription

1 Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même milieu Le point M est unique, il est l image de M par la translation. Le point M est l antécédent de M par cette translation. Par une translation tout point du plan a un unique antécédent. ABM M est un parallélogramme. Cas particulier : Si les points A, B et M sont alignés, le parallélogramme est aplati. 2. Caractéristiques d une translation : La translation qui transforme A en B est caractérisée (définie) par trois renseignements : La direction donnée par la droite (AB). La droite (MM ) a la même direction que (est parallèle à) la droite (AB) Le sens de A vers B. On va de M vers M dans le même sens que de A vers B. La longueur AB. MM = AB. 3. Image d un polygone par une translation : Image du polygone ABCD par la translation qui transforme A en A. 1

2 II Vecteurs Un couple (A, B) de deux points distinct du plan définit un vecteur noté ÄAB caractérisé par : Une direction celle de la droite (AB) Un sens de A vers B Une longueur (ou norme) AB. A est l origine et B l extrémité du vecteur. Par convention le vecteur ÄAA est le vecteur nul, il est noté ÄAA = Å0. Il a une longueur nulle pas de direction ni de sens. On peut appeler la translation qui transforme A en B, translation de vecteur u = AB et on peut la note t Ä AB. La translation de vecteur nul est appelée identité, Tout point du plan a lui-même pour image, les points sont invariants. 2. Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs ÄAB et ÄCD sont égaux s ils définissent la même translation. Ils ont même direction, même sens et même norme ou longueur. On pourra noter ÄAB = ÄCD = Åu AB = CD = Åu (seule écriture possible pour la norme d un vecteur nommé par une lettre. 3. Propriétés : Propriété 1 : ÄAB = ÄCD équivaut à «[AD] et [CB] on le même milieu. Propriété 2 : ÄAB = ÄCD équivaut à «ABDC est un parallélogramme. Propriété 3 : Si ÄAB=ÄCD alors (AB)//(CD) et AB = CD. (pourquoi pas équivaut à?) Propriété 4 : Soit Åu un vecteur, donné du plan, pour tout point M du plan il existe un point unique N tel que ÄMN = Åu 2

3 III Composée de deux translations. Somme de vecteurs La somme de deux vecteurs Åu et Åv est le vecteur Åw qui caractérise la translation résultant la composition de la translations de vecteur Åu suivi de la translation de vecteur Åv, noté Åw = Åu+Åv. 2. Construction : Relation de Chasles ÄAB = Åu et ÄBC = Åv ÄAB+ÄBC = ÄAC ÄAC = Åu + Åv Åw = Åu + Åv Règle du parallélogramme ÄAB = Åu et ÄAD= Åv ÄAB+ÄAD = ÄAC C étant le quatrième sommet du parallélogramme ABCD. Åw = Åu + Åv 4. Propriétés : Pour tous vecteurs Åu, Åv, Åw du plan on a : Åu + Åv = Åv + Åu Åu + Å0 = Å0 + Åu = Åu (Åu + Åv) + Åw = Åu + (Åv + Åw) = Åu + Åv + Åw 3

4 5. Vecteurs opposés : On appelle vecteurs opposés deux vecteurs dont la somme est le vecteur nul. Ils ont donc la même direction, la même longueur et un sens contraire. Notation Åu + Åv = Å0 ñ Åu = - Åv. Soustraire un vecteur c est ajouter son opposé. IV Multiplication d un vecteur par un nombre réel Soit Åu= ÄAB un vecteur et k un nombre réel, le produit du vecteur Åu par le nombre réel k est le vecteur Åv = ÄCD avec ÄCD = k ÄAB, ou Åv = k Åu, tel que : Si Åu = Å0 ou k =0 alors Åv = Å0. Si Åu Å0 et k 0 alors Åu et Åv ont : la même direction si k > 0 le même sens et CD = k AB. kåu = k Åu si k < 0 un sens contraire et CD = k AB. kåu = - k Åu 2. Propriétés admises: Le produit du vecteur Åu par un nombre réel k est le vecteur Å0 si et seulement si Åu = Å0 ou k = 0 donc k u = 0 k = 0 ou u = 0 pour tous vecteurs Åu et Åv, et tous nombres réels a et b : a( Åu + Åv) = a Åu + a Åv et (a+b) Åu = k Åu + b Åu 4

5 V Vecteurs colinéaires Deux vecteurs Åu et Åv non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que Åv = k Åu. Les vecteurs Åu et Åv ont alors la même direction. Par convention le vecteur nul Å0 est colinéaire à tous les vecteurs. 2. Vecteur directeur d une droite : Soit une droite (d), un vecteur Åu non nul. Le vecteur Åu est un vecteur directeur de la droite (d) si et seulement si pour tous points A et B distincts de (d), les vecteurs ÄAB et Åu sont colinéaires. 3. Propriétés : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ÄAB et ÄCD sont colinéaires donc il existe un réel k tel que ÄCD = k ÄAB. Trois points A, B, distincts, et M sont alignés si et seulement si les vecteurs ÄAB et ÄAM sont colinéaires donc il existe un réel k tel que ÄAM = k ÄAB. 5

Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

Vecteurs. I Translation. 1. Définition : Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même

Plus en détail

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB Chapitre 3 La notion de vecteurs CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Vecteurs Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur AB associé. Égalité de deux vecteurs

Plus en détail

CHAPITRE 6 Les vecteurs

CHAPITRE 6 Les vecteurs A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"

Plus en détail

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme

Plus en détail

Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

Vecteurs. I Translation. 1. Définition : Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même

Plus en détail

Géométrie dans l Espace

Géométrie dans l Espace Géométrie dans l Espace Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Vecteurs de l Espace 1.1 Extension de la notion de vecteur à l Espace............................. 1. Calcul vectoriel dans l Espace......................................

Plus en détail

Les vecteurs. Année 2014/2015. Lycée du golfe de Saint Tropez

Les vecteurs. Année 2014/2015. Lycée du golfe de Saint Tropez Les vecteurs Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2014/2015 Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/2015 1 / 21 1 Notion de vecteur s Égalité de deux vecteurs 2 s Propriétés 3 Construction

Plus en détail

Vecteurs. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2015/2016

Vecteurs. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2015/2016 Vecteurs Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Notion de vecteur Coordonnées 3 1.1 Définitions................................................. 3 1.2 Égalité de deux vecteurs.........................................

Plus en détail

Géométrie vectorielle plane, cours, première S

Géométrie vectorielle plane, cours, première S Géométrie vectorielle plane, cours, première S F.Gaudon 25 septembre 2015 Table des matières 1 Géométrie vectorielle dans un repère 2 1.1 Compléments sur la colinéarité.................................

Plus en détail

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace 1 arallélisme 1.1 osition relative de deux droites Géométrie dans l'espace Droites coplanaires Г // et sécantes = ={A} Droites non coplanaires Г = 1.2 osition relative de deux plans lans parallèles lans

Plus en détail

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Propriété : Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. Si un point est

Plus en détail

TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales. 3ème_Chap.5_Translation et Vecteurs

TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales. 3ème_Chap.5_Translation et Vecteurs TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales 1 Activité «avant de démarrer» p200 LIEN ENTRE TRANSLATION ET VECTEUR 2 I VECTEURS 1. Définition Un vecteur est défini par une direction,

Plus en détail

VECTEURS-TRANSLATIONS. «La direction de l aiguille aimantée» Sens : ( n.m. ) Direction, orientation «Aller en sens contraire» Petit Larousse

VECTEURS-TRANSLATIONS. «La direction de l aiguille aimantée» Sens : ( n.m. ) Direction, orientation «Aller en sens contraire» Petit Larousse THEME : VECTEURS-TRANSLATIONS DEfinitions - Proprietes Notion de direction et de sens : Direction ( n.f. ) Orientation vers un point donné «La direction de l aiguille aimantée» Sens : ( n.m. ) Direction,

Plus en détail

Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, cours, terminale S

Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, cours, terminale S Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, cours, terminale S F.Gaudon 21 mars 2013 Table des matières 1 Vecteurs de l'espace 2 1.1 Extension de la notion de vecteur à l'espace.........................

Plus en détail

RAPPELS SUR LES VECTEURS

RAPPELS SUR LES VECTEURS RAPPELS SUR LES VECTEURS 1 re S Ce chapitre est constitué d une part de rappels de Seconde (les exemples y seront donc limités et les propriétés ne seront par re-démontrées) et d autre part d exercices

Plus en détail

un repère orthonormé de l espace.

un repère orthonormé de l espace. Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble

Plus en détail

Vecteurs, cours pour la classe de seconde

Vecteurs, cours pour la classe de seconde F.Gaudon 24 janvier 2010 Table des matières 1 Notions de translation et de vecteurs 2 2 Coordonnées de vecteurs 3 3 Somme de vecteurs 5 3.1 Relation de Chasles....................................... 5

Plus en détail

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité.

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité. ❶ - Vecteurs I-- Définition d un vecteur Définition : Lorsqu on choisit deux points distincts M et N dans cet ordre, on définit : - une direction : celle des droites parallèles à (MN) ; - un sens : de

Plus en détail

Chapitre : VECTEURS SESSION ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure.

Chapitre : VECTEURS SESSION ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. SESSION 2006 Chapitre : VECTEURS 1 ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. D. Le FUR 1/ 21 2 ABCD est un parallélogramme de centre

Plus en détail

Angles orientés. exercices corrigés. 21 février 2014

Angles orientés. exercices corrigés. 21 février 2014 exercices corrigés 21 février 2014 Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Exercice 9 Exercice 1 Enoncé Soit A et B deux points du plan tels que AB = 4 cm.

Plus en détail

I Translation et égalité vectorielle.

I Translation et égalité vectorielle. I Translation et égalité vectorielle. TRNSLTIONS ET VETEURS a) Translation. éfinition : ire que le point N est l image du point N par la translation qui transforme en, signifie que le quadrilatère NN'

Plus en détail

Les vecteurs. Remarque1 : Le vecteur de coordonnées correspond à un déplacement de 1 carreau vers la droite.

Les vecteurs. Remarque1 : Le vecteur de coordonnées correspond à un déplacement de 1 carreau vers la droite. Les vecteurs I. Notion de Translation Exercice Sur le quadrillage ci-dessus : a. Faire «glisser» l objet (qu on appellera figure 1)de 8 carreaux vers la droite et 2 vers le haut (on appellera la figure

Plus en détail

Cours de mathématiques. Thomas Rey

Cours de mathématiques. Thomas Rey Cours de mathématiques Thomas Rey Classe de seconde le 29 août 2010 «Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve.» EUCLIDE D ALEXANDRIE Table des matières 1 Fonctions numériques 5 1.1 Notion

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Repérage et vecteurs

Repérage et vecteurs Repérage et ecters Chapitre 10 page 241 Introdction : Rappels por démarrer : Page 241 I-Egalité de ecters 1- Détermination d'n ecter. Un ecter non nl est déterminé par : - sa direction ; - son sens ; -

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Chapitre 9 : Géométrie vectorielle

Chapitre 9 : Géométrie vectorielle Chapitre 9 : Géométrie vectorielle I Notion de vecteur 1 Translation et vecteur Soit A et B deux points du plan La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l unique point D tel

Plus en détail

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme.

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Devoir Maison A rendre le mercredi 2 mai 2nde 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point D. 2/ a)

Plus en détail

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé.

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé. COMPOSITION SECONDE MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE Durée de l épreuve : 2 h 00 L usage de la calculatrice est autorisé. Toutes les réponses devront être justifiées. Exercice 1 Soit la fonction

Plus en détail

Produit d un vecteur par un réel, classe de seconde

Produit d un vecteur par un réel, classe de seconde , classe de seconde F.Gaudon http://mathsfg.net.free.fr 8 avril 2012 1 2 Traduction de propriétés géométriques Milieux de segments Alignement et parallélisme 1 2 Traduction de propriétés géométriques Milieux

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Brevet Juin 007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Exercice 1 : 1) A = 500 (10 3 ),4 10 7 8 10 4 = 500 10 6 4 10 1 10 7 8 10 4 500 4 = 8 = 500 3 8 8 = 500 3 100 10 4 = 1500 10 0 + 4 = 1500 10 4 = 1,5 10 3 10 4

Plus en détail

Nombres complexes et géométrie euclidienne

Nombres complexes et géométrie euclidienne 19 Nombres complexes et géométrie euclidienne Le corps C des nombres complexes est supposé construit voir le chapitre 7. On rappelle que C est un corps commutatif et un R-espace vectoriel de dimension,

Plus en détail

Mathématiques niveau CFG

Mathématiques niveau CFG Mathématiques niveau CFG Chapitre 4 : Géométrie COURS 4 : QUADRILATERES 1. IDENTIFIER UN QUADRILATERE ABCD est une figure géométrique formée de 4 côtés et de 4 sommets : c est un quadrilatère Le segment

Plus en détail

Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1) Page 1 sur 6

Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1) Page 1 sur 6 Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1) Page 1 sur 6 I ) Translation : Activité : Une télécabine se déplace le long d un câble de A vers B. Dessiner ci dessus la télécabine lorsqu elle sera arrivée au terminus

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

Polygones, triangles et quadrilatères

Polygones, triangles et quadrilatères Polygones, triangles et quadrilatères I) Les polygones 1) Définition : Un polygone est une figure fermée composée de plusieurs segments (au moins trois). 2) Vocabulaire a) Les côtés Chaque segment qui

Plus en détail

Droites et plans de l espace - Vecteurs

Droites et plans de l espace - Vecteurs Chapitre 8 Droites et plans de l espace - Vecteurs Objectifs du chapitre : item références auto évaluation étude de la position relative de droite(s) et de plan(s) vecteurs de l espace formules dans un

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

5 ème Chapitre 4 Triangles

5 ème Chapitre 4 Triangles 5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du

Plus en détail

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME MATHEMATIQUES Premier Cycle TROISIEME 79 INTRODUCTION Le programme de la classe de troisième, dernier niveau de l enseignement moyen, vise à doter l élève de savoirs faire pratiques par une intégration

Plus en détail

DEVOIR MAISON 4 : LES VECTEURS

DEVOIR MAISON 4 : LES VECTEURS DEVOIR MAISON 4 : LES VECTEURS Ce devoir maison de révisions, de préparation au DS4 comporte deux pages. Vous traiterez au choix au moins la première ou la deuxième page. Exercice 1. Le plan est muni d

Plus en détail

Les Vecteurs ( En seconde )

Les Vecteurs ( En seconde ) Les Vecteurs ( En seconde ) Dernière mise à jour : Mardi 22 Avril 2008 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2007-2008) -1- J aimais et j aime encore les mathématiques pour elles-mêmes

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2 ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Rappel : Présenter les parties de l'épreuve sur feuilles

Plus en détail

I. Repère. II. Généralités. a. Coordonnées du milieu de deux points. b. Distance entre deux points (dans un repère orthonormé).

I. Repère. II. Généralités. a. Coordonnées du milieu de deux points. b. Distance entre deux points (dans un repère orthonormé). I. Repère Définition : On appelle repère orthonormé (O, I, J) lorsque le triangle OIJ est isocèle rectangle en O. On dira aussi que le repère (O, ı, ȷ ) est orthonormé. II. Généralités a. Coordonnées du

Plus en détail

Mathématiques Secondes

Mathématiques Secondes Mathématiques Secondes 2 Table des matières 0 Algorithmique 5 1 Repérage 9 2 Équations et Inéquations du premier degré 13 3 Géométrie dans l espace 17 4 Généralités sur les fonctions 19 5 Statistiques

Plus en détail

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d

Plus en détail

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En

Plus en détail

Comme son lien avec la Physique le laisse supposer, les vecteurs permettent d'introduire la notion de mouvement dans la Géométrie.

Comme son lien avec la Physique le laisse supposer, les vecteurs permettent d'introduire la notion de mouvement dans la Géométrie. Les vecteurs Introduction : Les vecteurs sont fondamentaux : En Mathématiques : Le calcul vectoriel est un outil très puissant apparu à la fin du 19 ième siècle pour effectuer des démonstrations en Géométrie

Plus en détail

Seconde 1 Géométrie analytique 03/02/2014 Lycée Saint Joseph Pierre Rouge

Seconde 1 Géométrie analytique 03/02/2014 Lycée Saint Joseph Pierre Rouge I. Vecteurs a. Translation de vecteur AB Définition : Soient A et B deux points du plan. À tout point C du plan on associe l unique point D tel que [AD] et [BC] aient le même milieu. On dit que D est l

Plus en détail

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2 22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul

Plus en détail

Equations cartésiennes d une droite

Equations cartésiennes d une droite Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la

Plus en détail

Similitudes directes

Similitudes directes Similitudes directes Cours maths Terminale S Similitudes directes : Après de brefs rappels concernant les similitudes en général, on choisit dans ce module de s intéresser exclusivement au cas des similitudes

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

CHAPITRE III VECTEURS

CHAPITRE III VECTEURS CHAPITRE III VECTEURS COURS 1) Exemple : force exercée par un aimant. p 2 2) Définitions et notations. p 3 3) Egalité de deux vecteurs... p 5 4) Multiplication d un vecteur par un nombre réel... p 6 5)

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE PRODUIT SCLIRE DNS L'ESPCE Dans tout ce chapitre, les bases ou repères considérés sont orthonormés. Pour des révisions sur le produit scalaire dans le plan, voir le cours de première. 1. Définition du

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

13. Géométrie analytique

13. Géométrie analytique 13. Géométrie analytique La géométrie analytique permet de résoudre par le calcul des problèmes de géométrie. Il convient toutefois de ne pas perdre de vue que la géométrie analytique est d abord de la

Plus en détail

Corrigé Exercice 1 : ROBOT 2 AXES.

Corrigé Exercice 1 : ROBOT 2 AXES. TD 11 corrigé - Cinématique graphique - Composition des vecteurs vitesses Page 1/8 Corrigé Exercice 1 : ROBOT 2 AXES. Question 1 : Tracer les trajectoires TB 2/1, TA 1/0 et TB 1/0. Le mouvement de 2/1

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi eponentielle de paramètre λ ;

Plus en détail

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni

Plus en détail

Introduction aux inégalités

Introduction aux inégalités Introduction aux inégalités -cours- Razvan Barbulescu ENS, 8 février 0 Inégalité des moyennes Faisons d abord la liste des propritétés simples des inégalités: a a et b b a + b a + b ; s 0 et a a sa sa

Plus en détail

Exercices sur les vecteurs

Exercices sur les vecteurs Exercices sur les vecteurs Exercice 1 : Associativité de la somme de trois vecteurs. On donne trois vecteurs u, v et w. Sur les deux figures suivantes tracer la somme u + v + w de deux manières : u + v

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

CBD =45 et comme ces angles sont adjacents, alors ABD = ABC + CBD =18+45=63.

CBD =45 et comme ces angles sont adjacents, alors ABD = ABC + CBD =18+45=63. Chapitre 6 Les angles 1) Définitions et premières propriétés a) Angles adjacents (rappel) : Deux angles sont dits "adjacents" si ils ont un côté en commun et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce

Plus en détail

Chapitre 2 : Symétrie centrale

Chapitre 2 : Symétrie centrale Chapitre 2 : Symétrie centrale I- Symétrie axiale (rappel) Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) lorsque, en pliant suivant cette droite, les deux figures se superposent. Cette droite

Plus en détail

Produit scalaire. Définition : Soient un vecteur. On appelle carré scalaire de (noté ):. On appelle norme de et on note :.

Produit scalaire. Définition : Soient un vecteur. On appelle carré scalaire de (noté ):. On appelle norme de et on note :. Produit scalaire 1 Produit scalaire de deux vecteurs 11 Définition Définition : Soient deux vecteurs non nuls Soient A, B C des points tels que : Soit H le projé orthogonal de C sur (AB) On appelle produit

Plus en détail

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS . Les fonctions JUIN : EXERCICES DE REVISIONS y 30 0 0-8 -7-6 - - 0 3 4 6 7 8 x -0 - -0 0 Fonction n : f(x) = y = 30x Fonction n : f(x) = y = -x³ + 3x² + x - 3 Fonction n 3 : f3(x) = y = -x + 30 Fonction

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2

Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2 Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2 Collège OASIS Corrigé de l Epreuve de Mathématiques L usage de la calculatrice est autorisé, mais tout échange de matériel est interdit Les exercices sont indépendants

Plus en détail

Les vecteurs du plan

Les vecteurs du plan Les vecteurs du plan Colinéarité Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2015/2016 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 1 / 13 1 Vecteurs colinéaires Définition et première

Plus en détail

Calcul matriciel ... Il est impossible de faire la somme de 2 matrices de tailles différentes.

Calcul matriciel ... Il est impossible de faire la somme de 2 matrices de tailles différentes. Chapitre : Calcul matriciel Spé Maths - Matrices carrées, matrices-colonnes : opérations. - Matrice inverse d une matrice carrée. - Exemples de calcul de la puissance n-ième d une matrice carrée d ordre

Plus en détail

Vecteurs Translation et rotation

Vecteurs Translation et rotation HPTR 10 Vecteurs Translation et rotation bjectifs Établir une relation entre les vecteurs et la translation. onstruire un représentant du vecteur somme à l aide d un parallélogramme. onstruire et caractériser

Plus en détail

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit..

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit.. Correction-Exercices sur les droites remarquables 1. Construire un triangle ABC tel que AB = 5cm, BC = 6cm et AC= 8 cm et le cercle circonscrit à ce triangle Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme...

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme... Maths PCSI Cours Espaces affines Table des matières 1 Espaces et sous-espaces affines 2 1.1 Espaces affines et translations.................................... 2 1.2 Exemples d espaces affines......................................

Plus en détail

VECTEURS EXERCICES CORRIGES

VECTEURS EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. VECTEURS EXERCICES CORRIGES On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O, et I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [ED]. En utilisant les lettres de la figure citer :

Plus en détail

Chapitre : Repérage et vecteurs dans le plan

Chapitre : Repérage et vecteurs dans le plan Chapitre : Repérage et vecteurs dans le plan Introduction : Dès l'antiquité les problèmes de repérage se sont posés dans les domaines de l'astronomie et de la navigation. La notion de coordonnées dans

Plus en détail

Université Joseph Fourier Année 2005-2006 LST Mathématiques. Géométrie

Université Joseph Fourier Année 2005-2006 LST Mathématiques. Géométrie Université Joseph Fourier Année 2005-2006 LST Mathématiques KMAT367 Géométrie version du 5 avril 2006 Table des matières Introduction 1 1 Espaces affines 3 1.1 Définition....................................

Plus en détail

Notes de cours de mathématiques en Seconde générale O. Lader

Notes de cours de mathématiques en Seconde générale O. Lader Seconde générale Lycée Georges Imbert 05/06 Notes de cours de mathématiques en Seconde générale O. Lader Table des matières Développer factoriser pour résoudre (S). Calcul algébrique.................................................

Plus en détail

Correction du brevet blanc. Partie 1 : Activités numériques (12 points)

Correction du brevet blanc. Partie 1 : Activités numériques (12 points) Correction du brevet blanc Eercice 1 (5 points) 3 Quelle est l'epression 1 5 développée de (5 3)? ( )( ) L'équation + 5 0 a pour solutions : Quelle est la valeur eacte de : 0+ 80? Quelle est la forme factorisée

Plus en détail

Chapitre 7 Proportionnalité.

Chapitre 7 Proportionnalité. Chapitre 7 Proportionnalité. Voir 5 ème, chapitres 5 et 7 ; 4 ème, chapitres 4, 5 et 12. I) Pourcentages, indices A) Augmentation (ou diminution) Eemple : Le pri d un objet est passé de à 14. Calculer

Plus en détail

Géométrie Vectorielle

Géométrie Vectorielle Géométrie Vectorielle M Renf Jean-Philippe Javet Sources : http://www.josleys.com Table des matières Vecteurs, composantes - points, coordonnées. Les vecteurs..........................................

Plus en détail

Vecteurs du plan. Seconde 5 2010/2011 L.F.B. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/2011 1 / 21

Vecteurs du plan. Seconde 5 2010/2011 L.F.B. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/2011 1 / 21 Vecteurs du plan Seconde 5 L.F.B. 2010/2011 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/2011 1 / 21 Définitions Translation Définition 1 Étant donnés trois points du plan A, B et M, on dit que M est l image

Plus en détail

Terminale S Géométrie dans l espace

Terminale S Géométrie dans l espace Terminale S Géométrie dans l espace 1 Positions relatives de droites et de plans 1.1 Positions relatives de deux droites Deux droites de l espace sont : soit..................... elles sont alors soit...............

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME 2012 FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME NOUS VOUS PRESENTONS ICI UN FORMULAIRE CONTENANT LES DEFINITIONS, PROPRIETES ET THEOREMES VUS EN COURS DE MATHEMATIQUES TOUT AU LONG DE VOTRE SCOLARITE

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Géométrie de l espace

Géométrie de l espace [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 06 Enoncés Géométrie de l espace Notions communes Exercice [ 087 ] [Correction] À quelle(s) condition(s) simple(s) l intersection de trois plans de l

Plus en détail

Vecteurs du plan. B. Une nouvelle transformation du plan : Translation et vecteur associé

Vecteurs du plan. B. Une nouvelle transformation du plan : Translation et vecteur associé Vecteurs du plan 2 nde I. Translations et Vecteurs du plan A. Transformations du plan, je me souviens... Vous connaissez déjà des transformations du plan : Les symétries par rapport à un point et les symétries

Plus en détail

CHAPITRE 1 Les vecteurs géométriques

CHAPITRE 1 Les vecteurs géométriques CHAPITRE 1 Les vecteurs géométriques Introduction Les quantités comme la température, la masse, le temps et la longueur sont représentées par des scalaires. Toutefois, il existe d autres quantités dont

Plus en détail

Transformations. Exemple : Dans une rotation, il y a un seul point invariant : le centre de la rotation.

Transformations. Exemple : Dans une rotation, il y a un seul point invariant : le centre de la rotation. Transformations 1. Généralités 1.1. Transformations Définition : On appelle transformation du plan (respectivement de l'espace), une bijection du plan (respectivement de l'espace) dans lui-même, c'est

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. I- Droites et plans de l espace : Rappels des règles de base Par deux points distincts de l espace, passe une unique droite. Par trois points non alignés passe un

Plus en détail

Baccalauréat Polynésie 11 juin 2013 Sciences et technologies du design et des arts appliqués

Baccalauréat Polynésie 11 juin 2013 Sciences et technologies du design et des arts appliqués Baccalauréat Polynésie juin 0 Sciences et technologies du design et des arts appliqués EXERCICE points Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

Plus en détail

GEOGEBRA : Les indispensables

GEOGEBRA : Les indispensables Préambule GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique dans le plan qui permet de créer des figures dans lesquelles il sera possible de déplacer des objets afin de vérifier si certaines conjectures

Plus en détail