Université Bordeaux 1 MIS 103 OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

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1 Université Bordeaux 1 MIS 103 OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Année

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3 Table des matières 1 Les grands principes de l optique géométrique 1 1 Principe de Fermat Rayons lumineux. Faisceaux lumineux Les lois de Snell-Descartes Indice de réfraction Lois de Snell-Descartes Discussion de la troisième loi de Snell-Descartes a Cas où n 1 < n 2 : réfraction limite b Cas où n 1 > n 2 : réflexion totale Lame à faces parallèles Le prisme 9 1 Formules du prisme Définitions Déviation de la lumière par un prisme a Marche d un rayon lumineux. Formules du prisme b Conditions d émergence Étude de la déviation Variation de D en fonction de n Variation de D en fonction de i : minimum de déviation Dispersion de la lumière Notions de stigmatisme-objets-images 15 1 Image d un point, notion de stigmatisme Stigmatisme approché - Approximation de Gauss Objets ou images réels ou virtuels Miroirs plans et sphériques 19 1 Miroirs plans Image d un objet ponctuel Image d un objet étendu Miroirs sphériques Définitions Relations de conjugaison dans l approximation de Gauss a Relation de conjugaison avec origine au sommet b Relation de conjugaison avec origine au centre Propriétés des miroirs sphériques i

4 ii TABLE DES MATIÈRES 2.3.a Propriété du centre C du miroir b Propriété du sommet S du miroir c Foyer et plan focal d Distance focale, vergence Construction de l image d un objet Grandissement a Origine au sommet b Origine au centre Dioptre plan 31 1 Définition Relation de conjugaison du dioptre plan Lentilles minces 35 1 Lentilles minces sphériques Lentilles convergentes ; lentilles divergentes Propriétés des lentilles minces Propriété du centre optique Foyers objet et image - Distance focale a Foyers objet et image b Distance focale Plans focaux objet et image a Définition b Propriété : Foyers secondaires Vergence d une lentille Constructions géométriques Construction de l image d un objet plan Construction d un rayon transmis Relations des lentilles minces Relations de conjugaison a Relation de conjugaison de Newton b Relation de conjugaison de Descartes Grandissement a Grandissement avec origine aux foyers b Grandissement avec origine au centre Association de lentilles minces Foyers, distances focales et vergence a Foyer objet b Foyer image c Distances focales et vergence d Construction géométrique de F et F Cas particuliers a Lentilles accolées b Système afocal

5 TABLE DES MATIÈRES iii 7 L Œil et la vision 47 1 L œil Description L œil réduit Accommodation Equations de la vision Quelques défauts de l œil L œil normal ou emmétrope La myopie L hypermétropie La presbytie L astigmatisme Acuité visuelle et pouvoir séparateur Instruments d optique 57 1 Microscopie classique La loupe a Principe b Puissance de la loupe c Grossissement Le microscope a Principe b Puissance c Grossissement Microscopie moderne La lunette astronomique Principe Conditions d observations Grossissement Lunettes terrestres*

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7 Chapitre 1 LES GRANDS PRINCIPES DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE On peut construire toute l optique géométrique à partir du principe de Fermat (1657). En effet, de ce dernier découle la notion de rayon lumineux ainsi que les lois de la réflexion et de la réfraction, dites lois de Snell-Descartes. Dans ce chapitre, nous nous contenterons d énoncer ce principe et de présenter (sans démonstration) ses conséquences. 1 Principe de Fermat Le chemin effectivement suivi par la lumière pour aller d un point à un autre est celui pour lequel le temps de parcours est minimum (en toute rigueur extrêmum). Ce principe a deux conséquences immédiates : Dans un milieu transparent et homogène (milieu dont l indice de réfraction n est uniforme, i.e. le même en tout point), la lumière se propage en ligne droite. C est le principe de propagation rectiligne de la lumière. Le trajet suivi par la lumière est indépendant du sens de parcours. C est le principe du retour inverse de la lumière. Autrement dit, si un rayon lumineux SI pénètre dans un système optique quelconque pour en ressortir suivant I S (fig. 1.1), un rayon lumineux entrant dans le système suivant S I en ressortira suivant IS. S I Système optique I' S' Fig. 1.1 Retour inverse de la lumière.

8 2 Chapitre 1. Les grands principes de l optique géométrique 2 Rayons lumineux. Faisceaux lumineux On appelle rayon lumineux la trajectoire effectivement suivie par la lumière. Dans un milieu homogène, du fait de la propagation rectiligne de la lumière, les rayons lumineux sont des droites que l on représente avec une ou plusieurs flèches indiquant dans quel sens se fait la propagation. Un laser, par exemple, fournit un faisceau que l on peut assimiler pratiquement à un rayon lumineux. Un ensemble de rayons constitue un faisceaux lumineux. Remarque : lorsqu on fait passer la lumière au travers d orifices de très petite taille (comparable en fait à la longueur d onde de la lumière utilisée), on observe un phénomène nouveau appelé diffraction, qui représente un écart à la loi de propagation rectiligne de la lumière. Ce phénomène ne pouvant s expliquer qu en prenant en compte la caractère ondulatoire de la lumière, il sort donc du cadre de ce cours. 3 Les lois de Snell-Descartes 3.1 Indice de réfraction Dans le vide, la lumière se propage en ligne droite à la vitesse c qui est, par définition, la suivante : c = m.s m.s 1. Par contre l expérience montre que la vitesse de propagation de la lumière change d un milieu matériel à l autre, et qu elle est toujours inférieure à c. On définit alors l indice de réfraction n d un milieu comme étant égal au rapport de la vitesse de la lumière dans le vide, à la vitesse v de la lumière dans le milieu considéré : n = c v. L indice du vide est donc égal à l unité, tandis que l indice des substances transparentes dans le visible est supérieur à l unité. Retenons les valeurs des indices des milieux suivants : indice de l air : 1,0003 indice du verre : 3/2 indice de l eau : 4/3. Notons que l indice de l air étant pratiquement égal à 1, nous l assimilerons par la suite au vide. En fait, ces valeurs sont des valeurs moyennes car l indice d un milieu varie avec la longueur d onde λ de la lumière selon la formule approchée de Cauchy : n(λ) = A + B λ 2, où A et B sont des constantes caractéristiques du milieu considéré. Pour finir, un peu de vocabulaire : plus l indice absolu d un milieu transparent est élevé, plus ce milieu est dit réfringent. Par exemple le verre (n = 3/2) est plus réfringent que l eau (n = 4/3).

9 3 Les lois de Snell-Descartes Lois de Snell-Descartes Ces lois, qui découlent du principe de Fermat, régissent le comportement d un rayon lumineux à la surface de séparation de deux milieux transparents différents (dioptre). Considérons un rayon lumineux (appelé rayon incident) arrivant en un point I (appelé point d incidence) situé sur la surface d un dioptre séparant deux milieux d indices n 1 et n 2. Ce rayon est alors scindé en deux parties d intensités différentes : Un rayon, dit rayon réfléchi, qui se propage dans le milieu d indice n 1, et un rayon se propageant dans le milieu d indice n 2, qualifié de réfracté. On repère par les angles i 1 (angle d incidence), i 1 (angle de réflexion) et i 2 (angle de réfraction) les inclinaisons des trois rayons relativement à la normale au dioptre en I (cf. figure 1.2). Le plan défini par la normale au dioptre et le rayon incident est appelé plan d incidence. N i 1 i 1 dioptre n 1 I n 2 i 2 Fig. 1.2 Lois de Snell-Descartes. Les lois de Snell-Descartes (au nombre de trois) sont les suivantes : 1. Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan d incidence. 2. i 1 = i 1, 3. n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2. Remarques : Les angles considérés ici sont des angles orientés. Si ce n était pas le cas, la deuxième loi de Snell-Descartes s écrirait i 1 = i 1. n 1 et n 2 étant positifs, i 1 et i 2 ont même signe. Les rayons incident et réfracté sont donc toujours de part et d autre de la normale. Lorsque l angle d incidence est faible, l angle de réfraction l est aussi. Dans ces conditions sin i k i k (k = 1, 2 et i k en radian), et la deuxième loi de la réfraction prend la forme suivante (loi de Képler) : n 1 i 1 = n 2 i 2.

10 4 Chapitre 1. Les grands principes de l optique géométrique 3.3 Discussion de la troisième loi de Snell-Descartes 3.3.a Cas où n 1 < n 2 : réfraction limite S 2 S 1 i 1 n 1 n > n 2 1 I R 1 i 2 R 2 i lim Fig. 1.3 Réfraction limite. Le rayon lumineux passe du milieu 1 moins réfrigent au milieu 2 plus réfrigent (fig. 1.3). Nous avons alors n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2 avec n 2 > n 1. Il en résulte que sin i 2 < sin i 1 ; les angles i 1 et i 2 étant compris entre 0 et π/2, sinus et angles varient dans le même sens, soit i 2 < i 1. Le rayon réfracté se rapproche donc de la normale. Un rayon incident normal (S 1 I), pour lequel i 1 = 0, entre sans déviation (IR 1 tq i 2 = 0). Lorsque i 1 croît, i 2 croît aussi tout en restant inférieur à i 1. A l incidence rasante (i 1 = π/2), l angle de réfraction est maximal (angle de réfraction limite noté i lim ) et vaut : Par exemple si la lumière va de l air dans le verre : i lim = b Cas où n 1 > n 2 : réflexion totale sin i lim = n 1 n 2. (1) Le rayon lumineux passe maintenant du milieu 1 plus réfrigent au milieu 2 moins réfrigent. La troisième loi de Snell-Descartes implique alors que i 1 < i 2.

11 4 Lame à faces parallèles 5 i r i 1 n 1 n < n 2 1 I i 2 Fig. 1.4 Réflexion totale. Le rayon réfracté s écarte donc de la normale et l angle de réfraction est maximal (i 2 = π/2) pour un angle d incidence limite i r tel que : sin i r = n 2 n 1. (2) Si l angle d incidence est supérieur à i r, il n y a plus de rayon réfracté (en effet, on a alors sin i 2 > 1, i 2 n est donc plus défini), le rayon incident est totalement réfléchi : on parle de réflexion totale. Le dioptre se comporte comme un miroir (fig. 1.4). 4 Lame à faces parallèles Soit une lame à faces parallèles (fig. 1.5), d épaisseur e et d indice n 2, placée entre deux milieux d indices respectifs n 1 et n 3. Un rayon incident SI frappe le premier dioptre plan sous l incidence i 1 ; il se réfracte avec un angle de réfraction i 2. Les deux faces de la lame étant parallèles, le rayon réfracté II tombe sur le second dioptre plan avec l incidence i 2 et émerge avec l angle i 3. L application des lois de la réfraction en I et I donne : Soit n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2, n 2 sin i 2 = n 3 sin i 3. n 1 sin i 1 = n 3 sin i 3. L angle d émergence i 3 est donc indépendant du milieu intermédiaire.

12 6 Chapitre 1. Les grands principes de l optique géométrique S i 1 I n 1 i 2 n 2 e i 2 I n 3 i 3 R Fig. 1.5 Marche d un rayon lumineux dans une lame à faces parallèles (n 3 < n 1 < n 2 ). Un cas particulier intéressant est celui où la lame est plongée dans deux milieux extrêmes identiques (exemples : vitre, lame couvre-objet de microscope). Comme n 1 = n 3, il vient que i 1 = i 3. Le rayon émergent est donc parallèle au rayon incident. Cependant, le rayon sortant I R est décalé de la quantité δ = IH par rapport à l incident SI. δ se calcule en considérant S i 1 I n 1 H i 2 n 2 e i 2 K I n 1 i 1 R Fig. 1.6 Marche d un rayon lumineux dans une lame à faces parallèles d indice n 2 plongée dans deux milieux extrêmes identiques (n 1 = n 3, n 1 < n 2 ).

13 4 Lame à faces parallèles 7 les triangles rectangles IKI et IHI où l on a (fig. 1.6) : II = IK cos i 2 = e cos i 2, et δ = II sin(i 1 i 2 ). Soit : δ = e sin(i 1 i 2 ) cos i 2. (3) Remarque : pour de petits angles, sin(i 1 i 2 ) i 1 i 2 et cos i 2 1, d où Or, comme n 1 i 1 = n 2 i 2, il vient que ( δ = e(i 1 i 2 ) = e i 1 1 i ) 2. i 1 ( δ = e i 1 1 n ) 1. (4) La démonstration des formules (3) et (4) est laissée en exercice aux étudiants n 2

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15 Chapitre 2 LE PRISME Dans ce chapitre nous appliquons les lois de la réfraction à un système optique particulier : le prisme. 1 Formules du prisme 1.1 Définitions On appelle prisme, en optique, un milieu transparent limité par deux faces planes non parallèles. Ces deux faces, appelées faces utiles du prisme, forment un dièdre d angle A ; A est l angle du prisme ; l arête du dièdre est l arête du prisme. La base du prisme est la face opposée à l arête. Un plan de coupe perpendiculaire à l arête du prisme est appelé plan de section principale (fig. 2.1). Par la suite, nous limiterons notre étude aux rayons situés dans un plan de section principale. face d'entrée A arête face d'entrée A face de sortie base face de sortie Plan de section principale Fig. 2.1 Prisme et plan de section principale.

16 10 Chapitre 2. Le prisme i I r K A L r' A I' i' D Fig. 2.2 Cheminement d un rayon lumineux à travers un prisme. 1.2 Déviation de la lumière par un prisme 1.2.a Marche d un rayon lumineux. Formules du prisme La figure 2.2 représente le cheminement d un rayon lumineux monochromatique incident dans un plan de section principale pour un prisme plongé dans l air. D après la première loi de Snell-Descartes le rayon lumineux transmis par le prisme appartient aussi à ce plan. Si n est l indice du prisme, les lois de Snell-Descartes en I et I imposent les deux relations suivantes : D autre part, dans le triangle IKI, nous voyons que soit : sin i = n sin r, (1) sin i = n sin r. (2) π A + r + r = π, Tandis que dans le triangle ILI nous avons A = r + r. (3) π D + (i r) + (i r ) = π, où D est la déviation du prisme, définie comme étant l angle entre le rayon incident et le rayon transmis. Nous avons donc : D = i + i A. (4) Les relations (1),(2),(3) et (4) constituent les formules du prismes. Remarques : La déviation D est une fonction des trois variables i, n et A. Il n est pas nécessaire d orienter les angles i, i, r et r qu il suffit de poser positifs. D est positif. En effet, i > r et i > r. Donc i + i > r + r = A. La déviation se fait donc toujours vers la base du prisme pour un rayon incident situé côté base par rapport à la normale.

17 2 Étude de la déviation b Conditions d émergence L indice n du verre composant le prisme étant supérieur à 1 dans le domaine visible, l angle de réfraction r est toujours défini. Le rayon pénètre dans le prisme quel que soit son angle d incidence. Pour qu un rayon émerge du prisme en I, il faut que (cf. chapitre 1) r i r, (5) où i r est l angle de réflexion totale défini par i r = arcsin (1/n). D autre part, nous savons que De la relation (3) on en déduit que : r i lim = arcsin(1/n) = i r. A 2i r. Donc, pour qu un rayon émerge du prisme, il faut que A 2i r. Dans le cas contraire, il y a réflexion totale sur la face de sortie du prisme. En outre, d après les relations (3) et (5), A i r r i r. (6) En prenant le sinus de cette inégalité et en multipliant par n, on en déduit qu il n y aura émergence que si i 0 i π/2, avec i 0 défini par sin i 0 = n sin(a i r ). Pour résumer, lorsque A 2i r, le rayon incident émerge du prisme si i 0 i π/2 avec i 0 = arcsin[n sin(a i r )]. En travaux pratiques, on utilise des prismes dont l angle vaut typiquement 60, ce qui correspond pour n = 1,5 à i 0 = 28. En pratique on doit donc éclairer le prisme de façon suffisamment oblique pour espérer voir la lumière ressortir par la face attendue. 2 Étude de la déviation 2.1 Variation de D en fonction de n A et i étant constants, la relation (1) montre que si n croît, r diminue. Or A = r + r, donc r et i, d après l équation (2), augmentent. La relation (4) montre alors que la déviation croît avec l indice du prisme.

18 12 Chapitre 2. Le prisme D 0 D ( ) D m i0 i i' i ( ) i m Fig. 2.3 Courbe de variation de la déviation avec l angle d incidence. A = 60, n = 1, Variation de D en fonction de i : minimum de déviation Si l on trace l évolution de D en fonction de l angle d incidence i, on obtient la courbe représentée sur la figure 2.3. On constate que lorque i varie de i 0 à π/2, D décroît, passe par un minimum D m puis augmente. Ce minimum se produit quand i = i = i m = (D m +A)/2. Au minimum de déviation, nous avons donc i = i = i m et r = r = r m ; dans ces conditions, les formules du prisme deviennent sin i m = n sin r m, 2r m = A, D m = 2i m A. Le trajet de la lumière est alors symétrique par rapport au plan bissecteur du prisme comme le montre la figure 2.4. En remplaçant i m et r m par leurs valeurs dans la relation de Snell-Descartes, il vient : n = sin[(a + D m)/2]. (7) sin(a/2) Par conséquent, de la mesure de A et de D m, on peut déduire de façon assez précise l indice du prisme. Remarques : On voit qu à une même déviation correspond deux incidences possibles (principe du retour inverse de la lumière).

19 3 Dispersion de la lumière 13 A D = 2i A m m im A 2 A 2 i m Fig. 2.4 Cheminement d un rayon lumineux à travers un prisme au minimum de déviation : la figure est symétrique par rapport à, plan bissecteur du prisme. L aspect relativement plat de la courbe D(i) autour de D m explique, pour une source polychromatique, l accumulation de lumière dans cette direction, effet qui est à l origine de la formation de l arc-en-ciel (cf. TP). 3 Dispersion de la lumière Nous avons vu au chapitre 1 que l indice de réfraction dépendait de la longueur d onde (couleur) de la lumière visible. C est ce que l on appelle la dispersion. A cause de ce phénomène, un prisme disperse (décompose) une lumière blanche en ses différentes composantes (fig. 2.5). L ensemble de ces composantes constituent le spectre de la lumière blanche (on répertorie généralement sept couleurs dominantes : rouge, orangé, jaune, vert, bleu, indigo, violet). Nous savons, d une part, que la déviation croît avec l indice de réfraction, et que, d autre part, n augmente quand la longueur d onde diminue (loi de Cauchy). Cela signifie que la déviation augmente quand la longueur d onde diminue : les radiations de courte longueur d onde sont donc les plus déviées par le prisme (le violet est plus dévié que le rouge, cf. fig. 2.5).

20 14 Chapitre 2. Le prisme blanc rouge vert violet Fig. 2.5 Dispersion de la lumière.

21 Chapitre 3 NOTIONS DE STIGMATISME-OBJETS-IMAGES Dans ce chapitre nous allons nous pencher sur le problème de la formation des images en optique géométrique. Un système optique est de bonne qualité si il donne d une source ponctuelle une image ponctuelle : c est la condition de stigmatisme. Nous étudierons cette condition et verrons ses limites. Nous en profiterons aussi pour préciser les notions d objet et d image. 1 Image d un point, notion de stigmatisme sens de propagation de la lumière (I.O.) FE FS Fig. 3.1 Instrument d optique : face d entrée et face de sortie. Considérons le cas général d un instrument d optique (I.O.) comportant une face d entrée F E et une face de sortie F S définies par le sens de propagation de la lumière que l on choisit conventionnellement de la gauche vers la droite (figure 3.1). L objet est une source lumineuse ponctuelle ou étendue envoyant sur F E des rayons lumineux (rayons incidents). L image de l objet est la reproduction qu en donne l I.O., elle doit donc lui être semblable avec un rapport de similitude γ appelé grandissement. Ceci est obtenu quand tous les rayons issus d un même point de l objet convergent en un point unique de l image.

22 16 Chapitre 3. Notions de stigmatisme-objets-images Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un couple de points A et A si tout rayon lumineux passant par le point objet A émerge du système optique en passant par le point A. A est alors l image de A par le système optique ; on dit encore que A et A sont conjugués par rapport au système optique. 2 Stigmatisme approché - Approximation de Gauss Malheureusement, en dehors du miroir plan, la condition de stigmatisme rigoureux n est réalisable que pour des systèmes simples ayant un intérêt pratique limité. Les différents défauts d un instrument d optique (défaut de stigmatisme, d aplanétisme, distortion,...) sont alors regroupés sous le terme d aberration. Dans la suite de ce cours, nous ne considérerons que des systèmes optiques centrés, c est-à-dire des systèmes pour lesquels il existe un axe de symétrie de révolution appelé axe optique. On montre alors qu un tel instrument d optique donnera une image de bonne qualité d un objet si les deux conditions suivantes, dites conditions de Gauss, sont satisfaites : Les objets sont de faible étendue, situés au voisinage de l axe optique. Les rayons lumineux incidents font un angle faible avec l axe optique (rayons paraxiaux). On dit qu il y a stigmatisme approché. Dans ces conditions, l image d un objet plan perpendiculaire à l axe optique est plane et perpendiculaire à l axe optique (aplanétisme). 3 Objets ou images réels ou virtuels Nous avons dit à la section précédente qu une source ponctuelle A envoyant des rayons lumineux sur un système optique pouvait être considérée comme un objet pour celui-ci. Pour être plus précis, le point A est un point objet pour l I.O. s il se trouve à l intersection des rayons lumineux incidents sur le système, ou de leurs prolongements. Si le faisceau incident est divergent, A est un objet réel, il est forcément placé avant la face F E compte tenu du sens de propagation de la lumière (fig. 3.2a). Si le faisceau incident est convergent, il rencontre d abord le système optique. Le point A, point d intersection des prolongements des rayons incidents, est alors un point objet virtuel (fig. 3.2b) ; on ne peut l observer sur un écran. Remarque : Les prolongements des rayons sont représentés en pointillé tandis que les rayons sont des segments fléchés. Ces rayons en pointillé ne sont pas réellement suivis par la lumière, ils portent le nom de rayons virtuels. De même, on peut définir le caractère réel ou virtuel de l image de A donnée par le système optique (S) : Si le faisceau émergeant de (S) converge en un point A, alors A est dit image réelle (fig. 3.2c). Cette définition demeure vraie même si le faisceau est intercepté avant qu il n arrive au point A. Une image réelle peut être directement vue sur un écran.

23 3 Objets ou images réels ou virtuels 17 A A a) objet réel b) objet virtuel A' A' c) image réelle d) image virtuelle Fig. 3.2 Objets ou images réels ou virtuels. Enfin, si le faisceau émergent diverge, il semble provenir d un point A situé en avant de la face de sortie au point d intersection des prolongements des rayons émergents. A est dit image virtuelle de A donnée par (S) (fig. 3.2d), on ne peut pas l observer directement sur un écran. D après ce qui précéde, on voit que pour un système optique par transmission (système dioptrique) la face d entrée sépare l espace en deux parties : l espace objet réel situé avant F E ; et l espace objet virtuel situé après F E. De même, la face de sortie sépare l espace en deux parties : l espace image virtuelle situé avant F S ; et l espace image réelle situé après F S. E.O. réel sens de la lumière E.O. virtuel E.I. virtuel E.I. réel FE FS Fig. 3.3 Espace objet et espace image pour un système dioptrique.

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25 Chapitre 4 MIROIRS PLANS ET SPHÉRIQUES On appelle miroir une surface parfaitement réfléchissante (par exemple une surface (verre) recouverte d un mince dépôt métallique). Ce chapitre traite de l application des lois de la réflexion aux miroirs plans et aux miroirs sphériques. 1 Miroirs plans 1.1 Image d un objet ponctuel miroir A H A' i -i I R Fig. 4.1 Image d un point objet réel par un miroir plan. Soit une source ponctuelle réelle A. Le rayon AH émis sous incidence normale est réfléchi par le miroir et repart avec un angle de réflexion nul en repassant par A. Un autre rayon AI faisant un angle i quelconque avec la normale est réfléchi avec un angle i (fig. 4.1). Ces deux rayons semblent provenir d un point A situé au point d intersection de leurs prolongements. On montre aisément à partir d arguments géométriques simples que les triangles AHI et A HI sont identiques. A est donc le symétrique de A par rapport au plan du miroir, ce qui veut dire que sa position est indépendante de la valeur de i. Ainsi, tout rayon incident passant par A est réfléchi par le miroir en semblant provenir de A (fig. 4.1). Le miroir plan est donc rigoureusement stigmatique, et A est l image de A à travers le miroir. Cette image est virtuelle, on ne peut l observer directement sur un écran. Si on applique le principe du retour inverse de la lumière, A est objet virtuel et A est l image réelle donnée par le miroir.

26 20 Chapitre 4. Miroirs plans et sphériques B A miroir plan B M C A C M Fig. 4.2 Image d un objet réel étendu par un miroir plan. 1.2 Image d un objet étendu Soit maintenant l objet étendu MABC. D après ce qui précède, chacun de ses points admet comme image son symétrique par rapport au plan du miroir. La symétrie de l image donnée par le miroir plan à deux conséquences importantes : 1. L image a même dimension que l objet : le grandissement γ est égal à L image M A B C n est pas superposable à l objet (objet chiral), sauf si celui-ci est symétrique par rapport à un plan perpendiculaire au miroir (objet achiral) ; par exemple l image d une main gauche est une main droite. Donc pour résumer : le miroir plan est rigoureusement stigmatique et donne d un objet réel (resp. virtuel) une image virtuelle (resp. réelle) symétrique de l objet par rapport au plan du miroir. L image a même taille que l objet, mais elle n est pas superposable à celui-ci. Notons aussi qu un miroir, qui est un système optique par réflexion (système catadioptrique), sépare l espace de la manière suivante (cf. figure 4.3) : l espace objet réel situé avant le miroir ; et l espace objet virtuel situé après le miroir. l espace image réelle situé avant le miroir ; et l espace image virtuelle situé après le miroir. sens de la lumière incidente E.O. réel E.O. virtuel E.I. réel E.I. virtuel Miroir (plan ou sphérique) sens de la lumière réfléchie Fig. 4.3 Espace objet et espace image pour un miroir.

27 2 Miroirs sphériques 21 2 Miroirs sphériques 2.1 Définitions + a) + b) C R S axe optique S R C axe optique R = SC < 0 R = SC > 0 Fig. 4.4 a) Miroir concave. b) Miroir convexe. Un miroir sphérique est une portion de sphère parfaitement réfléchissante sur l une de ces faces. On distingue deux types de miroirs sphériques : si la réflexion se produit vers l intérieur de la sphère, le miroir est dit concave (figure 4.4a) ; si la lumière se réfléchit vers l extérieur de la sphère, le miroir est dit convexe (figure 4.4b). Un miroir sphérique est caractérisé par : Le centre C de la sphère appelé centre du miroir. Le point S appelé sommet du miroir. L axe optique, qui est l axe de symétrie de révolution du miroir, passant par les points C et S. Le rayon de la sphère R = SC, appelé rayon de courbure du miroir, quantité algébrique qui est négative pour un miroir concave et positive pour un miroir convexe (figure 4.4). Son angle d ouverture Ω (figure 4.5). S : C Fig. 4.5 Angle d ouverture Ω d un miroir sphérique. Remarque : en optique géométrique, la mesure des distances est algébrisée. Le long de l axe optique, on choisit comme sens positif le sens de propagation de la lumière (en général de la gauche vers la droite). Perpendiculairement à l axe, les distances sont comptées positivement dans le sens de la verticale ascendante.

28 22 Chapitre 4. Miroirs plans et sphériques 2.2 Relations de conjugaison dans l approximation de Gauss L expérience montre qu un miroir sphérique donne de bonnes images s il est de faible ouverture, et si l objet est au voisinage de l axe optique. Dans ces conditions, dites conditions de Gauss, il y a stigmatisme approché, et l image d un petit objet plan perpendiculaire à l axe est aussi plane et perpendiculaire à l axe. Il existe alors une relation entre les positions d un objet A et de son image A appelée relation de conjugaison. 2.2.a Relation de conjugaison avec origine au sommet A + I i α i ω α C A' H S Fig. 4.6 Stigmatisme approché du miroir sphérique. Considérons un point objet réel A situé sur l axe optique d un miroir concave. L image A de A est située au point d intersection de deux rayons lumineux quelconques issus de A. Soit un rayon confondu avec l axe optique, il se réfléchit sur lui-même : A est donc sur l axe. Par ailleurs, considérons le rayon émis depuis A et qui se réfléchit au point I en accord avec les lois de la réflexion. A se trouve au point d intersection du rayon réfléchi et de l axe (voir figure 4.6). Dans les conditions de Gauss, les points H et S sont pratiquement confondus, et les angles α, α et ω peuvent être assimilés à leurs tangentes selon : α = IS SA ; α = IS SA ; ω = IS SC. (1) De plus, dans les triangles AIC et A IC la somme des angles intérieurs doit être égale à π, soit : D où la relation suivante entre α, α et ω : i + α + π ω = π et donc : i = ω α, i + ω + π α = π et donc : i = α ω. α + α = 2ω. (2)

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