Problèmes sur le chapitre 5

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1 Problèmes sur le chapitre 5 (Version du 13 janvier 2015 (10h38)) 501 Le calcul des réactions d appui dans les problèmes schématisés ci-dessous est-il possible par les équations de la statique Si oui, écrire ces équations et calculer les réactions de liaison 502 Un levier C (dont nous négligeons le poids) est en équilibre sous l action d une charge f 2, d une force appliquée f 1 et de la réaction à l appui Que vaut f 1 en fonction des dimensions du levier et des angles α et β? C cosα 1 = f2 cosβ 503 La dalle rectangulaire CD de 48 cm x 24 cm pèse p = 160 N (poids supposé appliqué en son centre) Elle est suspendue par 3 câbles verticaux s 1, s 2, s 3 Calculer les efforts existants dans ces câbles Réponses : s1 = 80 N ; s2 = 0 N ; s3 = 80 N J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex51 -

2 504 La poutre en L C ci-contre est articulée en et posée sur un appui mobile en Elle est soumise à 3 forces : f1 = 750 N ; f2 = 500 N et f3 = 400 N Calculer les réactions aux appuis f et f = 864 N ; f = 768 N 505 La plaque rectangulaire CD horizontale, est articulée en et D (charnières autour de x) et posée en E, milieu de C Elle supporte une force p parallèle à yz, inclinée d un angle de π 3 sur le plan xy, appliquée au centre de la plaque et dirigée vers le bas Le calcul de f, f D et f E est-il possible par les équations de la statique? Si oui, écrire ces équations et calculer les réactions Réponses : f = fd = 7 8 p; f E = La plaque rectangulaire horizontale CD, de 48 cm x 24 cm, d un poids p = 160 N est montée sur 2 charnières à axe horizontal en et et posée sur un appui mobile en C Elle est soumise à une force f = 240 N située dans un plan perpendiculaire à, dirigée vers le bas et faisant un angle de π 3 avec le plan de la plaque f est appliquée en M avec : c= 8 cm et d = 32 cm Calculer les réactions en, et C = N ; f = 1057 N ; fc = N J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex52 -

3 507 Un mât de charge E doit soulever une charge maximale de 800 N Il est maintenu en par un câble C et est articulé en E Calculer l effort maximal dans le câble ainsi que la réaction d appui en E C = 1200 N ; fe = 1743 N 508 Trois barres d égale longueur D = E = FC sont assemblées dans un même plan, de façon à ce que leurs points milieux E, F, D soient les sommets d un triangle équilatéral Cet ensemble est placé horizontalement, appuyé en, et C et soumis à une force verticale p = 840 N en E Comment cette charge se répartit-elle sur les 3 appuis? = 480 N ; f = 120 N ; fc = 240 N 509 Une poulie de rayon r = 15 cm est fixée en O Un câble est enroulé sur cette poulie : l arc embrassé α vaut 120 Un brin du câble est vertical et supporte une charge p = 1000 N Quelle force faut-il appliquer à l autre brin pour obtenir l équilibre? Quelle est la réaction en O, si la poulie pèse 150 N (vecteur appliqué en O) On néglige le poids du câble et le frottement entre câble et poulie = 1000 N ; f = 1863 O N (inclinée de 277 sur la verticale) 510 Une équerre à 90 est constituée de 2 bras métalliques de poids p et de longueur 2a (le vecteur p est appliqué au milieu de chaque bras) On la suspend par l extrémité d un bras Quel angle α ce bras fait-il avec la verticale? Quelle est la réaction au point d attache O? = 2 O p ; α = J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex53 -

4 511 La poutre de longueur l est articulée en et pose en contre un mur vertical Son poids p est appliqué au milieu de La poutre fait un angle α avec l horizontale Calculer f et f en fonction de p, l et α au moyen des équations de la statique Vérifier le résultat en appliquant le théorème des 3 forces Calculer les valeurs de f et f pour p = 500 N et α = 30 = 662 N ; f = 433 N 512 Soit une poutre encastrée en et soumise à l action de deux forces f 1 et f 2 telles que : f1 = 200 N et f2 = 100 N inclinée de α = 20 par rapport à la verticale Calculer la réaction f et le moment réactif m en Réponses : f = 2958 N ; m = Nm 513 La barre, longue de 16 m, d un poids p = 600 N (appliqué en son milieu) est maintenue en équilibre par un câble C, passant sur la poulie C et supportant une charge f = 400 N La poulie C est sur la verticale de l articulation Calculer le rapport ab des distances C = a et C = b lorsque l équilibre est réalisé (le diamètre de la poulie est négligé par rapport aux autres dimensions) a 2 f 4 Réponse : = = b p 3 J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex54 -

5 514 a) Une passerelle fonctionnant à la manière d un pont-levis est articulée en et peut prendre appui sur le sol en Un câble accroché en s enroule sur une poulie C et soutient un contrepoids f de 2200 N Le poids de la passerelle est de 4000 N (point d application en G) Vérifiez que la passerelle dans sa position basse exerce un effort sur le sol en, malgré l effet du contrepoids; déterminez cet effort f b) On soulève la passerelle et on constate que dans une certaine position elle reste en équilibre sous le seul effet du contrepoids Déterminez alors la valeur de l angle α qu elle fait avec la direction verticale Réponses : a) f = 444 N ; b) α = Deux sphères lisses de rayon r = 015 m et d un poids p = 1100 N sont placées dans une goulotte de 054 m de largeur l, comme l indique la figure Déterminez les réactions en, et C de la goulotte sur les sphères (parois parfaitement lisses) ainsi que l effort existant en D entre les sphères = f =1470 N ; fc = N ; f = 1838 D N 516 L arc C comporte 3 articulations : en et avec le sol, en C entre les 2 quarts de circonférence Sur l arc C est appliquée la charge f 1 de N et sur l arc C la charge f 2 de N Calculer les réactions aux articulations et et la force existant entre les deux arcs en C = N ; f = N ; fc = N J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex55 -

6 517 Une potence murale est constituée par une poutre C de longueur l = 8 m, articulée en une rotule C, et supportant en l action d un tirant (articulé en et en ) Cette poutre sert de chemin de roulement à un monorail M qui supporte une charge p de 2000 N a) Lorsque le monorail est au milieu de la portée C, déterminer les réactions d appui en et en C; b) Trouver la position du monorail (déterminée par la longueur x = CM ) pour que l effort de réaction en C soit minimum Réponses : a) f = fc =2000 N ; b) x = 2 m 518 Une échelle double comprend deux montants C et C de 3 m de longueur et d un poids de 60 N (appliqué au milieu du montant) Les deux montants sont reliés par une corde horizontale EF située à 08 m du sol de façon que C constitue un triangle équilatéral Une personne pesant 750 N est sur cette échelle à une distance D = 2 m Calculer les réactions au sol f et f, la force existant en C et l effort supporté par la corde (Le sol est supposé lisse, c est-à-dire sans frottements) = 560 N ; f = 310 N ; fc = 342 N ; fcorde = 233 N 519 La poutre E est constituée de 2 éléments rectilignes et E articulés entre eux Elle est maintenue par une articulation en et 2 appuis mobiles en C et D pèse 200 N (appliqué au milieu de ) et E pèse 400 N (appliqué au milieu de E ) C = 23 et D = 23E est horizontale; E fait un angle de π 4 avec l horizontale Calculer f, f C, f D et l effort entre les 2 poutres en = 167 N ; f = 292 N ; f C = 525 N ; f = 212 D N J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex56 -

7 520 Un cylindre de rayon r = 015 m et d un poids de 1100 N est maintenu contre une cloison verticale par une poutre articulée en et elle-même retenue en par une corde horizontale F La poutre fait un angle de π 3 avec la cloison verticale et mesure 12 m Son poids est négligeable Calculer la réaction f à l articulation de la poutre, l effort dans la corde F et les réactions d appui du cylindre à la cloison en E et à la poutre en C = 1103 N ; f C = 1270 N ; f E = 635 N ; f F = 550 N 521 Le croquis ci-contre représente une caisse à savons maintenue à l arrêt dans une rue inclinée d un angle α = 30 par rapport à l horizontale Les dimensions de l engin sont : e= 180 m; h= 090 m; r = 030 m Le poids total vaut p = 1000 N et est appliqué en G (intersection des diagonales du rectangle) Un câble, horizontal, est accroché au niveau de l axe de roue, et relié au sol en C Déterminer les réactions d appui des roues au sol, en et en, et la tension dans le câble en C = 558 N ; f = 597 N ; fc = 577 N 522 Soit une poutre posée sur trois appuis, et C, et articulée en D Elle est soumise à deux charges p1 = 1000 N et p2 = 2000 N comme représenté ci-contre Déterminer les réactions aux appuis, ainsi que l effort dans la rotule D = 1118 N ; f = 1616 N ; fc = 616 N ; f D = 1118 N J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex57 -

8 523 Un poids q est suspendu à un petit anneau C par deux cordes C et C La corde C est attachée en, tandis que la corde C passe en sur une poulie sans frottement et porte un poids p Si p = q =100 N et α = 70, déterminer la valeur de l angle β à l équilibre, ainsi que la réaction d appui en Réponses : β = 40 ; f = 68 4 N 524 Pour soulever une caisse de 1000 N, on utilise un palan à corde réalisé selon le dessin ci-contre : la corde est attachée au centre O de la poulie inférieure; elle passe ensuite sur la poulie avant de revenir sur l extérieur de la poulie O Calculer la grandeur et la direction de la force f C appliquée à l extrémité de la corde Réponses : α = ; fc = 426 N 525 Un dispositif de pesée comprend deux leviers horizontaux et CD, articulés en M et C, et reliés par une barre articulée N La charge à peser f 1 est suspendue en L équilibre, avec les 2 leviers horizontaux, est réalisé au moyen du curseur p que l on déplace sur le levier CD Trouver la relation entre x et f 1, en fonction de p et des dimensions ac f Réponse : x = 1 b p 526 Deux barres prismatiques minces C et C, chacune de longueur l = 15 m et de poids p = 200 N sont articulées en C Elles sont posées sur un support DE de 06 m de largeur (appuis sans frottement) Calculer l angle α que chaque barre fait avec l horizontale lorsque la verticale de C passe par le milieu de DE (Le poids p est appliqué au milieu de chaque barre) Calculer la force existant en C Il n y a pas de frottement Réponses : α = 42 6 ; fc = 184 N J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex58 -

9 527 On désire soulever une charge q avec le dispositif constitué par deux coulisseaux s appuyant sur deux glissières rectangulaires et reliés par une bielle Que vaut l effort horizontal f pour assurer l équilibre (application du théorème des travaux virtuels) Le poids propre des organes est négligeable ppliquer le résultat aux valeurs : q = 1000 N et α = 80 Réponse : f = N 528 Le câble C est attaché en et en à deux parois verticales Il supporte, par l intermédiaire de la poulie C, une charge q de 2000 N La longueur du câble est de 7 m Déterminer à quelle distance d de la paroi de gauche, la poulie se stabilisera en équilibre et quelle sera, à ce moment, la tension dans le câble Réponses : d = 142 m; f = 1429N cable 529 Trouver pour la presse ci-contre la relation entre f 1, f 2 et p à l équilibre f = f = f On donne 1 2 C = CE = ED = D = a ainsi que les angles α et β On néglige le poids des barres 2 f Réponse : p = cot β cot α J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex59 -

10 530 Un mât est appuyé en sur un sol horizontal Il est soumis à son sommet à 2 forces f1 = f2 = 100 N situées dans un plan horizontal, à 60 l une de l autre Le mât est haubané par un câble C fixé en C et formant un angle de 30 avec le mât Le hauban est dans le plan bissecteur de f 1 et f 2 Calculer, lorsque le mât, de poids négligeable, est en équilibre, l effort f C dans le hauban et la force de compression dans le mât = 300 N ; f = 347 C N 531 Un trépied, à montants O, O, OC de longueurs égales l et articulés entre eux en O, est appuyé sur un sol horizontal de manière que C soit un triangle équilatéral de côté égal à l 32 Une charge p = 30 N est suspendue verticalement en O Les montants sont reliés par trois cordes, C et C les empêchant de glisser (sol considéré sans frottement) Le système étant en équilibre, calculer les forces de compression dans les 3 montants et l effort f t dans la corde = f = fc =115 N ; ft = 333 N 532 Pour soulever une charge p de N, on monte un trépied C, dont les montants O, O, OC mesurent 4 m Ces montants symétriques sont fixés au sol, avec lequel ils font un angle de π 3 u sommet O, est fixée une poulie servant de relais entre la charge p et un treuil T Le câble OT est supposé dans le plan du montant OC ; il fait un angle de π 3 avec le plan horizontal Calculer les efforts dans les montants lorsque la charge est suspendue, en équilibre = f =52583 N ; fc = 2583 N J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex510 -

11 533 La poutre est sollicitée par une charge répartie dont le diagramme est trapézoïdal, avec : p = 1500 N m et p = 4500 N m Déterminer les réactions d appuis et f = 7500 N ; f = N f 534 Calculer les réactions d appuis f et f dues à une charge répartie de façon parabolique avec pmax = 4500 N m Réponses : f = 1500 N ; f = 4500 N 535 Calculer l épaisseur a du barrage en béton de forme rectangulaire pour qu il ne puisse pas pivoter autour du point sous l effet des pressions hydrostatiques lors d un trop plein ( d = b=4 m) Notes : 3 Masse volumique du béton = N m ; Pression hydrostatique p la profondeur où règne p Réponse : a = 148 m ρ béton = 9810 h N m 2, h étant 536 Déterminer quelle force f faisant un angle α avec l horizontale, il faut appliquer à une charge p reposant sur un plan horizontal, pour la déplacer Le coefficient de frottement est μ s près avoir établi la formule générale, calculer f pour p = 100 N, α = π 6 et μ s = 06 μ p s = ; f = 52 N cosα + μ sinα s J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex511 -

12 537 Une échelle placée contre un mur fait un angle de π 3 avec l horizontale Elle pèse p = 60 N, mesure 3 m de haut et supporte une personne de 700 N à une distance C = 2 m du sol Montrer que le problème de la recherche des réactions d appui est insoluble, si on ne tient pas compte du frottement Calculer f et f sans frottement, mais en supposant l échelle retenue par une corde D = 287 N ; f = 760 N ; f = 287 N D 538 Une échelle de longueur l est posée sur le sol en et contre un mur vertical en Le coefficient de frottement de l échelle contre le mur et le sol est μ s Déterminer la limite supérieure de l angle α pour qu une personne chargée, représentée par la force f puisse se déplacer jusqu au sommet de l échelle sans que celleci glisse Réponse : α arctan μ s = ϕ Une potence est destinée à supporter une charge p dont la position est réglable via une rainure horizontale (distance l variable) Le bras horizontal est maintenu en place grâce à deux piges et qui s appuient avec frottement sur la colonne verticale Le poids de la potence est négligé devant celui de la charge à lever Le coefficient de frottement en et vaut μ s = 02 Pour quelle(s) position(s) de la charge (repérée(s) par l) y a-t-il toujours équilibre, sans risque de voir le bras glisser? Données : a = 20 mm; h= 50 mm h a Réponse : lmin = 2 μ 2 s J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex512 -

13 540 Une barre de longueur 2a, inclinée d un angle α sur l horizontale, est maintenue en équilibre par deux appuis C et distants de b Le poids p de la barre est appliqué au milieu de La distance b est plus petite que a Le coefficient de frottement entre barre et appuis est μ s Déterminer l angle limite α lim d équilibre de la barre en fonction de μ s et des dimensions ( ) 2 a b Réponse : tanα lim = μs b 541 Un bloc de poids p est maintenu sur un plan, incliné d un angle α par rapport à l horizontale, par un câble Le câble fait un angle β avec le plan incliné Calculer l effort f dans ce câble, en fonction de p, α, β et μ s, coefficient de frottement entre bloc et plan ( ) ( s ) sinα μs cosα Réponse : f = p cosβ + μ sin β 542 Une tige homogène de poids p et de longueur l s appuie en et sur la paroi intérieure et sur le rebord d un tube à axe vertical La tige fait un angle de π 4 avec l axe du tube Le coefficient d adhérence μ s aux deux contacts tige-cylindre vaut 015 Le diamètre intérieur du tube est d = 80 mm; entre quelles limites doit être comprise la longueur l de la tige pour qu elle puisse être en équilibre? Réponse : 354 < l < 668 mm 543 Dans l ensemble ci-contre, le bloc p est maintenu en équilibre par les efforts de frottement existant, d une part, entre p et q, et, d autre part, entre p et le plan incliné Déterminer la valeur minimale du poids du bloc q qui rend cet équilibre possible, en fonction de p, de α et des coefficients de frottement μ s 0 et μ s 1 ppliquer les résultats obtenus avec les valeurs numériques suivantes : p = 200 N ; α = 35, μ s0 = 04 et μ s1 = 02 Réponse : qmin = 100 N J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex513 -

14 544 Une pince pantographe est utilisée pour la manutention de tôles L ensemble pince + tôle est soulevé par un câble accroché en H; l effort de levage est transmis à deux biellettes HD et HE, articulées sur les deux bras DC et EC, eux-mêmes articulées en C; les points D, C et E sont sur une même horizontale Le système est parfaitement symétrique par rapport à un axe vertical Le poids de la pince est négligé; celui de la tôle à transporter est p = 1000 N Le coefficient d adhérence en et vaut μ s = 015 ; h= 03 m Que vaut l pour éviter tout glissement et chute de la tôle? Réponse : l 2 m 545 Un demi-cylindre de rayon r = 250 mm, est posé sur un plan horizontal Le coefficient de frottement au contact du demi-cylindre avec le sol est μ s = 030 On attache en O une corde sur laquelle on exerce un effort f horizontal (sa ligne d action restant ainsi toujours à une distance r du sol) On constate que le corps roule d abord puis se met à glisser Préciser la position prise par le corps lorsqu il est prêt à glisser (détermination de l angle α) Note : le poids p du demi-cylindre est appliqué en G, tel que OG = 106 mm Réponse : α = π Un cylindre poli de poids p = 1000 N et de rayon r = 1m est supporté par deux demi-cylindres de même rayon r et de p 2 poids Soit μ s = 038 le coefficient de frottement entre faces planes des demi-cylindres et plan horizontal En supposant négligeables les frottements de contact entre surfaces cylindriques, déterminer l écart b maximum pour lequel l équilibre statique peut être maintenu Réponse : b = 242m max J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex514 -

15 547 Deux tiges et C ont même longueur l = 040 m et même poids p = p = N La tige est articulée en et en ; la tige C est articulée en, et repose avec frottement sur la paroi verticale, en C On constate que si θ dépasse 10, les tiges ne sont plus en équilibre (l extrémité C glissant vers le bas, le long de la paroi) Calculer le coefficient d adhérence μ s existant au point C Réponse : μ s = 035 J-P auche - R Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup) Page - ex515 -